Varabltà e formazoe Lo studo d u feomeo ha seso solo se esso s preseta co modaltà/testà varabl da u soggetto all altro. Ad esempo, se dobbamo studare l reddto ua certa regoe è ecessaro osservare utà statstche co reddt dvers: se osservassmo utà co lo stesso reddto sarebbe utle, o c darebbe alcua formazoe Varabltà = Iformazoe
Idc statstc d varabltà Varabltà: Atttude d u feomeo ad assumere dverse testà Come s msura la varabltà? Dspersoe rspetto ad u cetro Mutua varabltà Mutevolezza delle frequeze Caratterstche d u dce d varabltà V(): Idce d varabltà; c: costate ota ) V x,, x 0 ) V c,,c 0 ) V x c, x c V x,, x v) Se V x, x V y,, y X è pù varable d Y N.B.: U dce d varabltà è sempre maggore o uguale a zero.
Varabltà e fuzoe d rpartzoe emprca Ua fuzoe d rpartzoe emprca molto rpda (che subto ragguge ) dca scarsa varabltà. Vceversa, ua fuzoe d rpartzoe emprca che ragguge molto letamete dca elevata varabltà. Campo d varazoe Rage X x x max m È molto sesble alla preseza d valor aomal Dffereza Iterquatle q q q r s r > s Dffereza tra due quatl equdstat dagl estrem della dstrbuzoe Va va meo sesble alla preseza d valor aomal, ma mao che r ed s s avvcao. 3
Dffereza Iterquartle IQR Q Q 3 È u dce pù robusto del campo d varazoe 4
Varabltà rspetto ad u cetro Obettvo: Stetzzare ua opportua fuzoe degl scart delle sgole testà dall dce d poszoe M prescelto Successoe degl scart: x M, x M,, x M,, x M Og scarto esprme la dstaza d cascua testà dall dce M. La varabltà rspetto ad u cetro può essere defta specfcado dvers mod M. Rcordamo che: Se M x x 0 m Se M Me x Me m 5
Idc d varabltà rspetto ad u cetro Varaza Msura la dspersoe meda toro alla meda artmetca. S calcola come meda artmetca de quadrat degl scart.. Per ua successoe d valor: X = x. Per ua dstrbuzoe d frequeza: k X= x 3. Per ua dstrbuzoe class d frequeza: k X= c 6
Esempo N. bottgle f 3 0,0 4 0,3 3 3 0,0 4 5 0,7 5 0,37 6 4 0,3 Totale 30 k x 30 9 3,97 k x 3,97 3 3,97 4 6 3,97 4 7,97, 4 30 30 Formula alteratva: k x 3 4 6 4 545 3,97 5,73, 4 30 30 7
Esempo c cf, 73 0, 5, 05 0, 45, 96 Classe c f,69,77,73 3 0,5,77,85,8 0 0,85,93,89 3 0,5,93,0,97 5 0,5,0,09,05 9 0,45 Totale 0 k c k c f,73,96 0,5,8,96 0,05,96 0, 45 0,004 Formula alteratva: k c cf,73 0,5,8 0,05 0, 45,96 0,004 8
Scarto quadratco medo (o scostameto quadratco medo, o devazoe stadard) E uguale alla radce quadrata della varaza. Esprme la varabltà ella stessa utà d msura del carattere osservato.. Per ua successoe d valor:. Per ua dstrbuzoe d frequeza: 3. Per ua dstrbuzoe class d frequeza: X = x k X= c k X= x è terpretable come scarto medo toro alla meda; la maggor parte de valor soo compres ell tervallo: [ - ; + ] 9
Propretà della varaza I) 0 X II) Esprme la varabltà ell utà d msura del carattere osservato elevata al quadrato III) X x Formula alteratva per l calcolo della varaza Dm: = x X x x x x x x 0
X IV), trasformazoe leare YX Y Esempo: = = Y = + X X Y 0 3 5 6 4 Y = + X x Y 3 0 0 3 Propretà: Se Y è ua trasformazoe leare d X, la varaza d Y s può otteere moltplcado la varaza d X per : 0 X 0,667 3 3 3 3 5 3 Y,667 3 Y X Y X 0,667,667 Dm: Y y Y x X x X X
Esempo Il prezzo del prodotto MM ha ua varaza par a 0.00 La casa produttrce tede rmodulare prezz d vedta: per og acqurete l uovo prezzo Y sarà determato cosderado ua base d parteza mma par a.5 () a cu adrà agguta ua percetuale del veccho prezzo X par al 0% (). Qual è la varaza de uov prezz d vedta? =.5 = 0. X 0.00 Y =,5 + 0, X Y??? Y X 0. 0, 00 0, 00008
S può, coè, evtare d costrure la sere de uov prezz Y medate la trasformazoe leare: Y =.5 + 0. X per po calcolare la meda artmetca e la varaza: Veccho prezzo (X),99,99,99,09,09,09,09,09,3 Nuovo prezzo (Y) y =y =y =,5 + 0,,99=,898 3 y = =y =,5 + 0,,09=,98 4 8 y =,5+ 0,,3=,96 9 9 Y y. 9 9 9 Y y Y 9. 898. 9. 96. 9 9 0, 00008
V) Decomposzoe della varaza La varaza d X è data dalla somma della meda delle varaze d gruppo (varaza tera) e dalla varaza delle mede d gruppo (varaza estera). Se: G = umero d grupp; j : meda dell -esmo gruppo; j = umerostà dell j-esmo gruppo (j =,.,G); allora: G G X j j j X j j j VARIANZA INTERNA VARIANZA ESTERNA ossa: TOT INT EX T 4
Idc assolut, dc relatv e dc ormalzzat Il valore d u dce assoluto (come la varaza o lo scarto quadratco medo) o da essua formazoe crca l ettà della varabltà, ma può essere utlzzato solo per cofrotare dvers sem d utà statstche base alla varabltà dello stesso carattere (es: l reddto è pù varable Lazo o Campaa?) Per dare ua valutazoe sull ettà della varabltà è ecessaro u tervallo d rfermeto, fsso o faclmete determable, rspetto a cu estrem: [varabltà ulla - varabltà massma] sa possble terpretare l valore dell dce, che tal caso è u dce relatvo Quado tale tervallo d rfermeto è l tervallo [0 - ] l dce è u dce ormalzzato La costruzoe dell tervallo d rfermeto rchede la determazoe del valore massmo che u dce assoluto può assumere su ua determata dstrbuzoe 5
Massma varabltà Il valore massmo che la varaza può assumere u seme d utà statstche co meda par a è: 0 0 max D cosegueza, l valore massmo che può assumere lo scarto quadratco medo ( u seme d utà statstche co meda par a ) è: Formalmete: max 6
Idc d varabltà relatv Coeffcete d varazoe CV X X Msura quato lo s.q.m. è rlevate rspetto all orde d gradezza de valor del carattere X. È u dce dpedete dall utà d msura (è u umero puro) e può essere utlzzato per cofrotare dstrbuzo dverse 0 e 0 Poché: 0 CV Idc d varabltà relatv ormalzzat Scarto quadratco medo relatvo S ottee come rapporto tra l valore assuto dallo scarto ed l valore massmo che esso può assumere per la dstrbuzoe: X X rel max X X 0 rel 7
Esempo N. bottgle f 3 0,0 4 0,3 3 3 0,0 4 5 0,7 5 0,37 6 4 0,3 Totale 30 k x 3,97 k x,43 Scarto quadratco medo:, 43,56 Coeffcete d varazoe: 0 CV 9 5,39,56 CV 0, 39 3,97 Da cofrotare co l tervallo [0; 5,39] Scarto quadratco medo relatvo: 0 rel,56 rel 3, 97 9 0,07 Da cofrotare co l tervallo 8[0; ]
Devaza x dev x = Scostameto semplce medo dalla meda dalla medaa S M= x S Me= x Me