Successioni di funzioni

Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già studito nell Sezione 1.6, fissndo x R e fcendo tendere n ll infinito. Cmbindo i ruoli di x ed n, cioèfissndo n ed interpretndo x come vribile rele, si vede che ogni termine dell successione è in eetti un funzione e che quindi l successione stess è un successione di funzioni: f 0 (x),f 1 (x),f 2 (x),..., f n (x),... con f 0 (x) =1, f 1 (x) =x, f 2 (x) =x 2,..., f n (x) =x n,.... Si bdi che le funzioni che stimo considerndo sono tutte definite su uno stesso dominio (dom f n = R per ogni n) e che, rigori, si chimno f 0,f 1,f 2,..., f n,..., mentref 0 (x),f 1 (x),f 2 (x),..., f n (x),... sono i vlori che esse ssumono nel punto x. Per evitre confusioni, d or in poi converrà distinguere le due scritture. Non dremo un definizione generle di successione di funzioni più rigoros di quell che emerge d questo discorso: si trtt di un fmigli (f n ) nn0 di funzioni f n : D R dipendenti d un indice nturle n (oltre che d un vribile rele x) edefinite su un dominio comune 5 D R. Scriveremo brevemente (f n ) qundo non interesserà specificre il primo vlore dell indice n. Ancor nell Sezione 1.6, si è ottenuto che lim xn =+ se x>1 =1 se x =1 =0 se x (1, 1),cioè x < 1 non esiste se x 1. Nel fr ciò, si è rgionto così: si è fissto x R e si è studito il limite dell successione numeric x n (ossi di f n (x) con x fissto) per n, discutendo tle limite second dei diversi vlori cui x può (3.8) 5 A second di ciò cui si è interessti, tle dominio può nche non essere l intero insieme di esistenz comune tutte le f n.adesempio,sevolessimoconsiderrelefunzionix n solo per x>0, prenderemmo D =(0, +) (invece che D = R). 32

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 33 essere fissto. Questo si può fre per un qulsisi successione di funzioni f n : si può immginre di fissre il vlore dell vribile x e studire il comportmento dell successione numeric dt di vlori f n (x) ssunti dlle funzioni f n in corrispondenz di quel punto x; se tle successione numeric converge, si dirà che l successione di funzioni (f n ) converge nel punto x. Tornimo ncor i risultti (3.8). Secondo l ottic ppen introdott, essi dicono che l successione di funzioni f n (x) =x n non converge nei punti x tli che x 1 oppure x>1, mentre converge nei punti x tli che 1 <x 1, neiqulirisult 0 se x (1, 1) lim xn = 1 se x =1. (3.9) Dquisivedeche,neipuntix in cui esiste finito, il limite di x n è su volt un funzione f del punto x, dtd 0 se x (1, 1) f (x) = (3.10) 1 se x =1. Anche questo è un ftto generle: nel cso in cui un successione di funzioni f n converg in più punti (cioè l successione numeric f n (x) converg per diversi vlori di x), il vlore del limite lim f n (x) dipende dl punto x fissto, cioè è esso stesso un funzione di x, dettfunzione limite. Nell prossim sezione, formlizzimo queste considerzioni con l nozione di convergenz puntule. 3.2 Convergenz puntule Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R definite su un dominio comune D R. Definizione 3.1 Dicimo che (f n ) converge in un punto x 0 D se l successione numeric (f n (x 0 )) converge, cioè se lim f n (x 0 ) esiste finito. Inoltre l insieme dei punti in cui (f n ) converge è detto insieme di convergenz puntule di (f n ); noi lo indicheremo sempre con e quindi, in simboli, si h := x D : lim f n (x) esiste finito ; l funzione f : R definit d x, f (x) := lim f n (x) èdettfunzione limite di (f n ) (ed è ovvimente unic). L determinzione di e dell funzione limite v sotto il nome di studio dell convergenz puntule dell successione (f n ). Esempio 3.2 All luce dell definizione precedente, l esempio discusso nell sezione introduttiv mostr che l successione f n : R R definit d f n (x) =x n h insieme di convergenz puntule =(1, 1] 1 se x =1 (converge nei punti dell intervllo (1, 1] e solo in quelli) e funzione limite f (x) = 0 se x (1, 1).

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 34 Spesso non interess determinre l insieme di tutti i punti in cui (f n ) converge (cioè ) e l funzione limite su esso definit, m solo stbilire se nei punti di un qulche sottoinsieme A di D l successione (f n ) converge i corrispondenti vlori di un qulche funzione f. A tle situzione si rivolge l definizione generle di convergenz puntule seguente. Definizione 3.3 (di convergenz puntule) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R definite su un dominio comune D R esinoa D un sottoinsieme qulsisi ed f un funzione definit su A. Dicimo che l successione (f n ) converge puntulmente d f su A se x A risult lim f n (x) =f (x), (3.11) cioè se x A risult lim f n (x) f (x) =0. (3.12) In tl cso, scrivimo f n f puntulmente su A. Esempio 3.4 L successione di funzioni f n (x) = x n converge puntulmente ll funzione null su A =(1, 1), inquntosih lim xn =0per ogni x (1, 1). Ovvimente ogni successione di funzioni (f n ) converge puntulmente ll propri funzione limite sul proprio insieme di convergenz puntule. Concludimo osservndo che, d un punto di vist grfico, l convergenz puntule di (f n ) d f si può crtterizzre come segue: f n f puntulmente su A seesolose fissto un qulunque x 0 A, le ordinte dei punti di sciss x 0 sui grfici delle f n tendono ll ordint del punto di sciss x 0 sul grfico di f. Esempio 3.5 Sino f n (x) =x n ed f :domf R R un qulunque funzione tle che f (x) = 0 se x [0, 1) 1 se x =1. Allor f n converge puntulmente d f su A =[0, 1], inqunto lim xn = f (x) per ogni x [0, 1]. L figur seguente riport i grfici di lcune delle funzioni x n sull intervllo [0, 1] e mostr come, in corrispondenz di lcune scisse fisste, i punti di questi tendno i corrispondenti punti del grfico di f. Grfici di x n per n =1, 2, 3, 5, 7, 10, 20 econvergenzneipuntix 0 =1/2, 3/4, 1.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 35 3.3 Insucienz dell convergenz puntule L convergenz puntule è un nozione che si rivel insuciente in diversi contesti e per diverse rgioni. Vedimone un pio. 1 Spesso l soluzione di un problem (d esempio di un equzione dierenzile) è un funzione f che non è ottenibile in modo esplicito. In tli situzioni, si può llor cercre un successione di funzioni f n che pprossimi l soluzione f e studire quindi le proprietà di tle soluzione studindo quelle delle funzioni che l pprossimno. D tle punto di vist, l convergenz puntule risult inutile, in qunto l convergenz puntule delle f n d f non trsferisce necessrimente ll funzione f proprietà nche molto elementri delle funzioni f n, quli d esempio l continuità, l limittezz, l derivbilità o l integrbilità. Ad esempio, le funzioni f n (x) =x n sono di clsse C sull intervllo [0, 1], m, sullo stesso intervllo, tendono puntulmente ll funzione 0 se x [0, 1) f (x) = 1 se x =1 f n (x) =x n, n 0 f (x) che non è nemmeno continu. Altri esempi sono suggeriti nei seguenti esercizi. Esercizio 3.6 Verificre che le funzioni f n (x) = 1 x+1/n con n 1 e dom f n =[1, 1] sono limitte e integrbili e convergono puntulmente d un funzione non limitt (e quindi non integrbile). Esercizio 3.7 Verificre che le funzioni f n (x) = x 2 +1/n con n 1 e dom f n =[1, 1] sono derivbili e convergono puntulmente d un funzione non derivbile. 2 Supponimo di non sper (o poter) clcolre esttmente il vlore di un integrle f (x) dx (3.13) (mgri perché f non è integrbile elementrmente) e di volerlo quindi pprossimre con un successione di integrli f n (x) dx (3.14) più fcili d clcolre (o clcolbili). Verrebbe nturlmente in mente di prendere un successione f n che converg d f e poi prendere gli integrli (3.14) delle f n come pprossimzioni dell integrle (3.13) di f. Questo rgionmento richiede però che vlg l relzione lim f n (x) dx = f (x) dx, (3.15) l qule è not come pssggio l limite sotto il segno di integrle, inquntosihf (x) = lim f n (x) e

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 36 quindi l (3.15) si potrebbe scrivere lim f n (x) dx = lim f n (x) dx. Ebbene, l convergenz puntule delle f n d f non consente in generle il pssggio l limite sotto il segno di integrle, nenchesef etuttelef n sono integrbili. Ad esempio, le funzioni f n :[0, 1] R, n 1, definite d 0 f n (x) = n 2 x + n se x =0 x 1 n, 1 se x 0, 1 n tendono puntulmente ll funzione null su [0, 1] (v. grfico 6 ) ed hnno integrli dti d 1 1/n f n (x) dx = n 2 x + n 1/n dx = n2 0 0 2 x2 + nx = n2 1 0 2 n 2 + n 1 = 1 ( = re tringolo). n 2 Pertnto l relzione (3.15) non vle, in qunto il limite primo membro vle 1/2, mentre l integrle secondo membro vle 0 (essendo f l funzione null). L rgione dell insucienz dell convergenz puntule di fronte lle questioni ppen descritte st essenzilmente nel ftto che ess non f riferimento d lcun nozione di distnz tr funzioni. Inftti, l convergenz puntule f n f su un certo insieme A signific che, fissto un qulsisi x 0 A, si h lim f n (x 0 ) f (x 0 ) =0 e dunque l unic nozione di distnz coinvolt è quell dell distnz d (f n (x 0 ),f(x 0 )) = f n (x 0 ) f (x 0 ) tr i vlori di f n ed f nel punto x 0 precedentemente fissto. In ltri termini, i vlori di f n edif vengono considerti punto per punto seprtmente e l convergenz d (f n (x 0 ),f(x 0 )) 0 non viene influenzt d lcuno dei vlori che le funzioni ssumono in punti diversi d x 0. Nell prossim sezione introdurremo lcune possibili nozioni di distnz tr due funzioni, che tengono contempornemente conto di tutti i vlori ssunti dlle due funzioni. Rispetto tli distnze, l convergenz di un successione di funzioni f n d un funzione f significherà, com è nturle, che lim d (f n,f)=0 6 Volendo fre il clcolo, si deve rgionre così: siccome 1 0, pern bbstnz grnde ogni x (0, 1) fissto cde n nell intervllo 1 n, 1 su cui f vle 0; ciòsignific che x (0, 1) risult f n (x) =0definitivmente e quindi lim fn (x) =0.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 37 (ossi si dirà che f n tende d f se l distnz tr f n ed f tende zero) e in questo modo tutti i vlori delle f n edif srnno coinvolti contempornemente nel processo di convergenz. 3.4 Distnze tr funzioni L nozione di distnz si bs generlmente 7 su un preesistente nozione di grndezz : un volt stbilito un modo per vlutre l grndezz di un oggetto, è rgionevole inftti ritenere che due oggetti sino tnto più vicini qunto più è piccol l loro dierenz, ossi pensre ll distnz tr due oggetti come ll grndezz dell loro dierenz (mmesso che bbi senso prlre di dierenz tr tli oggetti). Ad esempio, il modulo x di un numero rele o complesso x può essere inteso come stim dell grndezz del numero x e l distnz stndrd tr due numeri reli o complessi è inftti d (x, y) = x y. Anlogmente, l norm x di un vettore x di uno spzio euclideo costituisce un stim dell lunghezz di x ed induce l distnz d (x, y) =x y, così come l distnz tr due punti P, Q R n èdtdd (P, Q) =Q P. Occupimoci llor del problem di vlutre l grndezz di un funzione. Qule delle due funzioni in figur h senso ritenere più grnde? f 1 (x) f 2 (x) Evidentemente l rispost dipende d ciò che interess ritenere importnte: d un lto, si potrebbe dire che f 1 è più grnde di f 2 perché l estremo superiore (che nel cso dell figur è un mssimo) dei vlori ssunti d f 1 (in vlore ssoluto) è mggiore di quello dei vlori ssunti d f 2 ; d ltr prte, si potrebbe fr riferimento ll re dei trpezoidi sottesi dlle due funzioni e quindi dire che f 2 è più grnde di f 1. Queste semplici considerzioni fnno cpire come l grndezz di un funzione si vlutbile in modi diversi e possono essere formlizzte introducendo le seguenti norme: f := sup f (x) e f 1 := x[,b] f (x) dx. (3.16) L prim si legge norm indice infinito, o norm del sup, e giudic l grndezz di un funzione vlutndo quell dei vlori d ess ssunti (in figur risult f 1 > f 2 ); l second si dice norm indice 1 e vlut l re geometric (cioè non con segno) del trpezoide di f (in figur risult f 1 1 < f 2 1 ). Un ltr norm di frequente utilizzo è l cosiddett norm indice 2, onorm qudrtic, 7 sono possibili pprocci più strtti ll nozione di distnz, m non ce ne occuperemo

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 38 definit d 8 f 2 := [f (x)] 2 dx, (3.17) che discende d un prodotto sclre e dell qule vremo occsione di tornre d occuprci qundo trtteremo le serie di Fourier. Le norme indice 1 e 2 vnno nche sotto il nome di norme integrli. V osservto che l presenz di un intervllo comptto [, b] nelle definizioni (3.16) e (3.17) non è essenzile ed l suo posto si potrebbe considerre un intervllo I qulsisi (fermo restndo che gli integrli diventno impropri qundo riferiti d intervlli illimitti). D ltr prte, se l intervllo considerto è un comptto [, b] ed f ècontinusu[, b], llor, per il teorem di Weierstrss, l estremo superiore che ppre nell norm infinito è in eetti un mssimo e quindi risult f =mx x[,b] f (x). A questo punto simo pronti per presentre le distnze indotte dlle norme ppen definite: si pone ossi d (f,g) :=f g, d 1 (f,g) :=f g 1 e d 2 (f,g) :=f g 2, d (f,g) = sup f (x) g (x) e d p (f,g) = x[,b] f (x) g (x) p dx 1/p con p =1, 2 e si prl, rispettivmente, di distnz indice infinito (o del sup), distnz indice 1 e distnz indice 2 (o qudrtic). Le distnze indice 1 e 2 vnno nche sotto il nome di distnze integrli. Vlgono ovvimente le osservzioni già ftte prim: (i) l intervllo [, b] potrebbe essere rimpizzto, in tutteledefinizioni, d un intervllo I qulsisi; (ii) se f,g C ([, b]) llor è continu nche l funzione f (x) g (x) e quindi risult d (f,g) =mx x[,b] f (x) g (x). L figur seguente mostr il significto grfico delle distnze d e d 1. Osservimo esplicitmente che: 8 Più in generle, si possono considerre norme indice p con p 1 qulsisi ponendo f p := p b f (x) p dx. Sotto opportune condizioni, si può verificre che lim f p+ p = f, d cui il nome dell norm f.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 39 l distnz d (f,g) èl estremo superiore dei cosiddetti scrti verticli tr f e g, cioè delle lunghezze f (x) g (x) dei segmenti che uniscono i punti dei grfici di f e g con ugule sciss (nell figur f e g sono evidentemente continue su [, b] e quindi d (f,g) = mx f (x) g (x) ); x[,b] l distnz d 1 (f,g) èdtd d 1 (f,g) = f (x) g (x) dx e dunque, com è ben noto, ess è l re dell prte di pino compres tr i grfici di f e g sull intervllo [, b]; l distnz qudrtic è ncor interpretbile come re, m il suo significto grfico non è direttmente leggibile sui grfici di f e g: essè d 2 (f,g) = [f (x) g (x)] 2 dx e pertnto fornisce, meno dell rdice, l re del trpezoide sotteso dll funzione [f (x) g (x)] 2 sull intervllo [, b] (rppresentt in figur per le funzioni f, g dell figur precedente). Disponendo or di diversi strumenti per vlutre l distnz tr due funzioni, concludimo ribdendo qunto già nticipto l termine dell sezione precedente. Scelt un distnz tr quelle introdotte e fissto un intervllo I su cui clcolrl, l convergenz di un successione di funzioni f n d un funzione f sull intervllo I può essere espress in modo nturle come segue: se è un qulsisi delle norme introdotte e d è l corrispondente distnz (cioè d (f,g) = f g), entrmbe clcolte su I, llor si dice che f n converge d f su I nell norm, oppure rispetto ll distnz d, se lim d (f n,f)=0, (3.18) ossi se lim f n f =0. (3.19) Si noti che le scritture (3.18) e (3.19) non contengono l indiczione dell intervllo I e quindi è importnte che l intervllo su cui si vlut l convergenz e si clcolno norme e distnze si specificto prte ogni volt. Nelle prossime due sezioni studieremo in dettglio l convergenz in norm del sup e ci limiteremo dre qulche risultto sulle convergenze in norme integrli nel cso in cui esse sino riferite intervlli limitti (il cso delle convergenze integrli su intervlli illimitti, di cui non ci occuperemo, present sostnzili dierenze).

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 40 3.5 Convergenz uniforme Si chim convergenz uniforme l convergenz rispetto ll distnz d, ossi l convergenz in norm del sup. Più precismente, si dà l seguente: Definizione 3.8 (di convergenz uniforme) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R definite su un dominio comune D R esinoi D un intervllo qulsisi ed f un funzione definit su I. Dicimo che l successione (f n ) converge uniformemente d f su I se lim d (f n,f)=0 (con d clcolt su I), (3.20) cioè lim f n f =0 (con clcolt su I), cioè lim sup f n (x) f (x) =0. xi In tl cso, scrivimo f n f uniformemente su I. Osservzione 3.9 Èimmeditoverificre che se f n f uniformemente su I, llor f n f uniformemente su ogni sottointervllo I I. Inftti, l estremo superiore non diminuisce ingrndendo l insieme su cui lo si clcol e quindi per ogni n risult 0 sup f n (x) f (x) sup f n (x) f (x), xi xi d cui sup f n (x) f (x) 0 implic sup f n (x) f (x) 0 (per confronto). xi xi Il significto grfico dell convergenz uniforme discende subito d quello dell distnz indice infinito e si vede bene esplicitndo l (3.20), l qule signific che > 0 risult d (f n,f) definitivmente. Osservimo llor che d (f n,f) significsuvoltchetutti gli scrti verticli tr f n ed f non superno, ossi che il grfico di f n si svolge tutto ll interno dell strisci ottenut trslndo verticlmente il grfico di f di un lunghezz, inltoeinbsso.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 41 Poiché è rbitrrio e ciò deve vvenire per tutti gli n bbstnz grndi (in dipendenz di ), se ne deduce l seguente crtterizzzione grfic dell convergenz uniforme: f n f uniformemente su un intervllo I seesolose pres un qulsisi strisci ttorno l grfico di f, piccol picere, d un certo indice in poi i grfici di tutte le f n stnno intermente dentro quell strisci (tutto, nturlmente, sull intervllo I). Esempio 3.10 Verifichimo che l successione geometric f n (x) =x n, n 0, converge uniformemente ll funzione null f (x) 0 su ogni intervllo [0,b] con b<1 positivo. Si trtt di fr vedere che lim f n f =0(con norm clcolt su [0,b]), ossi lim f n =0(in qunto f n f = f n perché f =0). Per fr ciò, clcolimo dpprim f n con n 0 fissto e poi fccimo tendere n ll infinito. Si h f n = sup f n (x) = sup x n = sup x n x[0,b] x[0,b] x[0,b] (il vlore ssoluto è inutile perché è x n 0 su [0,b]). Essendo x n crescente su [0,b], risult sup x[0,b] x n = b n e quindi f n = b n. Pssndo l limite e ricordndo che 0 <b<1 implic che b n 0 per n,siottiene Ciò signific che f n 0 uniformemente su [0,b]. lim f n = lim nn =0. L stess successione, invece, non tende uniformemente 0 sull intervllo [0, 1). Inftti, in questo cso risult f n =sup x[0,1) x n =1 n =1(perglistessimotividiprim)equindi lim f n =1= 0. L figur seguente illustr grficmente i risultti ottenuti, mostrndo il comportmento dei grfici di lcune delle funzioni x n sugli intervlli 0, 4 5 e [0, 1) in relzione d un strisci di mpiezz rbitrri < 1 fisst ttorno l grfico y =0dell funzione null f. Sono trtteggiti i grfici non intermente contenuti nell strisci fisst. Nel primo cso, i grfici delle f n si svolgono definitivmentell internoditlestrisci(convergenzuniforme);nelsecondo cso (convergenz non uniforme), ogni grfico ne esce in prossimità del punto x =1.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 42 Il legme che intercorre tr convergenz uniforme e convergenz puntule è stbilito dll proposizione seguente. Proposizione 3.11 Se f n f uniformemente su un intervllo I, llor f n f puntulmente su I. Dimostrzione Per ipotesi si h che lim f n f =0(con clcolt su I) e d ltr prte, per definizione di f n f,risult 0 f n (x) f (x) f n f per ogni x I. Quindi, pssndo l limite ed utilizzndo il teorem del confronto, si ottiene che signific lim f n (x) =f (x) per ogni x I. lim f n (x) f (x) =0 per ogni x I, In sintesi, l Proposizione 3.11 erm dunque che l convergenz uniforme implic l convergenz puntule (su uno stesso intervllo). Attenzione! il vicevers è flso, come dimostr il seguente controesempio. Controesempio 3.12 (l convergenz puntule non implic l convergenz uniforme) Irisultti (3.9) mostrno che x n 0 puntulmente sull intervllo [0, 1), m nell Esempio 3.10 si è visto che tle convergenz non è uniforme. L esempio 3.10 mostr come lo studio dell convergenz uniforme di un successione di funzioni (f n ) pssi tipicmente ttrverso lo studio diretto dell distnz f n f e necessiti pertnto dell conoscenz preliminre dell cndidt funzione limite uniforme f. In quest ottic, l Proposizione 3.11 fornisce il punto di prtenz per tle studio; inftti, ess erm che se I è un intervllo su cui f n f uniformemente, llor I è contenuto nell insieme di convergenz puntule ed f coincide su I con l funzione limite puntule dell successione. Di conseguenz, per studire l convergenz uniforme di un successione (f n ) si procede generlmente così: si determin l insieme di convergenz puntule = x D : lim f n (x) esiste finito ; si determin l funzione limite f (x) = lim f n (x) per ogni x ; si studi direttmente l distnz f n sugli intervlli I, per stbilire su quli ci si convergenz non solo puntule m nche uniforme. Osservimo che non h senso cercre l intervllo di convergenz uniforme, in qunto in generle non esiste un intervllo mssimle su cui ci si convergenz uniforme; inftti, può fcilmente ccdere che l unione infinit di intervlli di convergenz uniforme non si un intervllo di convergenz uniforme, come nel cso dell Esempio 3.10: x n converge uniformemente 0 su ogni intervllo [0,b] con 0 <b<1, m non converge uniformemente su [0, 1) = [0,b]. 0<b<1

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 43 Esempio 3.13 Si vogli studire l convergenz uniforme dell successione di funzioni f n :(0, +) R definite d f n (x) =x + e nx2, n 1. Per ogni x>0, risult lim f n (x) = lim x + e nx2 = x + lim enx2 = x e quindi (f n ) h insieme di convergenz puntule =(0, +) e funzione limite f (x) =x per ogni x>0. Controllimo se f n f uniformemente su tutto =(0, +). Si trtt di stbilire se lim f n f = 0 con norm clcolt su (0, +). Clcolimo dpprim f n f con n fissto, cioè f n f = sup f n (x) f (x) = sup x(0,+) x(0,+) x + e nx2 x = sup e nx2 x(0,+) (il vlore ssoluto è inutile perché e nx2 è sempre positivo). Poiché l funzione e nx2 con n fissto è decrescente sull intervllo (0, +) (h derivt 2nxe nx2 < 0 per x>0), risult edunquef n f =1. sup e nx2 = lim x(0,+) x0+ enx2 = e 0 =1 Pssimo or l limite per n : si ottiene ovvimente lim f n f =1= 0equindif n non tende uniformemente d f su. Tle conclusione è stt dovut l ftto che l intervllo (0, +) h x =0come estremo, d cui è seguito che f n f = e 0 =1. Allontnimoci llor d x =0, considerndo intervlli del tipo [, +) con >0. In tl cso, sfruttndo di nuovo l decrescenz dell funzione e nx2 sull intervllo [, +), si ottiene f n f = sup e nx2 = mx x[,+) x[,+) enx2 = e n2 e quindi risult lim f n f = lim en2 =0, in qunto n 2 + perché 2 > 0. Dunquef n f uniformemente su [, +). L figur seguente illustr grficmente i risultti ottenuti, mostrndo il comportmento dei grfici di lcune delle funzioni f n sugli intervlli 1 10, + e (0, +) in relzione d un strisci di mpiezz rbitrri < 1 fisst ttorno l grfico y = x dell funzione limite f. Sono trtteggiti i grfici non tutti contenuti nell strisci fisst. Nel primo cso, i grfici delle f n si svolgono definitivmente ll interno di tle strisci (convergenz uniforme); nel secondo cso (convergenz non uniforme), ogni grfico ne esce in prossimità del punto x =0.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 44 3.5.1 Teoremi di pssggio l limite I seguenti risultti mostrno come l convergenz uniforme superi le dicoltà 1 e 2 discusse nell Sezione 3.3. Teorem 3.14 (di continuità e limittezz dell funzione limite) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R esii D un intervllo qulsisi. Se (i) le f n sono continue (oppure limitte) su I (ii) f n f uniformemente su I, llor f è continu (rispettivmente limitt) su I. Osservzione 3.15 Il teorem precedente fornisce nche un utile strumento per provre l ssenz di convergenz uniforme. Inftti, supponendo di spere che f n f puntulmente su I echelef n sono continue su I, dl teorem segue che se f non è continu su I llor l convergenz f n f non è uniforme su I. Ad esempio, l successione geometric f n (x) =x n è costituit d funzioni continue e converge puntulmente ll funzione (3.10) sull intervllo (1, 1], mtlefunzionelimiteèdiscontinuinx =1e quindi l convergenz f n f non è uniforme su (1, 1] (come in eetti si srebbe potuto concludere nche grzie ll Osservzione 3.9 ed ll Esempio 3.10, in cui si è provto direttmente che l convergenz f n f non è uniforme sul sottointervllo [0, 1)). Teorem 3.16 (di pssggio l limite sotto il segno di integrle) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R esi[, b] D. Se (i) le f n sono integrbili su [, b] (ii) f n f uniformemente su [, b], llor f è integrbile su [, b] erisult f (x) dx = lim f n (x) dx. (3.21) Dimostrzione (przile) Ci limitimo dimostrre l formul (3.21), dndo per ssodto che f si integrbile su [, b] (il che è bnlmente ssicurto dl Teorem 3.14 se le f n sono continue su [, b], in qunto risult che nche f è continu su [, b]). Poiché f n ed f sono integrbili su [, b], per linerità e disuguglinz tringolre dell integrle si h 0 f n (x) dx f (x) dx = [f n (x) f (x)] dx f n (x) f (x) dx, D ltr prte, per definizione di f n f su [, b], risult f n (x) f (x) f n f per ogni x [, b]

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 45 e quindi, per monotoni dell integrle, si h f n (x) f (x) dx f n f dx = f n f (b ). Dunque si ottiene 0 f n (x) dx f (x) dx f n f (b ). Se f n f uniformemente su [, b], il primo e l ultimo termine tendono 0 e quindi, per confronto, risult lim f n (x) dx f (x) dx =0, che è ciò che si volev dimostrre. Il teorem precedente è spesso espresso dicendo brevemente che l convergenz uniforme permette di scmbire gli opertori di limite ed integrle; inftti, si h f (x) = lim f n (x) per ogni x [, b] (per convergenz puntule, conseguenz di quell uniforme) e quindi l formul (3.21) può essere riscritt come lim f n (x) dx = lim f n (x) dx. Teorem 3.17 (di pssggio l limite sotto il segno di derivt) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R esii D un intervllo qulsisi. Se (i) le f n sono di clsse C 1 su I (vintesoche,sei contiene un suo estremo, in tle estremo si considerno le derivte destre o sinistre) (ii) f n f puntulmente su I (iii) f n g uniformemente su I, llor f èdiclssec 1 su I erisult f (x) =g (x) per ogni x I. (3.22) Inoltre f n f uniformemente su I (ed ovvimente f n f uniformemente su I). Il teorem precedente è spesso espresso dicendo brevemente che l convergenz uniforme (delle derivte, in questo cso) consente di scmbire gli opertori di limite e derivt; inftti, nelle ipotesi del teorem si h f (x) = lim f n (x) e g (x) = lim f n (x) per ogni x I, per cui l formul (3.22) può essere riscritt come lim f n (x) = lim f n (x) per ogni x I. 3.6 Convergenze in medi e qudrtic, su intervlli limitti In quest sezione ci riferiremo sempre intervlli del tipo [, b] (chiusi e limitti), m tutti i discorsi sussistono tli e quli rimpizzndo tli intervlli con un qulsisi ltro intervllo limitto del tipo (, b), [, b) o (, b].

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 46 Nel seguito supporremo sempre che si p =1oppure p =2. Si chim convergenz in medi di ordine p l convergenz rispetto ll distnz d p, ossi l convergenz in norm indice p. In prticolre, si prl di convergenz in medi (senz ulteriori specificzioni) se p = 1 ediconvergenz qudrtic (o in medi qudrtic) sep = 2. Più precismente, si dà l seguente: Definizione 3.18 (di convergenz in medi di ordine p) Si (f n ) un successione di funzioni f n : D R definite su un dominio comune D R esino[, b] D ed f un funzione definit su [, b]. Dicimo che f n converge in medi di ordine p d f su [, b] se cioè cioè 9 lim d p (f n,f)=0 (con d p clcolt su [, b] ), lim f n f p =0 (con p clcolt su [, b] ), lim f n (x) f (x) p dx =0. In tl cso, scrivimo f n f in medi di ordine p su [, b]. Osservzione 3.19 È immedito verificre che se f n f in medi di ordine p su [, b], llor f n f in medi di ordine p su ogni sottointervllo [,b ] [, b]. Inftti, l integrle di funzioni non negtive non diminuisce ingrndendo l insieme di integrzione e quindi per ogni n risult 0 f n (x) f (x) p dx f n (x) f (x) p dx, per cui lim f n (x) f (x) p dx =0implic lim f n (x) f (x) p dx =0(per confronto). Esercizio 3.20 Verificre che l successione geometric f n (x) =x n converge ll funzione null si in medi che qudrticmente sull intervllo [0, 1]. Esercizio 3.21 Verificre che l successione (nlog quell considert pg. 36) definit d f n (x) = 0 se 1 n <x<1 2 n 3 x + n se 0 <x 1, n 1, n 2 tende 0 puntulmente ed in medi su (0, 1), mentre, sullo stesso intervllo, non tende 0 né uniformemente né qudrticmente. Le proposizioni seguenti stbiliscono i legmi che intercorrono tr le convergenze uniforme, in medi ed in medi qudrtic. Non trtteremo invece le relzioni (tutt ltro che elementri) che sussistono tr le convergenze integrli e l convergenz puntule, che considereremo quindi indipendenti l un dll ltr. Ricordimo che R ([, b]) denot lo spzio vettorile delle funzioni integrbili su [, b] nel senso di Riemnn (non improprio). Proposizione 3.22 Supponimo f n R ([, b]). Se f n f uniformemente su [, b], llor f n f qudrticmente su [, b]. 9 l rdice contenut in f n f 2 è irrilevnte nel limite

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 47 Dimostrzione Per ipotesi, f n converge uniformemente d f su [, b] elef n sono integrbili su [, b], quindi f è integrbile su [, b] (v. prim prte del Teorem 3.16) e lo stesso vle llor per l funzione [f n (x) f (x)] 2 (si ricordi che le combinzioni lineri ed i prodotti di funzioni Riemnn-integrbili sono Riemnn-integrbili). Dunque l integrle [f n (x) f (x)] 2 dx esiste. Osservimo or che risult 0 [f n (x) f (x)] 2 f n f 2 per ogni x [, b], in qunto per ogni x [, b] si h 0 f n (x) f (x) f n f (per definizione di f n f )e tle disuguglinz, essendo tr quntità positive, si mntiene elevndo l qudrto. Sfruttndo llor l monotoni dell integrle, si ottene 0 [f n (x) f (x)] 2 dx f n f 2 dx = f n f 2 dx = f n f 2 (b ), dove l ultimo termine tende zero per ipotesi e quindi risult lim [f n (x) f (x)] 2 dx =0. Proposizione 3.23 Sino f n,f R ([, b]). Se f n f qudrticmente su [, b], llor f n f in medi su [, b]. Le proposizioni precedenti mostrno sostnzilmente che l convergenz qudrtic implic l convergenz in medi e l convergenz uniforme implic entrmbe le convergenze qudrtic ed in medi (perché implic quell qudrtic, che implic quell in medi). 3.6.1 Pssggi l limite sotto il segno di integrle Nonostnte sino più deboli dell convergenz uniforme, nche le convergenze integrli si comportno bene di fronte l pssggio l limite sotto il segno di integrle. Vle inftti il seguente: Teorem 3.24 Sino f n,f R ([, b]). Sef n converge in medi d f su [, b], llor f (x) dx = lim Se f n converge qudrticmente d f su [, b], llor vle l (3.23) e inoltre [f (x)] 2 dx = lim f n (x) dx. (3.23) [f n (x)] 2 dx. (3.24) Dimostrzione (przile) Il rgionmento è del tutto nlogo quello dell dimostrzione del Teorem 3.16. Poiché f n,f R ([, b]), dlle ben note proprietà dell integrle segue 0 f n (x) dx f (x) dx = [f n (x) f (x)] dx f n (x) f (x) dx.

M.Guid, S.Rolndo, 2014 Serie 48 Se f n f in medi su [, b], llor l ultimo termine tende 0 e quindi, per confronto, si trov lim f n (x) dx f (x) dx =0, che signific l (3.23). Se f n f qudrticmente su [, b], llor f n f in medi su [, b] (v. Proposizione 3.23) e quindi vle l (3.23) per qunto ppen dimostrto. Non dimostrimo invece l formul (3.24), che richiede l utilizzo disuguglinze integrli più vnzte.