Esercizi e problemi su statistiche quantistiche e solidi

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1 Coro di Laurea in Fiia - Coro di Struttura della Materia G. Rinaudo - a.a.001/0 Eerizi e problemi u tatitihe quantitihe e olidi Il forno a miroonde La frequenza f di lavoro di un forno a miroonde è pari a,4 GHz. Il prinipio di funzionamento è l aorbimento rionante di energia da parte della moleola di aqua a) Calolate la lunghezza d onda λ e l energia E γ dei fotoni emei b) Calolate poibili dimenioni ottimali del forno ) Supponete he il forno lavori a una potenza di 800 W: quanti fotoni ono emei al eondo? d) Calolate l intenità dello pettro di orpo nero preente in avità intorno alla frequenza di lavoro a temperatura ambiente e on forno pento, aumendo he il ga di fotoni ia in equilibrio on le pareti e le moleole di aria. Supponendo he, on forno aeo, vengano emei fotoni in un intervallo di frequenza di ±10 MHz intorno alla frequenza di lavoro, diutete la ituazione he i rea dopo un eondo di aenione a 800 W, nel ao in ui nel forno non i ia del materiale in grado di aorbire effiaemente la radiazione. e) La moleola di aqua è in grado di aorbire in modo rionante fotoni a,4 GHz: piegate he oa iò ignifia, diegnate grafiamente i livelli energetii dell aqua oinvolti nel proeo, indiando anhe la ala di energia. Derivete i diveri proei di ambio energetio he poono avvenire e le loro aratteritihe: quali proei dipendono dalla potenza a ui viene fatto lavorare il forno e quindi dalla denità di fotoni preenti? f) Supponete he nel forno i iano dei ibi he ontengono in totale 500 g di aqua. Per quanto tempo deve retare aeo il forno (upponendo he ia impotato a 800 W) perhé la temperatura alga da 0 o C a 60 o C? Che oa oorre perhé la temperatura alga effettivamente? g) Supponete he il traferimento di energia ad altri gradi di libertà non avvenga e he la moleola reti temporaneamente in equilibrio on il ga di fotoni reatoi dopo 1 di funzionamento a 800 W, quale è la temperatura tatitia equivalente he miura l equilibrio tatitio fra aqua e fotoni in quella ituazione? h) Valutate l ordine di grandezza della probabilità di urto per eondo delle moleole di aqua a 00 K. i) Spiegate perhé, per ottimizzare il tempo di ottura dei ibi, onviene egliere una potenza di lavoro proporzionale alla maa di ibo da aldare. Spiegate anhe perhé, per ongelare un ibo, oorre operare il forno a una baa potenza. La variazione di potenza nel forno avviene modifiando il duty yle, ioè il tempo nel quale il forno reta aeo ripetto al tempo in ui reta pento. Per fare iò i ovrappone all onda a,4 GHz un onda rettangolare, ome quella della figura, nella quale il tempo t on in ui il livello è alto è un frazione regolabile 1

2 del periodo t dell onda. Spiegate perhé queto modo di lavorare ben i adatta al tipo di funzionamento del forno opra diuo. t on V o t 0 Soluzione a) Calolate la lunghezza d onda λ e l energia E γ dei fotoni emei λ f 8 10 m π f π 6,8 10 evm 0,15m E 10 ev 9 γ h f,4 10 λ 0,15 m 7 b) Calolate poibili dimenioni ottimali del forno Debbono eere, almeno nella direzione di propagazione dell onda, multiple di λ /, in modo he il nodo dell onda tia ulle pareti. ) Supponete he il forno lavori a una potenza di 800 W: quanti fotoni ono emei al eondo? 800J 10 ev J 1, CV 6 d) Calolate l intenità dello pettro di orpo nero preente in avità intorno alla frequenza di lavoro a temperatura ambiente e on forno pento, aumendo he il ga di fotoni ia in equilibrio on le pareti e le moleole di aria. Supponendo he, on forno aeo, vengano emei fotoni in un intervallo di frequenza di ±10 MHz intorno alla frequenza di lavoro, diutete la ituazione he i rea dopo un eondo di aenione a 800 W, nel ao in ui nel forno non i ia del materiale in grado di aorbire effiaemente la radiazione. Partendo dallo pettro di orpo nero (v. Alono 1.19) i ottiene il numero n di fotoni preenti nel volume V nell intervallo di frequenza unitaria f 1 Hz. el alolo he egue, i è ipotizzato un volume di ira 0,1 m e i è fatta un epanione in erie dell eponenziale a denominatore della funzione di Boe, dato he il rapporto E γ /k B T a temperatura ambiente è dell ordine di 10 -.

3 18 8 πv f f 8 πv f f 8 πv f k 8,14 0,1m,4 10 0,0eV 1 BT Eγ / kbt 8 (e 1) (1 + Eγ / kbt 1) Eγ ( 10 m ) 10 ev n f Faendo il alolo i ottiene un valore di ira 10 - fotoni nell intervallo di 1 Hz, quindi ira 10 4 in 10 MHz, he è molto piolo e onfrontato on il numero alolato opra. el forno i rea quindi, per la banda di frequenza itata, una ituazione fortemente fuori dall equilibrio (he può reare danni al materiale del forno, dare un leakage importante vero l eterno e infine, quando i apre il forno, diffondere fotoni nell ambiente: in tutti i forni è tuttavia un ontrollo interno he abbaa automatiamente la potenza e la denità di fotoni ale eeivamente). Per alolare la temperatura equivalente e) La moleola di aqua è in grado di aorbire in modo rionante fotoni a,4 GHz: piegate he oa iò ignifia, diegnate grafiamente i livelli energetii dell aqua oinvolti nel proeo, indiando anhe la ala di energia. Derivete i diveri proei di ambio energetio he poono avvenire e le loro aratteritihe: quali proei dipendono dalla potenza a ui viene fatto lavorare il forno e quindi dalla denità di fotoni preenti? Il fatto he i ia un aorbimento rionante india he nella moleola d aqua i ono due livelli, E ed, he differiono in energia di ira 10-5 ev, non i dà però il valore dell energia dei livelli tei. I proei radiativi di tranizione fra i due livelli ono indiati in figura. Dei tre proei, olo l emiione pontanea è indipendente dalla preenza della radiazione all energia E γ, nel eno he non rihiede neeariamente la preenza di fotoni di quella energia, anhe e tale preenza aumenta la probabilità he la moleola i trovi ul livello E da ui poi deade emettendo fotoni ev E emiione pontanea E E γ + E E γ + E aorbimento E emiione timolata E γ + E E γ + f) Supponete he nel forno i iano dei ibi he ontengono in totale 500 g di aqua. Per quanto tempo deve retare aeo il forno (upponendo he ia impotato a 800 W) perhé la temperatura alga da 0 o C a 60 o C? Quanti fotoni debbono eere aorbiti? Che oa oorre perhé la temperatura alga effettivamente? L energia neearia è QC aqua * T * m 4,18*40* J, quindi, a 800 W, oorrono ira 100. I fotoni aorbiti ono ira Perhé la temperatura alga effettivamente oorre he l energia venga traferita dal ga di fotoni a livelli energetii dell aqua o di altre moleole diveri dai livelli ed E : infatti, finhé l energia reta intrappolata fra queti due livelli, è altiima la probabilità he gli ambi avvengano attravero uno dei tre proei opra elenati e quindi he l energia ontinui ad eere palleggiata fra la moleola di aqua e il ga di fotoni. Il traferimento può avvenire attravero urti on le altre moleole.

4 g) Supponete he il traferimento di energia ad altri gradi di libertà non avvenga e he la moleola reti temporaneamente in equilibrio on il ga di fotoni reatoi dopo 1 di funzionamento a 800 W, quale è la temperatura tatitia equivalente he miura l equilibrio tatitio fra aqua e fotoni in quella ituazione? Si può utilizzare un ragionamento imile a quello eguito da Eintein per derivare lo pettro del orpo nero (v. Alono eempio 1.5). Supponiamo he, all equilibrio, i iano moleole ul livello di energia E ed 1 ul livello di energia. Seondo la ditribuzione di Boltzmann, abbiamo he: 1 ( E E ) k T e / 1 B 1+ ( E E1 )/ kbt (1) è pertanto un eeo di moleole ul livello più bao. I numeri 1 e ono in media tabili, ioè in ogni intervallo di tempo tante moleole paano dal livello bao a quello alto quante hanno la tranizione invera, quindi 1 0. Il numero varia in negativo per effetto dell emiione pontanea e timolata. L emiione pontanea è proporzionale al numero di moleole, all intervallo di tempo t, on un oeffiiente di proporzionalità he hiamiamo A 1, quindi,pont - A 1 t. L emiione timolata è proporzionale oltre he al numero di moleole e all intervallo di tempo t, anhe al numero di fotoni γ preenti on la giuta frequenza, on un oeffiiente di proporzionalità he hiamiamo B 1, quindi,tim - B 1 γ t. L aorbimento di fotoni dal livello di energia aua invee un aumento di, he è proporzionale al numero di moleole 1, all intervallo di tempo t e al numero di fotoni γ on un oeffiiente di proporzionalità he hiamiamo B 1, quindi,a B 1 1 γ t. E ragionevole aumere e lo i può dimotrare ulla bae dello pettro di orpo nero he B 1 B 1. Quindi i può rivere: [B 1 γ ( 1 - )- A 1 ] t 0 () Tenendo onto he, per la (1), 1 [1+(E )/k B T], otituendo i ottiene he B 1 γ (E ) A 1 k B T () il he ignifia he la temperatura tatitia equivalente, he miura l equilibrio tatitio fra i due livelli e il ga di fotoni è proporzionale al numero di fotoni preenti in quella banda di frequenze. Pertanto, e a T 00 K e forno pento erano ira 10 4 fotoni, dopo un eondo di forno aeo a 800 W i ino ira 10 6 fotoni, la temperatura equivalente è reiuta di 10 volte. Ovviamente queta O è la temperatura termodinamia dell aqua, perhé la popolazione ugli altri livelli energetii dell aqua, in partiolare quelli tralazionali, non è ditribuita eondo quello he i i apetterebbe in bae a una imile temperatura. E olo un modo di leggere la differenza di popolazione ui due livelli energetii. Dalla (1) infatti troviamo he: 1 E E 1 k T B Dalla () troviamo invee he: 1 A1 B1 γ Quindi la differenza relativa di popolazione è inveramente proporzionale alla temperatura tatitia equivalente T he miura l equilibrio tatitio fra le popolazioni dei due livelli oppure anhe al numero di fotoni del ga di fotoni in equilibrio tatitio on le popolazioni ui due livelli. 4

5 La temperatura termodinamia è invee una miura dell equilibrio termodinamio fra materia e ga di fotoni. h) Valutate l ordine di grandezza della probabilità di urto per eondo delle moleole di aqua a 00 K. Poiamo timare he il ammino libero medio fra due urti ia dell ordine della ditanza media l med fra le moleole, quindi la probabilità di urto al eondo, P urto, è pari alla veloità media divio l med. Quet ultimo i ottiene alolando l ordine di grandezza del volume della ella he ontiene in media una moleola, he è l invero della denità numeria n aqua, ioè del numero di moleole per unità di volume: aqua aqua moli g 1 - naqua 1 0, 10 m m mole g Av m 18 1/ 1/ l med 10 m 0, 10 naqua La veloità termia i ottiene dal teorema di equipartizione dell energia, <E in > / k B T, quindi: Purto v term lmed kbt / m 10 m 9 10 evk 00K /(18 10 ev) l 10 med 0, 10 m Ciò ignifia he paa meno di 1 p fra due urti: tale tempo, he è breviimo, deve però eere più breve del tempo di dieitazione dal livello, ia per emiione pontanea he timolata. i) Spiegate perhé, per ottimizzare il tempo di ottura dei ibi, onviene egliere una potenza di lavoro proporzionale alla maa di ibo da aldare. Spiegate anhe perhé, per ongelare un ibo, oorre operare il forno a una baa potenza. La variazione di potenza nel forno avviene modifiando il duty yle, ioè il tempo nel quale il forno reta aeo ripetto al tempo in ui reta pento. Per fare iò i ovrappone all onda a,4 GHz un onda rettangolare, ome quella della figura, nella quale il tempo t on in ui il livello è alto è un frazione regolabile del periodo t dell onda. Spiegate perhé queto modo di lavorare ben i adatta al tipo di funzionamento del forno opra diuo. Con numero di moleole di aqua minore è anhe proporzionalmente minore il numero di urti oi quali i traferie l energia ad altri gradi di libertà e quindi i può aorbire la potenza inidente: la potenza effettivamente utilizzata è pertanto ridotta proporzionalmente, anzi laiare una potenza troppo alta aumenta il tempo neeario anzihé ridurlo, perhé aumenta l emiione timolata e i ridue di oneguenza il tempo a dipoizione delle moleole per dieitari attravero gli urti. Per lo ongelamento, il ragionamento è imile: la potenza deve eere molto baa per dar tempo alle pohe moleole di aqua liquida preenti di traferire la loro energia di eitazione attravero gli urti. 5