AM210/ : Tracce delle lezioni- Settimana XI SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Transcript

1 AM21/214-15: Tracce delle lezioni- Settimana XI SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Sia A = At = a ij t, a ij CR, i, j = 1,..., n matrice n n. Siccome, per ogni T > risulta Atx sup At x, le soluzioni del sistema t T differenziale lineare a coefficenti variabili di n equazioni nelle n incognite x i t ẋ = Atx, ovvero ẋ i t = a i1 tx 1 t a in tx n t, i = 1,..., n sono definite per tutti i tempi segue dal Teorema di esistenza globale. Proposizione L insieme N := {x C 1 R, R n : Lx := ẋ Ax = } di tutte le soluzioni di é un sottospazio linare di C 1 R, R n di dimensione n. Prova. Dobbiamo provare tre fatti: 1. N é un sottospazio lineare di C 1 R, R n, ovvero combinazioni lineari αxt + βyt, α, β R di soluzioni sono ancora soluzioni. Segue dal fatto che N é il nucleo dell operatore lineare L. 2. Esistono x i N, i = 1,..., n linearmente indipendenti, in CR, R n cioé esistono n soluzioni x i tali che ni=1 c i x i t = t c i = i. Infatti, presi v i R n, i = 1,..., n linearmente indipendenti e detta x i la soluzione di tale che x i = v i, le x i sono n soluzioni linearmente indipendenti. 3. Tali x i generano N : x N, c = c 1,..., c n : xt = n i=1 c i x i t t. Infatti, se x é soluzione, siano c i R tali che x = n i=1 c i v i = n i=1 c i x i e sia ˆxt := n i=1 c i x i t. Siccome x e ˆx sono soluzioni dello stesso problema di Cauchy, allora x ˆx per il Teorema di Picard. Definizione. Un sistema di n soluzioni linearmente indipendenti x i di si chiama sistema fondamentale per. Se x i é sistema fondamentale, la matrice X t = x 1,..., x n = x i jt i,j=1,...,n avente per colonne i vettori x i si dice matrice fondamentale. Notiamo che se X := ẋ 1,..., ẋ n = ẋ i jt i,j=1,...,n é la matrice che ha per elementi le derivate degli elementi di X, allora, con tale notazione, X = AX 1

2 Se X t é matrice fondamentale e X é la matrice identitá, cioé X = e 1,..., e n ovvero x i j = δ ij, X é detta matrice principale. Se X é matrice fondamentale allora le soluzioni di si scrivono nella forma n xt = c i x i t = X tc c = c 1,..., c n R n Integrale Generale i=1 Se X é matrice principale X tc, c R n é la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale x = c. Definizione. Date x i CR, R n, i = 1,..., n sia X t := x i jt. W t := det X t si dice determinante Wronskiano delle x i. Se t : W t allora x i t sono n vettori di R n linearmente indipendenti e quindi le funzioni x i sono linearmente indipendenti in CR, R n. Il viceversa é falso in generale, : x i linearmente indipendenti non implica detx i jt anche solo per qualche t. Ad esempio, x 1 t = 1, t, x 2 t = t, t 2 sono funzioni vettori di CR, R 2 linearmente indipendenti, ma x 2 t = tx 1 t t, cioé, per ogni t, x 1 t e x 2 t sono vettori di R 2 linearmente dipendenti e quindi il Wronskiano di x 1, x 2, detx i jt é nullo per ogni t! Tuttavia Proposizione 1. Siano x i, i = 1,..., n soluzioni di, X t := x i jt. X t é matrice fondamentale det X t t X t 1 esiste t Prova. C é solo da provare la prima. Supponiamo, per assurdo, che esista t tale che W t = e quindi che i vettori x i t siano linearmente dipendenti: esistono c i costanti non tutte nulle tali che ni=1 c i x i t =. Ora, se ˆxt := n i=1 c i x i t, ˆx é soluzione che si annulla in t, e quindi, per l unicitá della soluzione del problema di Cauchy, ni=1 c i x i t = ˆx, cioé le x i sono linearmente dipendenti. Proposizione 2. Sia X matrice fondamentale. Allora {}} { X 1 = X 1 A, {}} { X 1 t = A t X 1 t Infatti, come si vede subito, se A, B sono matrici n n di funzioni C 1, allora AB + AB, {}} { e quindi detta O la matrice nulla O = İd = X 1 X O = {}} { X 1 X + X 1 X = X 1 X + X 1 AX X 1 + X 1 A = O {}}{ AB = 2

3 SISTEMI LINEARI A COEFFICENTI COSTANTI Esponenziale di una matrice, matrice principale. Siano, a ij R. Se A = a ij i,j=1,...,n, é e A := n= A n n! := lim N N n= Tale serie converge nello spazio di Banach delle matrici M n n dotato della norma A = sup Ax 2 perché N+p A n N+p A n ɛ se N N n! n! ɛ, p N. x 2 1 n=n n=n Argomentando come per la serie esponenziale in C si vede che AB = BA e A+B = e A e B Ne consegue che e A e A = Id e quindi e A é invertibile e e A 1 = e A. Inoltre, d e t+τa e ta dt eta := lim τ τ = e ta lim τ e τa I τ = e ta lim τ n=1 n 1 An τ n! A n n! = A e ta Siccome e ta é invertibile per ogni t, e ta é matrice fondamentale anzi, principale per ẋ = Ax, che genera quindi il flusso lineare t e ta x, x R n ESEMPI. λ λ 1... k 1... i A = λ 2... e A k! = λ k 2... k! =... λ n k= λ... k n k! β ii Se B = allora B 2k = β B 2k+1 1 = k+1 β 2k+1 1 k β 2k+1 e quindi 1 k β 2k 1 k+1 β 2k+1 e B = 2k! 2k+1! cos β sin β = sin β cos β k= α β A = β α 1 k β 2k+1 2k+1! 1 k β 2k 2k! e λ 1... e λ e λn 1 k β 2k 1 k β 2k e se cos βt sin βt = αi + B é e ta = e tαi e tb = e αt sin βt cos βt 3

4 RIDUZIONE A FORMA CANONICA Sistemi lineari n n. Data A := a ij matrice n n, le resta associato il sistema di n EDO in n incognite x i = x i t: ẋ = Ax, ovvero ẋ i t = a i1 x 1 t a in x n t i = 1,..., n EDO Sia ẋ = Ax, P matrice n n invertibile. Allora {}} { P 1 x = P 1 ẋ = P 1 Ax = [P 1 AP]P 1 x Ovvero, posto yt := P 1 xt, EDO si riscrive nella forma equivalente ẏ = [P 1 AP]y Come noto, scelte opportune di P permettono di portare A in forme piú semplici, le forme canoniche. Ad esempio, se A ha n autovettori ξ j linearmente indipendenti, corrispondenti ad autovalori λ j, e P é la matrice che ha per colonne gli autovettori, allora P 1 AP é matrice diagonale, con elementi della diagonale dati dai λ j. IL CASO GENERICO: autovalori distinti, sistemi diagonalizzabili Sia e i, i = 1,..., n base canonica di R n. Sia Dλ 1,..., λ n := λ 1 e 1,..., λ n e n matrice diagonale avente λ 1,..., λ n come elementi sulla diagonale principale. Il piú semplice sistema differenziale ẋ = Dλ 1,..., λ n x xt = x 1 t,..., x n t é formato dalle n equazioni disaccoppiate ẋ i = λ i x i, i = 1,..., n. Il sistema ammette quindi le soluzioni x i = e λ it e i, o, in forma matriciale, xt = e td x Queste soluzioni sono a Wronskiano diverso da zero e quindi formano un sistema fondamentale e ogni altra soluzione é della forma n x = c i e λit e i = c 1 e λ1t,..., c n e λnt, c i R Integrale Generale i=1 Se tra i λ j ve ne é uno complesso, diciamo λ = α + iβ C, a questo corrisponde l equazione per la funzione incognita -complessa- zt = xt + iyt żt = ẋt+iẏt = λzt = α+iβxt+iyt = αxt βyt+iβxt+αyt 4

5 ovvero il sistema di due equazioni nelle funzioni incognite-reali- x ed y: ẋ = αx βy ẏ = βx + αy L equazione ż = λz, ha le soluzione -complessezt = xt + iyt = x + iye αt+iβt = e αt x + iycos βt + i sin βt = = e αt [x cos βt y sin βt + iy cos βt + x sin βt] ovvero xt = e αt x cos βt y sin βt yt = e αt y cos βt + x sin βt Se A ha n autovalori reali distinti, allora A ha una base di autovettori v i R n vedi in Appendice. L Integrale Generale del sistema ẋ = Ax si scrive n c i e λit v i, c i R Integrale Generale i=1 Per provarlo, introduciamo la matrice invertibile con colonne gli autovettori v i : P := v 1,..., v n = v i j i,j=1,...,n = Pe 1,..., Pe n, P 1 v i = e i É P 1 APe i = P 1 Av i = λ i P 1 v i = λ i e i ovvero λ i e i é la i-esima colonna di P 1 AP. Dunque P 1 AP = λ 1 e 1,..., λ n e n = Dλ 1,..., λ n forma canonica e, se ẋ = Ax e y := P 1 x, é x = Py e ẏ = P 1 ẋ = P 1 Ax e quindi ẏ = P 1 APy = Dλ 1,..., λ n y e quindi n y = c i e λit e i i=1 e l integrale generale di ẋ = Ax si scrive P ni=1 c i e λ it e i = ni=1 c i e λ it v i. Piú in generale, supponiamo che A abbia n autovalori semplici, diciamo q autovalori reali µ i, i = 1,..., q e 2p 2 autovalori complessi, q + 2p = n notiamo che se λ = α + iβ é autovalore complesso allora anche λ = α iβ lo é, perché A é matrice di numeri reali e quindi il suo polinomio caratteristico é a coefficenti reali. Siano λ j, λ j j = 1,..., p gli autovalori complessi e µ i, i = 1,..., q gli autovalori reali di A. A tali autovalori corrispondono n autovettori linearmente indipendenti, 5

6 diciamo v j, v j, j = 1,..., p, u i, i = 1,..., q : notiamo che mentre u i R n, v j := ξ j + iη j, ξ j, η j R n sono vettore in C n e compaiono in coppie complesse coniugate giacché Av j = λ j v j Av j = λ j v j. Si ha Aξ j + iaη j = Av j = λ j v j = α j + iβ j ξ j + iη j = α j ξ j β j η j + iβ j ξ j + α j η j Aξ j = α j ξ j β j η j, Aη j = β j ξ j + α j η j Sia ora P := ξ 1, η 1,..., ξ p, η p, u 1,... u q la matrice n n reale avente le prime 2p colonne formate dai vettori parte reale e coefficente dell immaginario degli autovettori corrispondenti ai λ i e le rimanenti q colonne formate dagli autovettori reali. Ovviamente tali vettori sono linearmente indipendenti e quindi P é invertibile. Mostriamo che P 1 AP = α 1 e 1 β 1 e 2, β 1 e 1 + α 1 e 2,..., α p e p β p e p+1, β p e p + α p e p+1, µ 1 e 2p+1,..., µ q e n P 1 AP é qui, come altrove, descritta come n-upla di vettori colonna. É questa la forma canonica di A in presenza di autovalori distinti, reali o complessi. Verifichiamolo: P 1 APe 1 = P 1 Aξ 1 = P 1 α 1 ξ 1 β 1 η 1 = α 1 e 1 β 1 e 2 P 1 APe 2 = P 1 Aη 1 = P 1 β 1 ξ 1 + α 1 η 1 = β 1 e 1 + α 1 e 2 e cosí via fino alle colonne di posto 2p 1 e 2p. P 1 APe 2p+i = µ i e 2p+i Per le altre si trova invece Posto y = x, ξ, η R q R p R p, il sistema ẏ = P 1 APy si disaccoppia nelle q equazioni e nei p sistemi 2 2 ẋ i = µ i x i i = 1,..., q ξ j = α j ξ j β j η j η j = β j ξ j + α j η j le cui soluzioni sono x i = x i e µ it e x j t = e αjt x j cos β j t y j sin β j t y j t = e αjt y j cos β j t + x j sin β j t Ecco 2p + q soluzioni che, come si vede subito, sono a Wronskiano diverso da zero e quindi formano un sistema fondamentale per il sistema in forma canonica e che, applicando P, fornisce un sistema fondamentale per ẋ = Ax. 6

7 SISTEMI LINEARI NON OMOGENEI LA FORMULA DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI Siano a ij, b i CR, i, j = 1,..., n, A = a ij, b = b 1,..., b n. Sia x soluzione del sistema lineare non omogeneo ẋ = Ax + b Allora, se N = KerL é lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ẋ = Ax, si ha che x N x + x = Ax + x + b x + N {x : ẋ = Ax + b} Viceversa, se y é soluzione di, allora e quindi ẏ = Ay + b y x = Ay x y x + N {x : ẋ = Ax + b} = x + N integrale generale di Vogliamo ora dare una formula per ottenere una soluzione particolare del sistema non omogeneo a partire da una matrice fondamentale per il sistema omogeneo associato; in effetti, troveremo l integrale generale di. Sia X matrice principale del sistema lineare omogeneo associato ẋ = Ax. Allora ẋ = Ax + b, x = x X 1 b = X 1 ẋ X 1 Ax = = X 1 ẋ + X {}} { t 1 xt = X 1 x X 1 xt = X 1 x + X 1 b dτ = = x + Verifichiamo che tale xt é soluzione: t + X t X 1 b dτ xt = X x + X X 1 τbτdτ +X tx 1 tbt = AX x + d dt t X 1 τbτ dτ X x + X t X 1 τbτ dτ t = X x + X 1 τbτ dτ +b = Ax+b Quindi, se X = Id, la soluzione di tale che x = x é data dalla xt = X t x + t X 1 τbτdτ formula della variazione delle costanti 7

8 FORMULA DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI. UN ESEMPIO oscillazioni armoniche forzate ẍ + x = ft Posto p = ẋ, l equazione si scrive equivalentemente, in forma di sistema, ẋ = p ṗ = x + ft La matrice principale del sistema omogeneo associato é cos t sin t cos t sin t Xt = mentre X 1 t = sin t cos t sin t cos t Dunque l Integrale Generale della equazione non omogenea é xt pt cos t sin t = sin t cos t [ x p + t cos τ sin τ sin τ cos τ fτ dτ ] = e quindi cos t sin t = sin t cos t x p + t t fτ sin τdτ fτ cos τdτ = t xt = x cos t + p sin t cos t t fτ sin τdτ + sin t fτ cos τdτ IG Osserviamo che le soluzioni dell oscillatore armonico cioé con f = sono tutte 2π periodiche. La situazione é ovviamente diversa in presenza del termine forzante f. Da IG si legge che - se f non é 2π periodica le soluzioni non sono piú periodiche 2π -se f é 2π periodica le soluzioni sono periodiche se e solo se fτ sin τdτ =. 2π fτ cos τdτ = 8

9 ESERCIZI 1. l p, p 1 é completo; l é completo. 1/2 b 2. C[a, b], R, munito della norma f 2 = ft dt 2 non é completo. a 3. Sia C 2π lo spazio vettoriale su C delle funzioni f : R C continue e 2π periodiche. Allora f := sup ft é una norma su C 2π, che, munito di tale t R norma, risulta completo. 1 π Inoltre, f 2 := ft 2 2 dt é una norma su C2π e vale Cauchy-Schwartz: π π π π 1 2 π ftgtdt ft 2 dt gt 2 dt π E rispetto a tale norma C 2π non é completo. 4. i Provare che C R dotato della norma della convergenza uniforme f = sup x fx non é completo. Provare poi che V := {f CR : fx x } dotato della norma della convergenza uniforme é completo, e che C R é denso in V. ii Provare che C R dotato della norma della convergenza in media f 1 = ft dt non é completo. R Provare che. 1 non é una norma su V. Provare che. 1 é una norma in W := {f CR : di tale norma, non é completo. 5. Sia k C[a, b] [c, d]. Per ogni f c[a, b] la funzione T ft := b a π kx, tfxdx 1 2 R f < } e che W, dotato é, in virtú del teorema sugli integrali dipendenti da parametro, una funzione continua in [c, d]. Inoltre b T f T g = sup kx, t[fx gx]dx sup kx, t f g x [a,b] x,t [a,b] [c,d] a Dunque T é una funzione lineare e Lipschitziana e quindi continua da C[a, b], R a C[c, d], R dotati della norma della convergenza uniforme. 9

10 APPENDICE: RIDUZIONE A FORMA CANONICA autovalori multipli Abbiamo osservato ch se P é matrice invertibile e Generale di ẏ = PAP 1 y, allora n c i Py i i=1 ni=1 c i y i é Integrale é Integrale Generale di ẋ = Ax. Si tratta allora di trovare una matrice P che riduca A nella forma piú semplice possibile, la sua forma canonica. Cosí abbiamo proceduto nel caso diagonalizzabile. Si puó procedere in questo modo anche quando, a causa della presenza di autovalori multipli, fosse impossibile diagonalizzare A ricordiamo che anche in presenza di autovalori multipli A puó avere n autovettori linearmente indipendenti e quindi essere diagonalizzabile: é questo il caso se A é simmetrica. In tali casi la forma canonica risulterá peró piuttosto complicata forme di Jordan. Ci limitiamo a considerare il caso A ha un solo autovalore, reale, cui corrisponde un unico autovettore. Cominciamo dalla situazione piú semplice, cioé n = 2. Sia dunque λ zero di molteplicitá 2 molteplicitá algebrica di λ del polinomio caratteristico di A, matrice 2 2. Se la molteplicitá geometrica di λ, ovvero dim kera λi é uguale alla molteplicitá algebrica di λ cioé é 2 cioé a λ corrispondono due autovettori linearmente indipendenti, allora A é, come sopra, diagonalizzabile. Supponiamo quindi che λ abbia un unico autovettore v. Ció implica che Im A λj = {h R 2 : u R 2 tale che Au λu = h} é un sottospazio di dimensione 1: Im A λj = {tu : t R} per qualche u. Di piú, Im A λj = {tv : t R} Questo perché Au λu = tu Au λ + tu = e quindi t = λ é l unico autovalore! e quindi u é un multiplo di v v é l unico autovettore!. Dunque u : Au λu = v, u KerA λi 2 1

11 u si dice autovettore generalizzato. Sia ora P = v, u la matrice avente per colonne l autovettore e l autovettore generalizzato; ovviamente P é invertibile. Si ha Dunque P 1 APe 1 = P 1 Av = P 1 λv = λe 1 P 1 APe 2 = P 1 Au = P 1 λu + v = λe 2 + e 1 P 1 AP = λe 1, e 1 + λe 2 É questa la forma canonica di A. Il sistema associato a P 1 AP é ẋ = λx + y, ẏ = λy Una soluzione di tale sistema é y, x = e λt Una seconda soluzione é y = e λt e quindi xe λt = 1 e quindi x = te λt. Tali soluzioni x 1 = e λt, y 1, x 2 = te λt, y 2 = e λt sono a Wronskiano non nullo e quindi formano un sistema fondamentale. Dunque un sistema fondamentale per ẋ = Ax é dato da P e λt e 1 = e λt v, P te λt e 1 + e λt e 2 = te λt v + e λt u Argomenti analoghi si applicano al caso piú generale in cui la matrice n n A ha un unico autovalore λ avente quindi molteplicitá algebrica n avente molteplicitá geometrica 1, cioé Au = λu ha una sola soluzione u 1 a meno di multipli. La proprietá chiave che sussiste in effetti senza ipotesi sulla molteplicitá geometrica di λ e che diamo senza dimostrazione é la seguente: 1. Una conseguenza di! é che Infatti,! Ker A λi n = R n! Ker A λi k = Ker A λi k+1 Ker A λi k = R n u Ker A λi k+2 = A λi k+2 u = A λi k+1 Au λu 11

12 A λi k Au λu = u Ker A λi k+1 = Ker A λi k. 2. Una conseguenza di dim [Ker A λi] = 1 é che + dim [ Ker A λi k+1] = dim [ Ker A λi k] + 1 se Ker A λi k é sottospazio proprio di Ker A λi k+1. Infatti, da segue u : A λi k+1 u =, A λi k u = A λi k+1 u = A λi A λi k u A λi k αu = u 1 per qualche α. Ugualmente A λi k+1 u = A λi k βu = u 1 per qualche β e quindi αu + βu Ker A λi k. In particolare, da! e 1., segue che allora + vale per ogni k < n. 3. Una conseguenza di 2. é che Intanto, A λi [ Ker A λi k+1] = Ker A λi k u Ker A λi k+1 A λi k Au λu = cioé A λi [ Ker A λi k+1] Ker A λi k. Poi, usando 2., dim [Ker A λi] = 1 dim [ A λi Ker A λi k+1] = = dim [ Ker A λi k+1] 1 = dim [ Ker A λi k] Da 3. segue che esiste u 2 tale che Au 2 λu 2 = u 1, e poi, iterando, per ogni k < n esiste u k+1 Ker A λi k+1 tale che Au k+1 λu k+1 = u k. Sia ora P = u 1,..., u n la matrice avente per colonne l autovettore u 1 e gli k = 2,..., n. Siccome u k P 1 APe 1 = P 1 Au 1 = P 1 λu 1 = λe 1 autovettori generalizzati P 1 APe k = P 1 Au k = P 1 λu k + u k 1 = λe k + e k 1, k = 2,..., n 12

13 concludiamo che P 1 AP = λe 1, λe 2 + e 1,..., λe n + e n 1 ove P 1 AP é descritta come riga di vettori colonna. É questa la forma canonica per A. Ora, il sistema differenziale associato a P 1 AP é ẏ 1 = λy 1 + y 2, ẏ 2 = λy 2 + y 3,..., ẏ n 1 = λy n 1 + y n, ẏ n = λy n Iterando il calcolo effettuato nel caso n = 2 troviamo per tale sistema le n soluzioni e λt,, , te λt, e λt,, , t 2 e λt, te λt, e λt,,...,... t n 1 e λt, t n 2 e λt,......, e λt Tali n soluzioni hanno Wronskiano evidentemente diverso da zero e quindi formano un sistema fondamentale da cui, applicando P, si ottiene un sistema fondamentale per ẋ = Ax. Base di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Mostriamo qui un fatto usato in precedenza, ma ben noto: se una matrice n n complessa A ha tutti gli autovalori distinti allora ammette una base di autovettori. Sia n = 2 e sia Aξ = λξ, Aη = µη. Se ξ = αη, allora λξ = Aξ = αaη = αµη = µξ λ = µ Supponiamo, induttivamente, che l affermazione sia vera per le matrici n 1 n 1. Siano Aξ j = λ j ξ j, ξ j, j = 1,..., n con λ i λ j se i j. Supponiamo che gli ξ j non siano linearmente indipendenti, diciamo ξ n = n 1 j=1 c j ξ j. Possiamo supporre, eventualmente sostituendo ad A la matrice A λ n I che λ n = e quindi = Aξ n = n 1 j=1 c j ξ j = n 1 j=1 contraddicendo l ipotesi induttiva. c j λ j ξ j e quindi gli ξ j sono linearmente dipendenti 13