CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA.

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 1 CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA. 11.1 - Itroduzoe. I geerale, parametr caratterstc d ua v.a. (che per o soo l suo valore medo e la sua varaza o scarto quadratco medo) o soo ot: s pes fatt all mpossbltà cocreta d valutarl per ua v.a. costtuta dalla msura d ua qualtà osservable per ua tera popolazoe, formata da u umero probablmete molto elevato d dvdu. Dobbamo allora accotetarc d tetare d dare ua stma d tal parametr, e la strada per fare cò sarà obblgatoramete quella d partre da msure de parametr da determare esegute su d u campoe tratto dalla popolazoe questoe, dalle qual msure s cercherà d otteere dcazo sul valore degl stess parametr relatv all tera popolazoe. Soo fatt quell campoar gl uc dat d cu ragoevolmete pesamo d poter dsporre. Questo processo troduce ecessaramete ua buoa dose d approssmazoe su rsultat fal la cu attedbltà dovrà essere dscussa attetamete, come faremo al prossmo paragrafo, dal mometo che è evdete come o sa lecto cofodere dat campoar co dat effettv dell tera popolazoe. Ioltre metod da segure o soo uvocamete determat, e sorge allora ache l problema dell dvduazoe tra ess d quello che da maggor garaze. La strada che dchamo è la seguete. A partre da dat campoar, ossa dalle msure effettuate sugl dvdu che formao l campoe, s calcolao parametr campoar al modo seguete: come valore campoaro per l valore medo s usa drettamete la meda artmetca x k 1 x k eseguta sugl dvdu che compogoo l campoe; come stma ( xk x) della varaza s usa, sopratutto per la sua pratctà d calcolo, la quattà s k 1 1, varaza campoara. S ot come l valor medo campoaro vega determato come ua ormale speraza matematca; vceversa, ella determazoe della varaza campoara s prefersce pesare gl scart o co l tradzoale fattore 1 ma co 1 ( 1). Questa dffereza, per bass valor d, può dvetare sgfcatva, metre per elevato, ossa per campo umeros, rsulta essezale. C accotetamo questa sede d gustfcare questa

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - scelta osservado che degl dat a dsposzoe, uo per og dvduo del campoe, c samo gà servt per calcolare l valor medo campoaro, e s pesa allora che e resto solamete 1 sgfcatv. A questo puto abbamo eseguto quella che s chama ua stma putuale, ossa ua stma che porterebbe ad assegare valor precs a parametr della popolazoe. I realtà, sarebbe arbtraro assumere drettamete valor campoar come valor de corrspodet parametr dell tera popolazoe. S passa qud alla così detta stma tervallare, ella quale s cerca d determare u tervallo, cetrato sul dato campoaro, el quale cada co ua probabltà prefssata l dato effettvo della popolazoe. La stma tervallare cosste duque el determare l tervallo ( a, b), o tervallo d cofdeza, co a e b lmt d cofdeza, all tero del quale deve cadere l valore del parametro stmato (per esempo l valore medo) co probabltà, detto lvello d cofdeza: ( a µ b) P. Operatvamete s fssa l lvello (per esempo sarà del 95% o ache del 99%), e s determao qud lmt a e b. Ovvamete l grosso del problema cosste propro ella determazoe d tal lmt, dal mometo che o sappamo emmeo quale dstrbuzoe d probabltà seguao valor campoar. A questo proposto c soccorre l così detto teorema del lmte cetrale, base al quale è suffcete che l umero degl elemet che costtuscoo l campoe esame sa maggore d 30 per poter usare la dstrbuzoe d probabltà ormale (o d Gauss); duque occorre dsporre d almeo 30 msure dalle qual rcavare sa l valore medo campoaro x come meda artmetca, che la varaza campoara s (qualora, come probable, o sa cooscuta l effettva varaza σ della popolazoe): lmt d cofdeza s ottegoo sottraedo e sommado al valore medo la quattà s (o, se σ è ota, σ ) moltplcata per l valore della dstrbuzoe ormale che corrspode al lvello prescelto, letto sulle tavole de valor de percetl d tale dstrbuzoe (come s rcorderà da paragraf precedet tale umero è 1,96 per 95%, metre è,58 per 99% ). U aalogo dscorso s potrà fare per la stma tervallare della varaza, co la dffereza che questo caso, per poter usare la dstrbuzoe d Gauss, l umero d dvdu del campoe deve essere almeo d 100 ed lmt d cofdeza s ottegoo sommado e sottraedo al valore medo la quattà s sulle tavole. (o σ ), sempre moltplcata per l valore letto

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 3 La stma della varaza sarà comuque, ma solo per o, u problema secodaro, del quale duque o c occuperemo. Ifatt, problem che dovremo trattare presupporrao che qualche fattore estero provoch, o possa provocare, la varazoe del valor medo ua popolazoe della quale s cooscoo gà parametr effettv: ad esempo, ot parametr valor medo e varaza, per esempo del colesterolo HDL delle persoe sae, s vuole verfcare se ua determata patologa e abba o meo cambato l valor medo, lascado per altro varata la varaza. S tratta così d stmare l solo valor medo del campoe costtuto dagl dvdu affett da tale patologa. Ad esempo, s voglao determare lmt che garatscoo u lvello d cofdeza del 95% ua prma volta, e successvamete del 99%. I base al teorema del lmte cetrale occorre dsporre d almeo 30 msure, el ostro caso e potzzamo 100, dalle qual rcavare la meda artmetca x k 1 x k e la varaza campoara s k 1 1 xk x ( ) (questo secodo calcolo potrebbe essere evtato se fosse gà cooscuta l effettva varaza della popolazoe, otteuta base a precedet attedbl stme, che verrebbe usata luogo della varaza campoara); dalle 100 msure effettuate s sao otteut rsultat x 67, 45 cm e s, 93 cm. L tervallo d cofdeza sarà allora 67,45±s 1,96 cm 67,45±1,96,93/10 cm, coè da 66,88 a 68,0 cm per u lvello d cofdeza del 95%; aalogamete per u lvello del 99% l tervallo va da 66,69 a 68,8 cm. Qud, co probabltà del 95%, l valor medo effettvo cade ell tervallo 66.88, 68.0, e co probabltà del 99% lo stesso valor medo deve essere tero all tervallo 66.69, 68.8. S osserv che, per avere probabltà maggor, dobbamo allargare l tervallo, accettado evdetemete ache valor pù lota dal valore cetrale. I metod ed rsultat propost valgoo el caso cu l umero d elemet che compogoo l campoe o sa cofrotable co quello N degl dvdu dell tera popolazoe: è fatt ecessaro poter affermare che l prelevo d dvdu da ua popolazoe che cota complessvamete N dvdu o alter sgfcatvamete la popolazoe stessa. I caso cotraro sarà ecessaro teere coto d cò troducedo u fattore correttvo che d orma vee proposto ella forma N N 1 1 N, che evdetemete tede ad uo, qud 1 1 N a rsultat precedet, al crescere d N, coè per N che tede ad fto, el qual caso l prelevo degl dvdu del campoe rsulta fluete.

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 4 11. - Regole d decsoe. S cosder l seguete problema: quale grado d fduca samo dspost a dare alle osservazo fatte su d u campoe? ossa, l rsultato otteuto può rteers ella orma, ed essere qud sgfcatvo, oppure abbamo avuto la sfortua d cappare u campoe del tutto atpco, d probabltà molto bassa ma o ulla, e duque c trovamo d frote ad u eveto d estrema rartà? Per esempo, se el laco d ua moeta rpetuto per 10 volte cosecutve otteamo per 10 volte come rsultato la testa, cosa dobbamo dre della moeta? E certo fatt che l caso ctato o è mpossble ache per moete o truccate, ma probablmete, puttosto d pesare d avere otteuto propro quel rsultato estremamete raro, peseremo ad ua moeta o equa. S tratta d dare ua veste pù rgorosa a quato abbamo ora esposto va del tutto qualtatva. Per prma cosa dobbamo stablre fo a che puto samo dspost a credere al verfcars d u eveto raro (o d u eveto acora pù raro che compreda quello realzzato); coè, dal mometo che l esempo ctato, 10 teste su 10 lac, ha probabltà 1/ 10 0,000976, samo dspost ad accettare u smle rscho? La rsposta, probablmete, sarà NO! Procedamo allora al modo seguete. Comcamo co l formulare u potes, el ostro caso: la moeta o è truccata, l che corrspode a fssare 1 l valore della probabltà d ogua delle due facce, e duque l valor medo. Successvamete fssamo u lvello d sgfcatvtà, coè u valore d probabltà mmo per l eveto che rsulterà dalla campoatura che effettueremo: per esempo dcamo d accettare come sgfcatv evet che o cadao elle code d probabltà troppo bassa, dcamo ferore ad 10%. La probabltà complessva d tal code può essere calcolata come somma delle probabltà che e dec lac s vedao troppo poche teste, per esempo zero, ua o due, o troppo poche croc, acora zero, ua o due. Nel prmo caso dobbamo calcolare la somma p 10 8 10,0 ( 1 + 10 + 45) 10 0 10 10 1 9 10 + p10,1 + p10, p q + p q + p q 0 1 1 el secodo caso l calcolo è aalogo, e duque la probabltà delle code è 56 104 11 7. Come 104 64 s vede, tale probabltà è maggore del 10% rchesto. Se cosderamo code mor, d zero o ua testa, e rspettvamete d zero o ua croce, la probabltà complessva s rduce a ;

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 5 11, par a crca l.15%. Possamo così cocludere che, per accettare l potes d 104 51 equtà della moeta, è suffcete che el campoe o compaa ua delle due facce pù d otto volte. I questo caso è stato facle valutare la probabltà dell eveto verfcato, coè del rsultato dell espermeto, o d u eveto d rartà maggore, dal mometo che sappamo d dover fare rcorso alla dstrbuzoe bomale. No sarà sempre così, quato geerale o sarà ota la dstrbuzoe d probabltà alla quale fare rfermeto. I geere, base al teorema del lmte cetrale, la dstrbuzoe d probabltà sarà quella ormale o d Gauss, ma o sarà l uca, come vedremo el seguto. Rcaptolado: samo d frote al problema d verfcare tramte campoatura la attedbltà d ua potes formulata per parametr (per o l solo valor medo) d ua varable aleatora su u tera popolazoe. S tratta d fssare delle regole precse per stablre se l rsultato otteuto è tale da portare alla coferma od alla smetta dell potes fatta. S procede al modo seguete. 1. S formula u potes, detta potes eutra, dcata co H 0, che porta alla determazoe d u valore supposto per parametr d ua popolazoe, per esempo l valor medo;. s fssa u marge d errore massmo accettable, lvello d sgfcatvtà, per esempo del 10%, del 5% o ache dell 1%; 3. s effettua la campoatura rlevado valor campoar per l parametro ( parametr) oggetto dell potes H 0 ; 4. s calcola la probabltà che ell potes eutra avrebbero l rsultato otteuto ed rsultat pù rar (questo calcolo vee fatto sulla base d ua dstrbuzoe d probabltà, per esempo quella ormale); 5. s cofrota la probabltà così calcolata co l lvello d sgfcatvtà prefssato: se rsulta more, l potes eutra H 0 va respta e va accettata l potes cotrara, H 1, co cofdeza par ad 1, ossa del 90%, del 95% o del 99%. Quado l test è basato sulla dstrbuzoe ormale s procede al modo seguete. Eseguta la campoatura dalla quale s è rcavato per la varable aleatora esame l valor medo campoaro x, s fssa l lvello d sgfcatvtà leggedo qud sulle tavole l valore z, semampezza dell tervallo che dvdua u area corrspodete alla probabltà fssata: per esempo se s scegle per l valore del 5% la semampezza dell tervallo sarà d 1,96. S è così determato u tervallo per l valor medo della popolazoe µ, determato base ad H 0, oggetto della stma, cetrato sul rsultato campoaro x, d semampezza z σ

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 6 dove σ è la devazoe stadard per la popolazoe, che, se o ota, vee sosttuta da quella campoara s. Se x è l valor medo campoaro, s deve cosderare la sua dstaza da µ, valor medo supposto, x µ, e cofrotarla qud co z σ la quattà z x µ ( σ ) ; altre parole s calcola e la s cofrota co l parametro z letto precedeza sulle tavole base alla scelta d : se z rsulta maggore, l potes H 0 va rfutata ed accettata sua vece l potes cotrara H 1, sempre co probabltà 1. Rassumamo acora quato detto sopra. La scelta d u lvello d sgfcatvtà porta a determare dalle tavole l valore z della varable aleatora ormale stadardzzata che dvde l asse delle ascsse tre part: la prcpale, l tervallo z < z < z, all tero del quale deve cadere l valor medo stmato co probabltà 1, ed altre due, smmetrche, le code, elle qual cade co probabltà complessva lo stesso valor medo. C aspettamo che l rsultato otteuto port ad u valore z µ ( σ ) x more d z, modo che la sua probabltà o sa ferore al lvello d sgfcatvtà prefssato. Valor eccessv porterao al rfuto dell potes, quato dc del realzzars d u eveto d probabltà rteuta troppo bassa per poter costture coferma dell potes formulata: o potremo fatt accettare come probatoro l verfcars d u eveto che o abba probabltà almeo par ad. S ot l fatto che ella determazoe della semampezza dell tervallo el quale deve cadere, co probabltà assegata, l valor medo, s è usata o la devazoe stadard σ, besì l suo rapporto co, dove è l umero d dat a dsposzoe. Questo tee coto del fatto che la varaza, essedo somma d cotrbut o egatv, aumeta co l aumetare del umero d dat a dsposzoe per l suo calcolo; questo modo, u maggor umero d dat, vece d aumetare l affdabltà del rsultato otteuto, e aumeta l determazoe. E ragoevole supporre che l aumeto de dat a dsposzoe comport vece u mglorameto del rsultato stmato, coè ua more certezza su d esso, e o u peggorameto, quale l allargameto dell tervallo. La dvsoe d σ per atteua l effetto esposto e crtcato.

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 7 11.3 Dstrbuzoe della varable aleatora χ. Cosderamo u caso dverso dal precedete, el quale l potes eutra porta ad assegare o l valore ad u parametro della dstrbuzoe d probabltà, quale egl esemp precedet l suo valor medo, ma puttosto alla frequeza de rsultat assut dalla v.a. Per spegare meglo, se ua v.a. X assume valor x, co 1,,...,, l potes eutra deve portare a prevedere, per u campoe d N elemet, ua frequeza ν per oguo d ess, co ovvamete 1 ν N. Per esempo, se l potes eutra afferma che addrttura u quarto degl dvdu d ua popolazoe è rappresetato da fumator, dovremo aspettarc d trovare 50 fumator u campoe d 1000 dvdu, 750 de qual duque o sarebbero fumator. I questa stuazoe, ua campoatura c mette a dsposzoe le frequeze effettve de sgol valor della v.a. (rappresetao l dato campoaro), che dchamo co, sempre co 1 N. S devoo allora cofrotare dat campoar co dat attes, e tale cofroto s esegue calcolado l valore della v.a., detta del χ (legg ch quadro ), defto come χ ( ν ) Questa varable vee usata come s è fatto co la v.a. ormale stadardzzata. Ache per essa c è ua fuzoe destà d probabltà, defta per valor postv (o per ulla s parla d ch quadro), d modo che le aree che le stao al d sotto rappreseto la probabltà del rsultato otteuto. Fssato allora u lvello d probabltà, s deve determare, ache questo caso ν. da tabelle, l valore massmo ammesso per χ : valor eccessv portao al rfuto dell potes ed all accettazoe dell potes cotrara, sempre co probabltà 1. I realtà, questo cotesto compare u parametro pù rspetto al caso precedete, e precsamete l così detto grado d lbertà (o degree of freedom), che el ostro caso cosste semplcemete el umero de dat dspobl, dmuto d ua utà. Come grado d lbertà dovremmo cotare dat, dpedet, effettvamete otteut dalle osservazo campoare; el caso precedete, dat dspobl soo le frequeze effettve, ua per og valore della v.a. x, che però o soo tutte dpedet tra loro: soo fatt vcolate dalla cod-

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 8 zoe 1 N, se N è l umero delle osservazo fatte; duque solamete 1 d esse costtuscoo l grado d lbertà. Gl esemp successv dovrebbero charre l dscorso. Immagamo d potzzare che gl dvdu d ua popolazoe sao rpartt part ugual tra masch e femme, e che dalla popolazoe stessa sa stato estratto u campoe d 10.000 dvdu; la ostra potes attrbusce frequeze ugual alle femme ed a masch, e duque c porta a rteere che el campoe c sao 5. 000 femme e 5. 000 masch. Il campoe da però come rsultato 5. 100 femme e 4. 900 masch (s vede gà qu come l secodo dato o sa dpedete dal prmo, e qud come s debba cosderare l grado d lbertà par ad 1 e o a : se 5100 soo le femme su 10. 000 dvdu, samo portat a credere che rmaet 4. 900 dvdu sao masch). S tratta d decdere se l rsultato sa compatble co l potes fatta e l aomala sa legata alla scelta del campoe, o se vece sa dcatvo d ua dfferete dstrbuzoe tra masch e femme, e d cosegueza la ostra potes vada rfutata. Fssato u lvello d probabltà del 5 %, la decsoe s effettua base al valore della v.a. χ, che calcolamo come ( 5100 5000) ( 4900 5000) 100 + 100 χ + 4 ; 5000 5000 5000 dalle tavole, vedamo che, per u solo grado d lbertà, questo valore supera quello cosderato accettable, che per 0. 95 è 3. 84. Duque, cocludamo che, co probabltà par al 95 %, la ostra potes va rfutata. Acora qualche parola sul sgfcato e sul modo d leggere le tabelle de percetl della v.a. χ, stretta aaloga co quato fatto el caso della v.a. ormale stadardzzata. La scelta del lvello d sgfcatvtà 5%, fssato per esempo che 1 95%, determa, dalle tavole, u valore d χ, come vsto, per grado d lbertà utaro, par χ 95 3. 84 ; questo dvde l asse delle ascsse due part: ua prma parte, lmtata, costtuta da valor fe- ror a χ 95, per la quale l area soprastate delmtata dalla fuzoe destà d probabltà vale 0. 95, e corrspode qud al 95 esmo percetle, ed ua secoda, superormete ll- mtata, costtuta da valor maggor d χ 95, che dvdua ua coda d probabltà bassa, par al restate 5 %. Il fatto che l valore calcolato per la v.a χ super l valore letto sulle tavole dca che l eveto realzzato ha ua probabltà bassa, ferore al lvello d sgfcatvtà scelto: fatt l valore della v.a. è caduto ella coda sopra dcata, e l potes eutra, che sta

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 9 alla base del ostro calcolo, va qud rfutata. Al solto, u abbassameto del lvello d sg- fcatvtà, aumetado l valore d χ 95, potrebbe far sì che l valore determato sa accettable, e co esso la stessa potes eutra. 11.4 Due esemp Sa oto l valor medo della v.a. glcema, µ 90 mg%, oché la sua devazoe stadard, σ 4 mg%; la sommstrazoe d u farmaco su 64 pazet porta ad u valor medo campoaro d x 100 mg% (lascado alterata la devazoe stadard); l potes H 0 cosste ell affermare che comuque l valor medo della popolazoe è rmasto alterato a 90 mg%, e la varazoe rscotrata è del tutto accdetale, metre per l potes cotrara H 1 tale valore è effettvamete salto a 100 mg%. Fssamo u lvello d sgfcatvtà del 1 %, che determa u valore z 99 par a. 58 ; calcolamo x σ µ 100 90 10 4 64 3 3, 33, e corrspodeza a 3. 33 leggamo sulle tavole l valore 0. 4996, che, per dffereza 0. 5, dà 0.0004. Ache teuto coto del ecessaro raddoppo (sulle tavole vegoo dcate le aree della sola parte postva), rcavamo che la probabltà del rsultato otteuto (o d u rsultato peggore) è par 0. 0008, ossa è dello 0.08%, largamete ferore allo 1 % ammesso. Duque l potes H 0 va scartata e s accetta la coclusoe che l farmaco ha provocato u aumeto a 100 mg% del valor medo della glcema co ua probabltà (cofdeza) del 99 %. Il rmaete 1 % vee rcooscuto all evetualtà che comuque l valor medo della glcema sa rmasto alterato, a 90 mg%. Al fe d charre acora l sgfcato della legge de grad umer, rpredamo u esempo fatto parlado delle regole d decsoe, precsamete quello relatvo al laco d ua moeta rpetuto dec volte. S era vsto allora come la probabltà che l rsultato, testa o croce, o comparsse pù d otto volte è d 1 7 64 89.06%. Faccamo lo stesso calcolo, ma partedo questa volta da u laco della stessa moeta rpetuto vet volte, co o pù d sedc est ugual. Sbaglerebbe ch pesasse d trovars elle codzo precedet, basados sul fatto, per altro dscutble, che le frequeze relatve e due cas soo ugual, dal mometo che 16 0 8 10. Ifatt, l uovo calcolo porta ad ua probabltà del 47.46%, molto pù bassa della precedete. La cosa s spega co la legge de grad umer: fatt, se essuo d o s meravglerebbe per ua rpetzoe del medesmo rsultato per due volte, tutt al cotra-

TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 10 ro o accetteremmo passvamete ua rpetzoe del medesmo rsultato per ceto o pù volte. 11.5 Cosderazo coclusve Ne (poch) esemp precedet, abbamo sempre cosderato come accettabl rsultat troppo lota da quell attes, sa che la dffereza sa dovuta a valor troppo grad che el caso d valor troppo pccol. No soo però frequet cas e qual l errore rsulta sgfcatvo u verso solo ( u esempo precedete ua dmuzoe, aturalmete o eccessva, della glcema potrebbe essere accettata); questo caso va cambato l modo d determare dalle tavole l parametro h (o z ). Questa volta fatt o s vuole trovare u tervallo lmtato ( z + ), el quale deva cadere co probabltà l rsultato della campoatura: z dovremo vece cosderare l tervallo llmtato (, ) z, dal mometo che ua delle due code d errore, coè ua delle due rego estere all tervallo lmtato precedete, o va cosderata ( quato potzzato sopra, la coda sstra). Duque, per determare l estremo z o dobbamo dvdere per due l lvello d sgfcatvtà, ma dobbamo puttosto sottrargl 0.5. Per esempo per avere ua probabltà del 99 %, u test ad ua coda o s deve cercare sulle tavole l valore pù vco a 0.99 come fatto precedeza, per trovare u tervallo da. 58 a +. 58 : dobbamo vece cercare, sulle stesse tavole, l valore pù vco a 0.99 0.50 0.49, trovado. 33 crca: l tervallo, ferormete llmtato, va duque da a +. 33. Ife, se vece d esegure msure su dvdu e calcolare valor med campoar, s eseguoo test per esempo d postvtà (coè s coducoo espermet per qual soo ammesse le sole rsposte sì o o), luogo d valor med s calcola la frequeza relatva campoara P della postvtà del test, che adrà cofrotata co l valor medo della v.a. frequeza relatva, che, come gà vsto, è p, probabltà del sgolo successo. S procede qud come el caso precedete, facedo rfermeto alla v.a. ormale stadardzzata, cofrotado l valore d quest ultma, letto sulle tavole base al lvello d sgfcatvtà prescelto, co l rapporto P - p pq, dove, come vsto, la quattà pq rappreseta la varaza della frequeza relatva.