Indice cpitolo Insiemi ed elementi di logic... 7 8 Insiemi... Operzioni con gli insiemi... 8 Introduzione ll logic... 9 Connettivi e tvole di verità... Espressioni proposizionli... 0 Predicti e quntifictori... Insiemi e logic... 9 Complementi di logic... in sintesi... ppliczioni informtiche... 7 cpitolo Relzioni e funzioni... 8 7 Prodotto crtesino... 9 Relzioni inrie... Relzioni di equivlenz... 9 Relzioni di ordine... unzioni... 7 Leggi di composizione... Complementi... 0 in sintesi... ppliczioni informtiche... cpitolo Di numeri nturli i numeri reli... 09 7 L insieme N dei numeri nturli... 0 Le operzioni nell insieme dei numeri nturli L insieme Z dei numeri interi... 9 Le operzioni nell insieme dei numeri interi... L insieme Q dei numeri rzionli... Le operzioni nell insieme dei numeri rzionli.. Rppresentzione decimle dei numeri rzionli... 9 8 Richimi su rpporti, proporzioni, percentuli 9 Introduzione elementre dell insieme R dei numeri reli... 0 Sistemi di numerzione... 9 in sintesi... 7 ppliczioni informtiche... ESERCIZI Insiemi... Operzioni con gli insiemi... Introduzione ll logic... 80 Connettivi e tvole di verità... 8 Espressioni proposizionli... 9 Predicti e quntifictori... 9 7 Insiemi e logic... 0 8 Complementi di logic... 0 Test di utoverific... Prov strutturt conclusiv sugli insiemi... sugli elementi di logic... 7 ESERCIZI Prodotto crtesino... 9 Relzioni inrie... Relzioni di equivlenz... 7 Relzioni di ordine... 80 unzioni... 8 Leggi di composizione... 0 Test di utoverific... 0 Prov strutturt conclusiv... 08 ESERCIZI 7 L insieme N dei numeri nturli... 9 Le operzioni nell insieme dei numeri nturli 70 L insieme Z dei numeri interi... 78 Le operzioni nell insieme dei numeri interi... 80 L insieme Q dei numeri rzionli... 90 Le operzioni nell insieme dei numeri rzionli.. 9 Rppresentzione decimle dei numeri rzionli... 8 Richimi su rpporti, proporzioni, percentuli 0 9 Introduzione elementre dell insieme R dei numeri reli... 0 Sistemi di numerzione... Test di utoverific... Prov strutturt conclusiv... II
Indice cpitolo Monomi e polinomi... Generlità sul clcolo letterle... Monomi... 7 Operzioni con i monomi... Polinomi... 7 ddizione e sottrzione di polinomi... Moltipliczione di polinomi... 7 Prodotti notevoli... 8 8 Divisione di polinomi Regol di Ruffini... in sintesi... 77 ppliczioni informtiche... 80 cpitolo Scomposizione di polinomi e frzioni lgeriche Scomposizione di polinomi in fttori... 7 Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo di polinomi... 90 rzioni lgeriche... 9 ddizione lgeric di frzioni lgeriche... 9 Moltipliczione, divisione ed elevmento potenz di frzioni lgeriche... 99 Espressioni con frzioni lgeriche... 07 in sintesi... 0 ppliczioni informtiche... cpitolo Equzioni di primo grdo Generlità sulle equzioni... 8 Principi di equivlenz delle equzioni... 87 Risoluzione delle equzioni numeriche intere... 9 Risoluzione delle equzioni numeriche frtte... 9 Risoluzione e discussione delle equzioni letterli intere... 9 Risoluzione di prolemi con equzioni... 0 in sintesi... 0 ppliczioni informtiche... 0 ESERCIZI Generlità sul clcolo letterle... 8 Monomi... 9 Operzioni con i monomi... 9 Polinomi... ddizione e sottrzione di polinomi... Moltipliczione di polinomi... 0 7 Prodotti notevoli... 8 Divisione di polinomi. Regol di Ruffini... 8 Soluzioni degli esercizi... 0 Test di utoverific... Prov strutturt conclusiv... ESERCIZI Scomposizione di polinomi in fttori... 7 Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo di polinomi... rzioni lgeriche... ddizione lgeric di frzioni lgeriche... Moltipliczione, divisione ed elevmento potenz di frzioni lgeriche... 7 Espressioni con frzioni lgeriche... 7 Soluzioni degli esercizi... 78 Test di utoverific... 79 Prov strutturt conclusiv... 8 ESERCIZI Generlità sulle equzioni... 0 Principi di equivlenz delle equzioni... Risoluzione delle equzioni numeriche intere... 9 Risoluzione delle equzioni numeriche frtte... Risoluzione e discussione delle equzioni letterli intere... 9 Risoluzione di prolemi con equzioni... 0 Soluzioni degli esercizi... 7 Test di utoverific... 8 Prov strutturt conclusiv... 9 Sched ppendice Gli lgoritmi... 0 Sched ppendice Il foglio elettronico Excel... Sched ppendice Il softwre mtemtico Derive... 8 Risposte esercizi conclusivi... III
cpitolo di Insiemi ed elementi logic prerequisiti Possedere le nozioni fondmentli di multiplo e di divisore nei numeri nturli e di ordinmento dei numeri nturli e interi Conoscere in modo intuitivo le principli figure geometriche conoscenze cquisire l itudine un rgionmento logico Conoscere il linguggio dell teori degli insiemi Cpire il concetto di proposizione e sper ssegnre il vlore di verità Conoscere i metodi di deduzione in mtemtic ilità Sper eseguire le operzioni con gli insiemi Sper utilizzre i connettivi logici e costruire le tvole di verità Sper verificre l vlidità di un rgionmento Sper utilizzre il quntifictore universle e il quntifictore esistenzile percorso INSIEMI LOGIC Operzioni con gli insiemi Predicti Proposizioni Connettivi L deduzione in mtemtic Regole di deduzione
cpitolo Insiemi ed elementi di logic edere esercizi pg. Insiemi Nel linguggio comune l prol insieme è utilizzt per indicre rggruppmenti di oggetti reli o strtti. L teori degli insiemi è recente, poiché, mentre nei secoli precedenti l XIII si prlv genericmente di insiemi in modo discorsivo, lo sviluppo dell teori è oper del mtemtico Georg Cntor (8-98). L teori degli insiemi si è rivelt di importnz fondmentle per l mtemtic, si per gli spetti teorici, si per le ppliczioni i prolemi dell lger, dell nlisi, del clcolo delle proilità ecc. edere Geometri, cpitolo Non è possiile definire in modo rigoroso il concetto di insieme, perché nell definizione si dovree fre uso di sinonimi, quli ggregto, collezione, clsse ecc., che loro volt dovreero essere definiti medinte ltri sinonimi, e così vi. Il concetto di insieme è ssunto quindi come concetto primitivo. nlogmente sono ssunti come primitivi i concetti di elemento e di pprtenenz. llo stesso modo si procede in Geometri per i concetti di punto, rett, pino. differenz del linguggio comune si può prlre di insieme in senso mtemtico solo qundo è possiile decidere se un elemento pprtiene o non pprtiene ll insieme. Costituiscono insiemi: i mesi dell nno; le vocli dell lfeto itlino; le utovetture prodotte nell nno 007 dll IT, perché dt un qulsisi utovettur possimo stilire se è un mcchin dell IT e in che nno è stt prodott; i dipendenti di un società, perché possimo stilire se un lvortore è impiegto in un determint società; i numeri nturli, inftti dto un numero qulsisi possimo stilire se è un numero nturle o meno; i numeri dispri; i punti di un rett prefisst. Non costituiscono insiemi: i cittdini utorevoli, inftti non è possiile stilire se un cittdino è utorevole o non lo è perché il giudizio è soggettivo; gli lunni simptici dell ª C: nche in questo cso il giudizio è soggettivo: un lunno può risultre simptico per lcuni m non per ltri; le pietnze gustose, poiché un pitto può risultre gustoso per lcune persone, m non per ltre. prim di continure Esminre se sono insiemi i seguenti rggruppmenti: i giorni dell settimn; i sentori dell Repulic itlin; i mesi di 0 giorni; le città itline più popolte; le montgne lte d Europ; i comuni itlini con più di 000 itnti. Sono insiemi finiti quelli i cui elementi possono essere tutti elencti, come i primi quttro del precedente. Sono insiemi infiniti quelli dei quli non è possiile elencre gli elementi, come gli ultimi tre del precedente.
prgrfo Insiemi Nel corso del nostro studio conosceremo lcuni insiemi infiniti che indichimo con i simoli clssici: N Z = = { numeri nturli} = { 0,,,,,,,...} { numeri interi} = {...,,, 0,,,,,...} = = eri che sono il rpporto di due Q numeri rzionli insieme formto di num numeri interi R = { numeri reli} = insieme formto di numeri rzionli e di numeri irrzionli Si è soliti indicre gli insiemi con lettere miuscole dell lfeto, B, C,, e gli elementi pprtenenti essi con lettere minuscole,, c,, x, y, Per esprimere che un elemento pprtiene un insieme si utilizz il simolo, che è detto simolo di pprtenenz. Per esprimere che un elemento non pprtiene un insieme si rr il simolo di pprtenenz e si scrive. Così, dto l insieme delle vocli dell lfeto itlino, si scrive:, e,..., m, p,... Un insieme può essere individuto in due modi: per elenczione, ossi fcendo l list di tutti gli elementi che pprtengono ll insieme e rcchiudendoli fr due prentesi grffe; medinte un proprietà crtteristic, ossi ssegnndo un proprietà soddisftt d tutti e soli gli elementi dell insieme. L insieme dei numeri nturli divisori di può essere indicto: per elenczione: = {,,,,, 8,, } con proprietà crtteristic: = x N x è divisore di che si legge: è l insieme degli x nturli, tli che x è divisore di. L espressione essere divisore di individu un proprietà definit nell insieme dei numeri nturli. L insieme delle potenze di 0 con esponente un numero nturle può essere indicto: per elenczione: B = {, 0, 00, 000,...} dove i puntini stnno indicre che, essendo B un insieme infinito, non si possono elencre tutti i suoi elementi. con proprietà crtteristic: B = x N x = 0 k, con k N prim di continure Trovre due insiemi, uno finito e l ltro infinito, individuti si per elenczione, si medinte proprietà crtteristic. imo detto che per individure un insieme l condizione fondmentle è l possiilità di poter decidere con ssolut sicurezz se un elemento pprtiene, o non pprtiene, ll insieme. tle scopo occorre che l espressione ssegnt per individure l insieme non si migu. RCS Liri S.p.. - Divisione Eduction, Milno
cpitolo Insiemi ed elementi di logic L espressione le utomoili veloci non individu lcun insieme perché non è univoco il concetto di velocità ; si dovree precisre, per, le utomoili che possono rggiungere o superre i 80 km/h. L espressione: i numeri fortunti non individu un insieme perché l fortun non è un ttriuto che rigurd i numeri. Per visulizzre meglio gli insiemi si utilizzno rppresentzioni grfiche, dette digrmmi di Eulero-enn, molto note fin dll scuol primri. Si trcci un line chius non intreccit e nell su regione intern si segnno i punti rppresenttivi degli elementi dell insieme. Individuimo per elenczione e medinte l proprietà crtteristic i seguenti insiemi e poi rppresentimoli medinte un digrmm di Eulero-enn. fig. L insieme delle vocli dell lfeto itlino. per elenczione: = {, e, i, o, u } con l proprietà crtteristic: = { x x è vocle dell lfeto itlino } e o i u Rppresentimo l insieme medinte un digrmm di Eulero-enn (fig. ). fig. 7 D 9 L insieme D dei numeri dispri. per elenczione: con l proprietà crtteristic: D = {,,, 7, 9,,...} = { = + } D = x N x è dispri x N x n con n N Rppresentimo l insieme D medinte un digrmm di Eulero-enn (fig. ). Considerimo due prticolri insiemi che semrno in contrsto con il concetto primitivo di insieme: l insieme unitrio, che è formto d un solo elemento; l insieme vuoto, che è privo di elementi. Entrmi questi insiemi sono definiti ssegnndo un proprietà crtteristic. Considerimo l insieme: E = { x N x + = } = { } E = { } è l insieme unitrio perché comprende un solo elemento. Se si ssegn un proprietà crtteristic che non è soddisftt d lcun elemento dell insieme si ottiene l insieme vuoto, che si indic con il simolo, oppure con.
prgrfo Insiemi 7 L insieme dei numeri nturli compresi fr e, che si indic: = { x N < x < } = è un insieme vuoto perché è privo di elementi, inftti non vi è nessun numero nturle compreso fr due e tre. L insieme G = { x N x = } = è un insieme vuoto perché nessun numero nturle elevto l qudrto dà un risultto negtivo. prim di continure Determinre medinte l proprietà crtteristic un insieme formto d un solo elemento e un insieme vuoto. Uguglinz di insiemi Si dice che due insiemi sono uguli se sono formti con gli stessi elementi, indipedentemente dll ordine con il qule sono elencti. 8 Si l insieme delle lettere dell prol orso e si B l insieme delle lettere dell prol rosso : = { o, r, s} B = { r, o, s} I due insiemi sono uguli, = B, perché sono formti con gli stessi elementi. Dll si evidenzi che ogni elemento compre un sol volt e non è corretto ripetere lo stesso elemento. fig. B Sottoinsiemi Considerimo l insieme N dei numeri nturli e l insieme P dei numeri primi (cioè quei numeri nturli che mmettono come divisori distinti solo se stessi e uno). L insieme P dei numeri primi si può scrivere: Dll definizione di numero primo si not che ogni numero primo è un numero nturle. In questo cso si dice che P è sottoinsieme dell insieme dei numeri nturli. In generle: = P = x N x è primo,,, 7,,,... ssegnto un insieme, si dice che un insieme B è sottoinsieme di, e si scrive B, se e solo se ogni elemento di B è nche elemento di. Per indicre che B è contenuto in (B potree nche coincidere con ) si utilizz il simolo, detto simolo di inclusione fr i due insiemi. Per indicre che B non è sottoinsieme di si rr il simolo di inclusione:.
cpitolo Insiemi ed elementi di logic 9 È dto l insieme Considerimo gli insiemi: = { x x è mese dell nno }. B x x mese dell nno di 0 giorni = C = x x mese dell nno con meno di 0 giorni L insieme B è sottoinsieme dell insieme e si scrive B. L insieme unitrio ferio è sottoinsieme di e si scrive C. C = fig. È ssegnto l insieme: = {,,,,,, 7, 8, 9, 0} 8 7 9 C Si possono considerre vri sottoinsiemi di, per : B,,, 8, 0 C,, 9 D,,, 7 = = = Si scrive B, C, D. Rppresentimo grficmente gli insiemi e C (fig. ). 0 L insieme E = {,,, } non è sottoinsieme di perché l elemento pprtiene E, m non pprtiene d e si scrive E. Un sottoinsieme B di un insieme si può individure ssegnndo un proprietà crtteristic soddisftt solo dgli elementi di che pprtengono B. 0 Il sottoinsieme D dei numeri nturli multipli di 0 si può scrivere: = D = x N x è multiplo di 0 0, 0, 0, 0, 0, 0,... r i sottoinsiemi di un insieme vi sono due insiemi prticolri, detti sottoinsiemi impropri e precismente: l insieme è sottoinsieme di se stesso perché soddisf l definizione di sottoinsieme; l insieme è sottoinsieme di ogni insieme perché si può individure medinte un proprietà crtteristic non soddisftt d lcun elemento. I sottoinsiemi P che contengono lcuni elementi di, m non li contengono tutti, sono detti sottoinsiemi propri e si possono nche indicre con l scrittur P, con cui si esclude che P si ugule d. Dto l insieme = { 0,,,, 8, 0} : = il sottoinsieme B = x x è pri è sottoinsieme improprio di ; = il sottoinsieme C = x x è divisore di, perché nessun elemento di è divisore di, quindi C è sottoinsieme improprio di ;
prgrfo Insiemi c è un sottoinsieme proprio di e si può scri- Il sottoinsieme D = x x vere D. { è multiplo di } = { 0, } prim di continure d Dto l insieme,, c, d, e, f, g, indicre qulche sottoinsieme di, si proprio si improprio, e rppresentrli con i digrmmi di Eulero-enn. = Non si devono confondere i due simoli e, perché indic l pprtenenz di un elemento un insieme, quindi un relzione fr un elemento e un insieme, mentre indic un relzione fr due insiemi. ssegnto l insieme = {,,,, } è corretto scrivere: per l pprtenenz:, per l inclusione: {, }, { }, {,, } È invece errto scrivere, per :, { }, {,, } Insieme delle prti ssegnto un insieme si possono formre vri sottoinsiemi propri di, oltre i due insiemi impropri (ossi stesso e l insieme vuoto). L insieme formto d tutti i sottoinsiemi di un insieme è detto insieme delle prti di ed è indicto con (). Dto l insieme = {,, c } si possono costruire i seguenti sottoinsiemi con: zero elementi: ; un elemento: due elementi: { }, { }, { c }; {, }, { c, }, { c, }; tre elementi: Perciò si h: { c,, } =. ( ) = { },,, c,,, c,, c,,. fig. c ( ) { } { } {, c } { c } {, } {, c } Con i digrmmi di Eulero-enn si hnno le rppresentzioni riportte in figur. È importnte sottolinere che gli elementi di () sono sottoinsiemi e quindi doimo scrivere: (), {, } (), {c } (), mentre, fcendo riferimento ll insieme, come imo visto sopr, si deve scrivere:, {, }, {c } 7
cpitolo Insiemi ed elementi di logic osserv L possiilità di considerre insiemi i cui elementi sono essi stessi degli insiemi è frequente nel linguggio comune. Per, si prl dell insieme delle clssi di un istituto i cui elementi sono le clssi, che sono insiemi di llievi; si prl dell insieme delle squdre di pllvolo di serie, i cui elementi, le squdre, sono insiemi di gioctori ecc. Per determinre il numero dei sottoinsiemi propri e impropri di un insieme finito, inizimo considerndo insiemi di zero, uno, due, tre elementi. Si h: con zero elementi con elemento: 0 con elemento, con elementi: = B, con elementi B,,,, con elementi: = C,, c con elementi = ( ) = { } ( ) = { } ( ) = { } ( ) = { { } C,,, c,,, c,, c,, c,, } con 8 elementi: In generle, se l insieme E è formto d n elementi si può verificre che l insieme (E) h n elementi. edere esercizi pg. Operzioni con gli insiemi Nello studio delle operzioni con gli insiemi, se non è indicto diversmente, si suppone l esistenz di un insieme universo U che i come sottoinsiemi gli insiemi con i quli si oper. Pertnto, le operzioni vengono eseguite sugli elementi dell insieme (U). Insieme complementre ssegnto un insieme e un sottoinsieme B, si definisce complementre di B rispetto d l insieme degli elementi di che non pprtengono B. L insieme complementre di B rispetto d si indic con l scrittur oppure semplicemente B ( B), se dl contesto è chiro qul è l insieme rispetto l qule si consider il complementre. Nell insieme delle lettere dell lfeto itlino: = { x è letter dell lfeto itlino } =,, c,..., v, z il sottoinsieme delle vocli e il suo complementre delle consonnti sono (fig. ): = { x x è vocle } = {, e, i, o, u} = x x nonèvocle, c, d, f,..., z = fig. d i e o u z c f 8
prgrfo Operzioni con gli insiemi fig. 7 P P Nell insieme N dei numeri nturli considerimo il sottoinsieme P dei numeri pri: = P = x N x è pri 0,,,, 8,... L insieme formto di numeri nturli non pri, cioè di numeri dispri, è il complementre di P rispetto N: 0 = P = x N x non è pri,,, 7, 9,... È interessnte notre l seguente proprietà: se P è l insieme complementre di P, il complementre di P, cioè dei numeri dispri, è il sottoinsieme P dei numeri pri. N L proprietà rilevt nell vle in generle. Dti un insieme e un suo sottoinsieme B, il complementre rispetto d del complementre del sottoinsieme B è il sottoinsieme B stesso: (B) = B = = B prim di continure Completre le seguenti proposizioni: nell insieme universo degli llievi di un scuol secondri quinquennle il sottoinsieme degli lunni del iennio h come complementre... ; nell insieme universo dei tringoli di un pino il sottoinsieme dei tringoli rettngoli h come complementre il sottoinsieme dei.... osserv Il complementre di rispetto d stesso è l insieme vuoto e il complementre rispetto d dell insieme vuoto è l insieme : () = ( ) = Intersezione fr insiemi ssegnti due insiemi e B si definisce intersezione fr e B, e si indic con B l insieme formto dgli elementi comuni i due insiemi e B. L intersezione fr gli insiemi e B si può esprimere in modo sintetico: B = x x e x B Se gli insiemi e B non hnno elementi in comune l loro intersezione è l insieme vuoto e gli insiemi si dicono disgiunti. 9
cpitolo Insiemi ed elementi di logic fig. 8 8 Gli insiemi: = { { N è divisore di 8}= {,,,, 9, 8} = x N x è divisore di,,,,, 8,, } B = x x hnno lcuni elementi in comune. L insieme formto dgli elementi comuni è l intersezione fr gli insiemi e B: B ={,,, }= x N x è divisore di 9 B 8 N Come si può osservre dll figur 8 l intersezione fr due insiemi è rppresentt dll prte colort comune i due insiemi. Gli insiemi: = { x è letter dell prol cne }= { c,, n, e} B = { x è letter dell prol orologio }= o, r, l, g, i fig. 9 e n c r g l o i B U non hnno elementi comuni, pertnto l intersezione fr e B è l insieme vuoto e gli insiemi sono disgiunti: B =. L rppresentzione con i digrmmi di Eulero-enn, dove l insieme U universo è l insieme delle lettere dell lfeto itlino, è riportt in figur 9. c Si considerino gli insiemi: = { x N x è multiplo di }= 0,,,, 8, 0,,,, 8, 0,... B = { x N x è multiplo di }= { 0,, 0,, 0,,...} L intersezione fr gli insiemi e B è l insieme dei multipli si di si di, cioè è l insieme dei multipli di 0: B ={ 0, 0, 0,...}= x N x è multiplo di 0 prim di continure Determinre l intersezione fr le seguenti coppie di insiemi. d = {,,, 8, 0, } e B = {,, 9,, } e = { x N x èmultiplo di } e B = { x N x è minore di } 0
prgrfo Operzioni con gli insiemi f Scrivere esempi di due insiemi e B tli che: sino disgiunti; ino come intersezione il sottoinsieme: B = {,, }; l insieme B si sottoinsieme proprio dell insieme. In questo cso, che cos si può dire dell insieme B? Unione fr insiemi ssegnti due insiemi e B si definisce unione fr e B, e si indic con B, l insieme degli elementi che pprtengono lmeno uno degli insiemi. L unione fr gli insiemi e B si può esprimere in modo sintetico: B = { x x o x B} fig. 0 8 9 8 B U Dti gli insiemi: B = {,,,, 8} = {,,, 9,, 8 } l unione fr e B è: B = {,,,,, 8, 9,, 8} Nell rppresentzione grfic (fig. 0) l prte in colore rppresent l unione fr gli insiemi e B. Ricordimo che gli elementi di un insieme vnno considerti un sol volt; perciò gli elementi,, comuni gli insiemi e B, non devono essere ripetuti. Nell insieme delle fmiglie di un città sono dti gli insiemi: = x x possiede un computer B = x x possiede un televisore Si h: B = { x x possiede un computer o un televisore } mentre: B = { x x possiede un computer e un televisore } Osservimo che se uno dei due insiemi, B è sottoinsieme dell ltro, per B llor B =, mentre B = B.
cpitolo Insiemi ed elementi di logic fig. Sono dti gli insiemi: = { N è multiplo di } = { 0,, 8,,...} = x N x è multiplo di 0,,,, 8, 0,... B = x x B 8 0 Poiché B risult: B = { 0,, 8,,...} = B B = { 0,,,, 8, 0,...} = 0 fig. U Rispetto lle operzioni di intersezione e di unione si possono crtterizzre due insiemi e complementri rispetto un insieme U: = = U come si può osservre nell rppresentzione di Eulero-enn in figur. Dto l insieme N, i sottoinsiemi: P = x N x è pri P x N x è dispri sono due sottoinsiemi di N complementri e risult: P P = P P = N prim di continure Determinre l unione e l intersezione delle seguenti coppie di insiemi. = { } = x N x è un numero dispri minore di 0 B = { x N x è multiplo di minore di 0 } C = { x x è rettngolo del pino α } D = x x è romo del pino α Differenz fr insiemi ssegnti due insiemi e B si definisce differenz fr e B (in questo ordine) l insieme formto dgli elementi di che non pprtengono B. L differenz fr gli insiemi e B si indic con \ B (o nche B) e si può esprimere in modo sintetico: \ B = x x e x B
prgrfo Operzioni con gli insiemi Grficmente, l insieme differenz \ B è rppresentto dll zon colort in figur. fig. \B B U Osservndo l figur si può notre che: \ B = B Inftti, per definizione, \ B è formto dgli elementi di che non pprtengono B e che perciò pprtengono l complementre di B. ssegnti gli insiemi: = { x N x è divisore di} = {,,,,, 8,, } B = x N x è divisore di0,,,, 0, 0 = l differenz è: = {,, 8,, } \ B = x N x è divisore di e non è divisore di 0 fig. U B 0 8 0 Se B, l differenz \ B è il complementre di B rispetto d. 7 ssegnti gli insiemi: = {,,, 7, 9, } B = {,, 7, } essendo B, risult: \ B = {, 9} = B
cpitolo Insiemi ed elementi di logic in sintesi Insiemi ed elementi di logic Insiemi I concetti di insieme, elemento, pprtenenz sono concetti primitivi. Un insieme si dice finito se si possono elencre tutti i suoi elementi, ltrimenti si dice infinito. Un insieme si può individure per elenczione fcendo l list di tutti i suoi elementi; medinte un proprietà crtteristic, ossi ssegnndo un proprietà soddisftt d tutti e soli gli elementi dell insieme. Un insieme si può rppresentre grficmente medinte un digrmm di Eulero-enn. Un insieme individuto medinte un proprietà crtteristic se non è soddisftto d lcun elemento dell insieme si dice insieme vuoto. Due insiemi si dicono uguli se sono formti dgli stessi elementi. ssegnto un insieme si dice che un insieme B è sottoinsieme di, e si indic con l scrittur B se ogni elemento di B è nche elemento di. Sono detti sottoinsiemi impropri di un insieme l insieme vuoto e l insieme stesso, ltrimenti i sottoinsiemi contenenti lcuni elementi di, m non tutti, sono detti sottoinsiemi propri. L insieme formto d tutti i sottoinsiemi di un insieme, propri e impropri, è detto insieme delle prti di, ed è indicto con (). Se l insieme h n elementi l insieme () h n elementi. Operzioni con gli insiemi Se B è sottoinsieme di, si dice complementre di B rispetto d (e si indic con (B) oppure con B ) l insieme degli elementi di che non pprtengono B. Il complementre del complementre di B rispetto d è B stesso. Si definisce intersezione di due insiemi e B, e si indic con B il sottoinsieme formto dgli elementi comuni i due insiemi, cioè: B = {x x ex B } Se e B non hnno elementi comuni l intersezione è l insieme vuoto e gli insiemi e B si dicono disgiunti. Si definisce unione di due insiemi e B, e si indic con B l insieme degli elementi che pprtengono lmeno uno dei due insiemi, cioè: B = {x x o x B } Se B, llor B = B e B =. Si definisce differenz fr due insiemi e B (in questo ordine) e si indic con \ B (oppure B), l insieme formto dgli elementi di che non pprtengono B, cioè: \ B = {x x e x B } Proprietà delle operzioni fr insiemi Proprietà di idempotenz dell intersezione e dell unione: = = Proprietà commuttiv dell intersezione e dell unione: B = B B = B Proprietà ssocitiv dell intersezione e dell unione: ( B) C = (B C) ( B) C = (B C) Proprietà distriutiv dell intersezione rispetto ll unione: (B C) = ( B) ( C) Proprietà distriutiv dell unione rispetto ll intersezione: (B C) = ( B) ( C) Prtizione di un insieme Dto un insieme si definisce prtizione di un insieme un fmigli di n sottoinsiemi B i di tli che: non sino vuoti; ciscuno si disgiunto d ogni ltro; l unione di tutti i B i si l insieme. Elementi di logic Proposizioni Si definisce proposizione un espressione del linguggio cui si poss ttriuire il vlore vero o il vlore flso. Principio di non contrddizione. Un proposizione non può essere contempornemente ver e fls. Principio del terzo escluso. Un proposizione o è ver o è fls, non vi sono ltre possiilità. Un proposizione è dett semplice (o tomic) se è formt d un soggetto, un predicto ed eventulmente d uno o più complementi. Un proposizione è dett compost (o molecolre) se si ottiene collegndo, medinte i connettivi logici, due o più proposizioni semplici. Connettivi e tvole di verità L negzione ( p) di un proposizione p è un proposizione fls se p è ver e vicevers. L congiunzione (p q) di due proposizioni p e q è un proposizione ver solo se entrme le proposizioni p e q sono vere, fls in tutti gli ltri csi.
cpitolo Insiemi ed elementi di logic L disgiunzione inclusiv (p q) di due proposizioni p e q è un proposizione ver se lmeno un delle proposizioni componenti è ver, fls se entrme sono flse. L disgiunzione esclusiv (p q) di due proposizioni p e q è un proposizione ver se un sol delle due proposizioni è ver, fls negli ltri csi. Il connettivo se llor (in simoli ) oper su due proposizioni: p, dett ntecedente, e q dett conseguente. L impliczione mterile (o condizionle) fr due proposizioni è un proposizione fls solo se l ntecedente è vero e il conseguente è flso, mentre è ver in tutti gli ltri csi. Il connettivo: se e solo se (in simoli ) oper su due proposizioni. L doppi impliczione fr due proposizioni è ver se entrme hnno lo stesso vlore di verità, fls negli ltri csi. Tvole di verità p p p q p q p q p q p q p q Due proposizioni venti l stess tvol di verità si dicono logicmente equivlenti. Proprietà delle operzioni logiche Proprietà di idempotenz: p p = p p p = p Proprietà commuttiv: p q = q p p q = q p Proprietà ssocitiv: (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) Proprietà distriutiv dell congiunzione rispetto ll disgiunzione: p (q r) = (p q) (p r) Proprietà distriutiv dell disgiunzione rispetto ll congiunzione: p (q r) = (p q) (p r) Prim legge di de Morgn: (p q) = p q Second legge di de Morgn: (p q) = p q Proprietà dell impliczione: p q = p q Proprietà dell doppi impliczione: p q = (p q) (q p) nlisi delle proposizioni composte Un proposizione compost è dett tutologi se è sempre ver, qulunque sino i vlori di verità delle proposizioni componenti. Un proposizione compost è dett contrddizione se è sempre fls, qulunque sino i vlori di verità delle proposizioni componenti. Predicti e quntifictori Si dice form proposizionle un vriile definit in un insieme universo U, ogni espressione contenente un vriile x che divent un proposizione per tutti i vlori ssegnti d x dell universo U. Il sottoinsieme dei vlori di U che rendono ver l proposizione, è detto insieme di verità. lle forme proposizionli si possono pplicre i connettivi definiti per le proposizioni, ossi: p(x) negzione dell form proposizionle p(x); p(x) q(x) congiunzione delle forme proposizionli p(x) e q(x); p(x) q(x) disgiunzione delle forme proposizionli p(x) e q(x). I quntifictori sono locuzioni che trsformno un form proposizionle in un proposizione e indicno qunti elementi di U posseggono l proprietà. Si distinguono due tipi di quntifictori: il quntifictore universle (che signific tutti, ogni ecc.) è seguito d un proprietà possedut d tutti gli elementi dell insieme universo U; il quntifictore esistenzile (che signific lcuni, esiste lmeno un ) è seguito d un proprietà possedut d lmeno un elemento dell insieme universo U. Logic e Operzioni insiemi fr forme proposizionli Negzione: p (x) Congiunzione: p (x) q (x) Disgiunzione: p (x) q (x) Operzioni fr insiemi Complementzione: Intersezione: B Unione: B
ppliczioni informtiche Proposte di lortorio ) un ppliczione in Derive per eseguire operzioni sugli insiemi ) un ppliczione in Derive per eseguire operzioni sulle proposizioni logiche c) un foglio elettronico per elorre le tvole di verità ) ppliczione in Derive per eseguire operzioni sugli insiemi L miente Derive, in qulità di softwre specilistico di mtemtic, esegue si il clcolo numerico che quello letterle e permette di usre opertori di tutti i tipi: ritmetici, insiemistici e logici. In questo mito è possiile: utilizzre le lettere miuscole per indicre gli insiemi specificndo con il comndo Dichir le Impostzioni di input Miuscole/minuscole Sensiile ; definire l insieme medinte l elenco degli elementi con l sintssi <nome insieme>:= {elem, elem,, elemk}, come indicto nelle prime quttro righe per gli insiemi, B, C, D; utilizzre i simoli opportuni per indicre le operzioni. Presentimo le modlità opertive delle funzioni specifiche dell lireri di Derive fornendo lcuni esempi: dimensione dell insieme con l funzione DIM (nome_insieme) (righe e dell schermt riportt pgin seguente); verific dell pprtenenz di un elemento un insieme medinte l funzione specific di sintssi MEMBER? (nome_elemento, nome_insieme) che restituisce il vlore di verità ERO /LSO (righe 7 e 8); 7
cpitolo Insiemi ed elementi di logic verific dell inclusione tr insiemi in modo nlogo (righe 9 e 0); risultto delle operzioni tr insiemi (righe -) per l intersezione, l unione e l differenz. Oltre risolvere operzioni insiemistiche è nche possiile verificre l vlidità delle proprietà con il pulsnte oppure il comndo Semplific. nche in questo cso proponimo lcuni esempi reltivi ll: proprietà commuttiv per l intersezione, l unione e l differenz (righe -); proprietà ssocitiv delle tre operzioni (righe 7-); proprietà distriutiv dell intersezione rispetto ll unione (righe -), dell differenz rispetto ll intersezione (righe 7-9), dell differenz rispetto ll unione (righe 0-). Si può osservre come non in tutti i csi le proprietà sino soddisftte. Elorre ltre ppliczioni in Derive per eseguire esercizi sugli insiemi presenti nel liro oppure ltri scelt. 8
ESERCIZI cpitolo Insiemi ed elementi di logic Insiemi erificre le conoscenze Scegliere l rispost corrett i seguenti quesiti e, in cso di difficoltà, consultre il prgrfo corrispondente dell prte teoric. ) Come si può ssegnre e rppresentre un insieme? Un insieme si può ssegnre per elenczione oppure medinte un proprietà crtteristic e si può rppresentre medinte un digrmm di Eulero-enn. Un insieme si può ssegnre medinte un espressione del linguggio e rppresentre con un grfico crtesino. ) Che cos si intende per insieme vuoto? Un insieme è vuoto se è privo di elementi ed è definito medinte un proprietà crtteristic. Un insieme vuoto è un insieme che non esiste. ) Qundo due insiemi sono uguli? Due insiemi sono uguli se contengono lo stesso numero di elementi. Due insiemi sono uguli se sono formti con gli stessi elementi. ) Come si definisce un sottoinsieme di un insieme? Si dice che un insieme B è sottoinsieme di un insieme se ogni elemento di B è nche elemento di. Si dice che un insieme B è sottoinsieme di un insieme se contiene si elementi di, si elementi di ltri insiemi. ) Che cos si intende per sottoinsieme proprio di un insieme non vuoto? Un sottoinsieme è detto proprio se soddisf ll definizione di sottoinsieme. Un sottoinsieme è detto proprio se non è vuoto e contiene lcuni elementi di, m non tutti. ) Qunti sono i sottoinsiemi propri di un insieme non vuoto? I sottoinsiemi propri di un insieme di n elementi sono n. I sottoinsiemi propri di un insieme di n elementi sono n.
prgrfo Insiemi ESERCIZI 7) Che cos si intende per insieme delle prti di un insieme? L insieme delle prti di è l insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di. L insieme delle prti di è l insieme dei sottoinsiemi ottenuti dividendo in prti uguli. B Rispondere per iscritto lle seguenti domnde perte consultndo l teori per l verific dell correttezz. ) Enuncire quli sono i concetti ssunti come primitivi nell teori degli insiemi giustificndone il motivo. ) Dre le definizioni di insieme finito e di insieme infinito illustrndole con opportuni esempi. ) Esporre con esempi che cos signific che l insieme è incluso nell insieme B. ) Spiegre l differenz fr sottoinsiemi propri e sottoinsiemi impropri di un insieme. C Indicre se le seguenti proposizioni sono vere o sono flse. ) Un insieme può essere individuto per elenczione o medinte un proprietà crtteristic. ) L scrittur I signific che è un elemento dell insieme I. ) Un insieme B è sottoinsieme di un insieme se lcuni elementi di B pprtengono ll insieme, m non tutti vi pprtengono. ) L insieme {0} è un insieme vuoto. ) Se B è sottoinsieme proprio di esiste lmeno un elemento di che non pprtiene B. ) Due insiemi e B sono uguli se ogni elemento di pprtiene B e ogni elemento di B pprtiene d. 7) Gli insiemi = {x x è letter dell prol cos } e l insieme B = {x x è letter dell prol scco } non sono uguli. 8) L insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme. 9) Un insieme non può essere sottoinsieme di se stesso. 0) Il numero dei sottoinsiemi propri di un insieme di n elementi è n. ) Ogni insieme è un elemento del suo insieme delle prti (). ) L insieme vuoto è un elemento dell insieme delle prti di qulsisi insieme. Sviluppre le ilità Esercizi di primo livello [. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; 7). C. ) vero; ) vero; ) flso; ) flso; ) vero; ) vero; 7) flso; 8) vero; 9) flso; 0) flso; ) vero; ) vero] Dire se le seguenti espressioni individuno un insieme o non lo individuno. I giornli quotidini stmpti in Itli. RCS Liri S.p.. - Divisione Eduction, Milno
cpitolo Insiemi ed elementi di logic ESERCIZI c d e f g h Le città itline con più di 00000 itnti. Le Regioni itline più densmente popolte. Gli studenti simptici dell mi clsse. Gli elementi chimici. Le lettere dell lfeto greco. I dipendenti dell industri utomoilistic itlin. I mri pescosi. [Le espressioni c, d, h non individuno un insieme] Dire se le seguenti espressioni individuno un insieme o non lo individuno. c d e f g h Le rette di un pino prefissto. I lti di un esgono regolre. I numeri primi. I numeri grndi. I numeri minori di. I numeri nturli divisori di 00. I tringoli venti un perimetro grnde. I numeri interi negtivi mggiori di. [Le espressioni d, e, g non individuno un insieme] Dti gli insiemi = {,,, 7} e B = {,,,, } inserire correttmente i simoli di pprtenenz e di non pprtenenz.... e 0...... B f 8... B c... g... d... B h 0... Dti gli insiemi: = {,, c} B = {x N x è divisiile per } esminre se le seguenti scritture sono corrette e in cso contrrio correggerle. c B e g B e d d f B h 00 B [Non sono corrette le scritture c, e, f] Scrivere in form simolic le seguenti espressioni dte in linguggio nturle. è un numero nturle d non è un numero intero non è un numero nturle e 0 è un numero nturle c è un numero intero f 0 è un numero intero ) N; ) N; c) Z; d) Z; e) 0 N; f) 0 Z Scrivere in linguggio nturle le seguenti relzioni espresse in form simolic. N Z c N d Z e Z ) è un numero nturle ;... d) non è u n numero intero...
prgrfo Insiemi ESERCIZI Esercizio guid Dto l insieme dei numeri nturli multipli di non superiori 0, dre l rppresentzione per elenczione, medinte l proprietà crtteristic e grficmente con un digrmm di Eulero-enn. Per elenczione: si scrivono gli elementi fr prentesi grffe: = {0,, 0,, 0}. Medinte l proprietà crtteristic: si indic con x un elemento generico dell insieme e dopo l rrett si scrivono le condizioni: = {x N x = h, h N e x 0 }. Con un digrmm di Eulero-enn: 0 0 0 7 Rppresentre medinte elenczione i seguenti insiemi. Le prime lettere dell lfeto itlino e Le lettere dell prol csett Le note musicli f I multipli di 7 compresi fr e 0 c I numeri primi minori di 0 g I numeri nturli divisori di 0 d I mesi dell nno con 0 giorni h Le consonnti dell prol nonno [) {,, c, d, e, f}; ) {do, re, mi, f, sol, l, si}; c) {,,, 7,,, 7, 9}; d) {prile, giugno, settemre, novemre}; e) {c,, s, e, t}; f) {7,,, 8,,, 9}; g) {,,,,, 0,, 0}; h) {n}] 8 Rppresentre medinte un proprietà crtteristic i seguenti insiemi dti per elenczione e rppresentrli grficmente medinte i digrmmi di Eulero-enn. = {0,, 0,, 0,,...} B = {,,,, 0, 0} C = {,,, 8,, } D = {,,, 7, 9,,, } E = {, e, n, p} = {, } [ = {x N x è multiplo di }; B = {x N x è divisore di 0 }; C = {x N x è un potenz di }; D = {x N x è un numero dispri }; E = {x è letter dell prol pne }; = {x Z x = } ] 9 Scrivere per elenczione i seguenti insiemi dti medinte un proprietà crtteristic e rppresentrli medinte i digrmmi di Eulero-enn. = x N xèpri C = x Z < x + { N } B = x x = x D = x Z x 9