Definiamo una funzione che calcola la distanza di un punto da una retta

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1 ESAMI DI STATO A.S LICEO SCIENTIFICO Corso sperimentale (PNI) Risoluzione utilizzando Derive e Cabri. Nel piano Oxy sono date le curve l e r d equazioni: l: x = 4 (x y) e r: 4y = x Si provi che l e r non hanno punti comuni.. Si trovi il punto P l che ha distanza minima da r. Troviamo le coordinate di un generico punto P λ Definiamo una funzione che calcola la distanza di un punto da una retta

2 Applichiamo la funzione al nostro P e alla retta r Questa è la funzione da minimizzare Quindi il punto è 3. Si determini l area della regione finita di piano racchiusa da l e dalla retta s, simmetrica di r rispetto all asse x. La simmetrica rispetto l asse x si trova semplicemente cambiando il segno della y

3 Troviamo le intersezioni fra le due curve L area da calcolare è quella in figura Essa si calcola nel modo seguente 4. Si determini il valore di c per il quale la retta y = c divide a metà l area della regione S del I quadrante compresa tra l e l asse x.

4 Cominciamo a determinare le ascisse delle intersezioni fra la parabola e la retta y = c. Le aree uguali devono essere quelle in figura Calcoliamole. 5. Si determini il volume del solido di base S le cui sezioni ottenute con piani ortogonali all asse x sono quadrati. Il solido richiesto è quello ottenuto ruotando S attorno all asse x. Problema N. Si consideri la funzione f definita sull intervallo 0;+ da:

5 f (0) = 1 f ( x) = 1/ x [ 3 log( x) ] + 1 se x > 0 e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico. 1. Si stabilisca se f è continua e derivabile in 0. La funzione è la seguente Verifichiamo la continuità, come si nota dal grafico. Passiamo alla derivabilità. La funzione è anche derivabile a destra per x = 0 e la sua derivata è 0.. Si dimostri che l equazione f(x) = 0 ha, sull intervallo 0;+ un unica radice reale. Tenuto conto del grafico precedente possiamo confermare quanto richiesto. In ogni caso possiamo usare il calcolo differenziale.

6 Abbiamo verificato che per x = e vi è un massimo relativo. Ma dato che la funzione cresce per x < e, e il suo minimo valore è x = 1, mentre decresce per x > e, può tagliare al massimo in un punto l asse delle ascisse. Anzi, visto che lo taglia esattamente in un punto. Volendo possiamo determinare anche un valore approssimato della radice. La radice è quindi pari a circa Confermiamo con Derive 3. Si disegni C e si determini l equazione della retta r tangente a C nel punto di ascissa x = 1. Possiamo disegnare la curva con ciò che abbiamo già trovato, dato che l I.d.E. è [0, + [, la funzione non ha asintoti verticali, né di altro tipo; abbiamo anche determinato crescenza e decrescenza e il punto di massimo. Troviamo l equazione della tangente.

7 4. Sia n un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di n, l area A n del dominio piano delimitato dalla curva C, dalla retta tangente r e dalle due rette: x Consideriamo che tipo di punto è quello per cui x = 1. = 1 e x = 1. n Quindi abbiamo un flesso ascendente. Ciò significa che per x < 1 la tangente sta sotto la curva, quindi la regione di cui si vuole calcolare l area è quella in figura

8 La cui area è 5. Si calcoli il limite per n + di A n e si interpreti il risultato ottenuto. Il limite da calcolare è Ovviamente per n che tende all infinito la retta di equazione x = 1/n diventa l asse delle ordinate, e l area da calcolare è quella in figura. Questionario Corso sperimentale (PNI) 1. Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare sen18, sen36. Si dice che un segmento è parte aurea di un altro se il primo è medio proporzionale fra l altro segmento e la differenza di questo dal primo. Ciò significa che la sua misura x, detta l la misura del segmento maggiore, verifica l equazione l: x = x: l x x = l ( l x) x + lx l = x = l ± x = l abbiamo escluso ovviamente la soluzione negativa.

9 Ora, come si vede in figura, il lato del decagono regolare è tale da essere base di un triangolo isoscele in cui i lati obliqui misurano quanto i raggi del cerchio circoscritto. Con Cabri otteniamo la seguente figura Tracciamo la bisettrice di uno degli angoli alla base, dividendo il triangolo in due triangoli, uno dei quali, ABC in figura, è simile a quello di partenza AOB. Vale allora la seguente proporzione: AO: AB = AB: AC AB = AO AC AB = AO ( AO OC) AB = AO ( AO BC) AB = AO ( AO AB) cioè quanto voleva provarsi, il che vuol dire che AB AO = Applicando adesso il teorema dei seni ad ABC avremo Infine 1 AB 1 AB = AO sin( 18 ) sin( 18 ) = = AO = 4 sin( 36 ) = sin( 18 ) cos( 18 ) = sin( 18 ) 1 sin ( 18 ) = = = Più semplicemente con Derive avremmo avuto: = = 5 1 ( 5 1) = 8 =

10 . Si dia una definizione di retta tangente ad una curva. Successivamente si dimostri che y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è tangente alla retta y = -x quando sen x = -1 Determiniamo le tangenti alla curva in un suo punto generico di ascissa x 0. Vediamo cosa accade quando Vediamo cosa accade quando Rappresentiamo graficamente 3. Si determinino le equazioni di due simmetrie assiali s e f, la cui composizione s f dia luogo alla traslazione di equazione: R S T x' = x + y' = y 5 5

11 Si determinino poi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo le due simmetrie in ordine inverso f s. Noi sappiamo che la composizione di due simmetrie assiali i cui assi sono rette fra loro parallele, è una traslazione di vettore con direzione ortogonale agli assi di simmetria ed ampiezza doppia della distanza fra i due assi. Dato che il vettore ha componenti ( 5, 5) sua direzione è 5 = 1 e la sua ampiezza è ( 5) + ( 5) = 10. Quindi dobbiamo 5 cercare come assi due rette parallele alla retta di equazione y = x (cioè alla prima bisettrice),, la distanti fra loro 5. Possiamo considerare la stessa y = x e una retta y = x + h distante dalla prima. Deve allora essere 10 Determiniamo allora le leggi delle due simmetrie, imponendo le condizioni che P e il suo simmetrico P appartengono alla stessa retta perpendicolare all asse, condotta da P, e il punto medio di PP stia sull asse. Le leggi rispetto alla prima bisettrice erano comunque note. Troviamo quelle rispetto all altra retta.

12 Troviamo allora la composizione Quindi cambiamo l ordine di composizione Ancora una traslazione di vettore opposto al precedente. Potevamo operare anche con Cabri. In questo caso abbiamo costruito la retta parallela alla prima bisettrice con i comandi Espressione e Applica Espressione. In tal modo la retta è costruita come luogo geometrico,

13 pertanto deve disegnarsi su essa una retta, diversamente il comando Simmetria assiale non funziona. Abbiamo determinato perciò il simmetrico di un generico P rispetto la prima bisettrice, quindi il simmetrico di questo P rispetto l altra retta. Poi abbiamo tracciato il vettore PP verificando che è lungo Infine, usando il comando Compasso abbiamo riportato il vettore sull origine, verificando che le sue componenti sono proprio quelle volute. 4. Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinché sia minima la quantità di latta necessaria per realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta). Il cilindro si ottiene a partire da un rettangolo e da due cerchi, la cui superficie è πrh + πr. Dobbiamo minimizzare questa funzione, che dipende da due variabili. Però le variabili r e h sono legate fra loro mediante la formula del volume V = πr h. Quindi avremo, tenuto conto che 0,4 litri sono 0,4 dm 3 = 400 cm 3 Pertanto la funzione da minimizzare, in funzione solo di r, è Determiniamone il minimo Adesso determiniamo il valore di h

14 5. Come si definisce e quale è l importanza del numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier ( )]? Si illustri una procedura che consenta di calcolarlo con la precisione voluta. + n 1 Si ha: lim ( / n) = = e. Per calcolarlo si possono usare diversi procedimenti, il più n + n= 0 n! semplice è quello di utilizzare le somme parziali della serie. Come si vede la serie è rapidamente convergente, sommando appena 101 termini si trovano già 19 cifre esatte, come del resto accade anche sommando 1001 termini o chiedendo a Derive di fornirne il valore. 6. Le rette r e s d equazioni rispettive y = 1+ x e y=x 4 si corrispondono in un omotetia s di centro l origine O. Si determini s. Scriviamo le leggi di una generica omotetia rispetto all origine, quindi le applichiamo a una delle due rette, imponendo di ottenere l altra.

15 Abbiamo applicato, visto che abbiamo a che fare con una linea e non con un punto, le equazioni inverse. Confermiamo il risultato con Cabri. 7. Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché? Si ha: n! = 1... n, n N. Nel calcolo combinatorio il fattoriale di un numero calcola il numero n di permutazioni di n oggetti distinti. I coefficienti binomiali, che si trovano nel binomio di k n n n n Newton: ( + ) = k k a b a b, sono legati ai fattoriali dalla seguente relazione: k = 0 k 8. Si trovi l equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x = e t + e y = e -t + 3 nel suo punto di coordinate (3, 4). Intanto tracciamo la curva.

16 Adesso calcoliamo la derivata Troviamo per quale valore di t otteniamo il punto (3,4) Infine calcoliamo l equazione parametrica della tangente Per conferma tracciamo retta, curva e punto.

17 9. Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci? Generiamo un vettore che contiene tutti i possibili esiti nel lancio di due dadi Come si vede abbiamo generato i valori, quindi abbiamo contato quanti 10 si ottengono e abbiamo diviso per il totale. In altro modo bastava considerare che 10, su 36 diversi esiti, si ottiene solo come 4+6, 5+5 e 6+4. Se lanciamo per 6 volte avremo a che fare con prove bernoulliane indipendenti ripetute, in cui il successo ha probabilità 1/1, l insuccesso 11/1, quindi la probabilità di avere due successi è

18 Averne almeno equivale al complementare di averne 0 o 1. La probabilità è 10. Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta. Il paese è diviso in 40% che ha almeno 60 anni e 60% che ha meno di 60 anni. Per calcolare l età media dovremmo sommare le età di tutti gli abitanti e dividere per il loro numero. Se li suddividiamo in classi, la media si può anche calcolare come media ponderata di medie. Così per esempio se la popolazione fosse formata solo da 10 persone, come nell esempio seguente: Nel nostro caso quindi, dette x e y le età medie dei due gruppi dovremmo avere:

19 Per cui le soluzioni ci sono e sono tutte quelle appartenenti al segmento che la retta ha in comune con la zona colorata. Stabiliamo qual è il massimo valore che può avere la media degli anziani In realtà se la media è 75 anni non vi possono essere cittadini con meno di 60 anni. Calcoliamo alcune medie ammissibili per i giovani. Come notiamo se gli anziani hanno in media 60 anni, i giovani devono averne 10, già con una media di 7 anni gli altri dovrebbero avere una media inconcepibile di anni. Diciamo che i valori ottenuti non sono realistici, poiché una media di 10 anni presuppone che i cittadini fra 11 e 59 anni siano una percentuale irrisoria rispetto a quelli da 0 a 10 anni.