TRASMISSIONE IN BANDA BASE ED IN BANDA PASSANTE Dato il senale x( t) = cos(πf t) cos(8πf t), qual e il massimo intervallo di campionamento T che permette di ricostruire perfettamente x(t) dalla sua versione campionata x(nt)? Se si campiona x(t) con frequenza di campionamento f s =3f, si trovi l espressione del senale ricostruito Il massimo intervallo di campionamento equivale all inverso della minima frequenza di campionamento necessaria per arantire che sul senale campionato non si verifichi il fenomeno della sovrapposizione spettrale Poiche la massima frequenza, presente nello spettro del senale da campionare e 4f [Hz], si ricava f s > 8 f[ Hz] Ts < 5 [] s f Fissata la frequenza di campionamento f s =3f, che non soddisfa il teorema del campionamento, si avra sovrapposizione spettrale nel senale campionato In particolare, a causa della sovrapposizione spettrale, il risultato della ripetizione, con passo 3f, dello spettro del senale continuo, costituito da quattro impulsi (due con ampiezza positiva centrati nelle freqeunze +/-f e due con ampiezza neativa, ma stesso modulo, centrati nelle frequenze +/- 4f ) e uno spettro nullo Il senale in uscita al filtro di ricostruzione e x r (t)= È dato un senale x(t) che ha ampiezza distriuita uniformemente tra V e +V e trasformata di Fourier trianolare tra - Hz e + Hz Il senale viene campionato con frequenza fc=5 campioni/s e poi convertito in formato inario utilizzando N=8 it per campione a) determinare il rapporto tra la potenza del senale e la potenza del rumore di quantizzazione Il senale convertito in inario viene trasmesso in anda ase Determinare la anda minima di canale nei due casi di ) trasmissione inaria; c) trasmissione a 8 livelli In ricezione il senale viene riconvertito in analoico d) disenare la trasformata di Fourier del senale campionato ; e) rappresentare il filtro interpolatore che permette di ricostruire il senale dati i suoi campioni a) Il rapporto senale rumore di quantizzazione vale SNR=48 db Il ritmo di trasmissione del flusso inario da trasmettere vale R = fc N = it/s R ) Nel caso di trasmissione inaria, la anda minima di canale vale B = khz = ; c) nel caso di R trasmissione a 8 livelli, la anda si riduce di tre volte, cioe B = = 333Hz lo 8 d) La trasformata di Fourier del senale campionato si ottiene replicando con passo 5Hz in frequenza i trianoli con ase Hz, dunque il campionamento non enera aliasin e) Il filtro di ricostruzione e un filtro passaasso con frequenza di talio che cade fra Hz e 5Hz
Si vuole trasmettere una sequenza inaria con ritmo di trasmissione R= Mit/s Si utilizzano deli impulsi antipodali che valono +/-A(t), dove (t) e un rettanolo, con ampiezza unitaria, che si estende da t= a t=t/ secondi (T=/R) a) Rappresentare il senale che viene trasmesso sul canale, se la sequenza inaria vale [ ] ) ipotizzando un filtro adattato in ricezione, determinare il valore di E/No che arantisce una proailita di errore sul it P(e)= -9 c) Data la proailita di errore P(e)= -9, quanti it saranno saliati in media in un ora d) Se il canale introduce un attenuazione di db, e l ampiezza A vale A= Volt, calcolare l eneria E, all inresso del ricevitore, e la potenza di trasmissione e) Disenare la risposta all impulso c(t) del filtro adattato (deve risultare nulla per t<) f) Disenare l impulso p(t) all uscita del filtro adattato: il sistema introduce interferenza intersimolica? a) Il senale e costituito da quattro rettanoli, con ase T/, altezza -,+,-, -, che partono dali istanti,t,t,3t 5 5-5 - -5-5 5 5 5 3 35 4 t/t ) La proailita di errore del sistema di trasmissione inario antipodale vale P( e) = Q E N 9 E Verificando che Q (6) =, si ricava che deve essere = 8 N it s c) Il numero di it saliati in un ora sara M 36 9 = 36 s ora T 9 d) L eneria trasmessa per it vale E, tx = A = J L eneria ricevuta sara E, tx E = = J e la potenza trasmessa sara Ptx = E, tx R = mw (3dBm) γ lin e) La risposta all impulso del filtro adattato si ottiene come c( t) = ( t t ), cioe rialtando rispetto all asse delle ordinate e poi traslando a destra l impulso oriinario; la traslazione e tale che c(t) sia nullo per t< La risposta all impulso del filtro adattato in questo caso e uuale alla forma dell impulso trasmesso f)l impulso all uscita del filtro adattato e la convoluzione dell impulso (t) con se stesso, quindi e un trianolo la cui ase si estende da a T Il sistema non introduce interferenza intersimolica perche l impulso all uscita del filtro di ricezione e limitato nel tempo ad un intervallo di simolo
Si vuole trasmettere un senale analoico s(t) musicale monofonico, con anda W= khz, e distriuzione uniforme delle ampiezze tra -V e +V, con un sistema PCM che utilizza per la trasmissione in anda ase una modulazione inaria antipodale -PAM se si richiede un rapporto tra potenza del senale e potenza del rumore di quantizzazione P s > 6dB, PQ a) dimensionare il sistema PCM (determinare il numero n di it per campione richiesti); supponendo di utilizzare nel sistema di trasmissione un filtraio di Nyquist, con risposta in frequenza a coseno rialzato e fattore di arrotondamento α=5, ) determinare la anda B c necessaria sul canale per la trasmissione del senale diitale; Ipotizzando di : tollerare una proailita di errore del sistema di trasmissione P (e)<4-8; trasmettere su un canale ideale che introduce un' attenuazione γ=4 db, utilizzando in ricezione un filtro adattato, conoscere la densita' spettrale del rumore ianco aussiano N / = 5 W / Hz, c) determinare la potenza trasmessa P tx sul canale a) Nel caso di senale analoico con distriuzione di ampiezza uniforme compresa tra +/-V, e quantizzazione uniforme con M Q livelli, vale la relazione P s = MQ ; dunque PQ 6 3 MQ > 6dB MQ > MQ > MQ = 4 n = lo(mq) = ) La frequenza minima di campionamento del senale analoico, per soddisfare il teorema del campionamento, deve essere f c = W = 4k[ campioni / s] ; all'uscita del codificatore PCM, che codifica oni campione con n= its, il flusso inario deve essere trasmesso alla velocita' R = 4k[ campioni / s] [ its / campione] = 4kit / s Poiché il sistema di trasmissione diitale utilizza una modulazione inaria (-PAM), il flusso di simoli sul canale sara' trasmesso con una velocità R s uuale alla velocità R che caratterizza il flusso inario PCM R La anda sul canale risulta B s c = ( + α ) = ( + 5) = 3kHz c) La condizione richiesta impone 8 P ( E) < 4 Poiche' la trasmissione avviene in modulazione antipodale inaria
P (E) = Q E ; N 8 E P (E) < 4 > 55 E > 55 5 E > 76 N La potenza Prx del senale in inresso al ricevitore, dunque, deve essere 5 4 Prx = E R > 76 4 Prx > 34 ; 4 P 34 e la potenza Ptx del senale trasmesso sul canale P rx tx = = = 34W γ 4 Si consideri la trasmissione di un solo simolo a (trasmissione one shot) che può assumere i valori + o con la stessa proailità L impulso trasmesso è rappresentato in fiura ()[ t mv ] s ()[ t mv ] / / -/ t [ msec] t [ msec] Fiura Fiura La trasmissione avviene su un canale ideale Si chiede di determinare: la risposta impulsiva del filtro adattato al senale trasmesso e di disenarne il suo andamento; il valore di picco del senale d uscita; 3 il rapporto senale rumore all uscita del filtro adattato se al suo inresso è presente un rumore additivo aussiano ianco con densità spettrale di potenza N / = [ W / Hz] ; 4 la proailità d errore P ( E) ; 5 come camia il rapporto senale rumore se al posto di usare il senale rappresentato in fiura si usa quello rappresentato in fiura Lo schema del sistema di trasmissione è rappresentato nella fiura seuente a () t w() t H R ( f ) r () t r ( ) t = t La risposta impulsiva del filtro adattato si ottiene rialtando e traslando temporalmente () t t
h R () t = ( t t) Supponendo di richiedere la fisica realizzailità si pone t = sec L espressione del filtro t = t e il suo andamento è rappresentato in fiura 3 h R adattato è () ( ) / ( 3 t)[ mv ] -/ Fiura 3 t [ msec] Il senale utile all uscita è pari a () t = a () t ( t) = a ( τ ) ( τ + t) u s dτ Il senale utile nell istante di campionamento è pari a us t= 4 6 () t = a ( τ ) dτ = a dτ = a 5 = a E dove si è indicata con E l eneria di () t 3 La potenza di rumore all uscita del filtro adattato è pari a + + + = N N N = = = N σ n H R f df H R f df t dt E Il rapporto senale rumore all uscita del filtro adattato (per a =) è pari a ( ) ( ) () = ( ) u s E E 5 SNR = = = = N σ N n E Espresso in db si ottiene un SNR pari a SNR = lo 5 4 db = 5 4 Per ottenere la proailità d errore si considera la distanza d tra i punti rappresentativi del senale utile all uscita del filtro adattato La proailità d errore dipende dalla distanza dalla solia di decisione λ che nel caso di simoli equiproaili è il punto medio del semento che coniune con E d λ r E La proailità d errore nel caso inario è pari a
d ( ) E E = P E = Q = Q Q σ n E N / N Sostituendo i valori calcolati si ottiene P ( E) = Q( 65) 6 Nel caso in cui si usasse la forma d onda rappresentata in fiura il rapporto senale rumore saree lo stesso poiché l eneria del senale s () t è la stessa di quella del senale () t Le prestazioni in termini di proailità d errore sono identiche Quello che camia sono le caratteristiche spettrali del senale Un sistema di trasmissione inario antipodale trasmette deli impulsi (t) il cui andamento e dato da: (t) = A( -cos( π t / T )) rect( (t-t/) / T) dove T> (costante) e l intervallo di simolo a) Disenare l impulso (t)disenare la risposta all impulso h(t) del filtro adattato a (t) ) Calcolare l eneria di (t) per A= 3T c) Calcolare l ampiezza massima del senale r(t) in uscita dal filtro adattato quando al suo inresso e applicato (t) (si ricordi che l ampiezza massima si ottiene per t=t) Calcolare la proailita di errore in ricezione nell ipotesi che si utilizzi un decisore con solia λ= e che il senale all inresso del filtro adattato sia y(t)=a(t)+n(t), con A = ± / 3T [V] e n(t) rumore termico con densita spettrale di potenza S n (f)=n /=44 [V /Hz] a) l impulso (t) limitato nell intervallo ditempo tra e T, sempre positivo ha la forma di un ciclo di sinusoide(in fiura l impulso e disenato per A=) 8 6 4 8 6 4-4 6 8 4 t/t a) La risposta all impulso del filtro adattato, in questo caso coindcide con la forma d onda (t) ) L eneria vale E =A T(3/)=; c) All uscita del filtro adattato, nell istante di campionamento, il senale coincide con l eneria di (t), dunque ha ampiezza unitaria
d) La proailita di errore nel caso di trasmissione inaria antipodale vale E 7 ( ) P e = Q ( 475) Q 7 N Un senale analoico s(t) con anda B s =4kHz viene campionato alla frequenza di campionamento f c =khz e quantizzato con un quantizzatore a 56 livelli (8 it) I campioni venono quindi convertiti in formato inario e trasmessi su un canale in anda passante con anda B c =3kHz con modulazione 6-QAM a) Tracciare lo schema del modulatore/demodulatore 6-QAM ) Calcolare il ritmo di trasmissione su ciascuna delle due portanti del sistema di modulazione c) Nell ipotesi che li impulsi trasmessi aiano spettro a coseno rialzato calcolare il valore massimo del fattore di roll-off α consentito dalla anda del canale di trasmissione d) Calcolare il rapporto E/(N /) (E = eneria deli impulsi trasmessi, N / = densita spettrale di potenza del rumore termico) tale da arantire in ricezione una proailita d errore P e = -9 a) vedi lucidi delle lezioni; ) Il ritmo di trasmissione all uscita del convertitore analoico diitale sara R =8it/s; il flusso inario viene suddiviso sulle due portanti (in fase e in quadratura) e su oni ramo i it venono raruppati a due a due: su oni ramo il ritmo di trasmissione dei simoli sara R=R I =R Q =simoli/s; d) La anda di canale B c =R(+α), da cui α=(b c -R)/R=5 e) Dal rafico della funzione Q( ), Q(6)= -9, la proailita di errore del 6-QAM coincide con la 6 E proailita di errore del 4-PAM, ( ) E P e Q ; = 9 5 N N Un senale s(t) con anda B=4kHz viene campionato con frequenza di campionamento f c =khz e quantizzato a 56 livelli I campioni quantizzati venono convertiti in formato inario e trasmessi con modulazione 4QAM su un canale in anda passante con anda W=8kHz a) Tracciare lo schema del modulatore/demodulatore 4QAM ) Verificare se risulta possiile trasmettere impulsi con spettro a coseno rialzato e roll-off α=5 c) È possiile utilizzare un codice a locco senza dover ridurre il ritmo di trasmissione dei it di informazione? Giustificare la risposta a) Vedere materiale della lezione su Trasmissione in Banda Passante; ) Il ritmo di trasmissione dei it del flusso inario PCM sara R =f c lo 56=8kit/s; la anda richiesta per la trasmissione 4QAM, fissato il fattore di roll-off α=5, e B=(R /)(+α)=6khz, minore della larhezza di anda disponiile c) Fissato il fattore α=5, la anda ridondante risulta essere khz, un terzo di quella utilizzata per la trasmissione dell informazione, dunque sara possiile adottare un codice a locco con parametri (4,3), che aiune un it di parita oni 3 it di informazione
Il senale x(t) in inresso ad un sistema PCM ha ampiezza casuale con densità di proailità delle ampiezze uniforme e compresa tra -V e +V a) Proettare il quantizzatore per il senale x(t) tale che il rapporto senale/rumore di quantizzazione (SQNR) sia non inferiore a 48dB e che il numero di livelli di quantizzazione L sia una potenza di ) Il senale x(t) è a anda limitata compresa fra e 4kHz; determinare la anda di canale necessaria nell ipotesi di trasmissione inaria antipodale con impulsi aventi spettro a coseno rialzato con fattore di roll-off α=5 c) Da misure effettuate risulta che il canale utilizzato per la trasmissione introduce un disturo con densità spettrale di potenza uniforme pari a S n (f)=n /=V /Hz Sapendo che viene utilizzata la trasmissione inaria antipodale con filtro adattato in ricezione, calcolare l eneria minima E deli impulsi trasmessi, tale che il sistema di trasmissione arantisca una proailita di errore P(e)= -4 a) Un rapporto senale rumore di quantizzazione corrisponde a codificare oni campione con N=8 it; ) Il ritmo di trasmissione dei it del flusso PCM sara R =f c N=64kit/s, dove fc, frequenza di campionamento, e stata scelta con il criterio del teorema del campionamento; nel caso di trasmissione inaria la anda di canale vale B=(R /)(+α)=48khz; c) Sapendo che la proaailita di errore media del sistema inario antipodale vale E 4 P( e) = Q = Q(35) E = 5J N Il CD Audio è un sistema PCM il cui standard prevede che il senale musicale vena campionato alla frequenza di 44kHz e quantizzato a 6 it Il rapporto senale rumore di quantizzazione risultante è circa a 96dB (assumendo l ampiezza del senale uniformemente distriuita fra -V MAX e +V MAX Volt) a) Calcolare la proailità di errore P(e) necessaria affinché il rapporto senale rumore all uscita del sistema dovuto ali errori di trasmissione sia non inferiore a 96dB, sapendo che la potenza del rumore dovuta ali errori di trasmissione e data dalla formula 3 VMAX P ( e ), dove con V MAX 4 si e indicato il valore massimo del senale ) Calcolare la anda del canale di trasmissione necessaria nell ipotesi di canale ideale c) Un CD Audio consente di reistrare 74 minuti di musica (si tena presente che il sistema è stereofonico per cui venono reistrati sia canale destro che canale sinistro) Per arantire la proailità di errore calcolata al punto a), che arantisce una uona qualita del servizio, venono utilizzati deli appositi codici Sapendo che la quantità totale di it reistrata sul supporto ottico (che ha una superficie utile di 86cm ) è circa 4Git (Git= 9 it) calcolare quanti it di parità venono utilizzati per oni campione audio (si approssimi all intero superiore se necessario) d) Considerando che in 74 minuti venono letti 4Git calcolare la anda effettiva del canale di trasmissione nell ipotesi di trasmissione inaria antipodale con canale ideale
a) La potenza del senale vale P S = + VMAX VMAX x V V dx = 3 MAX V MAX 3 4 SNR = / VMAX P() e = P() e 3, un SNR di 96 db riportato in unità lineari 4 9 corrisponde a circa 4 9 4 9 9, perciò P () e = 4 P() e = 9 9 ) Il ritmo di trasmissione risulta essere R=(44 x 6) kit/s=756kit/s, e la anda di trasmissione deve essere almeno W=R /=358 khz c) La quantita di informazione contenuta in un CD si calcola come N=74 (min) x 6 (s/min) x 756 (kit/s) x (canali in stereofonia)=66578 kit/s= circa 63 Git/s Se l informazione codificata e 4 Git/s, il numero di it di parita per oni it audio di informazione vale (4-63)/63= it circa d) Il ritmo di trasmissione effettivo si ricava facilmente come R=4/(74 x 6) Git/s=45945 Mit/s La anda richiesta per una trasmissione inaria antipodale risulta essere W=R /=3MHz circa MAX, Un sistema di trasmissione inario antipodale trasmette deli impulsi A (t) il cui andamento è dato da: t T /4 t T /4 t ( ) = rect rect T / T / T dove T> (costante) è l intervallo di simolo, A=+ per i it a e A=- per i it a, e il ritmo di trasmissione è R=/(T) a) Disenare l impulso (t) ) Disenare la risposta all impulso h(t) del filtro adattato a (t) c) Disenare il senale trasmesso in corrispondenza alla sequenza di it [ ] d) Calcolare l ampiezza massima del senale r(t) in uscita dal filtro adattato quando al suo inresso è applicato (t); e) Calcolare la potenza media ricevuta; f) Calcolare la proailità di errore in ricezione nell ipotesi che si utilizzi un decisore con solia λ= e che il senale all inresso del filtro adattato sia y(t)=(t)+n(t), con n(t) rumore termico avente densità spettrale di potenza S n (f) = N / = [V /Hz] a) L impulso vale (/T) / per t compreso tra e T/ e vale (/T) / per t compreso fra T/ e T (in fiura la mapiezza e normalizzata a uno); 8 6 4 - -4-6 -8 - - 4 6 8 t/t
) La risposta all impulso del filtro adattato vale c(t)=(t o -t)= (t), dove t o e stato preso uuale a T per arantire la causalita del filtro di ricezione; c) L ampiezza massima del senale in uscita al filtro adattato coincide con l eneria di (t) cioe E =E =/; d) La potenza media ricevuta P rx =E R=/4T; E e) La proailita di errore in ricezione vale P( e) = Q = -6 N Un sistema di trasmissione inario ortoonale associa alla trasmissione dei simoli inari e, rispettivamente, li impulsi (t) e (t) il cui andamento è dato da: (t) = (/T) / rect((t-t/4)/(t/)) rect((t-t/)/t) (t) = (/T) / rect((t-3/4t)/(t/) rect((t-t/)/t) a) Disenare li impulsi (t) e (t) e calcolarne l eneria ) Disenare l andamento delle risposte all impulso c (t) e c (t) dei filtri adattati rispettivamente a (t) e (t) c) Indicato con y, (t)=c (t) * (t) e y, (t)=c(t) * (t) il senale ottenuto in uscita dal filtro c (t) quando in inresso è applicato il senale (t), e viceversa, verificare che i senali (t) e (t) sono perfettamente distinuiili in ricezione calcolando y, (t) e y, (t) per t=t d) Definire la reola seuita dal decisore in ricezione a) L impulso (t) e un rettanolo con ampiezza (/T) / e ase compresa tra e T/, e l impulso (t) un rettanolo, con stessa ampiezza e ase compresa tra T/ et L eneria dei due impulsi e la stessa e vale E = [J] ) Le risposte all impulso c (t)= (T-t) e c (t)= (T-t) risultano essere due rettanoli con ase definite, neli intervalli (T/, T) e (, T/) c) Il senale ottenuto come convoluzione di (t) con c (t), cioe convoluzione di due rettanoli identici, con ase definita nell intervallo (T/,T), risulta essere un trianolo isoscele con ase compresa nell intervallo (T,T) e quindi, campionando y, (t) in t=t si ottiene un campione nullo Analoamente, il senale ottenuto come convoluzione di (t) con c (t), convoluzione di due rettanoli identici, con ase definita nell intervallo (,T/), risulta essere un trianolo isoscele con ase compresa nell intervallo (,T) e quindi, campionando y, (t) in t=t si ottiene, anche in questo caso, un campione nullo Dunque i due senali sono distinuiili in ricezione d) All uscita di oni filtro adattato ci sara un campionatore Il decisore confrontera le uscite dei due campionatori: decidera che e stato trasmesso uno se il campione che arriva che arriva dal filtro adattato con risposta all impulso c (t) e maiore dell uscita che arriva dal filtro con risposta all impulso c (t)
Un sistema di trasmissione inario ortoonale trasmette li impulsi (t) e (t) il cui andamento è dato da: (t) = (/T) / sin(πt/t) rect((t-t/)/t) (t) = (/T) / cos(πt/t) rect((t-t/)/t) a) Disenare li impulsi (t) e (t) e calcolarne l eneria ) Disenare l andamento delle risposte all impulso h (t) ed h (t) dei filtri adattati rispettivamente a (t) e (t) c) Indicato con y, (t)=h (t) * (t) il senale ottenuto in uscita dal filtro h (t) quando in inresso è applicato il senale (t), verificare che i senali (t) e (t) sono ortoonali calcolando y, (t) per t=t d) Tracciare lo schema del ricevitore e definire la reola seuita dal decisore in ricezione ) l impulso (t) si estende da a T e percorre in questo tempo un ciclo di sinusoide; l impulso (t) e diverso da zero nello stesso intervallo e, in detto intervallo percorre un ciclo di cosinusoide; l eneria dei due impulsi, (t) e (t) e la stessa, e l eneria contenuta in un ciclo di sinusoide, e vale, in questo caso, E = Joule(In fiura le ampiezze dei due impulsi sono normalizzate a uno) 8 6 4 - -4-6 -8 - -5 5 5 t/t 8 6 4 - -4-6 -8 - -5 5 5 t/t c) Le risposte all impulso dei due filtri adattati c (t)= (T-t) e c (t)= (T-t) coincidono con le forme d onda - (t) e (t); d) Il senale y, (t), convoluzione dell impulso (t) con la risposta all impulso h (t)= (T-t), e quindi con (t), campionato nell istante t=t vale y, ( T ) = ( τ ) ( τ ) dτ =, dunque i due senali sono ortoonali, cioe l interale del loro prodotto e nullo e) Il ricevitore avra due rami in parallelo, su uno il senale viene filtrato con un filtro con risposta all impulso h (t) e poi campionato nell istante T, sull altro il senale verra filtrato con risposta all impulso h (t) e campionato nello stesso istante Il decisore confrontera il valore all uscita dai due campionatori e decidera per il it trasmesso con la forma d onda (t) se il valore del campionatore in cascata al filtro adattato a (t) e maiore del campione prelevato all uscita del filtro adattato a (t), e viceversa
In un sistema di trasmissione in anda ase sono inviati simoli inari a k = ± ad un rate R = kit / s su un canale avente risposta in frequenza H ( f ) = + j dove ft = khz rappresenta la frequenza di talio Il filtro di ricezione C ( f ) è adattato ali impulsi in uscita dal canale G f in modo che la funzione di trasferimento del sistema Dimensionare il filtro di trasmissione ( ) P ( f ) (filtro di trasmissione+canale+filtro di ricezione) soddisfi il criterio di Nyquist La risposta in frequenza P ( f ) sia del tipo con arrotondamento a coseno rialzato avente rolloff α = 5 e valore per f= pari a T=/R Determinare, inoltre, il valore dell ampiezza del campione all uscita del filtro di ricezione nell istante in cui esso assume il valore massimo Lo schema del sistema di trasmissione è rappresentato in fiura f f t, DATI BINARI a k CON RATE /T G ( f ) H ( f ) C( f ) La funzione di trasferimento complessiva del sistema è P ( f ) = G( f ) H ( f ) C( f ) L espressione analitica di P ( f ) è la seuente T f 4T πft π 3 P( f ) = T sin f α 4T 4T altrove Gli impulsi in uscita dal canale hanno trasformata G ( f ) C( f ) Affinché H R ( f ) sia adattato ali impulsi in arrivo deve essere C( f ) = G ( f ) H ( f ) f H f si ottiene Sostituendo l espressione che dà ( f ) Risolvendo rispetto a G ( f ) si ottiene P( f ) C in funzione di G ( ) e ( ) P ( f ) = G( f ) H ( f ) ( f ) P( f ) H ( f ) G = L andamento di fase può essere aritrario, poiché esso viene poi compensato da quella del filtro H f, sceliamo G ( f ) = P( f ) H ( f ) adattato Conoscendo la caratteristica di fase di ( ) 5 ( f ) = P( f )( jf / ) G + La trasformata di Fourier del senale all inresso del filtro adattato è pari a
( f ) ( f ) P G ( f ) H ( f ) = H ( f ) = P( f ) H Il valore massimo del senale all uscita del filtro adattato si ottiene neli istanti multipli interi di T = = 5 µ s In tali istanti l ampiezza del senale coincide con l eneria (E) del senale R all inresso del filtro adattato Poiché la trasformata di Fourier del senale all inresso del filtro P f, per il teorema di Parseval si ha adattato è pari a ( ) R + ( ) = E = P( f ) df = T df + T df T sin( ( ft π )/( α )) df = / + / + = / 4T 3 / 4T / 4T 3 / 4T / 4T π Calcolare la proailità di errore nel caso di modulazione BPSK, nell'ipotesi di attenuazione di canale γ=6 db, potenza in trasmissione P tx =4W, e densità spettrale di potenza del rumore 7 additivo N /= 5 W/Hz γ lin = 6 BPSK : P = 4; = Q E E N Ptx = γ R lin 4 = 4 P ( ) = E Q 4 5 J 4 7 4 5 Q(35) = 4 Si vuole trasmettere con una costellazione tipo M-QAM (due portanti in quadratura) un senale numerico con it-rate R=Mit/s su un canale con anda passante B=5MHz Quanti simoli (M) deve avere la costellazione? Una modulazione M-ASK (una sola portante) richiederee la stessa anda? E per quanto riuarda la potenza di trasmissione, a parità di proailità di errore? La tecnica di modulazione M-QAM richiede una anda di trasmissione R M = B = 4 = 6 R B =, quindi lo M La modulazione M-ASK richiede la stessa anda della modulazione M-QAM Poiché i due sistemi hanno lo stesso tempo di simolo, al posto della potenza di senale possiamo considerare l eneria per simolo (o it) A parità di distanza (d) fra i simoli (circa la stessa proailità d errore) l eneria media per simolo sarà proporzionale a 5d (M-QAM) e a 5d (M-ASK)