Esercizio FMS IPER71,v,V,q E 2W q b F A C q b ϕ,w b b,u,h,p H C = F W EC = 2W = 2Fb q C = q = F/b p E = q = F/b θ A = -θ = -αt/b = -bf/ej ε = αt = b 2 F/EJ k A = EJ/b EJ A = EJ Nell ipotesi di trascurare la deformabilità assiale e tagliante dovuta ai soli effetti elastici, tracciare i diagrammi delle azioni interne della struttura. Carichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Calcolare reazioni vincolari della struttura e delle aste. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. Esprimere la linea elastica delle aste. A C Carichi di aste curve misurati in proiezione sugli assi,. J YZ - YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. Curvatura θ asta A positiva se convessa a destra con inizio A. Elongazione termica specifica ε assegnata su asta. EJ C = EJ EJ = EJ EJ E = EJ EJ EC = EJ @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1 SUPPORTO IAGRAMMI Nome: IPER71 Indicare il verso del riferimento locale A oppure A A A ()EJ= C C ()EJ= ()EJ= @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1
EQUILIRIO Nome: IPER71 E 2W W CE H CE A q F H X q EQUAZIONI I EQUILIRIO Rotazione intorno a : aste H b = Traslazione orizzontale: aste E EC H CE = -qb Rotazione intorno a E: aste EC H CE b +W CE = -2W Matrice di equilibrio H b H CE b W CE Xb Fb W qb 2 ϕ 1 u E 1 = -1 ϕ E 1 1-2 Soluzione del sistema Xb Fb W qb 2 H b H CE b = -1 W CE -2 1 @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1 REAZIONI Nome: IPER71 E F F E C 2F 3/2Fb F A q 2F Fb 17/8F q 2Fb 1/2Fb F Fb C 2F 7/8Fb 9/8F 2F 9/8F 2Fb @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1
EFORMATA E AZIONI INTERNE Nome: IPER71 PROCEIMENTO E RISULTATI Nome: IPER71 E 2W A E C -1 2 2 2 A q q C F 1/2 3 2 3/2 1-2 17/8-1 1 Fb 3 /EJ F 9/8-1 -1 1 7/8 2 3/2 1 X M o 1/2-2 -1 1 F @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1 Fb M 1 @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1
PROCEIMENTO E RISULTATI Nome: IPER71 PROCEIMENTO E RISULTATI Nome: IPER71 EFORMATA ELASTICA Iperstatiche X = V Costanti di integrazione: ϕ A K A ϕ C K C ϕ K Relazioni di congruenza A () + W A b/ej = A (b) - C () = A () = A (b) - αtb = C () - αtb = () = (b) = M A = -F +3Fb -X +Xb EJ" A = -F +3Fb -EJθ -X +Xb EJ A = -1/2F 2 +3Fb -EJθ -1/2X 2 +Xb +EJϕ A EJ A = -1/6F 3 +3/2Fb 2-1/2EJθ 2-1/6X 3 +1/2Xb 2 +EJϕ A +EJK A M A = -F -2Fb -X EJ" A = -F -2Fb +EJθ -X EJ A = -1/2F 2-2Fb +EJθ -1/2X 2 +EJϕ A EJ A = -1/6F 3 -Fb 2 +1/2EJθ 2-1/6X 3 +EJϕ A +EJK A M C = -F +3/2Fb +1/2q 2 EJ" C = -F +3/2Fb +1/2q 2 EJ C = -1/2F 2 +3/2Fb +1/6q 3 +EJϕ C EJ C = -1/6F 3 +3/4Fb 2 +1/24q 4 +EJϕ C +EJK C A A C Condizioni al contorno ϕ A b K A ϕ C b K C ϕ b K Xb 3 /EJ Fb 3 /EJ αtb A 1-1 3 A 1-1 1/2-5/2 1 A 1 A 1 1 1/3 = -4/3 3/2 C 1 1 1 1 1 Soluzione Fb 3 /EJ ϕ A b 7/8 ϕ C b 21/16 K A Xb 3 /EJ = -17/8 K C 1 K ϕ b K A = -Fb 3 /EJ K C = -47/16Fb 3 /EJ ϕ A = 21/16Fb 2 /EJ ϕ C = 119/48Fb 2 /EJ M C = -Fb -1/2q 2 EJ" C = -Fb -1/2q 2 EJ C = -Fb -1/6q 3 +EJϕ C EJ C = -1/2Fb 2-1/24q 4 +EJϕ C +EJK C M = EJ" = EJ = EJϕ EJ = EJϕ +EJK M = EJ" = EJ = EJϕ EJ = EJϕ +EJK C K = ϕ = EFORMATA (coordinate locali) A ()EJ = 7/8Fb 2-1/16 2 Fb +3/16 3 F A ()EJ = -Fb 3 +21/16Fb 2-1/2 2 Fb +3/16 3 F C ()EJ = Fb 3 +21/16Fb 2 +3/4 2 Fb -1/6 3 F +1/24 4 q C ()EJ = -47/16Fb 3 +119/48Fb 2-1/2 2 Fb -1/24 4 q ()EJ = ()EJ = A C A C @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1 @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1
PROCEIMENTO E RISULTATI Nome: IPER71 PROCEIMENTO E RISULTATI Nome: IPER71 CALCOLO REAZIONI IPERSTATICHE X = V Azioni di calcolo di iperstatiche M X A =(1- /b)b M X =()b C M X =()b M X =()b E M X =()b EC Azioni interne di base M o A =(3- /b)fb M o =(3/2- /b+1/2 C 2 /b 2 )Fb M o =()Fb M o =(1/2-1/2 E 2 /b 2 )Fb =(-4- (cosθ-1))fb M o EC Lavoro da forza unitaria X per deformazione da forza unitaria X L XX = b X A o M A MX 1/EJ d = A A (1- /b) 2 b 2 1/EJ o A d L XX b A = o b (1-2 /b + 2 /b 2 ) b 2 1/EJ d = [ - 2 /b +1/3 3 /b 2 ] o b b 2 1/EJ L XX A = ( b - b +1/3 b ) b2 1/EJ = 1/3 b 3 /EJ L XX A = W X A WX A 1/k A = - 1 (-1) b 3 /EJ = b 3 /EJ Lavoro da forza unitaria X per deformazione da azioni assegnate = b X A o M A Mo 1/EJ d + b X A A o M A = o A = o θ d A A b(1- /b)(3- /b) Fb 2 b 1/EJ A d + o (1- /b) (-1) Fb 2 d b(3-4 /b + 2 /b 2 ) Fb 2 1/EJ d + o b (-1 + /b ) A = [3-2 2 /b +1/3 3 /b 2 ] o b Fb 2 1/EJ + [- +1/2 2 /b ] o b A = (3 b -2 b +1/3 b ) Fb2 1/EJ + (- b +1/2 b ) = 5/6 Fb 3 /EJ = V X ε ( - ) = 1 1 (-1) Fb 3 /EJ = - Fb 3 /EJ A = W X A Wo A 1/k A = - 1 (-3) Fb 3 /EJ = 3 Fb 3 /EJ Contributi nulli elementi L XX C L XX L XX E L XX EC C E EC Contributi nulli nodi vincolati L XX Espressione risolvente ( L XX + ) A LXX X = - ( A LXo + A LXo + ( LXo 1/3 + 1 ) X b 3 = ( - 5/6 + 1-3 ) Fb 3 4/3 X b 3 = - 17/6 Fb 3 Soluzione X = -17/8 F A ) @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1 @ Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers.1.12.1 18.12.1