NonsoloMatematica. Indice. Tutto quello che ti serve per eseguire i calcoli di Fisica. 1 Schede di matematica, M2

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1 NonsoloMatematica Tutto quello che ti serve per eseguire i calcoli di Fisica Indice Schede di matematica, M. Grandezze direttamente proporzionali, M. Grandezze con proporzionalità quadratica, M7.3 Grandezze inversamente proporzionali, M.4 Arrotondamento, M6. Potenze e notazione scientifica, M8.6 Equivalenze, M.7 Risoluzione di equazioni, M30.8 Geometria piana, M34 Fare amicizia con la calcolatrice, M38. Una questione di atteggiamento, M38. L approccio iniziale, M39.3 Calcolo aritmetico, M40.4 Calcolo con numeri in notazione esponenziale, M4. Formule più complesse, M43.6 Funzioni trigonometriche, M4.7 La funzione esponenziale y x, M47 3 Come affrontare gli esercizi e i problemi, M48 3. Indicazioni metodologiche, M48 3. Due esempi, M49 S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

2 M Schede di matematica. Grandezze direttamente proporzionali Devi sapere Se una maglia costa Euro, due maglie dello stesso tipo costano 0 Euro, mentre per tre si devono pagare 7 Euro e così via. Non crediamo che quanto appena detto ti sorprenda più di tanto Ma possiamo dire che vi sia una relazione tra il numero delle maglie e il costo complessivo? Prima di rispondere, organizziamo i dati in questione tramite uno schema. Il numero delle maglie è arbitrario, nel senso che l acquirente è libero in teoria di comprare quante maglie vuole. Per questo motivo la quantità di maglie è detta variabile indipendente e si indica con il simbolo ; invece, il costo complessivo corrispondente è una conseguenza di quante maglie sono state comprate, per cui è detto variabile dipendente e si indica con il simbolo. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Tabella Come puoi osservare, nella terza colonna della tabella risulta che il rapporto tra il costo complessivo delle maglie e il loro numero è costante: costo numero maglie numero maglie = = costante costo (Euro) / costo numero maglie / = 0 0/ = 3 7 7/3 = /4 =

3 NonsoloMatematica M3 In generale, quando due grandezze e possiedono questa proprietà, si dice che sono direttamente proporzionali. Conseguentemente, possiamo affermare che il numero delle maglie e il costo totale sono due quantità tra loro direttamente proporzionali. a proprietà Il rapporto tra due grandezze direttamente proporzionali e è costante: = K = costante a proprietà Due grandezze direttamente proporzionali e sono legate mediante un equazione del tipo: = K (A partire da moltiplicando per a sinistra e a destra del segno uguale, si = K, ottiene cercata). = K e, semplificando la al primo membro, si trova l equazione Sempre con riguardo alla tabella, indichiamo ogni singola maglia con un cerchietto e il prezzo unitario di Euro con un quadratino. I dati possono essere schematizzati secondo quanto riportato in tabella. Tabella numero maglie costo (Euro) Osservando questa seconda tabella, è facile rilevare visivamente che: se il numero delle maglie raddoppia, anche il costo totale raddoppia; se il numero delle maglie triplica, allora il costo totale triplica. E così via Questa è una caratteristica molto importante delle grandezze direttamente proporzionali. 3 a proprietà Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se aumentano o diminuiscono allo stesso modo: raddoppiando, triplicando ecc. una grandezza, anche l altra raddoppia, triplica ecc.; se una diventa la metà, un terzo, a sua volta l altra diventa la metà, un terzo S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

4 M4 NonsoloMatematica Completiamo la trattazione parlando del grafico. (Euro) 00 0 O 3 4 (numero maglie) La matematica ci fornisce uno strumento efficace per rappresentare la tabella : il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali. Si tratta di due rette perpendicolari e orientate, il cui punto di intersezione è detto origine O. Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o asse ) vengono riportati di solito i valori della variabile indipendente, che nel nostro caso è il numero delle maglie. Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o asse ) vengono riportati i valori dell altra variabile, quella dipendente, cioè il costo totale. Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi al numero delle maglie e al costo corrispondente, si ottiene una retta. 4 a proprietà La rappresentazione grafica di due grandezze direttamente proporzionali è costituita da una retta. Provaci tu Per cominciare a verificare la tua comprensione di questo argomento, segui il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. p = 9 cm p = 8 cm p = 7 cm S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 3 cm 6 cm 9 cm Se un triangolo equilatero ha il lato che vale 3 cm, il suo perimetro vale 9 cm. Se il lato è 6 cm, il perimetro diventa 8 cm. Se il lato vale 9 cm, il perimetro cresce a 7 cm

5 NonsoloMatematica M Organizza questi dati, completando la tabella 3. Nella terza colonna calcola, in corrispondenza di ogni riga, il rapporto / e inserisci i risultati. Tabella 3 / lato perimetro perimetro (cm) (cm) lato 3 9 9/3 = Qual è la variabile indipendente?. Con quale simbolo è indicata?.. Qual è la variabile dipendente?. Con quale simbolo è indicata?. a proprietà Il rapporto / è.... Il suo valore è.... a proprietà Le due grandezze sono legate dall equazione: = 3 a proprietà Se la raddoppia e passa da 3 a 6, la e passa da 9 a Se la triplica e passa da 3 a 9, la e passa da 9 a. 4 a proprietà Esegui la rappresentazione grafica nello spazio qui sotto. Il grafico è una Al valore 6 cm sull asse corrisponde il valore.. cm sull asse. Al valore 8 cm sull asse corrisponde il valore cm sull asse. Al valore 7 cm sull asse corrisponde il valore cm sull asse. (cm) 36 8 O (cm) S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

6 M6 NonsoloMatematica È tutto chiaro? Controlla! Svolgi ora da solo gli esercizi proposti qui di seguito. Cerca di riconoscere quali delle seguenti tabelle rappresentano grandezze direttamente proporzionali e quali no. In caso di risposta affermativa, verifica le proprietà,, 3 in modo analogo a quanto visto nell esempio e nel percorso guidato e poi esegui la corrispondente rappresentazione grafica. Tabella A Tabella B Tabella C Tabella D 3, 3 4 / , , / , Tabella E Tabella F Tabella G Tabella H 3 0 0, 0, 0,6 0, ,4 0,0,, ,6 0,7,8, ,8,00,4 4,0 Completa le seguenti tabelle in modo che e risultino grandezze direttamente proporzionali: Tabella A Tabella B Tabella C Tabella D 0,4 40 /3 0,8 0, 00 6 S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00,6 4/3 0,8 40

7 NonsoloMatematica M7. Grandezze con proporzionalità quadratica Devi sapere m m Se un cubo ha lo spigolo di m, l area della superficie è data dal prodotto del numero delle sue facce (6) e l area del quadrato di base di lato m, cioè 6 = 6 m. Se lo spigolo è invece di m, allora l area vale 6 = 4 m. Continuando, se è di 3 m, l area diventa 6 3 = 4 m e così via C è una relazione tra lunghezza dello spigolo e area della superficie del cubo? Proviamo a cercarla organizzando i dati in una semplice tabella. Dato che lo spigolo può essere scelto arbitrariamente, lo assumiamo come variabile indipendente (), mentre l area in questione, essendo una conseguenza della lunghezza dello spigolo, la consideriamo come variabile dipendente (). Tabella / lato spigolo al quadrato area totale area (m) (m ) (m ) spigolo al quadrato 6 6/ = /4 = /9 = /6 = 6 Come puoi osservare, nella quarta colonna si ha che il rapporto tra l area della superficie del cubo e il suo spigolo al quadrato è costante: area spigolo al quadrato = 6 = costante In generale, quando due grandezze e possiedono questa proprietà, si dice che tra di loro vi è una relazione di proporzionalità quadratica. Perciò, nel nostro caso, possiamo dire che tra il lato del cubo e la sua area superficiale esiste una relazione di proporzionalità quadratica. a proprietà Due grandezze sono legate da una proporzionalità quadratica quando il rapporto tra una grandezza e il quadrato dell altra è costante (oppure, con lo stesso significato: quando una grandezza e il quadrato dell altra sono direttamente proporzionali): = K = costante S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

8 M8 NonsoloMatematica a proprietà L equazione che rappresenta due grandezze con proporzionalità quadratica è: = K (Moltiplicando per a sinistra e a destra del segno uguale la relazione = K, si ha = K. Semplificando la al primo membro, si trova l equazione scritta prima.) Ritornando alla tabella, indichiamo lo spigolo di m con un cerchietto e l area di 6 m della superifice del cubo che ha tale spigolo con un quadratino. Possiamo riassumere i risultati nella maniera seguente: Tabella lunghezza spigolo area (m) (m ) Dalla tabella si deduce chiaramente che: se la lunghezza dello spigolo raddoppia, l area superficiale del cubo quadruplica; se lo spigolo triplica, allora l area risulta moltiplicata per 9. E così via Questa è la proprietà che caratterizza le grandezze che si trovano tra loro in una relazione di proporzionalità quadratica. 3 a proprietà Si dice che due grandezze e sono legate da una relazione di proporzionalità quadratica se, moltiplicando la per, 3, 4 ecc., la viene moltiplicata per, 3, 4 ecc. Invece, se la prima diventa la metà, un terzo ecc., la seconda diventa /4, /9, Vediamo le conseguenze a livello grafico della proporzionalità quadratica. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 (m ) O 3 4 (m) 4 a proprietà Riportiamo sull asse delle ascisse (), come si fa solitamente, i valori della variabile indipendente, che nel nostro caso è la lunghezza dello spigolo del cubo. Sull asse delle ordinate () riportiamo i valori dell altra variabile, quella dipendente, cioè l area della superficie del cubo. Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi al lato e all area corrispondente, otteniamo una parabola. La rappresentazione grafica di due grandezze tra cui vi è una proporzionalità quadratica è un tratto di parabola.

9 NonsoloMatematica M9 Provaci tu Per consolidare quanto hai or ora letto, svolgi il percorso guidato che segue, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. s, m s,00 m s, m Mentre una palla rotola senza attrito lungo una discesa, vengono scattate delle fotografie ogni secondo. Misurando in ognuno di tali intervalli di tempo lo spazio percorso, si trova che la palla ha compiuto, m dopo s, quindi,00 m dopo s, poi, m dopo 3 s e, infine, dopo 4 s il percorso totale risulta di 0,00 m. Organizza i dati nella tabella 3, inserendo i valori corretti negli spazi lasciati liberi. Tabella 3 / tempo tempo al quadrato spazio spazio (s) (s ) (m) tempo al quadrato,,/() =, Dopo aver completato la terza colonna in base al testo, calcola relativamente a ogni riga il rapporto / e inserisci i risultati nella quarta colonna. Qual è la variabile indipendente?. Con quale simbolo è indicata?. Qual è la variabile dipendente?. Con quale simbolo è indicata?. a proprietà Il rapporto / è. Il suo valore è... Questa stessa proprietà può essere enunciata dicendo che.. e.. sono direttamente proporzionali. a proprietà Le due grandezze sono legate dall equazione: = 3 a proprietà Se la raddoppia e passa da a, la. e passa da, a. Se la triplica e passa da a 3, la.. e passa da, a. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

10 M0 NonsoloMatematica 4 a proprietà Esegui la rappresentazione grafica qui sotto. Il grafico è una Al valore 4 s sull asse corrisponde il valore.. m sull asse. Al valore, m sull asse corrisponde il valore.. s sull asse. Al valore 0,00 m sull asse corrisponde il valore.. s sull asse. (m) O 3 4 (s) È tutto chiaro? Controlla! Se hai capito bene le caratteristiche della proporzionalità quadratica, puoi tentare di svolgere gli esercizi. Individua quali tra le seguenti tabelle rappresentano grandezze e legate fra loro da una relazione di proporzionalità quadratica e quali no. In caso di risposta affermativa, verifica le proprietà, e 3 in modo analogo a quanto visto nell esempio e nel percorso guidato e poi esegui la rappresentazione grafica. Tabella A Tabella B Tabella C / / / 3 3 0, 0,8 8 6,0, ,, ,0 3, S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Tabella D / Tabella E / Tabella F / / 0, 0,4 3/ 0,9,6

11 NonsoloMatematica M Completa le seguenti tabelle, nell ipotesi che e siano grandezze che hanno fra loro una relazione di proporzionalità quadratica. Tabella A Tabella B Tabella C Tabella D 3 6 / / 60 6 / / Grandezze inversamente proporzionali Devi sapere 4 = = = 48 Un rettangolo ha un area fissa di 48 cm. Se la sua base misura 4 cm, l altezza è di cm; se la base è di 8 cm, allora l altezza deve essere di 6 cm; se vale 6 cm, allora l altezza diventa 3 cm Riesci a intuire quale relazione lega la base del rettangolo all altezza, nel caso in cui l area rimanga comunque costante? Riordiniamo i dati secondo una tabella. La scelta della base è arbitraria (variabile indipendente ), mentre l altezza viene determinata di conseguenza (variabile dipendente ). Come puoi osservare, nella terza colonna si ha che il prodotto tra la base e l altezza non cambia mai: base altezza = 48 = costante Tabella base altezza base altezza (cm) (cm) (cm ) = = = = 48 S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

12 M NonsoloMatematica In generale, quando due grandezze e possiedono questa proprietà, vengono dette inversamente proporzionali. Dunque, la base e l altezza dell esempio da noi proposto sono inversamente proporzionali. a proprietà Il prodotto tra due grandezze inversamente proporzionali è costante: = K = costante a proprietà La rappresentazione matematica di due grandezze inversamente proporzionali ha come equazione: = K (Si può ricavare l equazione così scritta da = K, dividendo per a sinistra e a destra dell uguale: K =. Semplificando poi la al primo membro, si ottiene l equazione voluta). Rielaboriamo la tabella, indicando la lunghezza da cm della base con un cerchietto e la lunghezza da 4 cm con un quadratino. Otteniamo in questa maniera la tabella. Tabella base altezza (cm) (cm) S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Puoi constatare visivamente in modo immediato che: se la lunghezza della base raddoppia, l altezza diventa la metà; se la lunghezza della base triplica, allora l altezza diventa un terzo. E così via. Questa è la caratteristica fondamentale delle grandezze inversamente proporzionali. 3 a proprietà Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando una, l altra diventa la metà, un terzo E se una diventa la metà, un terzo, a sua volta l altra diventa il doppio, il triplo

13 NonsoloMatematica M3 Esaminiamo le conseguenze grafiche di questo tipo di proporzionalità. (cm) O 3 4 (cm) Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o delle ) riportiamo di solito i valori della variabile indipendente, che in questo caso è la lunghezza della base. Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o delle ) disponiamo i valori dell altra variabile, quella dipendente, vale a dire la lunghezza dell altezza. Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi alla base e all altezza, tracciamo una curva che viene denominata ramo di iperbole. 4 a proprietà La rappresentazione grafica di due grandezze inversamente proporzionali è un ramo di iperbole. Provaci tu Completa il percorso guidato nella pagina seguente inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. In un negozio specializzato ci sono numerose confezioni di caramelle. Abbiamo a disposizione complessivamente 30 Euro. Se scegliamo la confezione più piccola, che costa,0 Euro, possiamo comprare confezioni. Se ci orientiamo su quella da Euro, riusciamo a comprarne 6. Ma se ci facciamo tentare da quella il cui prezzo è 7,0 Euro, scendiamo a 4 confezioni, e solo a 3 se desideriamo la confezione da 0 Euro S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

14 M4 NonsoloMatematica Completa la tabella 3, che serve per riassumere le varie possibili combinazioni ora espresse. Tabella 3 costo numero di costo numero (Euro/confezione) confezioni (Euro),0,0 = 30 7,0 0 Nella terza colonna calcola, in corrispondenza di ogni riga, il prodotto e inserisci i risultati. Qual è la variabile indipendente?. Con quale simbolo è indicata? Qual è la variabile dipendente?. Con quale simbolo è indicata? a proprietà Il prodotto è Il suo valore è.. a proprietà Le due grandezze sono legate dall equazione: 3 a proprietà Se la raddoppia e passa da,0 a Euro, la e passa da a Se la triplica e passa da,0 a 7,0 Euro, la e passa da a 4 a proprietà Esegui la rappresentazione grafica nello spazio fornito sotto. Il grafico è una Al valore Euro sull asse corrisponde il valore. sull asse. Al valore 4 sull asse corrisponde il valore. Euro sull asse. Al valore 3 sull asse corrisponde il valore. Euro sull asse. =... S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 (numero di confezioni) O 0 0 (Euro/ confezione)

15 NonsoloMatematica M È tutto chiaro? Controlla! Ti proponiamo di mettere alla prova la tua comprensione sulla proporzionalità inversa con i seguenti esercizi. Individua quali tra le tabelle riportate qui sotto rappresentano grandezze inversamente proporzionali e quali no. In caso di risposta affermativa verifica le proprietà,, 3 in modo analogo a quanto visto nel percorso guidato e poi esegui la corrispondente rappresentazione grafica. Tabella A Tabella B Tabella C Tabella D /, /8 0 0, /0 0, /4 0 0, Tabella E Tabella F Tabella G Tabella H 0, / ,3 4 0, /8 6 7, 0 0 0,6 8 0,4 / ,9 0,8 /3 3,7 00, 6 Completa le seguenti tabelle in modo che, risultino grandezze inversamente proporzionali: Tabella A Tabella B Tabella C Tabella D 0, 4/ 0, ,8 / 4 4 S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

16 M6 NonsoloMatematica.4 Arrotondamento Devi sapere Non sempre anzi, quasi mai! i risultati finali o intermedi dei calcoli danno valori numerici con un numero di cifre limitato. Al contrario, capita con una certa frequenza di avere a che fare con numeri con molte o, in teoria, infinite cifre (prendi per esempio il valore di π) e di ritrovarsi quindi con la necessità di arrotondarli. Prendiamo il caso della divisione: 0,/,8 = 0, È evidente che non ci servono tutte le cifre, per cui ricorriamo all arrotondamento matematico. ARROTONDAMENTO MATEMATICO Per tagliare un numero in corrispondenza di una determinata cifra, si osserva la cifra immediatamente successiva (cioè alla sua destra): se quest ultima cifra va da 0 a 4, allora si arrotonda il numero per difetto, vale a dire che il numero viene scritto immutato fino alla cifra scelta, eliminando semplicemente quelle successive; se, invece, la cifra alla quale si vuole interrompere la scrittura del numero è seguita da una cifra che va da a 9, in tal caso l arrotondamento viene fatto per eccesso, per cui si incrementa di la cifra alla quale si vuole interrompere il numero e, come prima, si taglia la parte restante. Arrotondamento per difetto Esempio Supponi di volere riportare il numero 0, solamente con cinque cifre decimali. Devi scrivere il numero fino alla cifra che ora indichiamo in grassetto (il secondo 7 dopo la virgola): 0, Dunque, va eliminata la parte alla destra del 7. La prima cifra a destra del 7 è quella che riportiamo in rosso: 0, Dato che tale cifra è compresa tra 0 e 4, l arrotondamento va eseguito per difetto. Trovi in conclusione: 0, , S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Ricorda! Dopo averlo arrotondato, il numero non deve cambiare ordine di grandezza. Se cioè arrotondi 0,00668, non puoi trovare 0,67 o 67. Così come, se arrotondi 3489, non puoi avere alla fine 346 (bensì !). Arrotondamento per eccesso Esempio Supponi di volere riportare il numero 0, solamente con quattro cifre decimali. Il numero va scritto fino alla cifra indicata in grassetto (il primo 7 dopo la virgola): 0, Devi eliminare la parte alla destra del 7. La cifra successiva rispetto al primo 7 dopo la virgola la indichiamo in rosso: 0, Dato che tale cifra in questione si trova tra il e il 9, è necessario arrotondare per eccesso, aumentando il 7 di e portandolo a 8. Alla fine hai: 0, ,

17 NonsoloMatematica M7 Provaci tu Verifica se hai capito come arrotondare i numeri, svolgendo il percorso degli esempi sottostanti, completando le parti in cui compaiono i puntini. Arrotonda il numero 0, scrivendolo con sei cifre decimali. Sulla base di quanto visto, puoi evidenziare la cifra interessata: 0, Dopodiché, evidenzi la cifra immediatamente alla sua destra, che è: 0, Dato che quest ultima cifra è compresa fra e, si deve arrotondare per Il risultato finale è perciò: 0, Arrotonda il numero 0, scrivendolo con sette cifre decimali. Come prima cosa, evidenzi la cifra in questione: 0, Dopodiché, evidenzi la cifra successiva, vale a dire: 0, Poiché quest ultima cifra è compresa fra e.., l arrotondamento va eseguito per Il numero arrotondato è quindi: 0, È tutto chiaro? Controlla! Arrotonda per eccesso o per difetto, a seconda dei casi, i seguenti numeri, scrivendoli fino alla cifra (compresa!) riportata in grassetto , , , ,087 43,9487 0, , 0, , , S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

18 M8 NonsoloMatematica. Potenze e notazione scientifica Potenze Devi sapere Nella tabella riassumiamo, con i rispettivi esempi, le proprietà sulle potenze che devi ripassare. Tabella proprietà delle potenze esempio di applicazione a m a n = a m + n () 3 7 = = 0 a m : a n = a m n () 7 8 : 7 = 7 8 = 7 6 (a m ) n = a m n (3) (9 4 ) 3 = = 9 a n = (4) n a Provaci tu Completa il percorso guidato che segue (tabella ), inserendo i risultati al posto dei puntini. Tabella passaggi proprietà da applicare [( 7 3 : 6 ) : ] = () = [(.. : 6 ) : ] = () = [(.. ) : ] = (3) = [.. : ] = () = [.. ] = (3) =.. = (4) = = 64 È il risultato cercato. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 È tutto chiaro? Controlla! Applicando le proprietà delle potenze risolvi i seguenti esercizi: : 0 4 [0 = 0] ( 4 ) 3 6 : ( ) [ = 4] 3 [( 3 : 4 ) 3 : ( ) ] = =

19 NonsoloMatematica M9 Notazione scientifica PREMESSA Non è raro avere a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli. L hard disk di un computer può avere una memoria di di byte. La traccia dei compact disk ha una larghezza all incirca di 0,00000 m. Scrivere dei numeri con molti zeri è scomodo e non facilita la comprensione. Per ovviare a questo inconveniente, si utilizza la notazione scientifica, che è una scrittura impostata nel modo seguente: A,bcd 0 n dove A è un numero intero compreso fra e 9, bcd sono le cifre decimali e 0 n rappresenta una potenza con base 0 ed esponente intero n. Vediamo come si procede. NUMERI MAGGIORI DI Devi sapere Supponiamo di avere un numero scritto normalmente, cioè nella notazione decimale, e di doverlo riscrivere ricorrendo alla notazione scientifica: notazione decimale notazione scientifica Esempio Scriviamo, usando la notazione scientifica, il numero Isoliamo la prima cifra () dal resto del numero Contiamo quante sono le cifre rimanenti dopo di essa (9)., Mettiamo la virgola dopo la prima cifra. Infine, moltiplichiamo, per 0 elevato 9., 0 9 È il risultato cercato. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

20 M0 NonsoloMatematica Ma può capitare di avere il problema inverso e di dover passare da un numero in notazione scientifica al numero scritto secondo la consueta notazione decimale: notazione scientifica notazione decimale Vediamo concretamente come è necessario procedere. Esempio Scriviamo, ricorrendo alla notazione decimale, il numero 8, Scriviamo il numero (8,97) che moltiplica la potenza del 0, togliendo la virgola. 8,97 0 Dall esponente del dieci () sottraiamo il numero di cifre decimali, cioè dopo la virgola () = 3. 89,7 Questa differenza ( 3), avendo segno negativo, esprime il fatto che le ultime 3 cifre (7) rimangono a destra della virgola. 89,7 È il risultato cercato. In questo esempio possiamo constatare come il risultato in effetti non porti ad altro che a spostare la virgola verso destra di un numero di posizioni pari all esponente del 0: 8, ,7 Provaci tu Consolida quanto appreso con il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Scrivi in notazione scientifica ,.. Isola la prima cifra () dal resto del numero. Conta quante sono le cifre rimanenti dopo di essa (.). Metti la virgola dopo la prima cifra. Infine, moltiplica per 0 elevato.. 7,94 0 È il risultato cercato.

21 NonsoloMatematica M Scrivi in notazione decimale, ,46 46 Scrivi il numero () che moltiplica la potenza del 0, togliendo la virgola. Dall esponente del dieci () sottrai il numero di cifre decimali, cioè dopo la virgola () = 4. Aggiungi, dopo il numero riportato senza virgola, tanti zeri quanti indicati dalla differenza appena trovata () È il risultato cercato. È tutto chiaro? Controlla! Prova ora ad allenarti senza nessun aiuto tramite gli esercizi che seguono. Scrivi in notazione scientifica: = 30 = = = =. 793 =. 7 7 = = Scrivi in notazione decimale: =.. 7, 0 4 = =.. 9,43 0 = , = 78 0 = 0 7 =.., =. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

22 M NonsoloMatematica NUMERI MINORI DI Devi sapere Ipotizziamo di avere un numero molto piccolo in notazione decimale e di volerlo riportare facendo uso della più comoda notazione scientifica: notazione decimale notazione scientifica Come prima, vediamo che cosa è necessario fare, esaminando degli esempi. Esempio Scrivi in notazione scientifica 0,000. 0,000 Conta le cifre decimali (4), cioè a destra della virgola, fino alla prima cifra diversa da zero (in questo esempio c è solo il ), che va contata. Scrivi da sola, eliminando tutti gli zeri che la precedono, la cifra in questione. 0 4 Prendi la potenza di 0 con esponente pari al numero di cifre decimali (4) contate in precedenza, con il segno però negativo ( 4). 0-4 È il risultato cercato. Esempio Riporta in notazione scientifica il numero 0, , Conta il numero delle cifre decimali (), cioè a destra della virgola, fino alla prima cifra (8) diversa da zero. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI ,39 Scrivi il numero eliminando tutti gli zeri che precedono la prima cifra non nulla (8). Metti la virgola subito a destra della prima cifra (che è sempre 8). 0 Prendi la potenza di 0 con esponente pari al numero di cifre decimali () contate in precedenza, con il segno però negativo ( ). 8, È il risultato cercato.

23 NonsoloMatematica M3 Anche nel caso di numeri molto piccoli può succedere di volere passare da un numero in notazione scientifica al suo corrispondente riportato in notazione decimale: notazione scientifica notazione decimale Ecco che cosa è necessario fare. Esempio 3 Scrivi in notazione decimale il numero 4 0. In sostanza la conversione consiste nell esecuzione di una moltiplicazione. Infatti, moltiplicare per 0 equivale a dividere per 0, vale a dire dividere per Scriviamo il numero (4) che moltiplica la potenza del 0. 0 Considera l esponente della base 0, non tenendo conto del segno () A sinistra del numero scritto prima (4), inseriamo tanti zeri () fino a raggiungere il valore senza segno dell esponente di 0. 0,00004 Inserisci la virgola subito a destra del primo zero. 0,00004 È il risultato cercato. Ti facciamo rilevare che, come nel risultato finale della conversione, la prima cifra diversa da zero (4) occupa la quinta () posizione dopo la virgola, così tale cifra coincide con il valore dell esponente di 0 (segno a parte). Esempio 4 Scrivi in notazione decimale il numero dato in notazione scientifica 7, Scrivi il numero che moltiplica la potenza di 0, senza la virgola (79). 0 4 Considera l esponente della base 0, non tenendo conto del segno (4) A sinistra del numero scritto prima (79), inseriamo tanti zeri (4) fino a raggiungere il valore senza segno dell esponente di 0. 0,00079 Inserisci la virgola subito a destra del primo zero. 0,00079 È il risultato cercato. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

24 M4 NonsoloMatematica Provaci tu Segui adesso il percorso guidato, costituito da due esercizi, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. Scrivi in notazione scientifica il numero 0, ,..3 0, , Conta il numero delle cifre decimali (), cioè a destra della virgola, fino alla prima cifra () diversa da Scrivi il numero eliminando tutti gli zeri che precedono la prima cifra non nulla (). Metti la virgola subito a destra della prima cifra (che è ). 0 Prendi la potenza di 0 con esponente pari al numero di cifre decimali () contate in precedenza, con il segno però negativo ( ). 9,3 0-7 È il risultato cercato. Scrivi in notazione decimale il numero scritto in notazione scientifica,8 0. Devi fondamentalmente effettuare una moltiplicazione. Moltiplicare per 0 equivale a dividere per 0, ovvero dividere per. Scrivi il numero che moltiplica la potenza di 0, senza la virgola ( ). 0 Considera l esponente della base 0, non tenendo conto del segno (). 0 0,.. A sinistra del numero scritto prima ( ), inserisci tanti zeri () fino a raggiungere il valore senza segno dell esponente di 0. Inserisci la virgola subito a destra del primo zero. 0,00008 È il risultato cercato. È tutto chiaro? Controlla! Seguono gli esercizi necessari a verificare la tua padronanza su questo argomento. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Scrivi in notazione scientifica: Scrivi in notazione decimale: 0, = =... 0,00 = 8 4,39 0 =.. 0, = =... 0, =.. 0 7, =... 0,0000 =, =. 0,86 = 37 0 =...

25 NonsoloMatematica M.6 Equivalenze In Fisica, così come in altre discipline scientifiche, ti capiterà spesso di dover riportare i dati in una differente unità rispetto a quella con cui vengono forniti. È più comodo esprimere la massa trasportata da questo grosso TIR in kilogrammi oppure utilizzando un suo multiplo come la tonnellata (che equivale a 000 kg)? Multipli Devi sapere I multipli e i sottomultipli delle unità di misura vengono indicati facendo precedere il nome dell unità considerata da un particolare prefisso, al quale corrisponde un simbolo letterale che a sua volta viene abbinato a quello che rappresenta l unità stessa. Nella tabella riportiamo i prefissi dei multipli, il simbolo con cui viene rappresentato, l operazione che bisogna effettuare rispetto all unità di base e la potenza del 0 corrispondente. In colore rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e che devi imparare: vi riconoscerai una terminologia familiare, in parte a causa della pratica quotidiana (il kilometro, per esempio) e in parte grazie all informatica, in cui è normale parlare di megabyte. (Se sulle potenze hai delle difficoltà, puoi consultare la precedente scheda di matematica Potenze e notazione scientifica). Tabella multipli prefisso simbolo operazione potenza di 0 tera T giga G mega M kilo k etto h 00 0 deca da 0 0 Vediamo alcuni esempi. (Non preoccuparti se non conosci tutte le unità di misura: concentrati piuttosto sui loro prefissi). S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

26 M6 NonsoloMatematica Ricorda! Quando passi da un multiplo all unità di base, il numero che ottieni al termine dell equivalenza deve essere più grande:, OPERAZIONI DIRETTE Esempio Quanti metri (m) corrispondono a,379 kilometri (km)? Come vedi dalla tabella, il prefisso «kilo» significa che devi moltiplicare per 000:,379 km =, = 379 m Ricorda! Quando passi da un unità di base a un suo multiplo, il numero che ottieni al termine dell equivalenza deve essere più piccolo: 4,4. OPERAZIONI INVERSE Esempio Quanti ettogrammi (hg) corrispondono a 4 grammi (g)? Dato che per trasformare gli ettogrammi in grammi è necessario moltiplicare per 00 (vedi tabella ), allora per passare dai grammi agli ettogrammi devi dividere per 00: 4 4 g = 00 =, 4 hg Provaci tu Effettua adesso i due seguenti percorsi guidati per verificare quanto hai appreso, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. Trasforma 33 megawatt (MW) in watt (W). Facendo riferimento alla tabella, puoi constatare che il prefisso «mega» vuol dire moltiplicare per : 33 MW = 33 = W Quando compaiono tanti zeri, ovviamente conviene utilizzare i multipli. Oppure, si fa ricorso alle potenze del 0, scrivendo semplicemente: 33 MW = W Trasforma byte (b) in gigabyte (Gb). Dal momento che «giga» vuol dire moltiplicare per, dovendo effettuare il passaggio inverso, devi dividere per tale numero: b = =. Gb S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Per una scrittura più compatta, talvolta è opportuno utilizzare le potenze del 0 con esponente negativo: Gb = 4,8 0 Gb Sottomultipli Devi sapere Nella tabella sono indicati i prefissi dei sottomultipli, il loro simbolo, l operazione che è necessario effettuare per passare all unità di base e la potenza del 0 relativa. In rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e che devi ricordare: anche qui ritroverai dei termini conosciuti (come il centimetro), mentre altri ti capiterà di incontrarli proprio nello studio della Fisica.

27 NonsoloMatematica M7 (Se con le potenze hai qualche problema, prima di continuare leggi la scheda di matematica Potenze e notazione scientifica). Tabella sottomultipli prefisso simbolo operazione potenza di 0 deci d : centi c : milli m : micro m : nano n : pico p : Ricorda! Non cadere nella trappola di pensare che deci, centi, milli vogliano dire per dieci, per cento, per mille perché al contrario significano diviso dieci, cento, mille OPERAZIONI DIRETTE Esempio 3 Quanti grammi (g) corrispondono a milligrammi (mg)? Come vedi dalla tabella, il prefisso «milli» significa che devi dividere per 000: mg = : 000 = 0, g OPERAZIONI INVERSE Esempio 4 Quanti nanosecondi (ns) corrispondono a 9,73 secondi (s)? Dato che per trasformare i secondi in nanosecondi bisogna dividere per (vedi tabella in corrispondenza del prefisso «nano»), ne segue che per il passaggio inverso devi moltiplicare per : 9,73 s = 9, = ns Ricorda! Quando passi da un sottomultiplo all unità di base, il numero che ottieni, una volta effettuata l equivalenza, deve essere più piccolo: 0,. Ricorda! Quando passi dall unità di base a un sottomultiplo, il numero trovato a conclusione dell equivalenza deve essere più grande: 9, Provaci tu Completa ora i seguenti percorsi guidati per controllare ciò che hai imparato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. 3 Trasforma 7 milliampere (ma) in ampere (A). Facendo riferimento alla tabella, puoi notare che il prefisso «milli» vuol dire dividere per..: 7 ma = 7 :.. =.. A Se preferisci utilizzare le potenze del 0 con esponente negativo, puoi anche scrivere: 7 ma = A. 4 Trasforma 0,00069 farad (F) in microfarad (mf). Dato che «micro» vuol dire dividere per, dovendo effettuare il passaggio inverso, è sufficiente che moltiplichi per.. : 0,00069 F = 0, =. μf Facendo uso della notazione scientifica, avresti: 0,00069 F =, F =,69 0 μf S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

28 M8 NonsoloMatematica Equivalenze miste Devi sapere Può risultare necessario dover passare da un multiplo dell unità di base a un sottomultiplo (dai kilometri ai centimetri), oppure da un sottomultiplo dell unità di base a un suo multiplo (per esempio, dai decigrammi agli etti). Per fare questo, non serve nessuna conoscenza ulteriore rispetto a quanto già visto, ma basta combinare i passaggi dal multiplo all unità di base e quindi da quest ultima al sottomultiplo; o viceversa Passiamo perciò direttamente agli esempi pratici. OPERAZIONI DIRETTE Esempio Quanti centimetri (cm) corrispondono a 0,4 kilometri (km)? Per passare dai kilometri ai metri bisogna moltiplicare per 000, ovvero per 0 3 ; mentre per passare dai metri ai centimetri si deve moltiplicare per 00, ovvero per 0. Dunque: 0,4 km = 0,4 000 m = 0, cm = 0, cm = cm Oppure, usando le potenze del 0: 0,4 km = 0,4 0 3 m = 0, cm = = 0, cm = 0,4 0 cm = cm In definitiva, è sufficiente moltiplicare per una potenza di 0 pari ai passaggi presenti dai kilometri ai centimetri: km hm dam m dm cm 3 4 OPERAZIONI INVERSE Esempio 6 Quanti megahertz (MHz) corrispondono a millihertz (mhz)? Per trasformare i millihertz in hertz devi dividere per 000, o in altri termini moltiplicare per 0 3 ; dopodiché, per avere i megahertz, devi dividere ancora per , vale a dire moltiplicare per 0 6 : mhz = : 000 Hz = = ( : 000) : MHz = = : MHz = 33,3 MHz S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Altrimenti: mhz = Hz = = MHz = = MHz = = MHz = 33,3 MHz In sostanza, quello che è necessario fare è moltiplicare per una potenza di 0 con esponente negativo pari ai passaggi presenti dai millihertz ai megahertz, che sono nove (tre dai millihertz agli hertz e sei dagli hertz ai megahertz).

29 NonsoloMatematica M9 Provaci tu Per verificare di avere compreso correttamente quanto esposto, affronta i due esempi guidati che seguono, completando i percorsi risolutivi là dove compaiono i puntini. Converti 0,963 kilovolt (kv) in millivolt (mv). Basandoti sui casi esaminati prima, puoi procedere così: 0,963 kv = 0,963. V = 0,963.. mv = 0,963. mv =. mv Ovviamente, se non vuoi riportare tanti zeri, puoi scrivere: 0,963 kv = mv o usare anche la notazione scientifica: 0,963 kv = 9,63 0 mv 6 Converti 348, centigrammi (cg) in ettogrammi (hg). Se vuoi dividere, ti basta fare questi passaggi: 348, cg = 348, :. g = (348, :.):. hg = 348, :. hg =. hg Nel caso tu voglia fare ricorso alle potenze di 0 con esponente negativo, dovrai moltiplicare: 348, cg = 348,. g = 348,.. hg = 348,. hg =. hg Con la notazione scientifica, avresti: 348, cg = 3,48 0 hg Ricorda! Nel Sistema Internazionale la massa è l unica grandezza che ha una unità di misura fondamentale con un prefisso: il kilogrammo, appunto, anziché semplicemente il grammo. Questo è dovuto a motivi storici. Cerca di non fare confusione, perché qui abbiamo fatto i diversi passaggi in relazione al grammo, dato che ci interessava l aspetto delle equivalenze da un punto di vista esclusivamente matematico. È tutto chiaro? Controlla! Risolvi le seguenti equivalenze: kilowatt. watt 3,60 ettolitri. litri hertz. megahertz 46 metri. decametri 90 centivolt. volt 84, centimetri. metri 0,00 86 farad. millifarad 0, secondi. microsecondi 0,443 kilometri. millimetri centigrammi. kilogrammi ettogrammi. decigrammi 0,043 kilowatt. milliwatt 784 decimetri. kilometri 300 centilitri. decalitri S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

30 M30 NonsoloMatematica.7 Risoluzione di equazioni Devi sapere Le equazioni sono delle uguaglianze tra due espressioni algebriche del tipo: 6 + = 0 membro membro A seconda del numero che sostituisci al posto della, l uguaglianza può risultare vera o falsa. Per esempio, se al posto di metti, avrai: Ricorda! Risolvere un equazione significa trovare un valore da attribuire all incognita () in modo tale che l uguaglianza risulti vera. 6 + = = = 0 3 = Ma 3 = non è vero, per cui sostituire alla rende falsa l uguaglianza. Dato che non è per niente comodo cercare mediante tentativi il valore che soddisfa l uguaglianza, per trovare una soluzione è preferibile seguire una particolare tecnica. Esaminiamo i casi di maggiore utilità per noi. Incognita in un solo membro Risolviamo, per iniziare, un tipo molto semplice di equazione: + 4 = 4 membro membro che cosa fare = 4 0 Porta al membro tutti i termini senza incognita, ricordando di cambiare segno. Esegui le operazioni di somma o di sottrazione al membro. Dividi ambo i membri per il coefficiente dell incognita : in questo caso. Semplifica opportunamente È il risultato cercato. S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 Tieni presente che scrivere + 4 = 4 oppure 4 = + 4 è la stessa cosa, per cui puoi scambiare fra loro i due membri, se ciò ti facilita la risoluzione dell equazione.

31 NonsoloMatematica M3 Incognita in entrambi i membri Vogliamo trovare la soluzione dell equazione: + 4 = 7 ( ) membro membro che cosa fare ( ) Esegui le operazioni che si possono eventualmente svolgere (potenze, prodotti e divisioni, somme e sottrazioni), sia al sia al membro. Porta tutti i termini con l incognita al membro, ricordando di cambiare segno a quelli che si trovavano al membro. Porta tutti i termini senza incognita al membro, ricordando di cambiare segno a quelli che si trovavano al membro Somma i termini simili in ciascun membro = 3 Dividi ambo i membri per il coefficiente dell incognita : in questo caso 33. Semplifica opportunamente È il risultato cercato. Formule inverse Anche le formule possono essere pensate come equazioni. Osserva la formula per calcolare l area A di un rettangolo di base b e altezza h: A = b h Supponi di dover calcolare la base b, noti A e h. Ora la b prende il posto dell incognita vista negli esempi precedenti. membro membro che cosa fare A b h Dividi sia al sia al membro per il termine (in questo caso h) che moltiplica la variabile da determinare (cioè la b). A h A h bh h b Semplifica la h al membro. b = A È il risultato cercato. h Dopodiché scambia l ordine dei due membri S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

32 M3 NonsoloMatematica Formule inverse con termini quadratici Data la formula: A = B C D intendiamo ricavare D. membro membro che cosa fare A A C B A C B C B B C D B C D D Sia al sia al membro dividi per B e contemporaneamente moltiplica per C: in altre parole moltiplica C per che è in sostanza il reciproco del termine che B, moltiplica D (il quadrato di D che dobbiamo ricavare). Semplifica al membro. Poi scambia l ordine dei due membri. D A C B Infine, estraendo la radice quadrata D =± AC B È il risultato cercato. Provaci tu Seguendo i suggerimenti via via forniti, risolvi le equazioni proposte nei due esercizi che seguono, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. Ricava l incognita nell equazione: ( ) = 3 (4 ) + membro membro che cosa fare S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 ( ) 3 (4 ) Somma i termini simili. Esegui le operazioni (potenze, prodotti e divisioni, somme e sottrazioni) che compaiono nei due membri. Porta al membro i termini con l incognita che si trovano al membro, ricordandoti di cambiare il segno. Porta al membro i termini senza incognita che si trovano al membro, ricordandoti di cambiare il segno. 7.. Dividi ambo i membri per il coefficiente dell incognita, cioè. 7. = Semplificando opportunamente ricavi È il risultato cercato.

33 NonsoloMatematica M33 Determina l altezza h di un triangolo, conoscendo l area A e la base b, sapendo che l area del triangolo è data dalla formula: A = b h Adesso è la h a svolgere il ruolo di incognita, mentre il prende il posto di una lettera. membro membro che cosa fare A. A.. A.... b h h Sia al sia al membro dividi per e contemporaneamente moltiplica per : in altre parole moltiplica per. che è in sostanza il reciproco del termine che. moltiplica h). Semplifica al membro. Scambia quindi l ordine dei due membri. A h = È il risultato cercato. b È tutto chiaro? Controlla! Risolvi le seguenti equazioni: ( + ) = 3 ( 3) [ = 3/] ( 3) = (7 + ) [ = 0,] ( ) + 3 = ( + ) 7 + [ = ] ( 4) 6 ( + ) 3 = 7 ( ) + 3 ( ) [ = 9/4] + 3 (3 6) = ( + 9) + [ = ] Nelle seguenti formule ricava la/e lettere indicate tra parentesi: 6 A = D d (D) [ A/d] 7 d = L (L) [ d /] 8 A = 4 π r (r) ± A π V = 4 r 3 π 3 I = C + C C h = C I A = B D C A = B D C (r) (C ) (I) (B, C, D) 3 V 4 π ± I C C C h [A C/D; ; ] (B, C, D) B ; ; A D 3 S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

34 M34 NonsoloMatematica 4 A = B C (B, C), ± B/ A A B = C D (A, B, C, D) C ; ; ; A B.8 Geometria piana Devi sapere Sintesi di geometria piana. Tabella figura area proprietà A C AB = b h CH = h 90 H b B triangolo scaleno b h AB CH area = = C AC = c c c 90 CB = c 90 A H B triangolo rettangolo c c AC CB area = = teorema di Pitagora AB = AC + CB AC = AB BC C 60 h A H l/ B triangolo equilatero l CB = l HB = l/ l area = 3 4 CB area = 3 4 triangolo HBC ( ) h = l 3 h l = 3 D A C d h 90 b B rettangolo AB = b BC = h AC = d area = b h area = AB BC diagonale AC = AB + BC S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 D C 4 d 4 90 A l B quadrato r O cerchio AB = l AC = d area = l area = AB area = π r triangolo ABC ( ) d = l d l = lunghezza della circonferenza (contorno del cerchio) L = π r

35 NonsoloMatematica M3 Provaci tu Dopo avere ripassato le principali regole di geometria piana, ti proponiamo due percorsi guidati. Completali, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini. Formule dirette. Completa la tabella. Tabella figura dati trova svolgimento A C AB = b h CH = h 90 H b B triangolo scaleno AB = 0 cm CH = 8 cm l area AB area = =.. = = 40 cm C AC = c c c 90 CB = c 90 A H B triangolo rettangolo AC = cm BC = 0 cm l ipotenusa AB = AC + = = = = cm C 60 h A H l/ B triangolo equilatero l CB = l HB = l/ AB = cm a) l altezza b) l area a) CH = 3 = = 3 = 6 3 cm b)area = = = = 4 = 36 3 cm D A d b C h 90 B AB = b BC = h AC = d AB = cm BC = 8 cm la diagonale AC = + BC = = = 7 cm rettangolo D C 4 d 4 90 A l B quadrato r O cerchio AB = l AC = d AB = 7 cm r = 6 cm la diagonale a) la lunghezza della circonferenza b) l area del cerchio AC = = = cm a) L = π = = π = 3 π b)area = π = = π = 6 π cm S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

36 M36 NonsoloMatematica Formule inverse. Completa la tabella 3. Tabella 3 figura dati trova svolgimento A C AB = b h CH = h 90 H b B triangolo scaleno area = 7 cm AB = cm l altezza CH area CH = = = 4 cm C AC = c c c 90 CB = c 90 A H B triangolo rettangolo AB = cm AC = 9 cm il cateto CB CB = AB = =.... = cm C 60 h A H l/ B triangolo equilatero l CB = l HB = l/ area = 34 3 cm il lato CB 4 = = = = 3 = 96 cm AB =.. = 36 cm D A d b C h 90 B rettangolo AB = b BC = h AC = d area = 76 cm h = 8 cm la base b = = h 76 = = 3 cm 8 D C 4 d 4 90 A l B quadrato AB = l AC = d area = 0 cm il lato l = = =.. = 4 cm S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 O r cerchio area = 784 π cm il raggio r = = π.. π = = 8 cm π

37 NonsoloMatematica M37 È tutto chiaro? Controlla! Svolgi senza guida i seguenti esercizi. Formule dirette In un triangolo scaleno la base è dm e l altezza 3 dm. Calcola l area. [400 dm ] In un triangolo rettangolo un cateto misura 6 m e l altro 30 m. Calcola la misura dell ipotenusa. [34 m] 3 Il lato di un triangolo equilatero misura 4 cm. Calcola l area cm 4 6 Un rettangolo ha dimensioni 4 cm e 4 cm. Calcola la misura della diagonale. [ cm] Il lato di un quadrato misura m. Calcola la misura della diagonale. m In una circonferenza il raggio è 36 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio. [7 π cm; 96 π cm ] Formule inverse 7 8 L area di un triangolo scaleno è 900 cm e la base 7 cm. Calcola l altezza. [4 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura m e un cateto m. Calcola la misura dell altro cateto. [0 m] 9 In un triangolo equilatero l area è 36 3 dm. Calcola la misura del lato. [ dm] 0 L area di un rettangolo è 88 dm e la base misura 7 dm. Calcola la misura dell altezza. [33 dm] L area di un quadrato è 3844 mm. Calcola la misura del lato. [6 mm] L area di uno scavo archeologico circolare è 44 π m. Calcola la misura del raggio e poi determina la lunghezza della circonferenza. [ m; 4 π m] S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00

38 M38 Fare amicizia con la calcolatrice. Una questione di atteggiamento Capita spesso che nell effettuare i conti con l indispensabile (per lo meno a scuola) calcolatrice, tu sia animato da una fiducia cieca in questo prezioso strumento. Salvo pensare a chissà quale spirito malintenzionato che si nasconde al suo interno, quando ti accorgi che un compito in classe è andato male a causa dei calcoli errati. Così finisci per attribuire alla calcolatrice la colpa di tutti i tuoi sbagli! Ovviamente si tratta di una reazione irrazionale Non bisogna farsi prendere da una euforia incondizionata nei confronti di questa deliziosa macchinetta. È assai più proficuo convincersi che: La calcolatrice fa solamente quello che tu le fai fare! Naturalmente c è calcolatrice e calcolatrice, alcune funzionano in un modo e altre in modi differenti, alcune hanno molte possibilità (funzioni) mentre altre si limitano alle quattro operazioni e nulla più In ogni caso, l importante è capirne per bene caratteristiche e potenzialità. È buona norma leggere attentamente il libretto delle istruzioni o, perlomeno, non buttarlo via subito! Qui ti diamo alcuni suggerimenti per usare la calcolatrice, al fine di pervenire sempre al risultato corretto, indipendentemente dal tipo e dalla marca. attivazione delle funzioni alternative riportate in genere subito sopra i tasti display scelta delle modalità (per esempio, tra la notazione decimale e quella scientifica) accensione della calcolatrice radice quadrata, quadrato ed elevazione a potenza funzioni trigonometriche S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00 parentesi (necessarie per fare eseguire le operazioni di un espressione nell ordine voluto) virgola scrittura esponenziale le quattro operazioni algebriche tasto di esecuzione

39 NonsoloMatematica M39. L approccio iniziale La prima verifica da fare è vedere qual è lo stile della tua calcolatrice nella scrittura dei numeri. Infatti, ci sono modalità diverse con le quali si può scrivere uno stesso numero, di solito chiamate Norm, Fix e Sci, alla cui attivazione è spesso predisposto il tasto MODE. Eseguiamo la divisione 7:30. Sul display il risultato può apparire con scritture tra loro differenti. funzione descrizione esempio Norm Questa modalità (detta normale) consiste nella scrittura del numero così com è, con tutte le cifre che il display mette a disposizione. 0, Fix La seconda modalità (detta fissa) permette di scrivere un dato valore numerico con solo una parte delle cifre decimali (dopo la virgola), per esempio cinque, scelta da te. 0,0069 Sci La terza (detta scientifica) consente di utilizzare la notazione scientifica, per la quale si scrive sempre una sola cifra significativa a sinistra della virgola e si moltiplica il numero per una appropriata potenza del 0, in cui la base 0 viene in realtà sottintesa, scrivendo unicamente l esponente (per cui, equivale in realtà a, ), (Può capitare che la tua calcolatrice di sua iniziativa, cioè per default, scelga la modalità scientifica, procurandoti problemi nella comprensione del numero da leggere. Fai allora una prova e imposta sulla tua calcolatrice, dopo avere premuto il tasto ON, se ancora non l hai fatto, la divisione proposta prima: = Se, una volta premuto il tasto =, sul tuo display compare proprio 0, allora puoi stare tranquillo, perché i numeri saranno sempre scritti in modalità normale. Se invece appare qualcosa del tipo, , eventualmente con più o meno cifre decimali, e che non sai ben interpretare, attiva subito MODE, premendo il tasto relativo, e scegli Norm tra le varie opzioni. Il numero verrà subito riportato come 0, (Nell eventualità in cui la tua calcolatrice non abbia tale funzione, vai a leggere pazientemente le istruzioni là dove si parla, per quanto riguarda i numeri, di formato o cifre significative o notazione esponenziale). S. Fabbri M. Masini, Phoenomena, SEI 00