Teoria dei Segnali & Elaborazione Dati

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1 Teoria dei Segnali & Elaborazione Dati Facoltà di Ingegneria- Ingegneria Biomedica Corso di Elaborazione dati e Segnali Biomedici Ing.Irene Tagliente Irene.tagliente@opbg.net

2 Il termine Segnale e' usato molto frequentemente non solo nel campo scientifico e tecnologico ma anche nell'uso quotidiano del linguaggio comune. Nello studio dei sistemi fisici e del loro comportamento possiamo comunque intendere il termine Segnale come una variazione temporale dello stato fisico di un sistema che serve per rappresentare, registrare e trasmettere messaggi.

3 Avremo segnali di tipo Unidimensionale o Multidimensionale (Vettori) se vuole evidenziare la dimensionalità attraverso la quale essi si esibiscono. Saranno di tipo Deterministico oppure Stocastico se la loro modalità di evolversi nel tempo è prevedibile oppure casuale. Potranno ancora essere Analogici oppure Discreti se si presentano come Continui o Discontinui nel tempo. Teoria dei Segnali

4 Si riportano di seguito alcune importanti formule di trigonometria, che possono risultare utili: Un generico esponenziale complesso può essere scritto come: e^±jφ= cos(φ) ± j sin(φ) da cui si ricavano facilmente le formule di Eulero:

5 Un generico numero complesso c può essere espresso mediante la sua parte reale e la sua parte immaginaria oppure mediante la sua ampiezza e fase: Questa seconda rappresentazione (detta forma esponenziale) risulta particolarmente utile per eseguire calcoli sui numeri complessi. Posto ρ = IIcII Φ= < c, il numero complesso c si può quindi scrivere come: si ricavano facilmente le seguenti relazioni: Nel caso di un prodotto (o rapporto) tra due numeri complessi, l ampiezza del prodotto (o rapporto) `e data dal prodotto (o rapporto) delle ampiezze, mentre la fase `e data dalla somma (o differenza) delle fasi.

6 Si riportano di seguito la definizione e l andamento grafico di alcuni segnali importanti:

7 Proprietà dei segnali determinati Energia, potenza e valor medio di un segnale Segnali tempo continui Dove II. II viene sostituito a I. I nel caso di segnali reali. NB: Se l Energia è Finita la Potenza è nulla e viceversa

8 Ovviamente gli integrali possono variare in funzione del dominio di Integrazione Sganciandoci dalla definizione della variabile ed integrando non piu x(t) ma s(t) Ovviamente non cambierà la formula. Mentre integrando l Energia tra ± e la Potenza tra ± T otterremo le Formule piu comunemente usate: 1) Si dirà che s(t) è un segnale ad energia finita o segnale di energia se converge ossia Es risulta essere un numero reale. Viceversa di dirà che s(t) è un segnale a potenza finita o segnale di potenza 2)

9 Teorema di Parseval Per un segnale ad energia finita, l energia normalizzata può essere calcolata integrando il quadrato del modulo del segnale nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza: L energia di un segnale è: Densità spettrale di energia La densità spettrale di energia non è mai negativa: Se il segnale x(t) è reale, allora la densità spettrale di energia è pari: X( f ) 2 = X(f ) 2

10 La Potenza di un segnale è: DENSITA SPETTRALE DI POTENZA

11 Esempio: Segnale Esponenziale Considerando il segnale s(t)= e^at Con t>o e a>0 Verifichiamo se si tratta di un segnale di energia applicando la definizione 1) Trattandosi di un segnale reale, il modulo quadro del segnale equivale semplicemente al quadrato Il segnale è per ipotesi nullo per t<0, per cui possiamo restringere l intervallo di integrazione e proseguire con i calcoli Avendo trovato un valore finito, deduciamo che il segnale esponenziale è un segnale ad energia finita e, di conseguenza, a potenza nulla.

12 TRASFORMATA DI FOURIER La trasformata di Fourier è uno degli strumenti matematici maggiormente sfruttati nell'ambito delle scienze pure e applicate. Viene utilizzata, ad esempio, per trasformare una funzione matematica f(t) definita nel dominio del tempo in una nuova funzione F^ il cui argomento è la frequenza (indicata in hertz). Questa funzione viene chiamata spesso spettro delle frequenze della funzione f. La trasformata di Fourier è invertibile, quindi, a partire dalla trasformata di una funzione F^ è possibile risalire alla funzione f. Nel caso di funzioni periodiche, la trasformata di Fourier può essere semplificata con il calcolo di un insieme discreto di ampiezze complesse, chiamati coefficienti della serie di Fourier. Inoltre, quando un segnale nel dominio del tempo viene campionato, ad esempio per facilitare l'immagazzinamento o l'elaborazione digitale, è possibile ricreare una versione della trasformata originale utilizzando la formula di sommazione di Poisson. Formalmente, la trasformata di Fourier F [f(t)](ω) di una funzione f(t) è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera L di f ponendo s = iω, e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

13 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier permette di esprimere una funzione periodica attraverso un numero discreto di parametri, che sono le ampiezze delle componenti sinusoidali (bk ) e cosinusoidali (ak ) alle frequenze multiple di fo

14 La serie di Fourier `e definita solo per segnali periodici. Non sempre si può scrivere sotto forma di serie di Fourier la funzione ottenuta dalla somma di due serie di Fourier: si può fare solo se il segnale risultante `e periodico (cioè esiste il minimo comune multiplo dei periodi dei due segnali che si sommano).

15 TRASFORMATA DI FOURIER Un segnale non periodico può essere considerato come un segnale periodico avente T, e di conseguenza fo 0. La serie di Fourier può essere generalizzata al caso non periodico, sostituendo la sommatoria con l integrale.

16 Le definizioni di Trasformata e Antitrasformata di Fourier sono valide per tutti quei segnali per cui l integrale al secondo membro esiste.

17 PROPRIETA DELLA TRASFORMATA (TDF) LINEARITA : la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali. a1x1(t)+a2x2(t) a1x1(f)+a2x2(f) Simmetria : la TDF di una segnale reale go d e d i simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetr ici rispetto all origine (sono pari ), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all origine (sono dispari ). x(t) X(-f)=X*(f)

18 APPLICAZIONE DELLA SIMMETRIA

19 PROPRIETA DELLA TRASFORMATA (TDF)

20 ESEMPI DI TDF IL RETTANGOLO

21 ESEMPI DI TDF - IL SINC

22 PROPRIETA DELLA TRASFORMATA (TDF)

23 L IMPATTO DEL RUMORE NELL ANALISI DEI SEGNALI Ø In ogni sistema reale di comunicazione, il segnale trasmesso arriva al ricevitore piu o meno degradato a causa di disturbi e rumore, che variano nel tempo in modo impredicibile. Ø Il rumore nei circuiti elettronici e dovuto al movimento casuale degli elettroni, che si muovono non solo per effetto dei campi elettrici applicati, ma anche (e soprattutto) a causa dell agitazione termica. Ø A temperatura ambiente (300 K) la velocita di agitazione termica per un elettrone ` e di circa 100 km/s, mentre la velocita di deriva dovuta ai campi elettrici è molto inferiore. Ø L agitazione termica e` a media nulla, ma provoca fluttuazioni nei valori istantanei delle grandezze elettriche (rumore termico).

24 Il rumore è un processo stocastico Per analizzare l effetto del rumore si usano tecniche statistiche (teoria delle probabilita e dei processi stocastici). L aggettivo stocastico e l opposto di deterministico: Ø un segnale deterministico può essere espresso matematicamente come una funzione del tempo: x(t) assume un ben preciso valore (e uno solo) per ogni t Ø un segnale stocastico assume valori non noti a priori e non predicibili con esattezza; non si puo rappresentare come una funzione ben definita nel tempo Stocastico deriva dal verbo greco στoχαζ oµαι (stochazomai) = cercare di capire.

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27 ANALISI SPETTRALE Il contenuto in frequenza di un segnale deterministico oppure stocastico stazionario è messo in evidenza da tracciati ottenuti mediante la trasf. di Fourier che prendono il nome di SPETTRI (in analogia col contenuto della luce alle varie lunghezze d onda) a seconda della caratteristica descritta si parla di: Spettro Di Ampiezza, descrive l ampiezza delle componenti armoniche (l uso degli sp. di energia o di potenza è più comune) Spettro Di Fase, nei segnali deterministici descrive la fase delle componenti armoniche rispetto ad un riferimento temporale fisso; nei segnali stocastici questo non ha senso (almeno in ambito lineare) ma spesso occorre dare lo sfasamento fra la stessa componente armonica di due segnali diversi Spettro Di Energia descrive l ampiezza quadratica delle componenti armoniche nei segnali deterministici Spettro Di Potenza, descrive l ampiezza quadratica media delle componenti armoniche nei segnali stocastici

28 SPETTRO DI POTENZA- PROCESSI STOCASTIVI STAZIONARI sia y(i) un processo a t. discreto, stocastico, stazionario (almeno in senso debole), ergodico ed a media nulla, la varianza è: Ø è immediato riconoscere a questa un significato di potenza (media di valori quadratici); meno immediato è definire uno spettro di potenza; infatti, non esiste una Serie di Fourier perché non esistono periodicità deterministiche; non esiste una DTFT poiché il segnale è illimitato ed ad energia infinita Ø è però intuitivo che oscillazioni che si ripetono in modo statisticamente significativo possano essere stimate, grazie alla ergodicità, anche su un finestra limitata di N campioni Ø Lo spettro di potenza teorico del processo viene quindi definito come limite per N della stima su N campioni

29 Si definisce ergodico un processo statistico che passa per tutti i punti possibili di lavoro. Nell'ambito dei processi stocastici, un processo stocastico si dice ergodico ad un dato momento t, se la sua stima temporale converge, in media quadratica, a tale parametro, con autocorrelazione che tende a 0 al crescere dei valori di t. Un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali. Condizione necessaria all'ergodicità è quindi la stazionarietà, in senso lato, fino all'ordine per cui si desidera che sia verificata la proprietà di ergodicità. In particolare, si parla di ergodicità nella media quando la media temporale e la media statistica coincidono; si parla di ergodicità nella correlazione quando la autocorrelazione statistica e la autocorrelazione temporale coincidono. Caratteristica fondamentale del processo ergodico è che tramite una singola osservazione di una funzione membro del processo, riusciamo a caratterizzare tutta la statistica dell'intero processo. Ciò equivale a dire che un processo ergodico è completamente caratterizzabile tramite osservazione di UNA funzione membro del processo. Viene poi definito un limite, per validare questa teoria, ovvero tutti gli elementi del processo, affinché questo sia ergodico, devono essere incorrelati.

30 ANALISI DELLO SPETTRO DI POTENZA Ø LO SPETTRO DI POTENZA viene anche detto densità spettrale di potenza (PSD, Power Spectral Density) Ø le stime del PSD ottenute mediante trasf. di Fourier (mediante la FFT) sono dette NON-PARAMETRICHE, si basano sul CALCOLO DIRETTO DEL PERIODOGRAMMA Ø METODI PARAMETRICI non analizzano direttamente il contenuto in freq. ma stimano i parametri di OPPORTUNI MODELLI da cui si ricava la PSD Applicazioni: - ritmi nell EEG: α, β, γ, δ - ritmi nella variabilità della freq. cardiaca: - LF (0.1 Hz controllo cardiovascolare), HF (0.3 Hz - attività respiratoria) - freq. media dell EMG (tipo di unità motorie e freq. di scarica) - freq. formanti nel parlato (suoni vocalici e consonantici) - suoni valvole cardiache (stenosi od insufficienza valvolare)

31 Ci sono due forme di correlazione: autocorrelazione e intercorrelazione (cross-correlation). La funzione di intercorrelazione (CCF) è una misura della somiglianza tra due segnali. Applicazioni della CCF includono: Ø analisi spettrale (cross-spectral analysis) Ø riconoscimento di segnali immersi nel rumore (radar) Ø riconoscimento di modelli (pattern matching) Ø misure di ritardo. La funzione di autocorrelazione (ACF) è una forma speciale di CCF ed è usata in applicazioni simili. Applicazioni della ACF: Ø E particolarmente utile nel riconoscere un segnale periodico immerso nel rumore.

32 Spettro di Potenza Tras. Di Fourier della ACF

33 Teorema di Parseval Per un segnale ad energia finita, l energia normalizzata può essere calcolata integrando il quadrato del modulo del segnale nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza: L energia di un segnale è: Densità spettrale di energia La densità spettrale di energia non è mai negativa: Se il segnale x(t) è reale, allora la densità spettrale di energia è pari: X( f ) 2 = X(f ) 2

34 STIMA SPETTRALE Analisi Spettrale Non Parametrica Stima piú precisa possibile di energie nell intervallo di tempo disponibile senza fare alcuna ipotesi ulteriore, Non cercando modelli della generazione del segnale. Applicabile a segnali totalmente indipendenti tra loro, con diversa ampiezza e diverse caratteristiche Statistiche. Es studio dello spettro delle radiofrequenze in una grande cittá; l uno accanto all altro si incontrano i vari canali radio e televisivi, i segnali di telefonia cellulare, i segnali radar ecc. Parametrica Si cercheranno i parametri di un filtro lineare che, alimentato da un segnale a spettro uniforme (rumore bianco) produce uno spettro di potenza simile allo spettro sotto analisi. L analisi spettrale parametrica porta all identificazione del modello e questo apre una successiva fase di studio per comprendere e poi eventualmente controllare lo stato e l evoluzione del sistema sotto osservazione. Tutto il segnale nel suo complesso ha origini uniche e quindi vi Saranno delle relazioni tra i contenuti delle varie bande spettrali. Es: spettro di un segnale acustico dovuto a vibrazioni o ad un segnale vocale

35 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA CONCETTUALMENTE SEMPLICE se si fa uso del concetto di media di insieme Se si hanno abbastanza realizzazioni del segnale, BASTA CALCOLARNE LE TRASFORMATE DISCRETE DI FOURIER E MEDIARNE LE POTENZE, componente per componente. N.B: raramente si hanno numerose repliche del segnale Spesso, si ha a disposizione una sola replica, per un intervallo di tempo assegnato la cui lunghezza indicheremo sistematicamente con Ttot = NT dove T è l intervallo di campionamento. Per determinare lo spettro di potenza Si dovrà ricorrere ad IPOTESI come STAZIONARIETÁ ed ERGODICITÁ che supporremo sempre valide. Quando verranno discussi i sistemi adattativi, la non stazionarietá delle statistiche verrá considerata esplicitamente.

36 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA PERIODOGRAMMA

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38 STIMA NON PARAMETRICA DELLO SPETTRO DI POTENZA Ø il periodogramma permette di applicare l algoritmo molto efficiente della FFT per ottenere N campioni di PN(f) Ø però il PERIODOGRAMMA NON È UNA STIMA CONSISTENTE: Ø E[PN(f)]-->P(f) per N--> inf. ma l errore della stima non --> 0 Ø il periodogramma non sfrutta correttamente l ergodicità del processo: aumentando N si migliora la risoluzione in freq. ottenendo più campioni fra 0 e la fc ma l errore dei punti infittiti non migliora e mantiene una varianza dell ordine di σ^4 Ø questo limite viene corretto diminuendo la risoluzione spettrale a vantaggio di una diminuzione dell errore di stima ottenendo così degli spettri più smussati (smooth) Ø vi sono due approcci spesso usati in combinazione: 1) Finestrare il segnale raccordando meglio gli estremi a zero 2) Dividere gli n campioni in k finestre di m campioni (n = k m) e fare la media dei k spettri ottenuti

39 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA Se si hanno abbastanza realizzazione del segnale basta calcolarne le trasformate discrete di Fourier e mediarne le potenza, componente per componente Raramente si hanno numerose repliche del segnale Spesso si ha a disposizione una sola replica per un intervallo si tempo assegnato indicheremo la lunghezza sistematicamente con Ttot= NT dove T è l intervallo di campionamento utilizzare un banco di K filtri passa banda con bande Bk; Volendo stimare lo spettro di una sequenza {Xn}, n = 0,.., N 1 senza fare alcuna ipotesi addizionale é necessario: k = 1,...,K e frequenze centrali fk; k =1,...,K attraverso i quali fare transitare il segnale; si stimano poi le potenze medie delle uscite Yn,k dei vari filtri del banco

40 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA Il teorema di Wiener ci aiuta qualora si desideri conoscere la densità di potenza per un processo, di cui siamo in grado di stimare o postulare Mx (t) = Rx (t).spesso però si ha a che fare con segnali di cui, pur ricorrendo le ipotesi di appartenenza ad un processo ergodico, si ignorano le statistiche di insieme. Un altro caso tipico è quello di un segnale che, pur se rappresentativo di molti altri, non presenta caratteristiche spettrali costanti nel tempo, e sono proprio le variazioni di queste ultime ad interessare. In questi casi, tutto ciò che si può fare è di tentare una stima dello spettro di potenza del segnale, a partire da un suo segmento temporale. Esistono al riguardo tecniche differenti

41 Calcolo del periodogramma ed esempio alla Lavagna

42 METODO DI BARTLETT Ø consiste nel dividere il segnale di N campioni in K finestre di M campioni N=K M, calcolare i rispettivi spettri ed infine fare la media dei K spettri Ø la risoluzione in freq. (proporzionale a 1/MTC) peggiora di un fattore K; la varianza della stima migliora di un fattore K (SNR spettro migliora di K) perché, per ergodicità, le stime spettrali delle singole finestre possono essere considerate indipendenti

43 METODO DI BARTLETT: FINESTRATURA IMPLICITA *ACF = Funzione di Autocorrelazione

44 ESEMPIO APPLICAZIONE DEL METODO DI BARTLETT CALCOLO DEL PERIODOGRAMMA DI UN EEG 1) periodogramma su N=750 campioni; 2) periodogramma su M=64 campioni (K=11); 3) media di 11 periodogrammi; FFT su 1024 campioni (zero padding di campioni nel primo caso e di campioni negli altri)

45 METODO DI WELCH: RISOLUZIONE IN FREQUENZA il metodo di Welch modifica il metodo di Bartlett introducendo una finestratura esplicita che raccordi i bordi delle finestre a zero

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47 METODO DI WELCH: DETTAGLI SULL APPLICAZIONE Ø vi sono anche finestre particolarmente adatte all analisi spettrale: Chebychev, Gauss, Nuttal, etc. Ø per non avere modificazioni dei valori di potenza le finestre vanno scalate in modo da avere media quadratica unitaria Ø per poter tracciare lo spettro con una buona risoluzione grafica occorrono in genere più degli M punti di FFT; si può interpolare i campioni in frequenza mediante zero padding nel tempo (questo non aumenta la vera risoluzione in frequenza) Ø campioni ai bordi delle finestre raccordate a zero sono pesati poco e quindi si può adottare una sovrapposizione (overlap) fa finestre adiacenti (in genere del 50%) avendo così 2K-1 spettri da mediare

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49 LIMITI DELLO SPETTRO DI POTENZA Esistono segnali diversi che hanno lo stesso spettro di potenza Lo spettro di potenza: descrive completamente i processi GAUSSIANI Contiene le stesse informazioni della Funzione di autocorrelazione Sopprime tutte le relazioni di fase tra i ritmi presenti in un segnale

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51 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA Come determinare la DISPERSIONE DELLA STIMA SPETTRALE e cioè la dispersione della stima S^bk della potenza (il valore quadratico medio) σk^2 dei segnali yn,k in uscita dei vari filtri La stima é funzione sia del tempo totale di osservazione concesso Ttot = NT sia delle larghezze di banda Bk dei vari filtri (risoluzione spettrale), che non sono necessariamente eguali tra loro. La dispersione della stima e risoluzione spettrale sono entrambe limitate dal valore di Ttot ed inoltre al migliorare della risoluzione spettrale peggiorerà (crescerà) la dispersione di S^bk e σk^2 Se la banda passante Bk del filtro k esimo è molto stretta, i campioni (complessi) della sua uscita sono correlati tra loro per un intervallo di tempo lungo Tk ' 1/Bk

52 ANALISI SPETTRALE NON PARAMETRICA DISPERSIONE DELLA STIMA SPETTRALE Il tempo totale necessario per misurare all uscita del filtro un numero di campioni complessi indipendenti M abbastanza grande (per avere una buona stima del loro valore quadratico medio e quindi della densità spettrale media in quella banda) sarà: Ttot = NT = M Tk = M/Bk e sarà tanto maggiore per quanto più ridotta è Bk e per quanto maggiore è M A pari Ttot invece, dovremo scegliere se fare grande M (stima precisa) o Tk (elevata risoluzione spettrale). Se la banda passante Bk del filtro k esimo è molto stretta, i campioni (complessi) della sua uscita sono correlati tra loro per un intervallo di tempo lungo Tk ' 1/Bk.

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54 STIMA DELLA POTENZA DI SEGNALI CORRELATI GAUSSIANI CAMPIONI INDIPENDENTI Per iniziare lo studio della DISPERSIONE DELLA STIMA del valore quadratico medio DI UN SEGNALE DI CUI SONO DISPONIBILI SOLO UN NUMERO LIMITATO DI CAMPIONI, eventualmente correlati tra loro, supponiamo di avere una sequenza di M campioni reali xm che sappiamo essere indipendenti e gaussiani, a valore medio nullo e con eguale q.m. σ^2: la migliore stima del loro v.q.m e: La stima della varianza della sequenza xm è una variabile casuale, la cui distribuzione è nota come X^2 con M gradi di Liberà; E approssimativamente gaussiana, ha valor medio paria a σ^2.

55 CAMPIONI INDIPENDENTI

56 CAMPIONI CORRELATI Quando i campioni del segnale sono correlati, la dispersione della stima del loro v.q.m. cresce, perchè decrescerebbe il numero equivalente di campioni indipendenti che contribuiscono alla stima. Es: Se vogliamo stimare la distribuzione delle età dei cittadini, non è bene raccogliere dati in scuole elementari o case di riposo. Fare valutazioni quantitative precise comporterebbe molti calcoli. Consideriamo: DUE VARIABILI CASUALI GAUSSIANE A VALOR MEDIO NULLO, EGUALE VARIANZA E CORRELATE TRA LORO: X e Y. Generalmente possiamo supporre che sia:

57 CAMPIONI CORRELATI

58 SEGNALI CONTINUI Circuito RC alimentato da Rumore Bianco Per proseguire l esempio della stima della potenza di un segnale correlato, supponiamo di voler stimare la potenza in uscita di un circuito RC alimentato da rumore bianco e quindi con uno spettro di potenza pari a

59 SEGNALI CONTINUI

60 SEGNALI CONTINUI Anche se i campioni misurati sono in numero infinito, la dispersione non tende a zero. Ø Se q cresce ma rimane inferiore circa ad 1 i campioni decrescono in numero e si decorrelano e la varianza della stima aumenta ma di poco. In compenso diminuisce drasticamente il costo computazionale. Ø Se poi q cresce ancora, oltre il valore 1, i campioni diventano troppo pochi e la varianza cresce in proporzione a q. É INUTILE CAMPIONARE IN MODO TROPPO FITTO UNA SERIE CORRELATA la varianza della stima non scende perché i campioni si assomigliano troppo. non bisogna essere troppo insistenti nell imporre l indipendenza dei campioni, perché se li si desidera troppo decorrelati, si perdono misure utili. E ragionevole mantenere la correlazione intorno a 10 20%

61 SEGNALI CONTINUI Nel caso di Analisi Spettrale Di Un Segnale Con Un Banco Di Filtri Passa Banda di banda B abbastanza selettivi, è Ragionevole Supporre Che Lo Spettro Del Segnale Sia Uniforme In Ogni Banda (ma differente tra una banda e l altra). Se si riporta a frequenza zero ogni banda e si sottocampiona il segnale convertito alla frequenza di campionamento 2B Si ottiene una sequenza di campioni reali indipendenti per la quale è semplice calcolare la dispersione della stima di potenza. LA RISOLUZIONE SPETTRALE NON DIPENDE DALLA FREQUENZA

62 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA

63 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA

64 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA

65 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA

66 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA Un modo alternativo di stimare lo spettro di potenza di un segnale è scegliere un modello che riteniamo adeguato e stimarne i parametri, quindi calcolare lo spettro di potenza del modello con quei parametri. Uno dei modelli più usati è il modello AR, detto anche a massima entropia, perche presuppone un andamento asintotico esponenziale dell autocorrelazione, che corrisponde alla massima entropia.

67 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA

68 STIMA SPETTRALE PARAMETRICA Queste sono le equazioni di Yule e Walker. Con esse si possono ricavare i coefficienti del modello AR dai valori dell autocorrelazione. La matrice simmetrica che compare viene detta matrice di Toeplitz e il sistema viene risolto con l efficiente algoritmo di Levinson e Durbin. Se nelle (6.42) mettiamo, al posto dei valori dell autocorrelazione, delle loro stime, possiamo stimare i valori dei parametri Wi del modello AR(n). Da questi lo spettro viene stimato come

69 Questo tipo di stima spettrale viene implementata in vari modi, a seconda di come viene eseguita la stima dell autocorrelazione o risolto il sistema (6.42). Gli stimatori spettrali parametrici sono particolarmente buoni ed efficienti se il modello usato è a) aderente ai dati, b) non ha un numero troppo elevato di parametri.

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71 Passaggio ad altre Slide (01 e 02 da 12)

72 LA CONVOLUZIONE TEOREMA: La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle due funzioni La convoluzione è un'operazione tra due funzioni che genera una terza funzione che viene vista come la versione modificata di una delle due funzioni iniziali. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata. La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

73 La convoluzionee l operatore con cui sono descritti i filtraggi lineari nel dominio spaziale. La convoluzione e l applicazione ad una funzione f di una funzione h chiamata filtro (o filter kernel). Nel dominio discreto e data da una somma di prodotti tra gli elementi di f e i coefficienti di h. Per la corrispondenza fra dominio spaziale e dominio delle frequenze si hanno le seguenti relazioni:

74 CONVOLUZIONE NEL DOMINIO DEL TEMPO Per calcolare una convoluzione nel dominio del tempo bisogna successivamente eseguire le seguenti operazioni: 1) Invertire l'asse di rappresentazione di uno dei due segnali [Si passa cioè da x(t) a x( -t) oppure da y(t) a y( -t)]; 2) sul segnale il cui asse è stato invertito operare una traslazione che è negativa quando avviene verso sinistra e positiva quando avviene verso destra; 3) calcolare il prodotto tra il segnale traslato e l'altro non traslato; 4) calcolare l'area del prodotto.

75 ESEMPIO: consideriamo le due funzioni in figura. Prima dell integrazione, occorre costruire la g(x-α). A tal fine, bisogna ribaltare g(α) rispetto all origine, in modo da ottenere g(-α), e quindi traslare la funzione così ottenuta di una quantità x. A questo punto, per ciascun valore di x, f(α) deve essere moltiplicata per il corrispondente valore di g(x-α), ed infine il prodotto così ottenuto (area grigia nelle figure) deve essere integrato. Per x interno all intervallo [0,1], il prodotto è 0 per a esterno all intervallo [0,x]. Il risultato dell integrazione è quindi x/2 per 0 x 1. Invece, per x interno all intervallo [1,2], il risultato è 1 x/2. Infine, il prodotto è 0 per x esterno all intervallo [0,2]

76 Convoluzione di una f(x) con funzioni di tipo impulsivo. L impulso δ(x-x0) può essere considerato come avente area unitaria in un intorno infinitesimo di x0 e area nulla altrove. Si può dire pertanto che δ(x-x0) è localizzato in x = x0, e che l ampiezza dell impulso è determinata dal valore di f(x) in x = x0. Data f(x) = A, Aδ(x-x0) è un impulso di ampiezza A localizzato in x = x0. Un esempio interessante di convoluzione è quella tra una funzione f(x) e un treno di impulsi. In questo caso, il risultato è la replica della f(x) nei punti di localizzazione degli impulsi.

77 CONVOLUZIONE DI UNA FUNZIONE RUMOROSA La convoluzione tra una funzione rumorosa e un impulso rettangolare di larghezza finita, per ogni valore di x viene in pratica effettuate una media locale su un intervallo di ampiezza unitaria. Questa operazione sopprime le oscillazioni rapide ovvero i dettagli, cioè le componenti di alta frequenza del segnale, mantenendone la forma, cioè le componenti di bassa frequenza. Possiamo considerare la g(x) come un filtro passa-basso: in pratica ha effettuato lo smoothing della funzione rumorosa.

78 CONVOLUZIONE DI UNA FUNZIONE LENTA Sia la f(x) rappresenta una transizione piuttosto lenta, tipicamente un contorno o un edge, e la g(x), invece, presenta un lobo centrale positivo e due laterali negativi La convoluzione tra queste funzioni ha come risultato una funzione che mostra una pendenza maggiore di quella della f(x), con una evidenziazione delle componenti di alta frequenza del segnale, e una sovraelongazione (ringing) sui due lati dell edge. Quindi la g(x) ha il comportamento tipico di un filtro passa-alto: in pratica ha effettuato lo sharpening della f(x)

79 CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE Il campionamento è il primo passo del processo di conversione analogicodigitale di un segnale. Il teorema del campionamento è uno dei teoremi base della teoria dei segnali Mette in relazione il contenuto di informazione di un segnale campionato con la frequenza di campionamento e le componenti minime e massime di frequenza del segnale analogico originale, definendo così la minima frequenza necessaria per campionare un segnale analogico senza perdere informazioni e per poter quindi ricostruire il segnale analogico tempo continuo originario, detta frequenza di Nyquist o cadenza di Nyquist.

80 CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE Il teorema del campionamento (o teorema di Nyquist-Shannon) afferma che, per campionare correttamente (senza perdita di informazioni) un segnale a banda limitata, è sufficiente campionarlo con una frequenza di campionamento pari almeno al doppio della massima frequenza del segnale (tale frequenza viene anche detta frequenza di Nyquist). Supponiamo di voler campionare un segnale sinusoidale con f = 1 khz e periodo T = 1/f = 1 ms. Il teorema del campionamento afferma che per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento almeno doppia della frequenza di segnale 1 khz. Dunque fcamp > 2 khz e Tcamp < 0.5 ms. Come si può notare, questo valore corrisponde a campionare il segnale due volte per ogni periodo, come mostrato in figura:

81 In realtà il risultato del teorema di Shannon, così come è stato esposto, è puramente teorico, per diverse ragioni: 1. la condizione fcamp = 2 fsegnale vale solo se il segnale è rigorosamente a banda limitata, cioè se è possibile individuare nel suo spettro una frequenza massima; a parte le sinusoidi, nessun segnale reale di interesse pratico ha una banda limitata. 2. il campionamento dev'essere effettuato in modo sincrono con i massimi e i minimi del segnale sinusoidale; se i campioni non sono esattamente sincronizzati con le variazioni del segnale, la ricostruzione del segnale non è fedele. 3. per ricostruire il segnale sinusoidale a partire dai suoi (pochi) campioni, occore avere a disposizione un filtro passa-basso ideale, in grado di eliminare dal segnale campionato tutte le armoniche con frequenza superiore a fsegnale e a far passare tutte le altre senza attenuazione; un filtro del genere non è realizzabile nella pratica.

82 SPETTRO DI UN SEGNALE CAMPIONATO Consideriamo ora un ipotetico segnale periodico a banda limitata, costituito da 5 righe spettrali con frequenze 100, 200, 300, 400 e 500 Hz. Il periodo del segnale è il reciproco della frequenza della prima armonica (la fondamentale), perciò T = 1/100 = 10 ms

83 SPETTRO DI UN SEGNALE CAMPIONATO In base al teorema del campionamento di Shannon, per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento fcamp che sia fcamp > 2 fmax, dove fmax è la massima frequenza delle armoniche del segnale. Nel nostro caso fmax = 500 Hz e dunque la frequenza di campionamento dev'essere pari o superiore a 1000 Hz. Supponiamo per esempio di scegliere fcamp= 2 khz. Tale frequenza corrisponde a un periodo di campionamento Tcamp = 0,5 ms, cioè a 20 campioni per ogni periodo del segnale. Nella figura seguente i campioni sono rappresentati dalle righe rosse verticali (idealmente con durata brevissima o zero). Attenzione a non confondere tali impulsi di campionamento con le righe dello spettro, che sono tutt'altra cosa!

84 SPETTRO DI UN SEGNALE CAMPIONATO E' possibile dimostrare che lo spettro del segnale campionato è formato da una serie di repliche dello spettro del segnale periodico originario. Tali repliche sono centrate intorno a multipli della frequenza di campionamento (cioè nel nostro caso 2 khz).

85 SPETTRO DI UN SEGNALE CAMPIONATO La figura seguente mette in evidenza come è fatto lo spettro del segnale campionato. Alle basse frequenze (fino a 500 Hz) esso è identico allo spettro del segnale originario. Intorno alla frequenza di campionamento di 2000 Hz troviamo due repliche dello spettro del segnale originario, una capovolta specularmente (da 1500 a 1900 Hz) e l'altra semplicemente traslata in frequenza (da 1600 a 2500 Hz). La situazione si ripete identica alle frequenze più alte, in corrispondenza del doppio, triplo eccetera della frequenza di campionamento

86 CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE A seguito di Campionamento il risultato è un segnale analogico in tempo discreto, che viene in seguito quantizzato, codificato e reso accessibile a qualsiasi elaboratore digitale. Il teorema del campionamento pone un vincolo per la progettazione di apparati di conversione analogico-digitale: se si ha a disposizione un campionatore che lavora a frequenza fs, è necessario mandargli in ingresso un segnale a banda limitata da fs\2. In generale, tuttavia, un segnale analogico non è limitato in frequenza, ma deve essere filtrato per eliminare le componenti di frequenza maggiore di fs/2; a tale scopo si usa un filtro anti-alias Segnale analogico Segnale analogico campionato

87 QUANTIZZAZIONE DI UN SEGNALE Supponiamo di avere un generico segnale s(t) tempo-continuo e di volerlo trasmettere da una sorgente ad un ricevitore, tramite un apposito mezzo trasmissivo. La prima cosa da fare è quella di effettuare il campionamento di tale segnale: questo significa, come sappiamo, prendere i valori che il segnale assume in istanti di tempo t=nt multipli di una quantità fissa T( periodo di campionamento). Otteniamo cosi infiniti (a livello teorico) campioni s(nt) del segnale: ciascuno di questi campioni rappresenta, per l istante un cui è stato misurato, il valore che x(t) assume in quell istante. Il passo successivo consiste nell inviare i campioni del nostro segnale dalla sorgente al ricevitore. Un metodo possibile, usato nei sistemi di trasmissione digitale, consiste nell inviare per ciascun campione, una corrispondente sequenza di bit. Facciamo intanto l ipotesi che i valori assunti dal segnale siano compresi in un intervallo che chiamiamo Range e facciamo anche l ipotesi che tale intervallo sia simmetrico rispetto all asse delle ascisse, per cui sia del tipo [-a,+a]