Talete e la logica quantistica Autore: Renato Nobili Dipartimento di Fisica dell Università di Padova

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1 1 Talete e la logica quantistica Autoe: Renato Nobili Dipatimento di Fisica dell Univesità di adova 1. Le logiche della fisica ia nella fisica classica sia in quella quantistica le popietà dei sistemi fisici sono descitte da poposizioni logiche che dichiaano la possibile appatenenza dello stato del sistema a cete egioni dello spazio degli stati. Nella fisica classica, dove gli stati fisici sono concepiti come un insieme di possibilità ecipocamente esclusive, lo spazio degli stati è appesentato da un insieme di punti e la poposizione che descive una popietà fisica dichiaa semplicemente che lo stato appatiene ad un ceto sottoinsieme di. etanto, le opeazioni logiche AND, OR e NOT, che di solito si indicano coi simboli, e ~, denotano ispettivamente le ben note opeazioni sugli insiemi: intesezione, unione e passaggio al complementae. Nella meccanica quantistica gli stati di un sistema fisico fomano un insieme di possibilità che possono intefeie in modo costuttivo o distuttivo secondo un pincipio di sovapposizione e sono appesentati dai aggi vettoi di lunghezza 1 di uno spazio geometico infinito H (spazio di Hilbet complesso). In questo caso la poposizione logica indica l appatenenza del aggio vettoe appesentativo dello stato ad un sottospazio di H. L opeazione logica A B denota ancoa, come nel caso classico, l intesezione insiemistica dei sottospazi A e B, ma oa l opeazione logica A B denota l unione geometica di A e B, cioè il più piccolo sottospazio vettoiale di H che contiene A e B come sottospazi. La negazione ~ acquista invece il significato di passaggio allo spazio di aggi vettoi otogonali. Opeazioni simili a queste sono ben note anche nella geometia elementae del piano. Esse sono eseguibili su un foglio di cata mediante iga e matita. e ed s sono due ette del piano, l intesezione geometica s è il punto in cui le ette si intesecano (se le ette sono paallele, il punto si tova all infinito). e, sono due punti distinti del piano, non è l insieme dei due punti ma la etta passante pe e. L opeazione di otogonalizzazione ~ può essee ealizzata mediante un squada pe tacciae ette otogonali ad una etta data. Nel 1936, Gaett Bikhoff e John von Neumann dimostaono che la logica quantistica iconosce solo te tipi di spazi degli stati: lo spazio dei vettoi che hanno componenti eali, quello dei vettoi che hanno come componenti i numei complessi odinai e quello in cui hanno come componenti i quatenioni, di cui ci occupeemo più avanti. In questo scitto mosteemo che le opeazioni della logica quantistica e da sole bastano a deteminae le popietà algebiche dei te tipi elencati. 2. L oigine della geometia e quanto le fomalizzazioni simboliche della logica classica e di quella quantistica siano appase in epoca ecente, le opeazioni, e ~, intese nel senso geometico su pecisato, fuono intodotte cica te secoli pima che Aistotele ( a.c.) desse inizio alla logica classica. Infatti, esse fuono implicite nella teoia della misua e delle popozioni di Talete di Mileto ( a.c.). Il metodo inventato da questo celebe filosofo, più di due millenni pima che i numei eali venisseo concepiti in foma algebica, non è alto che l aitmetica dei numei eali espessa con un algoitmo geometico. Non è un caso che la teoia geometica della misua sia stata contempoanea dell invenzione del denao, misua di tutte le cose. Infatti, come acconta Eodoto, la cicolazione della moneta fu intodotta pe la pima volta nel commecio ta i popoli del mediteaneo da Ceso, e di Lidia dal 560 al 546 a.c., di cui Talete fu consigliee militae. Talete

2 2 3. L addizione di Talete ia data la etta l e su di essa i punti O, A, B e il punto all infinito (punto impopio). ia data inolte un alta etta divesa da l e passante pe O, e su di essa un punto abitaio distinto da O e il punto impopio, che equivale alla diezione di. I punti impopi del piano fomano la etta all infinito, detta anche etta impopia. uesta è individuata come la etta che passa pe e. Il metodo di Talete pemette di tovae su il punto di C tale che OC = OA + OB. In modo analogo, dati O, A, C e il punto impopio, si può tovae un quinto punto B tale che OB = OC - OA. i ottengono in questo modo l addizione e la sottazione di numei appesentati da segmenti. e effettuae queste opeazioni dobbiamo combinae le opeazioni geometiche, e ~, dove A B significa etta che unisce i punti A e B, mente l significa punto d intesezione delle ette e l. L opeazione ~, che si esegue con iga e squada, seve a tacciae tutte le ette paallele otogonali ad una etta data che sevono pe la costuzione. R O A B C l ossiamo appesentae simbolicamente la costuzione che individua il punto-addizione nella foma: C = (O ) (R ), dove R = (A ) ( ), = (B ) ( ). Vicevesa, dati A e C, la costuzione che individua il punto-diffeenza B è appesentata da: B = (O ) ( ), dove R = (A ) ( ), = (C R) ( ). È abbastanza evidente che le opeazioni geometiche così definite sono fomalmente commutative e invetibili. Esse dimostano come si possa implementae l addizione di Talete utilizzando gli opeatoi e. 4. La genealizzazione poiettiva dell addizione di Talete Immaginiamo oa di vedee la figua in pospettiva in modo che i punti impopi, cadano al finito su una etta s che funge da linea d oizzonte. uesta tasfomazione pospettica conseva le opeazioni logiche e ma non ~; in questo modo, ci libeiamo dalla necessità di tacciae ette paallele. Il isultato non dipende dal modo con cui si esegue la tasfomazione pospettica. Infatti, come dimosteemo nel possimo paagafo, esistono infinite alte tasfomazioni pospettiche che,

3 3 lasciando invaiata l, poiettano la etta impopia su un abitaia etta s passante pe, mente R e sono poiettati su due punti abitai e distinti R, di s (di conseguenza è poiettata in e su ). R s l O A B C s R Abbiamo alloa, esattamente come pe le costuzioni di Talete, C = (O ) (R ) = (O ) (R ), dove R = (A ) ( ) e = (B ) ( ); oppue, dove R = (A ) ( ) e = (B ) ( ). È evidente che queste equazioni sono fomalmente invaianti pe scambio di A con B e nello stesso tempo di con, oppue di con. oiché, come oa dimosteemo, la costuzione non dipende dalle posizioni di e su, l addizione poiettiva così definita è fomalmente commutativa e invetibile. 5. Insiemi pospettici e invaianza delle elazioni poiettive La figua sottostante esemplifica come si possa tovae una poiezione pospettica da un punto che lascia invaiata la etta l, mente poietta una etta passante pe O su un alta abitaia etta passante pe O in modo che una coppia abitaia di punti, di (distinti ta loo e da O) sia poiettata su una coppia abitaia di punti distinti, di (distinti ta loo e da O). l O

4 4 uesto spiega peché tutte le elazioni poiettive ta i punti di l che dipendono da, e imangono invaiate ispetto alla tasfomazione pospettica, e. 6. La moltiplicazione di Talete ia data la etta l e su di essa i punti O, I, A, B e il punto impopio. È data inolte la etta passante pe O e su di essa il punto e il punto impopio. Utilizzando il teoema di Talete sui tiangoli simili si tova che i segmenti OR, O, OI, OC, OA e OB soddisfano alle popozioni: OR = OB = OC. O OI OA R l O I A B C etanto, posto OI = 1 (unità di misua) si ottiene: OC OC = OA OB; OB =. OA Vale a die si tova che il punto C soddisfa all equazione OC = OA OB. e A abitaio e B = O si hanno i casi degenei: OA OA OO; = O. OO ueste elazioni mostano che OO = 0 (zeo) e O (infinito) e sono uno l inveso dell alto. Essi sono tuttavia dei punti eccezionali peché O OO è indeteminato. È facile veificae che il punto C, che appesenta la moltiplicazione, è individuato dall equazione: C = (O ) (R ), dove R = (O ) (B ), = ( ) (A ), mente il punto B, che appesenta la divisione, è individuato dall equazione: B = (O ) (R ), dove R = (O ) (C ), = ( ) (I ). ueste equazioni dimostano come si possa implementae la moltiplicazione di Talete utilizzando gli opeatoi e.

5 5 7. Genealizzazione poiettiva della moltiplicazione di Talete Consideiamo una tasfomata pospettica non degenee della figua pecedente. Oa i punti fissi O, I e di l sono tutti al finito, mente A e B sono punti geneici vaiabili su l. La etta passante pe I è abitaia e così pue i punti e (non appatenenti a I). R s O I A B C l Ancoa, i punti e, e di conseguenza, non si tovano più sulla etta impopia ma su una etta al finito s. La moltiplicazione poiettiva è alloa definita dalle equazioni: C = (O ) (R ), dove R = (O ) (B ), = ( ) (A ). (*) e l invaianza delle opeazioni e, la elazione ta i punti OA, OB e OD è una defomazione pospettica della moltiplicazione di Talete. ossiamo petanto definie OC come il podotto poiettivo di OA e OB e scivee anche in questo caso OC = OA OB. Vicevesa, dato C, il punto B, che pemette di ottenee l opeazione invesa OB = OC/OA, è definito dalle equazioni: B = (O ) (R ), dove R = (O ) (C ), = ( ) (I ). (**) È peciò ben definita anche la divisione poiettiva (tanne, natualmente, quella pe zeo). Nonostante il fatto che la costuzione geometica di Talete e la sua genealizzazione poiettiva siano commutative ispetto allo scambio di A con B, i sistemi di equazioni (*) e (**) non sono fomalmente invaianti pe scambio di A con B e nello stesso tempo di con. Così, in linea di pincipio, non imane esclusa la possibilità che la moltiplicazione poiettiva sia non commutativa. i può tuttavia dimostae che la moltiplicazione poiettiva è distibutiva ispetto all addizione poiettiva. uesta dimostazione iesce più facile utilizzando pima le costuzioni di Talete e poi applicando delle tasfomazioni pospettiche. 8. I campi numeici R, C e Le costuzioni geometiche di Talete ichiedono iga e squada, ma pe eseguie le opeazioni, poiettive illustate nei paagafi pecedenti basta la iga. Entambi i metodi pemettono di implementae il calcolo aitmetico sui punti di una etta dove te punti distinti abitai giocano il uolo di 0, 1 e. i ottengono in questo modo le appesentazioni poiettive del campo numeico eale R. Con maggioe genealità, una etta poiettiva può iguadasi in astatto come un campo F di entità numeiche nel quale sono definite un addizione associativa e commutativa e una moltiplicazione associativa, distibutiva ispetto l addizione, ma genealmente non commutativa. F deve inolte contenee i punti 0, 1, in modo da assicuae che le opeazioni siano invetibili e che esistono

6 6 multipli infiniti di ogni numeo. Applicando le addizioni e le loo invese ai numei 0 e 1 possiamo geneae tutti gli intei; applicando le moltiplicazioni e le loo invese agli intei possiamo geneae tutti i azionali; i numei eali possono essee definiti mediante sequenze infinite di numei azionali. etanto, ogni possibile campo numeico deve contenee i eali come sottocampo. Ci si chiede se siano concepibili campi numeici più geneali di quello eale. La isposta è che esistono solo alti due campi numeici: quello dei numei complessi C e quello dei quatenioni. Il fatto che i numei complessi fomino un campo è abbastanza evidente. L esistenza del campo quatenionico è meno banale, e lo è anco meno che non ne esistano alti. uesto notevole fatto fu dimostato da Fedinand Geog Fobenius ( ) nella seconda metà dell 800 mediante l algeba Fobenius delle matici, come è bevemente descitto nel seguente paagafo. 9. La dimostazione di Fobenius Le popietà associative dell addizione e della moltiplicazione, e quella distibutiva della seconda ispetto la pima, pemettono di fonie appesentazioni fedeli dei numei F mediante matici. e semplicità, assumeemo che le matici siano definite nel campo complesso (anche se la dimostazione può ottenesi usando solo matici eali). Assumeemo inolte che le matici opeino tansitivamente sui vettoi di uno spazio finito (cioè che la appesentazione sia iiducibile). Nel seguito chiameemo numei del campo le matici stesse. Identificheemo con 0 la matice nulla, con 1 la matice identica M 0 e con il multiplo infinito di M 0. e M 1, M 2, M 3, sono numei di F, alloa, poiché F contiene R, ogni combinazione lineae a coefficienti eali di M 1, M 2, M 3, e di M 0 =1 è un numeo di F. Diemo che gli n + 1 numei 1, M 1, M 2, M 3,,M n sono lineamente indipendenti se non si possono tovae n + 1 numei eali a 0, a 1,, a n in modo da avesi a 0 + a 1 M a n M n = 0. Diemo che F ha dimensione N+1 se non si possono tovae più di N+1 numei lineamente indipendenti. In tal caso 1, M 1,, M N saà chiamata un base di F. Dimostiamo i seguente teoemi: Teoema 1. Ogni matice M F soddisfa ad un equazione dei secondo gado del tipo (M-a) 2 +b 2 =0, dove a e b sono numei eali. etanto M possiede o un solo autovaloe (genealmente non eale) oppue due autovaloi complessi coniugati. uesto teoema segue dal fatto che M, essendo invetibile, è necessaiamente quadata con deteminante M diveso da zeo. Ciò significa che nessuna matice non nulla di F può avee zeo come autovaloe, oppue, ciò che è lo stesso, se M ha un autovaloe nullo alloa M = 0. upponiamo oa che a+ib, con a e b eali, sia un autovaloe non nullo di M. Alloa M-a possiede ib come autovaloe e (Ma) 2 + b 2 possiede un autovaloe nullo. Ne segue (M-a) 2 + b 2 = 0. uesto è possibile solo se M possiede, al più, gli autovaloi a+ib e a-ib (o solo uno di essi). È chiao che se la base 1, M 1,, M N possiede autovaloi 1, a 1 ± ib 1,..., a n ± ib n alloa, posto V i = (M i - a i )/b i, anche le matici 1, V 1,,V N fomano una base di F e inolte V i 2 = -1. Chiameemo 1 e V i un sistema di unità di F. Teoema 2. ia 1 e V i un sistema di unità di F. Alloa, se N=1, si può poe V=V 1 = ± i. e invece è N > 1 si ha ViVj VjVi, in alti temini se F possiede più di due unità la moltiplicazione non è commutativa. Chiaamente, se N = 1, le sole appesentazioni iiducibili di V sono matici 1 1, pecisamente i o -i.

7 7 e invece N > 1, da (V i +V j )(V i -V j )= (V i V j -V j V i ) segue che V i, V j non commutano, altimenti saebbe V i =V j.. Teoema 3. i può tovae una base 1, U 1,,U N in modo che U i U j + U j U i = -2δ ij, i, j = 1,, N, dove δ ij è la delta di Konecke. ia N > 1 e V 1,V 2 due unità di F. Alloa esistono quatto numei eali a, b, c, d tali che (V 1 V 2 -a) 2 +b 2 =0 e (V 2 V 1 -c) 2 +d 2 =0, vale a die V 1 V 2 V 1 V 2-2aV 1 V 2 + a 2 +b 2 = 0 e V 2 V 1 V 2 V 1-2cV 2 V 1 + c 2 +d 2 = 0. Moltiplicando la pima a sinista pe V 1 e a desta pe V 2, e la seconda a sinista pe V 2 e a desta pe V 1, si ottengono le equazioni V 2 V 1-2a + (a 2 +b 2 )V 1 V 2 = 0, V 1 V 2-2c + (c 2 +d 2 )V 2 V 1 = 0, dalle quali si icava a 2 +b 2 = c 2 +d 2 = 1, a = c. È dunque chiao che nel caso geneale potemo scivee V i V j + V j V i = -2g ij = -2g ij, i, j = 1,,N, dove g ii = 1. Dunque la matice G di elementi g ij ha le caatteistiche di un tensoe metico definito positivo. otemo petanto eseguie una otazione dello spazio mediante una matice otogonale R, che come è noto possiede coefficienti R ij eali, in modo da avesi RGR -1 = D, dove D è una matice diagonale con elementi diagonali D i > 0. È chiao alloa che gli elementi di F definiti dalle equazioni 1 U = R V, D i ij j i j che chiameemo unità immaginaie, soddisfano alle elazioni di anticommutazione U i U j + U j U i = -2δ ij. Teoema 4. Non esiste alcun campo numeico con due unità immaginaie o con più di te unità immaginaie. i supponga, pe assudo, che U 1 e U 2 siano le unità immaginaie di un campo numeico con N = aà alloa U 1 = U 2 = -1, U 1 U 2 = -U 1 U 2. Con tutta genealità possiamo scivee U 1 U 2 = a 0 +a 1 U 1 +a 2 U 2, dove a 0, a 1, a 2 sono numei eali. Moltiplicando questa elazione a desta pe U 1 otteniamo -U 2 = a 0 U 1 - a 1 + a 2 U 1 U 2. Dovà petanto valee l equazione a 0 a 2 +a 1 a 2 U 1 +a 2 2 U 2 = a 1 - a 0 U 1 - U 2, che nel campo eale ammette soltanto la soluzione a 0 = a 1 = a 2 = 0. i conclude che non può essee N = 3. i supponga oa che sia N > 3. Dalle elazioni di anticommutazione otteniamo U 1 U 2 U k = -U 2 U 1 U k = U 2 U k U 1 pe k = 3,, N. In alti temini, U 2 U k commuta con U 1 e potemo petanto scivee U 2 U k = a k +b k U 1. D altonde (U 2 U k ) 2 = U 2 U k U 2 U k = - U 2 U k U k U 2 = -1, dalla quale si deduce a k = 0, b k = ±1. ossiamo alloa poe senza pedita di genealità U 2 U k = U 1. Chiaamente queste elazioni implicano U k = ±U 3 pe k = 4,, N. onendo U 1 = i, U 2 = j, U 3 = k avemo i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. otemo petanto scivee i numei di questo campo quadidimensionale, che pe questa agione è detto dei quatenioni, nella foma scitta pe la pima volta da Hamilton Hamilton q = a +bi + cj + dk.

8 8 Una appesentazione maticiale dello stesso quatenione è data da a+ ib, c+ ib q = c ib, a ib. In un ponte di Dublino: Hee as he walked by the 16th Octobe 1843 i William Rowan Hamilton in a flash of genius discoveed the fundamental fomula fo quatenion multiplication i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 & cut it on a stone of this bidge. (ui passeggiando il 16 ottobe 1843 i William Rowan Hamilton in un lampo di genio scopì la fomula fondamentale della moltiplicazione dei quatenioni i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 e l incise su una pieta di questo ponte. adova 28 ottobe Ultima evisione 30 settembe Bibliogafia 1. Bikhoff, G. and von Neumann, J., The Logic of uantum Mechanics. Annals of Mathematics, 37: (1936). 2. Catan, E., Nombes Complexes, in Oeves Complètes, atie II, Vol.1, Gauthie-Villas, ais (1953). 3. Eodoto - Le toie, Libo I. Ed. Mondadoi, Milano (2000). 4. Fobenius, F.G., Übe lineae ubstitutionen und bilineae Fomen, J. Reine Angew. Math., 84:1-63 (1878). 5. Gigli, D., Aitmetica geneale, Enciclopedia delle Matematiche Elementai, Vol.I,.te I, pp. 81 e seg. Hoepli Ed., Milano (1930). 6. Hamilton, W. R., On uatenions, oceedings of the Royal Iish Academy, 9:1-16 (1847). 7. Veblen, O. and J.W.Young, ojective Geomety, Vol.I, Ginn & Co. ED., New Yok (1910).