CB2 L interazione tra il campo elettrico e il campo magnetico. La produzione di onde elettromagnetiche

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1 CB inteazine ta il camp elettic e il camp magnetic. a pduzine di nde elettmagnetiche INTERAZIONE TRA CAMPO EETTRICO E CAMPO MAGNETICO a- e simmetie di cmptament e le evidenze speimentali b- a legge di Faaday-Neumann-enz: aspetti qualitativi e quantitativi c- Mti elettici e pduzine di cente altenata d- Il cicuit elettic e l effett di autinduzine: l induttanza e- enegia assciata al camp magnetic e la sua densità A PRODUZIONE DI ONDE EETTROMAGNETICHE f- e leggi di Maxwell e il l cmpletament g- Il cicuit C e la sua analisi h- a pduzine e la stuttua delle nde elettmagnetiche Abbiam fatt spess us, nei vai punti affntati, delle ppietà di simmetia pe individuae all inten della nsta iceca di legami ta gandezze e cncetti della fisica; mlt spess tali ppietà hann ispiat e guidat i fisici nella l iceca di veità scientifica. Ricstuiam sinteticamente un quad d insieme: la cente elettica è la sgente elementae del camp magnetic: può agie secnd fme divese, pdue campi magnetici cn ppietà distinte, ma in gni cas esta unica espnsabile della pesenza di un camp magnetic in una ceta zna dell spazi. Inlte: la spia pecsa da cente, pu essend sgente di camp magnetic, esta anche influenzata da un camp magnetic che la cicndi: è un magnete a tutti gli effetti, che esecita e subisce (scambia) fza di tip magnetic. Ma se una cente pduce camp magnetic, saà ve il cntai: un camp magnetic può pdue cente? Nn semba una gande iptesi: una caica elettica pduce camp elettic, ma nn semba mlt sensat pensae che un camp elettic pduca caiche, dat che nn è in gad di ceale ex-nv. C è un paticlae peò che fa pensae: la cente elettica è mviment di mateia e nn mateia Una caica elettica in mt subisce l effett di una fza in pesenza di camp magnetic: csa succede se i avvicin un magnete ( una spia ) ad una spia (un alta!)? e caiche pesenti all inten della spia (la secnda), pu ipteticamente feme all inizi megli tali da dae un spstament medi null, nn dvebbe subie l effett del camp magnetic. A men che l effett di cui isentn nn sia dvut al mviment delle caiche in asslut, ma al fatt che c è un mviment elativ caica-camp magnetic B. Ciè: anche se la caica è fema, c è una fza di cui isente quand è il camp magnetic che, vaiand la sua azine, è cme se si stesse allntanand/avvicinand. Faaday, gande espet di linee di fza e aspetti qualitativi, pedispne due fasi speimentali: avvicina (figua) in un cas un magnete ad un cicuit esistiv piv di alimentate, ma ata di galvanmet (ampemet ad alta sensibilità) e, nell alt cas, dispne l stess cicuit at di galvanmet vicin ad un cicuit pue esistiv che viene acces e pi spent: nel pim cas si speimenta ( nel galvanmet l ag si spsta!) il passaggi di cente nelle fasi di avvicinament, in un sens, e di allntanament, nel sens ppst; nel secnd il medesim passaggi di cente (nei due sensi, Fig. 1 REQUISITI Cnscee e sape applicae le ppietà di un camp vettiale Cnscee le ppietà del camp elettic e del camp magnetic Sape analizzae semplici cicuiti elettici Sape usae stumenti matematici quali deivata e integale Cnscee le ppietà del slenide, quale sgente di camp magnetic unifme ppsti un all alt) si nta nella fase di accensine e in quella di spegniment del cicuit. 5 appunti di fisica cap. b pag. 1 di 11

2 In entambe le speimentazini, ciè, l insgee della cente, che viene definita inta, si ha in cispndenza di una distibuzine di linee di fza di intensità punt a punt di camp magnetic vaiabile nel temp: pssiam icdae infatti che nel secnd cas, nella fase di accensine e di spegniment del cicuit si pesenta una cente ( e dunque un camp magnetic pt a mezz della cente) di tansizine, ispettivamente, da ze al vale di egime e dal vale di egime a ze. a gandezza che può tene cnt megli delle alte è il fluss del camp Fig. magnetic che fissa ad un cet istante la mappa dei vali del camp in cispndenza di una ceta supeficie: ibadiam infatti che sn i vali del camp distibuiti in md dives nel temp che inducn l effett di induzine e ciè della ceazine di cente sul cicuit piv di alimentate. Anticipiam la legge di Faaday-Neumann-enz, pima di icavala in un cas semplificat: dφ ( B) [4.1] C( E) = inta = Il cntibut di enz si limita al segn men pesente nell ultima espessine, ma vedem l imptante significat di tale segn. Intduciam il mdellin che pemetteà di cstuie la [4.1], facend ifeiment alla figua. Abbiam a dispsizine un pfil ettanglae metallic inseit sl in pate in una zna di camp magnetic unifme diett pependiclamente ad ess lung l alt. Una manina estae cn velcità cstante quest pfil metallic. effett pt saà quell di ceae una cente inta sul pfil. Spieghiaml: l estazine a velcità cstante metteà a tutti gli effetti in mt le caiche elettiche pesenti nel pfil ettanglae ispett al camp magnetic, ceand le cndizini pe l insgee della fza di enz (cmpnente magnetica: f = qv B ), che è dietta su ciascun dei ami cme evidenziat in figua, che è pssibile dedue Fig. 3 pensand alla egla della man desta. Mente nei due lati paalleli alla velcità l effett di tali fze è tale da fa tendee le caiche ves l esten del cndutte al limite a da lug all effett Hall, pe ni in questa situazine pc significativ, la fza che agisce sul am AB pependiclae alla velcità fa migae le caiche ves il punt B, scpend la zna vicina al punt A delle stesse: l effett è quell di ceae in cispndenza del am in questine, quand il pfil ettanglae si tvi nelle cndizini di mt specificate, una pila, una mdalità pe gaantie cn cntinuità caiche di segn dives in punti ppsti del am e dunque una diffeenza di ptenziale, una fza elettmtice che chiameem inta. Tale fza elettmtice è in gad di mettee a sua vlta in mt le alte caiche pesenti nel pfil, ceand cente elettica. In fmule: u uuu inta f AB 1 qvb AB 1 Blv [4.] i = = = = R q R q R R In quest svilupp R appesenta la esistenza ppsta dal fil; icdiam che la fza elettmtice mtice è intesa in geneale cme appt ta lav fatt sulla caica e caica stessa; fza e spstament in quest cas sn pi cllineai e quindi il pt scalae ta vetti va intes cme semplice pt ta scalai. Il ves della cente inta è pi quell illustat in figua, a causa del fatt che ves il punt B cnvegn le caiche psitive e quest fungeà da pl, elettd psitiv, ppstamente a ciò che avviene in A. Se calcliam in paallel la vaiazine del fluss del camp magnetic attaves la sezine utile del pfil metallic ci endiam cnt che: 5 appunti di fisica cap. b pag. di 11

3 Φ ( B) ( B S) ( B S finale B Siniziale) = = t t t [4.3] B AB ( x x) B AB x x = = B l = B l v t t Dal cnfnt della [4.] e della [4.3] diventa evidente che: Φ ( B) inta =, t [4.4] dφ ( B) inta = in fma diffeenziale che cstituisce appunt la legge di Faaday-Neumann-enz. Andiam a ad analizzae gli effetti enegetici. Una vlta che insge la cente all inten del cicuit metallic ettanglae, si sviluppan nei ami anche delle fze diette cme nella nuva figua: anche a le due fze agenti sui due ami paalleli al vette velcità sn pc imptanti: esse infatti tendeebbe a defmae il pfil e niente alt. Quella elativa invece al am inten nmale al vette velcità si ppne alla fza cn la quale la manina tascina il cicuit metallic ves l esten, ceand esistenza all estazine: c è da ntae che quest nuva fza nasce cntempaneamente all azine della manina e quindi immediatamente c è la eazine esistente; il mt, quand viene gaantit, pevede cesistenza ta fza di estazine e esistenza all estazine. Fig. 4 Si tatta dunque di un mviment che ichiede dispendi di enegia, assegnat che in gni istante deve essee vinta una esistenza pe mantenee la velcità cstante: ma a quant ammnta il dispendi di enegia? Pe calclae il cnsum di enegia iciam all effett: tutta l enegia pta diventeà cente che cicla nel pfil ettanglae, a mezz della fza elettmtice inta pta sul am AB, che si dissipeà in cale stt fma di effett Jule all inten del cicuit; dunque: uu f l ( ) [4.5] ( Blv ) ilb v t Blv P = = = = ilbv = lbv = t t t R R E stat anticipat nelle pime ighe che il cntibut di enz è limitat al segn negativ pesente all inten della [4.4]: vediam di che csa si tatta. Nel cicuit passa una cente inta cme evidenziat nella figua: cnsideiam il pfil alla stegua di una spia ettanglae e deteminiam la diezine e il ves del camp magnetic ceat dalla spia ettanglae quand in questa passa appunt cente: icdand la cnvenzine che abbiam fissat, ci isulteà chia cme il camp magnetic della spia abbia diezine pependiclae al pian della spia e ves cincidente cn quell del camp magnetic esten alla spia. Attenzine: il fluss del camp magnetic, mente estaiam la spia, diminuisce e nasce un camp, pt dalla spia, dell stess ves di quell iginale! Il etscena sstanziale della legge di Faaday-Nuemann-enz è ppi quest: il camp magnetic ceat a mezz della cente inta è tale da ppsi alla vaiazine di fluss inta dall esten; nel nst cas infatti alla diminuzine del fluss si cntappne la nascita di un camp che è tale da infzae il camp iginai e dunque il fluss dell stess, che sta scemand causa la iduzine pgessiva della supeficie sggetta al fluss. Ripendiam la [4.4] pe esplane le caatteistiche: quali sn i mtivi che pssn fa indue una fza elettmtice in un cicuit (pim memb dell equazine)? Una vaiazine del fluss del camp magnetic nel temp (secnd memb dell equazine): ma questa vaiazine può essee pta in te mdi elementai dalla cmbinazine di alcuni ta l: - può cambiae nel temp l aea sggetta al fluss (il nst esempi); 5 appunti di fisica cap. b pag. 3 di 11

4 - può cambiae nel temp il camp che influenza l aea sggetta a fluss; - può cambiae nel temp l angl ta camp magnetic e aea sggetta a fluss; la definizine del fluss è infatti, nella sua fma semplificata: Φ ( B) = B A = B A cs ϑ B, A ( ) E ppi al tez cas che facciam ifeiment pe illustae cme funzina un mte elettic e pi cme pdue cente altenata, e ciè quella cente che abbiam a dispsizine nelle nste case attaves le pese elettiche. Guadiam la figua: la spia ettanglae che già cnsciam è inseita in una zna di camp magnetic unifme: in essa passa una cente di intensità i; le sue caatteistiche, l sappiam, sn tali da fala muvee ves la psizine di equilibi stabile, cincidente cn l allineament di µ lung B ; se un istante pima di fala aivae a tale psizine invetiam dall esten la plaità della tensine che pduce la cente, vesciand il ves della cente, abbiam ttenut di scambiae la psizine di equilibi stabile cn quella di equilibi instabile, cstingend la spia ad una tazine che, spassata di slanci la psizine di equilibi stabile, punta diitta a quella di equilibi stabile; una vlta giunti pi in pssimità di questa pi, saà sufficiente einvestie il ves della cente pe ttenee un plungament della csa: ma quest è ppi un mte elettic che è una macchina che tasfma cn cntinuità enegia elettica in enegia cinetica, che nel nst cas è di tazine. E sufficiente quindi cllegae la spia ettanglae a dei cmmutati di diffeenza di ptenziale esteni e piltati dalla Fig. 5 fequenza di tazine, pe ttenee una tasfmazine di enegia elettica (che sstiene la diffeenza di ptenziale e pduce il camp magnetic unifme) in enegia di tazine. Oppst è invece il cas di pduzine di cente altenata, pe la spiegazine del quale è necessai cinvlgee gli ultimi cncetti visti. a pduzine di cente altenata pevede infatti la dispnibilità, nell stess schema descittiv appena sviluppat nel cas del mte elettic, di una spia che cntinua a utae cn cntinuità all inten di una zna di camp magnetic unifme: si deve dispe ciè di enegia cinetica di tazine, qual è quella gaantita ad esempi da una tubina psta al temine di un pecs di caduta di acqua in una centale idelettica. In tal cas la spia messa in tazine nel camp ffe al camp una supeficie utile al fluss che vaia cn legge csinusidale, secnd l angl scelt nel paticlae in figua. Seguiam cmunque l svilupp fmale, nell iptesi che la tazine della spia sia a velcità anglae cstante ω : s [4.6] Φ ( B) = B A = B A cs( ϑ B, A) = B A cs( ϑ + ω t), essend l angl ta camp e vette supeficie vaiabile cn legge csinusidale nel temp, cme dett. effett che si ttiene attaves la legge di Faaday-Neumann-enz è: dφ ( B) d[ B A cs( ϑ )] [4.7] + wt inta = =, cn l peazine di deivazine che deve tene cnt che le gandezze B, A e ϑ nn dipendn del temp t, che è la vaiabile ispett alla quale si deiva: B A d[cs( ϑ + wt)] [4.8] inta = = B A ω sen( ϑ + wt) e la cente che saà, in cicuit che ammette una esistenza R: inta B A ω sen( ϑ + wt) [4.9] iinta = =. R R Dunque sulla spia esta inta, gazie alla sua tazine cntinua e alla pesenza di camp magnetic esten, una cente che vaia cn legge sinusidale, detta altenata peché ha un ves che nel temp cambia di segn. 5 appunti di fisica cap. b pag. 4 di 11

5 Quelli che abbiam sviluppat sn sl i meccanismi fndamentali di funzinament del mte elettic e di pduzine di cente altenata; essi sn stati pi ttimizzati cn degli accgimenti più cuati pe gaantine efficacia e utilizzabilità. effett di induzine elettmagnetica deve essee estes a tutte quelle situazini in cui il fluss del camp magnetic vaia nel temp. Nn basta: il camp magnetic è geneat da centi e l andament delle sue linee di fza è cndizinat dal vale della cente che l genea; se la cente a sua vlta è vaiabile nel temp è lecit aspettasi in un cicuit pst nelle immediate vicinanze, la pesenza di una cente inta. Il cas limite è quell dell autinduzine: è la situazine che si sviluppa all inten di un cicuit, quand, chius l inteutte, cmincia a passae cente. Il cicuit è, cme si può vedee dalla figua, quell più semplice: sn pesenti un geneate di f = e una esistenza R. Alla chiusua del cicuit passa cente. insgee della cente pemette la nascita cntempanea di un camp magnetic nei punti cicstanti l stess cicuit e, in paticlae, nei punti che cstituiscn l ideale supeficie assciata al ettangl acchius all inten della spia, che pendiam cme ifeiment ideale pe descivee ciò che succede. Nell intevall di temp che tasce dall istante iniziale, in cispndenza del quale l intensità di cente è nulla, all istante in cui Fig. 6 questa aiva al su vale di egime / R, la cente stessa nn è cstante nel temp e peciò il camp magnetic geneat gazie ad essa vaieà anch ess, pducend a sua vlte linee di fza in evluzine tempale e dunque, finalmente, un fluss attaves la supeficie ettanglae spaccitata che muta nel temp (aut-fluss). Dalla [4.4], ne deiva la pduzine di una fza elettmtice inta e a mezz di questa una cente inta che tende ad staclae la vaiazine di fluss di camp magnetic pta dall esten: si tatteà di una cente che cicleà nel cicuit cn un ves cntai alla cente natuale che pduce, nel cs della salita al vale di egime, la vaiazine di fluss stessa. effett quantificabile del fenmen di autinduzine è quantificabile da una salita al vale di egime nn immediata, ma bensì itadata. a gandezza atta a descivee l autinduzine è, appunt, l induttanza, definita cme: [4.10] Φ ( B) = i, che sancisce la ppzinalità dietta ta cente e fluss del camp magnetic. Dalla legge sull induzine elettmagnetica, deiva che: [4.11] inta = di Nel cicuit elettic, la fza elettmtice inta, individuata dalla elazine appena ttenuta, ha un espessine anticipata da un segn - (men) a caatteizzae la sua ppsizine alla del geneate e dunque a esplicitae il su ul passiv all inten del cicuit; la pesenza di tale effett viene simbleggiata all inten del cicuit cn un simbl che icda il slenide, cme si può ntae nella secnda pate della figua. Nel vesante enegetic, passività significheà che l enegia pta dal geneate, lte a dissipasi sulla esistenza R, si iveseà su tale element induttiv e andà fisicamente a sstenee l svilupp di un camp magnetic, che, cme tutti i campi, si cea sl gazie all enegia esa dispnibile da una sgente. Andiam ad analizzae sinteticamente il cmptament della cente nel temp i( t ), islvend l equazine diffeenziale cstuita sulla maglia, cme vule il cispndente pincipi di Kichhff; la pssibilità di sintesi deiva dal fatt di ave già islt una questine simile nel cas dei cicuiti RC. + R i( t) = 0 inta [4.1] di( t) R i( t) = 0 E da questa si può pcedee pe sepaazine di vaiabili, puntand a identificae la funzine islvente: i( t ). em 5 appunti di fisica cap. b pag. 5 di 11

6 di R i = di 1 d ( R i ) [4.13] = = R i R R i R d ( R i ) = R i integand: R R R t = k1 = + [4.14] d ( R i ) = ln ( R i ) + k R i imettend insieme e cnsideand l espnenziale di entambi, dp ave tenut un unica cstante: [4.15] R t ln( R i) + k ln( R i) k e = e e = e k 1 ( R i) e = ( R i) = e A R t R i = A e R t i( t) = R t A e R R a cstante A intta viene deteminata gazie alle cndizini iniziali che pevedn cente nulla all istante null e ciè: [4.16] i (0) = 0 Da ciò: R 0 A A i(0) = e = = 0 [4.17] R R R R e ciè: - A = 0 e A = Da cui l equazine finale: R t [4.18] i( t) = (1 e ) R la cui cuva di salita può essee icnsciuta facilmente in quella dell andament della caica nel cicuit RC del capitl cispndente. Il ul della cstante di temp viene gicat in quest ultim cas dalla gandezza: [4.19] τ = R che ha le dimensini di un temp, cme si può deteminae utilizzand l Heny, la nuva unità di misua definita pe l induttanza nell appsit spazi. Abbiam agit nel pecedente calcl cnsideand la nuva gandezza alla stegua di una cstante ispett all peazine di deivazine ispett al temp e nn sl. Mstiam cme tutt ciò sia legittim, illustand un cas paticlae di deteminazine di, quell del slenide: il nst slenide standad saà lung l, di sezine A e cmpst da un nume di spie pai a N. ( ) spia [4.0] ( N B ) Φ ttale B Φ N B A N B A = = = = i i i i essend B diett cme A ; 5 appunti di fisica cap. b pag. 6 di 11

7 ( µ ) N µ N n i A N A [4.1] = = µ N A = i l l e, cme si può ntae, l induttanza dipende sl da elementi diettamente indiettamente gemetici e nn da gandezze di caattee elettic magnetic, csi cme avveniva pe la capacità nel cas elettic. Appfittiam del slenide pe icstuie nel cas magnetic un alt paallelism cl cndensate nel cas elettic: il slenide ideale cstituisce infatti quel cas paticlae in cui il camp magnetic è unifme su tutt il vlume, pemettendci di fae calcli più semplici. Pendiam il via peò anca dal cicuit elettic dell ultima figua vista. Ci chiediam adess quant enegia viene accumulata all inten dell element induttiv, nell intevall di temp impiegat dalla cente pe passae dal vale null al vale di egime, che definiam geneicamente I, ma che ptebbe benissim essee il deja-vù / R. Pima di icstuie tale quantità di enegia, ibadiam che essa appesenteà l enegia necessaia a cstituie il camp magnetic assciat alla cente che passa nel cicuit. Ricdiam che, nt il vale della diffeenza di ptenziale, l enegia si calcla secnd la fmula: E = q V, che nella fma diffeenziale diventa: [4.] de = dq V Nel nst cas: E I I I di di [4.3] E = de = dq = i = i di cn il segn - (men) che icda che l enegia viene sttatta; d a in pi l talasceem. I E I i I [4.4] E = de = i di = = Recupeiam il calcl che ci ha cnt alla espessine di, [4.1], suppnend pe un mment di ave a che fae cn un slenide pesente nel nst cicuit, sul quale la cente è salita dal vale null sin al vale I. Diventeà: [4.5] B I µ N A µ n E = = = l E = B A l µ µ N l A B l µ N cn questa fmula che di pe se nn è gan che significativa, ma l diventa se intduciam la gandezza cispndente a quella del cas elettic e ciè la densità di enegia magnetica ω : E E B A l 1 B [4.6] wb = = = = vlume A l µ A l µ essend A l il vlume all inten del slenide. Si tatta di una elazine quasi identica a quella icavata nel cas elettic. Il isultat espime cn chiaezza il seguente fatt: ad un ceta zna dell spazi dve è pesente un camp magnetic pss assciae una quantità densità di enegia che mi dica quant h spes in temini enegetici pe ceae il camp ppi lì e questa gandezza è diettamente ppzinale dal quadat mdul del camp magnetic in quella zna; nel cas si tattasse di un camp nn unifme cme quell del slenide, ptei usae una fmula uguale, mdificandla peò in tale md: Bmedi [4.7] wb = µ B, 5 appunti di fisica cap. b pag. 7 di 11

8 dve B medi sta a appesentae il vale medi del mdul di B nella zna scelta, cn una densità che isulta tant megli definita quant più it è il vlume, la zna dell spazi pesa in cnsideazine. Cstuite le ppietà dei campi elettic e magnetic e della l inteazine, è il mment di sintetizzae il quad dei fenmeni elettmagnetici attaves le equazini di Maxwell, già pesenti nei pecedenti capitli in una fma in qualche cas incmpleta: esse iguadan la cicuitazine e il fluss dei campi E e B. Ripendiamle, una ad una: d Φ ( B) [M1] C( E) = legge di Faaday-Neumann-enz [M*] C( B) = µ i teema di Ampee q [M3] Φ ( E) = teema di Gauss [M4] Φ ( B) = 0 teema di Gauss pe il magnetism Ai fini dell intduzine alle nde elettmagnetiche, le ultime due leggi, quelle sui flussi sn pc significative ed inlte sn cmplete. e pime due invece hann un imptanza fndamentale. a pima delle due, quella sul camp elettic, è già stata ggett di un innvament deteminat dall intduzine del fluss del camp magnetic: il camp elettstatic, a cicuitazine nulla, ea cnsevativ e ciè il lav fatt su un cicuit chius ea null. Il camp elettic nn l è più: il fatt che la sua cicuitazine pssa essee nn nulla implica che, in pesenza di un fluss di B vaiabile nel temp, il lav è dives da ze, facend cadee la cnsevatività. a secnda delle due invece è anca paziale, nel sens che nn descive cmpletamente le pssibilità di ceae un camp magnetic: si nti, infatti, che essee in pesenza di un camp a cicuitazine divesa da ze significa essee in pesenza di un camp nn null in una ceta zna dell spazi. Pe icnscee la pazialità della fmulazine della [M*], andiam ad analizzae il cicuit ippst in figua, che ha al su inten il geneate di f =, esistenza R e un elettmtice cndensate di capacità C. Cncentiam la nsta attenzine sulle vicinanze del cndensate, ammettend pe un mment la validità del teema di Ampee: pendend, cme in figua, una linea chiusa di fma ciclae attn al fil nei pessi del cndensate ptemm affemae che lì la cicuitazine è data dal teema di Ampee cn i che appesenta la cente cncatenata alla linea chiusa e ciè quell unica cente che buca una qualsiasi supeficie che ha cme bd la linea chiusa stessa. Ma pss individuae due supefici divese che dann isultati cntadditi: quella cispndente al cechi che si cllca sull stess pian della linea chiusa e quella invece cispndente al cappucci che pss cstuie sulla medesima linea chiusa, ma che ha la caatteistica di passae cmpletamente all inten Fig. 7 delle amatue del cndensate, senza incntae nel su svilupp tidimensinale alcun pezz di fil sul quale passi cente! Ma che csa significa, che la validità del teema di Ampee deve essee limitata a delle supefici paticlai? N. Pe adeguae il teema di Ampee anche a quest cas cntadditti è necessai intdue un nuv tip di cente, detta di spstament e nn fmata da caiche fisiche, ma da vaiazini tempali del fluss del camp elettic. Pe cstuie il temine elativ alla cente di spstament ci ifacciam alle ppietà del cndensate ad amatue piane, stabilend che sia A a appesentae la supeficie delle amatue e q( t ) la caica che sistema su ciascuna delle due amatue. Alla, cnsideand che il camp elettic unifme che si cea ta le amatue è diettamente ppzinale alla caica che si sistema sulle stesse: 5 appunti di fisica cap. b pag. 8 di 11

9 [4.8] σ E( t) = = q( t) A e, cnsideand il fluss: ( ) ( ) [4.9] ( ) ( ) ( ) q t q t Φ t = E t A = E t A = A = E A che, se la caica vaia nel temp, isulteà anch ess essee vaiabile nel temp; d[ Φ ( t)] E d q( t) 1 [4.30] = = i ( t ) Dunque pe ttenee una cente saà sufficiente mltiplicae pe : d [4.31] i spstament ( E) = Φ Intta questa cezine, la [M*] saà da mdificae in: d [M] C( B) = µ ( i + is ) = µ i + Φ ( E) teema di Ampee-Maxwell. In pssess di questi stumenti mlt ptenti, pssiam aginae attn alla natua delle nde elettmagnetiche: dalle equazini [M1] ed [M] si può infeie che la vaiazine del fluss di un dei due campi induce l insgee dell alt camp, gazie al fatt che ne isulta una cicuitazine nn nulla: seguend un svilupp a catena, un camp elettic(magnetic va bene l stess) vaiabile genea a mezz del su fluss un camp magnetic (elettic) ; se quest è, a sua vlta, vaiabile nel temp, induà un ulteie camp elettic e se quest a sua vlta, è vaiabile nel temp, e csì via. Quest fenmen di campi che ipducn e si sstengn è l nda elettmagnetica. In che md pss fa sì che questa vaiabilità nel temp si estenda a tutti i passaggi da un camp all alt? Ntand che il legame matematic sstanziale ta campi successivi è la deivata ispett al temp, debb avee a dispsizine un camp iniziale (elettic magnetic che sia) che dipende dal temp gazie ad una funzine che sia in gad di geneae nelle successive deivazini anca funzini dipendenti dal temp: la migli funzine a quest iguad è la sinusidale. a pduzine di petubazini sinusidali è ttenibile, ad esempi, pe mezz di un cicuit C, at ciè di un element induttiv ed un capacitiv. studiam cme appendice paallela ad un già nt cicuit RC: il paallel ha il cmpit di pemettee una fase iniziale di caica del cndensate gazie alla chiusua dell inteutte A e all apetua del B e una fase di scillazine in cas di successiva apetua dell A e della chiusua del B. a scillazine è intepetabile da un punt di vista enegetic lte che analitic: nella fase di caica si cstuisce esclusivamente il camp elettic all inten del cndensate; quand viene pi esclus il geneate, fluend le caiche all inten della maglia C, si cstuisce un p alla vlta il camp magnetic all inten dell element induttiv pe mezz della cente Fig. 8 che cicla, cn vali men intensi all inizi e via via sempe più cnsistenti, sin al massim. Cnclusa la fase di salita pe la cente e di cstuzine di B, il pcess si invete, pducend il fenmen inves. Utilizzand il pincipi di Kichhff alla maglia C si può cstuie la seguente equazine diffeenziale: ( ) ( ) ( ) ( ) [4.3] di t + q t = 0 = di t + q t C C essend entambe gli elementi passivi e pesentandsi dunque cn l stess segn; la vesine a desta è ttenuta gazie alla divisine di tutti gli elementi pe 0. Si tatta di equazine più elabata di quella già viste, cntenend al su inten un funzine e la sua deivata secnda; si può scivee infatti: 5 appunti di fisica cap. b pag. 9 di 11

10 dq( t) d ( ) q( t) + = + = 0 [4.33] q t d [ q( t) ] C C Alla isluzine di questa equazine nn diam cs analitic, dvend dispe di stumenti matematici maggimente elabati; pssiam peò cncdae sul fatt che la funzine: [4.34] q( t) = A sen( ω t + ϕ ) è buna sluzine cn un necessai vincl sulla fequenza anglae ω ; veifichiaml inseendla: d [ A sen( ω t + ϕ )] A sen( ω t + ϕ ) [4.35] + = 0 C deve essee; deivand una e pi un alta vlta: d [ A cs( )] ( ) ( ) [4.36] ω ω t + ϕ A sen ω t + ϕ A sen t Aω sen( ω t ϕ ) ω + + = + + ϕ = 0 C C In cnclusine: [4.37] A sen t ω ( ω + ϕ ) = A sen( ω t + ϕ ) C ω = ω = = C C C Se la fequenza anglae pulsazine sddisfa la [4.37], alla la [4.34] cstituisce una buna sluzine, cn la cente che saà: d [ q( t) ] d [ A sen( ω t + ϕ )] [4.38] i( t) = = = Aω cs( ω t + ϕ ) Nel cicuit C ci saà alla una cente vaiabile nel temp secnd la [4.38] e il camp magnetic che si sviluppa da tale cicuit avà, a men di cstanti, l stess cmptament sinusidale; il su effett saà dunque una petubazine elettmagnetiche e ciè influenzeà tutt l spazi cicstante cn una seie di campi elettici e magnetici ecipcamente inti e sstenuti dalla sgente: cn quest cicuit si pduà un nda elettmagnetica. Nella figua a fianc si può ntae la stuttua di una semplice antenna che è in gad di pdue ppue captae nde adi, le quali sn delle nde elettmagnetiche paticlai cn 8 lunghezza d nda di cica 1 m. e fequenza di cica 10 Hz.. Il cicuit C in figua è cmpletat cn una esistenza R, immancabile nei cicuiti eali. Fig. 9 Un cicuit C alimentat da un geneate in altenata è una delle pssibili sgenti di petubazini/nde elettmagnetiche: egland i vali dell induttanza e della capacità si pssn ttenee nde EM di fequenza divesa, cme illustat dalla [4.37], anche se i limiti di cstuzine delle cmpnenti elettniche nn lascian gande spazi. Alte fnti di nde elettmagnetiche sn nte: la lampadina/esistenza, il gas iscaldat, i nuclei atmici, etc. Qui stt viene iptat quell che è l spett elettmagnetic. analisi della stuttua dell nda elettmagnetica, patend dalla genesi alla quale abbiam accennat, nn è agevle e ichiede una buna analisi. Ci limiteem a visualizzae il md di ipdusi delle linee di fza dei due campi, legati dalla deivata del fluss ispett al temp, e di sviluppasi dei vetti E e B nella ppagazine dell nda (vedi figue finali): nn spenda il fatt che i piani delle linee di fza e i vetti cispndenti si sviluppin pependiclamente gli uni agli alti: un esempi ntevle è appesentat dal cas del mt ciclae unifme, nel quale l acceleazine centipeta, ntiamente pependiclae alla velcità che è tangente, è la deivata del vette velcità lineae appunt. Fig appunti di fisica cap. b pag. 10 di 11

11 Il camp elettic ha sempe pependiclae alla sua desta il camp magnetic e i due mduli sn legati dalla elazine: [4.39] E = B c cn c che sta a appesentae la velcità della luce. a velcità della luce è legata alle ppietà elettmagnetiche del mezz in cui si muve, secnd la: 1 8 [4.40] v = = 3x10 m./ sec. µ cn le due cstanti a caatteizzae il vut. svilupp nell spazi di un nda elettmagnetica è descitt dal vette di Pynting, definit dalla: 1 [4.41] S = E B µ che descive pe bene il fatt che i due vetti camp elettic e magnetic sn cllcati su un pian pependiclae alla diezine di ppagazine dell nda e che l nda elettmagnetica nella sua ppagazine si pta diet, cme tutte le nde, enegia. Più cmpless è invece illustae cme il camp elettic ( e il camp magnetic, che in diezine e ves gli è slidale), pu avanzand nella diezine di ppagazine lung S, uti, descivend cn la sua punta un mt elicidale. a tazine può essee intetta da filt Plaid che bbliga il Fig. 11 vette E a unifmasi alla diezine dei cistalli dell stess, pedend cmpnenti e assumend il caattee di luce plaizzata. Ma questa è un alta stia SETTORE NUOVE UNITA DI MISURA induttanza N. Φ ( B) m. m. A. N. m. : [ ] = = = Heny ( H.) i A. A. [ ] 5 appunti di fisica cap. b pag. 11 di 11