LEZIONE 13. f + g: I R n
|
|
- Maddalena Albanese
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LEZINE Funzioni a valori in R n. Ricordiamo che gli elementi R n sono le n uple ordinate ( 1,..., n ) di numeri reali. Se = ( 1,..., n ) R n e α R, poniamo + = ( 1 + 1,..., n + n ), α = (α 1,..., α n ). In questo primo paragrafo daremo qualche risultato circa le funzioni definite su un intervallo aperto I R (o, più in generale, su un unione di intervalli aperti) a valori in R n. Sia f: I R n una tale funzione: ci riferiremo ad una tale funzione f parlando anche di funzione a valori vettoriali, o curva parametrizzata, o parametrizzazione per motivi che saranno chiari in seguito (queste ultime due locuzioni saranno molto usate soprattutto quando n = 2, 3). Si noti che una tale funzione non è altro che una n upla (f 1,..., f n ) ove f i : I R è una funzione del tipo di quelle studiate nel corso di Analisi. Le funzioni f i sono dette funzioni componenti di f. Se g: I R n è un altra funzione a valori in R n avente componenti g 1,..., g n si pone Se poi α: I R si pone f + g: I R n t f(t) + g(t). αf: I R n t αf(t). Diamo ora un paio di esempi elementari, ma fondamentali, di funzioni a valori in R n. Esempio Sia L = (L 1,..., L n ) R n. Una funzione della forma L: R R n è detta funzione costante. Siano a, v R n. Una funzione della forma è detta funzione affine. a + vt: R R n t (L 1,..., L n ) t (a 1 + v 1 t,..., a n + v n t) 1 Tpeset b AMS-TEX
2 FUNZINI A VALRI IN R n Definizione Siano f = (f 1,..., f n ): I R n e t 0 I. Diciamo che f è continua in t 0 se tali sono tutte le sue componenti. La funzione f si dice continua su I se è continua in ogni punto di I. Definizione Siano f = (f 1,..., f n ): I R n e t 0 I. Diciamo che f è derivabile in t 0 se tali sono tutte le sue componenti. In tal caso diciamo che (f 1(t 0 ),..., f n (t 0 )) è la derivata di f in t 0. La derivata di f in t 0 verrà indicata indifferentemente con uno dei due simboli f (t 0 ), df dt (t 0). Se f: I R n è derivabile in ogni punto di I, f viene detta derivabile su I. Definiamo allora derivata prima di f la funzione f : I R n t f (t). Se f è derivabile in tutti i punti di I e f è continua diremo che f è di classe 1 su I e scriveremo f 1 (I, R n ). Anche in questo caso è facile verificare, ragionando componente per componente, la validità dei classici teoremi sulle derivate di funzioni a valori in R. Per esempio, se f, g: I R n e α: I R sono derivabili in t 0 I, si ha: (f + g) (t 0 ) = f (t 0 ) + g (t 0 ), (αf) (t 0 ) = α (t 0 )f(t 0 ) + α(t 0 )f (t 0 ). Inoltre, se t: J I è derivabile in s 0 e t 0 = t(s 0 ), si ha: (f t) (s 0 ) = t (s 0 )f (t 0 ). Esempio onsideriamo le funzioni dell Esempio Risulta d(a + vt) dt ( dl dt = dl1 dt,..., dl ) n = (0,..., 0) dt ( d(a1 + v 1 t) =,..., d(a ) n + v n t) = (b 1,..., b n ). dt dt Definizione Una funzione f: I R n si dice si dice regolare se è iniettiva, f 1 (I, R n ) e se f (t 0 ) (0,..., 0) per ogni t 0 I. Esempio onsideriamo le funzioni dell Esempio tenendo conto di quanto osservato nell Esempio si deduce che L non è regolare in quanto, pur essendo di classe 1, non è iniettiva e L = 0. Invece a + bt è regolare se e solo se b 0.
3 Esempio onsideriamo la funzione LEZINE 13 3 f(t) = (t 2, t 3 ) definita su R. Si verifichi che tale applicazione è iniettiva. Poiché f è definita mediante polinomi è chiaramente di classe 1 su R. Invece f (t) = (2t, 3t 2 ), dunque f (0) = (0, 0). Deduciamo che f non è una funzione regolare. Invece consideriamo la funzione definita su R. Tale funzione è di classe 1, e f(t) = (t 2 1, t 3 t) f (t) = (2t, 3t 2 1), dunque f (t) (0, 0) per ogni t R. Però tale funzione non è regolare in quanto non è iniettiva: infatti f(1) = f( 1) Primi esempi di curve. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di curve ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Innanzi tutto, nel seguito considereremo lo spazio S 3 (il piano S 2 ) con un fissato sistema di riferimento ı j k (risp. ı j ), e l usuale identificazione con R 3 (risp. R 2 ). i limiteremo a dare le definizioni ed i risultati per curve in R 3, lasciando al lettore la specializzazione al caso n = 2. Definizione Un insieme di punti R 3 si dice curva se è l immagine di una curva parametrizzata (cioè di una funzione) continua f: I R 3. La funzione f è anche detta rappresentazione parametrica o parametrizzazione di. Se esiste un piano π R 3 tale che π, la curva verrà detta piana. Altrimenti, ove sia necessario sottolineare che la curva non è contenuta in nessun piano, si dirà che la curva è sghemba. Si noti che una parametrizzazione di una curva non è altro che un modo per dare una legge oraria di percorrenza della curva. Esempio Abbiamo già parlato nelle lezioni precedenti di rette. Abbiamo visto che la retta r passante per P 0 = ( 0, 0, z 0 ) e parallela al vettore v = l ı + m j + n k può essere rappresentata come il luogo dei punti dello spazio che soddisfano una relazione della forma 0 + lt 0 + nt z 0 + nt, al variare di t R. Si noti che le funzioni dellla forma f(t) = at + b con a, b R sono funzioni contine. Poiché, come visto nel precedente paragrafo, un tale tipo di funzione è continua, si deduce che ogni retta è una curva nel senso della definizione data sopra. In modo analogo è facile verificare che anche ogni segmento o semiretta è una curva. In particolare ogni segmento degenere, quindi ogni punto, può essere pensato come curva (degenere). Poiché ogni retta è contenuta in infiniti piani, ne deduciamo che ogni retta, semiretta o segmento è una curva piana.
4 PRIMI ESEMPI DI URVE Esempio Se ϕ: I R è una funzione allora il suo grafico Γ ϕ = { (, ϕ() R } R 2 è una curva, ovviamente piana. La funzione f(t) = (t, ϕ(t)) è una sua parametrizzazione. Esempio Si consideri la circonferenza di centro l origine e raggio ϱ > 0 nel piano R 2. ρ t Figura 13.1 I punti di sono tutti e soli i punti del piano le cui coordinate (, ) soddisfano l equazione ( ) = ϱ 2. È ben noto dalla trigonometria che è immagine della funzione ( ) (, ) = (ϱ cos t, ϱ sin t) In particolare, poiché le funzioni cos e sin sono continue, è una curva (piana). Si noti che quella data sopra non è certo l unica rappresentazione parametrica di. Infatti, per esempio, possiamo considerare il fascio di rette di centro il punto U = (ϱ, 0). Una retta qualsiasi di tale fascio ha equazione della forma = t( ϱ). Sostituendo nell Equazione ( ) si ottiene l equazione 2 + t 2 ( 2 2ϱ + ϱ 2 ) = ϱ 2. Risolvendola rispetto alla variabile otteniamo che = t2 ± 1 t ϱ, Quindi i punti di intersezione di tale retta con hanno coordinate (ϱ, 0), ( t 2 ) 1 t ϱ, 2t t ϱ.
5 In particolare \ { U } è immagine della funzione (, ) = LEZINE 13 5 ( t 2 ) 1 t ϱ, 2t t ϱ. onsideriamo, più in generale, la circonferenza 0 di centro = ( 0, 0 ) e raggio ϱ > 0. Possiamo andare a scegliere un nuovo sistema di riferimento nel piano avente origine = ed assi coordinati paralleli e concordi con gli assi del sistema di riferimento ı j che supponiamo sempre fissato a priori. Le coordinate, (, ) e (, ), di uno stesso punto P nei due sistemi di riferimento sono ovviamente legate dalle relazioni ( ) { = 0 = 0. Rispetto al nuovo sistema di riferimento ı j, la circonferenza 0 ha centro in, quindi i suoi punti soddisfano le Equazioni ( ) (ma in ed ). Sostituendo in tali relazioni le Equazioni ( ) otteniamo che 0 è immagine della funzione (, ) = ( 0 + ϱ cos t, 0 + ϱ sin t). In particolare ogni circonferenza è una curva (piana), qualsiasi ne sia il centro ed il raggio. Esempio Si consideri l ellisse di centro l origine e semiassi a, b > 0. (0,b) (a,0) Figura 13.1 È noto che i punti di sono tutti e soli i punti del piano le cui coordinate (, ) soddisfano l equazione 2 a b 2 = 1. È chiaro, ricordando l esempio precedente, che è immagine della funzione (, ) = (a cos t, b sin t). Dunque anche l ellisse di centro l origine e semiassi a, b > 0 è una curva nel senso della definizione data.
6 PRIMI ESEMPI DI URVE Similmente si consideri l iperbole di centro l origine e semiassi a, b > 0. (0,b) (a,0) Figura 13.2 I punti di sono tutti e soli i punti del piano le cui coordinate (, ) soddisfano l equazione ( ) 2 a 2 2 b 2 = 1. Ricordiamo che le funzioni trigonometriche iperboliche cosh e sinh sono definite dalle relazioni cosh t = et + e t, sinh t = et e t. 2 2 Si verifichi per esercizio che sostituendo entrambe le funzioni (, ) = (a cosh t, b sinh t), (, ) = ( a cosh t, b sinh t), nell Equazione ( ) si ottiene un identità numerica. on qualche ragionamento è facile osservare che le curve corrispondenti sono i due rami dell iperbole considerata. Quindi l iperbole non è esattamente una curva nel senso della definizione sopra data, bensì l unione di due curve. iononostante, per semplicità parleremo sempre nel seguito di iperbole nel suo complesso come curva. Infine si consideri la parabola avente asse coincidente con l asse delle ascisse, vertice nell origine e parametro p R. I punti di soddisfano l equazione = p 2. In particolare è immagine della funzione (, ) = (pt 2, t).
7 LEZINE 13 7 ' (0,1) (p,0) ' Figura 13.4 Esempio Un primo esempio di curva sghemba è la cubica sghemba, immagine di (,, z) = (t, t 2, t 3 ) con t R. z Figura 13.5 Sono particolarmente interessanti le proiezioni ortogonali di sui piani coordinati. Per esempio proiettando ortogonalmente sul piano z = 0 otteniamo la curva (, ) = (t, t 2 ) che è una parabola. Proiettando ortogonalmente, invece, sul piano = 0 otteniamo la curva (, z) = (t, t 3 ) rappresentata in Figura 13.6.
8 PRIMI ESEMPI DI URVE z Figura 13.6 Infine, proiettando ortogonalmente sul piano = 0 otteniamo una nuova curva di equazione (, z) = (t 2, t 3 ) rappresentata in Figura 13.7 e detta cubica cuspidata. z Figura 13.7 Esempio L elica cilindrica di raggio ϱ e passo h è la curva (,, z) = (ϱ cos t, ϱ sin t, ht) con t R. è rappresentata in Figura 13.8
9 LEZINE 13 9 z Figura 13.8 Quali sono le proiezioni ortogonali dell elica cilindrica sui piani coordinati? Un altro interessante tipo di curva elicoidale è l elica conica di raggio ϱ e passo h, cioè la curva (,, z) = (ϱt cos t, ϱt sin t, ht) con t R. è rappresentata in Figura z Figura 13.9 La proiezione ortogonale della parte di che si trova nel semispazio positivo delle quote sul piano z = 0 viene detta spirale di Archimede ed è visualizzata in Figura 3.10: quali sono le sue equazioni? Descrivere le proiezioni ortogonali dell elica conica sui rimanenti piani coordinati.
10 PRIMI ESEMPI DI URVE Figura urve regolari. Definizione Una curva R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione che sia regolare. Ricordiamo che una parametrizzazione di una curva non è altro che una legge oraria di percorrenza della curva. Una parametrizzazione regolare di non solo fissa un modo di percorrere la curva ma anche, essendo iniettiva, quindi monotona, un suo verso di percorrenza. Esempio Si noti che, affinché una curva sia regolare, occorre che esista almeno una sua parametrizzazione regolare, non che lo siano tutte. Per esempio si consideri la retta r definita da (, ) = (t, 0) (cioè l asse delle ascisse nel piano). hiaramente la funzione f(t) = (t, 0) è iniettiva e f (t) = (1, 0). Quindi r è una curva regolare. Si noti, però, che un altra parametrizzazione di r è data dalla funzione g(s) = (s 3, 0), che non è regolare. Tenendo conto di quanto visto nell Esempio è facile verificare che ogni retta r R 3 è una curva regolare. Esempio Il grafico Γ ϕ di una funzione ϕ: I R 2 di classe 1 è una curva regolare. Infatti la parametrizzazione f(t) = (t, ϕ(t)) è iniettiva (attenzione, si richiede l iniettività di f, non di ϕ). Inoltre f (t) = (1, ϕ (t)) (0, 0). Si verifichi per esercizio che ogni circonferenza è una curva regolare, così come lo sono ellissi, iperboli, parabole. Similmente la cubica sghemba descritta nell Esempio e l elica cilindrica descritta nell Esempio sono anch esse curve regolari. Dimostriamo, invece, che la cubica cuspidata introdotta nello stesso esempio non è regolare. Sappiamo che f(t) = (t 2, t 3 ) è una parametrizzazione (non regolare) di. Supponiamo che g(s) = (g (s), g (s)), con s I, sia una parametrizzazione regolare di, sicché ( ) g 3 = g 2.
11 LEZINE Sia g(s 0 ) = (0, 0). hiaramente la funzione g assume valori positivi per s I \ { s 0 }, quindi s 0 è un minimo locale per s 0. Poiché g è di classe 1 segue che g (s 0 ) = 0, pertanto g (s 0 ) 0. Supponiamo sia g > 0: allora g è non decrescente in un intorno di s 0 dunque g (s) 0 per s s 0, poiché g (s 0 ) = 0. Tenendo conto dell Equazione ( ) segue allora che g (s) = g(s). 3 Poiché g è di classe 1 e g (s 0 ) = g (s 0 ) = 0, possiamo scrivere lim s s + 0 g (s) s s 0 = lim s s + 0 ( ) g (s) g (s) s s 0 = g (s 0 ) g (s 0 ) = 0. oncludiamo che g (s 0 ) = 0, una contraddizione. Le proiezioni ortogonali dell elica cilindrica sui piani coordinati sono curve regolari? Abbiamo visto sopra alcuni esempi di riparametrizzazioni di curve. Definizione Sia f: I R 3 una parametrizzazione della curva. Un applicazione t: J I si dice un cambio di parametro di se è continua e suriettiva. La parametrizzazione g = f t viene spesso detta riparametrizzazione della curva rispetto al parametro s. Il cambio di parametro t si dice regolare su J se è di classe 1 con t 0. Esempio Nell Esempio abbiamo visto che la funzione g(s) = (s 3, 0) è una parametrizzazione dell asse delle ascisse nel piano. La funzione s: R R definita da s(t) = t 1/3 è un cambio di parametro. La corrispondente riparametrizzazione del asse delle ascisse è f(t) = (t, 0). Sia ora f: ]a, b[ R 3 con a b una parametrizzazione di una curva. Allora la funzione t: ]0, 1[ ]a, b[ data da t(s) = (b a)s + a è un cambio regolare di parametro. In particolare, la funzione g = f t è una riparametrizzazione di definita su ]0, 1[. La funzione t: ]0, 1[ ]a, b[ data da t(s) = (a b)s+b è un cambio regolare di parametro? ome abbiamo visto sopra di parametrizzazioni di una stessa curva ce ne sono tante, anche con proprietà di regolarità molto diverse. onviene avere una parametrizzazione privilegiata: per questo motivo ci restringiamo all insieme delle curve regolari. Sia una curva regolare e sia f: I e g: J due sue parametrizzazioni regolari. In particolare deve esistere una funzione t: J I, di cui non conosciamo a priori la regolarità, tale che (13.3.6) g(s) = f(t(s)), su J. Siano t 0 I e s 0 J tali che f(t 0 ) = g(s 0 ). Poiché f (t 0 ) (0, 0, 0), segue almeno una delle sue componenti ha derivata non nulla in t 0 : supponiamo, per fissare le idee, f. Possiamo in particolare assumere che f : ]a, b[ ]m, M[ sia biunivoca su un opportuno intorno di t 0 e che la sua inversa sia di classe 1 su ]m, M[. Poiché g (s 0 ) = f (t 0 ) ]m, M[ e g è continua esiste un intorno ]c, d[ di s 0 ove è definita la funzione composta f 1 g. L Equazione (13.3.6) implica che g (s) = f (t(s)) su J, dunque t(s) = f 1 g (s) su ]c, d[. oncludiamo che t(s) è di classe 1 su ]c, d[. Poiché t (s 0 ) = (f 1 g ) (s 0 ) = (f 1 ) (g (s 0 ))g (s 0 ) = 1 f (t 0 ) g (s 0 ) 0 segue che il cambio di parametro t(s) è regolare in un opportuno intorno s 0. Ripetendo tale ragionamento per tutti i punti di J si ottiene la dimostrazione della seguente proposizione fondamentale.
12 URVE REGLARI Proposizione Siano f: I R 3 e g: J R 3 parametrizzazioni regolari della stessa curva. Allora esiste un cambio regolare di parametro t: J I tale che f t = g. In particolare, se f: I R 3 e g: J R 3 parametrizzazioni regolari della stessa curva e t: J I è un cambio regolare di parametro tale che f t = g, diremo che f e g hanno lo stesso verso o che sono concordi, se t > 0 su J. In caso contrario diremo che f e g hanno versi opposti o che sono discordi. A questo punto si considerino due parametrizzazioni regolari f: I R 3 e g: I R 3 di una curva. Sia P 0 = f(t 0 ) = g(s 0 ). Possiamo allora considerare le due rette rispettivamente di equazione = f(t 0 ) + τf (t 0 ) = g(s 0 ) + σg (s 0 ), ove τ, σ R. Tali rette chiaramente passano per lo stesso punto P 0. Inoltre, sappiamo che g = f t ove t: J I è di classe 1 su J e si ha t(s 0 ) = t 0. Dunque Quindi f(t 0 ) + τf (t 0 ) = f(t 0 ) + g (s 0 ) = (f t) (s 0 ) = t (s 0 )f (t 0 ). τ t (s 0 ) (t (s 0 )f (t 0 )) = g(s 0 ) + τ t (s 0 ) g (s 0 ). oncludiamo che le due rette sono coincidenti. La discussione di cui sopra ci permette di dare la seguente definizione. Definizione Sia una curva regolare e sia f: I R 3 una sua parametrizzazione regolare. Se P 0 = f(t 0 ), la retta T P0 () R 3 di equazione = f(t 0 ) + τf (t 0 ) τ R, viene detta retta tangente a nel punto P 0. gni vettore parallelo a T P0 () viene detto vettore tangente a in P 0. La retta tangente in P 0 alla curva può essere pensata come posizione limite delle rette secanti a passanti per P 0 e per un secondo punto P al tendere di questo secondo punto a P 0. Esempio Si consideri il grafico Γ ϕ della funzione ϕ: I R. Allora la tangente nel punto P 0 = (t 0, ϕ(t 0 )) ha equazioni parametriche { = t0 + τ = ϕ(t 0 ) + τϕ (t 0 ). Pertanto l equazione cartesiana di tale retta è = ϕ(t 0 ) + ϕ (t 0 )( t 0 ). Si consideri la circonferenza di raggio ϱ e centro, parametrizzata da f(t) = (ϱ cos t, ϱ sin t).
13 LEZINE Abbiamo già visto che f (t) = ( ϱ sin t, ϱ cos t), dunque la retta tangente a nel punto P 0 = (ϱ cos t 0, ϱ sin t 0 ) ha equazioni La sua equazione cartesiana è { = ϱ(cos t0 τ sin t 0 ) = ϱ(sin t 0 + τ cos t 0 ). (cos t 0 ) + (sin t 0 ) = ϱ. Si verifichi che tale equazione è la stessa che si ottiene utilizzando la formula ( 0 )( 0 ) + ( 0 )( 0 ) = 0 descritta nella Lezione 12 per il calcolo della retta tangente nel punto P 0 = ( 0, 0 ) alla circonferenza di centro = (, ).
LEZIONE 37. x 2 a 2 + y2. b 2 = 2z, x 2. a 2 y2. b 2 = 2z. Esempio Sia S il cilindro luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l equazione
LEZIONE 37 37.1. Altri esempi di superfici. In questo paragrafo daremo altri esempi di superfici. Esempio 37.1.1. Sia D R 2 un aperto. Allora il grafico Γ ϕ di una funzione ϕ: D R 3 di classe C 1 è una
DettagliLEZIONE 36. si dice regolare se è. per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.
LEZIONE 36 36.1. La definizione di superficie. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Come già fatto per le curve, considereremo
DettagliCurve. Riccarda Rossi. Analisi Matematica B. Università di Brescia. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica B 1 / 66
Curve Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica B 1 / 66 Introduzione Le curve sono particolari campi vettoriali Le vedremo
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
DettagliGENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI
Capitolo 1 GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Definizione 1. Sia I un intervallo aperto della retta euclidea E 1 e sia α : I E n, con n 2, un applicazione differenziabile. La sua immagine C = α(i)
DettagliEsercizi I : curve piane
Esercizi I : curve piane. Esercizio Si consideri la curva parametrizzata sin t, t [, 2π]. cos(2t) a) Stabilire per quali valori di t la parametrizzazione è regolare. b) Sia Γ la traccia di α. Descrivere
DettagliGeometria Differenziale 2017/18 Esercizi I
Geometria Differenziale 17/18 Esercizi I 1 Esercizi sulle curve piane 1.1 Esercizio Si consideri la curva parametrizzata sin t, t [, π]. cos(t) a) Stabilire per quali valori di t la parametrizzazione è
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliVi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a
ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Geometria proiettiva Esercizio 1. Dire quali tra le seguenti coordinate omogenee dei punti in P 2 rappresentano
DettagliLEZIONE 5. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 5 5.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano A 2 e nello spazio A 3 affini (cioè in cui valgono
DettagliCurve. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 1 / 28
Curve Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 1 / 28 Curve Definizione (Curva in R n ) Chiamiamo curva a valori in R n
DettagliLEZIONE 9. Figura 9.1.1
LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliESERCIZI SULLE CURVE
ESERCIZI SULLE CURVE VALENTINA CASARINO Esercizi per il corso di Fondamenti di Analisi Matematica, (Ingegneria Gestionale, dell Innovazione del Prodotto, Meccanica e Meccatronica, Università degli studi
DettagliAnalisi Matematica 2. Curve e integrali curvilinei. Curve e integrali curvilinei 1 / 29
Analisi Matematica 2 Curve e integrali curvilinei Curve e integrali curvilinei 1 / 29 Curve in R 2 e R 3 Intuitivamente: una curva é un insieme di punti nello spazio in cui una particella puó muoversi
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici geometriche algebriche e matrici e isometrie Riduzione Invarianti Studio di coniche Intersezione con rette e tangenti in forma parametrica 006 Politecnico di Torino
DettagliEsercizi 2: Curve dello spazio Soluzioni
Esercizi 2: Curve dello spazio Soluzioni. Esercizio Si consideri la curva (elica circolare): a α(t) = a sin t, t R, bt dove a >. a) Calcolare curvatura e torsione di α nel generico punto t. b) Determinare
DettagliLEZIONE 7. Figura 7.1
LEZIONE 7 L obiettivo di questa e della prossima lezione è quello di spiegare quali siano i metodi per descrivere algebricamente oggetti geometrici ben noti quali rette e piani. Tali oggetti vengono detti
DettagliLEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo
LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria. Curve nello spazio Gennaio Lunghezza d arco
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Curve nello spazio Gennaio 013 Indice 1 Lunghezza d arco 1 1.1 Parametrizzazione alla lunghezza d arco..................... 1. Ogni
DettagliLe curve differenziabili. (Appunti per il corso di geometria III) Vincenzo Ancona Una curva differenziabile regolare e un applicazione
Le curve differenziabili (Appunti per il corso di geometria III) Vincenzo Ancona 1. Curve differenziabili. Definizione 1.1. Una curva differenziabile regolare e un applicazione α(t) = (α 1 (t), α 2 (t),
DettagliEsercizi 5 soluzioni
Esercizi 5 soluzioni Alessandro Savo, Geometria Differenziale 27-8 Esercizi su geodetiche e curve su superfici. Esercizio Determinare l area della regione del paraboloide z = x 2 + y 2 compresa tra i piani
DettagliDEFINIZIONE E UNA CLASSIFICAZIONE PER LE FUNZIONI n
CAPITOLO : FUNZIONI DEFINIZIONE E UNA CLASSIFICAZIONE PER LE FUNZIONI n m Siano m, n { 1,, } Definiamo funzione, da R a R, una azione, n denominata f, che ad ogni punto P di R, ovvero di un suo sottoinsieme
DettagliCURVE 2D-3D. x ² + y ² - 1 = 0 è l equazione di una circonferenza di centro O e raggio 1
CURVE 2D-3D Curve in R² 01 Definizioni. Consideriamo il piano euclideo R² dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy. Esso sarà chiamato d ora in poi più semplicemente piano cartesiano. L equazione
DettagliCU. Proprietà differenziali delle curve
484 A. Strumia, Meccanica razionale CU. Proprietà differenziali delle curve Richiamiamo in questa appendice alcune delle proprietà differenziali delle curve, che più frequentemente vengono utilizzate in
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliLEZIONE 11. Domanda 1. Quale metodo applica il programma per inserire l oggetto scelto con i dati di inserimento scelti?
LEZINE Nella preparazione delle dispense riguardanti la geometria piana e spaziale ho dovuto inserire dei disegni che illustrassero in qualche modo i concetti geometrici esposti nel testo. iò ha presentato
DettagliEsercizi di Geometria 1 Foglio 4 (24 novembre 2015)
Esercizi di Geometria 1 Foglio 4 (24 novembre 2015) (esercizi analoghi potranno essere chiesti all esame scritto o orale) 6. Coniche. Esercizio 6.1 (Definizione intrinseca di ellisse, iperbole e parabola)
DettagliAnalisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale
Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Autovalutazione #8. Sia f : R 2 R la funzione definita da 2 y 2 per (, y) (, ) f(, y) 2 + y 2 per (, y) (, ). (a) Stabilire se f è continua
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che abbiamo fatto questa parte un po in fretta, ma si può sempre provare. Esercizio. Si scrivano le equazioni
DettagliFissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.
Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee
DettagliLEZIONE 11. s V : V V V (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 = s V (v 1, v 2 ), p V : k V V. per cui valgono:
LEZIONE 11 11.1. Spazi vettoriali ed esempi. La nozione di spazio vettoriale generalizza quanto visto nelle lezioni precedenti: l insieme k m,n delle matrici m n a coefficienti in k = R, C, l insieme V
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliLEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
DettagliFormulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2
Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliCapitolo 18 ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE Funzioni a valori vettoriali
Capitolo 18 ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE 18.1 Funzioni a valori vettoriali Siano a e b due numeri reali con a < b. Sono allora individuati i seguenti sottoinsiemi dell asse reale: (a, b) = { x R
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
DettagliLe coniche retta generatrice
Le coniche Consideriamo un cono retto a base circolare a due falde ed un piano. Le intersezioni possibili tra le due figure sono rappresentate dallo schema seguente Le figure che si possono ottenere sono
DettagliCURVE E SUPERFICI / RICHIAMI
M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 1 CURVE E SUPERFICI / RICHIAMI Di seguito ricordiamo brevemente come curve e superfici in R 2 o R 3 vengano rappresentate classicamente come insiemi di livello di campi scalari
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliEsericizi Quadriche e Coniche nello spazio
Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio 1. In R 3 sia A = (1, 1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y + z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + y z = 0 =
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliAnalisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)
Analisi Matematica II Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 5//14 Michela Eleuteri 1 eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri
DettagliEsercizi su curvatura e torsione.
Esercizi su curvatura e torsione. e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 016. 1 Indice 1 Curvatura e torsione 1.1 Curve parametrizzate alla lunghezza d arco................... 1.
DettagliLEZIONE 8. Figura 8.1.1
LEZIONE 8 8.1. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3
DettagliLEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1
LEZIONE 10 10.1. Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliLezione Sfere nello spazio
Lezione 12 12.1 Sfere nello spazio In questa lezione studieremo alcuni dei più semplici oggetti geometrici non lineari : circonferenze e sfere nello spazio S 3. Analizzeremo poi in dettaglio il caso delle
DettagliFunzioni di una variabile reale
Capitolo. Introduzione Nella matematica, ed in molte delle sue applicazioni scientifiche e tecniche, si ha molto spesso la necessità di considerare grandezze variabili. L esistenza di una grandezza variabile
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliDEFINIZIONE. u (u; v); α 3. v (u; v); α 3. ha rango 2 in ogni punto della parametrizzazione. DEFINIZIONE
DEFINIZIONE Una superficie in R 3 è un applicazione α : U R 3, di classe almeno C. In realtà, tratteremo solamente superfici di classe C. Inoltre, U R deve essere un aperto, e α deve essere iniettiva.
DettagliCapitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano
Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliEsercizi di riepilogo sulle curve. 1. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve:
Esercizi di riepilogo sulle curve. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve: (a) l ellisse = {(x, y) R x + y = } α(t) = (3 cost, sin t), t [, π]. (b) = {(x, y) R x + y =, x } α(t) = (3 cost,
DettagliEsame scritto di Geometria 2
Esame scritto di Geometria Appello del primo luglio 016 Esercizio 1 Si consideri la curva dipendente dal parametro h R: α h : R R 3, α h (s) = ( 1 cos s, sin s + hs, sin s hs). 4 4 1. Si determini il valore
Dettaglila somma delle distanze dai due fuochi assume il valore costante 2a.
Appendice A Le coniche A.1 L ellisse Rappresentazione implicita L ellisse di semiassi a e b (0 < b a) è una curva del piano dotata di due assi di simmetria ortogonali che, nel riferimento individuato da
DettagliEsercitazioni del 11 marzo Ricerca della parametrizzazione di una curva γ in R 3
Esercizio 1 Esercitazioni del 11 marzo 213 Ricerca della parametrizzazione di una curva γ in R 3 Fornire una parametrizzazione per l arco di curva γ appartenente alla superficie di equazione z = 2y 2 x
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
Dettagli2 Forma canonica metrica delle ipequadriche
26 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Iperquadriche Sia A una matrice reale simmetrica n n, non nulla, sia b un vettore colonnna in R n e sia c R. L insieme delle soluzioni in R n dell equazione X t AX +
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
Dettagli24.1 Coniche e loro riduzione a forma canonica
Lezione 24 24. Coniche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y amenodicostantimoltiplicativenonnulle,diciamo ax
DettagliCurve parametrizzate. Esercizi. 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione
Curve parametrizzate. Esercizi Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 014. 1 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione Qui di seguito si riporta
DettagliCenni di teoria delle quadriche
Corso di Geometria per Fisica Cenni di teoria delle quadriche Ripercorrendo il cammino fatto per le coniche, diamo qui solo un cenno della teoria delle quadriche, limitandoci essenzialmente a dare una
DettagliFORMULE per la rappresentazione assonometrica della sfera e delle sue sezioni piane. 1 PREMESSE e convenzioni.
Paolo Uccello. Studio prospettico. Galleria degli Uffizi, Firenze. FORMULE per la rappresentazione assonometrica della sfera e delle sue sezioni piane. 1 PREMESSE e convenzioni. È dato nello spazio un
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo Appello 8 Settembre 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Terzo Appello 8 Settembre 24 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es.: 9 punti Es.2: 8 punti Es.3: 8 punti Es.4: 8 punti Totale. Sia F la
DettagliRette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio
Dettagli1 Cambiamenti di coordinate nel piano.
Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U
DettagliP z. OP x, OP y, OP z sono le proiezioni ortogonali di v sugli assi x, y, z, per cui: OP x = ( v i) i. k j. P x. OP z = ( v k) k
Richiami di calcolo vettoriale Consideriamo il vettore libero v = OP. Siano P x, P y, P z le proiezioni ortogonali di P sui tre assi cartesiani. v è la diagonale del parallelepipedo costruito su OP x,
DettagliARGOMENTI MATEMATICA PER L INGEGNERIA
ARGOMENTI DI MATEMATICA PER L INGEGNERIA VOLUME 2 Esercizi proposti Quando non diversamente precisato, nel seguito si intenderà( sempre che nel piano sia stato introdotto un sistema cartesiano ortogonale
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
Dettagli25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica
Lezione 25 25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento Oxyz e consideriamo un polinomio q(x, y, z) di grado 2 nelle tre variabili x, y, z amenodicostantimoltiplicativenon
DettagliSviluppi e derivate delle funzioni elementari
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim
DettagliCONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione
CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce
DettagliCorso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni
Dettagli1 Geometria analitica nel piano
Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )
DettagliTrapani. Dispensa di Geometria,
2014 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Gauss Lagrange Diciamo che la matrice simmetrica reale A e congruente alla matrice B mediante la matrice invertibile N se N t AN = B. Diciamo che A e diagonalizzabile
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliPiano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).
Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R)
DettagliPrecorso di Matematica
Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,
DettagliLe quadriche. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.
Le quadriche Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadrica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi. Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante.
Geometria 3 A.A. 2017 2018 Esercizi Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante. Risultante. Sia K un campo. Si dimostri che un polinomio f(x) K[x] di grado d, dove 2 d 3, è riducibile se
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Sia f una funzione differenziabile, definita su un aperto A di R N. Se K è un sottoinsieme chiuso e limitato di A, per il teorema di Weierstrass f assume massimo e minimo su
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
DettagliLEZIONE 24. a 1,1 x 2 + a 2,2 y 2 + a 3,3 z 2 + 2a 1,2 xy + 2a 1,3 xz+ + 2a 2,3 yz + 2a 1,4 x + 2a 2,4 y + 2a 3,4 z + a 4,4 = 0 (24.1.
LEZIONE 24 24.1. Riduione delle quadriche a forma canonica. Fissiamo nello spaio un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio q(x, y, ) di grado 2 in x, y, a meno di costanti moltiplicative
DettagliCOMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin
COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Dettagli