LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2009/2010

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1 LUISS Lure specilistic in Economi e Finnz Anno Accdemico 9/ Corso di Metodi Mtemtici per l Finnz Pro. Fusto Gozzi, Dr. Dvide Vergni Soluzioni dell'esme scritto del 6//. Si dto lo spzio vettorile V R 3 e l'opertore ˆL : V V tle che ˆL = 3 punti). Determinre i vlori di per cui KerˆL) = }. 3 punti) b. Mostrre che esistono utovettori di ˆL che non dipendono dl prmetro... Condizione perché il KerˆL) si composto dl solo vettore nullo, è che l'equzione ˆLv = mmett l sol soluzione bnle v =, e quindi detˆl). Sviluppndo il determinnte rispetto ll terz rig di ˆL si h ) detˆl) = det = det = ). Il determinnte è diverso d zero se, ±. b. Per determinre gli utovettori di ˆL e vericre che non dipendono d possimo procedere in due modi, il primo, cercre direttmente le soluzioni per ˆLv = λv, mentre il secondo pss prim per l ricerc degli utovlori. Vedimo il primo metodo: x x y = λ y z z x + y = λx x + y = λy z = λz Visto che simo interessti mostrre che lmeno un utovettore è indipendente d, se ponimo x, y = e λ =, il sistem ˆLv = λv si riduce z =. Per cui il vettore v = è utovettore per ˆL indipendentemente dl vlore di. Il secondo metodo, più elborto, consiste prim nel ricvre gli utovlori di ˆL: λ detˆl λî) = det λ = λ) λ) ) =. λ Per cui gli utovlori sono λ = già trovto nel primo metodo risolutivo) e λ) ) = λ) = λ = ± λ = ±. Quindi, un volt trovti gli utovlori si cercno gli utovettori corrispondenti: ) Autovettore ssocito λ =, ˆL Î)v = - - x y = z )x + y = x + )y = v =

2 b) Autovettore ssocito λ =, ˆL )Î)v = x y = -+ z c) Autovettore ssocito λ = +, ˆL + )Î)v = - x y = - z x + y = + )z = x y = z = v = v = Quindi, tutti e tre gli utovettori di ˆL sono indipendenti d. Bisogn notre che le sottomtrici che determinno il rngo sono corrette solo nel cso in cui. Però, nche in questo cso, gli utovettori di ˆL continuno d essere quelli che bbimo ricvto.. Si dto il sistem di equzioni dierenzili in R x t) = Âxt), con  = punti). Determinrne l soluzione generle ssndo in modo d vere spettro complesso. punti) b. Determinre l soluzione prticolre pssnte per x =, ). punti) c. Determinre in modo d vere inniti punti di equilibrio. Discuterne l stbilità. ).. Determinimo prim di tutto lo spettro di Â: ) λ detâ λî) = det = λ + 4λ λ λ, = ±. Per cui per vere spettro complesso occorrerà vere >. In questo cso, gli utovlori di  sono λ = λ ±iλ b = ±i. Per determinre gli utovettori ssimo λ = +i :  + )Î)v = : i ) x ) + i = i ) )x = y v = y i ) per cui possimo scrivere v = v + iv b = + i ), e quindi determinimo l mtrice del ) cmbimento di bse Û = v v b =. L soluzione generle srà pertnto: ) ) xt) = eât x) = ÛeÂFt Û x) = v v b e λt cosλb t) sinλ b t) c, sinλ b t) cosλ b t) c xt) = ) e t cos t) sin t) ) ) sin t) cos c. t) c b. Per qunto rigurd l soluzione prticolre, possimo clcolrl o determinndo Û o risolvendo un semplice sistem. ) Vedimo il primo metodo. detû) =, e Û = / /. Per cui xt) = eât x) = ÛeÂFt Û x),

3 ) xt) = e t cos t) sin t) ) ) sin t) cos t) / / ). Oppure, con il secondo metodo, si procede con il clcolo di x): ) ) ) x) = x) = ) c = c ) ) ) x) = c = c ) c = c = /. c. Per vere inniti punti di equilibrio si dovrà vere un utovlore pri zero, e quindi visto che λ, = ± dovremo porre = 4 e quindi λ, =, 4. I punti di equilibrio si trovno sullo spzio invrinte reltivo ll'utovettore ssocito λ =. Tli punti sono stbili perché l'ltro utovlore è negtivo, e l'utovlore zero h molteplicità lgebric pri ll molteplicità geometric ossi è un utovlore regolre). 3. Dt l unzione x) = xe x x con t) = xt)) ), si consideri il problem di Cuchy x) = x R. punto). Dire, motivndo l rispost, se esiste un'unic soluzione locle per ogni x R. punti) b. Fissto =, trovre i punti di equilibrio, dire se sono stbili o no e disegnre il digrmm di se. punto) c. Fissre =. Dire, motivndo l rispost, per quli x R le soluzioni locli sono nche globli. punti) d. Si >. Trovre i punti di equilibrio l vrire di e dire se sono stbili o instbili.. L unzione : R R, x) = xe x, è, per ogni, continu e derivbile con derivt continu in qunto è composizione di unzioni C. Perciò, grzie l teorem di Cuchy-Lipschitz- Picrd, il problem di Cuchy mmette un'unic soluzione locle per ogni dto inizile x R. b. Se = llor x) = xe x. L'equzione x) = in tl cso h per unic soluzione x = che è quindi l'unico punto di equilibrio. Per disegnre il digrmm di se occorre re un grco pprossimtivo dell unzione x) d cui risultino gli intervlli in cui ess è positiv e quelli in cui è negtiv. Innnzitutto è immedito vedere che, usndo d esempio il Teorem di Bernoulli-de l'hopitl: lim x) =, lim x x) =. x+ Vedimolo per il limite l'ltro è nlogo). Possimo scrivere lim x) = x lim x Se clcolimo il limite del rpporto delle derivte ottenimo x e x lim x xe x = che è qunto volevmo dimostrre. Clcolndo l derivt si h Quindi x) > per x, ); x) < per x, ), + ); x) = per x = ±. x) = e x + x x)e x = e x [ x ].

4 x) x) Ne segue che x = è punto di minimo locle e globle con ) = e < ) mentre x = è punto di mssimo locle e globle con ) = e > ). Quindi > per x, ); x) < per x, + ); = per x =. Disegnndo il grco di si ottiene quindi che le triettorie del sistem decrescono se il dto inizile è x < mentre crescono se il dto inizile è x >. Ne segue che il punto di equilibrio x = è instbile. c. Il teorem di prolungmento Teorem.4.) non può essere usto in questo cso. Tuttvi possimo usre l'ltro teorem di esistenz e unicità globle Teorem.4.). Intti, dllo studio tto l punto b) scoprimo che l unzione è denit su R e ivi limitt. Il Teorem.4. ssicur llor che il nostro problem di Cuchy h soluzione globle unic per ogni dto inizile x R e questo è vero nche per tempi negtivi). d. Si >. Anche in tl cso i punti di equilibrio sono le soluzioni dell'equzione x) = tuttvi qui non è possibile determinrli esplicitmente. Possimo determinre qunti sono studindo l unzione. Usndo qunto scoperto nel cso = bbimo che: lim x) =, lim x x) =. x+ L derivt di è l stess che nel cso =. Si h quindi Quindi x) > per x, ); x) < per x, ), + ); x) = per x = ±. x) = e x [ x ]. Ne segue che x = è punto di minimo locle e globle con ) = e < dto che > ) mentre x = è punto di mssimo locle con ) = e il cui segno dipende dl vlore di ). Quindi, usndo i teoremi di esistenz e unicità degli zeri vremo che i) se ) < cioè se > e ) llor l unzione è sempre < e non vi sono punti di equilibrio; ii) se ) = cioè se = e ) llor l unzione è sempre e si nnull solo in x =. In tl cso vi è un solo punto di equilibrio x = ; iii) se ) > cioè se < < e ) llor l unzione h due zeri, uno nell'intervllo, ) e l'ltro nell'intervllo, + ); Nel cso ii) l'unico punto di equilibrio è instbile in esso l derivtà di è null e quindi non si può usre il Teorem di Hrtmnn-Grossmnn per dedurne l stbilità, tuttvi dl digrmm di se si vede che le triettorie del sistem sono decrescenti si destr che sinistr di esso. Possimo quindi dire che il punto x = in tl cso è instbile e stbile d sinistr. Nel cso iii) vi sono due punti di equilibrio: x, ) e x, + ). Dllo studio del segno di o dl digrmm di se) vedimo subito che > su, ) e quindi nche x ) > e quindi il punto di equilibrio x è instbile. Anlogmente dllo studio del segno di o dl digrmm di se) vedimo subito che < su, + ) e quindi nche x ) < e quindi il punto di equilibrio x è sintoticmente stbile. Il suo bcino di ttrzione srà x, + ). 4. Dt l unzione x) = x x) con > ), si consideri il problem di Cuchy punti). Trovre i punti di equilibrio l vrire di >. punti) b. Discutere l stbilità dei punti di equilibrio l vrire di >. xn+ = x n ) x) = x >. punti) c. Si =. Clcolre gx) = x) e dire qunti punti di equilibrio h l ED x n+ = gx n ). Fcolttivo: esiste un legme tr i punti di equilibrio trovti e quelli dell ED inizile? Perché?

5 . L unzione : R R, quindi, per il Teorem..7 esiste un unic soluzione globle per ogni vlore di x. I punti di equilibrio sono le soluzioni dell'equzione x) = x. Svolgendo i clcoli si h Quindi i punti di equilibrio sono x x) = x )x x = x[ ) x] =. x =, e x = = >. Notte come il secondo punto di equilibrio si positivo grzie l tto che >. b. L unzione è C su R. Usimo il teorem di Hrtmnn-Grossmnn per studire l stbilità dei punti di equilibrio l vrire di >. Innnzitutto x) = x quindi ) =, e ) = ) = + Dto che > si h che ) = > e quindi il punto di equilibrio x = è instbile qulunque si il vlore di >. Invece ) =. Or < < >, 3) Quindi, se, 3) il punto è sintoticmente stbile, mntre se > 3 il punto è instbile. Se = 3 non possimo dire null con il solo iuto del Teorem di Hrtmnn-Grossmnn. c. Si =. Dto che l unzione è denit su tutto R sppimo che l unzione g = è ben denit su R. Si h gx) = x)) = x) x)) = [x x)] [x x)]) = 4x x) x + x ) Per dire qunti punti di equilibrio h l ED x n+ = gx n ) bst dire qunte soluzioni h l'equzione gx) = x. L'equzione si scrive come: 4x x) x + x ) = x 4x x) x + x ) x = e, rcogliendo ttor comune x primo membro: x[4 x) x + x ) ] = Vedimo quindi che l'equzione gx) = h sicurmente come soluzione x =. Per vedere se h ltre soluzioni e qunte sono) occorre, per l legge di nnullmento del prodotto, studire l'equzione: 4 x) x + x ) = 3 x + 6x 8x 3 = Si trtt di un'equzione di terzo grdo. Quindi le soluzioni sono l mssimo 3. Per spere qunte sono possimo studire l unzione primo membro: hx) = 3 x + 6x 8x 3 Si vede cilmente che, essendo negtivo il coeciente del termine di grdo mssimo: lim hx) = +, lim x hx) =. x+

6 Inoltre h x) = + 3x 4x = x 6x ) Dto che il polinomio di secondo grdo 3 + 8x 6x h discriminnte negtivo, tle polinomio è sempre negtivo per ogni vlore di x. Quindi h x) <, x R. Ne segue che h è strettmente decrescente su tutto R. Per il teorem di esistenz e unicità degli zeri si h che esiste un unico zero x di h su R. Inoltre x dto che h). Ne segue che l'equzione gx) = x h esttmente due soluzioni e quindi vi sono due punti di equilibrio per l ED ssocit g. E' possibile risolvere il problem nche scomponendo il polinomio hx) con l regol di Runi. In tl cso si trov nche il vlore dell rdice x che è /. Fcolttivo: esiste un legme tr i punti di equilibrio trovti e quelli dell ED inizile? Perché? Il legme è il seguente: i punti di equilibrio per l ED ssocit g sono gli stessi di quelli dell ED ssocit. Intti bbimo il seguente Teorem. Dt un qulunque unzione : A R A R), le soluzioni dell'equzione x) = x risolvono nche l'equzione x) = x. Intti se x è tle che x) = x si h, utilizzndo due volte tle tto: e quindi x risolve nche l'equzione x) = x. x)) = x) = x D tle teorem sppimo quindi che i due punti di equilibrio dell ED ssocit sono nche punti di equilibrio dell ED ssocit g. Poichè bbimo scoperto l punto c) sopr) che i punti di equilibrio dell ED ssocit g sono solo due, essi devono essere per orz quelli dell ED ssocit. Curiosità: come si vede sul libro di testo, se ce ne ossero stti ltri due essi vrebbero costituito un'orbit periodic di periodo due per l'ed ssocit. 5. Si consideri il seguente sistem di equzioni dierenzili ordinrie x t) = xt)yt) + x 3 t) y t) = yt) xt) punti). Determinre le equzioni delle curve isocline x = e y = ) e drne un rppresentzione grc. punti) b. Determinre i punti di equilibrio studindone l stbilità. punti) b. Trccire il digrmm di se del sistem linerizzto intorno l punto di equilibrio con y positiv.. Le equzioni delle isocline sono Considerimo l prim xy + x 3 =, y x = xy + x 3 = x =, oppure y = x Quindi il grco di quest isoclin è costituito dll'unione dto che bbimo usto oppure") dell rett verticle di equzione x = e dell prbol concvità rivolt verso il bsso di equzione y = x. Considerimo l second y x = y = x + Quindi il grco di quest isoclin è costituito dll rett obliqu di equzione crtesin y = x +.

7 b. Per trovre i punti di equilibrio dobbimo trovre le soluzioni del sistem xy + x 3 = y x = che signic trovre le intersezioni delle due isocline. Dll prim equzione trovimo che x =, oppure y = x Se x =, sostituimo nell second equzione e trovimo y =. Quindi un primo punto di equilibrio è P =, ). Se invece y = x, sostituimo nell second equzione e trovimo x x = x + ) = che h per unic soluzione x =. Sostituendo nell prim equzione trovimo quindi un secondo punto di equilibrio che è P =, ). Vi sono quindi due punti di equilibrio: P e P. Per studirne l stbilità usimo il teorem di Hrtmnn-Grossmnn. L dinmic del sistem è x, y) = xy + x 3, y x ) il cui Jcobino è Dx, y) = y + 3x x ) Il Jcobino nei punti di equilibrio è il seguente. In P ) D, ) = mentre in P D, ) = Il Jcobino in P h λ = come unico utovlore si vede immeditmente dto che l mtrice è tringolre ineriore). Tle utovlore h molteplicità geometric e lgebric. Essendo tle utovlore positivo il punto di equilibrio è instbile. Il Jcobino in P h determinnte nullo le due colonne sono linermente dipendenti) e trcci positiv ugule 3. Quindi i due utovlori sono λ = e λ = 3. Non possimo usre il il teorem di Hrtmnn-Grossmnn. Usndo il Teorem 9.7 pg 7 del libro: J. Hle - H Kock Dynmics nd Biurctions, Springer si ottiene che il punto P è instbile. b. Il Jcobino in P h λ = come unico utovlore si vede immeditmente dto che l mtrice è tringolre ineriore). Tle utovlore h molteplicità geometric e lgebric. Questo signic che il digrmm di se o digrmm delle orbite) del sistem linerizzto è quello di un nodo un tngente dove tle tngente è l rett genert dgli utovettori del Jcobino, e quindi l'sse delle ordinte) instbile perché l'unico utovettore è positivo). )