Funzioni. Il funzionamento di un elettrodomestico si può rappresentare mediante il seguente schema: elettrodomestico

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1 Funzioni Introduzione Il termine funzione è presente non solo in matematica, ma anche in tutte le altre scienze e nella vita di tutti i giorni. Infatti diciamo di un elettrodomestico che funziona o, quando è rotto, che non funziona. Consideriamo i più familiari elettrodomestici: il tritacarne, la grattugia del formaggio, la lavastoviglie, la lavatrice. Tutti funzionano in questo modo: si immette un qualcosa inerente l elettrodomestico e dopo averlo elaborato viene fuori trasformato. Il funzionamento di un elettrodomestico si può rappresentare mediante il seguente schema: ingresso elettrodomestico uscita Nel caso del tritacarne l ingresso è il pezzo di carne e l uscita il pezzo di carne tritato; nella grattugia l ingresso è il pezzo di formaggio e l uscita il formaggio grattugiato; nella lavastoviglie l ingresso e l uscita sono rispettivamente le stoviglie sporche e quelle pulite; Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 1

2 nella lavatrice i panni sporchi e i panni puliti. A nessuno verrebbe in mente di mettere la carne nella grattugia, il pezzo di formaggio nel tritacarne o un bicchiere nella lavatrice. Quindi ciò che possiamo immettere in un elettrodomestico dipende dal tipo di elettrodomestico. Cambiando elettrodomestico cambia anche ciò che possiamo immettere. Inoltre ciò che esce dall elettrodomestico dipende da ciò che mettiamo. Indicando con f la funzione che svolge l elettrodomestico; con A, detto dominio, l insieme degli elementi che possono essere immessi e con x, detta variabile indipendente, il suo generico elemento; con B, detto insieme di arrivo, l insieme che contiene gli elementi trasformati e con y, detta variabile dipendente, il suo generico elemento, lo schema precedente si può rappresentare nel seguente modo: A B x f( ) y=f(x) Ponendo x all interno delle parentesi tonde, cioè con la scrittura f(x), intendiamo dire che la funzione f agisce sulla variabile x e quindi la trasforma. Per cui f(x) rappresenta l elemento trasformato y perciò possiamo scrivere y = f(x) che rappresenta un altro modo di scrivere la funzione. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 2

3 Nel caso del tritacarne, y=f(x) rappresenta la carne tritata mentre x rappresenta il pezzo di carne e vengono rispettivamente detti anche immagine e controimmagine immagine x f(x)=y controimmagine Per codominio, indicato con f(a), intendiamo il sottoinsieme di B costituito da tutti quegli elementi che sono immagine di almeno un elemento di A. Ad esempio consideriamo la relazione che associa un satellite al suo pianeta: luna mercurio phobos terra Dominio deimos marte Codominio caronte notte plutone venere Insieme di arrivo Il codominio è costituito da {terra, marte, plutone} Altri modi di scrivere una funzione: (si legge: f funzione da A a B) (si legge: f fa corrispondere y ad x) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 (si legge: f fa corrispondere f(x) ad x) Definizione di funzione Una funzione è una relazione tra due insiemi A e B tale che ad ogni elemento x di A corrisponde uno e un solo elemento y di B. Non tutte le relazioni sono funzioni. Ad esempio le relazioni che ad un elemento di A non associa nessun elemento di B oppure associano due o più valori di B non sono funzioni. Per questo motivo si dice che una funzione da A a B è una corrispondenza univoca. Esempi di funzione La relazione tra l insieme A degli insegnanti di una certa scuola e l insieme B delle sezioni non è una funzione perché alcuni insegnanti insegnano in più di una sezione per cui un x di A può essere in relazione con più di un y di B. Sia C l insieme dei comuni italiani e P l insieme delle provincie. La relazione che assegna ad un comune x il capoluogo della provincia in cui si trova x è funzione. Ad esempio f(galatone)= Lecce e f(lecce)=lecce. Il codominio di f è costituito dall insieme dei comuni che sono capoluogo di provincia. Possiamo rappresentare una funzione mediante un diagramma a frecce associando, con una freccia, ogni elemento dell insieme A con un solo elemento dell insieme B. Tutte e quattro le seguenti relazioni sono funzioni perché ad ogni elemento di A è associato uno ed un solo elemento di B Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

5 Le seguenti due relazioni, invece, non sono funzioni perché nel primo caso ad un elemento di A sono associati due elementi di B e nel secondo non tutti gli elementi di A hanno un immagine in B. Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche Una funzione si dice suriettiva quando tutti gli elementi dell insieme B sono immagini di almeno un elemento di A. In altri termini quando B coincide con il codominio della funzione. In simboli: f(a) = B Dei due seguenti diagrammi a frecce il primo rappresenta una funzione suriettiva mentre il secondo no. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

6 Esempi Sia A l insieme degli studenti di una certa scuola e B l insieme delle sue classi. La funzione che associa ad ogni studente la sua classe è suriettiva. Infatti in ogni classe vi è almeno uno studente. In una certa scuola sia A l insieme dei motorini e B l insieme degli alunni. La funzione che associa un motorino all alunno proprietario non è suriettiva perché ci possono essere alunni senza il motorino. Una funzione si dice iniettiva se ad elementi distinti dell insieme A corrispondono elementi distinti dell insieme B. In simboli scriviamo: A B x x f x f x Esempi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 6

7 Sia A l insieme delle autovetture targate Lecce e B l insieme delle targhe. La funzione che associa ad ogni autovettura il suo numero di targa è iniettiva. Sia A l insieme dei giorni del mese di aprile e B l insieme dei giorni della settimana. La funzione che associa ad ogni giorno del mese il relativo giorno della settimana non è iniettiva poiché a diversi giorni del mese corrispondono giorni della settimana uguali. Una funzione si dice biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva. In altre parole una funzione è biunivoca se ad ogni elemento dell insieme A corrisponde un solo elemento dell insieme B e, viceversa, cioè ad ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A. A B Esempi La funzione che associa ad ogni regione italiana il suo capoluogo è una funzione biunivoca La funzione che associa ad ogni italiano residente nella provincia di Lecce il suo codice fiscale è biunivoca Osservazioni su insiemi finiti e infiniti Se tra due insiemi finiti è definita una corrispondenza biunivoca è evidente che i due insiemi hanno lo stesso numero di elementi. Tra due insiemi finiti con un diverso numero di elementi non è, invece, possibile stabilire una corrispondenza biunivoca. Ad esempio non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca un insieme finito con un suo sottoinsieme proprio, perché questo ha sicuramente meno elementi. Negli insiemi infiniti questo è possibile. Ad esempio si può mettere in corrispondenza biunivoca l insieme dei numeri naturali con il suo sottoinsieme proprio formato dai numeri pari. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

8 N P Possiamo dire, pertanto, che un insieme è infinito quando è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. La funzione inversa Data la funzione la funzione che trasforma elementi di B in elementi di A è detta funzione inversa ed è indicata con. Ritornando agli esempi degli elettrodomestici la funzione inversa della grattugia, se esistesse, trasformerebbe il formaggio grattugiato in un pezzetto di formaggio e la funzione inversa del tritacarne, anche questa se esistesse, trasformerebbe la carne macinata in un pezzo di carne. Poniamoci ora la seguente domanda: considerata la funzione funzione inversa? esiste sempre la sua In generale la risposta è no. Solo le funzioni biunivoche hanno funzione inversa, cioè sono invertibili. A B Le funzioni solo iniettive non sono invertibili perché non tutti gli elementi di B hanno immagine in A A B Neanche le funzioni solo suriettive sono invertibili perché, in questo caso, elementi di B hanno più immagini in A. A B Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

9 Funzioni composte da più funzioni. Consideriamo, ad esempio un autolavaggio in cui le macchine vengono prima lavate poi asciugate e infine lucidate. Indicata con x la macchina sporca e con y la macchina lavata, asciugata e lucidata, il seguente schema riproduce il funzionamento dell autolavaggio x lavaggio asciugatura lucidatura y Indicata con f la funzione di lavaggio dell auto; con g la funzione di asciugatura, con h la funzione di lucidatura della carrozzeria lo schema precedente diventa: x f() f(x) g() g(h(x)) h h(g(f(x)))=y che possiamo, in modo più semplice, scrivere come: ( ( )) dove f(x) rappresenta la macchina lavata, g(f(x)) la macchina lavata e asciugata e h(g(f(x)))=y la macchina lavata, asciugata e lucidata. Possiamo pensare ad una funzione t che si compone di queste tre funzioni t() x lavaggio asciugatura lucidatura y=t(x) (x) t() x f() f(x) g() g(f(x)) h() h(g(f(x)))=t(x)=y Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

10 La funzione t è detta funzione composta e si indica anche con la scrittura che si legge h composto g composto f, dove il simbolo è il simbolo di composizione di funzioni. Osserviamo che le funzioni sono scritte in ordine inverso rispetto all ordine con cui operano. Funzioni matematiche In precedenza abbiamo esaminato il concetto di funzione facendo numerosi esempi, dove gli insiemi A e B avevano per elementi oggetti e persone. Adesso parliamo di funzioni numeriche perché gli insiemi A e B sono insiemi numerici. Di solito, se non è specificato diversamente, A e B sono sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali. Per questo motivo le funzioni numeriche sono dette funzioni reali di variabile reale. Consideriamo ad esempio la funzione cioè la funzione che associa ad un valore della x il suo quadrato. In questo caso la relazione tra le due variabili x e y è espressa mediante una formula chiamata espressione analitica o matematica. Diremo, quindi, funzioni matematiche o analitiche quelle funzioni numeriche per le quali, a partire da un x del dominio A, l immagine si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice e altri tipi di operazioni che avremo modo di vedere proseguendo gli studi). L insieme di queste operazioni per determinare l immagine y viene detta legge. La funzione matematica può essere vista come un operatore che, ricevendo un valore numerico x in entrata, lo elabora, trasformandolo nel valore y, immagine di x. X X 2 X 2 = y 2 X 2 y=4 Per x = 2 abbiamo y = 4. Ciò può essere espresso anche come f(2) = 4 dove 4 è l immagine e 2 è la controimmagine. Utilizzando la stessa notazione abbiamo che: f(3) = 9 f(a+2b) = (a+2b) 2 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 10

11 Le funzioni matematiche non sempre hanno la stessa espressione analitica per tutti gli x del dominio, ma può avere più espressioni analitiche come nel seguente esempio: { In questa funzione se x è positivo o nullo la sua immagine è se stesso, mentre se x è negativo, l immagine di x è il triplo di x. Funzioni empiriche Non tutte le funzioni sono di tipo matematico, cioè non sempre hanno una espressione analitica. Per esempio la funzione che associa ad una determinata ora della giornata la temperatura rilevata non è esprimibile analiticamente, cioè mediante una formula, ma il valore di y si può trarre da quello della x solo per mezzo di una misura diretta. Si tratta quindi di una funzione definita sperimentalmente e detta funzione empirica. Tali tipi di funzioni le troviamo in fisica, chimica, economia, e spesso in statistica. Rappresentazione di una funzione Una funzione può essere rappresentata in diversi modi. Consideriamo, ad esempio, nell insieme dei numeri relativi Z, la funzione che associa ad un valore x il suo quadrato e vediamo i diversi modi di rappresentazione. rappresentazione tabulare Si tratta di una elencazione delle coppie ordinate (x ; y) tali che y = f(x). La seguente tabella rappresenta la funzione in forma tabulare x y=f(x) rappresentazione mediante un diagramma a frecce o sagittale Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 11

12 rappresentazione mediante un diagramma cartesiano Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano, si contrassegnano i punti corrispondenti alle coppie ordinate (x ; y) tali che y = f(x). L insieme di questi punti è detto grafico cartesiano di f. In modo intensivo Per rappresentare in modo intensivo una funzione si scrive la legge che lega le due variabili x e y. Ad esempio: Osservazione Non tutti i grafici rappresentati su un diagramma cartesiano sono funzioni. Ad esempio se una retta parallela all asse delle y interseca il grafico in più di un punto allora tale grafico non rappresenta una funzione perché vuol dire che ad un valore della variabile indipendente x corrispondono più immagini e questo non è possibile in una funzione. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 12

13 Uguaglianza di funzioni Se due funzioni hanno lo stesso dominio A e sono uguali e si scrive f = g. si ha che: f(x) = g(x) si dice che le due funzioni Osservazione Non è la stessa cosa scrivere g = f e f(x) = g(x). La prima è una uguaglianza tra funzioni. Essa afferma che le due funzioni hanno lo stesso dominio A e che, f(x) = g(x). La seconda uguaglianza rappresenta, in generale, un equazione la quale è vera per alcuni valori di x e falsa per altri. Composizione di funzioni matematiche Abbiamo già parlato di composizione di funzioni. Adesso consideriamo la composizione di funzioni matematiche. Siano e due funzioni matematiche. Definiamo funzione composta h di f e g, e scriveremo la funzione tale che h(x)=g(f(x)). h g f f g x f(x) h(x)=g(f(x)) A B C Esempio 1 Siano f e g due funzioni aventi per dominio l insieme R dei numeri reali così definite: Determinare le funzioni composte e successivamente risolvere l equazione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 13

14 Determiniamo le funzioni h(x) e k(x) ( ) Poiché commutativa. questo vuol dire che la composizione di funzioni non è Risolviamo ora l equazione sapendo che: e quindi l equazione data diventa: che risolta dà come risultato Esempio 2 Consideriamo le funzioni da R a R: E verifichiamo che vale la proprietà associativa nella composizione di funzioni, cioè che vale l uguaglianza: Inoltre posto determinare le controimmagini di 18 rispetto alla funzione t in R. Verifichiamo la proprietà associativa e determiniamo: ( ) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 14

15 ( ) Avendo ottenuto la stessa espressione analitica la proprietà è verificata. Per determinare le eventuali controimmagini di 18 bisogna risolvere l equazione: t(x) = 18 Composizione di funzioni biunivoche Esiste il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione Teorema Siano due funzioni biunivoche. La funzione composta è biunivoca. Dal precedente teorema si ha che: Componendo due funzioni iniettive si ottiene una funzione iniettiva Componendo due funzioni suriettive si ottiene una funzione suriettiva Funzione inversa di una funzione matematica Consideriamo una funzione matematica biunivoca. Come abbiamo visto tale funzione ammette funzione inversa che denotiamo con, cioè quella funzione che ad ogni y del codominio fa corrispondere la sua unica controimmagine. A a f l B A a f -1 l B b m b m c n c n Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 15

16 Nella funzione inversa il dominio e il codominio si scambiano i ruoli: il dominio diventa codominio e il codominio diventa dominio. Inoltre y diventa variabile indipendente e x dipendente. Poiché in matematica è consuetudine indicare con la lettera x gli elementi del dominio e con y quelli del codominio la funzione inversa si può anche scrivere come e si ottiene scambiando nella funzione la variabile x con la variabile y e ricavando la variabile y in funzione della x. Da un punto di vista geometrico la sostituzione { corrisponde ad una simmetria rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante. Questo vuol dire che se si riportano i grafici di una funzione e della sua inversa sullo stesso sistema di riferimento cartesiano i due grafici risulteranno simmetrici rispetto a tale bisettrice y=f(x) y=x y=f -1 (x) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 16

17 Esempio Data la funzione biunivoca determinare la funzione inversa e tracciare i grafici di f e di f -1 in uno stesso sistema di riferimento. Il testo dell esercizio afferma che la funzione è biunivoca e pertanto siamo sicuri che esiste la funzione inversa la quale si ottiene scambiando la variabile x con la variabile y cioè eseguendo la sostituzione: { e ricavando poi la variabile y in funzione della variabile x y=f -1 (x) y=x y=f(x) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 17

18 Come stabilire se una funzione è biunivoca Nell esempio precedente il testo ci diceva che la funzione data era biunivoca. Ci chiediamo ora: come fare per verificare che una funzione è biunivoca? I casi sono due: Conosciamo il grafico della funzione Conosciamo l espressione analitica della funzione Conosciamo il grafico della funzione Attraverso il grafico si può stabilire se una funzione è iniettiva e/o suriettiva. La funzione non è iniettiva se esiste una retta parallela all asse delle x che incontra la funzione più di una volta come nel seguente grafico y X 1 X 2 X 3 La funzione non è iniettiva perché i valori x 1, x 2, x 3 che hanno la stessa immagine y La funzione è iniettiva se ogni retta interseca la curva sempre una sola volta y X Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 18

19 In questo caso esiste una sola controimmagine x di y La funzione non è suriettiva se esiste una retta parallela all asse delle x che non incontra la funzione come nel seguente grafico y La funzione non è suriettiva perché non avendo y controimmagine non fa parte del codominio. La funzione è suriettiva se ogni retta parallela all asse delle x incontra sempre la funzione come nel seguente grafico y X In questo caso ogni y ha controimmagine e quindi appartiene al codominio. Conosciamo l espressione analitica della funzione Dalla definizione sappiamo che una funzione è iniettiva se: oppure in forma equivalente che vuol dire che f è iniettiva se due immagini uguali hanno controimmagini coincidenti. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 19

20 Esempio 1 Verificare che la funzione reale di variabile reale f(x)=2x+8 è iniettiva. Essa è iniettiva se: Pertanto f è iniettiva. Esempio 2 Stabilire se la funzione reale di variabile reale f(x) = x è iniettiva. f non è iniettiva perché ad una stessa immagine corrispondono due controimmagini diverse. Sappiamo che una funzione è suriettiva quando f(a)=b cioè quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Per verificare ciò ci ricaviamo x in funzione di y e vediamo per quali valori di y esiste la controimmagine x. Un esempio chiarirà meglio quanto affermato. Esempio 1 Data la funzione verificare se è suriettiva. Trattandosi di una funzione razionale intera il suo dominio è tutto R. Ricaviamoci x in funzione di y Assegnato a y un qualunque numero reale è possibile determinare la sua controimmagine x. Pertanto f è suriettiva. Esempio 2 Data la funzione biunivoca La funzione data è razionale fratta. Il suo dominio è verificare se è suriettiva.. Ricaviamoci x in funzione di y Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 20

21 Assegnato a y un qualunque numero reale diverso da 2 è possibile determinare la sua controimmagine x. Pertanto f è non è suriettiva perché 2 non ha controimmagine. La funzione può diventare suriettiva se restringiamo l insieme di arrivo a. Restrizione di una funzione Consideriamo la funzione f(x)=x 2 +1 Dal grafico deduciamo che la funzione non è biunivoca. Infatti una retta parallela all asse delle x incontra la funzione due volte e non la incontra sempre. Quindi non è né iniettiva né suriettiva e pertanto non è invertibile. E possibile, però, definire un altra funzione g(x) restringendo opportunamente il dominio e l insieme di arrivo in modo da far diventare la funzione biunivoca e quindi invertibile. Se restringiamo il dominio all intervallo e l insieme di arrivo all intervallo [1; + [ la funzione g(x) diventa biunivoca, come si evince dal grafico seguente, ed è possibile invertirla. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 21

22 La funzione inversa ha il seguente grafico Classificazione delle funzioni Le funzioni reali di variabile reale sono di solito classificate secondo il seguente schema: Funzioni algebriche trascendenti Razionali intere Razionali fratte irrazionali Funzioni algebriche: sono quelle funzioni per cui il valore y della variabile dipendente si ottiene, a partire dal valore x della variabile indipendente, eseguendo un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice n-esima con Funzioni razionali intere: sono funzioni rappresentate da polinomi in una variabile Esempi di funzioni razionali intere: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 22

23 Funzioni razionali fratte: sono rappresentate dal rapporto di due polinomi in una variabile Esempi di funzioni razionali fratte: Funzioni irrazionali: sono funzioni in cui, oltre alle operazioni razionali compaiono anche estrazioni di radice n-esima. Funzioni trascendenti: sono funzioni non algebriche tra le quali vi sono funzioni goniometriche, funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche che saranno esaminate in seguito. Determinazione del dominio di una funzione Abbiamo detto che l immagine si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice e altri tipi di operazioni. Ma non tutte queste operazioni sono sempre possibili. La divisione per zero, per esempio, non è possibile e neanche l estrazione di radice ad indice pari di un numero negativo. Pertanto bisogna eliminare dal dominio quegli elementi per i quali le operazioni coinvolte non sono possibili. Per la determinazione del dominio delle funzioni algebriche occorre ricordare quanto segue: 1. Le operazioni di addizione, sottrazione e prodotto sono sempre possibili. Quindi le funzioni razionali intere, cioè i polinomi in una variabile, hanno come dominio tutto R. 2. L operazione di divisione non ha significato se il divisore è nullo. Quindi le funzioni razionali fratte hanno per dominio tutti i numeri reali tranne quelli che eventualmente annullano il denominatore. 3. L operazione di estrazione di radice ad indice pari è possibile solo se il radicando è maggiore o uguale a zero Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 23

24 4. L operazione di estrazione di radice ad indice dispari è sempre possibile purché esista il radicando. Vediamo ora, con degli esempi, la determinazione del dominio di alcune funzioni algebriche Esempio 1 Determinare il dominio delle seguenti funzioni: Tutte e tre le funzioni sono razionali intere e pertanto il loro dominio è tutto R. Esempio 2 Determinare il dominio della funzione Si tratta di una funzione razionale fratta. La condizione per l esistenza dell immagine y di un valore di x è che il denominatore sia diverso da zero: In generale le funzioni razionali fratte hanno come dominio tutto R escluso i valori che annullano il denominatore. Esempio 3 Determinare il dominio della funzione La funzione è irrazionale con radicale di indice pari. Per l esistenza di f(x) occorre che il radicando sia maggiore o uguale a zero: In generale le funzioni irrazionali con radicale di indice pari hanno come dominio il sottoinsieme di R che rende il radicando maggiore o uguale a zero. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 24

25 Esempio 4 Determinare il dominio della funzione La funzione è irrazionale con radicale di indice dispari. In questo caso il radicando può essere sia positivo che negativo ma non può essere nullo: In generale le funzioni irrazionali con radicale di indice dispari hanno come dominio tutto R. Se però la radice si trova al denominatore bisogna escludere dal dominio i valori che annullano il radicando. Esempio 5 Determinare il dominio della funzione Si tratta di una funzione irrazionale con radicale di indice dispari. Il radicando può essere sia positivo che negativo purché il denominatore sia diverso da zero: Funzioni crescenti e decrescenti Sia f(x) una funzione reale di variabile reale e D il suo dominio. Definizione Una funzione f(x) si dice crescente in senso stretto (o strettamente crescente) nell insieme D se: f x f x x x Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 25

26 Se invece la funzione si dice crescente in senso lato f x f x Quando si dice che una funzione è crescente, senza x ulteriori x specificazioni, si conviene che lo sia in senso stretto Esempio Dimostrare che la funzione è strettamente crescente in R. La funzione sarà strettamente crescente se: In base alla definizione la funzione risulta strettamente crescente in tutto R. Definizione Una funzione f(x) si dice decrescente in senso stretto (o strettamente decrescente) nell insieme D se: f x f x x x Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 26

27 Se invece la funzione si dice decrescente in senso lato f x f x x x Anche in questo caso quando si dice che una funzione è decrescente, senza ulteriori specificazioni, si conviene che lo sia in senso stretto. Esempio Dimostrare che la funzione è strettamente crescente in R. La funzione sarà strettamente decrescente se: In base alla definizione la funzione risulta strettamente decrescente in tutto R. Quando una funzione è crescente o decrescente in senso stretto in un insieme D, si dice che essa è strettamente monotòna in D o anche, semplicemente, che è monotòna. Si può parlare anche di funzioni monotòne in senso lato in D quando la funzione è crescente o decrescente in senso lato in D. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 27

28 Osservazione Una funzione di dominio D può ivi non essere né crescente né decrescente. In tali casi può darsi che sia possibile dividere l insieme D in opportuni sottoinsiemi in ciascuno dei quali f sia monotòna D 1 D 3 D 3 D Nel seguente grafico la funzione non è crescente nel suo dominio (a ; b) che in (b ; c). ma lo è sia in a b c Osservazione Una funzione f monotòna in senso stretto in un insieme D è una funzione biunivoca tra D e f(d) ed è pertanto invertibile. f D D Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 28

29 Non vale l inverso: infatti una funzione può essere invertibile senza essere monotòna nel suo dominio come mostra la seguente figura a b c Funzioni pari e funzioni dispari Il grafico di una funzione può essere simmetrico rispetto all asse delle y. In questo caso valori opposti della variabile x hanno stessa immagine per cui: Quando questo succede si dice che la funzione è pari f(-x) f(x) -x x Se invece a valori opposti della variabile x corrispondono anche immagini opposte e cioè la funzione è detta dispari e il suo grafico risulta simmetrico rispetto all origine. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 29

30 f(x) -x x f(-x) Osservazione Perché una funzione sia pari o dispari il suo dominio deve essere simmetrico rispetto a x = 0. Una funzione è pari se sostituendo ad x x la funzione non cambia; è dispari se cambia di segno. Se la funzione è razionale intera, esprimibile nella forma y = P(x), con P(x) polinomio, la funzione è pari se figurano solo potenze di grado pari, mentre è dispari se figurano solo potenze dispari. Esempio Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 30

31 Funzioni convesse e concave Definizione Una funzione f : A R è detta concava verso l alto (o convessa ) nell intervallo(a, b) se, per ogni coppia di elementi s e t in (a, b) con s < t, il segmento che unisce i punti (s, f (s))e (t, f (t)) sta tutto sopra il grafico di f in (s, t). f(t) f(s) a s t b Analogamente la funzione f è detta concava verso il basso nell intervallo (a, b) se per ogni coppia di elementi s e t in (a, b) il segmento che unisce i punti (s, f (s)) e (t, f (t)) sta tutto sotto il grafico di f in (s, t). f(t f(s a s t b La funzione seguente non è né concava né convessa Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 31

32 Tuttavia è possibile dividere il dominio in intervalli nei quali la funzione è concava o convessa a c b Nell intervallo (a;c) la funzione è concava mentre nell intervallo (c;b) è convessa. Il punto c in cui la funzione cambia la concavità è detto punto di flesso. Segno e zeri di una funzione Definizione Si dice che f : A R è positiva su un intervallo se per ogni x di I risulta f (x) > 0 f : A R è negativa su un intervallo se per ogni x di I risulta f (x) < 0 f : A R ha uno zero in A se esiste un x 0 di A tale che f (x 0 ) = 0 Osservazione Nell intervallo in cui la funzione è positiva il suo grafico si trova al di sopra dell asse delle ascisse Nell intervallo in cui la funzione è negativa il suo grafico si trova al di sotto dell asse delle ascisse Lo zero della funzione è l ascissa del punto di intersezione del grafico con l asse delle ascisse La funzione rappresentata nel grafico è: Positiva Negativa Ha uno zero in x 0 a x 0 b Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 32

33 Funzioni limitate. Massimi e minimi Definizione Una funzione f : A R si dice limitata in A se il codominio f(a) è un insieme limitato. Questo significa che esistono due numeri h, k R per i quali vale la relazione e quindi il grafico di f sta tutto sotto la retta y = k e tutto sopra la retta y = h. k y=k F(A) a X 0 b Definizioni h y=h Una funzione f : A R si dice superiormente limitata in A se il suo codominio f(a) è un insieme superiormente limitato, cioè esiste un numero reale k tale che f(x) k per ogni. k y=k Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 33

34 Una funzione f : A R si dice inferiormente limitata in A se il suo codominio f(a) è un insieme inferiormente limitato, cioè esiste un numero reale h tale che h f(x) per ogni. h y=h Si dice che f : A R ha massimo assoluto M (e si scrive max f = M) se M è il massimo del codominio f(a). In tal caso esiste un punto x 0 A tale che per ogni x A risulta f(x) f(x 0 ) = M e il punto x 0 è detto punto di massimo assoluto per f in A. M X 0 Si dice che f : A R ha minimo assoluto m (e si scrive min f = m) se m è il minimo del codominio f(a). In tal caso esiste un punto x 0 A tale che per ogni x A risulta m = f(x 0 ) f(x) e il punto x 0 è detto punto di minimo assoluto per f in A. X 0 m Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 34

35 Si dice che f : A R ha un massimo relativo M r se esiste un punto x 0 A tale che risulta f(x) f(x 0 )=M r solo nelle vicinanze di x 0 e il punto x 0 è detto punto di massimo relativo per f in A. max ass.. M r max rel. a X 0 f Si dice che f : A R ha un minimo relativo m r se esiste un punto x 0 A tale che risulta m r = f(x 0 ) f(x) solo nelle vicinanze di x 0 e il punto x 0 è detto punto di minimo relativo per f in A. m r min rel. min ass. a X 0 b Nel grafico seguente sono evidenziati i massimi e i minimi relativi e assoluti max ass.. max rel. max rel. min rel. min rel. min ass. a b c d e f Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 35

36 Leggere il grafico di una funzione Il grafico di una funzione ha lo scopo di visualizzare le sue proprietà. Analizzando il grafico di una funzione è possibile stabilire: il dominio che è un sottoinsieme dell asse delle ascisse il codominio che è un sottoinsieme dell asse delle ordinate eventuale simmetria del grafico gli zeri gli intervalli di positività e di negatività gli intervalli di monotonia la concavità i massimi e i minimi relativi e assoluti Regola pratica per determinare il dominio della funzione Se una retta parallela all asse delle y interseca la funzione allora l ascissa del punto di intersezione appartiene al dominio D f altrimenti non appartiene. k D f D f D f a b] a k X 0 b h Regola pratica per determinare il codominio della funzione Se una retta parallela all asse delle x interseca la funzione allora l ordinata del punto di intersezione appartiene al codominio C f altrimenti non appartiene. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 36

37 h y=m k y=k k C f C f C f a X 0 b C f n m] n y=n h y=h Esercizio Leggere il grafico della seguente funzione: 6 9/ /2-3 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 37

38 Dominio: [-7;5] Codominio: ] Il grafico non presenta simmetria né rispetto all asse y né rispetto all origine. Quindi la funzione non è né pari né dispari Zeri della funzione: x=-7; x=-2; x=3 Intervalli di positività e negatività: ] Intervalli di monotonia: Concavità: la funzione non è né concava né convessa Massimi e minimi: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 38

39 Grafici ottenuti per traslazione o per simmetria A partire dal grafico di una funzione f(x) si possono ottenere grafici per traslazione orizzontale o verticale o per simmetria rispetto all asse delle x o delle y. Sia y = f(x) una funzione di cui è noto il grafico e c una costante maggiore di zero. La funzione y=f(x) + c trasla il grafico f(x) di c unità verso l alto La funzione y=f(x) - c trasla il grafico f(x) di c unità verso il basso Esempio Dal grafico della funzione y = x 2 ricaviamo quelli relativi alle funzioni y = x e y = x 2-3 y=x 2 +2 y=x 2 y=x 2 +3 La funzione y=f(x+c) trasla il grafico f(x) orizzontalmente di c unità verso sinistra La funzione y=f(x-c) trasla il grafico f(x) orizzontalmente di c unità verso destra Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 39

40 Esempio Dal grafico della funzione y=x 2 ricaviamo quelli relativi alle funzioni y=(x-2) 2 e y=(x+3) 2 y=(x+3) 2 y=x 2 y=(x-2) 2 La funzione y=-f(x) ha il grafico simmetrico rispetto all asse della x di y = f(x) La funzione y=f(-x) ha il grafico simmetrico rispetto all asse della y di y = f(x) Esempio Dal grafico della funzione ricaviamo quelli relativi alle funzioni Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 40

41 La funzione y = f(x + c) + b trasla il grafico f(x) orizzontalmente di c unità e verticalmente di b unità. Esempio Dal grafico della funzione ricaviamo quello relativo alla funzione Esempio Dal grafico della funzione ricaviamo quelli relativi alle funzioni Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 41

42 La funzione ribalta rispetto all asse della x i rami di curva di ordinata negativa Esempio Dal grafico della funzione ricaviamo quello relativo alla funzione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 42

43 La funzione trattandosi di una funzione pari, ha il grafico costituito dal grafico di y = f(x) che si trova alla destra dell asse delle y e dal simmetrico di quest ultimo rispetto allo stesso asse. Esempio Dal grafico della funzione ricaviamo quello relativo alla funzione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 43

44 Funzioni elementari Funzione costante y = c Dominio f = R; Codominio f = {c} f è limitata la funzione non è biunivoca quindi non è invertibile. c Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 44

45 Funzione f è dispari Dominio f = R; Codominio f = R f è strettamente crescente su R f è illimitata non ammette punti di massimo e di minimo la funzione è biunivoca quindi invertibile. Poiché il grafico di f corrisponde alla bisettrice del 1 e 3 quadrante l inversa coincide con la funzione stessa. Funzione f è pari Dominio f = R; Codominio f = [0;+ ) f è strettamente decrescente su (- ;0) f è strettamente crescente su (0,+ ) f è illimitata superiormente e limitata inferiormente non ammette punti di massimo minimo assoluto per x=0; valore del minimo m=0 la funzione non è iniettiva quindi non invertibile; è invertibile restringendo il dominio all intervallo [0;+ ). L espressione analitica dell inversa è y=x Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 45

46 Potenze intere: Per n pari abbiamo: f pari Dominio f = R; Codominio f = [0; + ) f è strettamente crescente su (0,+ ) f è strettamente decrescente su (- ;0) f è illimitata superiormente e limitata inferiormente punto di minimo assoluto x=0; valore del minimo m=0 non è iniettiva e quindi non invertibile; è invertibile restringendo il dominio all intervallo [0;+ ). L espressione analitica dell inversa è Al variare di n tutte le curva passano per i punti (-1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione diminuiscono per e crescono per Per n dispari abbiamo: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 46

47 f dispari Dominio f = R; Codominio f = R f è strettamente crescente su R f non è limitata non ammette punti di massimo e di minimo f è iniettiva e suriettiva (biunivoca), pertanto esiste l inversa Al variare di n tutte le curva passano per i punti (-1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione diminuiscono per e crescono per Potenze intere: Per n dispari abbiamo: f dispari Dominio f = R\{0}; Codominio f = R\{0}; f è strettamente decrescente su [(- ;0] e su (0,+ ) f non è limitata non ammette punti di massimo e di minimo è iniettiva e suriettiva Al variare di n tutte le curva passano per i punti (-1 ; 1), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione crescono per e diminuiscono per Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 47

48 Per n pari abbiamo: f pari Dominio f = R\{0}; Codominio f = (0 ; + ) f è strettamente crescente su [(- ;0] f è strettamente decrescente su (0,+ ) f limitata inferiormente e non limitata superiormente non ammette punti di massimo e di minimo non è iniettiva Al variare di n tutte le curva passano per i punti (-1 ; 1), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione crescono per e diminuiscono per Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 48

49 Funzione Per n pari abbiamo: Dominio f = ; Codominio f = [0; + ) f è strettamente crescente su (0,+ ) f è illimitata superiormente e limitata inferiormente punto di minimo assoluto x=0; valore del minimo m=0 è iniettiva e quindi invertibile; è invertibile restringendo il dominio all intervallo [0;+ ). L espressione analitica dell inversa è Al variare di n tutte le curva passano per i punti (0 ; 0), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione aumentano per e diminuiscono per Per n dispari abbiamo: Dominio f = Codominio f = [- ; + ) f è strettamente crescente su R f è illimitata superiormente e inferiormente non ha punti di massimo e di minimo è iniettiva e suriettiva quindi è invertibile L espressione analitica dell inversa è Al variare di n tutte le curva passano per i punti (-1 ; -1),(0 ; 0), (1 ; 1) al crescere dell esponente i valori della funzione aumentano per e diminuiscono per Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 49

50 Bibliografia N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi: Elementi di matematica vol. 3 e Nuovi elementi di matematica vol A - Ghisetti e Corvi Editori Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 50