SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

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1 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 161 ROMA, ITALY andreucci@dmmm.uniroma1.it 1. Lo spazio delle soluzioni Un sistema N N lineare omogeneo di equazioni differenziali ordinarie è y 1 = a 11(t)y 1 + a 12 (t)y a 1N (t)y N, y 2 = a 21(t)y 1 + a 22 (t)y a 2N (t)y N, (1.1)... y N = a N1(t)y 1 + a N2 (t)y a NN (t)y N, ove le a ij sono assegnate funzioni continue su un certo intervallo J di R, e la soluzione (y 1,..., y N ) è una N-upla di funzioni C 1 (J). Con una notazione più compatta, possiamo riscrivere (1.1) come ove a 11 (t) a 12 (t)... a 1N (t) A(t) = a 21 (t) a 22 (t)... a 2N (t) a N1 (t) a N2 (t)... a NN (t) y = A(t)y, (1.2) y 1 (t) y = y(t) = y 2 (t)..., t J. y N (t) Le soluzioni di (1.2) costituiscono uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra vettori e prodotto per scalari. Più specificamente Proposizione 1.1. Siano y i, i = 1,..., p, soluzioni di (1.2). p c iy i lo è, per ogni scelta di scalari c i R. Dimostrazione. Ovviamente d p p c i y i = c i y i dt = p c i A(t)y i = A(t) p c i y i. Allora anche Dunque lo spazio vettoriale S delle soluzioni di (1.2) deve avere una base, la cui cardinalità coincide per definizione con la dimensione dello spazio medesimo. Ricordiamo che p elementi y 1,..., y p di S si dicono linearmente indipendenti se e solo se da c 1 y 1 + c 2 y c p y p =, c i R, i = 1,..., p, segue c i = per ogni i. Si osservi però che gli elementi dello spazio vettoriale S sono funzioni; dunque l elemento nullo nell uguaglianza sopra va inteso come funzione identicamente nulla. Possiamo quindi enunciare la definizione di 1

2 2 DANIELE ANDREUCCI lineare indipendenza di funzioni in S così: y 1,..., y p in S si dicono linearmente indipendenti se e solo se da c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + + c p y p (t) =, per ogni t J, ove i c i sono scalari, segue c i = per ogni i. Il nostro prossimo passo sarà la determinazione di una base di S, e quindi della sua dimensione. Useremo il Lemma 1.1. Siano y i, i = 1,..., p soluzioni di (1.2). Allora le y i sono linearmente indipendenti in S se e solo se i loro valori y i (t ) in un arbitrario fissato t J sono linearmente indipendenti come vettori di R N. Dimostrazione. Equivalentemente, dimostriamo che le y i sono linearmente dipendenti in S se e solo se i vettori y i (t ) sono linearmente dipendenti in R N. Siano le y i linearmente dipendenti; allora esistono p scalari, c i, non tutti nulli, tali che c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + + c p y p (t) =, per ogni t J. Sostituendo in questa uguaglianza t = t si ottiene che i vettori y i (t ) sono linearmente dipendenti in R N. Viceversa, supponiamo che i vettori y i (t ) siano linearmente dipendenti in R N. Allora esistono p scalari, c i, non tutti nulli, tali che c 1 y 1 (t ) + c 2 y 2 (t ) + + c p y p (t ) =. Definiamo, per questa scelta degli scalari c i, la funzione p y(t) = c i y i (t), t J. La y è una soluzione di (1.2), per la Proposizione 1.1, ed assume il dato di Cauchy nullo in t. Quindi, per il teorema di unicità, deve essere nulla per ogni t J. Ma, visto che i c i non sono tutti nulli, questo implica che le y i sono linearmente dipendenti in S. Possiamo ora dimostrare Teorema 1.1. Sia {v i i = 1,..., N} una base di R N (ossia i v i siano N vettori di R N linearmente indipendenti). Allora le N soluzioni dei problemi di Cauchy: { { { y 1 = A(t)y 1, y 2 = A(t)y 2, y N... = A(t)y N, (1.3) y 1 (t ) = v 1 ; y 2 (t ) = v 2 ; y N (t ) = v N ; costituiscono una base di S. Qui t J è fissato ad arbitrio (ma è lo stesso in ognuno degli N problemi di Cauchy). Dimostrazione. Per il Lemma 1.1, le y i, i = 1,..., N, sono linearmente indipendenti, e occorre pertanto solo dimostrare che generano tutto S. In altri termini, vogliamo mostrare che ogni soluzione y di (1.2) si può scrivere come combinazione lineare a coefficienti costanti di y 1,..., y N. Fissiamo allora una y soluzione di (1.2). Dato che per ipotesi i v i costituiscono una base di R N, esisteranno certamente N scalari c i,..., c N tali che N N y(t ) = c i v i = c i y i (t ).

3 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 3 Sia z definita da z(t) = N c iy i (t), per ogni t J. Allora sia z che y risolvono { w = A(t)w, w(t ) = y(t ). Per il teorema di unicità deve quindi valere z y in J, ossia N y(t) = c i y i (t), per ogni t J. Segue subito Corollario 1.1. La dimensione di S è uguale a N. Abbiamo quindi dimostrato che tutte e sole le soluzioni di (1.2) si possono scrivere come N y(t) = c i y i (t), t J, (1.4) ove le y i sono una N-upla fissata di soluzioni linearmente indipendenti (cioè una base di S), e le c i variano ad arbitrio in R. La (1.4) è perciò un integrale generale di (1.2). 2. Matrici risolventi Osservazione 2.1. Ricordiamo che, per la definizione del prodotto righe per colonne, le colonne della matrice prodotto C = AB, A matrice N N e B, C matrici N p, sono combinazioni lineari delle colonne di A. Più specificamente, se denotiamo con col j (C) = (c ij ) N la j-esima colonna della matrice C, e A = (a ij), B = (b ij ), vale ( N col j (C) = (c ij ) N = N a ih b hj)n = b hj (a ih ) N = N b hj col h (A). h=1 h=1 h=1 Ne segue che l integrale generale (1.4) può essere messo nella forma vettoriale y = Y (t)c, (2.1) ove Y è una matrice le cui colonne siano N soluzioni linearmente indipendenti di (1.2), e C R N è un arbitrario vettore colonna di scalari. Poniamo allora la Definizione 2.1. Una matrice Y le cui colonne costituiscano una base di S si dice matrice risolvente del sistema (1.2). Il seguente lemma, di dimostrazione quasi banale, risulta di grande importanza: Lemma 2.1. Sia Y una matrice risolvente di (1.2), e sia B una matrice non singolare N N (cioè det(b) ) a coefficienti reali. Allora anche Y B è una matrice risolvente di (1.2).

4 4 DANIELE ANDREUCCI Dimostrazione. Visto che ovviamente Y B è non singolare perché det(y (t)b) = det(y (t)) det(b), basterà dimostrare che tutte le colonne di Y B sono soluzioni di (1.2). Ma questo segue subito dall Osservazione 2.1 e dalla Proposizione 1.1. Una conseguenza importante di questo risultato è il seguente teorema, che dà un modo canonico di scrivere le soluzioni di problemi di Cauchy di (1.2). Teorema 2.1. Sia t J e sia Y una matrice risolvente di (1.2). Allora, posto Φ(t, t ) = Y (t)y (t ) 1, l unica soluzione di u R N, è data da y = A(t)y, y(t ) = u, (2.2) y(t) = Φ(t, t )u, t J. (2.3) Inoltre la matrice Φ non dipende da Y, ossia date due diverse matrici risolventi Y 1 e Y 2 vale Y 1 (t)y 1 (t ) 1 = Y 2 (t)y 2 (t ) 1 per ogni t J; più in generale, se Φ (t, t ) è un altra matrice con la proprietà di fornire tutte le soluzioni di (2.2) secondo (2.3), questa coincide con Φ(t, t ). Dimostrazione. Che la y definita in (2.3) sia una soluzione di (1.2) segue subito dall Osservazione 2.1 e dal Lemma 2.1. Inoltre y(t ) = Φ(t, t )u = Y (t )Y (t ) 1 u = Iu = u. Dunque la y è effettivamente l unica soluzione di (2.2). Siano poi Φ 1 (t, t ) = Y 1 (t)y 1 (t ) 1, Φ 2 (t, t ) = Y 2 (t)y 2 (t ) 1 ; per quanto sopra le due funzioni y 1 (t) = Φ 1 (t, t )u, y 2 (t) = Φ 2 (t, t )u, t J, sono entrambe soluzioni di (2.2). Per il teorema di unicità, esse devono coincidere per ogni t J, ossia per ogni fissato t J, Z := Φ 1 (t, t ) Φ 2 (t, t ), deve soddisfare Zu = per ogni u R N. Ne segue che Z è la matrice nulla. Nello stesso modo si procede per una Φ come nell enunciato. Definizione 2.2. La matrice Φ(t, t ) si dice matrice risolvente canonica, o matrice di transizione, di (1.2) in t = t. 3. Matrici risolventi per sistemi a coefficienti costanti In questa sezione ci occupiamo del caso in cui la matrice A ha tutti i coefficienti costanti, ossia a ij R per ogni ij. Il sistema diviene allora y = Ay, A matrice costante. (3.1) Diamo senza dimostrazione il seguente fondamentale Teorema 3.1. Sia A una qualunque matrice reale N N. La matrice esponenziale e ta e ta t i A i := = I + ta + t2 A 2 + t3 A , (3.2) 2! 3! i=

5 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 5 risulta definita per ogni t R, e vale d dt eta = Ae ta, per ogni t R. (3.3) Si ricordi che la derivazione di matrici, come anche la convergenza di una serie di matrici, va intesa elemento per elemento, come nel caso dei vettori. In (3.2) le potenze A i vanno calcolate secondo l usuale prodotto righe per colonne. Si osservi che per t = e A i A i = = I. i= La serie di matrici in (3.2) è formalmente ricopiata dallo sviluppo in serie della funzione esponenziale di numeri reali: vedi il paragrafo 3.2 sotto. Alternativamente, proprio la (3.3) permetterebbe di definire e ta come l unica soluzione di Y = AY con Y () = I. Il teorema asserisce che la serie in (3.2) converge in modo tale da rendere rigoroso lo scambio delle operazioni di serie e di derivazione (qui inteso solo formalmente) d dt eta = d dt t i A i = i= i= d t i A i dt = i ti 1 A i Usando la formula (3.3) possiamo dimostrare il = A ti 1 A i 1 (i 1)! t j A j = A = Ae ta. j! Teorema 3.2. La matrice di transizione di (3.1) in t = è e ta. Quindi la soluzione di y = Ay, y() = u, (3.4) u R N, è data da j= y(t) = e ta u, t R. (3.5) Dimostrazione. Vale infatti per ogni u R N e t R: d dt y(t) = d ( ) d dt (eta u ) = dt eta u = Ae ta u = Ay(t) ; inoltre y() = e A u = Iu = u. Dunque la matrice esponenziale coincide con l unica matrice risolvente canonica di (3.1), secondo il risultato di Teorema 2.1. Osservazione 3.1. È facile verificare che la matrice risolvente canonica per (3.1) in t = t è e (t t )A Calcolo effettivo di una matrice risolvente. In genere la matrice e ta non può essere calcolata esattamente senza sommare la serie infinita in (3.2). Tuttavia esiste un metodo che permette di trovare (basandosi su questa serie) N soluzioni linearmente indipendenti, evitando il calcolo della serie completa. Con queste soluzioni si costruisce subito l integrale generale del sistema, come spiegato sopra. Una volta trovata così una matrice risolvente Y (t), la matrice di transizione in t = è data da Y (t)y () 1 (vedi Teorema 2.1).

6 6 DANIELE ANDREUCCI Si noti però che i calcoli necessari sono comunque di solito troppo complessi per essere svolti a mano. L idea. Fissata una base (ξ 1,..., ξ N ) di R N, e assegnato un qualunque dato di Cauchy u, con u = N h=1 c hξ h, c h R, la soluzione di (3.4) si può scrivere y(t) = e ta u = e ta N h=1 c h ξ h = N c h (e ta ξ h ) = h=1 N c h h=1 i= t i A i ξ h. (3.6) L idea consiste nello scegliere opportunamente la base ξ h, in modo che tutte le N serie i= ti A i ξ h, h = 1,..., N possano, in sostanza, essere calcolate sommando solo un numero finito di termini diversi da, ossia si riducano a somme finite. Autovettori reali. Cominciamo con l osservare che questa proprietà è senza dubbio goduta dagli autovettori della matrice: sia ξ R N, ξ, un autovettore di A corrispondente a un autovalore λ R, ossia Allora vale Aξ = λξ, ossia (A λi)ξ =. (3.7) e t(a λi) ξ = t i (A λi) i ξ = i= Iξ + t(a λi)ξ + t2 (A λi) 2 ξ 2! + t3 (A λi) 3 ξ 3! +... = Iξ = ξ. Quindi se per esempio la matrice A ha una base di autovettori ξ h come sopra (con autovalori λ h R), le N soluzioni linearmente indipendenti sono 1 e ta ξ h = e t(λ hi+a λ h I) ξ h = e tλ hi e t(a λ hi) ξ h = e tλ hi ξ h = e λ ht ξ h. (3.8) Si noti che ragionando come sopra, si dimostra che e ta ξ è una soluzione (complessa), anche se ξ è un autovettore corrispondente a un autovalore complesso. Poiché a noi interessano soluzioni reali, il caso di autovalori complessi viene trattato a parte nel seguito. Autovettori generalizzati. Poiché però non tutte le matrici hanno una base di autovettori, occorre in generale cercare i vettori linearmente indipendenti ξ h non solo tra gli autovettori, ma tra gli autovettori generalizzati di A: per definizione si dice che ξ C N, ξ, è un autovettore generalizzato di A se esistono un autovalore λ C di A e un m N tali che (A λi) m ξ =. (3.9) Più precisamente, si dice che ξ è un autovettore m-generalizzato corrispondente a λ. Chiaramente, se m = 1 l autovettore generalizzato è un autovettore in senso tradizionale. 1 La seconda e l ultima uguaglianza in (3.8) richiederebbero una dimostrazione, che è facile nel caso dell ultima uguaglianza, ma lo è meno nel caso della seconda.

7 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 7 Se ξ è un autovettore m-generalizzato di A corrispondente a λ, vale e t(a λi) ξ = t i (A λi) i ξ = i= m 1 i= Iξ + t(a λi)ξ + t2 (A λi) 2 ξ 2! t i (A λi) i ξ = + + tm 1 (A λi) m 1 ξ (m 1)! =: Q(t; λ, ξ), (3.1) ove Q è un polinomio di grado m 1 in t (naturalmente con coefficienti vettoriali). Dunque e ta ξ = e t(λi+a λi) ξ = e tλi e t(a λi) ξ = e tλi Q(t; λ, ξ) = e λt Q(t; λ, ξ). (3.11) Osserviamo per inciso che Q(t; λ, ξ) = ξ se m = 1. Dunque anche gli autovettori generalizzati danno luogo a soluzioni che si possono calcolare sommando solo un numero finito di termini nella serie e ta ξ. Se si trova una base di autovettori generalizzati reali, è a questo punto chiaro come procedere per scrivere un integrale generale di (3.1). Il caso di autovalori complessi. Tuttavia, si noti che in generale gli autovalori possono essere complessi. Dato che gli autovalori di A sono tutte e sole le radici dell equazione polinomiale a coefficienti reali det(a λi) =, (3.12) se λ = β +iγ (β, γ R, γ ) è un autovalore, anche il suo coniugato λ = β iγ lo è. In questo caso, con la notazione di (3.11), osserviamo che e ta ξ = e βt (cos γt + i sin γt)[q 1 (t) + iq 2 (t)], (3.13) ove Q 1 (t) = Re Q(t; λ, ξ), Q 2 (t) = Im Q(t; λ, ξ). (3.13) si riscrive come Svolte le moltiplicazioni, la e ta ξ = e βt (Q 1 (t) cosγt Q 2 (t) sin γt) + ie βt (Q 2 (t) cos γt + Q 1 (t) sinγt) =: y 1 (t) + iy 2 (t), con y i, i = 1, 2 funzioni reali. È facile verificare che y 1 e y 2 sono separatamente soluzioni del sistema differenziale. Infatti, sappiamo la che e ta ξ è una soluzione e dunque: [y 1 (t) + iy 2 (t)] = [e ta ξ] = Ae ta ξ = A[y 1 (t) + iy 2 (t)] = [Ay 1 (t) + iay 2 (t)]. Dato che A è una matrice reale, uguagliando le parti reale e immaginaria dei membri di destra e di sinistra si ottiene y i = Ay i, i = 1, 2. Perciò da ogni soluzione complessa si estraggono due soluzioni reali del sistema; questo è il motivo per cui nello schema illustrato sotto, considereremo solo uno degli autovalori complessi λ per ogni coppia di coniugio λ, λ di soluzioni di (3.12). Ecco infine il metodo di calcolo, che diamo senza dimostrazione: 1) Si determinino tutti gli autovalori di A, ossia tutte le radici distinte λ k C, k = 1,..., p dell equazione (3.12); quindi 1 p N. Sia ν k la molteplicità algebrica di λ k ; dunque p k=1 ν k = N. 2) Per ogni autovalore reale λ k, e per uno tra λ k e λ k in ogni coppia di autovalori complessi coniugati: si trovino tutti gli autovettori linearmente indipendenti con autovalore λ k. Se questi sono in numero inferiore a ν k, si cerchino gli autovettori 2-generalizzati corrispondenti a λ k, poi quelli 3-generalizzati, e così via. Ad ogni

8 8 DANIELE ANDREUCCI passo si troverà almeno un autovettore generalizzato linearmente indipendente dai precedenti, finché se ne saranno trovati esattamente ν k. 3) Per ogni autovalore reale λ k : siano ξ kh, h = 1,..., ν k autovettori generalizzati (reali) corrispondenti a λ k e linearmente indipendenti; allora le e λ kt Q(t; λ k, ξ k1 ), e λ kt Q(t; λ k, ξ k2 ),... e λ kt Q(t; λ k, ξ kνk ), sono ν k soluzioni linearmente indipendenti di (3.1). Si noti che i Q(t; λ k, ξ kh ) (definiti in (3.1)) sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro, ma comunque inferiori a ν k. 4) Per ogni coppia di autovalori complessi coniugati λ k = β k + iγ k, λ k = β k iγ k : siano ξ kh, h = 1,..., ν k autovettori generalizzati corrispondenti a λ k e linearmente indipendenti; allora, posto per ogni ξ kh con Q 1 e Q 2 polinomi reali, le Q(t; λ k, ξ kh ) = Q 1 (t; λ k, ξ kh ) + iq 2 (t; λ k, ξ kh ), e β kt [Q 1 (t; λ k, ξ kh ) cos(γ k t) Q 2 (t; λ k, ξ kh ) sin(γ k t)], e β kt [Q 2 (t; λ k, ξ kh ) cos(γ k t) + Q 1 (t; λ k, ξ kh ) sin(γ k t)], sono 2ν k soluzioni linearmente indipendenti di (3.1). Si noti che i Q i (t; λ k, ξ kh ) sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro, ma comunque inferiori a ν k. 5) Le soluzioni trovate nei punti 3) e 4) sono in numero complessivo di N e sono linearmente indipendenti; dunque danno un integrale generale del sistema differenziale a coefficienti costanti (3.1). In altri termini, la matrice Y le cui colonne sono le N soluzioni trovate sopra è una matrice risolvente Complementi: La serie esponenziale. Per ogni t R vale t e t = 1 + = 1 + t + = 1 + t + e τ 1 dτ 1 = 1 + t τ 1 t t ( 1 + τ 1 e τ 2 dτ 2 dτ 1 = 1 + t + τ 1 dτ 1 + t = 1 + t + t2 2 + t = 1 + t + t2 2 + t τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 = 1 + t + t2 2 + t ( 1 + τ dτ 1 + e τ 2 dτ 2 ) dτ 1 t τ 1 e τ 3 dτ 3 dτ 2 dτ 1 τ 3 t τ 1 τ 2 τ 3 t τ 1 τ 2 τ 3 ( 1 + τ 2 e τ 4 dτ 4 ) dτ 3 dτ 2 dτ 1 e τ 4 dτ 4 dτ 3 dτ 2 dτ 1 e τ 4 dτ 4 dτ 3 dτ 2 dτ 1. e τ 3 dτ 3 ) dτ 2 dτ 1 (3.14)

9 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 9 È chiaro che procedendo in questo modo si arriva a dimostrare per ogni n e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! + + tn n! + R n+1(t), (3.15) ove R n+1 è dato dagli n + 1 integrali ripetuti Vale R n+1 (t) R n+1 (t) = t τ 1 t τ 1... τ n... τ n e τ n+1 dτ n+1... dτ 2 dτ 1. (3.16) e t dτ n+1... dτ 2 dτ 1 = e t t n+1 (n + 1)!. Sia k 1 il più grande intero minore o uguale a t se t 1, o k = 1 altrimenti. Quindi per n si ha R n+1 (t) e t t t t k t k t n + 1 = C(t) t k t n + 1 C(t) ( ) t n+1 k, k + 1 perché t < k + 1. Qui C(t) risulta definita dall uguaglianza sopra e non dipende da n perché k non dipende da n. Dunque prendendo il limite n in (3.15) si ottiene per ogni t R e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! + + tn n! + = t n n!. (3.17) Questo sviluppo in serie di e t vale, di fatto, anche per tutti i numeri complessi t. n= 4. Il caso delle equazioni di ordine n Consideriamo sistemi che provengono da equazioni lineari a coefficienti costanti, nella forma y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) + + a n 1 y + a n y =, (4.1) con a 1,... a n numeri reali, e n 1. Con le posizioni y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,... y n = y (n 1), la (4.1) può essere scritta nella forma vettoriale, o di sistema, y 1 = y 2, y 2 = y 3,... y n 2 = y n, y n = a ny 1 a n 1 y 2 a 1 y n. (4.2)

10 1 DANIELE ANDREUCCI La corrispondente matrice dei coefficienti è data da A = (4.3) a n a n 1 a n 2... a 1 Seguendo le idee del paragrafo 3.1, siamo interessati a trovare gli autovalori di A. Vale Proposizione 4.1. Per ogni λ R si ha ( 1) n det(a λi) = λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n 1 λ + a n. (4.4) Dimostrazione. Procediamo per induzione. Per n = 2 det(a λi) = λ 1 a 2 a 1 λ = λ2 + a 1 λ + a 2. Quindi la (4.4) è verificata in questo caso. Supponiamo poi lo sia nel caso n 1. Allora vale λ 1... λ 1... det(a λi) = a n a n 1 a n 2... a 1 λ λ = λ ( 1) n a n λ a n 1 a n 2... a 1 λ... 1 = λ( 1) n 1 (λ n 1 + a 1 λ n 2 + a 2 λ n a n 1 ) + ( 1) n a n Si è usata qui l ipotesi di induzione. = ( 1) n (λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n 1 λ + a n ). Definizione 4.1. Il polinomio nel termine di destra della (4.4) si dice polinomio caratteristico dell equazione (4.1), mentre l equazione si dice equazione caratteristica. λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n 1 λ + a n = (4.5) Procedendo come indicato nel paragrafo 3.1 si perviene al seguente metodo di calcolo dell integrale generale della (4.1): (1) Determinare tutte le radici dell equazione caratteristica (4.5); indichiamo con λ 1,... λ r le radici reali distinte, e con α 1 ± iβ 1,... α s ± iβ s le radici complesse coniugate distinte (i è l unità immaginaria, e α k, β k sono reali). (2) Ad ogni radice reale λ k, di molteplicità algebrica 1 ν k n si associano le ν k funzioni e λ kt, te λ kt, t 2 e λ kt,... t ν k 1 e λ kt. (4.6)

11 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 11 (3) Ad ogni coppia di radici complesse coniugate α k ± iβ k, di molteplicità algebrica 1 ν k n si associano le 2 ν k funzioni sin(β k t)e α kt, t sin(β k t)e α kt,... t ν k 1 sin(β k t)e α kt, cos(β k t)e α kt, t cos(β k t)e α kt,... t ν k 1 cos(β k t)e α kt. (4) Le funzioni in (4.6) e in (4.7) sono in numero di ν ν r + 2 ν ν s = n, (4.7) e costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni di (4.1), ossia ogni soluzione di quest ultima si esprime come combinazione lineare a coefficienti costanti di tali funzioni.