MATEMATICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE EERCIZI DI PREPARAZIONE PER LA II PROVA IN ITINERE

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1 MATEMATICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE EERCIZI DI PREPARAZIONE PER LA II PROVA IN ITINERE 1A-Stabilire quale delle seguenti funzioni può avere un grafico come quello in figura (a) (x 2 +1)sen3x; (b) (x 2 +1)cosx; (c) xcosx senx; (d) xsenx+cosx SOLUZIONE: Ci sono vari modi per decidere. Il più semplice: la funzione in 0 vale 0 quindi possiamo escludere (b) e (d) che non hanno valore nullo per x=0. In π si osserva che la funzione vale circa -3, quindi il grafico non può essere quello di (a), perché questa funzione vale 0 per x=π, mentre la funzione (c) soddisfa questo requisito. Dunque è (c) la funzione richiesta. Altro modo, si osserva che il grafico presenta una simmetria rispetto all origine, quindi la funzione di cui è grafico deve essere dispari, possiamo perciò escludere le funzioni (b) e (d) che sono pari, mentre (a) e (c) risultano entrambe dispari, quindi si deve decidere tra (a) e (c). Si osserva che il grafico presenta nell origine una tangente orizzontale, quindi si deve avere f (0) =0. Calcoliamo la derivata della funzione (a), si ottiene 2xsen3x + 3(x 2 +1)cos3x che per x=0 vale 3 e quindi non può essere la funzione richiesta. Controlliamo la derivata di (c), si ha cosx xsenx-cosx che per x=0 vale 0. Quindi la funzione cercata è la (c).

2 1B-Stabilire (giustificando la risposta) quale delle seguenti funzioni può avere un grafico come quello in figura: (a) (arctgx π/4)/(x+1) (b) 1/2arcsin[(x-1)/(x+1)] (c) arctg[(x-1)/(x+1)] (d) ) arctg[(x+1)/(x-1)] SOLUZIONE: Si osserva che il grafico in figura è relativo ad una funzione non definita per x=-1, quindi possiamo escludere b)(definita per 0 x) e d) (definita per x 1); il grafico mostra un limite sia per x + che per x - uguale a π/4, possiamo quindi escludere a) che ha questi limiti uguali a zero; controlliamo c) è definita per x -1, per x=1 vale 0, ha limiti, sia per x + che per x -, uguali a π/4 (infatti (x- 1)/(x+1) tende ad 1), inoltre è positva quando (x-1)/(x+1)>0 e quindi per x>1 oppure x<-1, come mostrato nel grafico, dunque il grafico è compatibile con c).

3 1C-Stabilire (giustificando la risposta) quale delle seguenti funzioni può avere un grafico come quello in figura: (a) xcosx, (b) x 2 cosx, (c) xsinx, (d) x 2 sinx SOLUZIONE: Il grafico in figura è relativo ad una funzione evidentemente dispari (data la simmetria rispetto all origine della curva), per cui si possono escludere le funzioni (b) e (c) che non solo non sono dispari, ma sono pari. Inoltre si osserva che il grafico in figura ha una tangente positiva nell origine, calcolando le derivate prime in 0 della funzione in (a) e in (d), si ottiene derivata uguale a 1 per la funzione in (a), mentre per la funzione in (d) la derivata calcolata in 0 è uguale a 0. Possiamo quindi concludere che la funzione a cui si riferisce il grafico è la funzione (a) xcosx. 2A- Può esistere una funzione periodica di periodo 7 e tale che f(0)=500? Se sì, fai un esempio, se no, spiega perché. SOLUZIONE: Sì può esistere, ad esempio f(x)=500cos[(2π/7)x] 2B-Uno studio sulle volpi in una regione dell Europa centrale ha mostrato che il loro numero N v dipende dal tempo t misurato in anni secondo la legge N v (t)= sin(2πt/11). Nella stessa regione anche la popolazione dei conigli (principale preda delle volpi) varia secondo una funzione sinusoidale di periodo pari a 11 anni, ma raggiungendo un massimo di due anni prima di quando le volpi raggiungono il loro massimo. Inoltre, la popolazione minima dei conigli è risultata essere Trova una funzione sinusoidale che possa rappresentare il numero Nc di conigli in funzione del tempo. SOLUZIONE: Per i conigli avremo ampiezza A= ( )/2=50000, valor medio y* = ( )/2 = 60000, periodo P=11, fase F=-2, da cui la funzione Nc(t)= sin(2π (t +2)/11).

4 3A-Trova l espressione esplicita di una funzione f(x) definita e continua su tutto R, tale che il limite per x - sia uguale a 6, f(0)=2 ed f(2)=0 SOLUZIONE: Possiamo pensare, ad esempio, ad una funzione razionale definita su tutto R, per cui il polinomio al denominatore non si deve annullare, con polinomi di uguale grado al numeratore e al denominatore per ottenere limite finito per x -, possiamo prendere grado 2, mettere al denominatore x 2 + 1, e quindi al numeratore 6(x-2)(x+a), dove il fattore 6 è necessario per il limite richiesto, x-2 è necessario affinchè sia f(2)=0; rimane da calcolare f(0) per determinare la costante a, si ha f(x)= 6(x-2)(x+a)/( x 2 +1) e quindi f(0)= -12a=2, da cui a=-1/6, quindi f(x)= 6(x-2)(x-1/6)/( x 2 +1) 3B- Determina l espressione esplicita di una funzione continua che soddisfi i seguenti requisiti: abbia dominio {x R:x>0}, abbia limite per x 0 + uguale a - e limite per x + uguale a zero. SOLUZIONE: Dovendo essere definita per x>0, possiamo pensare ad una funzione logaritmo, ma dobbiamo avere per x + limite uguale a zero, quindi possiamo pensare a dividere la funzione logx per, ad esempio, x, quindi, delle tante funzioni possibili, possiamo scegliere f(x)=logx/x. 3C- Determina l espressione esplicita di una funzione f(x) definita in R/{0}, tale che f(x)<0 per x<0 1<x<2, f(1)=f(2)=0, f(x)>0 per 0<x<1 x>2. SOLUZIONE: Possiamo proporre, ad esempio, f(x)=[(x-1)(x-2)]/x 4A- Assegnata la funzione f(x) = [log 2 x - 1] / log 2 (3x+1) Determinare a) dominio della funzione b) eventuali x tali che f(x)=0 c) eventuali x tali che f(x)<0 SOLUZIONE:a) si deve avere x>0 affinchè sia definita log 2 x, inoltre si deve imporre 3x+1>0 affinchè sia definita log 2 (3x+1), la quale deve anche essere 0, quindi 3x+1 1, tenuto conto di queste condizioni, il dominio risulta essere definito per x>0; b) f(x)=0, se si annulla il numeratore, vale a dire log 2 x 1=0, quindi log 2 x = 1, quindi x=2; c) si avrà f(x)<0 se numeratore e denominatore hanno segno discorde; si osserva che il numeratore è positivo per x>2, mentre il denominatore è positivo per 3x+1>1, quindi per x>0, per cui il denominatore risulta positivo su tutto il dominio di f(x), concludendo si avrà f(x)<0 quando il numeratore è minore di 0, perciò per 0<x<2. 4B- Assegnata la funzione f(x)=log 3 (3log 3 x 1) determinare: a) dominio della funzione b) eventuali x tali che f(x)=0 c) eventuali x tali che f(x)>0 SOLUZIONE: a)affinchè sia definito log 3 x deve essere x>0, inoltre si deve avere 3 log 3 x 1 >0 (affinchè sia definito il logaritmo esterno), dunque x> 3 1/3, quindi il dominio è {x R: 3 1/3 } b) si ha f(x)=0 se 3 log 3 x 1=1, dunque x=3 2/3 c) infine si ha f(x)>0 per x>3 2/3, essendo il logaritmo in base 3(>1) funzione crescente

5 5A- Calcolare la derivata della funzione log(x 3 3x) e determinare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo della funzione. SOLUZIONE: 5B- Assegnata la funzione f(x)= e x + e -2x + e determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e gli eventuali intervalli di convessità. SOLUZIONE: Si osserva che il dominio è tutto R; calcoliamo la derivata prima, si ha f (x)= e x -2 e -2x, ponendo f (x)=0 si trova un unico punto stazionario per x=(log2)/3; calcoliamo la derivata seconda, si ha f (x)= e x +4 e -2x che risulta positiva per ogni x reale, quindi non ci sono punti di flesso e il grafico di f(x) ha la concavità rivolta sempre verso l alto, vale a dire che f(x) è convessa. Infine essendo f (x) >0 per ogni x, si deduce che il punto stazionario è un punto di minimo relativo. Tale punto risulta di fatto un punto di minimo assoluto, avendo f(x) limite + per x ±.

6 6A - Una popolazione di cellule tumorali N cresce, in funzione del tempo t, secondo la legge N(t) = 10 3 exp 2 3 (1 exp( 0.6t)) Dove con exp si è indicata la funzione esponenziale con base la costante di Nepero e. Studiare la funzione N(t) (anche per t negativi) e disegnarne un grafico. SOLUZIONE: La funzione è definita su tutta la retta reale ed è sempre positiva. Calcoliamo il limite per t, exp( 0.6t) tende a +, exp( 0.6t) tende quindi a, quindi N(t) tende a 0. Calcoliamo il limite per t +, exp( 0.6t) tende a 0, 1 exp( 0.6t) tende quindi a 1, quindi N(t) tende a 10 3 exp(2/3). La funzione N(t) risulta crescente in quanto composizione di funzioni crescenti(essendo exp(-0.6t) decrescente e quindi exp(-0.6t) crescente), controlliamo comunque attraverso lo studio del segno della derivata prima, si ha N (t) = 10 3 exp 2 3 (1 exp( 0.6t)) 2/3(0.6)exp( 0.6t) >0 Da quanto trovato appare chiaro che ci deve essere un cambio di concavità e quindi un punto di flesso, vediamo di individuarlo attraverso lo studio del segno della derivata seconda N (t)=10 3 exp 2 3 (1 exp( 0.6t)) (2/3(0.6)exp( 0.6t)) exp 2 3 (1 exp( 0.6t)) (2/3(0.6)2 exp( 0.6t)= = 10 3 exp 2 3 (1 exp( 0.6t)) (2/3(0.6)2 exp( 0.6t))(2/3exp( 0.6t) 1) Quindi si ha N (t) = 0 per t*= ln(2/3) /(0.6) = 5/3 ln(2/3), dove si ha un punto di flesso ; essendo N (t) >0 per t<t*, la funzione è convessa per t<t*, ed N (t)<0 per t>t* dove la funzione è concava. Si osserva che il flesso si ha per un valore di t<0, essendo ln(2/3)<0, quindi all osservazione (per t>0) la curva di crescita risulta concava. OSSERVAZIONE: Questa funzione è nota come funzione di Gompertz ed ha avuto molta influenza negli studi, non solo teorici, in campo oncologico. Si adatta molto bene ai dati empirici di crescita di molti tumori.

7 6B- Nella chimica computazionale l' interazione fra due atomi viene a volte rappresentata dalla legge di Lennard-Jones, che dice che l' energia potenziale V (espressa in opportune unità di misura) dell' interazione dipende dalla distanza r (espressa in µm) fra i due atomi secondo la legge V(r ) = a((r o /r) 12 (r o /r) 6 ) dove a ed r 0 sono numeri positivi da scegliere caso per caso. (1) Studia la funzione V (anche per distanze negative), nel caso a = 10 e r 0 = 1. (2) Dimostra che, quali che siano a, r 0 > 0, la funzione V (ristretta alla semiretta delle distanze positive) ha un unico punto di minimo r min > 0, e determina l'espressione di r min in funzione di a e r 0. (3) Determina a e r 0 in modo che il potenziale minimo valga V (r min ) = -1 e sia ottenuto per r min = 2 µm. (4) Esistono dei valori positivi di a e r 0 per cui l' energia potenziale V sia sempre positiva? SOLUZIONE: 1) la funzione è definita per r 0, essendo le potenze 12 e 6 pari, la funzione risulta pari, vale a dire V(-r)=V( r); studiamo dunque la funzione per r>0, si osserva che V( 1)=0, inoltre si ha V(r)>0 per 0<r<1; calcoliamo i limiti, si ha lim x 0+ V(r )= + e lim x + V(r )=0; calcoliamo la derivata prima V (r) =10(12(1/r) 11-6(1/r) 5 )(-1/r 2 )=60(1/r) 5 (-1/r 2 )(2(1/r) 6-1), essendo V (r)=0 per r=(2) 1/6 ed inoltre V (r)<0 per 0< r< (2) 1/6, V (r)>0 per r>(2) 1/6, la funzione ha in tal punto un punto di minimo; calcoliamo la derivata seconda, si ha V (r)= 60(1/r) 8 (26(1/r) 6-7) da cui otteniamo un punto di flesso per r=(26/7) 1/6, V(r) risulta convessa per o<r< (26/7) 1/6 e concava per r>(26/7) 1/6 ; 2) Si ottiene V (r)=a(12(r o /r) 11 6(r o /r) 5 )(- r o / r 2 )= =6a(- r o / r 2 ) (r o /r) 5 (2(r o /r) 6 1), si ha V (r)=0 per r= r o (2) 1/6, se r o ed a sono >0, lo studio del segno di V (r ) è come per il punto 1) e l unico punto stazionario risulta punto di minimo; 3) poichè r min = r o (2) 1/6 = 2 ed inoltre V(r o (2) 1/6 )=a(1/4-1/2)= -a/4= -1, si ottiene a=4, ed r o =2 5/6 ; 4) non esistono valori positivi di a e r 0 per cui l' energia potenziale V sia sempre positiva, infatti V(r min )= -a/4, e quindi il valore minimo di V( r) è negativo. Qui di seguito il grafico di V(r) per a=10 ed r o =1

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9 6C-La seguente funzione viene usata per adattare la relazione concentrazione-tempo quando si inietta un farmaco nel flusso sanguigno C(t)= k(exp(-at)-exp(-bt)) Dove k, a,b sono parametri positivi. i) Calcola C(0); ii) determina per quali valori di t si ha C(t)>0; iii) iv) Calcola il limite di C(t) per t + ; Supposto b>a e t 0, determina eventuali punti di massimo o di minimo ed eventuali punti di flesso; v) Disegna il grafico di C(t) per k=10, a=1, b=2 SOLUZIONI: i) C(0) = 0 ; ii) C(t)>0 se e solo se exp(-at) exp(-bt)>0, possiamo riscrivere la disequazione come (exp(bt) exp(at))/(exp(at)exp(bt)) > 0, da cui basta porre exp(bt) > exp(at), applicando il logaritmo in base e ad ambo i membri si ottiene bt>at per cui se b>a, C(t) risulta positiva per t>0; se b<a C(t) risulta positiva per t<0; iii) poiché le costanti a e b sono positive entrambi gli addendi tendono a 0, quindi C(t) tende a 0 per t + ; iv) calcoliamo la derivata prima, si ha C (t)=k(-aexp(-at) + bexp(-bt)), poniamo C (t)=0, si deve avere bexp(-bt) = aexp(-at), applichiamo il logaritmo ad ambo i membri dell uguaglianza si ha lnb -bt = lna at, da cui lnblna=bt at, e quindi ln(b/a) = (b-a)t, da cui infine t=ln(b/a) / (b-a), lo studio del segno di C (t) indica che in t=ln(b/a) /(b-a) C(t) ha un punto di max relativo; Calcoliamo la derivata seconda C (t)= k(a 2 exp(-at) b 2 exp(-bt)), poniamo C (t)=0 si ottiene a 2 exp(-at)= b 2 exp(-bt), applichiamo il logaritmo ad ambo i membri, si ha ln a 2 at= lnb 2 bt, da cui bt-at = ln b 2 ln a 2 e quindi t=ln(b 2 / a 2 ) /(b-a), lo studio del segno di C (t) ci dice che C (t)>0 per t> ln(b 2 / a 2 ) /(b-a), mentre C (t)<0 per 0<t< ln(b 2 / a 2 ) /(b-a), per cui C(t) ha in t= ln(b 2 / a 2 ) /(b-a) un punto di flesso e risulta concava per t< ln(b 2 / a 2 ) /(b-a) e convessa per t> ln(b 2 / a 2 ) /(b-a); v) dallo studio condotto ai punti precedenti è facile disegnare il grafico di C(t), avremo un punto di massimo relativo (e assoluto nella semiretta t 0) per t=ln2, un punto di flesso per t=ln4

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11 7- Con l aumentare dell età le capacità uditive diminuiscono. E stata effettuata una ricerca per determinare il livello ideale di suono per persone di diversa età. I dati sono riportati di seguito: Età (in anni) Livello di suono (decibel) a) Calcola il livello di suono mediano; b) Calcola la media aritmetica di entrambe le variabili; c) Calcola il coefficiente di correlazione tra età e livello del suono SOLUZIONE: a) Si ordina in senso crescente il livello del suono 56, 58, 60, 62, 65 quindi 60 è il valore mediano; b) età media ( )/5= 36, livello del suono medio ( )/5=60.2; c)per calcolare il coefficiente i correlazione dobbiamo calcolare la media dei prodotti età e suono corrispondente (15(56)+25(62)+35(60)+45(58)+60(65))/5=2200, nonché la deviazione standard dell età (radice quadrata della differenza tra la media dei dati al quadrato e il quadrato della media) sqr( ) 15.62, e la deviazione standard del livello di suono sqr( ) 3.12; il coefficiente di correlazione è ottenuto da (2200-(36)(60.2))/(15.62)(3.12) A-Si vuole verificare se il livello produttivo del mais dipenda dalla dose di fertilizzante utilizzato. A tal proposito, viene suddiviso un terreno in 10 parcelle nelle quali si usa un dosaggio di fertilizzante diverso e poi si misura il peso della granella di mais. Si hanno i seguenti risultati: Unità fertilizzante Peso granella Si può affermare che ci sia una relazione lineare tra le due variabili? Fare una analisi di regressione. SOLUZIONE: Indichiamo con x il fertilizzante e con y il peso, si vuole determinare la migliore relazione lineare possibile y=mx+q. Calcoliamo gli indici statistici necessari: media di fertilizzante x*=176.4, media di peso y*=68.9,

12 varianza di x v(x) =29.64, deviazione standard di x DS(x) 5.44; varianza di y v(y)= 63.49, deviazione standard di y DS(y) ) 7.97 covarianza =39.64 Dunque m=39.64/ , q=68.9-(1.34)(176.4) = ; Il coefficiente di correlazione o di Pearson CP= 39.64/[(5.44)(7.97)] 0.914, dunque l approssimazione di y come funzione lineare di x è buona. 8B-La velocità iniziale v di una reazione enzimatica che segue la cinetica di Michaelis-Menten è data da v max s v= K m +s dove s è la concentrazione del substrato e v max e K m sono due parametri che caratterizzano la reazione. Nella seguente tabella sono riportati alcuni valori di v al variare di s per una certa reazione s v Utilizzando la relazione 1 K m v = v max 1 s + 1 v max trasforma opportunamente i dati in tabella per determinare una retta di regressione per y=1/v, x=1/s a) Determina pendenza ed intercetta della retta di regressione, b) calcola il coefficiente di correlazione di Pearson, c) determina una stima di K m e v max SOLUZIONE:Per risolvere questo esercizio è sufficiente calcolare i valori di y=1/v, x=1/s, xy, x 2, y 2 e le corrispondenti medie aritmetiche; per trovare la retta di regressione y=mx + q, si deve, infatti, calcolare m=((xy)*- x*y*)/((x 2 )*-(x*) 2 ), q=y*-mx*, (dove con * si è indicata la media aritmetica corrispondente). Si ottiene x*=0.35, y*=0.1303, (x 2 )*=0.2425, (xy)*= , da cui m=0.1894, q= b) Per controllare il coefficiente di Pearson CP, si deve calcolare CP=((xy)*-x*y*)/sqr(((x 2 )*-(x*) 2 )(( y 2 )*-(y*) 2 )), poiché (y 2 )*=0.0215, risulta CP=0.976; c) infine una stima di K m e v max è data dalle relazioni v max =1/q K m = (v max )(m) 2.86