A.A Ingegneria Gestionale 2 appello del 16 Luglio 2014

Transcript

1 FS ngegneia Gestinale appell del 6 ugli 4. Un gicate di glf lancia la pallina cn un alz di α5 e cn una velcità iniziale V in md che cada più vicin pssibile alla buca ad una distanza cmpesa ta cm e d3m dal punt di battuta. Nel pecs è pesente un pim stacl di altezza H min 5m ad una distanza a5m dalla battua che deve essee scavalcat. Nel pseguiment è pesente anche un secnd stacl ad una distanza b8m che impedisce alla palla di aggiungee una quta supeie a H ma 35m. Deteminae quali sn le velcità minima e massima da impimee inizialmente pe evitae gli stacli ed entae sicuamente nella zna utile c<<d.. Un asta mgenea avete massa M kg e lunghezza m ed incenieata in un punt K è libea di utae, senza attiti, nel pian veticale descitt in figua. l punt K, nn cincidente cn il baicent G, è psizinat csì da avee DK4cm. asta inclinata di un angl di α3 ispett all izzntale è pggiata al sul nell estem mente all estem D viene appes un blcc di massa M. Deteminae pe quale vale di M l asta si distacca dal sul. Facltativ: iptizzand M 5kg calclae la velcità dei punti D e quand l asta tansita pe la psizine izzntale. D M K G α 3. Su quatt fili ettilinei infinitamente lunghi giacenti sull stess pian, di cui due paalleli all asse, e due paalleli all asse y, individuan una egine ettanglae delimitata dai 4 punti di intesezine (acm, b8cm. nscend le quatt distibuzini lineai unifmi 5µ/m, 6µ/m, 3 5µ/m, 4 µ/m indicae in quale aea (,,3,4,5,6,7,8,9 cade il punt di equilibi indicandne le cdinate. 4. l dispsitiv in figua si cmpne di un cicuit esistiv alimentat da una fza elettmtice f5kv. due esisti pincipali 6 kω, 3 kω, sn utilizzati cme scaldati pe aumentae la tempeatua di due blliti cntenenti ispettivamente M kg e M kg di acqua distillata. a esistenza intena del cicuit 5 Ω tiene in cnt di tutti gli effetti esistivi di fili e geneate. Deteminae dp quanti secndi la massa M cntenuta nel pim bllite si pta dalla tempeatua ambiente di (cui si tva inizialmente l inte sistema alla tempeatua di 9. Deteminae a quell istante a quale tempeatua si viene a tvae la massa d acqua M nel secnd bllite (cale specific acqua 487 J/kg, si tascuin le pedite temiche nei blliti (3 (6 (9 ( 4 a (5 b (8 ( 3 (7 (4 f 5. Una baetta metallica di lunghezza cm è libea di spstasi lung una guida metallica giacente su un pian izzntale in md da fmae un cicuit elettic di fma ettanglae cn esistenza 5Ω, chiusa su un cndensate inizialmente scaic di capacità µf. Nella egine piana è pesente un vette induzine magnetica unifme veticale di induzine T. ssumend di muvee la baetta, inizialmente psizinata dcm, di mt ettiline unifme cn velcità v 5m/s lung l asse deteminae l espessine tempale della caica che si accumula sul cndensate, l espessine della cente, e della fza che cce esecitae dall esten sulla baetta pe cntastae la fza elettmagnetica csì da mantenee cstante la velcitò della stessa. Facltativ: deteminae dp tms, il lav necessai pe spstae la baetta, l enegia accumulata nel cndensate, e quella pesa pe effett Jule sulla esistenza. d v

2 FS ngegneia Gestinale Sluzini del appell. Equazini della cinematica. e gandezze cinematiche vengn scmpste secnd gli assi,y ( t v cs( α ( t v cs( α ( t v sin( α ( t v sin( α t y t gt ung l asse v, e lung l asse y vy gt a a y g alcl della gittata: v sin( α il temp di vl si ttiene impnend y(t* da cui t* g la gittata si ttiene dalla v sinα csα v sin( α (t* vt *csα g g ndizine sulle velcità pe atteaggi pssim alla buca: v sin( α gc c d da cui g sin α gd v sin α (diseq. ( ( Equazine della taiettia: dalla equazine (t si esplicita il temp t che si sstituisce nell equazine y(t csα g in md da deteminae l equazine della taiettia paablica y tgα v cs α ndizine sulla velcità pe supeae l stacl in a: g y( a tgα a a H min v cs da cui a g v (diseq. α csα ( a tgα H min ndizine sulla velcità pe passae stt il tett in b: g y( b tgα b b H ma v cs da cui b g v (diseq.3 α csα ( b tgα H ma e te disequazini devn essee cntempaneamente sddisfatte ndizine mment Diseq m/s v m/s la palla enta nella zna desideata Diseq. v 9.3 m/s la palla supea l stacl N. Diseq.3 v m/s a palla passa stt il tett N. Ttale m/s v m/s a diseq. è cntenuta dalla diseq. v. asta è sggetta a quatt fze tutte veticali: a sua fza pes M g applicata nel baicent G a fza pes del blcc M g che viene tasmessa in D tamite la fune a eazine del cadine K nel punt K a eazine del teen N nel punt a statica è gaantita se entambe le equazini cadinali sn cntempaneamente nulle sinα D csα + K K _ /- G + α if U N

3 + N csα csα + K N ( csα l distacc la eazine nmale del teen si annulla N pe cui K + 3 Dalla secnda si ttiene M M M 5 kg csα csα Facltativ: Nel cas M >5kg l asta si slleva e cmincia a utae in sens antiai. a velcità anglae assunta quand la sbaa tansita nella psizine izzntale (if si ttiene dalla cnsevazine dell enegia meccanica. U iniziale + Tiniziale U if + T finale ssia U iniziale T finale e quindi senα senα Kω gsenα M M ω K gsenα M M M + M GK + M (la baa nn si spsta da cui le velcità lineai sn entambe nulle V D ω ; V ω(- (Nel calcl del mment di inezia del sistema è stata iptizzata tascuabile la lunghezza della fune, mente pe la baa è stat applicat il teema di Huyghens Steine 3. Dall analisi dei 4 cntibuti di camp elettic pvenienti dalle distibuzini lineai dei quatt fili indefiniti si evince che fa tutte le 9 diffeenti egini del pian le uniche dve è pssibile iscntae una cmpensazine dei campi elettici indispensabile alla iceca del punt di equilibi, sn le egini N. (<<b, y>a e la N.8 (<<b, y<. E E y? E E E E a 4 E E E E b 3 E E E E S E E E E a iceca del punt in cui si annulla il camp elettic si ttiene impnend l annullament cntempane delle cmpnenti del camp E ed E y

4 nnullament della cmpnente y del camp nella egine ( (y>a ung asse y E E ; πε y πε ( 4 4 (y>a da cui y a - cm!!! y a 4 nnullament della cmpnente y del camp nella egine (8 (y< ung asse y E E ; 4 4 (y< da cui y a - cm (S πε y πε a y ( nnullament della cmpnente ung asse E E ; 3 3 (<<b da cui b 6 cm πε πε b + ( l punt dve si annulla il camp elettic è 6 cm, y - cm l cicuit elettic è fmat da due maglie iducibili ad una sla quand al pst di ed si cnsidea la esistenza paallel // p kω + f la intensità di cente elettica egata dalla batteia vale + p a ipatizine nei due ami esistivi si calcla cnfntand le espessini f della diffeenza di ptenziale nel cicuit eale ed in quell equivalente V V p da cui p p a ptenza dissipata pe effett Jule sulle esistenze f p p /.67 kw; p / 5.33 kw; da cui l cale sviluppat in un temp τ nei due blliti è quindi τ ; τ da cui l cale necessai pe ptae il pim bllite alla tempeatua T 9 si ttiene dalla equazine calimetica ( M T T amb 93 kj da cui il temp che è necessai attendee è quindi τ / s Dal affnt ta i cali sviluppati ta i due blliti M T M T ( Tamb ( T amb

5 M 9 Tamb + T T T M si ttiene la tempeatua del secnd bllite al temp τ: ( amb T 5. Dp ave scelt una pptuna ientazine della cente in md che la nmale alla spia nˆ abbia la stessa diezine e ves di, si calcla il fluss cncatenat cn la spia Φ c : Φ nds ˆ ds d dy c ( t d pplicand la legge di Faaday-Neuman-enz si calcla la fza elettmtice indtta nella spia dφc fi v dt Nel cicuit lte alla fza elettmtice indtta è anche pesente una capacità. ( t q( t + f v cn sluzine q( t v [ ep( t i i (la cente cicla in sens ppst ed il cndensate ha tensine negativa dq v l intensità di cente indtta nel cicuit i( t ep ( t (in sens ppst dt e cn la a v di aplace la fza sulla baetta F i ep( t (ppsta asse la fza che cce esecitae pe mantenee cstante la velcità della baa et v F F ep( t. N al temp tms (lung asse. Facltativ: a fza estena cmpie il lav et ( t et et v F d F v dt enegia dissipata pe effett Jule sulla esistenza t t v v E i dt ( t dt enegia immagazzinata nel cndensate ( t q ( t ep ( t dt v [ ep( t ep [ ep( t q v E [ ep( t 5 µj 96 µj n F 346 µj v F et

6 FS ngegneia Gestinale SEND ESNE appell del 6 ugli 4. Su quatt fili ettilinei infinitamente lunghi giacenti sull stess pian, di cui due paalleli all asse, e due paalleli all asse y, individuan una egine ettanglae delimitata dai 4 punti di intesezine (acm, b8cm. nscend le quatt distibuzini lineai unifmi 5µ/m, 6µ/m, 3 5µ/m, 4 µ/m indicae in quale aea (,,3,4,5,6,7,8,9 cade il punt di equilibi indicandne le cdinate. (nta bene. a secnda distibuzine è negativa. Due gusci cndutti sfeici di aggi ispettivamente,, e di caica cispndente +, -/, sn dispsti in md da avee cent cmune. Una caica puntifme +q di massa m viene lanciata lung una taiettia adiale dall esten cnt i gusci da una distanza 5cm dal cent. Deteminae le velcità cn cui la caica attavesa ciascun gusci, suppnend di ptel penetae senza attiti. [Dati: cm, 4cm, µ, q n, mg, 4m/s (3 (6 (9 ( 4 a (5 b (8 + -/ ( 3 (7 (4 3. l dispsitiv in figua si cmpne di un cicuit esistiv alimentat da una fza elettmtice f5kv. due esisti pincipali 6 kω, 3 kω, sn utilizzati cme scaldati pe aumentae la tempeatua di due blliti cntenenti ispettivamente M kg e M kg di acqua distillata. a esistenza intena del cicuit 5 Ω tiene in cnt di tutti gli effetti esistivi di fili e geneate. Deteminae dp quanti secndi la massa M cntenuta nel pim bllite si pta dalla tempeatua ambiente di (cui si tva inizialmente l inte sistema alla tempeatua di 9. Deteminae a quell istante a quale tempeatua si viene a tvae la massa d acqua M nel secnd bllite (cale specific acqua 487 J/kg, si tascuin le pedite temiche nei blliti 4. Una caica qµ, di massa mg situata nel cent di un anell unifmemente caic cn caica -µ e aggi cm, viene lanciata cn velcità lung l asse del disc in md da pecee la distanza H5cm ed entae dalla fessua in una camea a camp magnetic unifme T, e schemata dal camp elettic. Nella camea l ine descive un ac di cicnfeenza fin ad utae la paete della camea a distanza m dalla fenditua. Deteminae la velcità iniziale f q H E D 5. Una baetta metallica di lunghezza cm è libea di spstasi lung una guida metallica giacente su un pian izzntale in md da fmae un cicuit elettic di fma ettanglae cn esistenza 5Ω, chiusa su un cndensate inizialmente scaic di capacità µf. Nella egine piana è pesente un vette induzine magnetica unifme veticale di induzine T. ssumend di muvee la baetta, inizialmente psizinata v dcm, di mt ettiline unifme cn velcità v 5m/s lung l asse deteminae l espessine tempale della caica che si accumula sul d cndensate, l espessine della cente, e della fza che cce esecitae dall esten sulla baetta pe cntastae la fza elettmagnetica csì da mantenee cstante la velcitò della stessa. Facltativ: deteminae dp tms, il lav necessai pe spstae la baetta, l enegia accumulata nel cndensate, e quella pesa pe effett Jule sulla esistenza.

7 FS ngegneia Gestinale SEND ESNE Sluzini del appell. Dall analisi dei 4 cntibuti di camp elettic pvenienti dalle distibuzini lineai dei quatt fili indefiniti si evince che fa tutte le 9 diffeenti egini del pian le uniche dve è pssibile iscntae una cmpensazine dei campi elettici indispensabile alla iceca del punt di equilibi, sn le egini N. (<<b, y>a e la N.8 (<<b, y<. E E y? E E E E a 4 E E E E b 3 E E E E S E E E E a iceca del punt in cui si annulla il camp elettic si ttiene impnend l annullament cntempane delle cmpnenti del camp E ed E y nnullament della cmpnente y del camp nella egine ( (y>a ung asse y E E ; πε y πε ( 4 4 (y>a da cui y a - cm!!! y a 4 nnullament della cmpnente y del camp nella egine (8 (y< ung asse y E E ; 4 4 (y< da cui y a - cm (S πε y πε a y ( nnullament della cmpnente ung asse E E ; 3 3 (<<b da cui b 6 cm πε πε b + ( l punt dve si annulla il camp elettic è 6 cm, y - cm. 3 4

8 . iascun gusci cndutte genea un ptenziale cn le seguenti caatteistiche: gusci V int gusci Vet gusci + -/ pplicand la svappsizine degli effetti si pssn deteminae i ptenziali elettici nelle vaie egini,,, ed in paticlae in cispndenza del punt iniziale, e sui due gusci sfeici, V V V + 8πε + + e nei punti,, V V V V V V ( ( ( 8πε 8πε 8πε pplicand la cnsevazine dell enegia ta l stat iniziale e quell di attavesament dei gusci E E E ; m + qv m + qv m + qv q( V V q da cui 3.94 m/s m m da cui ( V q V m q m 4.7 m/s 3.. l cicuit elettic è fmat da due maglie iducibili ad una sla quand al pst di ed si cnsidea la esistenza paallel // p kω + f la intensità di cente elettica egata dalla batteia vale + a ipatizine nei due ami esistivi si calcla cnfntand le espessini della diffeenza di ptenziale nel cicuit eale ed in quell equivalente p f V V p da cui p p f p

9 a ptenza dissipata pe effett Jule sulle esistenze p /.67 kw; p / 5.33 kw; da cui l cale sviluppat in un temp τ nei due blliti è quindi τ ; τ da cui l cale necessai pe ptae il pim bllite alla tempeatua T 9 si ttiene dalla equazine calimetica ( M T T amb 93 kj da cui il temp che è necessai attendee è quindi τ / s Dal affnt ta i cali sviluppati ta i due blliti M T M T ( Tamb ( T si ttiene la tempeatua del secnd bllite al temp τ: ( amb T amb M 9 Tamb + T T T M 4. tenziale elettic pdtt da un anell unifmemente caic. l cntibut di ptenziale elettic dv pdtt nel punt dalla caica dq dispsta su un element dell anell è dq dv che integat diviene V 4 πε dv H + H + l ptenziale nel cent è invece V (la caica ttale sull anell è a elazine ta le velcità di lanci e di entata nella camea si ttiene dalla cnsevazine dell enegia. E E; m + qv m + qv da cui ( V q V + m q + πε m + H dq V q (H + / E H V E D Deteminazine della velcità di ingess. ppena entat dall apetua nella camea l ine subisce una fza di entz F q, centipeta, che gli fa descivee un mt ciclae unifme. pplicand il pincipi la fza di entz deve pdue l acceleazine nmale del mt F q ma m, da cui si icava la velcità q q.5 m/s. m m q q mbinand le equazini si ha infine m/s m πε m + H n

10 5. Dp ave scelt una pptuna ientazine della cente in md che la nmale alla spia nˆ abbia la stessa diezine e ves di, si calcla il fluss cncatenat cn la spia Φ c : Φ nds ˆ ds d dy c ( t d pplicand la legge di Faaday-Neuman-enz si calcla la fza elettmtice indtta nella spia dφc fi v dt Nel cicuit lte alla fza elettmtice indtta è anche pesente una capacità. ( t q( t + f v cn sluzine q( t v [ ep( t i i (la cente cicla in sens ppst ed il cndensate ha tensine negativa dq v l intensità di cente indtta nel cicuit i( t ep ( t (in sens ppst dt e cn la a v di aplace la fza sulla baetta F i ep( t (ppsta asse la fza che cce esecitae pe mantenee cstante la velcità della baa et v F F ep( t. N al temp tms (lung asse. Facltativ: a fza estena cmpie il lav et ( t et et v F d F v dt enegia dissipata pe effett Jule sulla esistenza E t v i dt enegia immagazzinata nel cndensate ( t q ( t t ep ( t dt v [ ep( t v ep ( t dt [ ep( t q v E [ ep( t 5 µj 96 µj n F 346 µj v F et