R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 MISRE E GRANDEZZE FICHE 1 Itroduzoe Nella descrzoe de feome la fsca s serve d legg, elle qual tervegoo gradezze fsche qual: la lughezza, l tempo, la forza etc. Alcue d tal gradezze hao carattere scalare (lughezza, tempo...), altre vettorale (forza, veloctà..). Le prme soo dvduate da u umero (msura), le secode da u umero, ua drezoe ed u verso (oretameto). Le gradezze fsche, per avere sgfcato devoo essere defte operatvamete, coè deve essere dcato l procedmeto della loro msura. Nella deduzoe delle legg la fsca s serve del metodo scetfco (Galleo Galle (1564-1642), che cosste ella seguete sequeza d pass logc: a) - dvduazoe delle gradezze fsche che fluezao l feomeo che s vuole studare; b) - realzzazoe d espereze d laboratoro che rproducao l feomeo codzo cu le gradezze possao essere fatte varare maera dpedete e cotrollata; c) - eucazoe d potes e progettazoe d espereze d verfca; d) - formulazoe d teore geeral (legg fsche), che sao grado d terpretare l massmo umero d osservazo spermetal dspobl Il lguaggo matematco è lo strumeto utlzzato ella formulazoe delle legg, le qual assumoo l aspetto d uguaglaze tra espresso matematche coteet operator che s applcao alle gradezze, sao esse vettoral o scalar. esempo d legge fsca è la secoda equazoe della damca (Newto (1642-1727), la quale stablsce che l accelerazoe a è proporzoale alla forza f agete su u elemeto materale, l coeffcete d proporzoaltà essedo la massa m dell elemeto. I smbol s ha: dv f ma m (1.1) dt d dove l smbolo dt rappreseta l operatore d dervazoe rspetto alla varable temporale t, che applcato al vettore veloctà v dà a. 1
R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 2 Gradezze fsche fodametal e dervate a gradezza fsca può essere msurata drettamete, per cofroto co u altra della stessa spece assuta come utà d msura (campoe), oppure, drettamete, attraverso relazo che esprmoo la gradezza da msurare fuzoe d altre gradezze (gradezze fodametal) per le qual sao stat deft maera dpedete de campo. I prcpal requst d u campoe soo: la rproducbltà, co grado d accuratezza adeguato alle esgeze della sceza e della tecca, la varabltà el tempo e la accessbltà. Equazo dmesoal Quado elle legg fsche, oppure elle equazo d defzoe d gradezze dervate, s prescda dagl operator matematc, dalle evetual costat umerche, dalla atura scalare o vettorale delle quattà fsche ed, oltre, s esprmao le gradezze dervate stuate al secodo membro delle suddette uguaglaze term d quelle fodametal, s ottegoo relazo smbolche d tpo polomale, cu moom soo sml fra loro. Ove s covega, oltre, d applcare le usual regole del calcolo letterale, le gradezze dervate s costruscoo a partre dalle gradezze fodametal attraverso relazo del tpo: N (1.2) 1 D (F ) dove D ed F (=1...N) rappresetao la gradezza dervata e quelle fodametal, rspettvamete. Le a soo umer razoal che valgoo zero quado le corrspodet F o compaao ella (1.2); N è u umero tero che rappreseta l umero delle gradezze fodametal e de term che tervegoo ella legge fsca, rspettvamete. Qualora ella (1.2) s racchuda fra paretes smbol delle gradezze, s ottee: D F a a F N N 1 1... (1.) che rappreseta l equazoe dmesoale della gradezza dervata e vee chamato dmesoe fsca della gradezza D. (N.B.: la dmesoe fsca d ua gradezza fodametale cocde co la gradezza stessa). 2
R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 4 Sstem d utà d msura sstema d utà è defto quado sao state scelte le gradezze fodametal ed dvduat relatv campo (atural od artfcal) chamat tà d msura (F ). Il umero delle gradezze fodametal deve essere suffcete ad esprmere, tramte d esse, tutte le gradezze dervate. L seme delle (F ) forma u Sstema d tà d msura. Per le utà d msura delle gradezze dervate vale ua relazoe smle a quella per le gradezze: se (F ) è l uta d msura della -esma gradezza fodametale: (1.4) (D) k (F ) Se k = 1 per qualuque (D) l sstema d tà d Msura è detto coerete. 5 Sstema d utà terazoale () Gradezze Nome Smbolo tempo secodo s lughezza metro m massa chlogrammo kg quattà d matera mole mole temperatura termodamca kelv K correte elettrca ampere A testà lumosa cadela cd tà d msura per la meccaca e la termodamca secodo metro tervallo d tempo par a 9.192.61.770 volte l perodo della radazoe emessa ella traszoe fra due lvell perf dell atomo d 1 55 Cs ; dstaza percorsa da u oda elettromagetca u tervallo d tempo par a 1/299792458 s; klogrammo massa del prototpo artfcale, costtuto da u cldro d plato-rdo coservato el laboratoro d pes e msure d Sèvres; Kelv mole utà d temperatura termodamca che è uguale a 1/27,16 della temperatura del puto trplo dell acqua; quattà d sostaza che cotee u umero d ettà: atom, molecole, elettro etc., uguale al umero d Avogadro. 6 Passaggo da u sstema d utà d msura ad u altro S cotrao due stuazo dfferet:
R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 1) le gradezze fodametal soo le stesse (Esempo: ); 2) le gradezze fodametal soo dfferet (Esempo: Brtaco). Il caso 1) s tratta el seguete modo: s vuole passare da S ad S : (D) k ( F ), ' (D) k ' ( F ) Dat fattor d ragguaglo rs S' ( F ) tra le gradezze F : (F ) (F ) (F ) r (F ), r (F )... r (F ) ' F ' F ' F SS ' 1 SS ' 2 SS ' l fattore d ragguaglo r S S' ( D ) per la gradezza dervata D è dato da: k F (D) F r SS' ( D ) rs S' ( F ) (1.5) ' (D) k ' F ' F Ioltre s vede faclmete che è: r r 1 (D) (F ) (1.6) S ' S SS ' Eserczo 1 Covertre la gradezza fsca Eerga dal Sstema Iterazoale al sstema. (Nota: l sstema ha le stesse gradezze fodametal del per la meccaca; le loro utà d msura soo cetmetro, grammo, secodo). Soluzoe L eerga è defta come l prodotto scalare tra la forza e lo spostameto; la sua dmesoe fsca è: 2 2 E m l t Le utà d msura per due sstem: : l utà d msura è l Joule: 1J 1kg 1m 2 1s 2 : l utà d msura è l erg: 1 1 1 1 2 2 erg g cm s Prma d tutto calcolamo fattor d ragguaglo per le gradezze fodametal F1 m (massa), F2 l (lughezza) ed F t (tempo). S ha, rspettvamete: F ; poamo ( m) 1 kg 110 kg massa : r F1 10 ( m) 1 g 1 g ( l) 1 m 1m lughezza : r F 10 ( ) 1 1 10 m 2 2 l cm ( t) 1 s tempo : r F 1 ( t) 1 s 2 (1.7) 4
R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 Possamo ora calcolare l fattore d ragguaglo per l eerga. Rcooscamo che gl espoet ella (1.2) soo: 1 1, 2 2 e 1. Sosttuedo quest valor ella (1.5) otteamo: ( E) 2 1 7 r ( E) r ( F1 ) r ( F2 ) r ( F ) 10 10 1 10 ( E) 7 Qud la relazoe tra le utà d msura è: 1J 10 erg Eserczo 2 Covertre la gradezza fsca destà dal sstema al Sstema Iterazoale: Soluzoe La destà è defta come l rapporto tra la massa e l volume; la sua dmesoe fsca è: ml 2 Le utà d msura soo, per due sstem d utà d msura: 1kg 1 m : l utà d msura è 1g 1cm : l utà d msura è Gl espoet ella (1.2) soo, per la destà: 1 1, 2 e 0. Sosttuedo quest valor ella (1.5), rcordado le (1.7) e utlzzado la (1.6) otteamo l fattore d ragguaglo per la destà: 1 ( ) 2 r ( ) r ( F1 ) r ( F2 ) 10 10 10 ( ) Qud la relazoe tra le utà d msura è: 1g cm 10 kg m 7 Notazoe scetfca S usao delle abbrevazo per semplfcare la scrttura d umer molto grad o molto pccol. I multpl e sottomultpl che vegoo utlzzat soo: Fattore d Prefsso Fattore d Prefsso moltplcazoe Nome Smbolo moltplcazoe Nome Smbolo 10 10 6 10 9 10 12 klo Mega Gga Tera k M G T 10-10 -6 10-9 10-12 10-15 10-18 mll mcro ao pco femto atto m m p f a 5