ANALISI MATEMATICA 2 Anno accademico

ANALISI MATEMATICA 2 Anno ccdemico 27-8 ELENCO delle DEFINIZIONI e TEOREMI del CORSO DISPENSE Principio di sostituzione pg. 5 Integrli impropri pg. Serie numeriche pg. 27 Integrli Doppi pg. 43 SINTESI DELLE LEZIONI Limiti e continuità per funzioni di n vribili pg. 57 Clcolo Differenzile per funzioni di n vribili pg. 58 Mssimi e minimi liberi e vincolti pg. 59

ELENCO DELLE DEFINIZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 Serie numeriche Serie numeriche convergenti e divergenti; somm di un serie. Serie oscillnti. Serie geometric. Serie rmonic e serie rmonic generlizzt. Serie termini positivi (o negtivi). Serie termini di segno lterno. Serie ssolutmente convergenti. Integrli impropri Integrle improprio di un funzione continu in un intervllo illimitto del tipo ], ], [, + [, ], [, ], + [, ], + [ o di un funzione illimitt e continu in un intervllo semiperto [, b[ o ], b] o perto ], b[. Clcolo differenzile per funzioni di piú vribili Vettori di R n. Somm di due vettori di R n ; prodotto di un numero rele per un vettore di R n. Prodotto sclre di due vettori in R n. Norm e distnz euclide in R n. Sfere perte, sfere chiuse, superfici sferiche con centro R n ; intorni di un punto di R n. Punti interni, punti esterni, punti di frontier, punti di ccumulzione per un prte X di R n. Insiemi perti, insiemi chiusi, insiemi limitti, insiemi convessi e insiemi connessi per rchi di R n. Funzioni di un vribile vlori in R k ; funzioni di n vribili vlori in R e in R k. Funzioni componenti di un funzione vlori in R k. Convergenz e continuità per funzioni di n vribili vlori in R e per funzioni d I R in R k. Vettore derivt di un funzione d I R in R k ; suo significto geometrico. Funzioni reli di due vribili reli. Grfico, linee coordinte e linee di livello. Derivte przili e derivte direzionli per funzioni reli di due vribili; significto geometrico. Funzioni reli di due vribili differenzibili in un punto. Derivte przili, derivte direzionli, grdiente per un funzione rele di n vribili. Mtrice Jcobin di un funzione di X R n in R k in un punto interno d X. Differenzibilità per funzioni di X R n in R e in R k. Differenzile in un punto interno d un insieme X R n di un funzione f : X R o f : X R k. Linee di livello, superfici di livello, insiemi di livello. Derivte przili di ordine superiore. Mtrice hessin di un funzione di R n in R. Polinomio di Tylor del secondo ordine. Punti di minimo e mssimo reltivo ed ssoluto. Punti di sell. Form qudrtic ssocit d un mtrice qudrt simmetric A di ordine n. Form qudrtic definit (positiv o negtiv), semidefinit (positiv o negtiv), indefinit. Autovlore ed utovettore di un mtrice qudrt. Polinomio crtteristico di un mtrice qudrt. Funzioni (sclri) definite implicitmente d un equzione. Funzioni (vettorili) definite implicitmente d un sistem di equzioni. Funzioni (strettmente) convesse o concve; esempi e proprietà. Integrli doppi Rettngolo e plurirettngolo in R 2 e loro re. Intervllo e plurintervllo in R n e loro misur. Insieme misurbile secondo Peno Jordn in R 2, e in R n e su misur. Insieme di misur null. Dominio normle ll sse x o y. Decomposizioni di un insieme misurbile di R 2. Somme inferiori e superiori, somme di Cuchy di un funzione limitt su un insieme misurbile di R 2. Integrbilità secondo Riemnn di un funzione limitt su un insieme misurbile di R 2 e suo integrle.

ELENCO DEI PRINCIPALI TEOREMI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 N.B. Dei teoremi contrssegnti d (*) non é richiest l dimostrzione Integrli impropri Integrle improprio delle funzioni / x α ed /(x log(x) α ). Integrzione per prti e per sostituzione di un integrle improprio. Criterio di confronto e di confronto sintotico per gli integrli impropri. Serie numeriche Condizione necessri per l convergenz di un serie. Serie termini positivi. Criterio di confronto con l integrle improprio (*) ; serie rmonic e rmonic generlizzt. Criterio di confronto, di confronto sintotico (*), dell rdice e del rpporto (*). Teorem di Leibniz (*) Teorem sul rggio di convergenz di un serie di potenze (*) Clcolo del rggio di convergenz ρ : (purchè tli limiti esistno). ρ = lim n / n n oppure ρ = lim n n / n+, Derivzione e integrzione termine termine di un serie di potenze (*) Limiti e continuitá per funzioni di piú vribili Un funzione vlori in R k è convergente per x, (rispettiv. componenti sono convergenti per x, (rispettiv. continue in ). Teoremi sui limiti per funzioni di n vribili vlori in R e in R k. (*) continu in ), se e solo se le sue Esempi di funzioni continue: funzioni costnti, funzioni proiezione, polinomi, funzioni elementri. Proprietá degli insiemi perti e degli insiemi chiusi. Esempi di insiemi perti o chiusi descritti d disequzioni o equzioni del tipo f(x) <, f(x), f(x) =. Teorem di Weierstrss (*). Teorem di Bolzno. Teorem degli zeri. Integrli doppi Proprietá degli insiemi misurbili e dell misur. (*) Misurbilitá in R 2 del rettngoloide di un funzione integrbile di un vribile e dei domini normli rispetto ll sse x o y. Integrbilità delle funzioni limitte e generlmente continue in un insieme misurbile (m non necessrimente chiuso) di R 2. (*) Integrbilità delle funzioni continue in un insieme chiuso e misurbile di R 2. Misurbilitá in R 3 del cilindroide di un funzione continu in un insieme chiuso e misurbile di R 2. Formule di riduzione per l integrle delle funzioni continue in un dominio normle. L integrle come limite di somme di Cuchy.(*) Proprietà dell integrle (*) Cmbio di vribili in un integrle doppio. (*)

2 Clcolo differenzile per funzioni di piú vribili Condizione necessri per l differenzibilità: se f è differenzibile in x, llor: ) f è continu in x, b) per ogni direzione u esiste l derivt di f in x nell direzione u e risult f (x f(x + tu) f(x ), u) = lim = f(x ) u = t t n i= u i f x i (x ). Condizione sufficiente per l differenzibilità (*) Derivt dell funzione compost ( (Regol dell cten).(*) Proprietà del grdiente di un funzione in un punto x : ) f(x ) è perpendicolre ll insieme di livello pssnte per x, b) f(x ) rppresent l direzione in cui f cresce il più rpidmente possibile. Equzione dell rett normle e del pino tngente nel punto (x, y, z ) ll superficie di livello di equzione f(x, y, z) = costnte = f(x, y, z ) : Equzione del pino tngente ll superficie grfico di g = g(x, y) nel punto (x, y, g(x, y ). Teorem di Fermt - Se x è punto di minimo o mssimo reltivo per f : X R n R, se x è interno d X ed f è derivbile przilmente in x rispetto tutte le vribili, llor risult: f(x ) = cioè f xi (x ) = per ogni i =, 2,... n. Teorem di Schwrtz sull invertibilità dell ordine di derivzione (*) Proprietà delle forme qudrtiche. Criterio del segno degli utovlori (*). Criterio del segno dei coefficienti del polinomio crtteristico (*). Criterio di Sylvester (*) Condizioni sufficienti perchè un punto si punto di minimo o mssimo reltivo per un funzione di n vribili, ed in prticolre per le funzioni di due vribili. Teoremi del DINI (*). Punti di minimo e mssimo vincolto: moltiplictori di Lgrnge. Crtterizzzione delle funzioni convesse, concve, ecc. (*) Funzioni convesse ed ottimizzzione.

FUNZIONI TRASCURABILI E FUNZIONI EQUIVALENTI In questo prgrfo vengono presentti i concetti di funzioni trscurbili e di funzioni equivlenti, che forniscono lcuni utili rtifici per il clcolo di limiti che si presentno sotto le forme indeterminte, /, /, nonché per studire il crttere delle serie numeriche e l integrbilitá in senso improprio di un funzione. In tutto ció che segue X un prte di R ed x ˆR = R {, + } é un punto di ccumulzione di X. Comincimo con il dre l seguente definizione Definizione.. Dte due funzioni f e g di X in R, tli che g(x) per ogni x X, dicimo che f é trscurbile rispetto g in x o per x x se risult f(x) lim x x g(x) =. Dicimo invece che f é equivlente g in x o per x x se risult f(x) lim x x g(x) =. Se x = + o x = si dice che f é sintoticmente trscurbile rispetto g o sintoticmente equivlente g. Per dire che f é trscurbile rispetto g o che é equivlente g, doperemo rispettivmente i simboli f << g o f(x) << g(x) in x o o per x x f g o f(x) g(x) in x o o per x x. Il motivo di tle denominzione é evidente. Se f é trscurbile rispetto g in x, llor per ogni ε > esiste un intorno J di x tle che per ogni x X J {x } si h f(x) < ε g(x), e dunque intuitivmente i vlori che f ssume vicino d x sono infinitmente piú piccoli dei vlori di g. Invece se f é equivlente g in x llor per ogni ε > esiste un intorno J di x tle che per ogni x X J {x } si h < ( ε)g(x) < f(x) < ( + ε)g(x) oppure ( + ε)g(x) < f(x) < ( ε)g(x) <, e dunque intuitivmente il vlore che f ssume vicino d x é pprossimtivmente ugule l vlore di g. Osservzione. -. E evidente che se f g in x ed esiste il lim g(x) = l ˆR, llor nche il x x lim f(x) esiste ed é ugule d l. Pertnto per clcolre il limite per x x di un funzione f bst cercre x x un funzione g equivlente d f in x di cui si piú fcile clcolre il limite. Dimo subito lcuni esempi di coppie di funzioni equivlenti o trscurbili l un rispetto ll ltr. Esempio.. - Se α < β llor x α << x β per x ±, mentre x β << x α per x. Inftti x α / x β = x α β per x ± ed x β / x α = x β α per x.

2 Esempio.2. - Se p(x) = + x + 2 x 2 +... + n x n é un polinomio di grdo n, llor ) p é sintoticmente trscurbile rispetto d x α per ogni α > n, b) p é sintoticmente equivlente ll funzione g(x) = n x n. Inftti si h p(x) x α = x α + x α + 2 x α 2 +...... + n per x ± x α n p(x) n x n = n x n + n x n + 2 n x n 2 +...... + n + per x ±. n x Esempio.3. - E evidente che ) se α < β, llor log x α << log x β per x + e per x + ; b) se < < b, llor x << b x per x +, mentre b x << x per x. Esempio.4. - Ricordndo che il limite per x che tende delle funzioni sin x x, rcsin x, x tg x x, rctg x, x e x, x log ( + x) x ugule d, si h che per x sin x x, rcsin x x, tg x x, rctg x x, e x x, log ( + x) x. D ltr prte ricordndo che cos x lim x x 2 = 2, lim x si h che (per x ), log ( + x) x x ( + x) α = log e, lim = log, lim = α, x x x x cos x 2 x2, log ( + x) x log e = x log, x x log ( + x) α αx. Esempio.5. - Se f tende d l R {} per x x, llor f é equivlente in x ll funzione costnte g(x) = l; E ltresí evidente che: ) se f tende e g tende l ˆR {} per x x, llor f << g; b) se f é convergente per x x e g é divergente per x x, llor f << g; c) se f é loclmente limitt in x e g é divergente per x x, llor f << g. Esempio.6. - Per ogni polinomio p(x) = + x + 2 x 2 +... + n x n di grdo n si h chirmente log n x n +...... + x + = log x n + log n + n x +...... + x n + x n, e quindi log n x n +...... + x + lim = n, x ± log x Ne segue che log p(x) n log x per x ± per ogni polinomio p di grdo n.

3 Esempio.7. - Adoperndo l regol di De L Hopitl si vede che log n x lim x + x α = lim x α log n x = per ogni n N, α >, x x n lim x + x = lim lim x + xn x = lim x x xn x = per ogni n N, se é >. x n = per ogni n N, se é < <. x Ne segue che () (b) { log n x << x α per x ± log n x << / x α per x { x α log n x << x β per x ±, x β log n x << x α per x per ogni α >, n N per ogni n N, e per ogni β > α, (c) { x n << x per x +, x << /x n per x per ogni n N se >, x n << x per x, x << /x n per x + per ogni n N se < <. Proposizione.2. Le seguenti proprietá sono pressocché evidenti: () f f, (2) f g g f, (3) f g, g h = f h, f << g, g h = f << h, (4) f g, g << h = f << h, f << g, g << h = f << h, { f << g = cf << g ed f << cg per ogni c ; (5) f g = cf cg per ogni c ; (6) f << g ed f 2 << g = f + f 2 << g, (7) se f << g ed f 2 g 2, llor f f 2 << g g 2 ed f /f 2 << g /g 2. (8) f g = f g << f ed f g << g. L importnz del concetto di funzioni equivlenti nel clcolo dei limiti é res evidente dll seguente proposizione l cui dimostrzione é perltro ovvi conseguenz dell definizione. Proposizione.3. () Se f << g llor f + g g. { f n g n, n f (b) Se f g, llor n g per ogni n N f α g α per ogni α R. (c) Se f g ed f 2 g 2, llor f f 2 g g 2 ed f /f 2 g /g 2.

4 Dll precedente proposizione discende il seguente Principio di sostituzione: un funzione che é prodotto o rpporto di piú fttori viene trsformt in un funzione equivlente in x se su di ess si effettuno le seguenti operzioni: () sostituire ciscun fttore con un funzione equivlente, (b) sostituire l potenz o l rdice di un fttore con l potenz o l rdice di un funzione equivlente, (c) in un fttore che si somm di due o piú funzioni, possimo trscurre gli ddendi che sono trscurbili rispetto d un ddendo che possimo chimre il termine dominnte, e sostituire l intero fttore con il termine dominnte. Tle principio risult di enorme utilitá qundo si deve clcolre il limite per x x di un funzione che si prodotto o rpporto di funzioni che tendono o ±. Inftti l termine di tle processo di sostituzioni (e di eventuli semplificzioni), vremo ottenuto un funzione g equivlente d f, (vente quindi lo stesso limite di f), di cui é in genere molto piú fcile clcolre il limite per x x. Esempio.8. - Volendo clcolre il limite per x + dell funzione si puó osservre che f(x) = x3 3x 2 + 2x 5 x 5 + 3x 3 2x + 2, x 3 3x 2 + 2x 5 x 3, x 5 + 3x 3 2x + 2 x 5, e quindi f(x) x 2 /( x 5 ) = x 2. Ne segue che In generle se lim f(x) = lim x + x + x 2 =. p(x) = + x + 2 x 2 +... + n x n e q(x) = b + b x + b 2 x 2 +... + b k x k sono due polinomi di grdo rispettivmente n e k, llor p(x)/q(x) n x n /b k x k, p(x) se n < k, lim x + q(x) = n /b k se n = k, ( n /b k )(+ ) se n > k. e quindi si h Anlogmente si clcol il limite di p(x)/q(x) per x. Esempio.9. - Volendo clcolre il limite per x + dell funzione f(x) = x 3 3x 2 + 2x 5 x 5 + 3x 3 2x + 2, si puó osservre che x 3 3x 2 + 2x 5 x 3 e x 5 + 3x 3 2x + 2 x 5 e quindi che x3 3x 2 + 2x 5 x 3/2 mentre x 5 + 3x 3 2x + 2 x 5/2. Se ne deduce che x3 3x 2 + 2x 5 x 3/2 << x 5/2 x 5 + 3x 3 2x + 2, e dunque che f(x) x 5 + 3x 3 2x + 2 x 5/2.

5 Ne segue che lim f(x) = lim x + x + x5/2 =. Con un procedimento simile si puó clcolre il limite per x che tende + o di un funzione del tipo f(x) = n p(x) m q(x), dove p e q sono due polinomi di grdo k ed l rispettivmente, e k/n l/m. Esempio.. - Volendo clcolre il limite per x + delle funzioni possimo osservre che: f(x) = 2x + x 3 2x + 5 x 4 + x 2 log x, g(x) = x2 log(x 3 3x 2 x + 5) 3x log 3 (x 2 ) 3 x x 2 + x log 2, (3x 2 x + 4) () x 3, 2x e 5 sono trscurbili rispetto 2 x e quindi 2 x + x 3 2x + 5 2 x ; (2) x 2 log x e sono trscurbili rispetto x 4 e quindi x 4 + x 2 log x x 4 ; (3) log(x 3 3x 2 x + 5) 3 log x e quindi x 2 log(x 3 3x 2 x + 5) 3x 2 log x; nlogmente log(x 2 ) 2 log x e quindi 3x log 3 (x 2 ) 3x(2 log x) 3 = 24x log 3 x; ne segue che 3x log 3 (x 2 ) << x 2 log(x 3 3x 2 x + 5) e dunque x 2 log(x 3 3x 2 x + 5) 3x log 3 (x 2 ) x 2 log(x 3 3x 2 x + 5) 3x 2 log x. (4) log(3x 2 x + 4) 2 log x e quindi x log 2 (3x 2 x + 4) x(2 log x) 2 = 4x log 2 x << 3 x ; d ltr prte é x 2 << 3 x e quindi 3 x x 2 + x log 2 (3x 2 x + 4) 3 x. Ne segue che f(x) 2 x /x 4, g(x) 3x2 log x 3 x e dunque f(x) +, mentre g(x) per x +. Esempio.. - Volendo clcolre il limite per x dell funzione possimo osservre che: f(x) = (x + 2x 2 ) sin 3 x 3 rcsin 2 x (tg 2 x + 5x 4 )(log 3 ( + x)) 2 ( + x ) /3, () 2x 2 é trscurbile rispetto d x e quindi x + 2x 2 x; (2) sin x x e quindi sin 3 x x 3, 3 (3) rcsin x x e quindi rcsin 2 x x 2/3, (4) tg x x e quindi tg 2 x x 2 ; d ltr prte 5x 4 << x 2 e quindi 5x 4 << tg 2 x x 2 ; dunque tg 2 x + 5x 4 x 2 ; (5) log 3 ( + x) x/ log 3 e quindi (log 3 ( + x)) 2 x 2 / log 2 3; (6) + x x/2 e quindi ( + x ) /3 (x/2) /3. Di conseguenz f é equivlente ll funzione e dunque si h che g(x) = x x 3 x 2/3 x 2 (x 2 / log 2 3) (x/2) /3 = ( 3 2 log 2 3)x /3 ; lim f(x) = lim g(x) =. x x L seguente proposizione consente di potenzire ulteriormente il principio di sostituzione.

6 Proposizione.4. Sino X ed Y due prti di R, si f un funzione rele definit in X tle che f(x) Y, e sino g e g 2 due funzioni reli definite in Y. Supponimo che i) x ˆR é un punto di ccumulzione di X ed esiste lim x x f(x) = y ˆR; ii) y é un punto di ccumulzione per Y ; iii) esiste un intorno J di x tle che f(x) y per ogni x X J {x }. Ebbene se g g 2 in y, llor g f g 2 f in x. L dimostrzione é ovvi in virtú del teorem sul limite dell funzione compost. Si noti che l iii) é sicurmente soddisftt se y = +, y = o se f é iniettiv (perlomeno loclmente). Esempio. 2. - Essendo sin y y in, llor sin(x x ) x x in x, sin αx αx, sin x n x n, sin n x n x, in sin x x, sin n n, sin x α x α in +, per ogni α >. Risultti simili si ottengono sostituendo l funzione seno con le funzioni tg, rcsin, rctn. Esempio.3. - Essendo log( + y) y in, llor log( + x n ) x n, log( + n x) n x in per ogni n, log( + sin x n ) sin x n x n, log( + sin n x) sin n x x n, in per ogni n. Esempio.4. - Clcolre il limite per x + dell funzione f(x) = (5 3 rcsin 2 x ) log 2 ( + sin(x + x 3 )) rctn 3 x 2 2x 3 ( cos 3. x 2 ) Osservimo che: () essendo 5 y y log 5 in y =, e 3 rcsin 2 x per x, si h (5 3 rcsin 2x ) 3 rcsin 2 x log 5 x 2/3 log 5 in x = ; (2) essendo log 2 ( + y) y/ log 2 in y = e sin(x + x 3 ) per x, si h che log 2 ( + sin(x + x 3 )) sin(x + x 3 )/ log 2 (x + x 3 )/ log 2 x/ log 2, poiché x 3 << x in ; (3) essendo rctn y y in y = e x 2 2x 3 per x, srá rctn( x 2 2x 3 ) x 2 2x 3 ; d ltr prte, essendo 2x 3 << x 2, si h che x 2 2x 3 x 2 e quindi x 2 2x 3 x 2 = x; ne segue che rctn x 2 2x 3 x e quindi rctn 3 x 2 2x 3 x 3 ; (4) essendo cos y y 2 /2 per y e 3 x 2 per x, si h: ( cos 3 x 2 ) x 4/3 /2. Di conseguenz f é equivlente per x ll funzione g(x) = x2/3 log 5 (x/ log 2) x 3 x 4/3 /2 Pertnto f diverge positivmente per x. = log 5 log 2 x 8/3 + per x.

INTEGRALI IMPROPRI n. - Definizioni Voglimo or estendere il concetto di integrle di un funzione, in modo d poter clcolre l re di un regione pin non limitt. Ad esempio questo è il cso del rettngoloide R f = {(x, y) R 2 x X, y f(x)} di un funzione continu e positiv f : X R, se X è un intervllo illimitto del tipo [, + [, ], b] o ], + [, oppure se X è un intervllo limitto del tipo [, b[, ], b] o ], b[, m risult lim f(x) = +, e/o lim f(x) = +. x b x A tl fine osservimo che se f è un funzione continu e positiv in X = [, b[, (rispettivmente in X = [, + [), llor per ogni x ], b[, (rispettivmente x ], + [), si h che f(t) dt rppresent l re del rettngoloide dell restrizione di f ll intervllo [, x]. L figur mostr llor come si del tutto rgionevole porre per definizione: Are di R f = lim x b (ovvimente nell ipotesi che tle limite esist). f(t) dt, (rispettiv. Are di R f = lim x + f(t) dt), Anlogmente l figur 2 mostr che se f è un funzione continu e positiv in X =], b], (rispettiv. in X =], b]), llor è rgionevole porre per definizione: Are di R f = lim x Questo giustific l seguente definizione. x f(x) dx = f(t) dt (rispettiv. Are di R f = lim x X f(x) dx = x f(t) dt). Definizione.. Se f : X R è un funzione rele continu nell intervllo X = [, b[, con b numero rele mggiore di o b = +, oppure X =], b], con numero rele minore di b o =, si dice integrle improprio di f tr e b, (o esteso ll intervllo X), l elemento di ˆR = R {, + } definito d lim f(t) dt, x b se X = [, b[, purchè tle limite esist. lim f(t) dt x x se X =], b], Si dice inoltre che f è integrbile in senso improprio tr e b, (o che f h un integrle improprio convergente), se l integrle improprio di f tr e b esiste ed è un numero rele. Si dice invece che f h un integrle improprio divergente (positivmente o negtivmente) se l integrle improprio di f tr e b è ugule + o.

Osservzione.2 - Se f è continu in X = [, b[, (rispettivmente X =], b]), e c ], b[, llor l integrle improprio di f tr e b esiste se e solo se esiste l integrle improprio di f tr c e b (rispettivmente tr e c), e risult f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx, con le consuete convenzioni: + + α = +, + α =, per ogni α R. Inftti, se d esempio risult X = [, b[, llor f(x) dx = lim x b f(t) dt = lim x b c f(t) dt + c f(t) dt = c f(x) dx + c f(x) dx. Perciò per provre che f h integrle improprio convergente o divergente tr e b srà sufficiente provre che questo ccde per l restrizione di f d un opportuno intorno sinistro di b, (rispettiv. d un opportuno intorno destro di ). Voglimo or estendere il concetto di integrle improprio l cso di funzioni definite in un intervllo perto X del tipo ], b[, ], b[, ], + [, ], + [. A tl fine osservimo che se f : X R è un funzione rele continu e positiv nell intervllo X =], b[, con R { } e b R {+ }, llor, preso c ], b[, si h evidentemente che il rettngoloide R f di f è l unione dei due insiemi R ed R 2, rettngoloidi delle restrizioni di f gli intervlli ], c] e [c, b[, (vedi figure 3 e 4). Pertnto è nturle porre Questo giustific l seguente Are R f = Are R + Are R 2. Definizione.3. Se f : X R è un funzione rele continu nell intervllo X =], b[, con R { } e b R {+ }, llor, preso rbitrrimente c ], b[, si dice integrle improprio di f tr e b l elemento di ˆR definito d c c f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = lim f(t) dt + lim f(t) dt, x x b X c purchè tli limiti esistno e non dino origine d un form indetermint +. Si dice inoltre che f è integrbile in senso improprio tr e b, (o che f h un integrle improprio convergente), se l integrle improprio di f tr e b esiste ed è un numero rele, cioè se f è integrbile in senso improprio tr e c e tr c e b. Si dice invece che f h un integrle improprio divergente (positivmente o negtivmente) se l integrle improprio di f tr e b è ugule + o. Osservzione.4. - L precedente definizione h senso poichè si vede fcilmente che ess non dipende dll scelt dell elemento c di ], b[. Inftti se c, c 2 ], b[, c < c 2, llor per l Osservzione.2 si h che: f è dotto di integrle improprio tr e c 2 se e solo se f è dotto di integrle improprio tr e c, f è dotto di integrle improprio tr c e b se e solo se f è dotto di integrle improprio tr c 2 e b. Risult inoltre: c2 c c2 c2 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c c c c 2 3 x c

4 Ne segue che f è dotto di integrle improprio tr e c e tr c e b se e solo se f è dotto di integrle improprio tr e c 2 e tr c 2 e b e risult c c c2 c2 f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c c c 2 c 2 Definizione.5. Se f : X R è un funzione rele continu in X ed X è l unione di due intervlli dicenti X ed X 2, dove X è uno degli intervlli [, c[ o ], c[ con R { } ed X 2 è uno degli intervlli ]c, b] o ]c, b[ con b R {+ }, llor si dice integrle improprio di f tr e b l elemento di ˆR definito d f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx, purchè entrmbi gli integrli impropri esistno e non dino origine ll form indetermint +. Si dice inoltre che f è integrbile in senso improprio tr e b, (o che f h un integrle improprio convergente), se l integrle improprio di f tr e b esiste ed è un numero rele, cioè se f è integrbile in senso improprio tr e c e tr c e b. Si dice invece che f h un integrle improprio divergente (positivmente o negtivmente) se l integrle improprio di f tr e b è ugule + o. Osservzione.6. - L definizione precedente può essere estes in mnier ovvi l cso di funzioni definite nell insieme X unione di un numero finito di intervlli X, X 2,... X n due due dicenti: X f(x) dx = n i= X i f(x) dx. Osservzione.7. - In bse lle considerzioni che hnno motivto le precedenti definizioni, se f : X R è un funzione continu, positiv e integrbile in senso improprio in X, dove X è un intervllo semiperto o perto, limitto o illimitto, oppure è l unione di due o più intervlli dicenti, llor l re del rettngoloide definito d f è per definizione l integrle improprio di f esteso d X. Se f non è positiv, m f è integrbile in senso improprio, llor l re del rettngoloide definito d f è per definizione l integrle improprio di f. Osservzione.8. - In tutte le precedenti definizioni (e nei prgrfi seguenti) l ipotesi di continuitá di f non é indispensbile; ess serve grntire che si integrbile (secondo Riemnn) l restrizione di f qulunque intervllo chiuso e limitto contenuto nell insieme di definizione di f e puó essere dppertutto sostituit d tle ultim condizione.

5 n.2 - Alcuni esempi Esempio 2.. - Se f è un funzione costnte, f(x) = K per ogni x R, llor per ogni, b R si h: + + + se K >, f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx = se K <, se K =. Si h inftti: + f(x) dx = lim x + K dt = lim K(x ), x + b f(x) dx = lim x x K dt = lim K(b x) x e di qui discende l tesi. Esempio 2.2. - Posto f(x) = x per ogni x R, si h + x dx = lim x + t dt = x { + se >, lim x + log = / log se < <, x dx = lim x x t dt = x { + se < <, lim x log = / log se >. + x dx = x dx + + x dx = +, per ogni >,. Esempio 2.3. - Considert l funzione f(x) = /x per ogni x, si h: + x dx = lim x + t dt = lim x + log x log = + dx = lim dt = lim x x + x t x + log log t = +. Anlogmente si prov che: e quindi x dx = dx =, x dx = ( ) + ( ) =, x + dx = (+ ) + (+ ) = +. x Invece /x non h integrle improprio tr ed o tr e +, poichè esso ssumerebbe l form indetermint +.

6 Esempio 2.4. - Per ogni p si h: + x p dx = lim x + dx = lim xp x + x t p dt = lim x p { /(p ) se p >, = x + p + se p <, x p dt = lim tp x + p { + se p >, = /( p) se p <, e quindi + dx = + per ogni p >, p. xp n. 3 - Alcune Osservzioni ed Ulteriori Esempi In tutto il presente prgrfo X denoterà uno degli intervlli [, b[, ], b], o ], b[, con R { } e b R {+ }. Osservzione 3.. - Comincimo con l osservre che porremo per definizione b f(x) dx = f(x) dx, coerentemente con qunto ftto nel cso di funzioni continue in un intervllo chiuso e limitto [, b]. Osservzione 3.2. - Se f : X R è dott di integrle improprio tr e b, llor per ogni α si h: αf(x) dx = α con le consuete convenzioni { + se α >, α (+ ) = se α <, f(x) dx, { se α >, α ( ) = + se α <. In prticolre, (con l convenzione (+ ) = e ( ) = + ), si h Inftti se d esempio è X = [, b[, llor si h: αf(x) dx = lim x b f(x) dx = αf(t) dt = lim x b α f(x) dx. f(t) dt = α lim x b f(t) dt = α f(x) dx. Osservzione 3.3. - In mnier simile si prov che se f e g sono dotte di integrle improprio tr e b, llor si h: [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + purchè non si presenti l form indetermint +. g(x) dx,

Osservzione 3.4. - Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle può essere esteso gli integrli impropri, nel senso che se f : X R è continu in X, se F è un qulunque primitiv di f e ponimo per convenzione: F () = lim F (x), e / o F (b) = lim F (x), x x b llor l integrle improprio di f tr e b è dto d f(x) dx = F (b) F () = lim x b F (x) lim x F (x), purchè tli limiti esistno e non dino origine ll form indetermint +. Inftti, se d esempio è X = [, b[, per il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle si h: f(x) dx = lim x b f(t) dt = lim x b F (x) F () = F (b) F (). In mnier nlog si procede se X =], b]. Infine, se X =], b[, llor preso rbitrrimente c ], b[ si h: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx = F (c) F () + F (b) F (c) = F (b) F (). 7 Esempio 3.5. - Considerimo le funzioni f(x) = x 2 per ogni x ], [, g(x) = + x 2 per ogni x R. Le funzioni F (x) = rcsen x e G(x) = rctg x sono primitive di f e g rispettivmente. Dll Osservzione precedente segue llor che + dx = rcsen rcsen ( ) = lim x 2 x dx =rctg (+ ) rctg ( ) = lim + x2 rcsen x lim x x + rctg x lim x rcsen x = π/2 ( π/2) = π rctg x = π/2 ( π/2) = π Pertnto le funzioni / x 2 e /( + x 2 ) sono integrbili rispettivmente tr ed e tr e +. Osservzione 3.6. - (Formul di integrzione impropri per prti) - Il metodo di integrzione per prti può essere esteso gli integrli impropri, nel senso che se f e g sono funzioni derivbili con derivt continu in X, llor si h con l convenzione che f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx, f() = lim x f(x), g() = lim x g(x), ed f(b) = lim x b f(x), g(b) = lim x b g(x),

8 purchè tli limiti e gli integrli impropri esistno e non dino origine ll form indetermint +. Inftti, se d esempio risult X = [, b[, llor f(x)g (x) dx = lim x b f(t)g (t) dt = lim [f(x)g(x) f()g() x b = lim f(x)g(x) f()g() lim x b x b = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx. f (t)g(t) dt f (t)g(t) dt ] Esempio 3.7. - Ad esempio si h + x 2 e x dx = = + + x 2 D( e x ) dx = 2xD( e x ) dx = lim x + x2 e x lim x 2 e x + x lim x + 2xe x lim 2xe x x = lim x + 2e x lim x 2e x = ( 2) = 2 + + 2xe x dx 2e x dx Osservzione 3.8. - (Formul di integrzione impropri per sostituzione) - Il metodo di integrzione per sostituzione può essere esteso gli integrli impropri, nel senso che se f è un funzione derivbile con derivt continu in X, e g è continu in Y = f(x), llor si h con l convenzione che purchè tli integrli impropri esistno. g(f(x))f (x) dx = f(b) f() g(y) dy, f() = lim x f(x),, ed f(b) = lim x b f(x), Inftti se G è un primitiv di g, llor G f è un primitiv di g(f(x))f (x), e quindi si h: g(f(x))f (x) dx = lim x b G(f(x)) lim x G(f(x)) = lim G(y) lim G(y) = y f(b) y f() f(b) f() g(y) dy. Esempio 3.9. - Considerimo le funzioni f(x) = log x e g(y) = / y p ; si h llor f (x) = /x, f() = log =, f(2) = log 2, f(+ ) = lim log x = + x + e quindi 2 log 2 x(log x) p dx = y p dy { R se p <, = + se p.

9 + 2 + x(log x) p dx = log 2 y p dy { R se p >, = + se p. Esempio 3. - Per ogni x R e per ogni ε >, posto y = x x, dy = dx, si h: +ε x x x p dx = ε y p dy { R se p <, = + se p. Anlogmente, posto y = x x, dy = dx, si h: x ε x x p dx = ε y p dy = ε y p dy { R se p <, = + se p. Pertnto l funzione /( x x p ) h un integrle improprio convergente (rispett. divergente positivmente) in ogni intorno sinistro o destro di x se p < (rispett. se p ). Osservzione 3.. - In generle, se R ed f é continu in ], b], llor, posto y = x, dy = dx, si h: f(x) dx = f( + y) dy. Anlogmente, se b R ed f é continu in [, b[, llor, posto y = b x, dy = dx, si h: f(x) dx = b f(b y) dy = f(b y) dy. Pertnto qulunque integrle improprio esteso d un intervllo semiperto e limitto puó essere trsformto in un integrle improprio esteso d un intorno destro di. Osservzione 3.2. - Risult: f(x) dx = b f( y) dy, con l consuet convenzione (+ ) = e ( ) = +. Inftti, posto y = x, dy = dx, si h: f(x) dx = b f( y) dy = b f( y) dy. In prticolre, se > ed f è un funzione continu nell intervllo ], ] o nell intervllo [, [, llor si h: f(x) dx = + f( y) dy oppure f(x) dx = f( y) dy. Pertnto qulunque integrle improprio esteso d un intorno di puó essere trsformto in un integrle improprio esteso d un intorno di +, e qulunque integrle improprio esteso d un intorno sinistro di puó essere trsformto in un integrle improprio esteso d un intorno destro di.

Esempio 3.3. - Ad esempio risult: x p dx = x p dx = + y p dy = y p dy = + y p dy y p dy { R se p >, = + se p ; { R se p <, = + se p. Esempio 3.4. - Posto y = log x, dy = (/x)dx, essendo lim x log x = e log(/2) = log 2, si h: /2 log 2 x log x p dx = + y p dy = log 2 + y p dy = log 2 y p dy { R se p >, = + se p. In mnier nlog si possono clcolre gli integrli impropri dell funzione /(x log x p ) negli intervlli ], 2], [ 2, [, ], /2], [ /2, [. n. 4 - Alcune condizioni necessrie o sufficienti di Integrbilità Anche nel presente prgrfo X denoterà l intervllo [, b[ o l intervllo ], b], con R { } e b R {+ }. Voglimo dre lcune condizioni che grntiscono che l integrle improprio esteso d X di un funzione f è convergente o divergente. Comincimo con l seguente Proposizione 4.. Se f è continu in X = [, b[, ed esiste c ], b[, tle che (4.) f(x) (rispett. ) per ogni x [c, b[ llor l integrle improprio di f tr e b esiste ed è convergente o divergente positivmente (rispett. convergente o divergente negtivmente). L tesi sussiste ncor se X =], b] e nell (4.) si sostituisce l intervllo [c, b[ con ], c]. Dim.. Inftti, posto F (x) = f(t) dt per ogni x ], b[, si h che F é un primitiv di f e risult F (x) = f(x), (rispett. ) per ogni x [c, b[. Ne segue che F è crescente (rispett. decrescente) in [c, b[, e quindi esiste il limite di F per x b, e risult: lim F (x) = sup F (]c, b[) R {+ }, (rispett. lim F (x) = inf F (]c, b[) R { }). x b x b Se ne deduce che l integrle improprio di f tr e b esiste ed é dto d f(x) dx = lim x b come volevsi. Il rgionmento é simile nel cso X =], b]. f(t) dt = lim x b F (x) R {+ }, (rispett. R { }). Osservzione 4.2. - Dll Prop. 4. e dl teorem di permnenz del segno si deduce immeditmente che l integrle improprio di f tr e b esiste ed è convergente o divergente positivmente, (rispett. negtivmente), se f è continu in [, b[, e il limite per x b esiste ed é >, (rispett. < ), oppure se f è continu in ], b], e il limite per x esiste ed é >, (rispett. < ). In prticolre, l integrle improprio di f tr e b esiste ed è convergente o divergente positivmente, (rispett. negtivmente), se f è continu in [, b[ ed é divergente positivmente (rispett. negtivmente) per x b oppure se f è continu in ], b] ed é divergente positivmente (rispett. negtivmente) per x. Sussiste inoltre l seguente

Proposizione 4.3. Se f è definit e continu nell intervllo X = [, + [ o X =], b] ed esiste l = lim f(x), (rispettiv. l = lim f(x)), x + x llor: ) l >, (in prticolre l = + ), = f(x) dx = +, X b) l <, (in prticolre l = ), = f(x) dx =, X c) f integrbile in senso improprio tr e +, o tr e b, = l =. Per fissre le idee supponimo che f si continu nell intervllo [, + [. Dim. di ). Innnzitutto osservimo che esistono K > e c [, + [ tli che (4.2) f(x) K per ogni x [c, + [. Inftti, se l = +, bst pplicre l definizione di funzione divergente positivmente e si otterrà l tesi per K > rbitrrio; nel cso invece in cui è l R, bst pplicre l definizione di limite prendendo ε = l /2 e si otterrà l tesi per K = l ε = l /2. Or, d (4.2) segue che per ogni x > c si h: f(t) dt = c f(t) dt + c f(t) dt c f(t) dt + c K dt = c f(t) dt + K(x c); Per x + l ultimo membro dell precedente diseguglinz tende chirmente +, e quindi, per il Test di divergenz, nche il primo membro tende +. Pertnto l integrle improprio di f diverge positivmente, come volevsi. Dim. di b). Si può rgionre in mnier nlog, oppure si può pplicre l ) ll funzione f; se ne deduce che f h integrle improprio divergente positivmente, e quindi che f h integrle improprio divergente negtivmente. Dim. di c). Se fosse l, srebbe l > o l < e quindi f vrebbe un integrle improprio divergente positivmente o negtivmente. Ossservzione 4.4. - L precedente Proposizione costituisce un condizione necessri per l integrbilità in senso improprio di un funzione: perchè f si integrbile il limite di f per x ± (se esiste) deve essere ugule. Nturlmenmte tle condizione non è sufficiente. Sppimo inftti che le funzioni / x p ed /(x log x p ) tendono per x ± per ogni p >, m sono integrbili in un intorno di ± solo se p >. In un certo senso, per essere integrbile in senso improprio, f deve tendere bbstnz rpidmente, come verrà chirito ulteriormente in seguito. Il teorem che segue fornisce un semplice e comod condizione sufficiente perchè l integrle improprio di un funzione si convergente o divergente. Teorem 4.5 - (Criterio di confronto). Sino f, g due funzioni reli continue in X = [, b[, (rispettivmente in X =], b]), e supponimo che esist c ], b[ tle che (4.3) f(x) g(x) per ogni x [c, b[, (rispettivmente per ogni x ], c]). Allor (I) se f(x) dx = +, si h nche g(x) dx = + ; (II) se g è integrbile in senso improprio tr e b, nche f è integrbile in senso improprio.

2 Dim. di (I). Per fissre le idee supponimo che si X = [, b[. Allor, per l (4.3), per ogni x [c, b[ si h e quindi g(t) dt = c g(t) dt + c g(t) dt c c g(t) dt g(t) dt + c c f(t) dt, f(t) dt = c g(t) dt c f(t) dt + f(t) dt. Or, se f(x) dx = lim f(t) dt = +, llor l ultimo membro dell precedente diseguglinz x b tende +, e quindi, per il criterio di divergenz, nche il primo membro tende +, cioè g(x) dx = +. Dim. di (II). Per l (4.3) e l Proposizione 4., l integrle improprio di f tr e b è convergente o divergente positivmente. Ebbene, se g è integrbile in senso improprio tr e b, llor nche f deve essere integrbile in senso improprio, perchè in cso contrrio f vrebbe un integrle improprio divergente positivmente e quindi, per qunto ppen visto, nche g vrebbe un integrle improprio divergente positivmente, contrddicendo l ipotesi. Corollrio 4.6. Se f è integrbile in senso improprio tr e b, llor nche f è integrbile in senso improprio. Dim.. Posto f + (x) = sup(, f(x)) ed f (x) = sup(, f(x)) per ogni x X, si h: f + (x) f(x), f (x) f(x), per ogni x X. Di qui per il precedente criterio del confronto segue che f + ed f sono integrbili in senso improprio. D ltr prte, essendo evidentemente f = f + f, per le Osservzioni 3.2 e 3.3 si h che nche f è integrbile in senso improprio. Dl criterio di confronto segue pure il seguente utilissimo Corollrio 4.7 - (Criterio di confronto sintotico). (I) Se f << g per x b (rispettiv. per x ), llor: f(x) dx = + = g(x) dx R = g(x) dx = + f(x) dx R (II) Se f g per x b (rispettiv. per x ), llor l integrle improprio di f e l integrle improprio di g hnno lo stesso crttere, nel senso che uno è convergente se e solo se è convergente l ltro e vicevers uno è divergente positivmente se e solo se tle è l ltro. Per fissre le idee supponimo che si X = [, b[. Dim. di (I). Essendo f << g per x b, cioè lim x b f(x) / g(x) =,

3 in corrispondenz di ε = esiste c ], b[ tle che f(x)/g(x) < o equivlentemente f(x) < g(x) per ogni x [c, b[. Per il criterio del confronto, si h llor che se l integrle improprio di f è divergente positivmente, tle è nche l integrle improprio di g, mentre se l integrle improprio di g è convergente, tle è nche l integrle improprio di f. Dim. di (II). Se f g per x b, cioè se f(x)/g(x) per x b, llor, in corrispondenz di ε = /2, esiste c ], b[ tle che ε < f(x) g(x) < + ε, cioè 2 g(x) < f(x) < 3 g(x) per ogni x [c, b[. 2 Or, per il criterio del confronto, si h che: ) se l integrle improprio di f è divergente positivmente, tle è nche l integrle improprio di (3/2) g e quindi di g ; vicevers se l integrle improprio di g è divergente positivmente, tle è nche l integrle improprio di g /2 e quindi nche f h un integrle improprio divergente. b) se f è integrbile in senso improprio tr e b, tle è nche g /2, e quindi nche g è integrbile in senso improprio; vicevers, se g è integrbile in senso improprio, tle è nche 3 g /2, e quindi nche f è integrbile in senso improprio tr e b. Osservzione 4.8. - Si noti che se f g per x b, (rispettiv. x ), e risult g(x) in un intorno di b, (rispettiv. di ), lo stesso ccde per f(x). Di conseguenz il Criterio di confronto sintotico può essere ulteriormente precisto nel senso che l integrle improprio di f e l integrle improprio di g hnno lo stesso crttere. Ovvimente questo stesso risultto si giunge se risult g(x) in un intorno di b o di. Osservzione 4.9 - Il criterio di confronto sintotico insieme con il principio di sostituzione consente di semplificre lo studio dell integrbilità in senso improprio di un funzione f. Inftti doperndo il principio di sostituzione si trsform l funzione f in un funzione g equivlente d f che di solito è molto più semplice d studire. Ad esempio, volendo stbilire se un funzione f h un integrle improprio convergente o divergente in un intorno sinistro o destro di un numero rele x si puó procedere come segue. () Medinte il principio di sostituzione trsformimo f in un funzione g equivlente d f per x x + o per x x ; (2) se g é del tipo c/ x x α con c R, llor l integrle improprio di g e quindi di f srá convergente se é α <, mentre srá divergente, (positivmente o negtivmente second del segno di c), se é α ; (3) se g non é del tipo c/ x x α, llor si clcol il limite lim x x ± x x g(x); se tle limite é ugule ±, vuol dire che l funzione h(x) = /(x x ) é trscurbile rispetto g e quindi, in un intorno sinistro o destro di x, l integrle improprio di f e di g é divergente l pri dell integrle improprio di h; (4) se il precedente limite non esiste o é ugule, llor si clcol il limite l α = lim x x ± g(x) x x α ; se esiste α < tle che l α =, vuol dire che g é trscurbile rispetto d h(x) = / x x α, e quindi g ed f sono (l pri di h) integrbili in senso improprio in un intorno sinistro o destro di x.

4 In mnier nlog si puó ffrontre il problem di stbilire se l integrle improprio di un funzione f in un intorno di + o é convergente o divergente. () Medinte il principio di sostituzione trsformimo f in un funzione g equivlente d f per x + o per x ; (2) se g é del tipo c/ x α oppure c/ x log x α con c R, llor l integrle improprio di g e quindi di f srá convergente se é α >, mentre srá divergente (positivmente o negtivmente second del segno di c) se é α ; (3) se g non é del tipo suddetto, llor si clcol il limite l = lim g(x); x ± se tle limite é diverso d, (eventulmente ± ), llor l integrle improprio di f e di g é divergente positivmente o negtivmente second del segno di l ; (4) se l =, si clcol il limite l = lim x ± x g(x) ; se tle limite é ugule +, vuol dire che l funzione h(x) = /x é trscurbile rispetto g e quindi l integrle improprio di f e di g é divergente l pri dell integrle improprio di h; (5) se il precedente limite l non esiste o é ugule, llor si clcol il limite L = lim x x ± log x g(x) ),; se tle limite é ugule +, vuol dire che l funzione h(x) = /(x log x ) é trscurbile rispetto g e quindi l integrle improprio di f e di g é divergente l pri dell integrle improprio di h; (6) se l ed L non esistono o sono uguli, llor si clcol il limite l α = lim se g(x) x ± x α ; esiste α > tle che l α =, vuol dire che g é trscurbile rispetto d h(x) = / x α, e quindi g ed f sono (l pri di h) integrbili in senso improprio in un intorno di ±. (7) se risult l α = + per ogni α >, llor si clcol il limte lim se g(x) x log x ± x α ; esiste α > tle che l α =, vuol dire che g é trscurbile rispetto d h(x) = /(x log x α ), e quindi g ed f sono (l pri di h) integrbili in senso improprio in un intorno di ±. Nel prgrfo seguente vengono forniti lcuni esercizi sull uso del criterio di confronto sintotico. n. 5 - Esercizi Esempio 5.. - Essendo f(x) = kx k +...... + x + b n x n +...... + b x + b k b n x n k, si h che f è integrbile in senso improprio in un intorno di + o se e solo se è n k >. Se invece è n k, llor l integrle improprio di f in un qulunque intorno di + o srà divergente positivmente o negtivmente second del segno di k, b n ed x n k. Si h d esempio f(x) = x2 + x 5 2x 3 + x 2 4 2x, g(x) = 2x2 + 3x x 4 3x 3 2x + 2, per x ±. x2 Pertnto g è, l pri di 2/x 2, integrbile in senso improprio in ogni intorno di ±. Invece f h, l pri /(2x), un integrle improprio divergente positivmente in ogni intorno di ed un integrle improprio divergente negtivmente in ogni intorno di +.

5 Esempio 5.2. - Considerimo l funzione f(x) = si h evidentemente (x 2) x 2 x = (x 2) x /2 x /2 per ogni x ], [ ], 2[ ]2, + [; f(x) /2 x /2 per x, f(x) f(x) / 2 x 2 x /2 per x +, per x 2, f(x) x x = ± x 2, per x ±. Ne segue che f h: l pri di /x 2 un integrle improprio convergente negli intervlli ], ] e [3, + [, l pri di / x /2 un integrle improprio convergente nell intervllo [, [, l pri di / x /2 un integrle improprio convergente nell intervllo ], 3/2], l pri di /(x 2) un integrle improprio divergente negtivmente nell intervllo [3/2, 2[ ed un integrle improprio divergente positivmente nell intervllo ]2, 3]. Di conseguenz f h un integrle improprio convergente nell intervllo ], [, un integrle improprio divergente negtivmente nell intervllo ], 2[, ed un integrle improprio divergente positivmente nell intervllo ]2, + [. Invece l integrle improprio tr e + non esiste perchè srebbe un form indetermint del tipo +. Esempio 5.3. - Come ulteriore esempio considerimo l funzione f(x) = x + 2 + x α x 2 + (x 2 x + ) 3, con α >. 2x 2 + x 3 Per x ± si h x + 2 + x α x 2 + x α+ e quindi f(x) x α+ x 2 3 2x 2 = 2 /3 x 5/3 α. Pertnto per ogni α >, si h che l integrle improprio di f h lo stesso crttere dell integrle improprio dell funzione / x 5/3 α. Conseguentemente l integrle improprio di f in un qulunque intorno di ± è convergente se e solo se 5/3 α >, (cioè se e solo se risult < α < 2/3), ed è divergente positivmente se e solo se 5/3 α, (cioè se e solo se α 2/3). Esempio 5.4. - Essendo f(x) = x 2 + x log(x 2 + ) (x 3 3x + 9) log 3 (x 2 x + ) x 2 x 3 8 log 3 x = 2/4, x log x 3/2 per x ±, si h che l integrle improprio di f in un qulunque intorno di ± h lo stesso crttere dell integrle di /(x log x 3/2 ). Essendo 3/2 > tle funzione è integrbile in senso improprio in un qulunque intorno di ±, e quindi nche f è integrbile in senso improprio.

6 Esempio 5.5. - Si f(x) = Ebbene, per x si h che log( + x) rctg 2 x log 2 x f(x) per ogni x ], [ ], + [. x x 2 log 2 x = x log 2 x ; dl momento che l funzione /x log 2 x è integrbile in senso improprio nell intervllo ], /2], (cfr. Esempio 3.4), tle è nche l f. Inoltre, essendo log x = log( + (x )) (x ) per x, si h che f(x) 6 log 2/π2 (x ) 2 per x, e quindi l integrle improprio di f in ogni intorno destro o sinistro di è divergente positivmente. Infine risult log x f(x) (π 2 /4) log 2 x = 4/π2 per x +. log x Ebbene, per x + si h che g(x), m x g(x) + ; ne segue che l integrle improprio di g e di f in un intorno di + é divergente positivmente. In definitiv, per ogni ], [ e per ogni b >, l integrle improprio di f tr ed é convergente, mentre gli integrli impropri di f tr ed, tr e b e tr b e + sono divergenti positivmente. Ne segue che nche gli integrli impropri tr e b, tr e, tr e +, tr e + e tr e + sono divergenti positivmente. Esempio 5.6. - Evidentemente si h f(x) = x3 + x x 2 2 x 3x 4 + x 2 2 g (x) = x3 3x 4 = /3 x g 2 (x) = x3 2 x per x +. per x, Ne segue che in un intorno di l integrle improprio di f h lo stesso crttere dell funzione /x e quindi è divergente positivmente. Invece in un intorno di +, l integrle improprio di f h lo stesso crttere dell funzione g 2 (x) = x 3 /2 x. Ebbene, per x +, si h chirmente che g 2 (x), x g 2 (x), x α g 2 (x) per ogni α >. Ne segue che l integrle improprio di g 2 e di f in un qulunque intorno di + é convergente. Esempio 5.7. - Evidentemente si h: f(x) = 3x + x 2 + x log (x 2 + ) x 2 x 3x 4 + x 2 2 x 2 = x 2x per x2 x 3 x 3x 4 per x +, x. e quindi in ogni intorno di, (rispettiv. + ), l integrle improprio di f h lo stesso crttere dell integrle improprio di g (x) = x2 x, (rispettiv. g 2 (x) = 3 x /x 4 ).

Ebbene, per x + risult g 2 (x) e quindi l integrle improprio di g 2 e di f é divergente negtivmente in un qulunque intorno di +. Invece, per x si h che g (x), x g (x), x α g (x) per ogni α >. Ne segue che, in un qulunque intorno di, l integrle improprio di g e di f é convergente. Esempio 5.8. - Evidentemente per x + si h: f(x) = x + 2 + x log2 (x 3 + x ) x x + + x α log(x 2 + ) 9x log 2 x x 3/2 = 9 log2 x x /2 = g (x) se α < 3 2 9x log 2 x 2x α log x = 9 log x 2x α = g 2(x) se α 3 2. Pertnto se è α < 3/2, llor per x + si h chirmente che g (x), mentre x g 2 (x) + ; questo prov che l integrle improprio di g e di f é divergente positivmente. Invece, nel cso 3/2 α 2, llor per x + si h che g 2 (x) e x g 2 (x) + e quindi l integrle improprio di f in ogni intorno di + è ncor divergente positivmente. Infine se α > 2, llor per x + si h che g 2 (x), x g 2 (x) e x β g 2 (x) per ogni β ], α [. Ne segue che g 2 ed f sono integrbili in senso improprio in ogni intorno di +. In conclusione l integrle improprio di f è convergente se α > 2 ed è divergente positivmente se è α 2. Esempio 5.9. - Considert l funzione f :], [ ], + [ R tle che si h evidentemente: f(x) = f(x) + log 2 x x + x2 log + x = + log 2 x x /2 x + /2 (log x + ), log 2 x log x = = g (x) per x ±, x log x x log 2 x x 3/2 = g 2x) per x +, x + /2 log x + = g 3(x) per x. Ebbene, per x ± si h che g (x) e che x g (x) + ; ne segue che l integrle improprio di g e di f é divergente positivmente in ogni intorno di ±. Anlogmente, per x + si h che x g 2 (x) +, e quindi l integrle improprio di g 2 e di f in ogni intorno destro di é divergente positivmente. Infine, per x si h che x + g 2 (x), m x + α g 2 (x) per ogni α > /2. Ne segue che per ogni α ]/2, [, le funzioni g 2 ed f sono trscurbili rispetto d!/ x + α e quest ultim funzione é integrbile in senso improprio in un intorno sinistro di. Pertnto nche g 2 ed f sono integrbili in senso improprio in un intorno sinistro di. In conclusione, f é integrbile in senso improprio in ogni intorno sinistro di, m gli integrli impropri di f tr e e tr e + sono divergenti positivmente. Esempio 5.. - Considerimo l funzione f(x) = x2 con > : per x ±, si h chirmente che x α x2 per ogni α >. Ne segue che l integrle improprio di f in ogni intorno di ± é convergente, e quindi f è integrbile in senso improprio in R. 7

SERIE NUMERICHE In questo cpitolo voglimo dre significto ll somm di infiniti numeri. Per introdurre l rgomento considerimo un fmoso prdosso di Zenone, filosofo greco del V secolo. C.: l cors tr un leone e un trtrug. Supponimo dunque di vere un leone che sfid un trtrug in un gr di cors e nturlmente, sicuro di sè, le concede un vntggio inizile. Zenone rgoment che, contrrimente l senso comune, il leone non potrà mi rggiungere l trtrug. Inftti, supponendo che il moto vveng su un rett, fissimo su tle rett un riferimento crtesino in modo che l origine si fisst nell posizione inizile del leone ed x > si l posizione inizile dell trtrug. Allor il leone impiegherà un tempo t per rggiungere l posizione x occupt inizilemnte dll trtrug; nel frttempo quest si è spostt nell posizione x 2 e il leone impiegherà un tempo ulteriore t 2 per rggiungere l posizione x 2. M nel frttempo l trtrug h rggiunto l posizione x 3 e dunque il leone impiegherà un tempo t 3 per giungere in x 3, e così vi. Il tempo necessrio l leone per rggiungere l trtrug srà quindi l somm degli infiniti tempi przili t + t 2 + t 3 +...... necessri l leone per rggiungere le posizioni x, x 2, x 3,... occupte successivmente dll trtrug. Trttndosi dell somm di infinite quntità strettmente positive, Zenone rgoment che tle somm debb essere infinit, e dunque è richiesto un tempo infinitmente lungo perchè il leone poss rggiungere l trtrug; in ltri termini, il leone non rggiungerà mi l trtrug, per qunto piccolo poss essere il vntggio inizile concesso x. Zenone si serve di questo e di ltri simili prdossi, per dimostrre che il movimento non esiste, che è tutt un pprenz, ecc... L cus del prdosso consiste nel dre per scontto che l somm di infinite quntità strettmente positive si necessrimente infinitmente grnde. In reltà se supponimo che il leone e l trtrug si muovno di moto rettilineo uniforme ed indichimo con v l velocità dell trtrug e V l velocità del leone, llor le leggi orrie del moto del leone e dell trtrug srnno rispettivmente x = V t e x = x + vt, e quindi il leone rggiunge l trtrug qundo V t = x + vt, cioè dopo un tempo T = x /(V v). Il prdosso svnisce se si d un definizione di somm degli infiniti termini di un successione numeric che si coerente con il ftto che nel cso descritto sopr l somm degli infiniti tempi przili t, t 2,..., t n,... si x /(V v). Torneremo tr breve su questo spetto; introducimo or il concetto di serie. n. - Serie numeriche Si dt un successione ( n ) n di numeri reli e per ogni n N denotimo S n l somm dei primi n termini di tle successione, cioè S n = + 2 +... + n = n k. S n dicesi somm przile n-esim o nche ridott n-esim dell successione ( n ) n. Dicesi serie di termine generle n ( n ) n, cioè l successione k= l successione delle somme przili dei termini dell successione ( + 2 +... + n ) n o equivlentemente (( n k ) n ). k=