Università degli Studi di Genova T esi di Laurea Specialistica di Ingegneria Gestionale. Indice..2 RINGRAZIAMENTI I modelli microscopici...

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2 Indce Indce..2 RINGRAZIAMENTI..5 Captolo 1 Captolo 2 Introduzone.6 Modell matematc I modell mcroscopc Il modello Car Followng Lane Change Il modello ad Autom Cellular Consderazon su modell mcroscopc Il modello macroscopco Legge d conservazone della matera I metod d rsoluzone delle dfferenze fnte Relazone veloctà-denstà Il modello d Lghthll, Whtham e Rchards Il modello d Payne and Whtham Cenn su modell mesoscopc e su modell brd Captolo 3 Il Cell Transmsson Model Introduzone CTM: Cell Transmsson Model Introduzone al modello L equvalenza con l modello drodnamco (LWR) Il caso generale del CTM

3 3.2.4 La rappresentazone del modello CTM : Replogo La rappresentazone della rete La rappresentazone della rete Il modello CTM con percentual d svolta note Collegamento Ordnaro Modello d Confluenza Modello d Dvergenza ACTM: Asymmetrc Cell Transmsson Model Equazone d conservazone del flusso prncpale Equazone del flusso prncpale Captolo 4 Captolo 5 La smulazone: Matlab..69 I smulator realzzat Introduzone Programmazone del modello Ctm Defnzone del flusso Defnzone del numero de vecol present nella cella l-esma per ogn terazone d tempo t Prove per testare l attendbltà del modello Prma prova Seconda prova Terza prova Quarta prova Qunta prova Sesta prova

4 5.4 Programmazone del modello ACTM Defnzone del flusso prncpale f(l,k) e del numero d vecol present n cascuna cella per ogn terazone d tempo k n(l,k) Prove realzzate Prma prova Seconda prova Terza prova Quarta prova Qunta prova Smulazone dello svncolo d Savona tra A1 e A Defnzone del flusso Defnzone del numero d vecol present nella cella l-esma per ogn terazone d tempo k Prove realzzate Prma prova Seconda prova Terza prova Rappresentazone su Google Earth Captolo 6 Possbl svlupp e applcazon.123 Bblografa

5 RINGRAZIAMENTI Il prmo rngrazamento è per la prof. Sacone che m ha dato la possbltà d svolgere questo lavoro nel mglor modo. Un rngrazamento partcolare è per Carlo Calgars che è stato partcolarmente dsponble e sempre presente n tutto lo svolgmento d questa tes; m ha seguta costantemente rendendo possble tutto questo. Rngrazo ancora correlator Slva Sr e Marco Perrando per averm seguto nello svolgmento d questo lavoro. Rngrazo le me due madr perché sempre present n quest ann n cu è stato dffcle conclare gl stud e l lavoro. Un rcordo partcolare per mo fratello Gambattsta e me due cugn Salvatore e Guseppe. Vorre rcordare Francesco che conosce bene l nglese, Clela perché spero c sa sempre e Mnn che rompe bccher d vetro rosso. Non è facle esprmere quanto sa mportante raggungere l prncpale obettvo che m sono sempre proposta. 5

6 Captolo 1 Introduzone In poco pù d un secolo dalla sua nvenzone l automoble è dventato l mezzo d trasporto preferto dalla maggoranza delle persone. Cò è partcolarmente vero n Itala dove la percentuale d auto pro capte è la pù alta del mondo. La produzone d massa ha nfatt permesso prezz accessbl e l enorme svluppo del parco macchne. In parallelo è crescuto anche l numero delle nfrastrutture dedcate al trasporto su gomma: strade e autostrade. Lo scarso svluppo d altr mezz d trasporto come ferrove o l cabotaggo n confronto agl altr Paes, fa propendere sempre pù per l trasporto su gomma che tende a saturare le tratte a dsposzone. Cò s traduce n maggor cost drett, come per esempo l consumo d carburante dovuto alla veloctà d marca non ottmale, e n cost ndrett, come maggore nqunamento e perdte d tempo. Torno Savona Inverno 6

7 La soluzone d aumentare le nfrastrutture, oltre che costosa, ncontra sempre pù l opposzone de dfensor dell ambente e/o de comtat local e rchede temp lungh per la realzzazone. Nasce qund la necesstà d utlzzare al meglo le nfrastrutture esstent. Per questo occorre conoscere le caratterstche pecular d cascuna tratta e studarle n dverse condzon. Per fare cò s utlzza la tecnca della smulazone, la rproduzone al computer dell evolvere delle varabl d nteresse n funzone del tempo. In letteratura esstono var modell, n grado d rappresentare l evoluzone del traffco, che saranno descrtt pù avant e anche numeros software d smulazone del traffco. Non ho voluto utlzzare nessun software ma effettuare n prma persona la programmazone, sa perché quest software sono spesso oneros, sa perché rtengo che la scrttura dretta degl algortm consenta n defntva una mglore comprensone degl stess. L obettvo d questo lavoro d rcerca è stato quello d smulare una rete autostradale lo svncolo d Savona tra la A1 n drezone Ventmgla e la A6 n drezone Torno. Il modello utlzzato fa rfermento al Cell Transmsson model concepto da C.Daganzo e ad una successva varante l Assymetrc Cell Transmsson Model. Nel Captolo 2 sono stat descrtt prncpal modell d traffco vecol macroscopc e mcroscopc. Nel Captolo 3 s è descrtto l Cell Transmsson Model e L Asymmetrc Cell Transmsson Model. Il Captolo 5 è relatvo alla programmazone del CTM e dell ACTM. Lo 7

8 svncolo d Savona è stato smulato unendo le specfche de due modell: oltre ad una dvergenza tpca del CTM è stata trattata la presenza d rampe n ngresso ed n uscta tpche dell ACTM. 8

9 Captolo 2 Modell matematc I modell matematc utlzzat per la smulazone del traffco sono raggruppabl n quattro class. I modell mcroscopc, che descrvono l comportamento del traffco con un alto lvello d dettaglo, fno a consderare l sngolo vecolo. I modell macroscopc, che utlzzano relazon d nseme e ndvduano propretà e varabl d stato global. I modell mesoscopc, che s pongono a un lvello d dettaglo ntermedo tra precedent. I modell brd, che trattano alcune part con un modello e altre con un altro, ad esempo l flusso prncpale d una artera mportante con l modello mcroscopco e le rampe d accesso all artera stessa con l modello macroscopco. 2.1 I modell mcroscopc I modell mcroscopc descrvono l traffco attraverso le propretà del sngolo vecolo e sono applcabl a ret d traffco urbano ed extraurbano. Generalmente s cerca d determnare poszone, veloctà e accelerazone d cascun vecolo presente sul tratto stradale. Per ogn vecolo la poszone al tempo t t dpende dalla poszone e dalla veloctà dello stesso al tempo t. La veloctà al tempo t è nvece caratterzzata da delle grandezze relatve al vecolo e a quello del vecolo precedente: la veloctà relatva, la dstanza, l tempo d reazone dell autsta e ulteror 9

10 nformazon che possano rendere l modello conforme al comportamento d un automoblsta reale. In lnea generale le relazon funzonal che s assumono avere per modell mcroscopc sono rportate d seguto: v t t f gt, vt, v ~ t, t, p x t t xt vt t (2.1) dove: l sgnfcato d x t e t x~ sono rappresentat n fgura 2.1; v t è la veloctà al tempo t del vecolo n esame; gt xt xt s ~ è la dstanza effettva fra l vecolo ed l suo predecessore (con s lunghezza del vecolo); t è l tempo d camponamento; t è una componente d rumore che vene ntrodotta per modellare l fatto che ogn gudatore, avendo dverso temperamento, s comporta n manera dversa a partà d condzon; p è un vettore d eventual parametr present nel modello. Fgura 2-1: Schematzzazone del modello Car Followng 1

11 Ne modell mcroscopc occorre una grande quanttà d dat. La ragone d questa rchesta è che l equazone (2.1) rchede la poszone e la veloctà d ogn vecolo stante per stante. Ne consegue che la necesstà d consderare una così notevole mole d dat lmta l uso de modell mcroscopc a cas n cu la rete sa relatvamente semplce e la smulazone convolga un numero lmtato d vecol. V sono numeros tp d modell mcroscopc che consderano dvers element del traffco reale. Due d quest sono: l Car followng e l Lane Change Il modello Car Followng Il modello Car Followng, focalzza l'attenzone su un aspetto partcolare della guda: nel caso d brev dstanze tra vecol vene analzzato l comportamento d un vecolo n base a quello del precedente. Segure l vecolo precedente è un aspetto faclmente trattable e allo stesso tempo sgnfcatvo nell'evoluzone del traffco. Per queston d semplctà, nel modello base s consderano tratt stradal ad una sola corsa n cu non è consentto l sorpasso; esstono però n letteratura modell pù artcolat, n cu vengono pres n consderazone tratt d strada a pù corse, ncludendo dunque anche la possbltà d sorpasso tra vecol. Nel modello Car Followng la veloctà d ogn vecolo è ndpendente da quella degl altr vecol; nonostante questa assunzone, la veloctà del vecolo che segue è nfluenzata da quella del vecolo precedente n funzone della dstanza relatva tra due vecol n esame. 11

12 Tale relazone è nsta nella defnzone de modell Car Followng n quanto la dnamca d un vecolo che s muove su strada è funzone delle varabl che caratterzzano l moto del vecolo che lo precede. Tale potes rappresenta un comportamento dffuso anche nella guda su strade con pù corse. Reuschel e Ppes [1] [2] defnscono prm modell d traffco mcroscopc studando l moto d due vecol n fla tramte la seguente espressone: x x L Sx (2.2) n n1 n1 con x n1 poszone del vecolo n oggetto e x n poszone del vecolo che sta davant. Inoltre, S è la dstanza d scurezza mantenuta dall automoblsta proporzonale alla sua veloctà e L è la dstanza relatva al caso n cu le auto sono ferme e comprende la lunghezza dell auto che s trova davant. Fgura 2-2: Il modello d Reuschel e Ppes Dervando l equazone (2.1) s arrva alla conclusone che l accelerazone del vecolo -esmo è n funzone della veloctà del vecolo stesso e della 12

13 veloctà del vecolo che lo precede ovvero (-1)-esmo secondo la relazone d seguto rportata: 1 x n1 ( x n x n1) (2.3) S Il gudatore raccogle nformazon qual la sua veloctà, quella del vecolo precedente e lo spazo tra vecol, le elabora e prende decson che s concretzzano n un aumento o dmnuzone della veloctà. Defnendo l fattore d sensbltà 1 e ncludendo un rtardo S temporale t che ndca che l automoblsta non rsponde automatcamente alle varazon del vecolo precedente, s ottene la seguente formula nota come l equazone d base de modell car followng: x t t) x ( t) x ( ) (2.4) n1( n n1 t Se l fattore d sensbltà è espresso nella seguente forma s possono ottenere de rsultat mglor: x n n1 ( t ) x ( t) x n1 m ( t) l (2.5) con l, m esponent nter e una costante. Nel 1958 Chandler e altr rcercator, con dat fornt dal General Motors Techncal Center, testarono la correttezza del modello proposto da Reuschel e Ppes. Per condzon tpche d traffco loro rsultat mplcano che 1 t 1, 5s e,37s [3]. 13

14 2.1.2 Lane Change In caso d carreggata a pù corse la modellazone pù adatta è l Lane Change Model. Nell ntento d modellzare ret d traffco non s può escludere una manovra molto frequente durante la guda: l cambo d corsa. Una necesstà che s verfca frequentemente sa nel traffco urbano che extraurbano. Sa modell macroscopc che mcroscopc consderano la possbltà della devazone d una parte d traffco verso una drezone che non è la prncpale. D fatto, essendo modell mcroscopc basat sulla dnamca de sngol vecol, è necessaro che tal modell smulno anche sorpass n strade a pù corse. Questo problema del lane changng rappresenta una delle sfde pù ardue che gl studos de modell d traffco s sono trovat ad affrontare. Fn dagl ann 5 c è stata una evoluzone parallela tra modell d traffco mcroscopc e macroscopc, n questo contesto s sono svluppat modell che rappresentano camb d corsa e d Gap Acceptance. Quest ultm modell cercano d rappresentare l ngresso d un flusso d vecol da strade secondare su una strada prncpale, senza una regolazone semaforca. D fatto modell d lane changng sono studat come un caso partcolare del gap acceptance, n quanto l cambo d corsa avvene se 14

15 esste uno spazo accettable tra due vetture sulla corsa d destnazone. I modell lane Change msurano la dstanza posterore ed anterore nella corsa d destnazone rlevata nella manovra d sorpasso. Tale dstanza deve essere suffcentemente ampa da non dsturbare l flure del traffco sulla corsa d destnazone. Altra regola fondamentale per l sorpasso è la German-Law n vgore negl stat con guda a destra, secondo cu è vetato l sorpasso a destra. Fgura 2-3: Schema d M anovra Lane Change In [4] è stata smulata una tratta autostradale con 2 corse, per cu s tratta d una modellstca multcorsa. In tale modellazone sono stat mpost de vncol: s è vetato a vecol pesant d transtare nella corsa d snstra, altrment s creerebbero de brusch rallentament de vecol present su tale corsa nel caso avvensse un sorpasso tra due mezz pesant. L algortmo usato è stato sprato al lavoro de rcercator dell unverstà d Dusburg [5]. 15

16 Nel modello è stata usata una varable che dentfca la drezone d un vecolo, ossa se l vecolo procede nella propra corsa o se sta per effettuare uno spostamento: l n left, rght, straght Tale varable ndca, per ogn stante d tempo, se l vecolo n nel prossmo ntervallo temporale effettua un cambo d corsa. La varable l n non è necessara se passagg tra le corse sono effettuat n manera sequenzale, ma tpcamente è preferble un aggornamento parallelo de camb d corsa per tutt vecol; per questo scopo, l utlzzo della varable l n rsulta ndspensable. La regola d valutazone del cambo d corsa è applcata ndfferentemente ad ogn tpo d vecolo leggero, avendo assunto che vecol pesant non possano transtare nelle corse d snstra. Dopo avere effettuato l sorpasso, l vecolo rtorna nella corsa d destra se questo passaggo non comporta nessuno svantaggo, sa n termn d veloctà assunta dal vecolo, sa n termn d ostacolo al traffco sulla corsa d destra. La regola del sorpasso utlzzata n [4] nel modello per la realzzazone dell algortmo del lane Changng fa rfermento al codce della strada tedesco. Il codce della strada tedesco veta l sorpasso nel caso n cu un vecolo sulla corsa d destra ntende superare un vecolo pù lento sulla corsa d snstra. 16

17 Nel codce tedesco un vecolo con veloctà v può passare dalla corsa d destra a quella d snstra se e solo se ncontra un vecolo pù lento sulla corsa d destra con veloctà v r o un vecolo pù lento n quella d snstra con veloctà v l. Nell mplementazone del modello n oggetto è stata usata una semplfcazone secondo l crtero amercano che consente l sorpasso sulla destra. Il vecolo può passare dalla corsa d destra a quella d snstra se l vecolo che lo precede nella corsa d destra è pù lento e se quello che lo precede della corsa d snstra transta con una veloctà maggore d quella del vecolo lento della propra corsa. Il crtero adottato n [4] è una medazone tra l codce della strada tedesco e quello amercano secondo cu l vecolo effettua un sorpasso se e solo se l vecolo che lo precede è pù lento e se sono rspettat vncol d scurezza per l corretto nsermento nella corsa d snstra. Nell aggornamento della veloctà l vecolo n oggetto consdera solo la dstanza dal vecolo che lo precede nella medesma corsa. Il sorpasso sulla destra consentto nella smulazone è effettuato da un vecolo che dopo l aggornamento della propra veloctà s sposta sulla corsa d snstra per superare un vecolo lento sulla corsa d destra; da questo punto d vsta non s assste ad un vero sorpasso sulla destra che contnua ad essere vetato nel modello mplementato. 17

18 Fgura 2-4: M anovre d sorpasso vetate nel modello d [4] Il modello ad Autom Cellular Il concetto d automa cellulare rsale al 194 quando Stansław Ulam lo utlzzò per studare la crescta de crstall e John von Neumann [6] per rappresentare un robot che ne costrusse un altro. Un automa cellulare è un modello costtuto da un numero fnto d celle che possono assumere dvers stat. Lo stato d una cella dpende da alcune celle adacent. Dopo un ntervallo d tempo dscreto gl stat delle celle vengono rcalcolat. Un automa cellulare è qund un sstema dnamco dscreto. La caratterstca d questo modello è che può descrvere element nteragent tra loro. Un aspetto che affascna gl studos è che anche semplc regole d transzone d stato generano comportament molto caotc. Stephen Wolfram ha svluppato numeros esemp d autom cellular e utlzza una semplce transzone d stato 18

19 per generare numer casual nel suo programma per l calcolo scentfco Mathematca [7]. L automa cellulare pù semplce è l Elementary Cellular Automata ed è undmensonale con due stat possbl per cella ( oppure 1). Con una tabella che specfca lo stato che una cella assume n futuro (o next generaton) s descrve l evoluzone dell automa cellulare n oggetto. In questo automa cellulare ogn cella con le sue due celle adacent costtusce un vcnato d tre celle e per questo motvo c saranno 3 2 possbl confgurazon d vcnato. Questo porta ad un totale d 8 2 regole attuabl. Come esempo d seguto s rporta l evoluzone della rule 3 ( ). I valor possbl delle tre celle che compongono l vcnato sono quell relatv alla rga superore della fgura, mentre valor che assumerà la cella centrale n futuro (next generaton) sono quell della rga nferore. Fgura 2-5: Rule 3 La rappresentazone grafca prodotta dopo 15 pass partendo da una grgla con una sola cella nera è rportata nella fgura seguente. 19

20 Fgura 2-6: Esecuzone della rule 3 Un partcolare automa cellulare chamato Il goco della vta [8], proposto da John Horton Conway [9], ha reso popolare questo modello graze alla sua pubblcazone nel 197 su Scentfc Amercan. Conway ha costruto un automa cellulare d partcolare nteresse per gl effett che s hanno nell evoluzone d una popolazone d organsm vvent. Nel modello s smula una popolazone d organsm vvent o celle n una grgla bdmensonale che s svluppano nel tempo sotto l effetto d tendenze all accrescmento ed all estnzone. Ogn cella ha un vcnato composto dalle otto celle adacent e può avere due stat: vvente (1) o morta (). Le celle cambano stato n base a due regole: la prma stablsce che una cella vvente può sopravvvere nella prossma generazone se e solo se ha 2 o 3 celle vvent nel propro vcnato; la seconda regola stablsce che una cella morta può tornare n vta nella prossma generazone se e solo ha 3 celle vvent nel propro vcnato. 2

21 2.1.4 Consderazon su modell mcroscopc I modell mcroscopc perseguono un elevato lvello d dettaglo ma rchedono percò una notevole capactà d calcolo. Anche supponendo d calcolare solo due varabl d stato per ogn vecolo occorre memorzzare 2 n valor. Qund, n una stuazone d traffco n cu s voglano fare delle prevson n tempo reale, occorrerebbe una enorme capactà d elaborazone. S prefersce allora cambare l modello usando valor med d grupp d vecol e calcolando valor med d veloctà e fluss. Il traffco vene n questo modo assmlato a un flusso d tpo draulco. 2.2 Il modello macroscopco Da un punto d vsta macroscopco l traffco automoblstco può essere vsto come una corrente o un fludo contnuo; d conseguenza prm tentatv d descrvere l traffco vecolare furono fatt per mezzo dell analoga con l drodnamca. Il flusso de mezz è trattato come quello d un lqudo ncomprmble, non s consderano veloctà e poszone del sngolo vecolo ma tal grandezze sono calcolate come varabl d nseme. I modell macroscopc presentano un lvello d dettaglo mnore rspetto a modell mcroscopc. La maggor parte d quest modell parte dalla formulazone del modello d traffco mcroscopco e utlzza varabl aggregate (varabl che contengono grandezze medate) su un gruppo d vecol. Per tale motvo non s possono modellzzare accelerazon o decelerazon d veloctà de sngol 21

22 vecol e, non essendo prevste ntersezon nel flusso d traffco, tal modell non s adattano ad applcazon n ambto urbano. D seguto sono defnte le varabl del sstema n una sezone x della tratta stradale x per un dato stante d tempo t: vecol ( x, t) : la denstà d traffco, ntesa come l numero d vecol km present; medamente per untà d lunghezza. S msura n vecol per chlometro; km v ( x, t) : la veloctà meda de vecol, s msura n chlometr orar; h vecol q ( x, t) : l flusso d traffco, nteso come l numero d vecol h passant da una specfca sezone della tratta stradale nell untà d tempo. S msura n vecol per ora. Generalmente s assume valda la nota relazone della fludodnamca che lega le tre varabl d stato: q v (2.6) Tale relazone è presente nella maggor parte de modell d traffco macroscopc. Dal momento che l traffco vecolare è trattato come un lqudo ncomprmble, s possono fare due mportant potes d partenza: l flusso d traffco s conserva e come tale sarà regolato da una legge d conservazone così come per flud; 22

23 esste una corrspondenza bunvoca tra la veloctà e la denstà e qund tra l flusso e la denstà che s concretzza n un'equazone d stato Legge d conservazone della matera In questa sezone s determna la legge d conservazone per l modello d traffco a partre da quella d un fludo. A questo proposto s consder lo scorrmento d un fludo comprmble monodmensonale assumendo che: x,t è la denstà del fludo; x t q, è l flusso lungo l asse x nel tempo t, tale per cu x2 x1 ; q q() è la relazone che lega e q ; le dmenson d x,t sono: untà untà d d massa lunghezza Pertanto la massa compresa tra x e x x può essere calcolata come: x x m t, x, x ) ( t, x) dx ( 1 2 x Il flusso x t q, attraverso la sezone x al tempo t è la quanttà d massa che transta n un stante d tempo t per l punto x, le dmenson sono : untà d massa/untà d tempo Dato un ntervallo d tempo T t t t, e un ntervallo d lunghezza I x, x x con, sa defnta ( t, x) la massa che flusce n un stante d 23

24 24 tempo t per l punto x s può scrvere la seguente formulazone relatva al flusso stantaneo: ), ( ), ( ), ( lm ), ( x t t t x t t x t x x t q t Per cu x x x dx x t t x x x t q x t q t x x x x t q x t q ), ( 1 )), ( ), ( ( 1 ), ( ), ( Scambando dervata e ntegrale s ottene la seguente ) ), ( ( 1 )), ( ), ( ( 1 ), ( ), ( x x x dx x t t x x x t q x t q t x x x x t q x t q Per l lmte x s ottene la seguente equazone: t x q x t x t,, (2.7) Nella nostra trattazone consderamo un termne addzonale d massa ), ( t x l : ), (,, t x l t x q x t x t (2.8) Rcordando l assunto che ) q( q s può scrvere che: x d dq x q L equazone 2.8 dventa: ), (, ), (, t x l x t x t x q t x t (2.9) s può supporre che ), ( ) ( t x v q per defnre la dpendenza d q da dall anals delle dmenson:

25 q untà d massa v untà d tempo untà untà d d lunghezza massa rsulta un assunto corretto n quanto: untà d lunghezza v ( x, t) untà d tempo Il caso pù semplce s trova quando v( x, t) c. L equazone, qund, prende la forma: ( x, t v( x, t)) x, t l( x, t) t x In altre parole l numero d auto entrant n un tratto stradale rsulta uguale al numero d auto uscent dallo stesso tratto supponendo che non v sano altre entrate o uscte. Nella seguente fgura è llustrato uno schema relatvo al tratto (a,b). Fgura 2-7: Intervallo (a,b) per l calcolo del flusso L equazone 2.9 può essere rscrtta come: x, t qx, t t x (2.1) Nel caso n cu l tratto stradale abba entrate e uscte, s ndca con: 25

26 vecol r x, t l flusso d vecol entrante nella sezone x al tempo t; h vecol s x, t l flusso d vecol uscente dalla sezone x al tempo t. h L equazone d conservazone dventa qund: x, t qx, t rx, t sx, t (2.11) t x dovendo tenere conto de termn relatv a ngress ed uscte I metod d rsoluzone delle dfferenze fnte Il metodo delle dfferenze fnte è fondamentale per rsolvere equazon dfferenzal con algortm numerc. In questo modo dscretzzamo l comportamento contnuo d tal equazon. Con questo metodo s trasforma l domno da contnuo a dscreto e s ntroduce un passo d dscretzzazone costante sulla dmensone temporale t. Nel nostro caso l percorso autostradale s suddvde n tratte cascuna delle qual contene al massmo una rampa d ngresso e una d uscta. La lunghezza del passo d dscretzzazone spazale è uguale alla lunghezza delle sngole tratte. Ad ogn rcorsone del metodo numerco l modello avanza d un stante temporale e per ogn sngola tratta s calcolano valor delle varabl d stato. Nel calcolo s utlzzano valor delle varabl all stante precedente rfert alla tratta n oggetto e a quella precedente e successva. S defnsce una grgla d punt nel pano cartesano ( x, t) potzzando che l pano rappresent le coordnate spazo/temporal d un qualsas fenomeno che abba luogo n una sola dmensone spazale. S fssa un 26

27 passo d dscretzzazone spazale x h e ed un passo d dscretzzazone temporale t k, la grgla è data da punt nodal del pano ( xm, tn ) ( mh, nk), per valor arbtrar m e n. Per una funzone v defnta sulla grgla, v, è l suo valore al nodo x, t ). m n ( m n Fgura 2-8: Rappresentazone bdmensonale della grgla Ne metod alle dfferenze fnte s sosttusce nell equazone da approssmare, per ogn dervata, un rapporto ncrementale fnto. Ad esempo, per una funzone regolare u, la dervata temporale u x, t ) può essere approssmata sa dalla dfferenza n avant (forward): t ) u u( mh,( n 1) k) u( mh, nk t k sa dalla dfferenza ndetro (backward): t ( m n 27

28 t ) u u( mh, nk) u( mh,( n 1) k t k che dalla dfferenza centrata (central): u u( mh,( n 1) k) u( mh,( n 1) k 2t k t ) In questo modo è possble scrvere l equazone (2.11) n termn dscret e qund renderla rsolvble tramte algortm teratv d calcolo, come vedremo pù avant quando descrveremo l modello d Payne e Whtham Relazone veloctà-denstà In un tratto d strada traffcato la relazone tra denstà e veloctà è tale per cu al crescere della denstà s ha una dmnuzone della veloctà. Tale relazone è propra de modell d traffco e non ha analoga con la fludodnamca. Nel corso degl ann sono state proposte dverse relazon a partre da quella lneare d Greenshelds [1] nel 1935: x, t v x, t v max 1 (2.12) max dove: v max : detta anche v free è la veloctà che assumerebbe un vecolo se fosse l unco nel tratto stradale; come evdenzato n fgura 2.9, è l caso n cu la denstà è uguale a zero; max : è la denstà massma possble presente nella corsa, rappresenta la stuazone d congestone n cu vecol sono ferm n coda. 28

29 Fgura 2-9: Relazone d Greenshelds Un altro modello fu proposto nel 1959 da Greenberg, che ntrodusse una relazone logartmca [11]: x, t v x, t vmax ln (2.13) max fno a quella pù utlzzata d Papageorgou [12], del 1995: v x, t v max x, t 1 max l m (2.14) Sceglendo opportunamente valor degl esponent l e m, ad esempo nterpolando dat spermental, s resce a calbrare la relazone per ogn tratto. Bsogna coè consderare dverse coppe d valor denstà-veloctà per po rappresentarle grafcamente; s scegle la curva che approssma tale andamento manpolando valor de parametr l e m o utlzzando tecnche d dentfcazone de parametr. Papageorgou ha defnto un range per valor de parametr l e m [13]: 29

30 .5 m l 4 Scelta la curva che lega denstà e veloctà s determna la relazone flusso-denstà, tale curva è detta anche dagramma fondamentale. Il parametro c (denstà crtca) d tale curva è l valore n corrspondenza r del quale vene raggunto l flusso massmo d vecol. Questa relazone è del tutto potetca, nfatt affermare che v V() sgnfca che, data una denstà locale tutt vecol assumono lo stesso comportamento, coè tutte le auto s muovono alla stessa veloctà. Valendo q v è possble defnre una curva flusso-denstà che dventa: ( x, t) q ( x, t) ( x, t) v( x, t) v max ( x, t) 1 (2.15) max l cu grafco è un ramo d parabola smmetrco, con concavtà verso l basso. Il flusso vecolare è crescente con la densta fno a q max raggunto n corrspondenza della denstà crtca c r., valore Al raggungmento d max s ha l congestonamento dell artera e l flusso vecolare è nullo. 3

31 Per calcolare la Fgura 2-1: Dagramma flusso-denstà a regme stazonaro cr s mpone che: dq v d f 1 max v f max v f 1 2 max da cu: dq d 1 cr 2 max Il dagramma flusso-denstà nel caso d relazone veloctà-denstà non lneare è dato da una parabola non smmetrca e n tal caso 1 2 cr max. Nel caso generale l grafco è quello rprodotto n fgura 2.11: 31

32 Fgura 2-11: Caso generale dagramma flusso-denstà La parte del dagramma n cu cr caratterzzata da un andamento monotono crescente è chamata parte stable o parte a traffco leggero. La parte del dagramma n cu cr è chamata parte nstable o parte a traffco pesante. È caratterzzata da una pendenza negatva: l flusso tende a dmnure per valor d denstà che superano l valore crtco e s avvcnano alla max, denstà d congestonamento. La zona ntermeda n cu valor della denstà sono prossm al valore d denstà crtca cr è nteressata dal fenomeno dello stop&go. L nstabltà è dovuta alla teora delle shockwaves secondo cu l aumento della perturbazone, dovuta ad una dscontnutà tra valor d denstà, alla presenza d ostacol, ncdent o ad un tratto congestonato, causa una perturbazone che vene propagata all ndetro Il modello d Lghthll, Whtham e Rchards Il prmo modello macroscopco per la descrzone del traffco autostradale sprato alla fludodnamca fu proposto da Lghthll e Whtham nel 1955 [14]] e ndpendentemente nel 1956 da Rchards [15]. S tratta d un equazone dfferenzale alle dervate parzal del prmo ordne [16]; l modello è conoscuto come LWR. L equazone è quella d conservazone: t x, t qx, t x r( x, t) s( x, t) (2.16) 32

33 Questa equazone vene normalmente dscretzzata rspetto allo spazo e al tempo come segue: T k 1 k q 1 k q k r ( k) s ( k) (2.17) dove: : è l ndce relatvo alle tratte, ossa a var segment che compongono l percorso stradale d nteresse; :è la lunghezza della tratta; k : s rfersce all evoluzone d una certa quanttà nell ntervallo temporale k T, ( k 1) T ; T : è l passo d dscretzzazone temporale; ( k 1) : è l valore d denstà sulla tratta esma al passo dscretzzazone ( k 1) esmo, ossa nell ntervallo k T, ( k 1) T ; q (k) : è l volume d vecol n uscta dal segmento al k esmo passo d dscretzzazone k T, ( k 1) T ; ( ) : è l flusso d vecol n uscta al medesmo passo d q 1 k dscretzzazone n rfermento alla tratta precedente ( 1) ; r (k) : è l flusso vecolare entrante nella tratta al passo k esmo ; s (k) : è l flusso vecolare n uscta dalla tratta al passo k esmo. 33

34 Fgura 2-12: Rappresentazon delle varabl per un sezone generca L equazone dscretzzata della denstà vene accoppata ad un equazone emprca, dnamca o statca, che descrva l evoluzone d v () che esamnamo nella trattazone seguente. Imponendo q v l equazone dventa: T ( k 1) ( k) 1( k) v 1( k) ( k) v ( k) r ( k) s ( k) (2.18) Per calcolare k 1 occorre conoscere l valore della parte destra dove è tutto noto tranne v. Per determnare la veloctà usamo la relazone fondamentale tra veloctà e denstà: v x, t v max x, t 1 max l m (2.19) 34

35 Il modello d Payne and Whtham Negl ann 7 Payne [17] e Whtham proposero ndpendentemente un modello (PW) del secondo ordne, coè con due equazon dfferenzal. Le varabl d stato del modello sono ) (k v, ) (k e ) (k q dove l ndce è relatvo a tratt stradal e l ndce k al tempo. La prma delle due equazon s rfersce alla conservazone della matera ed è la stessa del modello LWR. ), ( ), (,, t x s t x r x t x q t t x (2.2) Questa equazone dscretzzata assume la forma vsta n precedenza: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1 1 k s k r k v k k v k T k k (2.21) Con N,..., 1 e 1,1,... k k La seconda equazone del modello rcavata da consderazon emprche è: x t x t x t x v t x V x t x v t x v t t x v ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 2 (2.22) L equazone vene dscretzzata nella forma seguente: k k k T k v k v k v T k v k V T k v k v 1 1 ) ( ( 1 (2.23) In questa equazone s utlzza la relazone fondamentale espressa nella sua forma pù generale come: m l k v k V max max ) ( 1 (

36 con 1,..., N e k,1,... k 1,,, v max, max, l, m sono parametr determnat emprcamente. 2.3 Cenn su modell mesoscopc e su modell brd I modell mesoscopc s pongono n uno stado d dettaglo ntermedo tra quell mcroscopc e quell macroscopc. Sebbene vecol vengano nzalmente consderat uno ad uno, s effettuano po delle mede global con le qual l modello procede. Il prncpo trae orgne dalle tecnche usate nella meccanca statstca. I modell brd utlzzano una combnazone de modell precedent n modo da concentrare la potenza d calcolo sulle varabl d maggore nteresse e schematzzando a un lvello d dettaglo nferore alcun aspett che, pur essendo rlevant, possono essere accettat con maggore approssmazone. Alcun esemp d questo modo d procedere, oltre che n applcazon commercal d software, s possono trovare n W. Burghout [18] 36

37 Captolo 3 Il Cell Transmsson Model 3.1 Introduzone Il modello CTM, dovuto a C. Daganzo [19] fu svluppato nel 1992 come una approssmazone dscreta del modello drodnamco. Come tale è qund capace d descrvere le onde d accelerazone e l comportamento del traffco nella formazone, propagazone e dsspazone delle code. Con questo modello s mostra come l evoluzone de fluss d traffco attraverso ret complesse possono essere smulat nel tempo basandos su una semplce rappresentazone macroscopca mplementable con un lnguaggo d programmazone del flusso d traffco che concorda con la teora delle onde cnematche sotto tutte le condzon d traffco. Il modello CTM schematzza l tratto stradale composto da celle rettlnee numerate da a I e con una sola fla d vecol. Queste due condzon escludono la possbltà d modellare strade a pù corse. Il modello base, applcato ad una rete caratterzzata da un unco ramo (lnk) vene utlzzato per la rappresentazone d dverse confgurazon che rappresentano var tp d ncroc, per lmtare l numero d ncroc che devono essere studat l attenzone s restrnge a ret con gunzon a tre ram. In questo caso sono solo due possbl tp d ncroc merges e dverges ne prm un ramo funzona da sorgente e rmanent due rappresentano le possbl alternatve d nstradamento del flusso; nel secondo l flusso provenente da due ram conflusce n uno solo. Molt tratt autostradal possono essere rappresentat n questo modo noltre, 37

38 per l ambto d questo lavoro d Tes, assumeremo che le percentual d svolta de vecol verso le vare destnazon sano note a pror come varabl aggregate. Il modello assume una veloctà d propagazone della congestone w costante, mentre dall anals d dat condotte dallo stesso Daganzo [2] rsulta che la veloctà d propagazone dmnusce con la denstà e la veloctà del traffco. Tuttava sempre dat spermental evdenzano che durante la congestone, la veloctà normalzzata d propagazone all ndetro della congestone nel tratto ( w,1 ) rmane costante e non dpende dal flusso. L assunzone che tutt vecol vaggno alla stessa veloctà n condzon d flusso lbero è poco realstca ma consderando una cella suffcentemente grande la veloctà meda costtusce una buona approssmazone della veloctà d flusso lbero. 3.2 CTM: Cell Transmsson Model Introduzone al modello Nel CTM ogn cella è n relazone con quelle precedent e quelle successve ed è caratterzzata da una varable d stato. Il modello è dscreto nello spazo e nel tempo: questo sgnfca che per ogn stante d camponamento aggornamo l valore d questa varable d stato per tutt gl element spazal n cu abbamo dvso l tratto stradale che voglamo rappresentare. Quest element spazal sono sezon che 38

39 vengono comunemente chamate celle. Come gà antcpato numeramo queste celle con ndc crescent a partre da 1. La lunghezza delle sezon non è scelta arbtraramente cascuna sezone è lunga quanto la dstanza percorsa da un vecolo n un stante d tempo e n condzon d traffco leggero. Evdentemente, data questa condzone s assume che tutt vecol d una cella passno alla cella successva per un stante d tempo. Defnamo qund n t come l numero de vecol present nella cella al tempo t, questa sarà la varable d stato l cu valore caratterzza cascuna cella. In questo caso la legge d transzone d stato s può scrvere come: n t n t 1 1 (3.1) S assume che la precedente legge d rcorsva valga per tutt fluss, a meno che l traffco sa rallentato da un collo d bottgla a valle. Questo assunto è ragonevole perché, per condzon d congestone che possono verfcars n perod d punta gran parte de rtard possono essere attrbut alle zone d crtctà n cu code dove l flusso eccede la capactà. Intendamo con flusso l numero de vecol che transta attraverso una certa sezone e per capactà l massmo numero d vecol che un tratto stradale può sostenere. Con questa assunzone neghamo che la causa della generazone d code possa essere rferta ad una qualche relazone funzonale tra flusso e veloctà. 39

40 A supporto d questa teora v sono una sere d consderazon emprche che mostrano come la veloctà meda calcolata per un dato stante d tempo lungo una sezone stradale rmane relatvamente costante e qund ndpendente dal flusso fno quando l flusso non s avvcna alla capactà. Per modellare quest fenomen d coda n cu non tutt vecol rescono a spostars nella cella seguente per mancanza d spazo ntroducamo due varabl (s usa nfatt consderare anche la loro dpendenza dal tempo per consentre la modellazone d ncdent, sebbene generalmente esse sano costant): N t : l massmo numero de vecol che può contenere la cella al tempo t, tale parametro è dretta conseguenza della lunghezza della cella e caratterzza la denstà massma della cella al tempo t; con rfermento a varabl defnte nel captolo precedente N t è l prodotto della lunghezza della cella e della sua denstà d congestone. Q t : l massmo numero d vecol che può entrare nella cella nell ntervallo d tempo t ( t, t 1), defnsce l massmo flusso o capactà. l numero de vecol che possono flure dalla cella 1 alla cella nell ntervallo d tempo t ( t, t 1) è detto (t) ; dove è l ndce relatvo alla sezone; vengono d conseguenza defnte le seguent quanttà l cu mnmo defnsce l flusso n transto: y 4

41 n ( ) : l numero de vecol nella cella -1 al tempo t; 1 t t Q : la capactà d flusso n nell ntervallo d tempo t ( t, t 1) ; N t n t : l numero d vecol che mancano per saturare la cella e n defntva quell che al massmo la cella potrebbe accoglere dalla cella precedente. Questa relazone asscura che la denstà de vecol n ogn sezone non super la denstà massma N t. La smulazone che c proponamo come obettvo segue ancora una volta l concetto dell equazone d conservazone della massa; n altre parole l numero de vecol che occupano la cella al tempo t+1 è uguale al numero d vecol che occupavano la cella al tempo t sommat a quell che nel fra tempo sono entrat e toglendo quell che sono usct. Questo s traduce nella relazone: n ( t 1) n ( t) y ( t) y 1( t 1) (3.2) I fluss sono collegat alle condzon d traffco al tempo t come nella seguente relazone: y t n t, Q t, N t n t mn 1 (3.3) y (t) y 1 ( t) cella Fgura 3-1: flusso entrante ed uscente dalla cella 41

42 La smulazone procedere attraverso l tempo aggornando l occupazone della cella per ogn t. Le condzone al contorno del sstema n esame possono essere defnte attraverso celle d mput e d output con caratterstche partcolar. La cella d output è l cosddetto snk per tutt vecol che escono dal nostro sstema. Conseguentemente essa deve avere dmensone nfnta ( N ) e un flusso massmo n entrata adeguato a rcevere tutt I 1 vecol che voglono uscre dal sstema, possblmente adattandos nel tempo. I fluss d ngresso possono essere modellat da una coppa d celle. La prma è una sorgente numerata ad esempo con ( n () ) con un nfnto numero d vecol che entrano n una cella d ngresso vuota d dmensone nfnta N ( ) che funzona come gate d ngresso per t l nostro sstema. La capacta d flusso Q ( ) dovrebbe essere mpostata par al flusso n ngresso desderato, per l ntervallo d tempo corrspondente. In questo modo la cella d ngresso funzona come un dosatore che rlasca traffco al rtmo che s desdera, mentre trattene (come farebbe un parcheggo), qualunque flusso che non resce ad entrare nel collegamento. Il rsultato della smulazone è ndpendente dall ordne n cu le celle sono consderate ad ogn terazone. Questa è un mportante propretà del CTM perchè permette l anals d ret complesse, ad esempo con loop d calcolo; nfatt l numero de vecol che entrano n una cella non t 42

43 è n relazone con l numero d quell che ne escono; qund solo le condzon corrent nfluenzano gl ngress n una cella. Abbamo detto che y (t) deve essere mnore d tre dverse quanttà (equazone 3.3) le prme due restrzon sono assolutamente ragonevol mentre la terza potrebbe essere crtcata consderando una cella che s svuota pù velocemente d quanto non venga rempta. Per controbattere questa argomentazone bsogna consderare la veloctà con cu gl spaz vuot per le macchne s muovono all ndetro ossa la cosddetta veloctà d propagazone dell onda. Tale veloctà alquanto mprobablmente sarà maggore della veloctà d flusso lbero e questo gustfca la presenza del terzo vncolo peraltro, gl effett dell uscta del flusso vengono rlevat a monte dopo un certo tempo. Nel modello descrtto fno ad ora questo tempo d rtardo è d fatto defnto come un stante d camponamento. Fare questo è del tutto equvalente ad assumere che l onda con cu la denstà lbera s propaga all ndetro è uguale alla veloctà d flusso lbero. Questo è equvalente a mporre che un vecolo non possa entrare ed uscre dalla stessa sezone nello stesso stante d tempo; qund la veloctà d propagazone all ndetro sarà mnore o uguale della veloctà d flusso lbero. Nella sezone seguente dmostramo come, sotto questa condzone, l modello CTM s comporta come l modello drodnamco LWR llustrato nel paragrafo L equvalenza con l modello drodnamco (LWR) Consderamo un tratto autostradale dalle caratterstche omogenee; voglamo ora dmostrare che l che le equazon 3.2 e 3.3, sono 43

44 un approssmazone dscreta del modello drodnamco d Lghthl, Wtham e Rchards dove la relazone tra l flusso e la denstà q () ha la forma d un trapezo soscele (fgura 3.2). 44

45 q q max v w max Fgura 3-2: Relazone flusso denstà con v w Defnendo: v : veloctà d flusso lbero; w veloctà d propagazone all ndetro della congestone; q max : flusso massmo; max : denstà massma. la relazone q () può essere espressa come: v, q, w( ) mnv, q, v( ) q mn (3.4) max max Il flusso massmo è defnto come seguente: vmax qmax (3.5) 2 Sosttuendo la 3.5 nell equazone d contnutà che rcordamo: max ( x, t) q( x, t) q( x, t) ( x, t ) t x x t s ottene l equazone dfferenzale che defnsce l evoluzone del sstema secondo l modello drodnamco: ( x, t mnv ( x, t), q, v( ( x, t) ) max max (3.6) x t max 45

46 D seguto voglamo dmostrare che l equazone 3.6 è equvalente al modello CTM. Trattandos d un autostrada le cu caratterstche sono assunte omogenee e costant, possamo semplfcare ed mporre: N ( t) N e ( t) Q Q Per dmostrare l equvalenza tra l approcco dscreto e quello contnuo s defnsce l tempo d camponamento uguale a dt e s scelgono celle d lunghezza tale per cu vdt=1. Possamo qund assumere lunghezza della cella par a 1 e v d nuovo uguale a 1. sussstono noltre le seguent equvalenze: x, max N, qmax Q e ( x, t) n ( t) Sotto queste convenzon le varabl tra parentes nell equazone 3.6 assumono la seguente forma: mn n ( t), Q, N n ( t) che concde con la defnzone d y ( ) dell equazone 3.2, eccetto per 1 t l ndce d n nell ultmo termne, che dovrebbe essere 1 puttosto che. Questo è rrlevante a meno che la denstà sa dscontnua. Le dscontnutà non sono trattate n questo lavoro d Tes. Dal momento che le equazon dfferenzal drodnamche sono soddsfatte solo quando la denstà è contnua n x possamo sostenere che la varable tra parentes è equvalete a y ( ) : mn n ( t), Q, N n ( t) y ( ) 1 t la parte snstra dell equazone 3.6 dventa: 1 t 46

47 y 1 ( t) y ( t) vdt y 1 ( t) y ( t) La parte destra dell equazone 3.6 ovvamente sarà: n ( t 1) n ( t) dt n ( t 1) n ( t) L uguaglanza d queste quanttà è equvalente alla rcorsone dell equazone 3.2: y 1( t) y ( t) n ( t 1) n ( t) Il caso generale del CTM Nella trattazone precedente s mpone l utlzzo d una relazone flussodenstà (trapezo soscele) la quale forza la veloctà d propagazone dell onda ad eguaglare n modulo la veloctà d flusso lbero w v. Questo è rrealstco perché nella realtà s è osservato come le onde s propaghno con veloctà nferore a quella d flusso lbero; ntroducendo questa consderazone s modfca l modo n cu modo n cu vecol s avvcnano al collo d bottgla e la localzzazone delle code. Con onde lente le code che s formano detro un ostacolo temporaneo persstono per pù tempo e vengono dsspate pù a monte. Peraltro questa dfferenza della veloctà dell onda non nflusce sull stante n cu un vecolo oltrepassa l ostacolo e, qund, non modfca l suo tempo d rtardo. Esamnamo un estensone del CTM che approssma l modello drodnamco con un equazone d stato che permetta la propagazone delle onde all ndetro (della congestone) con veloctà w v. 47

48 q q max v w max Fgura 3-3: Relazone flusso denstà con w v L equazone d stato llustrata n fgura è la seguente: q mn v, qmax, w( max ) max (3.7) con w v e q max max 1/ v 1/ w l modello è dentco rspetto a quello descrtto n eccetto che l equazone 3.2 che deve essere modfcata n: y t n t, Q t, w / vn t n t mn 1 (3.8) Anche n questo caso s può mostrare l equvalenza con l modello drodnamco. Per un autostrada omogenea l equazone dfferenzale che defnsce l evoluzone del sstema n un modello drodnamco è ora: ( x, t mnv ( x, t), q, w( ( x, t) ) max max (3.9) x t Nella rappresentazone n oggetto le caratterstche della cella sono ndpendent da e da t, coscchè nell equazone possamo usare N ( t) N e ( t) Q. S assume l stante d camponamento nel tempo Q uguale a dt e s scegle l untà d lunghezza tale per cu vdt 1. Qund valogono le seguent equvalenze: 48

49 x, N, qmax Q, w w/ v, e ( x, t) n ( t). max Con queste convenzon le funzon d mnmo dell equazone 3.9 può scrvers nella seguente forma: mn q( t), Q, w / v( N n ( t)) Quella scrtta sopra è la defnzone d y t n accordo con l equazone 3.8. eccetto per l ndce d n dell ultmo termne. Per modell con denstà contnua la parte snstra dell equazone 3.9 dove la dervata vene approssmata con un rapporto ncrementale fnto dventa: y t y ( ) t 1 1 La parte destra equvale a: n ( t 1) n ( t) 1 L equazone 3.9 e la rcorsone alle dfferenze fnte dell equazone 3.3 devono essere equvalent quando la denstà è contnua, perché entrambe esprmono l uguaglanza delle due quanttà sopra defnte. Come prma gl ndc scelt per l equazon 3.6 asscurano che le rcorson s comportno opportunamente anche n presenza delle dscontnutà Le equazon 3.2 e 3.8 rsolvono l modello drodnamco contnuo d fgura 3.2 quando è usato un stante d tempo nfntesmale dt. 49

50 3.2.4 La rappresentazone del modello CTM : Replogo Fno ad ora abbamo llustrato come la teora del Cell Transmsson Model così come è stata ntrodotta dal suo nventore Daganzo n [19] prevede l utlzzo d una relazone tra l flusso d traffco (q) e la denstà (ρ) della forma seguente: q mn v, qmax, w( max ) max (3.1) In questo modo possamo scrvere delle formule d aggornamento dscrete per un sngolo lnk che consentono d calcolare lo stato futuro del sstema sulla base d quello passato. Queste equazon rappresentano noltre una approssmazone del modello LWR. Rcordamo che v, qmax, w e ρ, sono costant che, rspettvamente, denotano la veloctà d flusso lbero, l flusso massmo del lnk, la veloctà con la quale dsturb s propagano all ndetro quando l traffco è congestonato e la massma denstà del lnk. Il metodo assume che la strada sa dvsa n sezon omogenee,, la cu lunghezza è uguale alla dstanza percorsa da un vecolo che procede a veloctà v n un stante d tempo (mnore è la lunghezza della cella e mglore è l approssmazone con l modello LWR). Lo stato del sstema all stante t è dato dal numero d vecol n ogn cella, n(t). Per ogn cella s defnscono noltre seguent parametr. N t : l massmo numero d vecol che possono essere present nella cella all stante t; 5

51 Q t : l massmo numero d vecol che possono flure nella cella quando l tempo avanza da t a t+1. Se le celle sono numerate consecutvamente da =1 fno a I, la relazone rcorsva che rappresenta la trasmssone delle celle è: n ( t 1) n ( t) y ( t) y 1( t 1) (3.11) con y t flusso d ngresso nella cella nell ntervallo (t,t+1), dato da: y con t n t, Q t, N t n t mn 1 (3.12) w. v Possamo noltre defnre le condzon al contorno utlzzando celle specla d mput e output per, rspettvamente modulare l flusso d vecol n ngresso e smaltre quello n uscta La rappresentazone della rete La rete d traffco è descrtta generalmente con un grafo orentato composto da un nseme d arch e un nseme d nod Nel nostro modello ogn arco è defnto da parametr fsc come la propra lunghezza e l nseme de parametr che defnscono la relazone flusso denstà q() della forma dell equazone 3.1. Ogn arco può essere suddvso n celle, tuttava ne graf compless non è possble numerare le celle consecutvamente e specfcare che vecol fluscano da una cella alla cella +1. Pertanto rsulta convenente descrvere l sstema delle celle come un nseme d nod (I) e tutt possbl collegament frubl da vecol come un nseme d trasferment consentt (K). S not come l grafo così 51

52 costruto sa molto dfferente da quello orgnaramente descrtto nfatt le celle sono assocate a nod mentre gl arch rappresentano cosddett lnk: n questa nuova accezone l lnk è un oggetto astratto che rappresenta solo l collegamento tra due celle contgue. Per ogn lnk k s specfca una cella d nzo (Begnnng) e una cella d fne (Endng); la notazone utlzzata è Bk per la cella d nzo e Ek per la cella fnale. Nel modello nzale Q rappresenta l numero massmo d vecol che può entrare nella cella ì nell ntervallo d tempo t ( t, t 1), sotto la condzone che la cella possa osptare tale numero d vecol. Altrment s può defnre Q come l massmo flusso attraverso la cella, n questo caso esso assume sgnfcato d ndcatore della capactà, successvamente s defnsce l flusso mnmo tra Q 1 e Q, come massmo flusso ammssble da 1 a. Questo tpo d defnzone è pù adatta al modello d rete. In questo modo cascuna cella è caratterzzata da un numero massmo d vecol N e un massmo flusso d attraversamento Q. N e Q sono quanttà nodal La rappresentazone della rete Nella rappresentazone della rete l numero massmo d arch (lnks) entrant e/o uscent da cascuna cella (nod) è 3. Questo mplca consderare solo gunzon stradal a 3 ram. Le celle sono qund classfcate n tre tp celle d dverge se solo un lnk entra nella cella e due escono, celle d merge se due lnk entrano nella cella e uno esce, celle ordnary se un lnk entra e uno ne esce. Il modello base consste 52

53 della cella d merge (dverge), d lnk n ngresso e/o n uscta e delle celle da cu ess provengono (fgura 3.5). Per dentfcare var component, s usano prefss c e C : che denota l lnk complementare al lnk k mentre Ck ndca la cella complementare alla cella Bk nel caso merge e alla cella Ek nl caso dverge. I fluss su lnk k e ck sono determnat usando equazon sml alla 3.12 n cu le caratterstche fsche d rempmento sono quelle delle celle Bk, Ek, Ck. Fgura 3-4: M erge e Dverge Un autostrada potrebbe ncludere qualche lnk appartenente contemporaneamente a pù d una gunzone. La presenza d quest lnk potrebbe però complcare l equazone del flusso su lnk, per tale motvo le mult-gunzon non sono trattate nel modello. Così la rappresentazone della rete dventa d una delle tre class defnte merge lnk che provene da una gunzone d merge, dverge lnk che provene da una gunzone dverge e ordnary lnk o collegamento con gunzone ordnara. Non c sono perdte d generaltà dal momento che topologe non consentte (fgura 3.5) possono essere faclmente trasformate n 53

54 equvalent consentt, dmnuendo la loro lunghezza ed ncrementando l ntervallo d camponamento. Fgura 3-5: Topologa d rete non valda Fgura 3-6: Topologa d rete consentta 3.3 Il modello CTM con percentual d svolta note Il modello CTM è stato svluppato da Daganzo [21] per consderare confluenze e dvergenze d tratt stradal. Obettvo del Modello è per ogn nterazone d tempo determnare: l flusso che percorre cascun lnk; l numero d vecol present n ogn cella trasferendo opportunamente var fluss. D seguto saranno rportate le procedure utlzzate nella rsoluzone de tp d gunzone ammess. Nel mo lavoro utlzzerò modell svluppat 54

55 nel caso n cu le percentual d svolta de vecol sono note a pror come valor percentual aggregat. Nello studo delle gunzon, le condzon verranno espresse drettamente nella forma del modello CTM senza esplctare d nuovo le loro equvalent contnue Collegamento Ordnaro Nel caso d collegamento ordnaro la formula che fornsce l flusso y k t sul lnk k dall stante d tempo t all stante t+1 è quella del paragrafo precedente, che qu s rscrve ntroducendo pedc: y k t n,mnq, Q, N n mn (3.13) B k B k E k E k Ek Nella parte destra dell equazone s omette per semplctà la varable tempo. Nel seguto ogn grandezza la cu dpendenza dal tempo non è resa esplcta va consderata come rferta al tempo t. Un modo pù semplce d scrvere questa equazone s ottene dapprma dstnguendo tra flusso nvato (SI sent) dalla cella precedente e l fusso rcevuto (RI: receved) da quella successva. Defnamo per ogn cella I l massmo flusso che può essere nvato nell ntervallo d tempo t ( t, t 1) come: I S ( t) mn n, Q (3.14) I I mentre l flusso massmo che può essere rcevuto dalla cella I nell ntervallo d tempo t ( t, t 1) è defnto come: I I I R ( t) mn Q, N n (3.15) I I Ek 55

56 Il flusso y k t sul lnk k può qund essere rscrtto nella forma pù semplce: k y ( t) mn S, R. (3.16) Bk Ek Il flusso sul lnk k dovrebbe essere l massmo che può essere mandato dalla cella precedente a meno che la cella I che lo rceve non abba suffcente spazo per accoglere tale flusso. Se questo accade l flusso sarà l massmo permesso dalla cella a valle. L equazone 3.16 è nteressante perché ndca la drezone della causaltà. Negl ntervall d tempo n cu S R l flusso nel lnk k è determnato dalle condzon Bk Ek d traffco a monte come prevsto anche dal modello LWR. Vceversa quando S R l flusso è mposto dalle condzon a valle e dalle Bk Ek caratterstche del movmento retrogrado dell onda d traffco. Il numero d vecol present nelle due celle BK ed EK al tempo t +1 s determna con la formulazone seguente: n n Bk Ek t 1 n t y t Bk t 1 n t y t E k k k k k (3.17) Modello d Confluenza Bk Ck k ck Ek Fgura 3-7: La topologa della gunzone merge Nel caso d confluenza v possono essere tre cas: 56

57 Caso1 (Forward): la terza cella è n grado d assorbre tutto l flusso dalle altre due: questo sgnfca che l flusso su entrambe le celle d ngresso è mposto dalle condzon a monte, dal momento che a valle non abbamo costrzon; Caso2 (Backward): la terza cella non è n grado d assorbre l ntero flusso d nessuna delle due celle d orgne a causa d scarsa capactà o d coda che s propaga all ndetro dalle celle successve: n questo caso l flusso è completamente mposto dalle condzon a valle; Caso3 (Mxed): la terza cella è n grado d assorbre l flusso d una delle celle precedent ma non resce a smaltre l ntero numero d vecol provenent dall altra: evdentemente l flusso sarà mposto dalle condzon a monte puttosto che a valle a seconda della cella consderata. Il flusso deve soddsfare le seguent condzon general valde per tutt cas: I. y ( t) S y k Ck Bk ( t) S Ck (3.18) Con questa formulazone s defnsce che l flusso y k (t) che la cella BK può nvare deve essere evdentemente mnore o uguale del suo valore massmo S Bk ; stessa assunzone per l flusso y Ck (t) nvato dalla cella CK che deve essere nferore o uguale al suo massmo nvable. 57

58 II. R y ( t) y ( t) (3.19) Ek k Ck Un altra condzone valda ne tre cas è che la somma de fluss nvat dalla celle BK e CK deve essere nferore al flusso rcevble dalla cella EK. Oltre a queste due condzon s assume che le celle BK e CK nvno l massmo flusso possble nella cella EK sempre che questa possa rceverlo, ovvero valga la condzone seguente: yk ( t) S Bk e yk ( t) SCk se REk S Bk SCk (3.2) Se questa condzone non è soddsfatta s assumerà che nella cella EK entr l massmo numero d vecol rcevbl R Ek. S not come l equazone 3.2 rsolva l caso 1 descrtto n apertura d Sezone. Fnchè l flusso nvato dalla cella BK e dalla cella CK non s esaursce s assume che una frazone p k del flusso sa nvato da BK e una rmanente p dalla cella CK tal che p p 1. Ck k Ck Le costant p caratterzzano la prortà con cu l flusso s rpartsce nelle celle a valle, (per esempo l assoluta prortà d k mplca p 1 e k p Ck ), possamo qund dstnguere tra flusso prortaro e complementare. Se l rfornmento d vecol n uno degl approcc p k o pck s esaursce prma della fne dell ntervallo d tempo n oggetto rmanent vecol fluranno dall approcco complementare. Rsoluzone Grafca del Modello d Confluenza 58

59 Il rettangolo ombreggato n fgura rappresenta l nseme de fluss che soddsfa l equazone 3.16 sono mplcte le restrzon d non negatvtà. I 3 Cas dell equazone R y ( t) y ( t) sono rappresentat n fgura Ek k dalle rette (), () e () soluzon della formula n oggetto. Nella fgura è Ck rappresenta anche la retta d y Ck y ( t) k ( t) p p Ck k relatva a fluss d ngresso nella cella Ek prma che l flusso s esaursca. Fgura 3-8: Rsoluzone grafca modello d convergenza 59

60 Nel Caso 1 (Forward) le rette () e d s ntersecano n un punto esterno al rettangolo e contemporaneamente la retta () non attraversa lo stesso, n tale caso fluss sono le coordnate del punto P. Nel Caso 2 (backward) le rette () e d s ntersecano n un punto nterno al rettangolo la terza cella non può rcevere tutto l flusso nvato dalle due celle a monte (all nterno delle qual s accumuleranno vecol che non possono flure a valle) la soluzone è l punto d ntersezone Q. Nel Caso 3 (Mxed) le rette () e d s ntersecano n un punto esterno al rettangolo. Il rfornmento da una delle celle s esaursce prma della fne del tempo d valutazone e qund la soluzone deve essere sul lato del rettangolo che s nterseca con la retta d. In questo modo una cella esaursce l propro flusso n uscta mentre l flusso consentto per l altra vene determnato d conseguenza con semplc consderazon analtche o geometrche (se s consdera la fgura). Per l Caso 2 ed l Caso e 3 l punto d soluzone è l punto medo de tre punt ntersecat dalla retta (Q, Q Q ) o dalla retta (R R R ); pertanto s arrva alla seguente formulazone: y y k Ck serek S Bk SCk ( t) md S, R S, p R (3.21) ( t) md S Bk Ck, R Ek Ek S Ck Bk, p k Ck Ek R Ek Dove la funzone md{x,y,z} resttusce l valore ntermedo tra x, y e z. 6

61 Le equazon 3.2 e 3.21 defnscono fluss attraverso una convergenza nell ntervallo d tempo (t,t+1) e sono la generalzzazone dell equazone 3.16 usata nel collegamento ordnaro. Per determnare l numero d vecol present nelle celle s userà la formulazone S può far varare l valore d p nel tempo, come per le altre caratterstche d cella qual N, Q e δ, oppure farlo dpendere dallo stato della cella fnale. Far dpendere Q dal tempo può utle per stratege d controllo del tpo ramp-meterng ; la dpendenza d N dal tempo può essere utle per un modello con chusure temporanee d corsa mentre far dpendere p dal tempo consentrebbe d smulare ntersezon stradal governate da semafor. Per una convergenza controllata da un semaforo s possono modfcare le condzon 3.2 e 3.21 nelle seguent formulazon, tenendo conto che l semaforo può mpedre ad una cella d orgne d nvare l propro flusso alla cella d destnazone anche se essa è lbera: y k ( t) se p k ( t) (3.22) k Ek Bk y ( t) mn R, S se ( t) 1 p k Una varazone della formula 3.22 s applca se l flusso secondaro non è totalmente nterrotto quando l flusso ad altra prortà e basso (ad esempo quando alcune manovre d svolta sono permesse anche a semaforo rosso). 61

62 S not anche come, se le p dpendono dall occupazone delle celle a monte della gunzone, è possble attuare stratege d controllo del traffco Modello d Dvergenza k Ek Bk ck Ck Fgura 3-9 La topologa della gunzone dverge Nel Modello d dvergenza schematzzato n fgura 3-9 s assume che la cella Bk possa nvare un numero massmo d vecol S Bk (t) durante l ntervallo d tempo (t,t+1) mentre la cella Ek e la cella Ck possono rcevere rspettvamente un numero massmo d vecol par a R Ek (t) e R Ck (t). Le quanttà S Bk (t), R Ek (t) e R Ck (t) sono date dalle equazon 3.14 e 3.15 come per l collegamento ordnaro. Poché una parte d S Bk (t) è destnata alla cella Ek e una parte alla cella Ck s assume che tutto l flusso s blocch se una delle due celle non abba la capactà rcettva adeguata al flusso nvatogl ovvero se SBk ( t) Rk( t) (con =C,E). Cò sgnfca che vecol che non rescono a flure o nella cella C o nella cella E ovvamente bloccano quell seguent ndpendentemente dalla loro destnazone; questo assunto, consderato accettable per l lvello d accuratezza rchesto da modell d larga 62

63 scala, mplca che vecol nel modello d dvergenza (qund n tutta la rete del Cell Transmsson Model) procedono con sequenza FIFO (frst-nfrst -out). Nel mo lavoro d Tes s assume che una frazone fssa del traffco d S Bk (t) vada n una cella e l resto nell altra secondo le percentual b Ek e b tal che b b 1. Ck Ek Ck Pertanto l numero d vecol che entrano nella cella EK ed CK al tempo t sarà dato rspettvamente dalle equazon seguent y ( t) b y (3.23) k Ek Bk y Ck ( t) b y (3.24) Ck Bk Il flusso y Bk (t), n uscta dalla cella BK dovrebbe essere l pù grande possble ma senza eccedere la quanttà che può essere rcevuta dalle celle seguent. Questo mplca che y k (t) non deve superare R Ek (t) e che C (t) deve essere mnore d R Ck (t) Queste condzon possono essere espresse matematcamente come : max y ( t) : y ( t) S, b y ( t) R, b y ( t) R (3.25) Bk Bk Bk Ek Bk La soluzone d questo problema d programmazone lneare è la seguente: REk RCk y Bk ( t) mns Bk,, (3.26) bek bck Ek Ck Bk Ck y k 63

64 Per aggornare lo stato del sstema nel tempo d camponamento scelto s utlzzano: l equazone 3.26 per defnre l flusso nel modello d dverge; una formula equvalente a quella del collegamento ordnaro e del collegamento con convergenza per determnare l numero d vecol present nelle tre celle all stante d tempo t+1: n n n Bk Ck Ek t 1 nbk t yb t k ( t 1) nck ( t) bck yb t k t 1 n t b y t E k Ek B k 3.4 ACTM: Asymmetrc Cell Transmsson Model Il modello ACTM derva da una modfca del precedente CTM (Cell Transmsson Model [22]. La dfferenza pù rlevante tra due modell rguarda l modo d trattare le convergenze: nell ACTM v è una lnea d scorrmento prncpale alla quale s connettono le rampe d entrata e d uscta. Nel modello ACTM s ntroduce un parametro addzonale ( ) per controllare la mscelazone tra l flusso prncpale e l flusso della rampa n ngresso. Nell applcazone dell ACTM l autostrada è suddvsa n I sezon ognuna delle qual contene almeno una rampa d ngresso e una d uscta sotto la condzone che quest ultma sa a monte. 64

65 Le sezon sono numerate da a I-1 ed l tempo è dvso n ntervall d stessa ampezza t. f 1, k v w n f f, k w v 1 f 1 1 n 1 f 1, k r,k s,k r 1, k s 1, k Fgura 3-1: l M odello Asymmetrc Cell Transmsson M odel Le prncpal varabl che ntervengono nel modello sono elencate d seguto: n : [vecol/sezon] numero d vecol nella sezone al tempo k; (, k) f (, k ) :[vecol/perod] numero d vecol che passa dalla sezone alla sezone ( + 1) nell'ntervallo k; r (, k) : [vecol/perod] numero d vecol che entra nella sezone dalla rampa d ngresso nell'ntervallo k; s (, k) :[vecol/perod] numero d vecol che esce nella sezone dalla rampa d ngresso nell'ntervallo k; Per ogn tratto s hanno anche le quanttà caratterstche ndpendent dal tempo: n : [vecol/sezon] numero massmo d vecol che l tratto può contenere; f : [vecol/perod] numero massmo d vecol che possono passare dal tratto al tratto ( + 1 ); 65

66 : coeffcente d mescolamento del flusso sulla rampa d ngresso, ndca quanto del flusso della rampa d ngresso s unsce al flusso prncpale;,1 v : veloctà normalzzata del flusso lbero nel tratto ; w,1 : veloctà normalzzata d propagazone all'ndetro della congestone nel tratto. Nel modello la lunghezza delle celle è normalzzata a 1 n funzone delle veloctà v,1 e w,1. L nterpretazone grafca delle quanttà caratterstche è llustrata nella fgura seguente. f (, k) f v w n n(, k ) Fgura 3-11: Interpretazone grafca delle varabl d traffco. Nel modello v sono due equazon relatve al flusso prncpale: equazone d conservazone della massa sulla corsa prncpale; equazone del flusso sulla corsa prncpale Equazone d conservazone del flusso prncpale Dato l stante d tempo k e defnte le seguent quanttà come: n : quanttà d vecol nel tratto al tempo k; (, k) 66

67 ( 1, k ) r( 1) f :quanttà d vecol che entrano nel tratto al tempo k; (, k) s( 1) f : quanttà d vecol che escono dal tratto al tempo k. L equazone d conservazone della massa sulla corsa prncpale assume la seguente forma: n n f r f s ) (3.27) (, k1) ( (, k) ( 1, k) ( 1) (, k) ( 1) Il numero d vecol present n ogn cella all stante d tempo k+1 è uguale alla somma del numero d vecol present nella cella nell stante d tempo precedente k, l numero d vecol nvat dalla cella a valle -1, del numero d vecol entrant dalla rampa d ngresso ; a questa somma s sottraggono l numero d vecol uscent dalla rampa d uscta della cella e quell nvat dalla cella n oggetto alla successva cella Equazone del flusso prncpale Per formulare l equazone del flusso sulla corsa prncpale per ogn cella s defnscono delle condzon lmte per fluss ammssbl espresse d seguto: f s v n r (, k ) (, k ) (, k ) (, k ) : s lmta l flusso totale che lasca la sezone nell stante d tempo k assumendo che l traffco s muova alla veloctà v ndpendentemente dal flusso; f w n n r : c asscura che l flusso della strada (, k) 1 1 ( 1, k) ( 1, k) prncpale non ecceda la quanttà massma che può essere rcevble dalla sezone seguente. Il secondo membro della dsequazone ndca la porzone w 1 dello spazo totale dsponble nella cella a valle +1; 67

68 f f (, k ) : questa espressone rappresenta l lmte d capactà del flusso prncpale. (, k) F ˆ mn f s (, k) ; (, k) : rappresenta l mnmo tra l numero massmo d vecol che possono passare dal tratto al tratto ( + 1 ) e quell entrat dalla rampa; Date queste condzon lmte l flusso prncpale è calcolato n analoga al Cell Transmsson Model come l mnmo tra l flusso nvato dalla cella a monte, assumendo veloctà massma possble, e tra l flusso che può essere rcevuto dalla cella a valle. L equazone del flusso prncpale f (, k) sarà data dalla seguente formula: f mn[ v ( n(, k) r(, k) ); w( 1) ( n( 1) n( 1; k) r( 1; k) ); F(, ) ] (3.28) (, k) k Con l equazone del flusso prncpale è smle all equazone del flusso nel CTM per l collegamento ordnaro e per l modello d dvergenza. 68

69 Captolo 4 La smulazone: Matlab Il codce è stato svluppato nteramente nel lnguaggo d scrptng messo a dsposzone dal software Matlab. Questo programma costtusce d fatto uno standard per l calcolo scentfco. Cò è dovuto senz altro alla facltà d mplementazone d algortm anche compless, untamente ad una evoluta capactà grafca. Negl ann 7 con l lnguaggo FORTRAN furono svluppate molte lbrere per la rsoluzone d problem d algebra lneare [23]. Nel 198 Cleve Moler scrsse un programma che, utlzzando queste lbrere, funzonava come una avanzata calcolatrce scentfca. Nel 1985 con la fondazone della socetà Mathworks [24] l codce venne rscrtto completamente n C. Il nome è l acronmo d MATrx LABoratory. Inzalmente pensato per agevolare l calcolo matrcale, negl ann s è arrcchto d nuove funzonaltà e d specal strument dedcat (toolbox) come l pdetool, utle per la rsoluzone numerca d equazon dfferenzal alle dervate parzal, o Smulnk, noto per agevolare la defnzone e la soluzone d modell dnamc attraverso rappresentazon a blocch. Il punto d forza d Matlab resta comunque quello d maneggare senza dffcoltà le matrc e le funzon ad esse assocate (nversone d matrc, calcolo del determnante, ecc.). Ogn varable numerca è nclusa n una struttura matrcale: anche uno scalare è nteso come matrce 1x1. 69

70 L ambente d lavoro s presenta come una shell (tpo DOS o Bash, d cu perlatro nterpreta molt comand) n cu è possble nserre le struzon drettamente da lnea d comando. Il lnguaggo d scrptng Matlab consente d realzzare degl scrpt che raggruppano nsem d operazon altrment lancabl sngolarmente dalla lnea d comando che comunque costtusce la sua prncpale nterfacca. Con questa funzonaltà esso rende possble la realzzazone d ver e propr programm, sebbene non possa essere consderato un lnguaggo d programmazone n senso lato: ad esempo le lste d comand vengono nterpretate e non complate. Nonostante questo, s è reso possble defnre alcune component tpche de lnguagg d programmazone, come la defnzone d varabl o la creazone d funzon. Le varabl vengono memorzzate n una memora locale che l programma chama Workspace : esse sono mantenute fno a quando l utente non le elmna con un opportuno comando (o, charamente, alla chusura del programma). In questo modo s rende possble anche lavorare da lnea d comando sulle varabl defnte all nterno d scrpt appena lancat. Nel tempo, sono state aggunte vare funzonaltà che rendono l software sempre pù vcno ad un IDE d programmazone orentato 7

71 all esecuzon d software prevalentemente matematc (peraltro s dmostra ottmo anche nella gestone d fle d testo e strnghe, oltre che d mmagn), come ad esempo la possbltà d realzzare nterfacce grafche che rcordano molto lnguagg vsual come Vsual Basc. Operazon sulle Matrc Nella sua gestone orentata al calcoo matrcale, Matlab mette a dsposzone dell utente tutte le prncpal operazon sulle matrc rendendole estremamente banal da usare. In questo senso, defnte due matrc A e B, la loro somma sarà ottenuta semplcemente con l comando A+B; l prodotto rghe per colonne vene defnte da A*B, l nversa della matrce vene calcolata con A^(-1) mentre la traposta come A. Evdentemente le matrc sono anche l modo mglore per collezonare valor numerc (ntendendole qund alla stregua d tabelle): n quest cas s rende utle la possbltà d esegure operazon elemento per elemento facendo prededere l operatore dal punto (A.*B); Contator Un altra possbltà che l software mette a dsposzone è la defnzone d ntervall d valor: la notazone corrspondente è l smbolo de due punt: la dctura n=1:2:3 memorzza n un vettore sgnfca: tutt valor da 1 a trenta con passo 2. In questa modo è facle costrure contator o assegnare matrc. 71

72 Funzon Matlab s dstngue per l elevatssmo numero d funzon predefnte; generalmente esse sono orentate al calcolo matematco, ma anche la gestone d fle, l nput ed output d stream d testo, l processng d mmagn o d segnal vengono gestt con opportune procedure. Grafc Una delle potenzaltà maggor d Matlab è la capactà d rappresentazone grafca. Sa n ambto bdmensonale che trdmensonale è possble ottenere grafc faclmente modfcabl a seconda delle esgenze dell utente. In fgura 5-1 mostramo un esempo d grafco bdmensonale ottenuto utlzzando una funzone n grado d trovare una funzone non lneare n grado d approssmare l comportamente d una sere d dat. 72

73 6 Input data Fgura 4-1: Esempo d grafca bdmensonale 73

74 data degree = 1 degree = 2 degree = 3 degree = 4 degree = 5 degree = 6 degree = 7 degree = Fgura 4-2: Esempo d grafc sovrappost In fgura 5-2 mostramo un nseme d grafc sovrappost semplc da confrontare (n questo esempo s stma l trend d crescta de punt dat attraverso polnom d grado crescente. La parte d grafca trdmensonale è partcolarmente potente. Essa consente nfatt d rappresentare su tre ass sa funzon d due varabl che matrc altrment defnte. Sono noltre dsponbl numerosssm tp d grafc che consentono dverse vsualzzazon. Ogn fgura è po esportable n var format compres quell vettoral che non perdono qualtà se ngrandt. 74

75 Fgura 4-3: Superfce trdmensonale Fgura 4-4: Rappresentazone trdmensonale d f(z)=z 1/3 75

76 Programmazone Nel suo lnguaggo d scrptng Matlab usa strutture sml a quelle de pù comun lnguagg d programmazone. Ad esempo, v sono le due classche struzon per ccl: Il for, abbnato a un contatore: for =1:p:n end. ed l whle whle (cond) end Per esegure una sere d struzon al verfcars o meno d una condzone s usa l comando f: f (condzone) else end Per una molteplctà d condzon mutuamente esclusve s può usare l comando swtch: swtch (espressone) 76

77 case Valore1 case Valore 2 otherwse end 77

78 Captolo 5 I smulator realzzat 5.1 Introduzone La parte nzale del lavoro d Tes è stata ncentrata sulla realzzazone d due smulator utlzzando Matlab per modellzzare l Cell Transmsson Model e l Asymmetrc Cell Transmsson Model. La parte fnale della tes consste nell applcazone de due modell ad un caso reale, ossa lo svncolo d Savona tra la A1 n drezone Ventmgla e la A6 n drezone Torno. Vedamo nella seguente trattazone come sono stat mplementat modell. 5.2 Programmazone del modello Ctm Nella programmazone del Ctm ho consderato un caso potetco n cu l tratto stradale è stato suddvso n 8 sezon celle. I rettangol numerat n fgura rappresentano le celle, mentre le frecce (lnk) che collegano le sezon defnscono esclusvamente la drezone n cu l flusso d vecol s rpartsce nella rete; pertanto le celle sono da consderars contgue. Nella cella 1 e nella cella 2 sono stat nsert due ngress, rspettvamente y1 e y2. La cella 1, la cella 2 e la cella 3 costtuscono una convergenza d tpo merge : l flusso dalla cella 1 e dalla cella 2 conflusce nfatt nella cella 3 con precse proporzon d devazone e sotto alcun vncol relatv alla capactà rcettva della terza cella. Dalla cella 3 l flusso s muove nella cella 4 e da questa alla cella 5; 78

79 le tre sezon sono collegate da lnk ordnar n quanto solo un lnk entra nella cella 4 ed uno esce per conflure nella cella 5. La cella 5, la cella 6 e la cella 7 costtuscono nvece una dvergenza d tpo dverge ; dalla sezone 5 nfatt l flusso s rpartsce su due lnk, uno confluente nella cella 6 ed uno nella cella 7. Fgura 5-1 Il modello rappresentato Al varare del tempo k camba lo stato delle celle, generando così una matrce dell'evoluzone del sstema. È stato defnto con l=1,.,8 l parametro ndcante l numero della cella trattata. La smulazone s svluppa lungo un numero predefnto d terazon d tempo. S è scelto d modellare l ngresso de vecol nel sstema tramte l nsermento d due celle d orgne fluss n ngresso y1 per la cella 1 e y2 per la cella 2. Indcando con w la veloctà retrograda [sezon/perodo] e con v la veloctà d flusso lbero [sezon/perodo], è stata posta n base a dat spermental la veloctà d propagazone all ndetro della congestone a crca un terzo della veloctà massma d scorrmento lbero. w=1/3 v=3 79

80 È stato defnto l rapporto d tra le veloctà w e v utlzzato per calcolare la quanttà d vecol da ntrodurre nella cella l-esma. d=w/v; Le percentual d convergenza e dvergenza rappresentano rspettvamente le frazon d flusso che provengono dalla cella precedente e dpartono n quella successva. È stata ndcata con p la percentuale d convergenza e con b quella d dvergenza, tale percentual varano nell ntervallo [, 1]. Nella fase d nzalzzazone le celle sono state caratterzzate da un numero massmo d vecol e da un flusso massmo ammssble. S è posta par a zero la quanttà nzale d vecol present nelle sezon all stante d tempo nzale. È stato ndcato con N(l) l numero massmo d vecol che la cella l-esma può contenere e con Q(l) l massmo flusso che può flure attraverso la cella l-esma nel tempo d smulazone scelto. S è posta par a zero la quanttà d vecol nella cella 1 nell stante d tempo 1. La quanttà massma d vecol, ndcata con S(l,k), che la cella l può nvare a quella successva è ottenuta come mnmo tra vecol che contene e quell che la possono attraversare. La quanttà d vecol, ndcata con R(l,k), che la cella l può rcevere è data dal mnmo tra vecol che la possono attraversare e la capactà resdua, ottenuta come dfferenza tra l massmo numero d vecol che 8

81 la cella può contenere e vecol contenut, moltplcat per l rapporto tra le veloctà vsto n precedenza. Fgura 5-2: M odello d una sngola cella L nzalzzazone è stata espressa con un cclo for sull ndce l. for l=1:7 N(l)=N; Q(l)=Q; n(l,1)=; S(l,1)=mn( Q(l), n(l,1) ); R(l,1)=round(mn( Q(l), d*(n(l)-n(l,1)) )); End Nella fase d programmazone s è scelto d nserre una cella 8 con capactà nfnta nella quale conflusce l flusso provenente dalla cella 6 e dalla cella 7. La cella 8 è stata nserta al fne d smulare correttamente l uscta dal tratto stradale smulato: essa d fatto svolge la funzone d serbatoo. L obettvo della smulazone è, per ogn terazone d tempo t defnre sa l flusso della cella l-esma, sa l numero de vecol present n ogn cella. 81

82 5.2.1 Defnzone del flusso Per modellare la convergenza, ovvero l caso n cu l flusso nvato dalla cella 1 e dalla cella 2 conflusce nella cella 3, sono stat modellat due cas: nel prmo la cella 3 ha capactà suffcente a raccoglere l flusso y13 provenente dalla cella 1 e y23 provenente dalla cella 2; nel secondo caso la cella 3 può rcevere solo una parte del flusso nvatole n proporzone al coeffcente d convergenza p. Il flusso entrante nella cella 3 nvato dalla cella 1 y13 sarà dato dal valore medano delle tre seguent quanttà: l massmo flusso che può nvare la cella 1 nel tempo d smulazone scelto, la dfferenza tra l massmo flusso rcevble dalla cella 3 e l massmo flusso nvable dalla cella 2 e la percentuale p della capactà rcettva della cella 3. Il flusso entrante nella cella 3 nvato dalla cella 2, y23, sarà dato dal valore medano delle tre seguent quanttà: l massmo flusso che può nvare la cella 2 nel tempo d smulazone scelto, la dfferenza tra l massmo flusso rcevble dalla cella 3 e l massmo flusso nvable dalla cella 1 e la percentuale p della capactà rcettva della cella 3. f (R(3,k) > S(1,k)+S(2,k)) y13=s(1,k); y23=s(2,k); else A1=[S(1,k); R(3,k)-S(2,k); p*r(3,k)]; A2=[S(2,k); R(3,k)-S(1,k); (1-p)*R(3,k)]; y13=round(medan(a1)); y23=round(medan(a2)); 82

83 end Nella modellazone del collegamento ordnaro tra le celle 4, 5, 6 l flusso entrante n cascuna cella è calcolato come segue: y34 = round(mn( S(3,k),R(4,k) )); y45 = round(mn( S(4,k),R(5,k) )); Nel modello d dvergenza vecol nella cella 5 s dvdono tra la cella 6 e la cella 7 rspettvamente attraverso fluss y56 e y57. Vene costruto un vettore che contene l flusso nvable dalla cella 5 e quell rcevbl dalla cella 7 e dalla cella 6 ovvero. Il mnmo d questo vettore rappresenta l flusso totale uscente y5 dalla cella 5 che vene po rpartto n y56 e y57 n base alla percentuale b del dverge. b è la frazone del flusso y5 che confluscee nella cella 7 mentre 1-b è la frazone complementare del flusso y5 che conflurà n y6. tomn2 = [S(5,k), (R(7,k)/b), (R(6,k)/(1-b))]; y5=round(mn( tomn2 )); y57=b*y5; y56=(1-b)*y5; Defnzone del numero de vecol present nella cella l- esma per ogn terazone d tempo t Per cò che rguarda le formule d aggornamento per l calcolo del numero de vecol nel tempo d smulazone, sono state scrtte tenendo 83

84 conto de vecol n entrata e n uscta da cascuna cella; ad esempo nella cella 1 nell terazone d tempo k+1 c saranno vecol present al tempo precedente n(1,k), pù quell entrat y1 meno quell usct y13, a patto che questa quanttà non super la capactà massma della cella Q(1). n(1,k+1) = mn( n(1,k)+y1-y13, N(1) ); n(2,k+1) = mn( n(2,k)+y2-y23, N(2) ); n(3,k+1) = n(3,k)+y13+y23-y(4); n(4,k+1) = n(4,k)+y(4)-y(5); n(5,k+1) = n(5,k)+y(5)-y57-y56; n(6,k+1) = n(6,k)+y56-s(6,k); n(7,k+1) = n(7,k)+y57-s(7,k); n(8,k+1) = n(8,k) + S(6,k) + S(7,k); 5.3 Prove per testare l attendbltà del modello Una volta scrtto l codce sono state effettuate numerose prove per testare l attendbltà del modello. S è scelto d grafcare l numero de vecol present n ogn cella n trenta terazon tempo (essendo questa la varable d stato delle celle). Queste prove sono state condotte a lvello qualtatvo, senza l ntenzone d modellare n modo precso l comportamento d un vero tratto stradale: per questo motvo, le grandezze n goco, per quanto verosml, non sempre sono specfcate e comunque non sono da consderare come 84

85 attuabl n un sstema reale. In ogn caso, s può potzzare d consderare un tratto d rfermento monocorsa, con celle d lunghezza 2m e tempo d camponameno par 6 second Prma prova In questa prma prova s è scelto d far flure alla cella 1 e alla cella 2, nelle prme undc terazon d tempo, un numero d vecol sempre par a 3 mentre nelle terazon d tempo successve s sono post degl ngress par a. S è scelta una percentuale d merge p par a,5 e una d dverge par,5. Per ogn cella s è scelto un N(l) par a 5 e un Q(l) par a 25. cella 1 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-3: Prma prova 85

86 Il funzonamento è del tutto ragonevole: nfatt l flusso vene trasmesso da una cella all altra n cascun ntervallo d tempo. In questo esempo abbamo mposto w=1: nfatt le congeston vengono smaltte stantaneamente. La forma d onda s mantene pressoché costante tranne che nelle celle d merge e d dverge dove le percentual mposte (,5 n entramb cas) sono evdentemente rspettate. Infatt l numero d vecol della cella 3 è la somma de vecol delle celle 1 e 2 (cosa possble dal momento che, vst dat che abbamo nserto, essa è n grado d rceverl tutt) mentre l numero d vecol della cella 5 è equamente rpartto all stante successvo sulle celle 6 e 7. La cella 8, nfne, s comporta come un parcheggo a capactà nfnta nel quale vecol vengono mmagazznat quando arrvano Seconda prova Nella seconda prova s è scelto d far varare l coeffcente b, n tale modo vara la rpartzone del flusso y5 uscente dalla cella 5 tra le celle 6 e 7. Come s vede n fgura, la somma del numero de vecol present nelle celle 6 e 7 per ogn terazone d tempo è par al numero d vecol nvat dalla cella 5. Nel caso n esame con b =.1 la cella 7 rceve l 1% del flusso y5 nvato dalla cella 5 e la cella 6 l restante 9%. Anche n questo caso s è mposto w=1: l modello conseguentemente s comporta n modo analogo all LWR. 86

87 cella 1 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-4: Seconda prova: la cella 6 rceve pù vecol della cella 7 87

88 5.3.3 Terza prova La varazone d p non porta varazon fno a quando la cella 3 dventa ncapace d raccoglere l flusso d almeno una tra le celle 1 e 2. Nell espermento, abbamo mposto una p tale da prortarzzare l flusso provenente dalla cella 2. La quanttà d vecol n entrata alle due celle d ngresso è uguale: a causa d questa dfferenza nell assegnazone della prortà, s nota come la cella 2 s svuot molto pù velocemente della cella 1 e raggunga una denstà massma nferore. 4 cella 1 2 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-5: Terza prova: la cella 2 ha prortà sulla cella 1 88

89 5.3.4 Quarta prova D partcolare nteresse è l caso n cu una delle celle (nel nostro caso la numero 5) ha un ostacolo che s manfesta come una dmnuzone della capactà massma. L espermento è condotto n stuazon standard (ngress ugual per entrambe le celle d partenza e percentual d merge e d dverge par a,5). 2 cella 1 2 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-6: Quarta prova: la cella 5 ha una capa ctà rdotta La prma fgura mostra come la congestone s verfch a monte della cella 5: le celle a valle, nvece, saranno prevalentemente lbere. Lo smaltmento della congestone è pratcamente stantaneo (a partre dal momento n cu gl ngress dmnuscono). Questo è dovuto 89

90 all mposzone d w=1. Per lo stesso motvo notamo un comportamento fortemente oscllatoro: vecol rspondono alle sollectazon del sstema stantaneamente e qund s muovono quas come se fossero un unco elemento soldale. Se no usamo w=1/3, come proposto da Daganzo, la coda prevedblmente s propaga all ndetro ed ha temp d smaltmento molto pù elevat. Il grafco seguente mostra questa stuazone. cella 1 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-7: Quarta prova: temp d smaltmento maggor In questo caso sono state elmnate anche le nstabltà. 9

91 5.3.5 Qunta prova Possamo ottenere una smulazone d un caso smle al precedente, sebbene rappresentatvo d una stuazone dfferente, rducendo l flusso massmo n entrata alla cella 5, n luogo della sua capactà massma. cella 1 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-8: Qunta prova: l flusso n entrata alla cella 5 blocca vecol nelle celle a monte Dal grafco s nota come le celle prma della congestone d flusso sano saturate per un valore par alla loro capactà massma (n questo caso 5 vecol) meno l numero d vecol trasmssbl n avant dalla cella congestonata (nel nostro caso mposto par a 1). La stuazone camba ntroducendo w=1/3: n questo modo l traffco s propaga all ndetro 91

92 pù lentamente ed vecol non rescono a rspondere n modo tale da rempre stantaneamente vuot che s creano d fronte a loro. Il confronto tra queste due stuazon è mostrato nella fgura seguente. Fgura 5-9: Confronto tra l caso con w=1 (sopra) e w=1/3 (sotto) Sesta prova In questa prova s è scelto d testare l comportamento del modello nel caso d ngress a scalno, ovvero n tre brev ntervall d tempo s è scelto d avere un numero entrante d vecol nella cella 1 e nella cella 2 par a 3. Nelle celle a valle tre mpuls s propagano: nel caso d w=1, ess rescono a scarcars fno a zero e qund la forma d onda vene mantenuta n tutt e tre cas; con w=1/3 nvece questo non succede ed l valore massmo raggunto dalle onde cresce. 92

93 5 cella 1 5 cella cella cella cella cella cella cella Fgura 5-1: Sesta prova con w=1 cella 1 cella cella cella cella cella cella cella

94 Fgura 5-11: Sesta prova con w=1/3 5.4 Programmazone del modello ACTM Nel modello ACTM s è scelto d smulare l comportamento d 1 celle (sezon) contgue. Detto l=1,,1, n cascuna cella l-esma entra l flusso provenente dalla cella a monte f(l-1) ed esce l flusso f(l) nvato alla cella l+1 a valle. È stato stablto un tempo d smulazone k=1,,n (con n Є N), per valutare l evoluzone del numero d vecol present n ogn cella. Nella modellazone s assume che le sezon dalla 2 alla 9 abbano una rampa d ngresso e una rampa d uscta e che, per ogn stante k, n cascuna cella l entr un numero d vecol par a r(l,k) ed esca un numero d vecol par a s(l,k). Fgura 5-12: Grandezze caratterstche cella Nel modello ACTM vene ntrodotto l coeffcente gamma che tene conto del mescolamento del flusso provenente dalle rampe. S rassumono d seguto valor de parametr utlzzat. w=.5/3; v=.5; gamma=,5; 94