Gilda Flaccavento Romano 3b Geometia e misua R ealtà e modelli coso di matematica pe la scuola secondaia di pimo gado RS LIRI EUTIN SP
oodinamento editoiale: Giancalo Quadi oodinamento edazionale: Maia ngiola Patiaca Pogetto gafico: Studio Miza, egamo Redazione: Tina Locatelli Riceca iconogafica: chivio Fabbi Elaboazione digitale testo e immagini e impaginazione: Gande foedit, Monza opetina: Studio Miza, egamo isegni: aio Fascoli La ealizzazione di un libo pesenta aspetti complessi e ichiede paticolae attenzione nei contolli: pe questo è molto difficile evitae completamente inesattezze e impecisioni. L Editoe ingazia sin da oa chi voà segnalale alle edazioni. Pe segnalazioni o suggeimenti elativi al pesente volume scivee a: iezione Editoiale RS Libi S.p.. - ivisione Education - Via Mecenate, 91-20138 Milano - fax 0250952613 Fotocopie pe uso pesonale del lettoe possono essee effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di peiodico dieto pagamento alla SIE del compenso pevisto dall at. 68, comma 4, della legge 22 apile 1941 n. 633 ovveo dall accodo stipulato ta SIE, IE, SNS, e N, NFRTIGINT, S, LI, NFM- MERI, NFESERENTI il 18 dicembe 2000. Le ipoduzioni pe uso diffeente da quello pesonale potanno avvenie, pe un numeo di pagine non supeioe al 15% del pesente volume/fascicolo, solo a seguito di specifica autoizzazione ilasciata da IR, via delle Ebe, n. 2, 20121 Milano, telefax 02809506, e-mail aido@iol.it ISN 88-451-0353-6 Popietà letteaia isevata www.fabbiscuola.it 2004 RS Libi S.p.., Milano Ristampe 2004 2005 2006 2007 1 2 3 4 5 6 7 8 Stampato pesso Rotolito Lombada, Pioltello (MI)
III Pesentazione Questo coso di matematica è uno stumento didattico pensato pe favoie l educazione matematica dei peadolescenti; nello studio della matematica, infatti, essi devono tovae l oppotunità pe: acquisie conoscenze che siano un valido mezzo pe intepetae la ealtà; ealizzae un appendimento significativo e appopiasi di un metodo di lavoo azionale, attivo e citico; conseguie schemi logici che sviluppino il senso di esponsabilità nei confonti delle loo scelte. Petanto si popone di: guidae alla conoscenza e all educazione scientifica attaveso lo sviluppo di una mentalità citica e consapevole; aiutae a aggiungee questi impotanti obiettivi: pomuovee pocessi fomativi come occasioni di sviluppo amonico della pesonalità di ciascun allievo; tasfomae conoscenze e abilità in competenze pesonali ai fini di un integazione citica nella società contempoanea; mettee nelle condizioni di definie e conquistae la popia identità di fonte agli alti e di ivendicae un popio uolo nella ealtà. Il coso è composto di te volumi annuali divisi in due tomi, secondo la nuova scansione in temi disciplinai: numeo; geometia e misua; dati e pevisioni; elazioni e logica. gni tema è intodotto da una mappa ( Pe oientati ) che ne visualizza il pecoso in tutte le unità di appendimento in cui è suddiviso. gni unità di appendimento si ape con la descizione, amichevole e discosiva, del pecoso didattico, pecisando: i contenuti dell unità (un sommaio); i peequisiti dell unità (un insegnante elenca sinteticamente che cosa devi sapee pe affontae l agomento); gli obiettivi pe il conseguimento delle conoscenze e pe lo sviluppo delle abilità dell unità (un alto insegnante elenca sinteticamente le conoscenze e le abilità, in temini di che cosa sapai e che cosa sapai fae, da aggiungee con lo studio degli agomenti dell unità). unità di appendimento Il sistema di numeazione decimale ife e numei La scittua polinomiale L insieme N 1 Incominceai il tuo studio ipassando agomenti che già sai pe veificae se icodi e hai capito bene ciò che hai studiato alla scuola elementae. he cosa sapò e che cosa sapò fae dopo ave studiato questi agomenti? on lo studio di questa unità di appendimento impaeai: il sistema di numeazione decimale; l insieme N; e alla fine sapai: leggee e scivee i numei natuali; sciveli in foma polinomiale; appesentali sulla linea dei numei; confontali.
IV 36 Geometia e misua Gandezze e misua I contenuti delle vaie unità di appendimento sono suddivisi in paagafi con scansione chiaa e igoosa. Titoli, sottotitoli, impaginazione, disegni e veste gafica complessiva concoono tutti ad agevolae il più possibile l oientamento all inteno del testo e della singola pagina, a facilitae la lettua e la consultazione (le egole e le definizioni sono evidenziate dal fondo azzuo; gli esempi guidati sono ichiamati dal fondo giallo; gli esecizi di veifica immediata della compensione, Pe un pimo contollo, sono su fondo vede); ogni pagina di sinista ipota in alto il titolo del tema e ogni pagina di desta il titolo dell unità di appendimento e le pagine di ifeimento degli esecizi ad essa elativi (così come gli esecizi ipotano simmeticamente le pagine specifiche della teoia a cui si ifeiscono). gni unità di appendimento è completata da una scheda di autovalutazione ( Mi autovaluto ) su fondo vede, il coloe che pemette di iconoscee immediatamente le pati opeative del coso. Questa scheda offe al agazzo la possibilità di autovalutae la sua pepaazione, dopo ave consultato a fine volume le isposte coette. ome sai, quando paliamo di gandezza, intendiamo tutto ciò che si può misuae. Sono quindi gandezze: la lunghezza di un bastone, la supeficie di un tavolo, il peso di un vaso, il volume di una scatola, la capacità di una bottiglia, un intevallo di tempo, l ampiezza di un angolo ecc. Ricodi che cosa significa misuae una gandezza e che cosa si intende pe misua di una gandezza? Misuae una gandezza significa confontala con un alta omogenea (dello stesso tipo), fissata come unità di misua, pe stabilie quante volte quest ultima è contenuta in quella da misuae. Il numeo, natuale o decimale, che espime quante volte l unità di misua è contenuta nella gandezza da misuae si dice misua di quella gandezza. Pe evitae di avee di una stessa gandezza misue divese è necessaio usae delle unità di misua convenzionali. ome sai, ci ifeiamo al Sistema Intenazionale di Unità (S.I.) che stabilisce le unità di misua fondamentali con i loo multipli e sottomultipli secondo le seguenti tabelle: La seconda pate dei volumi compende te sezioni: spetti stoici della matematica: schede di caattee stoico intedisciplinae. Il laboatoio matematico: schede opeative di appofondimento. Giochiamo con la matematica: giochi matematici di paticolae valenza didattica. E sempio Vogliamo misuae la lunghezza del segmento : Scegliamo come unità di misua il segmento : e confontiamolo con pe vedee quante volte vi è contenuto. iemo che è lungo 6 o che misua 6. Gandezza Unità Simbolo Lunghezza Meto m Massa hilogammo kg Tempo Secondo s Intensità di coente elettica mpee Tempeatua temodinamica Kelvin K mol Intensità luminosa Mole andela cd 94 mi autovaluto 1. Scivi veo o falso accanto a ogni affemazione. In una tasfomazione: a) molti invaianti deteminano molti cambiamenti nella tasfomata.... b) pochi invaianti deteminano molti cambiamenti nella tasfomata.... c) molti vaianti deteminano pochi cambiamenti nella tasfomata.... d)molti vaianti deteminano molti cambiamenti nella tasfomata.... 2. Segna il completamento esatto. Gli invaianti di una isometia sono: a) foma, dimensioni, posizione; b) foma, dimensioni; c) dimensioni, posizione. 3. ietto o inveso? Scivilo al posto dei puntini. a) Un movimento che avviene sul piano dove giace una figua è... b) Un movimento che avviene uscendo dal piano dove giace una figua è... 4. Segna il completamento esatto. Una taslazione è individuata: a) dal suo cento di taslazione; b) dal suo vettoe; c) dall asse di taslazione. 5. Segna il completamento esatto. Una simmetia assiale è individuata: a) dal suo asse di simmetia; b) dal suo vettoe; c) dal cento di simmetia. Rappoto fa gandezze non omogenee 12 Rappoti e popozioni Esecizi da pag. 560 a pag. 601 163 onsideiamo due gandezze non omogenee, pe esempio il peso di un oggetto e il suo volume: peso = 35 kg volume = 2,5 dm 3 peso : volume = 35 kg : 2,5 dm 3 = 14 kg/dm 3 Se ne facciamo il appoto otteniamo un alta gandezza, il peso specifico, che dipende dalle unità di misua del peso e del volume. onsideiamo alte due gandezze non omogenee, pe esempio la distanza pecosa e il tempo impiegato: distanza = 270 km tempo impiegato = 3 h distanza : tempo = 270 km : 3 h = = 90 km/h Facendone il appoto otteniamo un alta gandezza, la velocità media, che dipende dalle unità di misua della distanza pecosa e del tempo impiegato. iciamo quindi che: Il appoto fa due gandezze non omogenee è il quoziente fa le loo misue ed è un alta gandezza, gandezza deivata, non omogenea a quelle date e il cui valoe dipende dalle unità di misua delle due gandezze. Pe un pimo contollo 1. Scivi quanto ichiesto: Il appoto 9 a 4:... Il appoto che ha 5 come conseguente e 3 come antecedente:... 2. ompleta: Fa 12 e 7 il appoto dietto è..., il appoto inveso è... 3. I numei dati appesentano il appoto fa due gandezze commensuabili o incommensuabili? Scivilo accanto a ciascuno di essi: 5 27...;...; 12,7...; 11... 9 Mettiti alla pova eseguendo quanto ichiesto. Veifica i isultati alla fine del volume e segna 1 punto pe ogni isposta esatta. ompleta poi la tua autovalutazione. 6. Segna il completamento esatto. Una otazione è individuata: a) dal suo asse di otazione; b) dal suo vettoe; c) dal cento di otazione e dall angolo oientato. 7. ompleta con i temini diettamente o invesamente. a) ue figue ottenute pe taslazione sono... conguenti. b) ue figue ottenute pe simmetia sono... conguenti. c) ue figue ottenute pe otazione sono... conguenti. 8. Individua se la figua F è la coispondente della figua F in una taslazione, in una otazione o in una simmetia assiale. Su 16 isposte, ne ho indovinate... Secondo me è stato un isultato*... Su questa unità di appendimento penso quindi di **...... Mi piaceebbe sapee che cosa ne pensa il mio insegnante...... * ttimo; buono; disceto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** ve capito bene tutto; avee ancoa qualche dubbio; avee molte incetezze. F F F F......... unità di appendimento 11 Similitudini e omotetia F F 11 Similitudine e omotetia 431 Teoia da pag. 141 a pag. 154 RS LIRI EUTIN SP a icodae La similitudine è una tasfomazione non isometica che lascia invaiata l ampiezza degli angoli ma vaia la lunghezza dei segmenti coispondenti in appoto costante. Tale appoto costante si chiama appoto di similitudine. Gli esecizi sono posti alla fine del volume. Sono immediatamente iconoscibili pe la tacca di coloe vede in alto nella pagina. Vengono intodotti da uno schema iassuntivo della teoia elativa all agomento ( a icodae, su fondo blu, come definizioni e egole), un sintetico pomemoia utile al momento opeativo della veifica. Pe i tiangoli valgono i seguenti citei di similitudine: 1 citeio: due tiangoli sono simili se hanno i te angoli odinatamente conguenti. 2 citeio: due tiangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in popozione e l angolo fa essi compeso conguente. 3 citeio: due tiangoli sono simili se hanno le te coppie di lati omologhi in popozione. ue figue sono omotetiche se i loo punti coispondenti sono allineati su ette che si incontano tutte in un punto, detto cento dell omotetia, e i loo lati coispondenti sono in appoto costante. Tale appoto di popozionalità, k, si chiama appoto di omotetia o caatteistica dell omotetia. La caatteistica dell omotetia caatteizza la vaiazione delle dimensioni della figua omotetica: pe k > 1 si ha un ingandimento; pe k < 1 si ha un impicciolimento. ue poligoni sono simili se hanno gli angoli coispondenti odinatamente conguenti e i lati omologhi in popozione. In due poligoni simili: il appoto fa i peimeti e fa due qualsiasi segmenti coispondenti, altezze, diagonali, apotemi ecc., è uguale al appoto di similitudine; il appoto fa le aee è uguale al quadato del appoto di similitudine. Nei tiangoli ettangoli valgono i due teoemi di Euclide. I teoema di Euclide: in un tiangolo ettangolo ogni cateto è medio popozionale fa l ipotenusa e la sua poiezione sull ipotenusa. II teoema di Euclide: in un tiangolo ettangolo l altezza elativa all ipotenusa è media popozionale fa le poiezioni dei cateti sull ipotenusa. 2 H H 2 H H
V Gli esecizi vengono suddivisi costantemente in te pati: 1) pe contenuti: seguono passo passo la sequenza dei contenuti della pate teoica, con la stessa successione di agomenti, e sono oganizzati su te livelli di difficoltà, indicati dalle tacche aancioni sotto i numei degli esecizi (pimo livello: nessuna tacca; secondo livello: una tacca; tezo livello: due tacche); 2) pe obiettivi: veificano la conoscenza delle nozioni teoiche ( ciò che sai ) e l acquisizione delle competenze specifiche ( ciò che sai fae ); 3) di ecupeo: pe ogni agomento della pate teoica pesentano sempe te momenti in successione: esecizi svolti; esecizi guidati; esecizi di contollo. Esecizi pe contenuti I poligoni Teoia da pag. 53 a pag. 70 5 Poligoni: i tiangoli e le loo popietà 265 1. he cosa si intende pe figua piana? 2. he cosa si intende pe spezzata? 3. Quando una spezzata si dice apeta? E quando chiusa? 4. Quando una spezzata si dice semplice? E quando intecciata? 5. Quali fa le seguenti spezzate sono semplici? Segnale: 6. Quali ta le seguenti spezzate sono semplici apete? Segnale: 7. isegna quanto ichiesto: a) Una spezzata semplice apeta fomata da sette segmenti. b) Una spezzata semplice chiusa fomata da quatto segmenti. 8. on i segmenti assegnati disegna una spezzata intecciata apeta e una intecciata chiusa: 9. he cosa si intende pe poligono? 10. Indica quali delle seguenti figue sono poligoni: 11. Scivi i temini esatti dove ichiesto:... Esecizi pe veificae...... ciò che sai 1. ompleta le seguenti affemazioni: a) Si chiama poligono......... b) Si dice contono di un poligono......... c) Si dice peimeto di un poligono...... d) Si chiama diagonale di un poligono......... E 12. Individua ta le seguenti affemazioni quali sono vee e quali false: a) La spezzata che limita un poligono si chiama peimeto. V F b) Il segmento che unisce due vetici non consecutivi di un poligono si chiama diagonale. V F c) ngoli inteni ed esteni aventi il vetice in comune sono complementai. V F d) I segmenti che fomano la spezzata che limita un poligono si chiamano lati. V F 13. Nel seguente poligono coloa in osso gli angoli inteni e in vede quelli esteni: E...... G F... F... 5 Poligoni: i tiangoli e le loo popietà 285 E Teoia da pag. 53 a pag. 70 2. sseva la figua e completa: 3. Fa i seguenti poligoni individua i poligoni concavi e quelli convessi: E oncavi:... onvessi:... 4. Segna il completamento esatto. In un poligono qualsiasi la somma degli angoli esteni è: a) un angolo piatto; b) un angolo gio; c) un angolo etto. 5. Segna il completamento esatto. In un poligono di n lati la somma degli angoli inteni misua: a) (n - 2) 360 ; b) (n - 2) 180 ; c) (n - 2) 90. F a) La figua appesenta un... b),,, sono i suoi... c),,, sono i suoi... d) è una sua... e) Ÿ è un... f) Ÿ E è un... G 6. ompleta: a) Un poligono si dice equilateo se......... b) Un poligono si dice equiangolo se......... c) Un poligono si dice egolae se......... H E 290 esecizi di ecupeo Esecizi di ecupeo Se hai ancoa qualche difficoltà, segui gli esecizi svolti (quelli nel iquado) e poi completa gli alti. 1. alcolae la misua della somma degli angoli inteni di un pentagono e di un esagono. Pe calcolae la somma degli angoli inteni di un poligono bisogna applicae la fomula: S I = (n - 2) 180, dove n è il numeo dei lati. vemo quindi: Pentagono n = 5 S I = (n - 2) 180 = (5-2) 180 = 3 180 = 540 Esagono n = 6 S I = (n - 2) 180 = (6-2) 180 = 4 180 = 720 2. alcola la misua della somma degli angoli inteni di un quadilateo e di un ottagono. Pe calcolae la somma degli angoli inteni di un poligono bisogna applicae la fomula: S I =... Quindi: a) Quadilateo n =... S I = (... - 2) 180 =... 180 =... b) ttagono n =... S I = (... - 2) 180 =... 180 =... 3. alcola la misua della somma degli angoli inteni di un poligono di: a) 7 lati S I =...; b) 9 lati S I =...; c) 11 lati S I =... 4. alcolae la misua dell angolo Ÿ di un quadilateo sapendo che la misua degli alti te angoli è ispettivamente 90, 79 e 139. Pe calcolae la misua di un angolo conoscendo la misua di tutti gli alti basta sottae dalla misua della somma degli angoli inteni la somma delle misue degli angoli conosciuti. vemo quindi: S I = (n - 2) 180 = (4-2) 180 = 1 180 = 360 Ÿ = 360 - (90 + 79 + 139 ) = 360-308 = 52 5. alcola la misua dell angolo Ÿ di un pentagono E sapendo che la misua degli alti quatto angoli è ispettivamente 95, 100, 140 e 135. Sottaiamo dalla misua della somma degli... la somma delle misue degli angoli... vemo quindi: S I = (... )... =... 180 =... Ÿ =... - (95 +... +... +... ) = +... - +... = 70 Pe ciascun poligono assegnato nei seguenti esecizi calcola la misua dell angolo mancante. 6. E Ÿ = 70 7. Ÿ = 62 Ÿ = 142 Ÿ = 100 Ÿ = 115 Ÿ = 125 Ÿ = 90 Ÿ =? E Ÿ =? 8. alcolae il peimeto del poligono sapendo che la misua dei suoi lati è: æ = 40 cm; æ = 20 cm; æ = 26 cm; æ = 30 cm. Poiché il peimeto è la somma della misua di tutti i lati, avemo: p = (40 + 20 + 26 + 30) cm = 116 cm Il coso è completato da un volume di infomatica. È quasi inutile omai ibadie l impotanza di un appoccio adeguato e aggionato agli stumenti e alle tecnologie infomatiche. Il volume intoduce con vivacità agomenti quali l infomatica e la comunicazione, la stuttua di un elaboatoe, i sistemi opeativi, le applicazioni nel sistema opeativo Windows, Paint (pogamma di gafica), Wod (pogamma di videoscittua), Excel (foglio elettonico), che cos è Intenet e come ci si muove, PowePoint (pogamma pe pesentazioni multimediali), abi Géomète (pogamma pe il disegno geometico), Logo. d insegnanti e agazzi, buon lavoo! L utice
Indice Geometia e misua Pe oientati 2 unità di appendimento 1 iconfeenza e cechio 3 La ciconfeenza e il cechio 4 Punti, ette e ciconfeenze 5 Pati di ciconfeenza e di cechio 9 Le pati di una ciconfeenza, p. 9; Le pati di un cechio, p. 10 ngoli al cento e alla ciconfeenza 11 Popietà degli angoli al cento e degli angoli alla ciconfeenza, p. 13 Il teoema di Pitagoa e la ciconfeenza 15 mi autovaluto 16 Esecizi pe veificae gli obiettivi esecizi 108-124 109 112 114 119 122 unità di appendimento 2 iconfeenza, cechio e poligoni 17 Poligoni inscitti e cicoscitti 18 Tiangoli inscitti e cicoscitti, p. 19; Quadilatei inscitti e cicoscitti, p. 20 I poligoni egolai 21 ssevazioni sull esagono egolae, p. 22; ssevazioni sul tiangolo equilateo, p. 22 ea di un poligono cicoscitto 22 mi autovaluto 24 Esecizi pe veificae gli obiettivi esecizi 125-136 126 129 132 134 unità di appendimento 3 Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio 25 La lunghezza della ciconfeenza 26 Lunghezza di un aco di ciconfeenza 28 L aea del cechio 29 ea della coona cicolae, p. 30 esecizi 137-166 138 139 141
Indice VII ea del settoe e del segmento cicolae 31 ea del settoe cicolae, p. 31; ea del segmento cicolae, p. 32 mi autovaluto 34 Esecizi pe veificae gli obiettivi Esecizi di ecupeo 142 159 163 unità di appendimento 4 La geometia solida 35 Nello spazio 36 Rette nello spazio, p. 36; Piani nello spazio, p. 37 L angolo diedo 38 Gli angoloidi 40 Genealità sui solidi 41 Fa i poliedi, p. 42; Fa i solidi a supeficie cuva, p. 43 Equivalenza di solidi 43 mi autovaluto 46 Esecizi pe veificae gli obiettivi unità di appendimento 5 I poliedi: supefici e volume 47 I poliedi egolai 48 I poliedi non egolai: pismi e piamidi 50 I pismi, p. 50; Le piamidi, p. 52 Supeficie lateale, totale e volume dei pismi 53 Supeficie lateale, totale e volume del paallelepipedo etto, p. 55; Supeficie lateale, totale e volume del cubo, p. 58 Supeficie lateale, totale e volume delle piamidi 60 mi autovaluto 64 Esecizi pe veificae gli obiettivi Esecizi di ecupeo esecizi 167-182 168 172 172 175 177 179 esecizi 183-223 184 185 188 204 213 217 RS LIRI EUTIN SP unità di appendimento 6 I solidi di otazione: supefici e volume 65 Il cilindo: supeficie lateale, totale e volume 66 Il cono: supeficie lateale, totale e volume 69 La sfea e la supeficie sfeica 73 Rette, piani e supefici sfeiche, p. 73; Pati della sfea e della supeficie sfeica, p. 75 esecizi 224-252 225 232 238
VIII Indice ea della supeficie sfeica e volume della sfea 76 lti solidi di otazione 78 mi autovaluto 80 Esecizi pe veificae gli obiettivi Esecizi di ecupeo 239 242 246 250 spetti stoici della matematica Il p e la sua stoia 82 Il gande chimede 84 Eatostene e la misua della Tea 86 Il laboatoio matematico Il disegno geometico 90 I poliedi egolai 91 Le sezioni di un cilindo 92 Le sezioni di un cono 93 al cilindo al cono 94 Il tonco di piamide 95 Il tonco di cono 97 Volume, peso, peso specifico 99 Giochiamo con la matematica Quale? 102 La tota e la giosta 103 Il tio alla fune 104 La pallacanesto 105 Il domino 106 ppaati Mi autovaluto: soluzioni 254 Glossaio 256 Tavole numeiche 257
Geometia e misua unità di appendimento 1 iconfeenza e cechio 2 iconfeenza, cechio e poligoni 3 Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio 4 La geometia solida 5 I poliedi: supefici e volume 6 I solidi di otazione: supefici e volume
2 Geometia e misua Pe oientati La geometia La geometia solida Nello spazio ngolo diedo e angoloidi Genealità sui solidi Equivalenza di solidi I poliedi: supefici e volume iconfeenza e cechio iconfeenza, cechio e poligoni Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio La ciconfeenza e il cechio Punti, ette e ciconfeenze Pati di ciconfeenza e di cechio ngoli al cento e alla ciconfeenza Il teoema di Pitagoa e la ciconfeenza RS LIRI EUTIN SP Poligoni inscitti e cicoscitti I poligoni egolai ea di un poligono cicoscitto La lunghezza della ciconfeenza e di un aco di ciconfeenza L aea del cechio, del settoe e del segmento cicolae I poliedi egolai I poliedi non egolai: pismi e piamidi Supeficie lateale, totale e volume di pismi e piamidi Solidi di otazione: supefici e volume ilindo e cono: supeficie lateale, totale e volume La sfea e la supeficie sfeica ea della supeficie sfeica e volume della sfea lti solidi di otazione
unità di appendimento 1 iconfeenza e cechio La ciconfeenza e il cechio Punti, ette e ciconfeenze Pati di ciconfeenza e di cechio ngoli al cento e alla ciconfeenza Il teoema di Pitagoa e la ciconfeenza Rivedai e appofondiai quanto conosci sulla ciconfeenza e sul cechio. Pe affontae lo studio di questi agomenti icoda che devi sapee: gli enti fondamentali della geometia; i concetti di semietta, segmento e angolo; i sistemi di misua decimali e no; il teoema di Pitagoa. he cosa sapò e che cosa sapò fae dopo ave studiato questi agomenti? on lo studio di questa unità di appendimento impaeai: il concetto di ciconfeenza e di cechio iconoscendo le loo pati; le posizioni di un punto e di una etta ispetto a una ciconfeenza; le posizioni ecipoche di due ciconfeenze; il concetto di angolo al cento e alla ciconfeenza; e alla fine sapai: iconoscee e disegnae una ciconfeenza e un cechio; individuane le caatteistiche, le popietà e le pati; iconoscee, disegnae e individuae popietà di punti e ette con paticolai posizioni ispetto a una ciconfeenza; iconoscee, disegnae e individuae popietà di ciconfeenze aventi ta loo paticolai posizioni; iconoscee e disegnae angoli al cento e alla ciconfeenza e individuane e applicane le ispettive popietà; applicae il teoema di Pitagoa alla ciconfeenza.
4 Geometia e misua La ciconfeenza e il cechio sseva queste figue piane (Fig. 1): E cento F Figua 1 In, ed E hai sicuamente iconosciuto quelle paticolai figue piane, dette cechi, che hanno come contono delle linee cuve, dette ciconfeenze. Qual è la paticolaità di una ciconfeenza? ome sai, pe disegnala si usa il compasso, lo stumento che ci pemette di ottenee una linea fomata da punti che hanno tutti la stessa distanza dal cento; quest ultimo coincide con il punto nel quale viene puntato il compasso. cento aggio iciamo che: cento aggio La ciconfeenza è una linea chiusa fomata da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto inteno. Questo punto si chiama cento della ciconfeenza e la distanza fa i punti della ciconfeenza e il cento si chiama aggio della ciconfeenza. ciconfeenza Figua 2
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 5 Se adesso consideiamo la pate di piano acchiusa da una ciconfeenza avemo la figua piana detta cechio, che isulta fomata da tutti i punti inteni alla ciconfeenza e dai punti della ciconfeenza stessa. iciamo che: Il cechio è la pate di piano acchiusa da una ciconfeenza che ne costituisce il contono. Esso è quindi fomato dalla ciconfeenza stessa e da tutti i punti inteni ad essa; il cento e il aggio della ciconfeenza sono anche il cento e il aggio del cechio. cechio Figua 3 Punti, ette e ciconfeenze I punti del piano su cui giace una ciconfeenza possono essee inteni, appatenenti o esteni alla ciconfeenza. Si dicono: inteni, se la loo distanza dal cento è minoe del aggio (Fig. 4): < < appatenenti alla ciconfeenza, se la loo distanza dal cento è uguale al aggio (Fig. 5): = = esteni, se la loo distanza dal cento è maggioe del aggio (Fig. 6): > > RS LIRI EUTIN SP Figua 4 Figua 5 Se indichiamo con d la distanza dal cento, possiamo iassumee quanto detto in una tabella: Figua 6 Posizioni di un punto ispetto a una ciconfeenza inteno appatenente alla ciconfeenza esteno istanza dal cento d < d = d >
6 Geometia e misua Una etta giacente sullo stesso piano di una ciconfeenza può essee secante, tangente o estena ad essa. sseva. La etta ha in comune con la ciconfeenza due punti e la sua distanza dal cento è minoe del aggio (Fig. 7): H < La etta si dice secante la ciconfeenza. H a Figua 7 La etta ha in comune con la ciconfeenza un solo punto e la sua distanza dal cento è uguale al aggio (Fig. 8): H = La etta si dice tangente alla ciconfeenza e il punto in comune si chiama punto di tangenza. Tangente e aggio sono pependicolai. H a Figua 8 La etta non ha in comune con la ciconfeenza alcun punto e la sua distanza dal cento è maggioe del aggio (Fig. 9): a H > La etta si dice estena alla ciconfeenza. H Se indichiamo con d la distanza dal cento, possiamo iassumee quanto detto in una tabella: Figua 9 Posizioni di una etta ispetto a una Punti in comune istanza dal cento ciconfeenza secante due d < tangente uno d = estena zeo d >
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 7 onsideiamo una ciconfeenza e un punto P esteno ad essa, disegniamo le due tangenti alla ciconfeenza uscenti da P e siano H e K i ispettivi punti di tangenza (Fig. 10). I due tiangoli PH e PK, che si ottengono consideando i aggi H e K, sono ettangoli. Se poviamo a sovappoli, piegando la figua lungo l ipotenusa comune P, constateemo che sono conguenti; ne segue che PH @ PK. Possiamo quindi die che: P H K Figua 10 Le tangenti condotte a una ciconfeenza da un punto P esteno ad essa individuano due segmenti, limitati dal punto P e dai punti di tangenza, conguenti fa loo. ue ciconfeenze giacenti sullo stesso piano possono essee ta loo secanti, tangenti estenamente o intenamente, una estena all alta, una intena all alta e concentiche. sseva. Le due ciconfeenze hanno due punti in comune e la distanza dei loo centi è minoe della somma dei aggi (Fig. 11): < + Le due ciconfeenze si dicono secanti. ' ' Figua 11 Le due ciconfeenze hanno un solo punto in comune e la distanza dei loo centi è uguale alla somma dei aggi (Fig. 12): = + Le due ciconfeenze si dicono tangenti estenamente. Figua 12 Le due ciconfeenze hanno un solo punto in comune e la distanza dei loo centi è uguale alla diffeenza dei aggi (Fig. 13): = Le due ciconfeenze si dicono tangenti intenamente. Figua 13
8 Geometia e misua Le due ciconfeenze non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loo centi è maggioe della somma dei loo aggi (Fig. 14): > + Le due ciconfeenze si dicono una estena all alta. Figua 14 Le due ciconfeenze non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loo centi è minoe della diffeenza dei aggi (Fig. 15): < Le due ciconfeenze si dicono una intena all alta. Le due ciconfeenze sono una intena all alta e hanno lo stesso cento (Fig. 16). Le due ciconfeenze si dicono concentiche e la pate di piano che delimitano si chiama coona cicolae. Se indichiamo con d la distanza fa i due centi, possiamo iassumee quanto detto in una tabella: RS LIRI EUTIN SP Figua 15 Figua 16 Posizioni ecipoche di due ciconfeenze Punti in comune istanza fa i centi di aggi e con > secanti due d < + tangenti estenamente uno d = + tangenti intenamente uno d = estene zeo d > + intene zeo d < concentiche zeo d = 0
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 9 Pati di ciconfeenza e di cechio Le pati di una ciconfeenza onsideiamo una ciconfeenza e segniamo su di essa due punti e. La ciconfeenza viene così divisa in due pati, ciascuna delle quali pende il nome di aco e il segmento che unisce i due punti e si chiama coda. aco coda diameto I due punti e sono gli estemi sia dell aco sia della coda e si dice che l aco sottende la coda o che l aco è sotteso dalla coda : l aco e la coda si dicono coispondenti. Figua 17 La coda più lunga che possiamo disegnae è quella passante pe il cento e pende il nome di diameto d; esso è ovviamente il doppio del aggio: d = 2. iciamo che: Si chiama aco la pate di ciconfeenza limitata da due punti e, detti estemi dell aco, e si indica con. Si chiama coda ogni segmento che unisce due punti della ciconfeenza. gni coda passante pe il cento si chiama diameto. Gli estemi del diameto dividono la ciconfeenza in due achi conguenti, detti semiciconfeenze, e il cechio in due pati conguenti, dette semicechi. onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e in essa disegniamo una coda. Il tiangolo è ovviamente isoscele; infatti e sono i aggi della ciconfeenza e sono quindi conguenti; nel tiangolo l altezza, la bisettice e la mediana elativa alla base coincidono, quindi l altezza H è anche mediana, pe cui H = H. Possiamo alloa concludee dicendo che: H Figua 18 La pependicolae condotta dal cento a una qualsiasi coda divide tale coda in due pati conguenti; essa è quindi asse della coda. Il segmento H è la distanza della coda dal cento.
10 Geometia e misua onsideiamo due code e fa loo conguenti, uniamo i loo estemi con il cento e consideiamo i tiangoli e. Questi tiangoli, avendo i lati obliqui conguenti in quanto tutti aggi della ciconfeenza e le basi conguenti in quanto sono le due code che stiamo consideando, se li sovapponiamo coincidono pefettamente. Essendo quindi conguenti, avanno anche le due altezze H e K, che sono anche le distanze delle due code dal cento, conguenti. educiamo che: K H Figua 19 ode di una stessa ciconfeenza fa loo conguenti hanno uguale distanza dal cento. Le pati di un cechio In un cechio di cento disegniamo due aggi; essi incontano la ciconfeenza in due punti e e individuano l aco. La pate di cechio limitata dall aco e dai due aggi si chiama settoe cicolae (Fig. 20a) e il cento e il aggio del cechio sono il cento e il aggio del settoe cicolae. In un cechio di cento, consideiamo due punti e, la coda che essi individuano e i due achi coispondenti ; ciascuna delle due pati di cechio limitata dalla coda e dagli achi coispondenti si chiama segmento cicolae a una base (Fig. 20b). In un cechio di cento disegniamo due code paallele; la pate di cechio limitata da queste due code si chiama segmento cicolae a due basi (Fig. 20c). segmento cicolae a una base settoe cicolae a) b) segmento cicolae a due basi c) Figua 20
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 11 ngoli al cento e alla ciconfeenza onsideiamo un cechio di cento e aggio e in esso disegniamo due semiette qualsiasi a e b uscenti da. Siano e i punti nei quali esse incontano la ciconfeenza e l aco che essi individuano; i due angoli Ô e Ǒ che si ottengono, aventi il vetice nel cento del cechio, si chiamano angoli al cento. iciamo che l aco è il coispondente dell angolo al cento Ô oppue che l angolo al cento Ô insiste sull aco e anche che l aco è il coispondente dell angolo al cento Ǒ oppue che l angolo al cento Ǒ insiste sull aco. Possiamo die quindi che: Si chiama angolo al cento di una ciconfeenza ogni angolo avente il vetice coincidente con il cento della ciconfeenza. Paticolai angoli al cento sono: 1) quello convesso fomato da due semiette pependicolai (Fig. 22): esso insiste su un aco che è la quata pate della ciconfeenza ed è etto: â = 90 2) entambi gli angoli fomati da due semiette adiacenti, cioè dal diameto: insistono su achi conguenti alla semiciconfeenza e sono piatti (Fig. 23): â = â =180 aˆ a' ˆ â Figua 22 b a RS LIRI EUTIN SP Figua 21 Figua 23 3) quello fomato da due semiette sovapposte: insiste su tutta la ciconfeenza ed è un angolo gio (Fig. 24): â = 360 â Figua 24
12 Geometia e misua onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio ; su di essa pendiamo un punto P e disegniamo due semiette secanti qualsiasi uscenti da P. Siano e i punti in cui esse incontano la ciconfeenza e l aco che individuano; l angolo Pˆ che si ottiene, avente il vetice P sulla ciconfeenza, si chiama angolo alla ciconfeenza (Fig. 25). P a b Figua 25 I lati dell angolo alla ciconfeenza sono le due semiette secanti uscenti da P; esse possono essee anche una secante e l alta tangente (Fig. 26). P b Possiamo quindi die che: a Figua 26 Si chiama angolo alla ciconfeenza un angolo che ha il vetice sulla ciconfeenza e i cui lati possono essee entambi secanti oppue uno secante e l alto tangente alla ciconfeenza. Un paticolae angolo alla ciconfeenza è quello i cui lati sono uno tangente e l alto secante e quest ultimo coincide con un diameto; come vedi, esso insiste su un aco che coincide con una semiciconfeenza (Fig. 27). Poiché il diameto e la tangente sono pependicolai, l angolo alla ciconfeenza consideato è un angolo etto: â = 90. a â Se in una ciconfeenza consideiamo un aco qualsiasi, possiamo ossevae che (Fig. 28): esiste un solo angolo al cento che insiste su tale aco; esistono infiniti angoli alla ciconfeenza che insistono su tale aco; Figua 27 quindi: a ogni angolo alla ciconfeenza coisponde un solo angolo al cento; a ogni angolo al cento coispondono infiniti angoli alla ciconfeenza. Figua 28
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 13 Popietà degli angoli al cento e degli angoli alla ciconfeenza onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e in essa due angoli al cento che insistono su due achi conguenti: @. I due tiangoli e hanno tutti i lati ispettivamente conguenti, sono quindi conguenti e, in paticolae, saà â @ â. Ne deduciamo che: a' ˆ aˆ ngoli al cento che insistono su achi conguenti sono ta loo conguenti. Figua 29 onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e in essa un aco. isegniamo l angolo al cento e uno degli infiniti angoli alla ciconfeenza che insistono su tale aco e misuiamone con il goniometo le ispettive ampiezze; ci accogeemo che â @ 2bˆ, ovveo che ˆ b @ 1 aˆ. Poiché ciò si veifica sempe pe qualsiasi aco e in una qual- 2 bˆ aˆ siasi ciconfeenza, ne deduciamo che: In una qualsiasi ciconfeenza ogni angolo alla ciconfeenza è la metà dell angolo al cento che insiste sullo stesso aco. Figua 30 onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio, e su di essa un aco ; disegniamo alcuni degli infiniti angoli alla ciconfeenza che insistono su tale aco. Questi angoli coispondono tutti allo stesso angolo al cento â quindi, pe quanto abbiamo detto pima, sono tutti conguenti alla metà di quest angolo â e, di conseguenza, sono tutti fa loo conguenti. Ne deduciamo che: aˆ Tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco sono ta loo conguenti. Figua 31 onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e in essa due achi conguenti @. isegniamo due angoli alla ciconfeenza che insistono su tali achi e osseviamo che questi angoli sono i coispondenti di due angoli al cento che, poiché insistono su achi conguenti, sono conguenti. Saanno quindi ta loo conguenti anche i due angoli alla ciconfeenza che abbiamo consideato. Ne deduciamo che: ngoli alla ciconfeenza che insistono su achi conguenti sono ta loo conguenti. Figua 32
14 Geometia e misua onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e in essa un angolo al cento â che insista su una semiciconfeenza e uno degli angoli alla ciconfeenza bˆ che insista sulla stessa semiciconfeenza. sseviamo che: ˆ b @ 1 aˆ, pe quanto detto pima; 2 P bˆ aˆ â = 180, poiché insiste su una semiciconfeenza; Figua 33 di conseguenza: bˆ = 90, cioè bˆ è un angolo etto. onsideiamo oa il tiangolo P; esso, avendo un angolo etto, è un tiangolo ettangolo con l ipotenusa coincidente con un diameto della ciconfeenza. Ne deduciamo che: In una ciconfeenza ogni angolo alla ciconfeenza che insiste su una semiciconfeenza è un angolo etto. Tutti i tiangoli aventi un vetice appatenente a una ciconfeenza e un lato coincidente con un diameto della ciconfeenza stessa sono tiangoli ettangoli. Pe un pimo contollo Figua 34 RS LIRI EUTIN SP 1. sseva la figua e completa: È un..., limitato da una linea chiusa detta... Il segmento è il... Il segmento è il... Il segmento è una... 2. sseva le figue e completa: Le te pati coloate sono nell odine una..., un... e un... 1 3 2 3. Nella figua data, l aco è ampio 30. isegna l angolo al cento e un angolo alla ciconfeenza di vetice che insistono sull aco. ompleta: Ô =... ; Ĉ =....
1 iconfeenza e cechio Esecizi da pag. 108 a pag. 124 15 Il teoema di Pitagoa e la ciconfeenza Fa le vaie applicazioni del teoema di Pitagoa alcune iguadano anche la ciconfeenza. lla luce di quanto abbiamo studiato possiamo adesso esaminale. Se in una ciconfeenza insciviamo un tiangolo avente un lato coincidente con il diameto, come abbiamo visto, questo tiangolo è ettangolo e in esso i = d. bbiamo quindi le seguenti elazioni: c d 2 2 2 2 d = + c, = d c, c = d 2 2 Figua 35 Se in una ciconfeenza tacciamo una coda, il aggio passante pe un estemo della coda e la distanza della coda dal cento, otteniamo un tiangolo ettangolo dove i =, c = d e =. 2 d bbiamo quindi le seguenti elazioni: 2 2 = d + Ê d Ë Á ˆ 2 Ê ˆ, = Á, 2 Ë 2 2 2 Figua 36 = 2 d 2 2 Se in una ciconfeenza tacciamo la tangente da un punto P, il aggio passante pe il punto di tangenza T e il segmento P, otteniamo, come abbiamo visto, un tiangolo ettangolo nel punto di tangenza. In esso c =, = PT e i = P. T i P bbiamo quindi le seguenti elazioni: 2 2 2 2 P = + TP, = P TP, Figua 37 TP = P 2 2
16 mi autovaluto Mettiti alla pova eseguendo quanto ichiesto. Veifica i isultati alla fine del volume e segna 1 punto pe ogni isposta esatta. ompleta poi la tua autovalutazione. 1. Scivi veo o falso accanto a ogni fase. a) La ciconfeenza è una linea apeta.... b) I punti di una ciconfeenza sono equidistanti dal cento.... c) Un cechio è fomato dai punti della ciconfeenza che lo limita e da quelli ad essa inteni.... 2. ompleta. a) Un punto esteno alla ciconfeenza ha una distanza dal cento... del aggio. b) Una etta secante una ciconfeenza ha una distanza dal cento... del aggio. c) La distanza dei centi di due ciconfeenze tangenti estenamente è...... alla... dei aggi. 3. Segna il completamento esatto. Un segmento che unisce due punti della ciconfeenza si chiama: a) aggio; b) aco; c) coda. 4. ompleta con il temine esatto. La pate di cechio limitata da: a) due code paallele si chiama...... b) due aggi e l aco da essi individuato si chiama... c) una coda e dall aco coispondente si chiama... 5. ompleta. a) Un angolo avente il vetice sulla ciconfeenza si chiama...... b) Un angolo avente il vetice coincidente con il cento della ciconfeenza si chiama... 6. ompleta. a) Un angolo al cento fomato da due semiette adiacenti è un angolo...... b) Un angolo al cento fomato da due semiette sovapposte è un angolo...... c) Un angolo al cento fomato da due semiette pependicolai è un angolo... 7. ompleta. a) Un angolo alla ciconfeenza è...... dell angolo al cento coispondente. b) ue angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco sono... c) Un angolo alla ciconfeenza che insiste su una semiciconfeenza è un angolo... 8. Scivi la misua mancante (â è un angolo alla ciconfeenza e bˆ l angolo al cento coispondente). a) â = 40 ; bˆ =... b) â =...; bˆ = 100. Su 21 isposte, ne ho indovinate... Secondo me è stato un isultato *... Su questa unità di appendimento penso quindi di **...... Mi piaceebbe sapee che cosa ne pensa il mio insegnante...... * ttimo; buono; disceto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** ve capito bene tutto; avee ancoa qualche dubbio; avee molte incetezze.
unità di appendimento 2 iconfeenza, cechio e poligoni Poligoni inscitti e cicoscitti I poligoni egolai ea di un poligono cicoscitto he cosa sapò e che cosa sapò fae dopo ave studiato questi agomenti? RS LIRI EUTIN SP on lo studio di questa unità di appendimento impaeai: i concetti di poligono inscitto e cicoscitto e le loo popietà; le caatteistiche e le popietà di un poligono egolae; le fomule pe il calcolo dell aea di un poligono cicoscitto; e alla fine sapai: iconoscee e disegnae poligoni inscitti e cicoscitti; individuae le popietà di questi poligoni; iconoscee e disegnae poligoni egolai; iconoscee paticolai popietà di questi poligoni in elazione a una ciconfeenza; isolvee poblemi sul calcolo dell aea dei poligoni cicoscitti a una ciconfeenza. Vedai come è possibile inscivee e cicoscivee un poligono a una ciconfeenza e amplieai le tue conoscenze sul calcolo delle aee. Pe affontae lo studio di questi agomenti icoda che devi sapee: i concetti di ciconfeenza e cechio; il concetto di poligoni e le loo popietà; il concetto di aea.
18 Geometia e misua Poligoni inscitti e cicoscitti onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e un qualsiasi poligono avente tutti i suoi vetici sulla ciconfeenza (Fig. 1). Un tale poligono si dice inscitto nella ciconfeenza e la ciconfeenza isulteà cicoscitta al poligono. I vetici di questo poligono sono tutti equidistanti dal cento in quanto tutti i segmenti,,, e E sono aggi della ciconfeenza. Se consideiamo gli assi dei lati del poligono, notiamo che essi passano tutti pe uno stesso punto, il cicocento, che coincide con il cento della ciconfeenza. Questa è un impotante popietà dei poligoni inscitti che possiamo così enunciae: Un poligono si può inscivee in una ciconfeenza se gli assi di tutti i suoi lati si incontano in un unico punto (cicocento) che è il cento della ciconfeenza. vveo: Un poligono si può inscivee in una ciconfeenza avente il cento coincidente con il suo cicocento, che è unico. Se un poligono è inscitto in una ciconfeenza di cento e aggio, il cento e il aggio sono ispettivamente il cicocento e il aggio del poligono. E Figua 1 onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e un poligono avente tutti i lati tangenti alla ciconfeenza (Fig. 2). Un tale poligono si dice cicoscitto alla ciconfeenza, che isulteà inscitta nel poligono. I lati del poligono sono tutti equidistanti dal cento in quanto tutti i segmenti H, M, N, P e Q sono aggi della ciconfeenza. Il cento, pe essee equidistante da tutti i lati, deve appatenee alla bisettice di ogni angolo del poligono, cioè il cento deve coincidee con il punto di inconto delle bisettici, ovveo con l incento. Questa è un impotante popietà dei poligoni cicoscitti che possiamo così enunciae: M H E Q P N Figua 2 Un poligono si può cicoscivee a una ciconfeenza se le bisettici di tutti i suoi angoli si incontano in un unico punto che saà il cento della ciconfeenza.
2 iconfeenza, cechio e poligoni Esecizi da pag. 125 a pag. 136 19 vveo: Un poligono si può cicoscivee a una ciconfeenza avente il cento coincidente con il suo incento, che è unico. Il cento e il aggio della ciconfeenza inscitta sono ispettivamente l incento e l apotema del poligono. Tiangoli inscitti e cicoscitti Pe quanto detto sopa, un tiangolo si può sempe inscivee e cicoscivee a una ciconfeenza. In esso infatti, come sai, sono unici il cicocento e l incento. isegniamone alcuni. Tiangolo acutangolo: in esso cicocento (Fig. 3a) e incento (Fig. 3b) sono sempe inteni al tiangolo. a I a) b) Figua 3 Tiangolo ettangolo: in esso il cicocento coincide con il punto medio dell ipotenusa (Fig. 4a) e l incento è sempe inteno (Fig. 4b). a) b) I a Figua 4 Tiangolo ottusangolo: in esso il cicocento è esteno (Fig. 5a) e l incento è sempe inteno (Fig. 5b). I a) b) a Figua 5
20 Geometia e misua Quadilatei inscitti e cicoscitti I quadilatei, invece, non sono sempe inscittibili o cicoscittibili a una ciconfeenza. echiamo di scopie quali sono le condizioni che ci pemettono di inscivee e cicoscivee un quadilateo a una ciconfeenza. onsideiamo il quadilateo inscitto (Fig. 6) e osseviamo l angolo alla ciconfeenza â e il coispondente angolo al cento â : sappiamo che â =2â. sseviamo anche l angolo alla ciconfeenza bˆ e il coispondente angolo al cento bˆ ; anche pe essi vale la elazione: bˆ =2bˆ. onsideiamo adesso la loo somma: â +bˆ =2(â + bˆ). Ma â +bˆ =360, quindi â + bˆ = 180. Lo stesso discoso si può ipetee ifeendoci agli alti due angoli opposti  e Ĉ del quadilateo; in definitiva possiamo quindi die che: Un quadilateo può essee inscitto in una ciconfeenza se gli angoli opposti sono supplementai; in esso esiste ed è unico il cicocento. Sono quindi inscivibili in una ciconfeenza il ettangolo, il quadato e il tapezio isoscele (Fig. 7). Figua 7 onsideiamo adesso il quadilateo cicoscitto alla ciconfeenza di cento e aggio (Fig. 8). sseviamo i segmenti F e E: essi sono conguenti in quanto segmenti individuati dal punto e dai punti di tangenza F ed E. Pe lo stesso motivo sono conguenti tutti gli alti segmenti, pe cui possiamo scivee: F @ E E @ H H @ G G @ F onsideiamo adesso i lati opposti del quadilateo: = F + F e = H + H = G + G e = E + E e facciamone la somma: + = F + F + H + H + = G + G + E + E Notiamo che tali somme sono uguali, cioè: + = +. Possiamo quindi die che: F G aˆ b' ˆ a' ˆ b ˆ Figua 6 RS LIRI EUTIN SP E H Figua 8 Un quadilateo può essee cicoscitto a una ciconfeenza se la somma dei lati opposti è uguale; in esso esiste ed è unico l incento.
2 iconfeenza, cechio e poligoni Esecizi da pag. 125 a pag. 136 21 Sono quindi senz alto cicoscivibili il quadato e il ombo (Fig. 9). a I I a Figua 9 Pe un pimo contollo sseva le figue e scivi veo o falso accanto alle fasi a esse elative: Il poligono della Fig. 1 è inscitto in una ciconfeenza.... Il poligono della Fig. 2 è inscitto in una ciconfeenza.... Il segmento della Fig. 2 è l apotema del poligono.... Il poligono della Fig. 3 è cicoscitto a una ciconfeenza.... Il segmento della Fig. 4 è l apotema del poligono.... Figua 1 Figua 2 Figua 3 Figua 4 I poligoni egolai onsideiamo una ciconfeenza di cento e aggio e suddividiamo in pati uguali, pe esempio in 5 pati uguali, l angolo al cento che, ovviamente, misua 360. gni angolo saà ampio 360 : 5 = 72 ; i 5 angoli, essendo conguenti, individuano sulla ciconfeenza achi e code conguenti (Fig. 10). Il poligono E è quindi equilateo. sseviamo i vai tiangoli E, E,..., : essi sono tutti conguenti e isosceli e avanno quindi gli angoli alla base, ÂE, Ê, Ê, Eˆ,..., conguenti. Ne segue che sono conguenti tutti gli angoli del poligono: Â, Ê, ˆ, Ĉ e ˆ. Il poligono E è quindi equiangolo e, in definitiva, isulta egolae; il cento è il suo incento e anche il suo cicocento. Possiamo quindi die che: E Figua 10 Un poligono egolae è sempe inscittibile e cicoscittibile a una ciconfeenza. In esso cicocento e incento coincidono in un unico punto, che è anche il cento sia della ciconfeenza inscitta sia di quella cicoscitta e si chiama cento del poligono. Il aggio della ciconfeenza cicoscitta è il aggio del poligono e il aggio di quella inscitta è l apotema del poligono (Fig. 11). a Figua 11
22 Geometia e misua ssevazioni sull esagono egolae isegniamo un esagono egolae inscitto in una ciconfeenza, suddividendo in sei angoli conguenti l angolo al cento (Fig. 12). Pe quanto detto pima otteniamo un esagono fomato da sei tiangoli conguenti aventi l angolo al vetice di 60 e ogni angolo alla base pue di 60, cioè i sei tiangoli sono conguenti ed equilatei. i conseguenza ciascun lato dell esagono è conguente al aggio della ciconfeenza. iciamo che: F 60 60 60 E In ogni esagono egolae il lato è conguente al aggio della ciconfeenza cicoscitta. Figua 12 ssevazioni sul tiangolo equilateo onsideiamo un tiangolo equilateo inscitto e cicoscitto a una ciconfeenza. ome sappiamo il cicocento del tiangolo coincide con il cento della ciconfeenza inscitta e l incento con il cento della ciconfeenza cicoscitta (Fig. 13). Essendo il tiangolo equilateo, bisettice, mediana, altezza e asse coincidono con un unico segmento: EH; incento, cicocento, otocento e baicento coincidono in un unico punto:. Il cento è dunque baicento e il segmento EH mediana del nosto tiangolo e, poiché il baicento divide ogni mediana in due pati una il doppio dell alta, abbiamo E = 2H. iciamo che: F E G H Figua 13 In ogni tiangolo equilateo il aggio della ciconfeenza cicoscitta è il doppio del aggio della ciconfeenza inscitta. vveo: In ogni tiangolo equilateo l apotema è la metà del aggio della ciconfeenza cicoscitta. ea di un poligono cicoscitto onsideiamo il poligono E cicoscitto a una ciconfeenza di cento e aggio (Fig. 14). ome abbiamo visto il poligono si può suddividee in tanti tiangoli quanti sono i suoi lati congiungendo i vetici con il cento della ciconfeenza. Nel nosto caso avemo i tiangoli,,, E ed E, che hanno pe base ispettivamente i lati del poligono e le altezze conguenti in quanto tutte coincidenti con il aggio della ciconfeenza inscitta. sseviamo che l aea del poligono E è uguale alla somma delle aee di tutti questi tiangoli. H a E Figua 14