Argomento 2 Soluzioni degli esercizi

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1 Argomento Soluzioni degli esercizi Suggerimenti Esercizio 5 Ladisequazione p x >x èsempreverificata se x <, cioè perx<; nell altro caso, si ottiene il sistema: ½ ½ x x x > (x ) x>x +, che ha soluzioni date da x [, 5 ), le quali, unite x + Ã! alle precedenti, danno le soluzioni della disequazione di partenza, cioè x, + 5 Ladisequazione x <x+è equivalente al sistema x x + x <x +x + dacuisiottiene x x x +x > ½ x x< 7,x> 7 Ã # 7 x, Ladisequazionex x è equivalente ai due sistemi: x / () x< x x x / e () x x ( x) ½ x / Il primo èverificato per x< Il secondo è equivalente al sistema (x ) (x +) Dominio di x :[, + ) Per tali valori anche il secondo membro della disequazione è positivo Sipossonoelevarealquadratoentrambiimembridella disequazione ottenendo la disequazione equivalente 9x +5x +<, che non ha soluzioni reali 5 Dominio: R; radice dispari: eleviamo entrambi i membri alla terza potenza Si ottiene la disequazione equivalente x x x + x x(x +) x 6 Dominio: x In tale intervallo il secondo membro è sempre positivo, quindi la disequazione data è equivalente a: x >x +x + x + x +< Non ci sono soluzioni reali Esercizio Sono tutte disequazioni fratte, in cui compaiono al numeratore e/o al denominatore disequazioni logaritmiche o esponenziali o irrazionali, che risolte danno il segno del numeratore e del denominatore Si utilizza poi il solito schema per le disequazioni fratte Per esempio, risolviamo la disequazione :

2 La disequazione èdefinita per x> ex 6= Lo studio del segno di N comporta la risoluzione di un sistema che tenga conto dell insieme in cui èdefinito il numeratore, cioè N ½ +log (x +) x> ½ x + x> ½ x x> x Studio del segno di D : x > <x< Confrontiamo ora i segni nell insieme dove la disequazione èdefinita, quindi solo per x> ex 6= : / p p p x N D N/D + La disequazione è quindi soddisfatta per x, Esercizio Ricordarsi degli insiemi di definizione! La prima disequazione èverificata per x e per x La seconda èasuavoltaequivalente al sistema: x log x < x> <x<, x > e In conclusione, il sistema èverificato solo da x>e La prima disequazione èverificata per x< La seconda èsempreverificata dove definita, essendo somma di due quantità positive, quindi l unica condizione da porre (e da non dimenticarsi) è: x x, che èverificata per x,x In conclusione, il sistema èverificato per x< Esercizio La disequazione èverificata quando x x; sitraccinoquindiigrafici delle due funzioni, cercando si stabilire dove il grafico di x sta sotto quello della retta di equazione y = x Dal disegno si osserverà che i due grafici si incontrano in un punto, la cui ascissa non è determinabile in modo esatto, ma facilmente stimabile in un valore reale α compreso tra e Per le altre due disequazioni, si applica lo stesso metodo

3 Soluzioni Sol Ex Le radici sono x = ex = Ladisequazioneèverificata per x< eperx> Ladisequazioneèverificata per x Ladisequazioneèverificata x R Ladisequazioneèverificata per x< eperx> 5 5 Ladisequazioneèverificata per x< 6 Ladisequazioneèverificata per x 7 Ladisequazioneèverificata x R 8 Ladisequazioneèverificata x R 9 x 8x +7 = (x 6x +9) = (x ),quantitàcheèsempre La disequazione è verificata per x = La disequazione èverificata per x 9 6 La disequazione èverificata per x La disequazione non èmaiverificata Sol Ex Ladisequazioneèverificata per x Ladisequazioneèverificata per x =, ± Ladisequazioneèverificata x R La disequazione non èmaiverificata 5 Ladisequazioneèverificata per x<eperx>5 6 Ladisequazioneèverificata per x 7 La disequazione èverificata per x< eperx> 8 La disequazione è verificata per x> Sol Ex La disequazione èverificata per 7 x<eperx> Ladisequazioneèverificata per x 7 eper x< 7 La disequazione èverificata per x =eperx Ladisequazioneèverificata per 5 <x eper x<5 5 Ladisequazioneèverificata per <x eper<x 7 6 Ladisequazioneèverificata per x<, per <x<eperx>

4 7 Ladisequazioneèverificata per x< 8 Ladisequazioneèverificata per x<, per <x<eperx>6 9 Ladisequazioneèverificata per x 6eper <x 6 Sol Ex Ilsistemaèverificato per x Ilsistemaèverificato per 5 <x<eperx> Ilsistemaèverificato per x< eperx> Ilsistemaèverificato per <x 5 Ilsistemaèverificato per x, x<eperx>7 6 Ilsistemaèverificato per x = Sol Ex 5 Ladisequazioneèverificata per x< + 5 Ladisequazioneèverificata per + 7 <x Ladisequazioneèverificata per x La disequazione non èmaiverificata 5 Ladisequazioneèverificata per x 6 La disequazione non èmaiverificata 7 Ladisequazioneèverificata per x 8 Ladisequazioneèverificata per x eperx 9 Ladisequazioneèverificata per x< 5 eperx 7 La disequazione èverificata x R La disequazione èverificata per x>6 La disequazione èverificata per x Sol Ex 6 La disequazione èverificata per x>log 5 La disequazione èverificata per x log 8 La disequazione è verificata per x> La disequazione data èequivalentea x+ > x+ > x< log 5 La disequazione data èequivalentea x < x< 6 La disequazione data èequivalentea x+ < 7 x< +log 7 7 La disequazione èverificata per x< eperx> 8 La disequazione èverificata per x +log 6

5 Sol Ex 7 Poniamo x = t, ovviamente t>, otteniamo t<et>, quindi la disequazione èverificata per x<eperx> La disequazione èverificata per <x< La disequazione èverificata per x> Sol Ex 8 La disequazione èverificata per <x< 8 La disequazione èverificata per x> 5 La disequazione èverificata per <x e = e La disequazione data èequivalentea<x < 8 <x< eper<x< 8 5 La disequazione èverificata per <x< e per <x< 6 La disequazione èverificata per x 7 La disequazione èverificata per <x< 8 La disequazione èverificata per <x 9 La disequazione èverificata per <x 5 Sol Ex 9 Poniamo, per x>, log x = t, otteniamo t 5 e t, quindi la disequazione èverificata per <x 5 eperx La disequazione èverificata per <x< La disequazione èverificata per log x =,cioèperx = Sol Ex Su [, π) la disequazione èverificata per x< π 6 eper5π <x<π Su tutto R èverificata 6 nell unione degli intervalli hkπ, π +kπ 5π e +kπ, (k +)π, k Z 6 6 Su [ π, π) la disequazione èverificata per π 6 <x<π Su tutto R èverificata nell unione 6 degli intervalli ³ π 6 +kπ, π +kπ, k Z ³ 6 Su π, π π la disequazione èverificata per <x<π Su tutto R èverificata nell unione ³ π degli intervalli + kπ, π kπ +, k Z Su [, π) ladisequazioneèverificata per x π Su tutto R èverificata nell unione degli intervalli [kπ, (k +)π], k Z 5 Su[, π) ladisequazioneèverificata per π <x<5π Su tutto R èverificata nell unione degli π intervalli +kπ, 5π +kπ, k Z 5

6 ³ 6 Su π, π la disequazione èverificata per π <x<π Su tutto R èverificata nell unione degli intervalli ³ π + kπ, π kπ +, k Z 7 Su[, π) ladisequazioneèverificata per arcsin <x<π arcsin e π <x<π Su tutto R è verificata nell unione degli intervalli arcsin +kπ, (k +)π arcsin e ((k +)π, (k +)π), k Z ³ 8 Su π, π la disequazione èverificata per π <x arctan e arctan x<π Sututto R èverificata nell unione degli intervalli ³ π i + kπ, arctan + kπ e harctan + kπ, π kπ +, k Z 9 Poichèsin x = cos x si ha + cos x< cos x<, quindi la disequazione non èmai verificata Sol Ex La disequazione èverificata per x< La disequazione èverificata per <x< eperx>5 La disequazione èverificata per 7 9 <x Sol Ex Il sistema èverificato per x>e Il sistema èverificato per <x 8 Il sistema èverificato per x< Sol Ex La funzione èdefinita in [ 5, ) (, + ) La funzione èdefinita in ( 5, ] (, + ) La funzione èdefinita in (, ) (, + ) La funzione èdefinita in (, ] (, + ) 5 La funzione èdefinita per x>, con x 6= π + kπ 6 La funzione èdefinita in (, ) (, + ) Sol Ex La funzione è positiva in (, ), + enegativain La funzione è positiva in, enegativain, (, + ) La funzione è positiva in,, + enegativain,,, 6

7 Sol Ex x y = x,e= R y = x 6,E= R y = x 5,E= R \{} y = x, E =[, + ) y = 7 x, E = R Sol Ex x y = p x, E = R 5 y = x, E =[, + ) x y = log x,e=(, + ) y =log x,e=(, ) (, + ) - 7

8 Sol Ex dacuisileggeche: a) f è crescente in (, ), + (, + ) b) f è decrescente in (, + ), (, ) c) f èconcavain (, ), ed in, + (, ) ed in (, + ) d) f è convessa in (, + ) (, ) mai e) f è superiormente limitata? Sì No No f) f è inferiormente limitata? No Sì Sì g) f ha massimo? Sì e vale No No h) f ha minimo? No No Sì e vale k) f èiniettiva? No Sì No Sol Ex 8 La funzione riportata in [C] Sol Ex 9 Grafico Funzione A B C D a) Ladisequazione p x < èverificata per <x< b) Ladisequazione x èverificata per x 8

9 Sol Ex x (medio), x (sottile) sin x (medio), x (sottile) - arctan x (medio), x (sottile) La disequazione èverificata per x α (con < α < ) La disequazione èverificata per x<α eperx>β (con π < α < < β < ) La disequazione èverificata per <x<α (con < α < π ) Sol Ex Lafunzioneèdefinita in (, ) (, ] Lafunzioneèdefinita in (, +e ] (, + ) Lafunzioneèdefinita in (, ] Lafunzioneèdefinita in, + Sol Ex La funzione èdefinita in, (, + ), positiva in (, + ) enegativain, La funzione èdefinita in, (, + ), positiva in (, ) e negativa in, (, + ) La funzione èdefinita in (, ) (, + ), positiva in (, + ) enegativain(, ) La funzione èdefinita in (, ), positiva in, enegativain, Sol Ex

10 dacuisileggeche: a) f è iniettiva nel suo campo di esistenza SI NO NO b) f è decrescente in (, ) NO SI SI Sol Ex a) f non è limitata in (, + ); b) f ha massimo () nel suo insieme di definizione; c) f non ha minimo nel suo insieme di definizione; d) f ècrescentein(, ) e decrescente in (, + ); e) f èconcavain(, ); f) f non èconcavain(, + ) Sol Ex a) f ècrescentein(, + ) e decrescente in (, ) ed in (, ); b) f è convesssa in (, ) ed in (, ) econcavain(, + ); c) f non ha nè massimo nè minimo assoluti nel suo insieme di definizione Sol Ex a) f è limitata nel suo insieme di definizione; b) l estremo superiore in (, ) coincide con il massimo e vale ; c) l estremo inferiore in (, + ) vale (nonè il minimo!)