Opporunià di arbiraggio nel mercao del BTP Fuures: una verifica empirica. Andrea Giacomelli Grea, Venezia Domenico Sarore Universià Ca' Foscari e Grea, Venezia Michele Trova Inesa Asse Managemen Come è già sao affermao nell aricolo (Cappellina, la derivazione del valore eorico di un fuure è basaa sul principio di non arbiraggio. Ma ale ipoesi è davvero verificaa nella realà, o si presenano agli operaori opporunià di arbiraggio nei mercai di quesi derivai? La rilevanza eorica e l ineresse operaivo di ale quesione sono ali da moivare approfondie indagini empiriche ; in queso aricolo vengono quindi presenai i risulai di un analisi economerica vola a verificare la possibilià di individuare evenuali opporunià di arbiraggio nel mercao del BTP Fuures quoao al LIFFE di Londra. Dopo aver inrodoo il coneso eorico a cui è sao fao riferimeno nel condurre queso sudio, verranno brevemene descrii gli sumeni saisici uilizzai, per poi presenare i risulai ed i relaivi commeni.
Uno schema generale per la valuazione dei conrai fuures Al fine di fornire uno schema generale di valuazione di un financial fuure, è necessario inrodurre i segueni concei base, con relaiva noazione: T indica il empo di scadenza del conrao fuure (daa in cui dovrà avvenire la consegna maeriale del soosane; 2 esprime l'isane auale; 3 S rappresena il prezzo spo al quale l'aivià soosane è quoaa sul mercao al empo ; 4 K rappresena il prezzo di consegna concordao in per la scadenza T; 5 f rappresena il valore eorico del conrao fuure al empo ; 6 FV rappresena il valore di equilibrio K-equivalene per il prezzo di consegna del bene soosane (fair value al empo ; 7 r è il asso di ineresse privo di rischio sulla scadenza (T -, espresso su base annua al empo. Al empo possiamo inraprendere due operazioni : a acquisare al prezzo S il bene soosane, oppure b impiegare in un invesimeno privo di rischio la liquidià pari a K / ( ( T + r / 365, ed acquisare un conrao fuure per scadenza T e prezzo di consegna K. Alla scadenza T, la condizione di non arbiraggio imporrà che il valore dei due porafogli sia perfeamene coincidene (un medesimo bene non può avere valori diversi. La condizione di non arbiraggio, peralro, deve essere verificaa anche per ogni isane inermedio compreso ra la daa di sooscrizione del conrao fuure, e la daa di scadenza, poso che il mercao sia correamene prezzando ano il valore del conrao fuure, quano il valore del bene soosane. E doveroso soolineare come le considerazioni che si svilupperanno di qui a poco sono perfeamene valide solo nel caso di conrai a ermine (forward, menre nel caso dei conrai fuure, a causa del meccanismo dei margini (marking o marke, esse rappresenano delle approssimazioni. 2
In alri ermini, per ogni isane si dovrà avere: o, se preferiamo, S f = K ( ( T + r = S K + ( ( T + r f L idea che il mercao aggiusi K in ogni isane, in modo ale che alla scadenza del conrao f sia nullo, ci inroduce al conceo di fair value, così rappresenabile soo il profilo formale : con FV = K. ( ( T FV = S + r Se così non dovesse essere, si aprirebbero delle opporunià di arbiraggio, che possiamo disinguere in due classi : - CASO A - Si ha che vale la seguene disuguaglianza ( ( T FV = S + r < K In queso caso si apre la possibilià di un arbiraggio (operazione chiusa senza rischio, almeno in linea eorica del ipo cash and carry, auao cioè acquisando a proni ramie debio il bene soosane al prezzo S e vendendo (sempre a proni il fuure con prezzo di consegna K. In T il profio dell operazione sarà pari a : ( ( T K S + r - CASO B - Si ha che vale la seguene disuguaglianza ( ( T FV = S + r > K 3
In queso secondo caso si apre la possibilià di un arbiraggio del ipo reverse cash and carry, auao cioè vendendo a proni allo scopero il bene soosane al prezzo S ed acquisando (sempre a proni il fuure con prezzo di consegna K. In T il profio dell'operazione sarà pari a: ( ( T S + r K / 365 Onde poer sandardizzare il conrao, l'oggeo del BTP Fuure è un iolo nozionale, che non necessariamene rova risconro in un iolo effeivamene esisene. Vi è quindi la necessià di rapporare i prezzi dei ioli esiseni (e quoai sui mercai spo, e che la Clearing House individua di vola in vola come consegnabili, con il prezzo fuure; senza ale collegameno le operazioni di arbiraggio non porebbero essere imposae. Tale collegameno è oenuo mediane il compuo del cosiddeo faore di conversione o price facor che viene definio nel modo seguene: Definizione 2: Il price facor è quel prezzo per unià di nominale per cui il iolo reale soosane ha un rendimeno esaamene pari alla cedola del nozionale. Siano: i i = cedola del nozionale (fissa per ogni isane ; ii c = cedola annua del iolo reale i-esimo; iii n+f = via residua del iolo misuraa rispeo a T ( in cui n è il numero di anni ineri e f la frazione di anno che inercorre ra e la prima cedola, si può calcolare il price facor nel modo seguene: PF c c c + + raeo = + + K+ i f + f n+ f ( + i ( + i ( + i Al LIFFE, in paricolare, si uilizza usualmene la seguene formulazione del price facor: PF = ( + i c i ( i + + ( + i ( + i i f n n c ( f Il price facor, si ricorda, individua un singolo iolo ed esprime la quanià (nominale di quel iolo equivalene alla quanià nominale del iolo nozionale. 4
Il fuure è uno srumeno che, daa la sua alissima leva finanziaria, risula paricolarmene adao all'esercizio di una aivià di speculazione alamene rischiosa soo il profilo finanziario, con la conseguenza che le posizioni nee in conrai fuure endono ad essere chiuse nel corso di un brevissimo inervallo di empo (spesso poche ore all'inerno della medesima giornaa; di riflesso, solano un numero limiao di conrai fuure giunge a scadenza richiedendo l'effeiva consegna del bene soosane. Il momeno della consegna, comunque, rimane (anche solano in ermini prospeici il momeno più delicao di un conrao fuure. Come viso, ciascuna borsa, definisce un paniere di ioli mediane i quali il vendiore di un fuure può soddisfare all'obbligazione di consegna che si è assuno con la vendia. Rimane, peralro, riconosciua al vendiore la possibilià di scegliere liberamene il iolo da consegnare effeivamene. E' evidene che, onde massimizzare il proprio profio, o minimizzare la propria perdia, esso sceglierà il iolo meno caro. Tale problema di scela ammee una soluzione banale, che consise nel confronare il valore di mercao di ciascun iolo consegnabile con il suo valore fuure, oenuo moliplicando il price facor definio nel precedene paragrafo per l'exchange Delivery Selemen Price (EDSP, che alro non è se non il prezzo di chiusura ufficiale del fuure: il iolo più conveniene (cheapes o deliver è quello che rende massima la differenza ra prezzo a proni e prezzo di consegna. Come si deduce da quano sin qui deo, non necessariamene il iolo che funge da cheapes o deliver alla scadenza lo sarà sao per ua la via del conrao Fuures. Ai fini di un'operazione di arbiraggio, può essere uile in ogni isane della via di un conrao sapere quale sia il iolo cheapes o deliver. Per rispondere a ale quesio, è necessario inrodurre il conceo di implied repo rae. Definizione 3 : Si definisce implied repo rae del iolo i-esimo, il asso che viene espresso come riorno conseguibile araverso una operazione di arbiraggio cash and carry. Esso è così calcolabile: implied repo dove la quanià C( T durane il periodo dell operazione ( T i 5 ( K PFi + C T S 365 = S T rappresena il raeo maurao in T più le cedole maurae capializzae in T.
Il confrono ra gli implied repo rae di ui i ioli consegnabili permee di definire nel modo seguene il iolo cheapes o deliver: Definizione 4 : Si definisce cheapes o deliver il iolo che ha il più alo repo rae in una operazione di arbiraggio cash and carry. Dopo avere inrodoo il conceo di cheapes o deliver, e ricordando come ui gli operaori di mercao abbiano accesso a ale informazione, è possibile riformulare nel modo seguene la definizione di fair value: Definizione 5 : Si definisce fair value del conrao fuure quel prezzo di consegna espresso dal fuure per il quale l'implied repo rae del CTD è uguale al coso di finanziameno (dove i assi sono riferii al periodo di via del conrao fuure. Si ha quindi FV S r T C T + S = 365 = PF 365 PF ( S r T + C( T CTD Alla luce di quesa nuova definizione, si evidenzia come il fair value cosiuisca un limie superiore al prezzo di consegna espresso dal fuure in ermini di cheapes o deliver. Infai, se in un qualche isane della via del fuure il prezzo di consegna K fosse superiore a FV, si aprirebbero immediaamene delle opporunià di arbiraggio cash and carry (vendere il conrao fuure comprando conesualmene il iolo CTD araverso un finanziameno al asso di mercao r. Se K dovesse superare FV, allora il riorno dell operazione cash and carry sarebbe superiore al coso di finanziameno della posizione cash. Ci si può chiedere se l argomenazione appena proposa valga anche per l operazione di arbiraggio reverse cash and carry e se, perano, il fair value cosiuisca anche un limie inferiore al prezzo di consegna del fuure : se ciò fosse, allora le forze del mercao porebbero deerminare univocamene il valore di K ed eliminare ogni possibilà di arbiraggio. A differenza di quano delineao in precedenza, non è possibile pensare che nel mondo reale sia plausibile assumere che il asso di ineresse di finanziameno r sia uguale al CTD 6
asso repo alla base dell operazione di riporo ioli che soende all operazione di reverse cash and carry. L operazione di arbiraggio reverse cash and carry si delineerebbe, infai, nei segueni ermini : -in : vendia allo scopero del CTD al prezzo spo S ; -in T impiego di un ammonare pari ad S per oenere i ioli a riporo ; acquiso di un conrao fuure con prezzo di consegna del nozionale in T pari a K. pagameno dell ammonare dovuo come espresso dall EDSP diero ricezione dei ioli ; resiuzione dei ioli avui a riporo diero incasso del corrispeivo. Da un puno di visa preamene moneario, ciò implica : S repo T T Ricavo( % = 365 = repo S 365 Coso ( ( K PFCTD + C T S 365 % = S T Come ceramene si noerà considerando l ulima espressione e quella che definisce l implied repo i, l operaore si rova in una siuazione esaamene simmerica alla precedene, con la conseguenza che l ulima espressione ora rappresena il coso dell operazione e non più il ricavo. Il riorno aeso è pari al asso repo che, in normali condizioni di mercao, sarà inferiore a r. Le opporunià per l arbiraggio reverse cash and carry si verificheranno proprio nel momeno in cui il prezzo fuure K sarà sufficienemene basso da rendere il coso dell operazione inferiore al ricavo. Se ne deduce che, se : repo < r FV < Krepo dove K repo è quel valore del prezzo di consegna del fuure che pora in equilibrio cosi e ricavi dell operazione di reverse cash and carry. 7
Il canale di arbiraggio che possiamo individuare nell inervallo [ FV Krepo ], è in realà un sooinervallo del vero inervallo di arbiraggio, in quano il rischio di cambio del CTD, cui si espone chi esegue un reverse cash and carry, può essere rappresenao come un opzione in possesso di chi consegna i ioli (delivery opion, il cui valore va sorao al riorno del reverse cash and carry. Il modello saisico Al fine di verificare empiricamene la possibilià di prevedere il delinearsi di spazi per arbiraggi del ipo cash and carry o reverse cash and carry, è sao fao ricorso alla classe dei modelli VAR Bayesiani. Quesa meodologia consene infai di modellizzare alcune delle caraerisiche più salieni delle variabili finanziarie (non linearià, eeroschedasicià, rivelandosi inolre paricolarmene appropriaa per la previsione di serie soriche mulivariae. Per condurre lo sudio sono sae uilizzae le rilevazioni giornaliere dei prezzi di chiusura : del BTP Fuure del LIFFE (con scadenza dicembre 997 e marzo 998; 2 del BTP 8.75% 0/07/2006; 3 del BTP 7.75% 0//2006; 4 del BTP 6.75% 0/02/2007; 5 del BTP 6.75% 0/07/2007; ed inolre le rilevazioni del fixing dei assi sulla lira inerbancaria ad un mese (daa ipoeica di duraa dell'invesimeno in fuure, rilevai sulla piazza di Londra e su quella di Roma: 6 LIBOR mese; 7 RIBOR mese; Ne deriva quindi il seguene modello VAR: dove s, s= y = A m + B y + p s ε con ~ NID ( 0, R ε n 8
e s =, K, 5, per =, 70. y Prezzo BTP Fuure LIBOR RIBOR = Prezzo BTP Prezzo BTP Prezzo BTP Prezzo BTP m Lunedì Maredì Mercoledì = Giovedì Venerdì Prefesivo Il veore m è cosiuio da cinque variabili dummy (ad impulso associae a ciascun giorno lavoraivo della seimana e ad una sesa variabile dummy che assume valore nel giorno anecedene una fesivià infraseimanale e zero alrove. L inroduzione di ali dummy nel modello è sao suggerio da un'aena analisi dei dai sulle osservazioni ick by ick su scala infra-day, che ha porao alle segueni conclusioni: sembra essere palese la caraerizzazione della serie del BTP Fuure come soggea ad una fore sagionalià seimanale, inendendo con ciò che, su scala infragiornaliera, la serie assume andameni ipici e ciclici il lunedì, il maredì, il mercoledì, il giovedì ed il venerdì; 2 si rileva raccia, nei dai, di un alro ipo di comporameno "classico" negli ambieni finanziari, cioè quello di chiudere le proprie posizioni, soprauo quelle scopere, prima di un giorno fesivo infraseimanale (olrechè prima del fine seimana. Infine, il numero di riardi pari a cinque è sao scelo con l ineno di rappresenare il ciclo di sagionalià seimanale. La dimensione del campione ammona ad un oale di 70 osservazioni giornaliere che vanno dal 30 giugno 997 al 26 febbraio 998. Risulai Sulla base delle 5 previsioni in sample oenue dal modello è saa esaminaa la possibilià di effeuare arbiraggi secondo la meodologia sopra esposa. Nella abella viene presenao il calcolo del Fair Value previso per il conrao Fuure ; il Fair Value deve inendersi come previso sulla base delle previsioni del prezzo 9
spo del iolo cheapes o deliver e del asso LIBOR ad mese (circa la lunghezza massima che abbiamo assuno per verificare evenuali ipoesi di arbiraggio. Il Fair Value Repo, invece, si calcola sulla base delle previsioni del prezzo del iolo CTD e del asso RIBOR. L'analisi delle previsioni oenue pora ad evidenziare in quaro casi su quindici la possibilià di condurre un arbiraggio del ipo reverse cash and carry, con iolo soosane il cheapes o deliver, cioè il BTP 8.75% 0/07/2006, come è indicao dai calcoli nella abella 2 nelle pagine segueni. L'ampiezza del canale di arbiraggio rimane, peralro, molo esigua (dell'ordine di un millesimo di puno percenuale circa, con la conseguenza che evenuali spazi di arbiraggio porebbero essere sconsigliai dagli evenuali cosi di inermediazione a livello di singolo invesiore privao. Una poliica diversa porebbe, invece, essere auaa da un isiuo di credio che non risene, nelle operazioni "per la proprieà", di alcun onere accessorio incremenaivo del prezzo di acquiso. Calcolo del Fair Value previso per il conrao Fuure Daa Fair Value previso Valore previso Fair Value repo Arbiraggio C. & C. Arbiraggio R. C. & C. 06/02/98 7.5522 7.555 7.5533 no si 09/02/98 7.4463 7.2745 7.4473 no si 0/02/98 7.525 7.422 7.5208 no no /02/98 7.2353 7.384 7.236 no no 2/02/98 7.3303 7.205 7.3294 no no 3/02/98 7.6387 7.58 7.637 no no 6/02/98 7.4355 7.362 7.4342 no no 7/02/98 7.738 7.605 7.7308 no no 8/02/98 8.2269 8.20 8.225 no no 9/02/98 8.4053 8.2523 8.4037 no no 20/02/98 8.4092 8.3478 8.408 no no 23/02/98 8.34 8.269 8.3399 no no 24/02/98 8.769 8.620 8.77 no si 25/02/98 8.707 8.6235 8.7074 no si 26/02/98 8.5696 8.4624 8.5686 no no abella 0
Daa Calcolo del Cheapes o deliver Repo rae Repo rae Repo rae Repo rae previso previso previso previso BTP 07/07 BTP 02/07 BTP /06 BTP 07/06 Tiolo CTD previso 06/02/98-0.707-0.09424-0.0036 0.058407 BTP 0/07/2006 09/02/98-0.992-0.565-0.02995 0.040532 BTP 0/07/2006 0/02/98-0.2305-0.3422-0.02983 0.048093 BTP 0/07/2006 /02/98-0.23746-0.3335-0.02846 0.049463 BTP 0/07/2006 2/02/98-0.25966-0.4849-0.0328 0.04448 BTP 0/07/2006 3/02/98-0.26227-0.5692-0.0346 0.044079 BTP 0/07/2006 6/02/98-0.33227-0.9577-0.06439 0.040979 BTP 0/07/2006 7/02/98-0.3589-0.229-0.074 0.037587 BTP 0/07/2006 8/02/98-0.37283-0.2559-0.07784 0.040682 BTP 0/07/2006 9/02/98-0.38565-0.2289-0.06935 0.028879 BTP 0/07/2006 20/02/98-0.4027-0.258-0.09294 0.047852 BTP 0/07/2006 23/02/98-0.5542-0.3423-0.346 0.040026 BTP 0/07/2006 24/02/98-0.644-0.43208-0.7545 0.028837 BTP 0/07/2006 25/02/98-0.72438-0.484-0.9233 0.02963 BTP 0/07/2006 26/02/98-0.83049-0.56854-0.24589 0.05488 BTP 0/07/2006 abella 2