UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI AVIA FACOLTA DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA E COMMERCIO EFFICIENZA E OTTIMALITA NELL ASSET ALLOCATION IN RESENZA DI INFORMAZIONI CONDIZIONANTI RELATORE: CHIAR.MO ROF. CARLO GIANNINI TESI DI LAUREA di STEFANO VAIANI ANNO ACCADEMICO

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3 SOMMARIO INTRODUZIONE 5 CAITOLO I I-9 REFERENZE DEGLI INVESTITORI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA I LE ALTERNATIVE E LA SCELTA I SCELTA IN CONDIZIONI RISCHIOSE I IMOSTAZIONE CARDINALISTA E ORDINALISTA I L IMOSTAZIONE ASSIOMATICA I RINCIALI FUNZIONI DI UTILITÀ I-8 CAITOLO II II-31 INTRODUZIONE AD UN USO EFFICIENTE DELL INFORMAZIONE CONDIZIONANTE II-31.1 INTRODUZIONE II-3. UN ESEMIO CON UN TITOLO RISCHIOSO ED UNO RIVO DI RISCHIO II-40.3 INTERRETAZIONE DEI RISULTATI II CARATTERISTICHE DELLA STRATEGIA NON CONDIZIONALMENTE EFFICIENTE II INTERRETAZIONE DEI RISULTATI II EFFICIENZA CONDIZIONALE E NON CONDIZIONALE II-5 AENDICE A II-55 MASSIMIZZAZIONE D I UNA FUNZIONE D I UTILITA QUADRATICA CON L IMIEGO D I INFORMAZIONE CONDIZIONANTE II-55 AENDICE B II-57 DIMOSTRAZIONE DELL UNICITA DEL ORTAFOGLIO NON CONDIZIONALE EFFICIENTE II-57 CAITOLO III III-59 LA STRATEGIA ROOSTA DA FERSON E SIEGEL: DERIVAZIONE E CONFRONTI CON ALTRE STRATEGIE CONDIZIONALMENTE EFFICIENTI III UN RIMO CONFRONTO CON ALTRE STRATEGIE CONDIZIONALMENTE EFFICIENTI III DENSITÀ III MOLTELICITÀ DI TITOLI RISCHIOSI III TITOLI RISCHIOSI CON UN TITOLO RIVO DI RISCHIO III ASSENZA DI TITOLI RIVI DI RISCHIO III-71 1

4 3.4 FRONTIERE EFFICIENTI III CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE III-84 AENDICE A III-87 I D A T I UTILIZZATI N E G L I E S E M I III-87 AENDICE B III-91 UN ALICAZIONE III-91 CAITOLO IV IV-97 OTTIMALITÀ ED EFFICIENZA IV OTTIMALITÀ ED EFFICIENZA IN UN CASO SEMLIFICATO IV TECNICHE AVANZATE ER L ASSET ALLOCATION TATTICA IV-105 CAITOLO V V-115 ROGRAMMI ALICAZIONI E RISULTATI V I DATI E LA TECNICA REVISIVA UTILIZZATA V I RISULTATI OTTENUTI V GAUSS V MATLAB V BREVE COMMENTO AI LISTATI V LISTATI GAUSS V LISTATI MATLAB V GUIDA ALL UTILIZZO DEI ROGRAMMI V INTRODUZIONE AL ROGRAMMA GAUSS V INTRODUZIONE AL ROGRAMMA MATLAB V-130 AENDICE A V-131 LISTATI RELATIVI A I ROGRAMMI GAUSS E MATLAB UTILIZZATI V-131 CONCLUSIONI 147 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 153

5 Indice delle figure Figura 1.1: Esempi di funzione di utilità cardinale Figura.1: Confronto tra la strategia classica a pesi fissi e quella non condizionalmente efficiente proposta di seguito Figura.: esi dei titoli in portafoglio come funzione degli eccessi di rendimento attesi condizionali Figura.3: Il rendimento atteso condizionale del portafoglio efficiente tende ad un asintoto orizzontale per ampi valori di informazione condizionante Figura 3.1: Rappresentazione congiunta di tre strategie efficienti Figura 3.: Rendimento condizionale atteso dei portafogli in funzione del segnale Figura 3.3: Varianza condizionale dei portafogli in funzione del segnale Figura 3.4: Funzione di densità di probabilità di un portafoglio condizionale basato sulla massimizzazione della funzione di utilità esponenziale e di un portafoglio non condizionale efficiente che fa uso di informazione condizionante Figura 3.5: Funzione di densità di probabilità del portafoglio condizionale basato sulla massimizzazione della funzione di utilità esponenziale e del portafoglio non condizionale efficiente che fa uso di informazione condizionante Figura 3.6: Segnale debole Figura 3.7: Segnale moderato Figura 3.8: Segnale forte Figura 4.1: Funzioni di utilità di tipo quadratico Figura 4.: Funzione di utilità nel piano media-varianza Figura 4.3: Funzioni di utilità quadratiche e vincolo alla ricchezza Indice delle tabelle Tabella 3.1: Riepilogo statistiche riassuntive rilevanti Tabella 3.: I portafogli Tabella 3.3: Rendimenti mensili Tabella 3.4: Step - Ahead Utilty Cost Comparisons Tabella 5.1: Gli 11 settori globali Tabella 5.: Variabili fondamentali di settore Tabella 5.3: Variabili del mercato azionario Tabella 5.4: Variabili macroeconomiche Tabella 5.5: Vettore degli 11 rendimenti previsti Tabella 5.6: Matrice di varianza- covarianza dei rendimenti Tabella 5.7: ortafoglio efficiente ed ottimale. Tabella 5.8: ortafoglio a varianza minima 3

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7 EFFICIENZA ED OTTIMALITA NELL ASSET ALLOCATION IN RESENZA DI INFORMAZIONI CONDIZIONANTI Introduzione In questi ultimi anni il vertiginoso aumento del contenuto informativo nelle banche dati a disposizione degli operatori finanziari congiuntamente a significativi incrementi di volatilità e di instabilità degli asset finanziari hanno contribuito a rendere relativamente inefficienti le tecniche di lavoro utilizzate con successo fino a qualche anno fa. Le proposte di nuovi modelli previsivi e nuovi schemi di asset allocation ne sono una conseguenza quasi necessaria. In genere tali proposte sono basate sulla possibilità di modificare i modelli esistenti ed adattarli al nuovo contesto di riferimento. Da quasi tre anni i mercati equity di tutto il mondo sono caratterizzati da rendimenti mediamente più bassi a cui è associata una misura del rischio addirittura maggiore. Di fronte a tutto ciò anche le scelte degli investitori (famiglie) sono mutate. Abbiamo assistito infatti ad una razionalizzazione delle scelte, rispetto a situazioni di mercato di solo un decennio fa: gli investitori sembra abbiano decisamente abbandonato la strada, degli investimenti fai da te in singoli assets azionari per accedere alle opportunità offerte dalle società di gestione del risparmio (che nel frattempo si sono moltiplicate a dismisura). La costruzione di portafogli di titoli 5

8 ottimizzati nei rispettivi rendimenti in funzione di livelli di rischio diversi sembra essere una delle offerte principali degli intermediari finanziari agli investitori (famiglie clienti). Da tempo non si discute più della prevedibilità nei rendimenti nei mercati azionari (vedi ad esempio esaran e Timmerman (1995) e (000) 1 e le tesi dei miei colleghi Carlo Delfitto, Valentina Madama e Anna Bruschi), ma ci si concentra sulle tecniche migliori per affrontarla. Ciò ha portato ad un cambiamento di prospettiva rispetto ad un mondo nel quale la previsione econometrica non aveva vero ruolo in quanto in contesti di mercati efficienti (o presunti tali) il ruolo dell informazione condizionante era trascurato e così la possibilità dell uso sistematico di previsioni. In questa tesi cercheremo di effettuare una piccola navigazione tra concetti quali l asset allocation tattica, asset allocation efficiente ed asset allocation ottimale con l inserimento sistematico di rendimenti previsti (con associate matrici di varianza e covarianza opportunamente calcolate) indipendentemente dal modello (ad es.: tradizionale o bayesianno) con cui si è giunti alle previsioni. Naturalmente poiché il gruppo econometrico pavese ha partecipato al progetto congiunto sulla previsione e sull asset allocation con la società ioneer Invesments (progetto al quale ho partecipato in fase previsiva anch io) mi sono avvalso dei risultati del gruppo pavese senza soffermarmi eccessivamente sulla particolare tecnica previsiva adottata che è stata oggetto delle tre tesi dei colleghi già ricordati. L asset allocation come diretta evoluzione dell originario contributo di Harry M. Markowitz è oggi uno dei campi di ricerca finanziaria di più 1 esaran M. H., Timmermann A. G., 1995, redictability of stock market returns: robustness and economic significance, Journal of Finance, 50, esaran M. H., Timmermann A. G., 000, A recursive modelling approach to predicting UK stock returns, Economic Journal, 110, Markowitz Harry M, 1987, Mean Variance in ortfolio Choice and Capital Markets, Basic Blackwell; Markowitz Harry M., 195, ortfolio Selection, The Journal of Finance, ; Markowitz Harry M., 1959, ortfolio Selection: Efficient diversification of Investments, Wiley, Yale Univesity ress. 6

9 vivace espansione. Il gruppo econometrico pavese sta creando un nuovo gruppo di laureandi per i quali spero la mia tesi possa essere un buon punto di partenza. Alcune semplificazioni che mi sono permesso (e che vedremo sottolineate al momento opportuno) per arrivare, ad esempio, a soluzioni esplicite oppure per affrontare più velocemente alcuni calcoli saranno sicuramente riformulate nei lavori di tesi dei miei nuovi amici. Naturalmente ringraziando i nuovi amici non posso che ringraziare in modo decisamente fraterno i vecchi amici del gruppo econometrico pavese con cui ho lavorato fianco a fianco per molti mesi. Un ringraziamento speciale va al mio relatore soprattutto per aver tenuto coeso il gruppo di studio ed aver tracciato lo sviluppo del lavoro di tutti. Va da sé che nei ringraziamenti non devono essere per me dimenticate le persone che mi sono state vicine in questi anni: la mia famiglia ed Elena. Avvertenza: In tutta questa tesi, quanto meno a partire dal capitolo si assume di utilizzare sempre informazione condizionante; purtroppo nella letteratura di riferimento condizionante (in inglese conditioning) ha significato diverso da condizionale (in inglese conditional con la sua negazione unconditional in italiano non condizionale). A questo non si sottrae l articolo di riferimento di questo lavoro di Ferson e Siegel (001) 3. er evitare al lettore ambiguità ribadiamo che anche in contesti in cui noi parliamo di strategia o frontiera condizionale o non condizionale, l uso dell informazione condizionante è sempre dato per scontato. Comunque in casi di ambiguità abbiamo cercato se possibile di non ricorrere alle corrispondenti traduzioni letterali che potrebbero, nel contesto essere fuorvianti. L implicazione principale di questo dato di 3 Ferson Waine E., Siegel Andrew F., The Efficent Use of Conditioning Information in ortfolios, 001, The Journal of Finance, Vol. LVI NO.3,

10 fatto (l uso sistematico di informazione condizionante) è costituito dal fatto che i pesi dei portafogli individuati (efficienti o no, ottimali o no) sono sempre funzione del segnale, termine sintetico con il quale vogliamo indicare il set informativo a disposizione dell operatore. 8

11 Capitolo I referenze degli Investitori in Condizioni di Incertezza La domanda di attività finanziarie non può essere spiegata senza l ausilio di un modello di comportamento degli individui di fronte al rischio. Il gioco aleatorio fornisce una buona base di partenza in quanto permette di apprezzare il comportamento degli individui in contesti rischiosi. resupponendo che la prospettiva di guadagno può essere adeguatamente valutata con la speranza matematica dei guadagni e che il beneficio di un guadagno sia direttamente proporzionale al suo valore atteso, ipotizzeremo che agli individui sia associata una funzione di utilità attesa e che valutino un gioco aleatorio in base alla loro utilità attesa di vincita. L idea di base è che se c è incertezza sul futuro, l utilità che un investitore trae da una determinata scelta dipende, oltre che dall alternativa prescelta, anche dallo stato della natura realizzato. Spesso gli agenti economici devono prendere le decisioni prima di aver osservato lo stato del mondo. In questo caso la scelta, e conseguentemente la funzione di utilità, dovrà dipendere anche dalla probabilità con cui i diversi eventi possono verificarsi. I- 9

12 La funzione di utilità attesa introdotta da V on Neumann e Morgenstern rappresenta tutt ora uno dei migliori strumenti per analizzare le scelte in condizioni di incertezza. L idea è che l investitore valuti le alternative attraverso una funzione di utilità e che massimizzi il valore atteso di tale funzione di utilità. 1.1 Le Alternative e la Scelta Ipotizziamo che l i-esimo individuo abbia a disposizione due alternative appartenenti all insieme delle alternative di scelta: s, s 1 i i che una ed una sola delle relazioni seguenti possa verificarsi: S. Si supponga 1 s i è preferita a s i 1 s i è indifferente a s i s i è preferita a 1 s i Supponiamo ora che per s, s, s S, 1 3 i i i s i sia preferito a 1 s i e 3 s i sia preferito a s i. Siccome la relazione di preferenza gode della proprietà transitiva risulterà s i preferita a 3 s i. Abbiamo determinato in questo modo la relazione, che è un preordine ed in particolare un preordine completo. Il preordine si dice completo perché non resta indefinita alcuna relazione di preferenza o di indifferenza tra le alternative Se accade che: j s i. s s e 1 i i s s 1 i i s s ( s 1 i è indifferente a 1 i i s i ) I- 10

13 s s e non vale che 1 i i preferito a s i ) s s 1 i i s s ( s 1 i è strettamente 1 i i chiamando la relazione i in S relazione di indifferenza dell i-esimo individuo. Tale relazione gode della proprietà riflessiva simmetrica e transitiva. Sia data ora un alternativa indifferenti a seguente: { s ' i S si si} ' si S ' s i classe di indifferenza di. Ogni alternativa ad. Chiamiamo l insieme delle alternative ' s i e la indichiamo nel modo ' s i apparterrà ad una classe di indifferenza, e le classi di indifferenza formeranno una partizione di S. Associamo ad ogni classe di indifferenza un numero reale in modo tale che alla classe preferita (nei diversi confronti effettuati) venga associato il numero più alto. Essendo S completamente preordinato in base alle preferenze, è possibile associargli una funzione reale crescente definita su di esso. Questa funzione prende il nome di funzione di utilità e la si indica solitamente con U ( ) o con u ( ). Definizione: Una funzione di utilità per l i-esimo individuo, è un applicazione crescente di S, dove S rappresenta l insieme delle alternative munito della relazione a valori in R. i 1. Scelta in condizioni rischiose La teoria delle decisioni in condizioni di incertezza ha per oggetto lo studio delle scelte tra alternative aleatorie, le quali sono influenzate da diversi fattori. er poter classificare queste alternative è necessario determinare le caratteristiche ad esse associate. Se le alternative sono di I- 11

14 natura finanziaria, solitamente si usa classificarle in base alle caratteristiche di redditività nella forma di distribuzioni di probabilità del relativo profitto, od anche del relativo tasso di rendimento. Obiettivo della teoria delle decisioni non è individuare un univoco ordinamento delle preferenze valido per ogni agente economico ma piuttosto individuare un insieme di criteri decisionali che possa rappresentare i singoli criteri individuali e che sia caratterizzato da pochi principi generali economicamente significativi. er questo motivo tra i criteri che portano ad un ordinamento delle preferenze concentreremo la nostra attenzione solo sugli orientamenti che non sono in contrasto con certe proprietà di coerenza considerate idonee a caratterizzare il comportamento di un individuo razionale. Le preferenze di un individuo in un contesto incerto sono rappresentate da una funzione di utilità attesa relativa in questo caso, non all alternativa certa s i, ma bensì all alternativa aleatoria s i. Consideriamo un generico individuo, relativamente a tale individuo diremo che l alternativa aleatoria s 1 è preferita all alternativa aleatoria s se e solo se E U s 1 E U s. La funzione di utilità U ( ), come indicatore che permette di salvaguardare un certo ordinamento di preferenze tra gli investimenti disponibili, venne studiata in via assiomatica inizialmente da Von Neumann e Morgensten sulla base di postulati di comportamento degli individui razionali. L impostazione assiomatica non rappresenta l unico tentativo di spiegare le funzioni di utilità. Nel tempo sono stati proposti differenti approcci che qui tratteremo in modo più superficiale rispetto all impostazione assiomatica, che di fatto rappresenta l effettivo punto di partenza. I- 1

15 1..1 Impostazione cardinalista e ordinalista L impostazione cardinalista rappresenta la prima sistematica trattazione della teoria dell utilità. Al centro di questa impostazione risiede il concetto di utilità marginale dei beni, intesa come misura della capacità di una dose ulteriore di un bene di incrementare la soddisfazione degli agenti, sotto l ipotesi che il loro soddisfacimento sia sempre riconducibile ad una valutazione uniforme, che viene chiamata utilità. Ragionando in condizioni di certezza, ipotizziamo che il soggetto che deve prendere una decisione è in grado di stabilire in quale misura una certa quantità di un dato bene è in grado di soddisfare una o più delle sue esigenze. Questa misura è esprimibile con un numero, definito come l utilità totale che il soggetto attribuisce a quella quantità del bene. Una simile misura richiede di avere fissato preventivamente un unità di misura, nonché una situazione di riferimento cui si attribuisca utilità nulla (plausibilmente riferita ad una quantità nulla). La nota dagli studi microeconomici legge fondamentale che regola le variazioni dell utilità al variare della quantità del bene, enunciata da Gossen nel 1854, dice che l aumento della quantità disponibile del bene comporta un aumento dell utilità, ma in misura via via decrescente. Secondo tale legge, l utilità del bene i-esimo è funzione della quantità venduta o acquistata di tale bene. La funzione di utilità è ipotizzata concava e siccome oltre ad un certo livello una ulteriore quantità del bene non rappresenta più un beneficio, possiamo immaginare che l utilità diminuisca. In ogni caso il tratto di interesse è quello crescente, quindi in genere si assume che la funzione di utilità sia strettamente crescente. I- 13

16 (a) (b) Figura.1: Esempi di funzione di utilità cardinale. Caso (a): oltre una certa quantità una ulteriore unità del bene non porta ulteriore utilità al soggetto, ma al contrario l utilità diminuisce. Caso (b): Funzione di utilità crescente e concava come di solito viene ipotizzato. Una funzione di utilità di questo tipo è detta funzione di utilità cardinale. artendo poi dal concetto di funzione di utilità, può essere definito uno dei concetti fondamentali all interno dell impostazione cardinalista: quello di utilità marginale. L utilità marginale di un bene può essere definita come l incremento di utilità che l individuo può trarre dalla disponibilità di ' un unità addizionale del bene considerato. Indicando con ( ) marginale del bene i-esimo, disponibile in quantità x i, si ha: U x l utilità i i U ' i ( x ) i U = x i i dove l utilità marginale è calcolata come rapporto tra due variazioni. er valutare l utilità di un investitore non faremo riferimento all impostazione appena descritta in quanto sembra più adeguata a spiegare decisioni di consumo piuttosto che quelle di investimento. Gli sviluppi successivi sono tesi a dimostrare che gli stessi risultati teorici che caratterizzano l impostazione cardinalista possono anche essere ottenuti rinunciando all ipotesi che ogni individuo sia in grado di misurare I- 14

17 gli effetti, sul proprio benessere, della disponibilità di dosi successive di ciascun bene. Si ha così il passaggio dall impostazione cardinalista a quella ordinalista la quale chiede agli individui di essere in grado di confrontare situazioni diverse e di esprimersi verso il soddisfacimento dell una o dell altra in vista del soddisfacimento dei propri bisogni: nessuna misurazione di tipo cardinale, quindi, ma solo l indicazione di un ordine di preferenza. Nella teoria ordinalista vengono imposti agli individui che devono prendere una decisione dei vincoli: il più importante per un investitore che deve allocare un capitale tra le diverse attività finanziarie è sicuramente quello sulla ricchezza disponibile. Le preferenze degli individui non saranno più rappresentate da un unica funzione di utilità, ma da un insieme di curve di indifferenza. Questo non esclude il riferimento ad una funzione di utilità: ma tale funzione può essere costruita solo a partire dalle curve di indifferenza (e non viceversa). osto che una tale funzione esista essa è tutt altro che univocamente determinata nel senso che se una certa funzione (, ) U x x ha per curve di livello le date curve di indifferenza, allora anche ogni trasformazione monotona crescente della funzione U (per esempio il suo quadrato, o il logaritmo, o la radice quadrata) ha le stesse curve di indifferenza. Una funzione di questo tipo è detta funzione di utilità ordinale L impostazione assiomatica La teoria più utilizzata per le scelte in condizioni di incertezza è fondata sul concetto di utilità attesa. In un contesto rischioso le decisioni di consumo e di investimento di ogni individuo si possono definire, in un ottica uniperiodale, rispetto al valore finale dell investimento. L impostazione assiomatica ha messo in evidenza che le ipotesi richieste per la costruzione della curva di indifferenza sono in realtà più forti di quanto si ritenesse. Nello stesso tempo, l impostazione assiomatica ha I- 15

18 consentito sviluppi nella direzione di modelli di comportamento basati su ipotesi via via più deboli. Il concetto centrale di questa impostazione è la relazione di preferenza alla quale vengono attribuite, per via assiomatica, determinate proprietà. La definizione delle proprietà di comportamento che rappresentano i principi di razionalità degli individui costituisce la base dell impostazione assiomatica della teoria delle decisioni. Sia S l insieme delle possibilità di scelta, ogni suo elemento è un alternativa aleatoria s di investimento, caratterizzata dalla distribuzione di probabilità del valore finale; in particolare, tra le alternative ve ne potranno essere alcune ad esito certo, e quindi esenti da rischio. Supporremo che l insieme S sia convesso, nel senso che le alternative si possono combinare tra loro in tutti i modi ottenendo altre alternative praticabili. si, s j S, s s j S [ 0, 1] ( 1 ) i α α + α. Una tale procedura di costruzione di alternative combinandone altre rappresenta un esempio di costruzione di portafogli sulla base di investimenti puri. Assiomi di scelta razionale dell investitore: Assioma 1: Completezza er ogni coppia di elementi di S è possibile stabilire se l uno è preferito all altro oppure se essi sono indifferenti. L assioma di completezza implica che gli investitori siano in grado di ordinare le loro preferenze. I- 16

19 Assioma : Transitività Se l investimento s 1 è preferito all investimento s e questo a s 3, l investitore preferirà s 1 ad s 3. Assioma 3: Sostituibilità Se s 1 e s sono indifferenti ed s 3 è un altro investimento qualsiasi, allora l investitore sarà anche indifferente tra α s + ( 1 α) s 1 3 e ( 1 α) α s + s 3, comunque scelto α. Considerando unitamente gli assiomi di transitività e di sostituibilità viene assicurata una certa coerenza interna nelle preferenze degli investitori. Assioma 4: Continuità Se s 1 è preferito a s e questo ad 3 tale che l investitore è indifferente tra s, esiste un numero reale q ( 0, 1) s e qs + ( 1 ) q s 1 3. In questo caso se l alternativa s è certa verrà chiamata equivalente di 1 q s 3. certezza o certo equivalente dell alternativa qs + ( 1 ) Se valgono gli assiomi sopra enunciati si può dimostrare l esistenza di una funzione U : S R tale da conservare l ordinamento totale che, secondo il primo assioma, vi è all interno dell insieme S. Tale funzione si definisce funzione di utilità (derivata questa volta per via assiomatica) e per essa vale il seguente teorema: I- 17

20 Teorema di rappresentazione: Se per l ordinamento di preferenza definito in S valgono gli assiomi di completezza, transitività, sostituibilità e continuità, allora: 1. Esiste una funzione U s tale che s1 s se e solo se E U s 1 E > U s ;. la funzione U s è unica a meno di una trasformazione lineare positiva crescente ossia, se U 1 s rappresenta una funzione di utilità, anche U s = au 1 s + b utilità., a > 0 è una funzione di Essendo tale funzione definita a meno di una trasformazione affine se ne può fissare arbitrariamente l origine e la scala. Associamo ad esempio all alternativa s un utilità nulla, U s = 0, dove s rappresenta + l alternativa alla quale sono preferite tutte le altre; e ad s un utilità pari ad uno, U + s + = 1, dove s rappresenta l alternativa preferita a tutte le altre. In questo modo possiamo ottenere una funzione di utilità normalizzata e l utilità di ogni altra alternativa presente in S si ricava ricorrendo all assioma 4. Ad ogni alternativa s si può associare un numero reale q tale che s sia +. indifferente a q s + ( 1 ) q s + U s = qu s + qu s Si pone quindi ( 1 ) ossia U s = q. I- 18

21 Questo modo di procedere ricalca il principio dell utilità attesa che risulta essere l unico compatibile con i quattro assiomi sopra enunciati e trova più ampia applicazione quando si vuole valutare l utilità di una alternativa ad esiti incerti. In un contesto finanziario è possibile inoltre descrivere le alternative attraverso la distribuzione di probabilità del rendimento, che in riferimento al contesto uniperiodale nel quale supponiamo di trovarci, coincide con i concetti di ricchezza e di valore finale dell alternativa stessa. In questo modo la funzione di utilità avrà come argomento la variabile casuale ricchezza, W, e si indicherà con U W. Ipotizziamo ora che U ( ) sia funzione di classe C e che W sia dotata di densità di probabilità con media µ e varianza σ. oiché l utilità è per ciascun individuo crescente rispetto al profitto si può scrivere: U '( ) > 0. Le preferenze di un individuo soddisfano il principio dell utilità attesa se dire che l individuo preferisce la ricchezza aleatoria W 1 alla ricchezza aleatoria W equivale a dire che l utilità attesa associata a W 1 attesa associata a W : è maggiore dell utilità W 1 W E U W 1 E U W. Analizziamo ora il comportamento dell individuo in relazione al rischio. Ipotizziamo che l individuo non ami il rischio 1, egli preferirà ad una ricchezza aleatoria, W, l aspettativa di ricchezza E W, ottenuta con 1 Non diciamo avverso al rischio in quanto non siamo ancora arrivati a definire il concetto di avversione al rischio in senso matematico. I- 19

22 certezza. La sua funzione di utilità soddisfa di conseguenza la seguente relazione: U E W E U W (1.1) questa relazione è chiamata anche disuguaglianza di Jensen. Se la ricchezza aleatoria, W, vale W 1 con probabilità p e W probabilità 1-p dove p [ 0, 1], la (1.1) può essere riscritta nel modo seguente: con U pw 1+ ( 1 pw ) pu W 1 + ( 1 pu ) W. Quest ultima relazione evidenzia che la funzione di utilità di un individuo che non ama rischiare è concava. Supponiamo ora di voler misurare l attitudine dell investitore nei confronti del rischio. Utilizziamo a tal fine la formula di Taylor in un intorno del valor medio, µ, di W : 1 U W = U( µ ) + U '( µ ) W µ + U ''( µ ) W µ + il suo valore atteso è dato da: 1 E U W = U( µ ) + U '( µ ) E W µ + U ''( µ ) E W µ + 1 = U( µ ) + U ''( µ ) σ + (1.) I- 0

23 Si consideri ora una prestazione certa, k, designata come equivalente di certezza della prestazione aleatoria W, ossia tale per cui U( k) = E U W, e si ponga R= µ k. Questo valore può essere interpretato dal punto di vista finanziario come la differenza tra il valore atteso (in termini monetari) della prestazione aleatoria e il certo equivalente: rappresenta quindi una misura delle attitudini dell investitore rispetto al rischio, e viene comunemente chiamato premio di rischio. Il premio di rischio rappresenta il beneficio addizionale che è richiesto dall investitore per spostare la sua preferenza dall alternativa certa a quella incerta. Solitamente si ha R > 0, in questo caso il comportamento dell individuo si può definire di avversione al rischio; se invece R = 0 si determina un atteggiamento neutrale rispetto al rischio. In questo secondo caso l investitore valuta le alternative sia certe che incerte solo sulla base del valore medio. oco comune è l atteggiamento definito di propensione al rischio, in cui R < 0 implica che l investitore preferisce la prestazione aleatoria rispetto quella certa. In seguito lavoreremo sotto ipotesi di avversione al rischio in quanto la teoria finanziaria lo prevede come comportamento abituale. Esprimendo ora U( k ) attraverso la formula di Taylor: ( ) ( µ ) '( µ )( ) U k = U + U R + (1.3) ed uguagliando la (1.) con la (1.3), si ottiene: σ U '' ( µ ) ( µ ) 1 RU '( µ ) = U ''( µ ) σ R= (1.4) U ' I- 1

24 Ricordando ciò che in precedenza è stato detto a riguardo del segno di R, e che U '( ) > 0 (come era peraltro già stato ipotizzato), è possibile affermare che la propensione al rischio manifestata dall investitore si determina in funzione del segno della derivata seconda della funzione di utilità valutata nel profitto atteso. Si ha quindi: avversione al rischio se U ''( µ ) < 0 neutralità al rischio se U ''( µ ) = 0 propensione al rischio se U ''( µ ) < 0 artendo dalla (1.4) e fissando un livello di ricchezza W *, è possibile arrivare ad una misura di avversione al rischio definita come coefficiente di avversione assoluta al rischio : ( W ) ( W ) U '' * ARA = U ' *. (1.5) Esso misura l avversione al rischio per un dato livello di ricchezza. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è utile in finanza perché permette di studiare il comportamento degli individui nei confronti del rischio. Ogni funzione di utilità riferita ad individui avversi al rischio presenta un coefficiente di avversione assoluta al rischio decrescente. Ciò implica che un rischio costante in valore assoluto è tanto più tollerato dall individuo quanto Questa misura è nota anche come ARA (Absolute Risk Adversion), è stata per la prima volta introdotta da Arrow e ratt. Arrow K., (1970), Essays in the Theory of Risk Bearing, North Holland, Amsterdam. ratt J., (1964), Risk Adversion in the Small and in the Large, Econometrica, 3, I-

25 maggiore è la sua ricchezza. Moltiplicando ora la (1.5) per il livello di ricchezza otterremo il coefficiente di avversione relativa al rischio 3 : ( W ) ( ) U '' * RRA= W * (1.6) U ' W * Un coefficiente di avversione relativa al rischio costante implica che un investitore abbia un avversione al rischio costante rispetto ad una perdita proporzionale di ricchezza anche se la perdita, in valore assoluto, aumenta con il livello di ricchezza considerato. Le misure di avversione al rischio appena proposte sono locali nel senso che le derivate della funzione di utilità sono calcolate in un intorno di W *, infatti non sono invarianti a trasformazioni lineari di U W. Tipiche forme di funzioni di utilità che rappresentano avversione al rischio sono 4 1 / aw : U( W) = a logw + b, U( W) a ae =, U( W) = aw bw. Tutte queste funzioni sono approssimabili in un conveniente intorno del profitto mediante una forma comune che ne mette in evidenza le caratteristiche di comportamento. Ciò si può mostrare utilizzando ancora la formula di Taylor, centrata questa volta per il valore 0. er ogni realizzazione della variabile casuale profitto vale la seguente rappresentazione: 1 U W U( 0 ) U '( 0 ) W U ''( 0) = + + W + il suo valore atteso è dato da: 3 RRA (Relative Risk Adversion). 4 C i occuperemo più avanti delle funzioni di utilità più comunemente utilizzate nella pratica. I- 3

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