Corso di Modelli Mtemtici in Biologi Esme del Gennio 08 Scrivere chirmente in test ll elborto: Nome Cognome numero di mtricol Risolvere tutti gli esercizi Tempo disposizione: DUE ORE E MEZZA Non e consentito l uso di libri o ppunti; e consentito (m non necessrio l uso di clcoltrici Esercizio Si consideri un modello di flchi e colombe con diverse fitness priori W = / per i flchi e W b = per le colombe Il loro successo riproduttivo e descritto dll tbell dei vntggi per le fitness V = 4 Si chiede di determinre quli sono le situzioni di equilibrio e l reltiv l stbilità Esercizio Due popolzioni intergiscono in mnier competitiv secondo le equzioni dx/dt = x xy x dy/dt = y xy y Se ne determinino gli equilibri biologicmente significtivi e si clssifichino secondo l reltiv stbilità Esercizio L evoluzione di un popolzione strutturt è descritt dl modello linere due clssi tempo discreto q n+ = p n p n+ = q n + p n con (0 Dopo ver scritto in form vettorile il modello linere di sopr si discut sotto quli condizioni su l popolzione si estingue sempre [Suggerimento: ricordrsi qule condizione imporre sugli utovlori dell mtrice del modello vettorile]
SOLUZIONI Esercizio Si consideri un modello di flchi e colombe con diverse fitness priori W = / per i flchi e W b = per le colombe Il loro successo riproduttivo e descritto dll tbell dei vntggi per le fitness V = 4 Si chiede di determinre quli sono le situzioni di equilibrio e l reltiv l stbilità Soluzione Sviluppimo in generle il problem ssocito ll tbell dei vntggi ( δ V = dove δ (0 / Poi contestulizzeremo l cso δ = 4 d cui δ = 4 Dll legge di evoluzione delle fitness si ottiene (denotndo con p l frequenz dei flchi W (A = 7 ( + δp W (B = p ; l fitness delle colombe è sempre positiv mentre quell dei flchi lo è per δ L fitness medi risult [ 7 < W >= p L legge di evoluzione delle frequenze divent quindi dove ovvimente bbimo posto ] ( + δp + ( p( p = δp p + ˆp = f(p := p[ 7 ( + δp] δp p + = N(p D(p ( N(p = 7 p ( + δp D(p = δp p + L mpp f(p mmette sicurmente gli equilibri bnli come si verific f(0 = 0 f( = δ δ = Un eventule terzo equilibrio non bnle ccettbile deve risultre necessrimente dll uguglinz delle fitness W (A = W (B p = 7 ( + δp che fornisce l soluzione p e = δ Tle soluzione è cettbile solo se risult 0 < p e <
ovvero per δ > Sostituendo poi δ = 4 tle soluzione risult essere p e = Per studire l stbilità prtimo dll equilibrio più semplice p = 0 Clcolimo l derivt prim di f(p = N(p D(p senz semplificrl f (p = N (pd(p N(pD (p D ( (p dove nel nostro cso bbimo Si h N (p = 7 ( p D (p = p f (p = N (0 D(0 = 7 6 = quindi p è un repulsore Dllo studio grfico pprossimto deducimo che l esistenz di p e implic necessrimente che nche p b = debb essere un repulsore come il criterio conferm f (p b = N (D( N(D ( D ( = N(D ( D ( = 8 7 > Lo studio grfico di f permette di concludere che si trtt di un ttrttore Comunque l verific ttrverso i conti conferm questo scenrio f (p e = < Esercizio Due popolzioni intergiscono in mnier competitiv secondo le equzioni dx/dt = x xy x dy/dt = y xy y Se ne determinino gli equilibri biologicmente significtivi e si clssifichino secondo l reltiv stbilità Soluzione Vi sono chirmente lmeno equilibri come si deduce fttorizzndo i due termini O = (0 0 A = ( 0 B = (0 F (x y = x( y x G(x y = y( x y ed osservndo che x = 0 ed y = 0 risolvono rispettivmente F = 0 e G = 0 Il qurto eventule equilibrio deve risultre come soluzione del sistem linere 0 = y x 0 = x y in qunto deve necessrimente vere entrmbe le popolzioni diverse d zero Tle sistem si risolve fcilmente per sostituzione x = y y = x = y
che fornisce l soluzione ccettbile E = L mtrice jcobin risult essere ( y x x JF (x y = y x y ; nel primo equilibrio si h J O = ( 0 ovvero un REPULSORE DI TIPO NODO In A si h ( J A = 0 ovvero un ATTRATTORE DI TIPO NODO L stess situzione si present in B ( 0 J B = 4 Visto che gli equilibri che corrispondono lle cpcità portnti (diverse tr loro delle popolzioni sono entrmbi ttrttori c è d ttendersi che l equilibrio E non si stbile e che le sue uniche soluzioni contrenti fccino d seprtrici tr i bcini di ttrzione dei due ttrttori Inftti si ottiene ( J E = 4 che rppresent un SELLA in qunto det(j E = < 0 Esercizio L evoluzione di un popolzione strutturt è descritt dl modello linere due clssi tempo discreto q n+ = p n p n+ = q n + p n con (0 Dopo ver scritto in form vettorile il modello linere di sopr si discut sotto quli condizioni su l popolzione si estingue sempre [Suggerimento: ricordrsi qule condizione imporre sugli utovlori dell mtrice del modello vettorile] Soluzione Scrivimo il modello in form vettorile ( qn+ p n+ = ( ( qn = M p n Si trtt questo punto di studire gli utovlori dell mtrice M ottenuti dll equzione crtteristic λ λ = 0 ( qn p n 4
In prticolre l popolzione si estingue sempre se entrmbi gli utovlori λ hnno modulo minore di ovvero l origine risult essere un ATTRATTORE Nel nostro cso bbimo λ = [ ] + < 0 λ = [ + ] + > 0 quindi λ = [ ] + < λ = [ + ] + Bst llor chiedere λ < ovvero + + < che si riscrive come + < Essendo il termine di destr positivo dll condizione inizile (0 possimo elevre l qudrto ed ottenere + < 4 4 + d cui <