Analisi Frequenziale di Segnali a Tempo Discreto

Capiolo 3 Analisi Frequenziale di Segnali a Tempo Discreo Nei capioli precedeni sono sae inrodoe le nozioni basilari di segnali analogici e a empo discreo, le operazioni fondamenali ra segnali, e, infine, è saa analizzaa la ecnica del campionameno, uno dei modi possibili per oenere un segnale a empo discreo. Si noi, uavia, che i segnali a empo discreo non sempre derivano da segnali analogici campionai. Ques ulima classe di segnali è uile solo perché è di fondamenale imporanza nell ambio delle elecomunicazioni digiali, ma anche nel seore dell elaborazione dei segnali numerici. Da queso puno in poi, quindi, ci occuperemo di segnali a empo discreo, x(n, senza preoccuparci del modo in cui siano sai oenui. Un qualsiasi segnale a empo discreo, o sequenza, può essere rappresenao come una combinazione lineare pesaa di dela numeriche del ipo δ(n k. I pesi corrispondono ai valori della sequenza negli isani di empo k, discrei, aorno a cui sono cenrae le funzioni dela numeriche. Quesa rappresenazione é uile per descrivere, nel dominio del empo, la relazione ingresso-uscia di un qualsiasi sisema LTI a empo discreo. Esisono delle relazioni alernaive che permeono di analizzare una qualsiasi sequenza x(n. Si raa di rappresenazioni che coinvolgono degli esponenziali complessi del ipo e jωn, oppure delle sequenze z n. La prima rappresenazione conduce alla naurale esensione al empo discreo della rasformaa di Fourier per segnali analogici, menre la seconda conduce all analisi dei segnali a empo discreo nel dominio della rasformaa z, la conropare della rasformaa di Laplace per il empo discreo. La rasformaa di Fourier a empo discreo, nel seguio indicaa con l acronimo DTFT, permee di rasformare una qualsiasi sequenza x(n del empo discreo in una funzione coninua X(e jω della variabile frequenza. Daa la periodicià degli esponenziali complessi preseni in X(e jω, la sequenza corrispondene ad ogni rasformaa di Fourier può essere dedoa araverso la rappresenazione in serie di Fourier. Infine, ogni sequenza di lunghezza N finia ammee una rappresenazione frequenziale che necessia di soli N campioni equamene spaziai della DTFT. Quesi N campioni cosiuiscono la cosiddea rasformaa di Fourier discrea (DFT, un modo praico per analizzare in frequenza le sequenze di lunghezza finia. La generalizzazione della DTFT ad una variabile complessa, dea rasformaa z, rivese un ruolo fondamenale nell analisi dei sisemi a empo discreo: la relazione analiica di una generica rasformaa z ne descrive una realizzazione praica in ermini di componeni elemenari, quali riardaori, sommaori e moliplicaori. Inolre, la rasformaa z, così come la rasformaa di Laplace per i segnali analogici, converge in modo uniforme per un insieme di funzioni o disribuzioni più ampio di quello per cui converge la DTFT. 3

3. La DTFT x( x( kt c T c... kt c Figura 3.: Analogia conceuale ra la rasformaa di Fourier di un segnale analogico e la DTFT. 3. La DTFT La DTFT di una sequenza x(n é definia come: X(e jπf = x(ke jπfk (3. E facile noare in queso operaore una srea analogia alla rasformaa di Fourier per segnali analogici: X(f a = + x(e jπfa d (3. E possibile immaginare la DTFT come oenua dalla rasformaa di Fourier in 3., discreizzandone l inervallo di inegrazione come mosrao in figura 3.. L inegrale sul coninuo divena una sommaoria sugli infinii ermini del ipo x(kt c e jπfaktc, dove però si deve porre f = f a T c. Inolre il differenziale d dell inegrale divena il passo di discreizzazione T c dell asse del empo. Soo quese condizioni, l inegrale di Fourier può essere scrio come segue: X(e jπf =T c + x(kt c e jπfk (3.3 Nonosane la similiudine evidenziaa, esisono diverse ragioni, anche conceuali, per considerare la DTFT come un operaore a se sane. Innanziuo, non è assoluamene deo che i segnali a empo discreo derivino da segnali analogici campionai. In queso caso, il passo di discreizzazione emporale T c non possiede alcun valore praico. Ponendo T c =nell equazione 3.3 si oiene la definizione di DTFT fornia nell equazione 3.. In secondo luogo, esise una differenza sosanziale ra la rasformaa di Fourier analogica e la DTFT: la DTFT X(e jπf è periodica di periodo rispeo alla frequenza f, menre la rasformaa di Fourier, X(f a,non possiede quesa proprieà. Per quesa ragione, in ciò che segue non si farà alcun riferimeno alle similiudini ra le due rasformae, ma si considererà la DTFT un operaore a se sane, oenuo ramie la definizione 3.. Nei paragrafi che seguono verranno analizzae le proprieà della DTFT di segnali a empo discreo non oenui da segnali analogici campionai. Nel paragrafo 3.3, invece, verranno prese in esame la definizione della DTFT e l analisi in frequenza di segnali analogici campionai. L espressione analiica della DTFT é in generale una funzione complessa della variabile ω =πf, chiamaa pulsazione, e, quindi, può essere scria in forma reangolare: X(e jω =X R (e jω +j X I (e jω (3.4 dove X R (e jω e X I (e jω sono, rispeivamene, la pare reale e la pare immaginaria della DTFT X(e jω, enrambe funzioni reali della variabile ω. Ricordando che ogni funzione complessa può essere scria anche in 3

3. La DTFT forma polare, una rappresenazione equivalene della DTFT in 3. risula X(e jω = X(e jω e jϕ(ω (3.5 dove il modulo vale X(e jω = XR (ejω +XI (ejω (3.6 elafaseϕ(ω ( XI (e jω ϕ(ω = arcan X R (e jω. (3.7 Una delle proprieà fondamenali della DTFT riguarda la periodicià. Se nella DTFT in 3. si sosiuisce al poso di ω la variabile ω +πi, i inero, si verifica facilmene che: X(e jω+jπi = x(ke jωk jπik = x(ke jωk e jπik = x(ke jωk (3.8 essendo e jπik = cos(πik j sin(πik =, i, k ineri. La DTFT di una qualunque sequenza x(n risula periodica di periodo π. Una conseguenza della periodicià é che l andameno della DTFT può essere visualizzao nell inervallo base ω ( π; π]. Se si esprime la DTFT in funzione della frequenza f, si oiene una funzione X(e jπf periodica di periodo uniario nella variabile f. In queso caso l andameno della DTFT può essere visualizzao nell inervallo base f ( ;+ ]. Le considerazioni dedoe in precedenza suggeriscono che la DTFT é una funzione coninua e periodica di periodo π della variabile ω. L equazione 3. rappresena, perciò, lo sviluppo in serie di Fourier della funzione periodica X(e jω. Ricordando che lo sviluppo in serie di Fourier rappresena una generica funzione periodica X(e jω come combinazione lineare di esponenziali complessi pesai con le proiezioni della funzione X(e jω lungo i veori della base di funzioni esponenziali e jπf, si comprende che i valori della sequenza x(k nell equazione 3. rappresenano proprio le proiezioni in quesione. In queso modo si deduce la relazione d inversione della DTFT: x(k = +π X(e jω e jωk dω (3.9 π π Si noi che l equazione 3.9 esprime proprio il prodoo scalare della funzione X(e jω lungo le funzioni, e jωk, della base di segnali di Fourier, valuao sul periodo ( π, +π]. L equazione 3.9, rispeo alla variabile f, assume la seguene forma: x(k = + X(e jπf e jπfk df (3. Per comprendere che le equazioni 3. e 3. rappresenano una coppia di rasformaa-anirasformaa, si sosiuisca la relazione 3. in 3.. Scambiando la sommaoria con l inegrale, si oiene: + X(e jπf e jπfk df = + x(ne jπfn e jπfk df = + x(n e jπf(n k df L inegrale ha soluzione: + e jπf(n k df = sin(π(n k π(n k = δ(n k dal momeno che la funzione sinc(n k vale per ogni n = k, e zero per ogni n k. In definiiva, si oiene: x(nδ(n k =x(k. Enrambe le equazioni 3.9 e 3. sono chiamae anirasformaa di Fourier a empo discreo (IDFT. 3

3. La DTFT In sinesi, la coppia di equazioni X(e jω = x(ke jωk x(k = π +π π X(e jω e jωk dω (3. oppure X(e jπf = x(ke jπfk x(k = + X(e jπf e jπfk df (3. rappresenano la coppia rasformaa e anirasformaa di Fourier a empo discreo per il segnale x(k. 3.. Condizioni di esisenza della DTFT La DTFT é espressa ramie una sommaoria di funzioni nella variabile ω. Da un puno di visa maemaico, la sommaoria converge in modo uniforme ad una soluzione se l argomeno é sommabile in modulo, cioè se il segnale x(n da rasformare soddisfa la disuguaglianza: x(k < (3.3 La condizione di esisenza 3.3 é solo sufficiene e garanisce che X(e jω <, ω. Queso significa che la DTFT esise sicuramene se i segnali da rasformare soddisfano la condizione 3.3. Semplici passaggi maemaici permeono di osservare che una sequenza per cui valga la relazione in 3.3, ammee energia finia. Infai E x = x(k ( + x(k < (3.4 Una sequenza sommabile in modulo possiede energia finia. Si noi che in generale non é vero il viceversa. In alre parole, esisono delle sequenze x(n che, nonosane siano ad energia finia, non sono sommabili in modulo. Esempio 3. Si calcoli la DTFT del segnale x(n =δ(n. Soluzione: innanziuo si verifica facilmene che la sequenza in esame soddisfa la condizione sufficiene 3.3, e, perciò possiede DTFT finia. Applicando la definizione 3. si oiene facilmene la DTFT cercaa X(e jπf = δ(ke jπfk = Esempio 3. Si calcoli la DTFT del segnale x(n ={,, 3, }, dove il coefficiene soolineao indica quello corrispondene all isane di empo n =. I coefficieni non specificai sono nulli. Soluzione: applicando la definizione 3. si oiene facilmene la DTFT cercaa X(e jπf =+3e j4πf e j6πf Se la sequenza x(n possiede supporo finio, cioè x(n è non nulla solo in un numero finio di isani di empo discrei n, la DTFT può essere dedoa a visa: ciascun ermine é il prodoo di un campione all isane di empo n pesao per l esponenziale e jπnf. In analogia con la rasformaa di Fourier a empo coninuo, possiamo dire che le DTFT di sinusoidi, gradini o segnali cosani della variabile n, i quali non sono sommabili in valore assoluo, includono degli impulsi coninui del ipo dela di Dirac. 33

3. La DTFT Proprieà Segnali x(n, y(n DTFT Linearià a x(n+a y(n, a,a cosani a X(e jπf +a Y (e jπf ribalameno x( n X(e jπf riardo x(n N X(e jπf e jπfn modulazione e jπfon x(n X(e jπ(f fo derivaa in f n x(n j dx(e jπf π df convoluzione x(n y(n X(e jπf Y (e jπf prodoo x(n y(n X(e jπf Y(e jπf Tabella 3.: Proprieà generali della DTFT di segnali a empo discreo. 3.. Proprieà della DTFT La DTFT possiede delle proprieà molo simili a quelle della rasformaa di Fourier. Le principali sono mosrae in abella 3.. Le dimosrazioni vengono condoe sulla definizione 3., parendo dal presupposo di conoscere la DTFT X(e jω della sequenza x(n. Vediamone alcune a iolo di esempio. Riardo: noa la DTFT del segnale x(n, la DTFT del segnale x(n N riardao di N passi di empo discreo, vale: x(k Ne jωk (3.5 Con la sosiuzione di variabile n = k N, si oiene: x(ne jω(n+n = e jωn x(ne jωn = e jωn X(e jω (3.6 Modulazione: noa la DTFT del segnale x(n, la DTFT del segnale e jπfon x(n modulao con un esponenziale complesso e jπfon,vale: e jπfok x(ke jπfk = ( x(ke jπ(f fok = X e jπ(f fo. (3.7 Derivaa in f: si valua la derivaa rispeo a f della DTFT X ( e jπf ;informule: j dx ( e jπf = j d π df π df da cui, con semplici passaggi maemaici, si ricava: x(ke jπfk (3.8 j π x(k de jπfk df = k x(ke jπfk = DTFT [n x(n]. (3.9 Convoluzione lineare: si valua la DTFT di x(n y(n ricordando la definizione: x(n y(n = x(ky(n k. In formule: (x(k y(k e jωk = ( + x(ny(k n e jωk (3. 34

3. La DTFT Segnale x(n C DTFT x(n X(e jπf x( n X(e jπf x (n X (e jπf x ( n X (e jπf [ R (x(n X (e jπf = X(e jπf +X (e jπf ] [ jim(x(n X (e jπf = X(e jπf X (e jπf ] IDTFT(X (e jπf X R (e jπf IDTFT(X (e jπf jx I (e jπf Tabella 3.: Proprieà di simmeria della DTFT di sequenze complesse. Segnale x(n R DTFT x(n X(e jπf =X R (e jπf +jx I (e jπf x(n pari X(e jπf =X R (e jπf x(n dispari X(e jπf =jx I (e jπf x(n X(e jπf =X (e jπf x(n X R (e jπf =X R (e jπf x(n X I (e jπf = X I (e jπf x(n X(e jπf = X(e jπf x(n ϕ ( X(e jπf = ϕ ( X(e jπf Tabella 3.3: Proprieà di simmeria della DTFT di sequenze reali. da cui, con semplici passaggi maemaici, si ricava: x(n y(k ne jωk (3. Con il cambio di variabile z = k n nella seconda sommaoria, si oiene: ( + ( + x(n y(ze jω(z+n = x(ne jωn y(ze jωz z= z= (3. che corrisponde al prodoo X(e jω Y (e jω ra le due DTFT X(e jω e Y (e jω. Le sequenze complesse godono delle proprieà mosrae in abella 3., menre le proprieà principali delle sequenze reali sono evidenziae in abella 3.3. Tue quese proprieà si dimosrano in modo analogo a quano viso in precedenza. Per quano concerne le sequenze reali e pari del empo discreo n, adoperando la relazione di Eulero e jα = cos(α+j sin(α, si oiene: ( + ( + X(e jπf = x(ke jπfk = x(k cos(πfk j x(k sin(πfk (3.3 Inolre, ricordando che la sommaoria di una funzione dispari eseguia su un inervallo simmerico rispeo all origine, é nulla, si deduce che la DTFT di una sequenza reale e pari è una funzione reale della frequenza f: X(e jπf = x(k cos(πfk =X R (e jπf (3.4 35

3. La DTFT.6.4 H(e jω..8.6 3 3 f 5 Fase 5 3 3 f Figura 3.: Modulo e fase della risposa in frequenza 3 e jω. essendo + x(k sin(πfk =per ogni sequenza x(n reale e pari. Tue le alre proprieà mosrae nella abella 3.3 si dimosrano in modo analogo. Isegnalix(n reali possiedono DTFT con simmeria coniugaa inorno alle frequenze f =e f =,cioè: X(e jπf =X (e jπf (3.5 e ( X e jπ(f ( = X e jπ(f. (3.6 Quesa proprieà si raduce nella consaazione che il modulo della DTFT di un segnale reale é pari e la fase è dispari inorno all origine delle frequenze f numeriche. In formule: X(e jπf = X(e jπf, ϕ(x(e jπf = ϕ(x(e jπf. (3.7 Infine, di seguio sono riporae due relazioni deducibili dalle coppie DTFT-IDTF riporae nell equazione 3.. Dalla definizione della DTFT é facile dimosrare una relazione ra l area della DTFT di una sequenza ed il valore che la sequenza assume nell origine del empo: x( = [ + X(e jπf e jπfn df ] n= = + X(e jπf df (3.8 Inolre, l area di una sequenza x(n é pari al valore che la sua DTFT assume nell origine delle frequenze, vale a dire X(e jπf f= = x(k. (3.9 Queso risulao suggerisce che un segnale x(n a valor medio nullo possiede DTFT nulla nell origine delle frequenze. Esempio 3.3 Calcolare la DTFT del segnale x(n = ( 3 n u(n. Soluzione: innanziuo si noi che la sequenza in esame è sommabile in modulo secondo la condizione 3.3, e, quindi, possiede DTFT finia. La DTFT del segnale x(n vale: X(e jω = ( k u(ke jωk = 3 k= ( k e jωk = 3 k= ( k 3 e jω = (3.3 3 e jω 36

3. La DTFT 8 H(e jω 6 4.5.4.3.....3.4.5 f 3 Fase 3.5.4.3.....3.4.5 f N jω Figura 3.3: Modulo e fase della risposa in frequenza e sin(ω N sin( ω per N =. Si noi che la serie di funzioni + ( k= 3 e jω k converge in modo uniforme alla funzione perché 3 e jω la ragione 3 e jω èinmodulominorediuno. Il modulo della risposa in frequenza X(e jω e la relaiva fase, espressa in gradi, sono mosrai in figura 3.. Si noi che il modulo della risposa in frequenza è pari, menre la fase è dispari perchè la sequenza x(n è reale. Inolre, si noi che il modulo della risposa in frequenza è periodico di. Esempio 3.4 Calcolare la DTFT del segnale x(n =u(n u(n N, dove N è una cosane finia e posiiva. Soluzione: innanziuo si noi che la sequenza possiede un numero finio di ermini, N, ed è sommabile in modulo secondo quano espresso dalla condizione di esisenza in 3.3. La DTFT vale: X(e jω = Con un pò di calcoli, l equazione 3.3 divena: X(e jω = e jω N e j ω (u(k u(k N e jωk = e+jω N e jω N e +j ω e j ω N k= e jωk = e jωn e jω (3.3 N jω = e sin ( ω N sin ( ω (3.3 Il modulo e la fase della risposa in frequenza in 3.3 sono mosrai nella figura 3.3 nel caso N =. Si noi che il modulo della risposa in frequenza possiede gli zeri nelle frequenze muliple di N nelle quali si annulla la funzione sin ( ω N. Inolre, la fase della risposa in frequenza, espressa in radiani, è una funzione dispari e lineare a rai. 3..3 Le relazioni di Parseval La relazione di Parseval per i segnali a empo discreo ci permee di valuare l energia di un segnale reale x(n a parire dalla conoscenza della relaiva DTFT araverso la seguene equazione: E x = x(k = + X(e jπf df. (3.33 In ermini praici, quesa relazione esprime il fao che l energia di un segnale non dipende dal dominio in cui è calcolaa. 37

3. La DTFT x(n DTFT-X(e jω DTFT-X(e jπf δ(n a n u(n, a < ae jω na n u(n, a < ae jω ( ae jω ae jπf ae jπf ( ae jπf (n +a n u(n, a < ( ae jω ( ae jπf a n, a < a a cos(ω+a a a cos(πf+a πδ(ω δ(f cos(ω o n π (δ(ω + ω o +δ(ω ω o (δ(f + f o+δ(f f o sin(ω o n jπ (δ(ω + ω o δ(ω ω o j (δ(f + f o δ(f f o sin(ω on πn P fo (ω P fo (f sgn(n e jω/ +e jω/ e jπf +e jπf p K+ (n, N =K + e jω/ e jω/ sin(ωn/ sin(ω/ e jπf e jπf sin(πfn sin(πf u(n πδ(ω+ e jω δ(f+ e jπf Tabella 3.4: DTFT di segnali noevoli. Dae due sequenze x(n e y(n con DTFT X(e jπf e Y (e jπf, la relazione di Parseval generalizzaa asserisce che: 3..4 DTFT noevoli x(ky (k = + X(e jπf Y (e jπf df. (3.34 Alcune DTFT di segnali noevoli sono riporae nella abella 3.4. Quese DTFT si ricavano applicando l operaore di rasformaa di Fourier a empo discreo alle relaive sequenze. Alcune di esse si ricavano per esensione del caso a empo coninuo. Analizziamone alcune. La sequenza sgn(n è definia come segue: n> sgn(n = n = n< (3.35 La DTFT[sgn(n] si ricava osservando che la DTFT della sequenza incremeno x(n, definia come x(n x(n, vale: DTFT[ x(n] = DTFT[x(n x(n ] = DTFT[x(n] ( e jπf da cui si oiene: DTFT[x(n] = DTFT[ x(n] ( e jπf Nel nosro caso specifico, si verifica facilmene che: x(n =sgn(n sgn(n = δ(n+δ(n da cui si ricava: DTFT[ x(n] = + e jπf. Raccogliendo le relazioni rovae, si oiene il risulao cercao: DTFT[sgn(n] = +e jπf e jπf. 38

3. La DTFT La DTFT del segnale u(n vale πδ(ω + e. Essa si ricava per analogia al caso coninuo dove la jω rasformaa di Fourier del segnale u( vale δ(f a+ jπf a. Vediamo come. Ricordando che: u(n = sgn(n+ + δ(n ed impiegando le DTFT delle sequenze sgn(n e δ(n riporae in Tabella 3.4, si oiene: DTFT[u(n] = δ(f+ e jπf. La DTFT della sequenza sinc( a empo discreo, sin(ωon πn, è pari ad una pora P fo (ω in frequenza di ampiezza uniaria, supporo pari a f o nell inervallo [ f o ;+f o ], e con simmeria pari rispeo all origine. La DTFT della sequenza x(n =, n, si ricava osservando che: e jπfn = δ(f n. Ricordando che la DTFT di una sequenza è periodica di periodo uniario in f, allora si oiene: DTFT [] = e jπfn = δ(f n. La sequenza p K+ (n è definia come: p K+ (n = { n K n >K (3.36 La DTFT[p K+ (n] si ricava applicando la definizione 3. alla sequenza p K+ (n: DTFT[p K+ (n] = +K n= K e jπfn = e jπf(k+ e +jπf(k+ e jπf e +jπf = sin(πnf sin(πf dove si è poso N =K +. Le DTFT riporae nella abella 3.4 devono essere considerae con aenzione. Si ricordi che la DTFT è una funzione periodica di π in ω e in f. Le disribuzioni δ(f, δ(ω, P fo (ω, P fo (f vanno inerpreae nel periodo principale delle relaive DTFT in cui compaiono. Queso significa che andrebbero periodicizzae con periodo π in ω oppure in f in modo da garanire una DTFT periodica. In alre parole, si devono considerare le segueni relazioni: δ(f δ(ω δ(f n, δ(ω πn, e P fo (f P fo (ω P fo (f n, P fo (ω πn. 39

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft La DTFT cosiuisce la rappresenazione frequenziale di sequenze di duraa infinia ed è una funzione coninua della variabile ω. Esisono diversi moivi per cui la DTFT è di difficile applicazioni nella praica. Innanziuo, l implemenazione su un calcolaore richiede che la variabile ω venga discreizzaa su un numero finio di valori. In secondo luogo, per sequenze x(n di supporo finio e pari a N, la complessià praica dell algorimo è dell ordine di circa N moliplicazioni e addizioni complesse. I segnali che si inconrano nella praica sono generalmene diversi da zero in un inervallo di empo N finio. Conviene cercare, dunque, una ecnica alernaiva, più efficiene dal puno di visa compuazionale, per effeuare l analisi in frequenza di sequenze di duraa finia. Quesa ecnica alernaiva è basaa sulla Trasformaa di Fourier Discrea (DFT. Analizziamone i presupposi. Isegnalix(n cosiuii da N soli campioni indicizzai dalla variabile empo n [,...,N ], possiedono una rappresenazione frequenziale più semplice della DTFT nell equazione 3.. D alronde, se la sequenza x(n é lunga N campioni, la logica suggerisce che N campioni di X(e jω, presi in N frequenze differeni ed equispaziae ra di loro, siano sufficieni a rappresenare univocamene sia X(e jω,siax(n araverso la relazione di anirasformaa. La rasformaa di Fourier discrea su N puni di un segnale x(n cosiuio da N soli campioni é definia come segue: X(k = N n= x(ne jπnk/n, k =,,,...,N. (3.37 e può essere inerpreaa come la DTFT X(e jπf valuaa nelle N frequenze equispaziae f k = k N, k =,...,N. In modo analogo si definisce l anirasformaa IDFT come segue: x(n = N N k= X(k e jπnk/n, n =,,,...,N. (3.38 Si noi che l indice adimensionao k individua una specifica frequenza all inerno del periodo principale in frequenza, menre n individua un isane di empo discreo all inerno del periodo principale di x(n. Inolre, é evidene che le due relazioni 3.37 e 3.38 sono implemenabili con ecniche numeriche in quano le variabili empo e frequenza risulano discreizzae su N puni. Ciascun campione della DFT é una somma pesaa di ui i campioni di x(n ognuno moliplicao per l esponenziali di Eulero e jπnk/n. La DFT ha una complessià pari a N operazioni complesse, in quano per ogni indice k =,...,N bisogna valuare N moliplicazioni e N addizioni complesse. Esise un algorimo efficiene per implemenare la DFT e la IDFT di sequenze numeriche di lunghezza finia N: si raa della rasformaa di Fourier veloce (FFT, la quale possiede complessià N log (N nel caso in cui il numero dei campioni N sia scelo come una poenza del. Dalle relazioni di sopra si vede chiaramene che enrambe le relazioni sono periodiche di periodo N, vale a dire X(k =X(k + N e x(n =x(n + N. Si consideri la relazione 3.37 e si ponga k + N al poso della variabile k: X(k + N = N n= x(ne jπn(k+n/n = N n= x(ne jπnk/n e jπn (3.39 Ricordando che: si oiene: e jπn = cos(πn j sin(πn, n X(k + N = N n= x(ne jπnk/n = X(k. (3.4 Acronimo di Discree Fourier Transform. Acronimo di Fas Fourier Transform. 4

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft x(n _ x(n 3 4 5 n... 3 4 5... n N=6 x(n Figura 3.4: Periodicizzazione di una sequenza x(n di N =6campioni. In virù della periodicià della sequenza x(n e della relaiva DFT X(k, è possibile esendere le relazioni 3.37 e 3.38, rispeivamene, per ogni n e per ogni k considerando le relaive esensioni periodiche: e X(k = x(n = r= p= X(k r N x(n p N. Impiegando le esensioni periodiche nelle equazioni 3.37 e 3.38, si oiene: X(k = N n= x(n e jπnk/n, k (3.4 e x(n = N X(k e jπnk/n, n. (3.4 N k= Un esempio grafico di come viene oenua la sequenza x(n a parire da una sequenza x(n di N =6campioni, è mosrao in figura 3.4. 3.. La relazione ra la DTFT e la DFT La DFT di una sequenza x(n cosiuia da N puni equivale alla DTFT X(e jπf valuaa nelle N frequenze equispaziae f k = k N,k=,...,N. Noa la DFT X(k su N puni di una sequenza di duraa N é anche possibile deerminare univocamene la DTFT X(e jπf. Infai, sosiuendo l espressione di x(n riporaa in 3.38 nell equazione 3. della DTFT, si oiene: ( N N N X(e jω = x(ne jωn = X(k e jπnk/n e jωn (3.43 N n= n= k= Inverendo l ordine delle due sommaorie, si ricava: ( X(e jω = N N X(k e jπnk/n e jωn (3.44 N La sommaoria degli esponenziali in 3.44 vale: N n= k= e j(ω πk/nn = e j(ωn πk e n= ( sin ωn πk = j(ω πk/n sin ( e ωn πk N j(ω πk/n( N (3.45 Sosiuendo l equazione 3.45 in 3.44, si oiene la relazione cercaa ra la DTFT X(e jω eladftx(k di una sequenza numerica x(n: ( X(e jω = N X(k sin ( ωn πk N sin ( N e j(ω πk/n( (3.46 ωn πk N k= 4

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft.8 N= x(n.6.4. 4 6 8 4 6 8 n X(k,k=,..,N X(e jω 8 6 4...3.4.5.6.7.8.9 f Figura 3.5: Esempio di inerpolazione della DTFT araverso i puni della DFT. Si noi che l equazione 3.46 rappresena la DTFT X(e jω oenua per inerpolazione degli N campioni X(k, k =,...,N, della DFT. A iolo di esempio, si consideri la sequenza x(n riangolare di N = campioni mosraa nella pare superiore della figura 3.5. Applicando la DFT in 3.37 alla sequenza x(n si oengono i coefficieni mosrai, in modulo, nella figura inferiore mosraa nella figura 3.5. L applicazione dell equazione 3.46 ai coefficieni X(k, k=,..., resiuii dalla DFT, conduce alla curva coninua X(e jπf mosraa nella medesima figura. E sempre possibile ricavare la DTFT X(e jω di una sequenza di lunghezza N dalla DFT X(k valuaa su N frequenze equispaziae ω k = πk N, k =,...,N, solosen N. SeN <Nnon é possibile recuperare gli N campioni della DTFT parendo dagli N campioni della DFT. La ragione di quesa considerazione è spiegaa nel prossimo paragrafo. Alla luce di quese osservazioni, é alresì chiaro che per sequenze x(n di lunghezza infinia non é possibile oenere i campioni della DTFT da un numero finio dei suoi campioni in frequenza. 3.. Valuazione della DTFT ramie la DFT La DFT é l implemenazione praica della DTFT. Esisono diversi moivi per cui la DFT cosiuisca una valida alernaiva all uso della DTFT. Innanziuo, i segnali che s inconrano nella realà presenano duraa finia: l inensià con cui i segnali si manifesano ha un isane di inizio ed uno di fine, enrambi finii. E logico perciò applicare la DFT, piuoso che la DTFT, all analisi in frequenza dei segnali fisici a empo discreo. In secondo luogo, anche se un generico segnale dovesse possedere duraa infinia, dal puno di visa praico non sarebbe riduivo considerarlo a supporo finio e pari all inervallo di empo in cui è conceraa la maggior pare della sua energia (diciamo il 99% a iolo di esempio. Analizziamo, dunque, come poer dedurre la DTFT di una sequenza impiegando la DFT. Si desidera valuare la DTFT X(e jω di una sequenza x(n, lunga N campioni, in una griglia di pulsazioni ω k =π k N, k =,...,N, conn N: X(e jω k = N n= x(ne jω kn = N n= x(ne jπ k N n, k =,...,N (3.47 Si osservi che sono noi solo N campioni di x(n: é quesa la ragione per cui la sommaoria in 3.47 é esesa ad N campioni. Per far si che la duraa del segnale x(n sia uguale a N, si esende la sequenza x(n aggiungendole N N campioni nulli, i quali, ovviamene, non alerano l analisi sperale espressa dall equazione 3.47 in quano 4

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft Proprieà Segnali x(n, y(n di N campioni DFT, k =,...,N Linearià a x(n+a y(n, a,a cosani a X(k+a Y (k riardo x( n N o N X(ke jπ k N No modulazione ko jπ e N n x(n X( k k o N dualià X(n N x( n N N convoluzione circolare p= x(py( n p N X(kY (k su N puni prodoo x(n y(n N N p= X(pY ( k p N Tabella 3.5: Proprieà generali della DFT di segnali a empo discreo. La scriura k N indica l operazione kmodn(esempio: 6 =6; 6 =6; 6 = 6 =4. L espressione k N = p, nel caso in cui k<, si risolve andando a sommare (o sorarre se k N all inero k il valore N ane vole sino ad oenere un inero p : p<n. gli zeri aggiuni non inroducono alcuna informazione uleriore. Si definisce, dunque, la nuova sequenza { x(n n [; N ] x z (n = n [N; N ] (3.48 e la si sosiuisce nell equazione 3.47: X(e jω k = N n= x z (ne jπ k N n, k =,...,N (3.49 L equazione 3.49 rappresena la DFT su N puni della sequenza x z (n lunga N campioni. L equazione 3.49, adoperaa per l analisi in frequenza di x z (n, rappresena una DTFT più fia della sequenza x(n. 3..3 Proprieà della DFT La DFT possiede proprieà molo simili a quelle della DTFT. Va ricordao, però, che la DTFT é una funzione coninua della frequenza f, menre la DFT é discrea, in quano definia solo nelle frequenze f k = k N, k =,...,N. Le proprieà principali della DFT sono riporae nelle abelle 3.5, 3.6 e 3.7. Le dimosrazioni sono analoghe a quano viso nel caso della DTFT. Alcune differenze rispeo alle proprieà della DTFT riguardano il fao che la DFT X(k, k =,...,N, possiede solo un numero finio N di puni, e, come ale, ue le operazioni compiue su X(k devono condurre ad una sequenza lunga N campioni. Inolre, ricordando la relazione 3.4, le sequenze x(n, oenue applicando la IDFT, sono periodiche di periodo N nel empo discreo. Analizziamo alcune proprieà fondamenali della DFT di sequenze lunghe N campioni, uili per le analisi eoriche degli argomeni affronai nei capioli che seguono. La proprieà del riardo x( n N o N nella abella 3.5 deve essere modificaa in modo ale che la sequenza riardaa x(n N o sia sempre definia nell inervallo [,N ]. E sufficiene adoperare l operaore k N, cioè l operazione kmodn. Nel caso in cui k<, k N = p si risolve andando a sommare (o sorarre se k N all inero k il valore N ane vole sino ad oenere un inero p più piccolo di N, ma maggiore o uguale a zero (esempio: 6 =6; 6 =6; 6 = 6 =4. Il riardo x(n N o é deo circolare. Alcuni esempi di applicazione del riardo circolare di una sequenza di 6 campioni sono riporai in figura 3.6. La convoluzione circolare nella abella 3.5 é analoga all operazione di convoluzione lineare, ma con una differenza sosanziale: la sequenza risulane deve possedere N campioni ra n =e n = N, e coinvolge due sequenze, x(n e y(n, enrambe periodiche di periodo N, secondo quano indicao dalla relazione 3.4. 43

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft x(n x( n+ 6 x( n+3 6 3 4 5 n 3 4 5 n 3 4 5 n N=6 N=6 N=6 x( n- 6 x( n- 6 x( n-3 6 3 4 5 n 3 4 5 n 3 4 5 n N=6 N=6 N=6 Figura 3.6: Esempi di applicazione del riardo circolare di una sequenza di 6 campioni. Vediamo come oenerla. Si consideri la convoluzione lineare ra le esensioni periodiche x(n e y(n di due sequenze x(n e y(n, enrambe lunghe N, sull inervallo [,N ]: z cc (n = N p= x(py(n p. (3.5 E facile dimosrare che il risulao della convoluzione 3.5 è una sequenza periodica di periodo N. Infai, valuando z cc (n + N, si oiene: z cc (n + N = N p= x(py(n + N p = N p= x(py(n p =z cc (n in virù della periodicià di N della sequenza periodica y(n. convoluzione lineare è riporao in figura 3.7. Un esempio grafico del calcolo della Impiegando l operazione di shif modulo N, la convoluzione lineare 3.5 ra le sequenze x(n e y(n, può essere scria come segue: z cc (n =x(n y(n = N p= x(py( n p N (3.5 La sequenza risulane z cc (n possiede solo N campioni nell inervallo n [,N ]. Olre, si ripee periodicamene con periodo N. E facile dimosrare che la convoluzione circolare é commuaiva, vale a dire x(n y(n =y(n x(n. L operazione di convoluzione circolare verrà nel seguio indicaa con il simbolo per disinguerla dalla convoluzione lineare indicaa con. La DFT di una sequenza reale possiede simmeria coniugaa inorno all origine, cioè vale la relazione: X ( k N =X( k N. Si noi che quesa relazione è del uo equivalene alla relazione: X( k N =X ( k N inconraa a proposio della simmeria coniugaa della DTFT nell equazione 3.5. periodica di periodo N e, quindi, vale la relazione: Inolre, la DFT è X( N k N =X( k N. 44

3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft y(p _ y(p 3 4 5 N=6 p... 3 4 5...... p x(p _ x(p 3 4 5 p... 3 4 5... p N=6 _ y(-p... 3 4 5...... p _ y(n-p n< n>... 3 4 5 n=...... p Figura 3.7: Esempio di applicazione della convoluzione circolare. Quesa proprieà assicura la simmeria coniugaa della DFT inorno al puno N. Riassumendo: X( k N =X ( k N =X( N k N (3.5 Se N è dispari, allora N non è una frequenza discrea su cui esise un campione X( k N. Si noi che la proprieà di simmeria coniugaa permee di dimezzare il numero di operazioni necessarie per il calcolo della DFT. Uno schema conceuale della simmeria coniugaa per segnali reali è mosraa in figura 3.8. Esempio 3.5 sicalcoliladftdellasequenzarealex(n ={,,, } 3 di N =4campioni. Soluzione: valuiamo la DFT secondo la definizione 3.37: 3 X(k = x(ne jπnk/4, k =,,, 3. (3.53 n= E facile ricavare i quaro campioni di frequenza: X( = 5, X( = j, X( =, X(3 = +j (3.54 e da quesi verificare la proprieà di simmeria coniugaa X( k N =X ( k N =X( N k N per ogni indice k =,...,3: k = 4 = 4 = 4 4 = X( = +5 = X ( k = 4 =3, 4 =, 4 4 =3 X(3 = +j = X ( k = 4 =, 4 =, 4 4 = X( = =X ( k =3 3 4 =, 3 4 =3, 4 3 4 = X( = j = X (3 (3.55 3 Il campione soolineao è quello per n =. I campioni a desra corrispondono agli isani di empo posiivi, menre quelli a sinisra corrispondono agli isani di empo negaivi 45

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai...... N- N/, N dispari k...... N- N/, N pari k Figura 3.8: Simmeria coniugaa di DFT di segnali reali. Si noi che i campioni individuai dalla medesima freccia differiscono solo per un operazione di complesso coniugao, ma possiedono lo sesso modulo. Segnale x(n C x(n DFT X(k =X R (k+jx I (k x (n X ( k N x ( n N X (k R (x(n X (k = [X( k N +X ( k N ] jim(x(n X (k = [X( k N X ( k N ] IDFT(X (k IDFT(X (k X R (k jx I (k Tabella 3.6: Proprieà di simmeria della DFT di sequenze complesse. Esempio 3.6 in queso esercizio si vogliono verificare alcune proprieà della DFT mosrae nelle abelle 3.5-3.7 per la sequenza reale x(n ={,, }. Soluzione: innanziuo la DFT X(k,k =,,, valex( =, X( = + e j 4π 3, X( = + e j 8π 3. Dai x(n e X(k, calcolarey(n =x(n e Y (k: si raa di applicare la proprieà del riardo nel empo x( n N o N X(ke jπ k N No nel caso in cui N o =. Lo shif circolare di un passo verso desra sul segnale x(n fornisce y(n ={,, }. LaDFTY (k =X(ke jπ k 3 si calcola come segue: k = Y ( = X( = k = Y ( = X( e jπ 3 =+e j π 3 k = Y ( = X( e jπ 3 =+e j 4π 3 (3.56 Dai x(n, X(k, calcolare la IDFT della rasformaa X (k =X( k 3. Si raa di applicare la proprieà di modulazione in abella 3.5 con k o =. Innanziuo, la DFT X (k vale X ( = X( = +e j 8π 3, X ( = X( =, X ( = X( = + e j 4π 3. La IDFT della rasformaa X (k, vale x (n =e j π N n x(n ={,,e j 4π 3 }. 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai Le ecniche analizzae nei paragrafi precedeni sono sae impiegae per l analisi frequenziale di segnali a empo discreo. Molo spesso, i segnali a empo discreo nascono dal campionameno di segnali analogici. E queso il caso dei segnali audio musicali digiali. Nei paragrafi che seguono si vogliono evidenziare le relazioni esiseni ra la DTFT e la DFT di segnali a empo discreo oenui araverso il campionameno di segnali analogici generali. 46

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai Segnale x(n R x(n x(n pari x(n dispari DFT X(e jπf =X R (k+jx I (k X(k =X R (k X(k =jx I (k x(n X(k =X ( k N x(n X R (k =R (X( k N x(n I (X(k = I (X( k N x(n X(k = X( k N x(n ϕ (X(k = ϕ (X( k N Tabella 3.7: Proprieà di simmeria della DFT di sequenze reali. Nella abella l operaore R ( indica la pare reale della funzione compresa, menre I ( indica la pare immaginaria della funzione compresa. 3.3. Alcune considerazioni generali Lo spero di un segnale analogico x( campionao é coninuo e periodico. segnale analogico x( é espresso ramie la seguene relazione: Il campionameno ideale di un x d ( =x( δ( kt c = x(kt c δ( kt c (3.57 dove T c é il periodo di campionameno, la cui scela deriva dall applicazione del eorema del campionameno. Ricordiamo che il eorema del campionameno fornisce una condizione per la scela della frequenza di campionameno in modo ale che dalla sequenza di campioni del segnale analogico x( sia possibile ricosruire perfeamene il segnale di parenza dopo il campionameno. Il crierio asserisce che é possibile effeuare in modo reversibile l operazione di campionameno nel caso di segnali con spero X(f a con supporo sreamene limiao ad un generico inervallo [ B x ; B x ], scegliendo la frequenza di campionameno f c B x. Inuiivamene, l applicazione del crierio garanisce che le repliche della rasformaa di Fourier X d (f a =I{x d (}, lequali nascono a causa del campionameno nel empo, non si sovrappongano ra di loro nel dominio della frequenza. Dalle proprieà della rasformaa di Fourier, si oiene: X d (f a = + X (f a k Tc = x(kt c e jπktcfa (3.58 T c dove si é impiegaa la rasformaa δ( T c e jπfatc e la linearià degli operaori sommaoria e rasformaa di Fourier. L equazione 3.58 indica chiaramene che la rasformaa di Fourier del segnale campionao non solo é coninua nella variabile f a, ma é anche una funzione periodica. Si noi come la discreizzazione in un dominio (quello del empo in queso caso, compori la periodicizzazione nell alro dominio (la frequenza. Una descrizione dell effeo del campionameno sullo spero X(f a del segnale analogico è mosraa in figura 3.9. La ricosruzione del segnale analogico x( avviene filrando il segnale campionao x d (, riporao nell equazione 3.57, con un filro ideale di guadagno T c nell inervallo di frequenze [ fc ; fc ], di modo da agliare ue le repliche dello spero periodico X d (f a, ranne quella cenraa aorno all origine (indicizzaa da k = nell equazione 3.58. In formule, quese operazioni sono descrivibili ramie le due relazioni: ovvero x( =T c fc fc x(kt c =T c fc fc X d (f a e jπfa df a, (3.59 X d (f a e jπfaktc df a, (3.6 47

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( x ( d X( f a T c X ( d f a -B x Bx f a -f c -f c Bx f c f c f a Figura 3.9: Descrizione schemaica della periodicizzazione dello spero di un segnale analogico campionao. X ( f d - -/ f x / f = f a f c Inervallo di inegrazione f x = B x f c Figura 3.: Descrizione schemaica della normalizzazione delle frequenze analogiche sullo spero periodico di un segnale analogico campionao. dal momeno che il empo risula muliplo della cadenza di campionameno T c,cioè = kt c, k (, +. 3.3. La DTFT di un segnale analogico campionao In queso paragrafo si desidera oenere la relazione ra lo spero X(f a del segnale analogico x( e la spero X d (f a del segnale x d ( campionao, il quale corrisponde alla DTFT del segnale x( campionao. Innanziuo, si noi che campionando il segnale analogico aperiodico x(, espresso come anirasformaa di Fourier coninua: + x( = X(f a e jπfa df a (3.6 si oiene uno spero X d (f a periodico di periodo f c, la frequenza di campionameno, secondo quano espresso nell equazione 3.58. Sosiuendo f = f a T c = f a /f 4 c e x( = kt c =x(k (si sooinende che l isane di empo discreo k é un muliplo di T c si oiene la seguene coppia di rasformaa e anirasformaa di Fourier a empo discreo: e X d (f = x(k = x(ke jπkf (3.6 X d (fe jπkf df. (3.63 Si noi che l inervallo f [ ;+ ] risula essere il periodo principale di frequenza su cui la DTFT viene valuaa. Inolre, come aeso, la DTFT espressa dall equazione 3.6 è periodica di periodo rispeo alla frequenza numerica f. 4 Da queso puno in poi, le frequenze numeriche saranno indicae con f per disinguerle dalle frequenze analogiche f a. 48

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( T x ( T T Figura 3.: Esempio di segnale x( periodico dal quale si isoli la sola replica x T ( nel periodo fondamenale T. x ( T T X (f a T X (f T X (kf T f k f f a Figura 3.: Relazione ra lo spero di un segnale periodico e lo spero della replica fondamenale x T ( esraa da x(. Lo spero X d (f con la variabile frequenza normalizzaa è mosrao in figura 3.. Dall osservazione della coppia DTFT-IDTFT, si noi che esise una relazione precisa ra la rasformaa di Fourier X(f a del segnale x( e la rasformaa X d (f a del segnale campionao x d (kt c. Rispeando il eorema del campionameno, si vede che X(f a =T c X d (f f fa/fc, f a [ f c /; f c /], dove si deve sosiuire a f la variabile f a /f c. 3.3.3 La DTFT di segnali analogici periodici campionai: la DFT La rasformaa di Fourier di un segnale x( analogico periodico (si vedano le figure 3.-3. é pari a: X(f a = T + X T (kf δ(f a kf (3.64 dove T =/f é il periodo del segnale x(, X T (f a =I{x To (} é la rasformaa di Fourier del segnale nel suo periodo fondamenale T (un esempio grafico é mosrao in figura 3.. Queso risulao é una conseguenza del fao che la periodicià in un dominio (nel empo il segnale é periodico conduce ad una discreizzazione nell alro (la rasformaa di Fourier presena uno spero cosiuio da dela di Dirac in frequenza, e viceversa. Per analogia, se X T (f a descrive la DTFT di un periodo x T (n (nell inervallo n =,...,N diun segnale periodico x( campionao con cadenza T c,ladtftx d (f di x(n può essere dedoa dalla versione 49

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( T campioni x T (nt del segnale x ( c T n=,...,n-, T =N Tc T c nt c (N-T c T X (f T X (F T F =/T B w =/T c f Figura 3.3: Relazione ra la rasformaa di Fourier di un segnale x( periodico campionao e la DTFT. x( n= n= n= n=n- T T c n=n, coincide con n= X (f d k= k=n- k=n, coincide con k= k= F =T /T c B w = f Finesra in frequenza nella quale cadono i campioni della DFT Figura 3.4: Relazione ra i parameri della IDFT. campionaa di X T (f come segue: X d (f = N N k= X T (kf δ(f kf, f [; (3.65 dove F = f /f c = N é la frequenza f normalizzaa rispeo alla frequenza di campionameno f c,en éil periodo espresso in numero di campioni. Si noi la noazione adoaa: F é una frequenza numerica, dunque adimensionaa, menre f é una frequenza analogica misuraa in Hz. La relazione 3.65, i cui parameri in gioco e le relazioni con il periodo T e la cadenza T c di campionameno sono mosrai in figura 3.3, rappresena la rasformaa di Fourier discrea (DFT analizzaa nei paragrafi precedeni nel caso di segnali a empo discreo. In queso coneso, la DFT è saa riproposa per meerla in relazione ai segnali analogici. Si noi che la rasformaa 3.65 fornisce risulai sull inervallo delle frequenze numeriche f [,. La pare delle frequenze negaive di X T (f viene rappresenaa nelle frequenze [.5,. La frequenza f =risula esclusa perchè coincide con il campione nell origine delle frequenze. Si ricordi che lo spero X d (f é periodico a causa del campionameno nel empo. La relazione ra i parameri della DFT di un generico segnale analogico, periodico, campionao è mosraa in figura 3.4. 5

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai.8.6 x(.4...4 8 6 4 4 6 8.8.6 x p (.4...4 8 6 4 4 6 8 Figura 3.5: Effeo della periodicizzazione di un generico segnale x(. 3.3.4 La DFT di segnali analogici aperiodici campionai Le equazioni 3.6-3.63 mosrano la relazione ra lo spero di un segnale analogico campionao e gli operaori DTFT e IDTFT, inrodoi per l analisi in frequenza di segnali a empo discreo. Quese due relazioni non sono implemenabili su di un calcolaore per due ragioni: la variabile f è coninua e la sommaoria è esesa su un numero infinio di coefficieni k. Quese considerazioni comporano che, in generale, la DTFT non possa essere impiegaa per l analisi in frequenza di segnali analogici campionai. E necessario rovare una relazione che ci permea di condurre l analisi frequenziale di segnali analogici aperiodici su di un calcolaore, discreizzando la variabile f e limiando l inervallo dei valori k su cui la sommaoria 3.6 è eseguia. Inuiivamene, ci aspeiamo che: il campionameno con cadenza T c del segnale analogico x( ci permee di oenere un segnale a empo discreo x(kt c, ma lo spero del segnale campionao divena periodico e coninuo della frequenza coninua f a ; la discreizzazione della variabile coninua f a compora la nascia di un segnale periodico nel empo, dominio, queso, in cui il segnale è sao discreizzao. In sosanza, qualunque relazione discrea che leghi un segnale nel dominio del empo ed il suo spero nel dominio della frequenza è una espressione che lega segnali periodici e discrei in enrambi i domini. La formula cercaa si chiama formula di Poisson. Vediamo come ricavarla. Si consideri un generico segnale x( con spero X(f a e si cosruisca una relaiva versione periodicizzaa, di periodo,comesegue: x p ( = x( n (3.66 Un esempio grafico dell operazione di periodicizzazione è riporao in figura 3.5, dove il segnale x( = sin(πfx πf x, con f x = 5 Hz, è sao periodicizzao con un periodo =6s per oenere il segnale x p (. Se il segnale x( di parenza presena delle disconinuià di prima specie, allora deve essere regolarizzao in modo ale da assegnarne il valor medio che assume in ogni disconinuià. A iolo di esempio, si immagini che x( preseni una disconinuià di prima specie nel puno o. La regolarizzazione ha luogo ponendo: x( o = lim + x( + lim o x( o (3.67 La ragione della regolarizzazione risiede nel fao che sia la serie, sia la rasformaa di Fourier convergono uniformemene alle versioni regolarizzae delle funzioni con disconinuià di prima specie. 5

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( x( o o Figura 3.6: Regolarizzazione di un generico segnale x( che preseni una disconinuià di prima specie nell isane = o. Ricordando che un generico segnale x p ( periodico può anche essere espresso come la ripeizione periodica del segnale x( nel suo periodo fondamenale mediane la convoluzione con un reno di dela di Dirac equispaziae di, è possibile scrivere: x p ( =x( δ( n = x( δ( n = x( n (3.68 Si noi, uavia, che, in generale, x p ( x(, [, ]. Quesa siuazione è chiaramene mosraa nella figura 3.5 dove la funzione x p (, oenua dalla periodicizzazione di x( = sin(πfx πf x, risene della sovrapposizione delle code della funzione sin(πfx πf x. L uguaglianza si verifica se e solo se x( =per ogni eserno all inervallo base [, ]. Impiegando la relazione: l equazione 3.68 può essere riscria come: x p ( = x( δ( n = + e j π To n = Risolvendo la convoluzione lineare ra x( e e j π To n si oiene: x( e j π To n = + x(τe j π To n( τ dτ = e j π To n + e j π To n (3.69 + x( e j π To n (3.7 ( π j x(τe To nτ dτ = e j π n To n X (3.7 Sosiuendo l equazione 3.7 in 3.7, si oiene l equazione di Poisson: x p ( = x( n = + ( n X e j π To n (3.7 Se si scambia la variabile empo con la variabile frequenza nell ineno di scrivere la versione periodicizzaa della spero X(f del segnale x(, si oiene una formula analoga: X p (f a = X (f a nb w =T w + x (nt w e jπtwnfa (3.73 dove B w = T w è il periodo di ripeizione dello spero X(f a. Le due equazioni 3.7-3.73 non sono ancora implemenabili su un calcolaore perchè le variabili empo e frequenza, e f a, sono coninue. Vediamo come discreizzare le due variabili. Si consideri il segnale x p ( nel periodo fondamenale, e si discreizzi l asse dei empi in N parizioni come mosrao in figura 3.7. Con quesa scela si verifica facilmene che = NT c. L equazione 3.7, coninua nella variabile, può essere riscria impiegando la relazione k = kt c come segue: x p ( k =x p (kt c = X ( n e j π To nktc = 5 ( n X e j π N nk (3.74

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( p campioni x p(nt c del segnale x p( n=,...,n-, T =N Tc T c nt c (N-T c T Figura 3.7: Discreizzazione dell asse dei empi nel periodo fondamenale del segnale x p (. Scomponendo la sommaoria su n =,...,+ in infinie sommaorie, ognuna conenene N ermini, si oiene: pn+n ( n x p (kt c = X e j π N nk (3.75 p= n=pn Effeuando il cambio di variabile r = n pn, si oiene: x p (kt c = N p= r= X ( r + pn e j π N (r+pnk (3.76 Con qualche passaggio maemaico si dimosra che e j π N (r+pnk = e j π N rk e j π N pnk = e j π N rk e jπpk = e j π N rk.con quesa sosiuzione, l equazione 3.76 divena: x p (kt c = N r= e j π N rk p= X ( r + pn = N r= e j π N rk p= ( r X + pn (3.77 Ponendo N = B w, si oiene: x p (kt c = N r= e j π N rk p= ( r X + pb w (3.78 dalla quale si noa facilmene che la funzione ( + p= r X + pb w rappresena una versione periodicizzaa ( r con periodo B w dello spero X(f. Con la sosiuzione X d = ( + p= r X + pb w, si oiene: x p (kt c = N r= X d ( r e j π N rk, k =,...,N (3.79 Quesa relazione è chiaramene implemenabile su di un calcolaore perchè la frequenza è discrea e la sommaoria è condoa su un numero finio, N, diermini. Considerando la versione regolarizzaa dello spero X(f, in modo analogo a quano ricavao per x p (kt c, si oiene la relazione inversa: X d ( r = N N k= Riporiamo di seguio alcune osservazioni imporani. x p (kt c e j π N rk, r =,...,N (3.8 Le equazioni 3.79 e 3.8 rappresenano, rispeivamene, la DFT e la IDFT dei segnali x p ( e X d (f a, versioni periodicizzae dei segnali che effeivamene si desiderano analizzare in frequenza in una siuazione praica. Le due definizioni di DFT e IDFT richiedono che i campioni dei segnali x p ( e X d (f a siano sceli sul range,...,n. Inolre, l elaborazione della DFT (oppure della IDFT è indipendene dalla frequenza 53

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( p x (kt p c k=,...,n-, T =N Tc T c kt c (N-T c T X(f a X d(f a =f /N c f / c asse delle frequenze analogiche /T a B w =/T c asse delle frequenze numeriche f / N- N N indici della DFT/IDFT N/ k,r N- inervallo su cui la DFT e la IDFT resiuiscono i campioni f Figura 3.8: Scela dei parameri della DFT applicaa su segnali analogici. di campionameno f c =/T c. Tuavia, se un segnale analogico x( è campionao ad una frequenza f c, il suo spero risula periodico di f c. Nelle formule precedeni, risula quindi B w = f c. Lo spero idenificao dalla DFT risula, dunque, un periodo di N campioni, a parire dall origine, di queso spero periodico. Volendo analizzare lo spero fornio dalla DFT in ermini delle frequenze analogiche, allora la corrispondenza è f a = k N f c,, k =,...,N. Il passo in frequenza risula fc N. Per la periodicià dello spero, le componeni di X d (f a che cadono sulle frequenze negaive saranno rappresenae nell inervallo f c / f c fc N. Inolre, per segnali reali, quese componeni mosrano la proprieà di coniugazione simmerica rispeo a quelli che cadono nell inervallo f c / fc N. In generale, sia x p (, siax d (f a sono delle versioni con aliasing dei segnali x( e X(f a. Queso accade se x( anche per isani [ di empo ] al di fuori dell inervallo [, ], e se il suo spero non è sreamene limiao all inervallo fc, + fc. Si noi che ques ulima siuazione è già saa discussa in merio al eorema del campionameno. Tuavia, nella praica, i segnali di ineresse hanno una duraa sreamene limiaa ad un cero inervallo di empo genericamene indicao con, menre i relaivi speri hanno una banda generalmene limiaa ad una frequenza paricolare B x. L aliasing nel empo e nella frequenza risulano conenui solo qualora si verifichino le condizioni appena espose. In ui gli alri casi, l analisi in frequenza condoa araverso la DFT/IDFT coinvolge versioni con aliasing dei segnali che realmene s inendono analizzare. L effeo dell aliasing può essere miigao scegliendo in modo opporuno i parameri della DFT. Uno schema di principio nel quale sono evidenziae le relazioni ra i parameri della DFT è riporao in figura 3.8. Le considerazioni dedoe in precedenza, ci permeono di enunciare delle semplici ecniche per l analisi in frequenza di segnali non periodici. I parameri della DFT sono: : inervallo di osservazione del segnale x( nel dominio del empo. T c : inervallo di campionameno del segnale x( nel dominio del empo. T c e sono legai dalla relazione N T c =. 54

3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai.8.6 x(.4..5.5.5 3.5.4 X(f a.3.. 5 5 5 5 f a Figura 3.9: Andameno del segnale x( =e u( e del suo spero. B w : inervallo di ripeizione dello spero X(f a. Queso paramero è legao al passo di campionameno T c araverso la relazione B w = T c. f = : risoluzione della DFT in frequenza. Queso paramero è legao all inervallo di osservazione araverso la relazione f =. E chiaro, dunque, che i parameri liberi della DFT sono 3, in quano gli alri sono legai da semplici relazioni maemaiche. Esempio 3.7 si desidera valuare la DFT di un segnale x(, aperiodico, di duraa T s noa conenendo il più possibile l effeo dell aliasing in frequenza. Soluzione: dal momeno che il segnale è di duraa finia e noa, appare logico fissare = T s. Si raa di scegliere il numero di campioni N da esrarre dal segnale in modo da eviare l aliasing in frequenza (N, infai, è legao a T c equindiab w, il periodo di ripeizione dello spero in frequenza. Se si possedesse una sima del conenuo sperale del segnale, si porebbe scegliere B w =B x, dove B x è la massima frequenza olre la quale lo spero X(f a può essere ragionevolmene supposo nullo. Noo B w,sicalcolat c = B w e quindi N = To T c. Se non si conoscesse B x, allora se ne porebbe oenere una sima andandola a valuare come l inervallo di frequenze nel quale è conenua una buona percenuale dell energia del segnale, diciamo il 95 99%. Un discorso analogo, ma a ruoli inverii, porebbe essere seguio qualora si fosse a conoscenza del conenuo sperale B x del segnale, piuoso che della sua duraa emporale. E chiaro che se dalla valuazione della DFT ci si accorge di un elevao effeo dell aliasing in frequenza, allora bisognerebbe ridurre il passo di campionameno T c e ripeere i calcoli. Inolre, per moivi di complessià compuazionale, è meglio scegliere un valore di N chesiaunapoenzadel. Esempio 3.8 si desidera valuare la DFT del segnale x( =e u( conenendo al meglio l effeo dell aliasing in frequenza. 55