MATRICI E SISTEMI LINEARI

Transcript

1 1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito si considerano matrici numeriche, per poter operare con esse Definizione 1 Dato un insieme X qualsiasi e dati due interi positivi m ed n si associa ad ogni coppia di numeri interi (i, j) con1 i m, 1 j n un elemento di X, indicato con a ij ; questa associazione viene detta matrice (finita) a coefficienti in X di ordine m n e si indica con A M m,n (X); sem = n la matrice viene detta quadrata di ordine m e si indica con A M m (X) Talvolta si usa anche la notazione (a ij ) i=1,m;j=1,n

2 2 Esempio 1 Modello di produzione lineare Processo 1 Processo 2 Processo 3 Processo 4 Ferro Carbone Energia elettrica Esempio 2 Matrice di transizione di un processo markoviano

3 3 Esempio 3 Rappresentazione di un gioco ( morra cinese ) I II sasso forbice carta sasso pari vince I vince II forbice vince II pari vince I carta vince I vince II pari Esempio 4 Azioni di un decisore piove non piove Porto l ombrello Non mi bagno Non mi bagno (ed ho l ombrello) (ed ho l ombrello) Non porto l ombrello Mi bagno Non mi bagno (e non ho l ombrello) (e non ho l ombrello) Esempio 5 Rappresentazione di un gioco a bimatrice I II L R T (2,3) (3,5) B (0,4) (1,-2)

4 4 OPERAZIONI TRA MATRICI Somma Non possiamo sommare due matrici se non hanno lo stesso numero di righe e di colonne; se questa condizione è verificata la somma si fa elemento per elemento Definizione 2 Siano A, B M m,n (R). LamatriceC M m,n (R) corrispondente alla somma A + B, hal elementoc ij = a ij + b ij a 11 a 1n..... a m1 a mn + b 11 b 1n..... b m1 b mn = c 11 c 1n..... c m1 c mn = a 11 + b 11 a 1n + b 1n..... a m1 + b m1 a mn + b mn Questa è la definizione formale di somma; a seconda della interpretazione delle matrici la somma può averesensoomeno

5 Prodotto Prodotto tra uno scalare e una matrice Si moltiplica ogni elemento della matrice per lo scalare Esempio = Prodotto tra matrici La moltiplicazione tra matrici si fa righe per colonne per cui la prima matrice deve avere un numero di colonne (elementi per ogni riga) uguale al numero di righe (elementi per ogni colonna) della seconda Il prodotto elemento per elemento tra matrici con uguale numero di righe e di colonne, pur essendo formalmente corretto, non ha alcun riscontro pratico Definizione 3 Siano date A M m,k (R) e B M k,n (R). LamatriceC M m,n (R) corrispondente al prodotto A B, hal elementoc ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a ih b hj Viene detto prodotto scalare h=1,...k 5

6 6 Casi interessanti 1. Matrici quadrate dello stesso ordine che possono essere moltiplicate e sommate tra loro; la matrice prodotto e la matrice somma sono ancora dello stesso ordine 2. Una matrice qualsiasi e una matrice con una sola colonna (trasformazioni lineari e sistemi lineari)

7 7 DETERMINANTE Definizione 4 Il determinante di una matrice A M n (R) è una funzione che associa ad A un numero reale definito da ( e(π) a i,π(i) ),doveπ è una permutazione degli indici π i=1,...,n 1,..., n ed e(π) vale 1 se la permutazione èparie-1seèdispari Si indica con det(a) ocon A Calcolo del determinante Il determinante di una matrice A di ordine 2 èdatodaa 11 a 22 a 12 a 21 Il determinante di una matrice di ordine 3 si può calcolare con la regola di Sarrus: Si riportano le prime due colonne dopo le ultime due, quindi si sommano i valori ottenuti moltiplicando tra loro gli elementi di ogni diagonale e si sottraggono i valori ottenuti moltiplicando tra loro gli elementi di ogni antidiagonale

8 8 Esempio 7 Calcolare il determinante delle matrici: ( ) A = B = Per la matrice A si ha det(a) =3 1 ( 2) ( 1) = 3 2=1 Per la matrice B, si riportano le prime due colonne: B = A questo punto si ha det(b) =[1 ( 1) 0]+[2 ( 2) ( 2)]+[( 1) 0 2] [( 2) ( 1) ( 1)] [2 ( 2) 1] [0 0 2] =0+8+0 ( 2) ( 4) 0=14

9 Calcolo ricorsivo del determinante di una matrice di ordine qualsiasi e(π) π = a 11 cioè: i=1,...,n a i,π(i) = e(π) a i,π(i) a 12 i 1 e(π) a i,π(i) + +( 1) 1+n a 1n e(π) a i,π(i) i 1 i 1 π:π(1)=1 π:π(1)=2 π:π(1)=n det(a) =a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 )+ +( 1) 1+n a 1n det(a 1n ) Analogo ragionamento si può fare sulle colonne 9

10 10 Esempio 8 Calcolare il determinante della matrice: A = Sviluppando rispetto alla quarta colonna si ha: det(a) = 0 det(a 14 )+2 det(a 24 ) 0 det(a 34 )+1 det(a 44 )= =2 det det Sviluppando il primo determinante rispetto alla seconda riga e il secondo determinante rispetto alla prima colonna si ha: [ ( ) ( )] [ ( )] det(a) =2 ( 1) det 1 det +1 1 det = =2[ 3 ( 3)] + 2 = 2[0] + 2 = 2

11 11 Operazioni elementari sulla matrice Sostituire una riga (o colonna) con la somma di se stessa e di un multiplo di un altra riga (o colonna) non altera il determinante Moltiplicare una riga (o colonna) per uno scalare non nullo moltiplica il determinante per lo stesso scalare Scambiare due righe (o colonne) cambia il segno del determinante Calcolo col metodo di riduzione di Gauss Tramite operazioni elementari sul determinante è possibile ottenere una matrice triangolare il cui determinante èdatoda a ii i=1,...,n

12 12 Esempio 9 Calcolare il determinante della matrice: A = Riducendo la matrice: R 2 R R 4 R 4 2R 1 R 4 R 4 3R da cui si ha det(a) = (1 ( 1) 2 1) = 2

13 13 SISTEMI LINEARI Equazione lineare a coefficienti reali Una relazione nelle n variabili, o indeterminate, x 1,,x n del tipo: a 1 x a n x n = b con a 1,,a n,b R è detta equazione lineare a coefficienti reali; seb =0l equazione è detta omogenea Un insieme di n valori o n-upla, x 0 1,,x 0 n R tali che a 1 x a n x 0 n = b è detta soluzione dell equazione lineare Un equazione può avereonosoluzioni 1. Se a 1,,a n non sono tutti nulli esistono soluzioni 2. Se a 1,,a n sono tutti nulli e b è non nullo non esistono soluzioni (equazione impossibile) 3. Se a 1,,a n sono tutti nulli e b è nullo ogni n-upla è soluzione (equazione indeterminata)

14 14 Sistema lineare a coefficienti reali Un insieme di m equazioni lineari a coefficienti reali in n variabili: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m è detto sistema lineare a coefficienti reali Se tutte le equazioni sono omogenee il sistema è detto omogeneo Una n-upla, x 0 1,,x 0 n R che verifica tutte le equazioni simultaneamente è detta soluzione del sistema lineare Un sistema lineare può avere nessuna soluzione (incompatibile) una o infinite soluzioni (compatibile) Un sistema omogeneo è sempre compatibile (soluzione nulla) Imponendo b 1 = = b m =0si ottiene il sistema omogeneo associato Un sistema lineare può non avere soluzioni anche se tutte le equazioni ne hanno Risolvere un sistema significa determinare tutte le soluzioni Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

15 15 Sistema ridotto (a gradini) E un sistema lineare con m n nella forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n x n = b 2 a mm x m + + a mn x n = b m con a 11,a 22,,a mm non nulli Un sistema ridotto è compatibile; se m = n ha una sola soluzione, altrimenti ne ha n m.un sistema ridotto si risolve a ritroso, da x m nell ultima equazione, eventualmente spostando a secondo membro i restanti termini (parametri)

16 16 Operazioni elementari sul sistema Scambiare due variabili Scambiare due equazioni Moltiplicare un equazione per uno scalare non nullo Sostituire un equazione con la somma di se stessa e di un multiplo di un altra Le operazioni elementari danno sistemi equivalenti Soluzione col metodo di riduzione di Gauss Tramite operazioni elementari sul sistema si determina un sistema ridotto equivalente oppure che il sistema dato è incompatibile (un equazione non ha soluzioni). Se qualche equazione risulta indeterminata (identicamente nulla) può essere eliminata Esistono altri metodi risolutivi In un sistema parametrico qualche coefficiente dipende da uno o più parametri; risolvere il sistema vuol dire trovare la soluzione per ogni valore dei parametri

17 17 Notazione matriciale Equazione lineare a coefficienti reali con a, x R n,b R Soluzione Sistema lineare a coefficienti reali a T x = b x 0 R n t.c. a T x 0 = b Ax = b con A M m,n (R),x R n,b R m A è la matrice dei coefficienti, b è il vettore dei termini noti; (A, b) è la matrice completa La riduzione di Gauss si può fare sulla matrice completa

18 18 Esempio 10 Risolvere il seguente sistema: x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + x 3 =3 x 1 + x 2 +2x 3 =0 Riducendo la matrice completa: R 2 R 2 2R R 3 R 3 +R A ritroso si ricava: R 3 R 3 +R x 3 = 4 4 =1; x 2 = 5 3x 3 2 = 1; x 1 = 1+x 3 x 2 =1

19 Esempio 11 (Sistema parametrico) Risolvere il sistema lineare con parametro reale k: kx 1 x 2 + x 3 =2 x 1 kx 2 + x 3 =3 k 2 x 1 x 2 + kx 3 = k +1 Applicando la riduzione di Gauss si ha: k se k 0 k k 1 3 k 2 R 2 kr 2 R 1 0 (k 1)(k +1) (k 1) (k 1) 2 (k +2) R 1 1 k k +1 3 kr 3 R 1 0 k 1 (k 1)(k +1) (k 1)(k +2) k se k 1 R 3 (k+1)r 3 R 2 0 (k 1)(k +1) (k 1) (k 1) 2 (k +2) 0 0 k(k 1)(k +2) 2k(k 1)(k +2) 19

20 Per k 0,k 1,k 1,k 2 il sistema equivale a: k x 1 =1 0 k +1 1 (k 1)(k +2) che ha una sola soluzione x 2 = k x 3 = x 1 =1 Per k =0il sistema equivale a che ha una sola soluzione x 2 = x 3 = x 1 =1 Per k = 1 il sistema equivale a che ha una sola soluzione x 2 = x 3 = x 1 =2+s t Per k =1il sistema equivale a che ha infinite ( 2 ) soluzioni x 2 = s x 3 = t x 1 = s 1 Per k = 2 il sistema equivale a che ha infinite ( 1 ) soluzioni x 2 = s x 3 = s 20

21 21 Risolubilità di un sistema lineare Definizione 5 Si chiama minore di una matrice A M m,n (R) il determinante di una qualunque sottomatrice quadrata, cioè ottenuta prendendo da A un eguale numero di righe e di colonne Si chiama caratteristica di una matrice A M m,n (R) la dimensione della sottomatrice corrispondente al più grande minore non nullo Teorema 1 (Cramer) Il sistema Ax = b ha una ed una sola soluzione se e solo se det(a) 0 Teorema 2 (Rouché-Capelli) Il sistema Ax = b ha soluzioni se e solo se la caratteristica della matrice A è uguale alla caratteristica della matrice completa (A, b) Il teorema di Cramer da una condizione necessaria e sufficiente per l esistenza ed unicità della soluzione per un sistema quadrato ; cioè non dice sotto quali condizioni esista una soluzione (se det(a) =0potrebbero esserci infinite soluzioni) Il teorema di Rouché-Capelli daunacondizione necessariaesufficiente perl esistenza disoluzioni di un sistema di equazioni lineari qualsiasi

22 22 VETTORI NELLO SPAZIO EUCLIDEO Orientare una retta: stabilire un ordinamento totale dei punti Rette parallele: coincidenti oppure complanari senza punti in comune Parallelismo: relazione di equivalenza (riflessiva a a, simmetrica a b b a e transitiva a b, b c a c) le cui classi di equivalenza sono dette direzioni Dati due punti A e B con A B il segmento orientato AB è individuato da: direzione classe di equivalenza della retta passante per A e B verso orientamento della retta per cui A precede B lunghezza distanza tra A e B, fissata l unità dimisura B Se A B si ha il segmento nullo, di lunghezza 0, direzione e verso indeterminati Segmenti orientati equipollenti: entrambi nulli o con uguali lunghezza, direzione e verso Equipollenza: relazione di equivalenza le cui classi di equivalenza sono dette vettori (liberi) A

23 Al segmento orientato AB si associa il vettore v = B A e al segmento nullo si associa il vettore nullo che si indica con 0 La lunghezza di un vettore v è detta norma o modulo e si indica con v Se v =1, v è detto versore Ad ogni vettore v si può associare il corrispondente versore che si indica con vers v oppure vers(v) L insieme dei vettori dello spazio si indica con V 3 vers(v) v 23

24 24 Somma di vettori (regola del parallelogramma) Dati u e v aventi il primo estremo in comune, u = B A e v = C A la somma è u + v = w = D A dove D èil quarto vertice del parallelogramma ABCD E un operazione interna Non dipende dai rappresentanti scelti u, v e u + v sono complanari A u 3 u+v v B C D

25 25 Proprietà della somma di vettori 1. Commutativa: u + v = v + u u, v V 3 (V 3, +) è un gruppo abeliano 2. Associativa: (u + v)+w = u +(v + w) u, v, w V 3 Si possono sommare n vettori 3. Elemento neutro 0: u + 0 = 0 + u = u u V 3 4. Elemento opposto v: u + v = v + u = 0 u, v V 3 v = u (differenza di vettori) 5. Disuguaglianza triangolare: u + v u + v u, v V 3 L uguaglianza si ha per vettori paralleli concordi E sempre possibile scomporre v nella somma di due vettori u e w secondo due direzioni complanari non parallele assegnate u v 3 w

26 26 Prodotto di uno scalare λ per un vettore v -seλ = 0 oppure v = 0, λ v = 0 -altrimentiλ v ha la stessa direzione di v, verso concorde se λ>0 ediscordeseλ<0 e λ v = λ v λ v è multiplo di v secondo λ E un operazione esterna vers(v) = 1 v v v =( 1) v v 3 v 5 v u e v sono paralleli se esiste λ t.c. u = λ v

27 27 Proprietà del prodotto di uno scalare per un vettore 1. distributiva rispetto alla somma di vettori: λ (u + v) =λ u + λ v 2. distributiva rispetto alla somma di scalari: (λ + µ) u = λ u + µ u 3. associativa rispetto al prodotto di scalari: λ (µ u) =(λµ) u 4. esiste l elemento scalare neutro: 1 u = u Questo prodotto non è commutativo (u λ èprivodisignificato) (V 3, +, ) è detto spazio vettoriale su R L operatore può essere sottinteso

28 28 Dipendenza lineare in V 3 u = λ 1 v 1 + +λ n v n si dice combinazione lineare dei vettori v 1,, v n secondo gli scalari λ 1,,λ n v 1,, v n si dicono linearmente indipendenti se l unica combinazione lineare che da il vettore nullo ha tutti i coefficienti nulli v 1,, v n si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare che da il vettore nullo avente non tutti i coefficienti nulli Un insieme di n vettori v 1,, v n linearmente indipendenti si dice libero Proprietà Due vettori di V 3 sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli Tre vettori di V 3 sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari In V 3 possono esistere al più tre vettori linearmente indipendenti Sia A = {a 1, a 2, a 3 } un insieme libero di vettori di V 3 allora ogni vettore v V 3 si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di A

29 29 Base e dimensione Un insieme B = {b 1, b 2, b 3 } di vettori linearmente indipendenti di V 3 è detto base di V 3 La dimensione di V 3 è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti, cioè 3 I coefficienti della combinazione lineare dei vettori di una base B che danno v V 3 sono detti componenti di v nella base B Fissata B = {b 1, b 2, b 3 } in V 3 esiste una corrispondenza biunivoca tra V 3 e R 3 ; se v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 allora v =(v 1,v 2,v 3 )

30 30 Angolo tra vettori Definizione 6 Dati u e v V 3 non nulli l angolo ûv è l angolo convesso formato dai vettori applicati nello stesso punto. Se un vettore è nullo l angolo è indeterminato angolo nullo: vettori paralleli e concordi u ûv v angolo retto: vettori ortogonali angolo piatto: vettori paralleli e discordi Definizione 7 Se i vettori di una base sono a due a due ortogonali la base è detta ortogonale; se i vettori hanno norma unitaria si dice ortonormale

31 31 Prodotto scalare di due vettori di V 3 Definizione 8 Dati u e v V 3 ad essi si associa uno scalare definito da u v cos(ûv) detto prodotto scalare e si indica con u v Proprietà u v è positivo se e solo se l angolo tra u e v ècompresotra0e π 2 u v ènegativoseesolosel angolotrau e v ècompresotra π 2 e π u v ènulloseesoloseivettoriu e v sono ortogonali u v = v u u, v V 3 (λu) v = λ(u v) =u (λv) λ R, u, v V 3 u (v + w) =u v + u w u, v, w V 3 u u = u u cos(ûu) u = u u u V 3

32 Dati u e v V 3, tramite il prodotto scalare si può definire u il vettore u v detto proiezione ortogonale di u su v come u v = u v v 2v u v v Calcolo del prodotto scalare Data una base ortonormale B = {b 1, b 2, b 3 } e due vettori u = u 1 b 1 + u 2 b 2 + u 3 b 3 e v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 si ha: u v = u i v j (b i b j ) i=1,...,3 j=1,...,3 ma b i b j =0se i j e b i b j =1se i = j per cui si ha: 32 u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Geometricamente le componenti di v rispetto ad una base ortonormale sono le lunghezze con segno delle proiezioni di v sui vettori della base

33 33 Prodotto vettoriale di due vettori di V 3 Dati u e v V 3 ad essi si associa un vettore w V 3 detto prodotto vettoriale (o esterno) e si indica con u v definito da: w = u v sen(ûv) direzione di w ortogonale al piano di u e v w v u 3 verso di w dato dal movimento di una vite destrorsa che percorre l angolo minimo da u a v (regola della mano destra) Il prodotto vettoriale è definito solo in V 3

34 34 Proprietà u v èilvettorenulloseesoloseu e v sono paralleli u v =-(v u) =-v u u, v V 3 (λ u) v = λ (u v) =u (λ v) λ R, u, v V 3 u (v + w) =u v + u w u, v, w V 3 Dati u, v e w V 3, tramite il prodotto vettoriale si possono definire il vettore w proiezione ortogonale di w sulla retta ortogonale al piano π individuato da u e v e il vettore w π proiezione ortogonale di w sul piano π come: ( ) w w w (u v) w = u v v u v 2 w π = w w w π π u 3

35 Definizione 9 Se ogni vettore di una base ortonormale B = {b 1, b 2, b 3 } è uguale al prodotto vettoriale ciclicamente ordinato degli altri due, cioè b 1 = b 2 b 3, b 2 = b 3 b 1, b 3 = b 1 b 2, la base è detta ortonormale positiva, altrimenti è detta ortonormale negativa Calcolo del prodotto vettoriale Data una base ortonormale positiva B = {b 1, b 2, b 3 } e due vettori u = u 1 b 1 + u 2 b 2 + u 3 b 3 e v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 si ha: u v = u i v j (b i b j ) i=1,...,3 j=1,...,3 ma essendo la base ortonormale positiva si ha: u v =(u 2 v 3 u 3 v 2 )b 1 (u 1 v 3 u 3 v 1 )b 2 +(u 1 v 2 u 2 v 1 )b 3 = det b 1 b 2 b 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 35

36 36 Prodotto misto di tre vettori di V 3 Definizione 10 Dati u, v e w V 3 ad essi si associa uno scalare definito da u v w detto prodotto misto Il prodotto misto èovviamentedefinitosoloinv 3 Proprietà u v w è nullo se e solo se u, v e w sono complanari u v w = u v w u, v, w V 3 u v w = w u v = v w u u, v, w V 3

37 Calcolo del prodotto misto Data una base ortonormale positiva B = {b 1, b 2, b 3 } e tre vettori u = u 1 b 1 +u 2 b 2 +u 3 b 3, v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 e w = w 1 b 1 + w 2 b 2 + w 3 b 3 si ha: u 1 u 2 u 3 u v w = det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 La regola di calcolo del prodotto vettoriale è solo mnemonica, mentre quella del prodotto misto è effettiva Geometricamente la norma di u v equivale all area del parallelogramma generato da u e v, mentre il prodotto misto u v w equivale al volume con segno del parallelepipedo (non ortogonale) generato da u, v e w 37

38 38 SPAZI VETTORIALI Definizione 11 Un insieme K dotato didueoperazioni dettesomma eprodottoè detto campo se la somma è associativa, commutativa, ha un elemento neutro ed ammette l opposto, e il prodotto è associativo, commutativo, ha un elemento neutro, ammette l inverso ed è distributivo rispetto alla somma

39 Uno spazio vettoriale su un campo K, i cui elementi sono detti scalari, èuninsiemev,icui elementi sono detti vettori, dotato di una operazione interna +:V V V, detta somma di vettori e di una esterna : K V V, detta prodotto di uno scalare per un vettore esi indica (V, +, ), per cui valgono i seguenti assiomi: 1. (V,+) è un gruppo abeliano, cioè valgono le proprietà: a) Commutativa: u + v = v + u u, v V b) Associativa: (u + v)+w = u +(v + w) u, v, w V c) Elemento neutro: 0 V per cui u + 0 = 0 + u = u u V d) Elemento opposto: u V per cui u +( u) =( u)+u = 0 u V 2. per il prodotto scalare per vettore valgono le proprietà: e) Distributiva rispetto alla somma di vettori: λ (u+v) =λ u+λ v λ K, u, v V f) Distributiva rispetto alla somma di scalari: (λ+µ) u = λ u+µ u λ, µ K, u V g) Associativa rispetto al prodotto di scalari: λ (µ u) =(λµ) u λµ K, u V h) Unitaria (elemento scalare neutro): 1 K per cui 1 u = u u V 39

40 40 Esempio 12 K m,n (matrici m n acoefficientiink) K[x] (polinomi a coefficienti in K) Funzioni continue Funzioni derivabili Prodotto cartesiano di spazi vettoriali sullo stesso campo

41 41 Proprietà Il vettore nullo è unico Dim. Siano 0 e 0 due vettori nulli. 0 = = 0 Il vettore opposto di v è unico Dim. Siano v e v due vettori opposti di u v = v + 0 = v +(u + v )=(v + u)+v = 0 + v = v Semplificazione rispetto alla somma: u + w = v + w u = v Dim. u + w = v + w u + w w = v + w w u = v Annullamento del prodotto: λ u = 0 λ =0oppure u = 0 Dim. 0u =(0+0)u =0u +0u e semplificando si ha la tesi λ 0 = λ (0 + 0) =λ 0 + λ 0 e semplificando si ha la tesi se λ =0ovvio se λ 0, λ 1 tale che 0 = λ 1 0 = λ 1 (λ u) =(λ 1 λ) u = u ( λ) u = (λ u) =λ ( u) Dim. 0 =(λ +( λ)) u = λ u +( λ) u ( λ) u = (λ u) 0 = λ (u +( u)) = λ u + λ ( u) (λ u) =λ ( u)

42 Sottospazi vettoriali Sia V spazio vettoriale su K; un sottoinsieme U V èunsottospazio vettoriale di V se ha la struttura di spazio vettoriale su K rispetto alla restrizione delle operazioni Teorema 3 U è un sottospazio vettoriale di V seesolose: 1. u + v U u, v U 2. λ u U λ K, u U 42 oppure: λ u + µ v U λ, µ K, u, v U Es: Dimostrare il teorema

43 Proprietà Se U e W sono sottospazi vettoriali di V lo è anche U W, mentre in generale non lo è U W 43 Dati W 1 e W 2 sottospazi vettoriali di V, l insieme dei vettori di V che si ottengono come somma di un vettore di W 1 e di un vettore di W 2 è detto somma di W 1 e W 2 e si indica con W 1 + W 2 Proprietà W 1 + W 2 è un sottospazio vettoriale di V W 1 + W 2 èilpiù piccolo sottospazio vettoriale di V contenente W 1 e W 2

44 La somma di W 1 e W 2 si dice diretta se e solo se ogni vettore di W 1 + W 2 si ottiene in modo unico; si indica con W 1 W 2 44 Proprietà W 1 W 2 seesolosew 1 W 2 = {0} Dim. Sia w W 1 W 2 esiau W 1 W 2, u = u 1 + u 2 con u 1 W 1, u 2 W 2 Allora si ha: u = u 1 + u 2 + w w =(u 1 + w)+(u 2 w) con (u 1 + w) W 1, (u 2 w) W 2 Per l unicità della decomposizione si ha w = 0 Viceversa sia u = u 1 + u 2 = v 1 + v 2 con u 1, v 1 W 1, u 2, v 2 W 2. Allora si ha: u 1 v 1 = v 2 u 2 W 1 W 2 Poichè l intersezioneè il vettore nullo si ha u 1 = v 1 e u 2 = v 2 La proprietà non è vera per la somma di più sottospazi

45 45 Dipendenza lineare Definizione 12 Dati n vettori v 1,, v n V spazio vettoriale su un campo K e n scalari λ 1,,λ n K il vettore u = λ 1 v 1 + +λ n v n si dice combinazione lineare dei vettori v 1,, v n secondo gli scalari λ 1,,λ n n vettori v 1,, v n V si dicono linearmente indipendenti se l unica combinazione lineare che da il vettore nullo ha tutti i coefficienti nulli n vettori v 1,, v n V si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare che da il vettore nullo avente non tutti i coefficienti nulli Un insieme di n vettori v 1,, v n V linearmente indipendenti si dice libero Proprietà v 1,, v n V sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare degli altri

46 Sia A = {a 1,, a n, } V ;sidicesottospazio vettoriale generato da A l insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori di A e si indica con L(A) I vettori a 1,, a n, sono detti generatori di L(A). Se i generatori sono in numero finito L(A) è detto finitamente generato, altrimentiè detto infinitamente generato 46 Salvo diversamente specificato si considereranno solo spazi vettoriali finitamente generati

47 47 Proprietà A B L(A) L(B) L(A + B) =L(A)+L(B) L(L(A)) = L(A) Siano W 1 e W 2 sottospazi vettoriali di V allora W 1 + W 2 = L(W 1 W 2 ) L(a 1,, a n )=L(a π(1),, a π(n) ),doveπ è una permutazione di {1,,n} L(a 1, a 2,, a n )=L(b, a 2,, a n ),doveb = λ 1 a λ n a n,conλ 1 0 Proprietà fondamentale Sia A = {a 1,, a n } un insieme libero, allora ogni vettore v L(A) si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di A Dim. Sia v = λ 1 a λ n a n = µ 1 a µ n a n. Allora si ha: (λ 1 µ 1 )a 1 + +(λ n µ n )a n = 0 Poichè A èliberoλ 1 µ 1 = = λ n µ n =0e quindi λ i = µ i,i=1,..., n

48 48 Base e dimensione Un insieme B = {b 1,, b n } libero di generatori di V è detto base di V Proprietà Ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di una base Un insieme B di generatori di V è una base di V se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B Es: Dimostrare le due proprietà I coefficienti della combinazione lineare dei vettori di una base B che danno v V sono detti componenti di v nella base B Se v = v 1 b v n b n allora v =(v 1,,v n )

49 49 Prodotto scalare di due vettori di V Definizione 13 Dati u e v V ad essi si associa uno scalare del campo K detto prodotto scalare e si indica con < u, v > che soddisfa le seguenti condizioni: Simmetria: < u, v >=< v, u > u, v V Linearità: <au + bv, w >= a<u, w > +b <v, w > a, b K, u, v, w V < u, u >= 0 u = 0 Nei reali si ha anche: Positività: < u, u > 0 u V < u, u > è detto norma o modulo di u Il più comune prodotto scalare sui reali è definito come < u, v >= u 1 v u n v n Se < u, v > è nullo i vettori u e v sono detti ortogonali Se i vettori di una base sono a due a due ortogonali la base è detta ortogonale; se i vettori hanno norma unitaria è detta ortonormale

50 Teorema 4 (Esistenza della base) Dato un sistema di generatori A = {a 1,, a m },è sempre possibile estrarre da A una base di V Per ogni spazio vettoriale V esiste sempre una base e inoltre esistono infinite basi Lemma 1 Siano V uno spazio vettoriale su un campo K e B = {b 1,, b n } una base di V, allora ogni insieme libero contiene al più n vettori Corollario 1 Tutte le basi di un dato spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori Teorema 5 (Completamento della base) Siano B = {b 1,, b n } una base di V e A = {a 1,, a k } un insieme libero, allora èsemprepossibileaggiungereadan k vettori di B in modo da ottenere una nuova base di V Il numero di vettori di una base è detto dimensione di V e si indica con dim V o dim(v ) 50 Dato uno spazio vettoriale V con dim V = n, ogni sottospazio vettoriale di V di dimensione n 1 è detto iperpiano vettoriale o semplicemente iperpiano Un iperpiano vettoriale è individuato dai vettori x =(x 1,,x n ) V che soddisfano una equazione lineare a 1 x a n x n =0con a =(a 1,,a n ) V

51 51 Proprietà Se dim(v )=n allora n +1vettori di V sono linearmente dipendenti Se B è un insieme di n generatori di V con dim(v )=n allora B èbasediv Se B è un insieme libero di n vettori di V con dim(v )=n allora B èbasediv Se W è un sottospazio di V allora dim(w ) dim(v ) Se W è un sottospazio di V allora W = V seesolosedim(w )=dim(v ) Teorema 6 (Relazione di Grassmann) Siano W 1 e W 2 sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V su un campo K allora si ha: dim(w 1 + W 2 )=dim(w 1 )+dim(w 2 ) dim(w 1 W 2 ) Corollario 2 dim(w 1 W 2 )=dim(w 1 )+dim(w 2 ) dim(w 1 W k )=dim(w 1 )+ + dim(w k ) Siano W 1 = L(A) e W 2 = L(B) con A = {a 1,, a h } base di W 1 e B = {b 1,, b k } base di W 2 allora W 1 W 2 = L(a 1,, a h, b 1,, b k )

52 52 Algoritmo del cardine Dati n vettori v 1,, v n, non necessariamente linearmente indipendenti e m vettori a 1,, a m appartenenti a L(v 1,, v n ) si ha: a h = λ h1 v λ hn v n h =1,..., m Se λ ij 0è possibile sostituire il vettore a i al vettore v j nel senso che i vettori a i e v k, k j generano lo stesso spazio dei vettori v 1,, v n E possibile esprimere i vettori v j e a h, h i come combinazione lineare dei vettori a i e v k, k j; dall espressione di a i si ha: v j = λ i1 v 1 λ i,j 1 v j a i λ i,j+1 v j+1 λ in v n λ ij λ ij λ ij λ ij λ ij e sostituendo: ( ) ( ) λ a h = λ h1 λ hj λ i1 λ ij v λ h,j 1 λ hj i,j 1 λ ij v j 1 + ( ) ( ) + λ hj λ λ ij a i + λ h,j+1 λ hj λ i,j+1 λ ij v j λ hn λ hj in λ ij v n h i Lo scambio dei due vettori a i e v j è detto procedimento del cardine el elementoλ ij è detto cardine o pivot Se i vettori v 1,, v n costituiscono una base anche i vettori a i e v k, k j costituiscono una base per lo stesso spazio

53 53 Usualmente i coefficienti si rappresentano con una tabella: v 1 v j v n a 1 λ 11 λ 1j λ 1n a i λ i1 λ ij λ in a m λ m1 λ mj λ mn Facendo cardine sull elemento λ ij,cioè scambiando i vettori a i e v j,siha: v 1 a i v n λ a 1 λ 11 λ 1j λ i1 λ ij 1j λ λ ij λ 1n λ 1j in λ ij v j λ i1 1 λ ij λ ij λ in λ ij a m λ m1 λ i1 λ mj λ ij λ mj λ ij λ mn λ in λ mj λ ij

54 54 Rango di una matrice a 11 a 1n Data A =..... M m,n (K) si individuano: a m1 a mn vettori riga: r i =(a i1,,a in ) K n,i=1,..., m vettori colonna: c j =(a 1j,,a mj ) K m,j =1,..., n R(A) =L(r 1,, r m ) K n =spazioriga;dim R(A) min(m, n) C(A) =L(c 1,, c n ) K m = spazio colonna; dim C(A) min(m, n) Proprietà dim R(A) = dimensione della più grande sottomatrice non singolare dim R(A) =dim C(A) R(A) C(A) dim R(A) si chiama rango della matrice A e si indica con ρ(a)

55 Cambiamento di base Date due distinte basi B = {b 1,, b n } e C = {c 1,, c n }, ogni vettore v V si può 55 esprimere come v 1 b v n b n oppure come v 1c v nc n Posto c i = a 1i b a ni b n,i=1,..., n la matrice A = a 11 a 1n..... è detta matrice del cambiamento di base a m1 a mn Dato v V si ha v B = Av C Es: Verificare

56 56 APPLICAZIONI LINEARI O OMOMORFISMI Definizione 14 Dati due spazi vettoriali U e V sullo stesso campo K, una applicazione f : U V è detta lineare o omomorfismo se soddisfa le seguenti due condizioni: 1. f(u + v) =f(u)+f(v) u, v U 2. f(λu) =λf(u) λ K, u U oppure: f(λu + µv) =λf(u)+µf(v) λ, µ K, u, v V U è detto dominio e V è detto codominio. Definizione 15 Dato un omomofismo f : U V : se f è iniettiva si dice monomorfismo se f è surgettiva si dice epimorfismo se f è bigettiva si dice isomorfismo e U e V si dicono isomorfi se U V f si dice endomorfismo se f è un endomorfismo bigettivo si dice automorfismo

57 57 Proprietà f(0 U )=0 V dove 0 U e 0 V sono i vettori nulli di U e V Dim. 0 U =0u u U; 0 V =0v v V f(0 U )=f(0u) =0f(u) =0v = 0 V f( u) = f(u) u U Dim. f( u) =f(( 1)u) =( 1)f(u) = f(u) f(λ 1 u λ n u n )=λ 1 f(u 1 )+ + λ n f(u n ) λ i K, u i U Dim. f(λ 1 u λ n u n )=f(λ 1 u 1 )+ + f(λ n u n )=λ 1 f(u 1 )+ + λ n f(u n ) Esempio 13 f : R 3 R 3 t.c. f(x, y, z) =(2x, x y, z) f : R 2 R t.c. f(x, y) =x f : M n (R) R t.c. f(a) = i=1,...,n f : R[x] R t.c. f(p(x)) = p(a) a ii = Tr(A) (traccia di A) f : U V con U = W V t.c. f(u) =v con u = w+v (proiezione di U su V ) Es: Studiare il coniungio da C in C u U, w W, v V

58 58 Gli omomofismi da U in V costituiscono uno spazio vettoriale con (f + g)(u) =f(u)+g(u) f,g : U V (λf)(u) =λf(u) λ K, f : U V l elemento neutro è l applicazione nulla 0 definita come 0(u) =0 V u U l opposto di f è f definito come ( f)(u) = f(u) u U

59 59 Composizione di omomorfismi Dati tre spazi vettoriali U, V e W sullo stesso campo K e due omomorfismi f : U V e g : V W, l applicazione g f : U W definita come (g f)(x) =(g(f(x)) u U è detta composizione di f e g ed è un omomorfismo f U V g f g W Applicazione inversa Se f : U V è un isomorfismo invertibile, cioè esiste f 1 : V U tale che f f 1 = id V e f 1 f = id U. f 1 è un isomorfismo detto applicazione inversa Proprietà Dato un omomofismo f : U V, H sottospazio di U e K sottospazio di V si ha: f(h) ={f(h) h H} è un sottospazio di V f 1 (K) ={f 1 (k) k K} è un sottospazio di U Es: Dimostrare le due proprietà.

60 60 Nucleo e immagine di un omomorfismo Dato f : U V si dice nucleo di f e si indica con Ker f o Ker(f) l insieme: {u U f(u) =0 V } = f 1 (0 V ) esidiceimmagine di f e si indica con Im f o Im(f) l insieme: Proprietà {v V u U, f(u) =v} = f(u) Ker(f) è sottospazio vettoriale di U e Im(f) è sottospazio vettoriale di V Es: Dimostrare la proprietà f èiniettivaseesoloseker(f) =0 U Dim. Se per assurdo esistesse u U con f(u) =0 V allora si avrebbe f(u) =f(0 U ) Viceversa se per assurdo esistessero u, v U con f(u) =f(v) allora si avrebbe f(u v) =0 V e Ker(f) 0 U f èsurgettivaseesoloseim(f) =V Es: Dimostrare la proprietà f èbigettivaseesoloseker(f) =0 U e Im(f) =V

61 Teorema 7 (Fondamentale degli omomorfismi) Data una base B = {b 1,, b n } di U e un insieme di n vettori A = {a 1,, a n } di V esiste uno e un solo omomorfismo f : U V tale che: f(b i )=a i,i=1,..., n Data B = {b 1,, b n } base di U, Im(f) =L(f(b 1 ),,f(b n )) e quindi dim(im(f)) n Teorema 8 Dato un omomorfismo f : U V con dim(u) =n si ha: dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(u) =n Dim. (Traccia) Sia B K = {u 1,, u p } una base di Ker(f) e B = {u 1,, u p, u p+1,, u n } una base di U; per ottenere la tesi è sufficiente far vedere che B I = {f(u p+1 ),,f(u n )} è una base di Im(f), cioèè un insieme di generatori ed è libero Corollario 3 Dato un omomorfismo f : U V con dim(u) =dim(v )=n, è equivalente dire che f è iniettiva, surgettiva o bigettiva dim(u) =dim(v ) seesoloseu e V sono isomorfi 61

62 Matrice associata ad un omomorfismo Date una base B = {u 1,, u n } di U e una base B = {v 1,, v m } di V, un omomorfismo f : U V è definito univocamente da f(u 1 ),,f(u n ) Posto f(u i )=a 1i v 1,,a mi v m,i =1,..., n l omomorfismo f è determinato univocamente a 11 a 1n dalla matrice A =..... K m,n ; A si denota anche con M B,B (f) a m1 a mn Dato un omomorfismo f : U V e un vettore x U con (x 1,,x n ) K n per la linearità dif il vettore y = f(x) V ha componenti (y 1,,y m ) K m con: y 1 = a 11 x a 1n x n... y m = a m1 x a mn x n Le precedenti equazioni sono dette equazioni dell omomorfismo f e definiscono univocamente f in funzione di A, per cui assegnare f equivale ad assegnare A rispetto a due basi B e B In notazione matriciale si ha y = Ax Talvolta si usano indifferentemente le due notazioni y = f(x) e y = Ax 62

63 Determinazione del nucleo e dell immagine di un omomorfismo a 11 a 1n Dato f : U V con matrice A =..... rispetto alle basi B = {u 1,, u n } a m1 a mn di U e B = {v 1,, v m } di V, per determinare il nucleo è sufficiente risolvere il sistema Au = 0, che ha n k soluzioni, dove k = ρ(a) viene detto rango dell applicazione Per determinare l immagine è sufficiente ricordare che Im(f) =L(f(u 1 ),,f(u n )); inoltre dim(im(f)) = k Una base di Ker(f) è data da una base dello spazio delle soluzioni di Au = 0; quindi basta assegnare valori linearmente indipendentialle ultime n k variabili, ad esempio i versori canonici, e ricavare il valore delle prime k Per determinare una base di Im(f), poichè le colonne di A corrispondono a f(u 1 ),,f(u n ), è sufficiente scegliere un numero di colonne linearmente indipendenti di A uguale al rango Ricordando che dim(u) =n e che per quanto detto dim(ker(f)) = n k e dim(im(f)) = k si ritrova che dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(u) 63

64 Cambiamento di base e omomorfismi Date le basi B = {u 1,, u n } di U e C = {v 1,, v m } di V e f : U V con matrice A = M B,C (f), operando un cambiamento di base B per U e C per V, f può essere espresso da A = M B,C (f) Si ha A = C 1 AB dove B e C sono le matrici del cambiamento di base in U e V Infatti dalla relazione tra B e B si ha x = By e dalla relazione tra C e C si ha x = Cy ; d altra parte si ha x = Ax, oppure y = A y; per cui sostituendo si ha: x = Ax Cy = ABy y = C 1 ABy y = A y e quindi la tesi 64 Per un endomorfismo f : U U posto A = M B,B (f),a = M B,B (f) con B matrice del cambiamento di base si ha A = B 1 AB; lematricia e A si dicono simili Proprietà Due matrici simili hanno lo stesso determinante e la stessa traccia

65 65 Autovalori e autovettori Definizione 16 Dato un endomorfismo f : U U, un vettore non nullo x U si dice autovettore di f se f(x) =λx, doveλ K è detto autovalore relativo all autovettore x Definizione 17 Dato un endomorfismo f : U U, uno scalare λ K è detto autovalore di f se f(x) =λx, dovex U, x 0 è detto autovettore relativo all autovalore λ Proprietà Ogni autovettore ha un unico autovalore ad esso relativo Dim. Siano λ, µ K due autovalori relativi all autovettore x U Allora λx = µx (λ µ)x = 0 λ = µ

66 66 Autospazi Definizione 18 Dato un endomorfismo f : U U eunsuoautovaloreλ, l insieme {x U f(x) =λx} è detto autospazio relativo all autovalore λ e si indica con V λ Proprietà Ogni autospazio è un sottospazio vettoriale di U Es: Dimostrare la proprietà Ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti, cioè irelativiautospazi hanno come intersezione il vettore nullo Se λ 1,,λ p sono autovalori distinti la somma dei relativi autospazi è diretta

67 Calcolo degli autovalori, autovettori e autospazi Per la corrispondenza biunivoca tra un endomorfismo f elasuamatricea è possibile parlare di autovalori, autovettori e autospazi riferendosi indifferentemente all uno o all altra (anche f(x) =λx e Ax = λx sono equivalenti); quindi per estensione si può parlare di autovalori di una matrice (quadrata) 67 AUTOVALORI Ax = λx equivale ad Ax = λix con I matrice identità e quindi si ha: (A λi)x = 0 Il sistema è omogeneo e ammette sempre la soluzione nulla ma se λ è un autovalore anche l autovettore x è una soluzione e quindi la matrice non è di rango massimo, cioè det(a λi) è nullo. Pertanto i valori di λ per cui il determinante è nullo sono gli autovalori cercati L equazione det(a λi) =0 è detta equazione caratteristica dell endomorfismo e il polinomio P (λ) =det(a λi) è detto polinomio caratteristico dell endomorfismo perchènon dipende dalla base di U, cioè det(a λi) =det(a λi) dove A e A sono matrici che rappresentano l endomorfismo rispetto a due diverse basi

68 AUTOVETTORI E AUTOSPAZI Dopo aver determinato gli autovalori λ 1,,λ p si considera per ciascun autovalore λ i,i = 1,..., p il sistema (A λ i I)x = 0 che equivale a (f λ i )(x) =0, quindi è sufficiente determinare il nucleo di (f λ i ) 68 Proprietà dim (V λi )=dim(ker(f λ i )) = dim(u) ρ(f λ i )

69 Teorema 9 1 dim(v λi ) µ i,doveµ i è la molteplicità algebrica di λ i e dim(v λi ) èla molteplicità geometricadiλ i Dim. dim(v λi ) 1 per definizione Sia dim(v λi )=h esiab = {b 1,, b h } una base di V λi. Aggiungendo a Bn hvettori opportunamente scelti è possibile ottenere una base B U = {b 1,, b h, b h+1,, b n } di U La matrice associata ad f rispetto alla base B U è: λ i 0 a 11 a 1,n h A = 0 λ i a h1 a h,n h a n1 a n,n h L equazione caratteristica det(a λi) =0 si può scrivere nella forma (λ i λ) h Q(λ) =0 da cuisiricavah µ i,cioè la molteplicità geometricaè minore o uguale di quella algebrica 69

70 70 Definizione 19 Dato un endomorfismo f : U U se esiste una base di U rispetto a cui la matrice A è diagonale f si dice semplice o diagonalizzabile Una matrice A si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale Proprietà Un endomorfismo f : U U è semplice se e solo se esiste una base di U formata da autovettori Sia f : U U un endomorfismo e λ 1,,λ p i suoi autovalori distinti, f èsemplicesee solo se V λ1 V λp = U oppure dim(v λ1 )+ + dim(v λi )=dim(u) Un endomorfismo f : U U su un campo K è semplice se e solo se ogni suo autovalore appartiene al campo K e ha molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. In particolare è sufficiente che abbia autovalori distinti con molteplicità algebrica uguale a uno appartenenti al campo K

71 71 GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Studio della geometria classica con gli strumenti dell analisi Sistema di riferimento R(O, x, y) Data una base ortonormale B(i, j) coni e j applicati in un punto O detto origine, si individuano due rette orientate x(i) e y(j), dette rispettivamente asse delle ascisse e asse delle ordinate y y 0 j P 0 Coordinate di P 0 O i x 0 x (P 0 O) =x 0 i + y 0 j Distanza tra due punti P 0 e P 1 d(p 0,P 1 )= (x 0 x 1 ) 2 +(y 0 y 1 ) 2 y y 1 y 0 O P 1 P 0 x 0 x 1 x

72 72 Punto medio M di un segmento P 1 P 2 ebaricentrog di un triangolo P 1 P 2 P 3 Da x M = x 1 + x 2 x 1 ; y M = y 1 + y 2 y 1 si ha: 2 2 ( x1 + x ) 2 Analogamente: G = M = 2 ( x1 + x 2 + x 3 3, y 1 + y 2 2, y 1 + y 2 + y 3 3 Punto P simmetrico di P 0 rispetto a P 1 P 1 è il punto medio del segmento di estremi P e P 0, per cui: P =(2x 1 x 0, 2y 1 y 0 ) y y 2 y M y 1 ) O P 1 M P 2 x 1 x M x 2 x

73 73 Retta nel piano (dati un vettore u parallelo alla retta e un suo punto P 0 ) Luogo dei punti P tali che (P P 0 )=tu; t R Equazioni parametriche { x = x0 + uxt y = y 0 + u y t Es: t t 0 ; t t 0 ; t [t 1,t 2 ] Equazione cartesiana x x 0 = y y 0 u x u y Retta nel piano (dati un vettore n normale alla retta e un suo punto P 0 ) Luogo dei punti P tali che (P P 0 ) n =0 Equazione cartesiana Es: equazioni parametriche Condizione di ortogonalità n n x (x x 0 )+n y (y y 0 )=0 ax + by + c =0 u n u n =0 u x n x + u y n y =0 u y u x = n x n y P 0 u P

74 74 Retta passante per due punti P 0,P 1 Retta passante per P 0 e parallela al vettore P 1 P 0 Equazioni parametriche { Es: t [0, 1] Equazione cartesiana x = x 0 +(x 1 x 0 )t y = y 0 +(y 1 y 0 )t x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0

75 75 Coseni direttori di una retta Coseni degli angoli tra u eiversorii, j cos ûi = cos ûj = u i u i = u j u j = u x u 2 x + u 2 y u y u 2 x + u2 y Coefficiente angolare di una retta Tangente trigonometrica dell angolo tra u eilversorei tg ûi = u y u x = n x n y Angolo di due rette r e r cos ûu = u u u u

76 76 Mutua posizione di due rette Dalle soluzioni del sistema lineare associato - parallele nessuna soluzione -incidenti una soluzione -coincidenti 1 soluzioni

77 77 Fasci di rette Fascio proprio λ(ax + by + c)+µ(a 1 x + b 1 y + c 1 )=0;λ, µ R λ, µ omogenei (a meno di una costante) Fascio improprio ax + by + k =0;k R

78 78 Distanza da un punto P 0 a una retta r Minimo delle distanze tra P 0 e i punti di r d(p 0,r)= P 0 H = P 0 P sin α = = P 0 P cos θ = (P 0 P ) n n = (x 0 x, y 0 y) (a, b) = a2 + b 2 = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2 = n θ P 0 P α H

79 79 Circonferenza di centro C e raggio r Luogo dei punti aventi distanza da C uguale ad r Equazione cartesiana con C = (x x C ) 2 +(y y C ) 2 = r 2 x 2 + y 2 + ax + by + c =0 ( a ) 2, b a2 + b ; r = 2 4c 2 4 Equazioni parametriche { con t [0, 2π) x = x C + rcost y = y C + rsint

80 80 Retta tangente ad una circonferenza Γ in un suo punto P 0 Retta passante per P 0 enormalea(c P 0 ) (x x 0 )(x C x 0 )+(y y 0 )(y C y 0 )=0 Es: retta tangente ad una circonferenza da un punto esterno P Mutua posizione di una circonferenza Γ e una retta s Dalla distanza della retta dal centro rispetto al raggio -esterna d(c, s) >r -tangente d(c, s) =r - secante d(c, s) <r

81 81 Mutua posizione di due circonferenze Γ 1 e Γ 2 Dalla distanza dei due centri rispetto ai raggi -esterne d(c 1,C 2 ) >r 1 + r 2 - tangenti esternamente d(c 1,C 2 )=r 1 + r 2 - secanti r 1 + r 2 >d(c 1,C 2 ) > r 1 r 2 - tangenti internamente d(c 1,C 2 )= r 1 r 2 - interne d(c 1,C 2 ) < r 1 r 2 (concentriche d(c 1,C 2 )=0)

82 82 Fasci di circonferenze λ(x 2 + y 2 + ax + by + c)+µ(x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 )=0;λ, µ R λ, µ omogenei I centri appartengono ad una retta detta asse centrale Se λ + µ =0si ha la retta passante per P 1 e P 2, detta asse radicale che non dipende dalle circonferenze generatrici L asse centrale e l asse radicale sono ortogonali

83 83 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Sistema di riferimento R(O, x, y, z) Data una base ortonormale positiva B(i, j, k) coni, j e z k applicati in un punto O detto origine, si individuano tre z 0 rette orientate x(i),y(j) e z(k), dette rispettivamente k asse delle ascisse, asse delle ordinate e asse delle quote O i j Coordinate di P 0 (P 0 O) =x 0 i + y 0 j + z 0 k x x 0 P 0 y 0 y Distanza tra due punti P 0 e P 1 d(p 0,P 1 )= (x 0 x 1 ) 2 +(y 0 y 1 ) 2 +(z 0 z 1 ) 2

84 Punto medio M di un segmento P 1 P 2,baricentroG di un triangolo P 1 P 2 P 3 e baricentro Q di un tetraedro P 1 P 2 P 3 P 4 ( x1 + x 2 M = ( 2 x1 + x 2 + x 3 G = ( 3 x1 + x 2 + x 3 + x 4 Q = 4, y 1 + y 2 2, y 1 + y 2 + y 3 3, y 1 + y 2 + y 3 + y 4 4, z 1 + z ) 2 2, z 1 + z 2 + z 3 3 ), z 1 + z 2 + z 3 + z 4 4 ) 84 Punto P simmetrico di P 0 rispetto a P 1 P 1 è il punto medio del segmento di estremi P e P 0 P =(2x 1 x 0, 2y 1 y 0, 2z 1 z 0 ) Superficie di un triangolo P 1 P 2 P 3 e volume di un tetraedro P 1 P 2 P 3 P 4 S = 1 2 (P 2 P 1 ) (P 3 P 1 ) V = 1 6 (P 2 P 1 ) (P 3 P 1 ) (P 4 P 1 )

85 Piano nello spazio (dati due vettori u, v paralleli al piano e non tra loro e un suo punto P 0 ) Luogo dei punti P tali che (P P 0 )=λu + µv; λ, µ R Equazioni parametriche x = x 0 + u x λ + v x µ y = y 0 + u y λ + v y µ n u z = z 0 + u z λ + v z µ Equazione cartesiana (P P 0 ) u v =0 Es: Sviluppare l equazione cartesiana P 0 v 3 Piano nello spazio (dati un vettore n normale al piano e un suo punto P 0 ) Luogo dei punti P tali che (P P 0 ) n =0 Equazione cartesiana n x (x x 0 )+n y (y y 0 )+n z (z z 0 )=0 ax + by + cz + d =0 Es: piano passante per tre punti non allineati 85

86 Retta nello spazio (dati un vettore u parallelo alla retta e un suo punto P 0 ) Luogo dei punti P tali che P P 0 = tu; t R Equazioni parametriche x = x 0 + u x t y = y 0 + u y t z = z 0 + u z t Equazione cartesiana { x x 0 = y y 0 = z z 0 ax + by + cz + d =0 u x u y u z a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 =0 Es: equazioni parametriche di una retta data l equazione cartesiana Es: equazione cartesiana e equazioni parametriche di una retta passante per due punti 86

87 87 Mutua posizione di due piani Dalle soluzioni del sistema lineare associato - paralleli nessuna soluzione -incidenti 1 soluzioni -coincidenti 2 soluzioni Mutua posizione di una retta e un piano Dalle soluzioni del sistema lineare associato - paralleli nessuna soluzione -incidenti 1 soluzione - retta appartenente al piano 1 soluzioni Mutua posizione di due rette Dalle soluzioni del sistema lineare associato -sghembe nessuna soluzione -parallele nessuna soluzione -incidente 1 soluzione complanari -coincidenti 1 soluzioni

88 88 Fasci di piani Fascio proprio λ(ax + by + cz + d)+µ(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 )=0;λ, µ R λ, µ omogenei Fascio improprio ax + by + cz + k =0;k R

89 89 Distanza da un punto P 0 aunpianoπ d(p 0,π)= ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c 2 Distanza da un punto P 0 a una retta r d(p 0,r)= (P 1 P 0 ) u u con P 1 r Oppure d(p 0,r)=d(P 0,H) con H = r π; π r, P 0 π Es: punto simmetrico di P rispetto a r

90 90 Angolo di due rette r e r cos ûu = u u u u Valeancheselerettesonosghembe Diedro di due piani π e π cos nn = n n n n Angolo di una retta r eunpianoπ E l angolo α tra la retta e la sua proiezione ortogonale su π Es: r π; r π Es: retta per P ed incidente ad r sin α = cos n π u r = n π u r n π u r

91 91 Sfera di centro C e raggio r Luogo dei punti aventi distanza da C uguale a r Equazione cartesiana (x x C ) 2 +(y y C ) 2 +(z z C ) 2 = r 2 x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d =0 ( con C = a ) 2, b 2, c a2 + b ; r = 2 + c 2 4d 2 4

92 92 Mutua posizione di una sfera Σ eunpianoπ Dalla distanza del piano dal centro rispetto al raggio -esterno d(c, π) >r -tangente d(c, π) =r - secante d(c, π) <r Mutua posizione di una sfera Σ e una retta s Dalla distanza della retta dal centro rispetto al raggio -esterna d(c, s) >r -tangente d(c, s) =r - secante d(c, s) <r Mutua posizione di due sfere Σ 1 e Σ 2 Si identificano tramire la distanza dei due centri rispetto ai raggi -esterne d(c 1,C 2 ) >r 1 + r 2 - tangenti esternamente d(c 1,C 2 )=r 1 + r 2 - secanti r 1 + r 2 >d(c 1,C 2 ) > r 1 r 2 - tangenti internamente d(c 1,C 2 )= r 1 r 2 - interne d(c 1,C 2 ) < r 1 r 2 (concentriche d(c 1,C 2 )=0)

93 93 Circonferenza nello spazio Intersezione di una sfera e un piano secanti oppure intersezione di due sfere secanti Es: trovare centro e raggio della circonferenza Retta tangente alla circonferenza nello spazio Equivale alla retta complanare alla circonferenza avente distanza dal centro uguale al raggio Es: retta tangente a Γ da un punto esterno P Es: retta tangente a Γ in un punto P 0 Γ

94 94 Fasci di sfere λ(x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d)+µ(x 2 + y 2 + z 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 )=0;λ, µ R λ, µ omogenei I centri appartengono ad una retta detta asse centrale Se λ + µ =0si ha il piano passante per Γ, detto piano radicale che non dipende dalle sfere generatrici L asse centrale e il piano radicale sono ortogonali

95 95 CONICHE Si chiama conica il luogo dei punti P del piano per i quali il rapporto delle distanze da un punto F, detto fuoco, e da una retta f, detta direttrice, èugualeaunacostantee detta eccentricità: P t.c. d(p, F ) d(p, f) = e e deve essere non negativa; il caso e =0èprivodisignificato(P F ) Le coniche si possono ottenere come intersezione di un cono circolare con un piano

96 96 Equazione generale di una conica Posto F =(x 0,y 0 ), f : lx + my + n =0, P =(x, y) si ha: Da d2 (P, F ) d 2 (P, f) = e2 si ricava: Si distinguono i casi 1. F f 2. F / f e i sottocasi a) e =1 b) e<1 c) e>1 d(p, F )= (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 d(p, f) = lx + my + n l2 + m 2 (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 2 (lx + my + n)2 = e l 2 + m 2 per i quali è opportuno ridefinire il sistema di riferimento

97 97 1) F f - Conica degenere Sistema di riferimento F =(0, 0); f : x =0 x 0 =0;y 0 =0;l =1;m =0;n =0 L equazione generale diventa: x 2 + y 2 = e 2 x 2 (1 e 2 )x 2 + y 2 =0 a) e =1 y 2 =0 y =0cioè rette reali coincidenti b) e<1 1 e 2 > 0 ( 1 e 2 x + iy)( 1 e 2 x iy) =0cioè rette complesse con P =(0, 0) unico punto reale c) e>1 1 e 2 < 0 (y e 2 1 x)(y + e 2 1 x) =0cioè rette reali distinte

98 98 2) F / f - Conica non degenere Sistema di riferimento F =(c, 0); f : x = h x 0 = c; y 0 =0;l =1;m =0;n = h L equazione generale diventa: (x c)+y 2 = e 2 (x h) 2 (1 e 2 )x 2 + y 2 2(c e 2 h)x + c 2 e 2 h 2 =0 a) e =1 y 2 2(c h)x + c 2 h 2 =0 Posto c + h =0si ha y 2 4cx =0cioè una parabola b,c) e 1 (1 e 2 )x 2 + y 2 2(c e 2 h)x + c 2 e 2 h 2 =0 Posto c e 2 h =0,cioè e 2 = c h e a2 = ch, cioè h = a2 c e quindi e2 = c2 si ha: a2 (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) b) e<1 e 2 < 1 a 2 >c 2 Posto a 2 c 2 = b 2 si ha b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 a + y2 =1cioè un ellisse 2 b2 c) e>1 e 2 > 1 a 2 <c 2 Posto c 2 a 2 = b 2 si ha b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 a y2 =1cioè un iperbole 2 b2

99 99 Parabola y 2 =4cx con e =1 f y Fuoco e direttrice F =(c, 0); f : x = c V O F x Intersezioni con gli assi { { y 2 =4cx x =0 y 2 =4cx y =0 { { y =0 x =0 x =0 y =0 soluzione doppia, cioè x =0ètangente V =(0, 0) è il vertice della parabola