A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA pr l DECISIONI ECONOMICO-FINANZIARIE Vicnza, 5// ESERCIZIO. Trovar una prima approssimazion dl tasso di rndimnto a scadnza ytm di un obbligazion con l sgunti carattristich: - valor faccial F = ; - scadnza tra anni; - rimborso alla pari C = ; - cdol annu con tasso cdolar r = %; - corso P =.5. Si ffttui il calcolo prima snza la tassazion poi con la tassazion. Si dimostri poi ch s foss P =, avrmmo ytm = %. P + Ponndo F =, r =., C =, P =.5 n =, la formula pr una prima approssimazion dl tasso di rndimnto a scadnza fornisc ytm = rf + (C P )/n (C + P )/ =. + (.5)/ ( +.5)/ =.58. Considrando la tassazion indicando con γ l aliquota dl.5%, cioè γ =.5, la cdola ntta è rf ( γ) = 5.5. La tassazion non colpisc il capital in quanto il przzo di acquisto P =.5 supra il valor di rimborso C = quindi il rimborso ntto è Cn =. Prtanto ytm = rf ( γ) + (Cn P )/n (Cn + P )/ = 5.5 + (.5)/ ( +.5)/ =.75. È richisto infin di dimostrar ch s foss P =, avrmmo ytm = %. Anzitutto prciso ch non è accttabil qui l uso dlla formula approssimata usata in prcdnza, ch praltro fornirbb ytm = rf + (C P )/n (C + P )/ =. + ( )/ ( + )/ = =., in quanto si tratta pur smpr di una formula ch dà un valor approssimato quindi inadatta a dimostrar ch la soluzion è un valor particolar. Sostanzialmnt si tratta di provar ch l quazion ha pr soluzion i =.. Propongo du strad pr dimostrarlo. = a i + ( + i) () La prima è smplicmnt vrificar ch l quazion è soddisfatta da i =.: banalmnt si trova a. + ( +.) =. La sconda è risolvr algbricamnt l quazion, usando l sprssion di a i. L quazion () quival a cioè = ( + i) i ( ( + i) ) = + ( + i) ( + i) = ( + i) i ( + i) i i = quindi i =. Ricordo ch possiamo ssr crti dll unicità dlla soluzion poiché la quantità ch sta a dstra è dcrscnt al crscr dl tasso. Tma dl 5// (Prova conclusiva)
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ ESERCIZIO. Un B.T.P. dcnnal con scadnza il //7 paga cdol il / il / al tasso cdolar r =.5%. Vrrà rimborsato alla pari. Il 5// prsntava un tasso di rndimnto a scadnza ytm = %. Si dtrmini il przzo tl qul P tq il corso scco P s in qulla data. (Non si considri la tassazion si calcolino i giorni con l anno commrcial). Ipotizzando di avr acquistato il titolo in data 5//, di tnrlo fino alla scadnza di avr dato disposizion di rinvstir l cdol su un conto corrnt, dov il tasso di intrss a crdito è stato dl % fino al //5 d è ora dl.5%, si dtrmini il tasso ffttivo di rndimnto dll invstimnto nl B.T.P. La rapprsntazion qui sotto mostra l carattristich dl B.T.P. t..5 5 7 Non c è tassazion quindi la cdola smstral è r F =.5 =.75. Il calcolo dl numro di cdol: in tutto sono n =. Il tmpo t tra la cdola prcdnt l acquisto: si ha t = + + 5 = 75 giorni. Srv anch convrtir il tasso di rndimnto a scadnza nll quivalnt tasso smstral. Si ha ytm / = ( + ytm) / =. / =.8895. Il przzo tl qul dl titolo è dato da ( P tq =.75a ytm/ + ( + ytm / ) ) ( + ytm) 75/ =.7. Il rato è dato da quindi il corso scco P s è rato =.75 75 8 =.7 P s = P tq rato =.7.79 =.97. Passiamo al calcolo dl rndimnto ffttivo a sguito dl rinvstimnto dll cdol. Dobbiamo uguagliar il valor dll importo invstito pr l acquisto dl titolo con il valor cumulato dgli importi incassati ( rinvstiti) dall cdol dal rimborso final. Riportiamo gli importi all istant final, cioè alla data dl //7, data di scadnza dl titolo. Indicando con i ff il tasso di rndimnto ffttivo su bas annua, il montant dll invstimnto è dato da P tq ( + i ff ) +5/. Faccio notar ch il tasso usato è su bas annua quindi anch i tmpi dvono ssr misurati in anni. Dal 5// al //7 sono anni 5 giorni (ma si potva anch far.5 anni mno 75 giorni). Ora i montanti dgli importi a crdito. Dato ch il tasso a crdito cambia il //5, dividiamo il calcolo in du parti, ossrvando ch ci sono 9 cdol da valutar al tasso i = % (montant M ) l rstanti cdol al tasso i =.5% (montant M ). Srvono i tassi smstrali quivalnti: i / =.9959 i / =.778. Quindi M =.75 a 9 i ( + i / / )9+9/8 ( + i ) +9/ =.9785 Tma dl 5// (Prova conclusiva)
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ L quazion è prtanto Si trova M =.75 a i ( + i / / ) ( + i / ) = 7.78885. P tq ( + i ff ) +5/ = M + M +. i ff =.885. ESERCIZIO. Si considrino i du sgunti progtti finanziari: A. 5 B. dov gli importi sono sprssi in migliaia di uro. Si calcoli il REA di ntrambi, prima nll ipotsi di un tasso strno nullo poi di un tasso strno dl %, indicando anch qual progtto è prfribil, ni du casi. I du progtti sono ntrambi convninti risptto all invstimnto di dnaro al %? Si dica poi s il TIR di du progtti è maggior o minor dl %. Si dtrmini infin quali sono i tassi pr cui i du progtti sono quivalnti in bas al critrio dl REA. Mantniamo pr comodità la scrittura dgli importi in migliaia di uro. Nll ipotsi di un tasso strno nullo (i = ) non c è alcun fftto finanziario dl tmpo, quindi gli importi non subiscono variazioni. Prtanto I du progtti sono quindi quivalnti. Nll ipotsi di un tasso strno i = % si ha 5 REA A () = 5 + + + + = REA B () = 5 + + + =. REA A (.) = 5 +. +. +. +. =. REA B (.) = 5 +. +. +. =.. In qusto caso i du progtti non sono quivalnti risulta convnint il progtto A. I du progtti sono comunqu smpr convninti risptto all invstimnto di dnaro, dato ch il REA è positivo in ntrambi i casi. Possiamo anch affrmar ch il TIR di ntrambi i progtti è maggior dl %, dato ch i REA sono positivi. Attnzion ch possiamo arrivar a qusta conclusion prché la funzion REA(i) è dcrscnt, dato ch c è un solo importo inizial ngativo poi soltanto importi positivi. Dobbiamo infin dtrminar i tassi pr cui i du progtti sono quivalnti in bas al critrio dl REA. Basta uguagliar l du funzioni REA: 5 + + i + ( + i) + ( + i) + = 5 + ( + i) ( + i) + ( + i) + ( + i). Qui possiamo smplificar l sprssioni utilizzando il fattor di sconto v = +i. L quazion divnta cioè 5 + v + v + v + v = 5 + v + v + v v v v + v = v v v + v =. Ora, ricordando l tcnich lmntari dl raccoglimnto, si può scrivr v( v) v ( v) = v( v)( v ) =. L soluzioni algbrich dll quazion sono: v =, v =, v =. Non tutt hanno un significato finanziario, dato ch v = +i. La prima non è nmmno algbricamnt accttabil, la sconda porta a i = la trza a i = (cioè un tasso ngativo dl %). Chiaramnt solo i = può avr un snso concrto corrispond alla situazion dlla prima domanda. Tma dl 5// (Prova conclusiva)
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ ESAME di MATEMATICA pr l DECISIONI ECONOMICO-FINANZIARIE Vicnza, 5// ESERCIZIO. Voglio rstituir un prstito di in anni, i primi du anni mdiant rat bimstrali costanti posticipat di pr i rstanti du anni mdiant rat smstrali costanti posticipat. Nll ipotsi ch il tasso di intrss annuo applicato sia i = 5%, si dtrmini l ammontar dlla rata smstral. Nll ipotsi invc di potr pagar una rata mnsil posticipata di 5, con quant rat, allo stsso tasso, posso rstituir il prstito? R R R R L quazion ch sprim l quivalnza dgli importi è = a / + R a / ( + i), da cui si ricava R = ( + ( ) i) a a /. / Dato ch si ottin R = 5.. i / =.5 / =.88 i / =.5 / =.957, Con la rata mnsil di 5 pr potr rstituir il dbito occorr ch La disquazion quival a a n i/ ( + i /) n Da qusta, applicando i logaritmi, si ricava 5 a n i/. i / ( + i / ) n i /. n ln( + i / ) ln( i / ) n ln( i /) ln( + i / ) Quindi srvono rat mnsili (l ultima di importo infrior a 5 ). =.75. ESERCIZIO. Un prstito di 5 vin rstituito in 8 rat annu posticipat con un ammortamnto amricano a du tassi. Pr quanto riguarda gli intrssi, pagati anch ssi in via posticipata, il tasso di rmunrazion concordato è dl 7%. Pr la rstituzion dl capital, la banca prsso la qual vngono dpositat l quot di accumulazion offr un tasso dl %. Si dtrmini l ammontar dlla quota intrssi I dlla quota di accumulazion Q. Si calcoli il fondo di accumulazion dopo 5 anni mzzo. Si scriva l quazion ch, risolta, consnt di dtrminar il tasso di costo ffttivo dll ammortamnto si dica s qusto tasso è maggior o minor dl 7%. Indicando con S = 5 l ammontar dl prstito con i =.7 il tasso di rmunrazion, la quota intrssi I è costant d è ugual agli intrssi annui sull intro dbito. Quindi si ha I = =.7 5 = 5. Tma dl 5//
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ 5 5 Q Q Q Q Q Q Q Q 5 7 8 t Indicando con Q la quota di accumulazion, anch ssa costant, con i =. il tasso di accumulazion, Q si dtrmina in modo ch il montant dll 8 quot sia ugual al capital mutuato. Quindi ssa dv soddisfar l quazion Qa 8 i ( + i ) 8 = S, da cui Q = S a 8 i ( + i ) 8 = 5 a 8. ( +.) 8 = 5.8. Prtanto la rata di ammortamnto (anch ssa costant) è R = Q + I = 5.7 + 5.8 = 9.8. Il fondo di accumulazion F t dopo 5 anni mzzo è il valor dll quot di accumulazion già vrsat dopo 5 anni mzzo, cioè all poca t = 5.5. Dato ch all poca t sono stat vrsat 5 quot di accumulazion, si ha F t = Qa 5 i ( + i ) t = 5.8a 5. ( +.) 5.5 = 9.79. L quazion ch, risolta, consnt di dtrminar il tasso di costo ffttivo i ff dll ammortamnto è S = Ra 8 iff cioè 5 = 9.8a 8 iff. Pr stabilir s il tasso ffttivo è maggior o minor dl 7% basta calcolar qual è il valor attual dll 8 rat dll ammortamnto al tasso dl 7% confrontarlo con 5. Si trova R a 8.7 = 9.8a 8.7 = 5 75.8. Dato ch il tasso ffttivo sconta più dl tasso dl 7%, significa ch il tasso ffttivo è maggior dl 7%. ESERCIZIO. Un B.T.P. dcnnal con scadnza il //7 paga cdol il / il / al tasso cdolar r =.5%. Vrrà rimborsato alla pari. Il 5// prsntava un tasso di rndimnto a scadnza ytm = %. Si dtrmini il przzo tl qul P tq il corso scco P s in qulla data. (Non si considri la tassazion si calcolino i giorni con l anno commrcial). Ipotizzando di avr acquistato il titolo in data 5//, di tnrlo fino alla scadnza di avr dato disposizion di rinvstir l cdol su un conto corrnt, dov il tasso di intrss a crdito è stato dl % fino al //5 d è ora dl.5%, si dtrmini il tasso ffttivo di rndimnto dll invstimnto nl B.T.P. La rapprsntazion qui sotto mostra l carattristich dl B.T.P. t..5 5 7 Non c è tassazion quindi la cdola smstral è r F =.5 =.75. Il calcolo dl numro di cdol: in tutto sono n =. Il tmpo t tra la cdola prcdnt l acquisto: si ha t = + + 5 = 75 giorni. Tma dl 5//
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ Srv anch convrtir il tasso di rndimnto a scadnza nll quivalnt tasso smstral. Si ha ytm / = ( + ytm) / =. / =.8895. Il przzo tl qul dl titolo è dato da ( P tq =.75a ytm/ + ( + ytm / ) ) ( + ytm) 75/ =.7. Il rato è dato da quindi il corso scco P s è rato =.75 75 8 =.7 P s = P tq rato =.7.79 =.97. Passiamo al calcolo dl rndimnto ffttivo a sguito dl rinvstimnto dll cdol. Dobbiamo uguagliar il valor dll importo invstito pr l acquisto dl titolo con il valor cumulato dgli importi incassati ( rinvstiti) dall cdol dal rimborso final. Riportiamo gli importi all istant final, cioè alla data dl //7, data di scadnza dl titolo. Indicando con i ff il tasso di rndimnto ffttivo su bas annua, il montant dll invstimnto è dato da P tq ( + i ff ) +5/. Faccio notar ch il tasso usato è su bas annua quindi anch i tmpi dvono ssr misurati in anni. Dal 5// al //7 sono anni 5 giorni (ma si potva anch far.5 anni mno 75 giorni). Ora i montanti dgli importi a crdito. Dato ch il tasso a crdito cambia il //5, dividiamo il calcolo in du parti, ossrvando ch ci sono 9 cdol da valutar al tasso i = % (montant M ) l rstanti cdol al tasso i =.5% (montant M ). Srvono i tassi smstrali quivalnti: i / =.9959 i / =.778. Quindi L quazion è prtanto Si trova M =.75 a 9 i ( + i / / )9+9/8 ( + i ) +9/ =.9785 M =.75 a i ( + i / / ) ( + i / ) = 7.78885. P tq ( + i ff ) +5/ = M + M +. i ff =.885. ESERCIZIO. Si considrino l sgunti du obbligazioni dcnnali: A. acquisto a, cdol annu di, rimborso a ; B. acquisto a 9, cdol annu di, rimborso a. Si faccia una valutazion dll du obbligazioni in bas al critrio dl REA, fissando un tasso di rinvstimnto (annuo) i = %. Nll ipotsi ch il przzo dll obbligazion B diminuisca, fino a ch valor dl suo przzo la valutazion porta allo stsso risultato prcdnt? Valutar infin l du obbligazioni in bas al critrio dl TIR usando un tasso (annuo) di prova i =.% (snza calcolar il TIR dll du oprazioni). A. I REA dll du obbligazioni sono + 9 REA A (.) = + a. + ( +.) = 9. B. + Tma dl 5//
A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ 7 REA B (.) = 9 + a. + ( +.) = 8.98. S il przzo dll obbligazion B diminuisc, aumnta nlla stssa misura il suo REA. Pr raggiungr la parità di REA il przzo di B dv diminuir in misura dlla diffrnza 9. 8.98 =. quindi la convninza di A si ha fino a ch il przzo di B raggiung il valor Al tasso di prova i =.% abbiamo 9. = 89.7. REA A (.) = + a. + ( +.) =.8 REA B (.) = 9 + a. + ( +.) =.. Prtanto, dato ch l du funzioni REA sono dcrscnti al crscr dl tasso, possiamo affrmar ch TIR A <. invc TIR B >. di consgunza avrmo ch TIR B > TIR A. Tma dl 5//