F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/2009 1

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1 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ FABIO PETRI COMPLEMENTI DI MICROECONOMIA A.A versione riveduta - Maggio 2009Insegnamento di Microeconomia - Facoltà di Economia - Sede di Arezzo Attenzione: questi Complementi sono parte integrante del programma di esame e vanno imparati molto bene. Essi colmano alcune lacune del testo consigliato: Robert Frank, Microeconomia, 4a edizione (McGraw-Hill, 2007). Nella Premessa Matematica lo studente troverà un rapido ripasso delle nozioni di matematica assolutamente indispensabili per il corso: alcune delle domande delle prove scritte saranno sugli argomenti di questa Premessa. E possibile che alcune di queste nozioni non siano state spiegate nel corso di Matematica Generale (per grave mancanza del docente, perché fanno parte del programma di quel corso deciso dai consigli di corso di laurea); bisogna allora impararle, sono fondamentali per gli studi economici. L'esposizione in questi Complementi è molto concisa, lo studente si assicuri di aver capito bene ogni passaggio e di saperlo esporre ad alta voce prima di andare avanti. Alcune note a piè di pagina espongono nozioni non richieste dal programma di esame, e sono indicate con la scritta (Nota che non è necessario imparare). Se ne suggerisce ugualmente la lettura, come stimolo culturale per lo studente interessato. Nelle ultime pagine oltre al programma dettagliato vi sono suggerimenti su come affrontare le prove di esame, sia per gli esercizi che per le domande orali. PREMESSA MATEMATICA 1. Questa Premessa ricorda allo studente cosa si suppone che egli/ella sappia di matematica per questo corso. Se alcune delle nozioni qui menzionate sono state omesse nell insegnamento di Matematica Generale (nonostante siano previste dalla Facoltà come parte obbligatoria del programma), lo studente deve ugualmente impararle - adesso -, sono indispensabili per Microeconomia e ancora più indispensabili per insegnamenti successivi. Questa Premessa contiene il minimo che bisogna assolutamente sapere, ma consiglio caldamente per arrivare a saper usare quanto qui riassunto la lettura almeno dei capitoli rilevanti del testo molto semplice di Samuel G. B. Henry, Elementi di matematica per lo studio dell'economia. (Oppure dei capitoli rilevanti di R. G. D. Allen, Analisi matematica per economisti.) Si presuppone che lo studente, avendo frequentato Matematica Generale, sappia: - cosa significa risolvere un sistema di equazioni, - cosa è una funzione di una variabile, - come rappresentare graficamente su un sistema di assi Cartesiani vari tipi di funzione (ad es. y=ax+b; y=1/x; y=ln x (o ln(x) o log x); y=x 2 ; y=e x ), - quando una funzione è concava e quando è convessa (rispetto all asse orizzontale), - cosa è la derivata di una funzione di una variabile, e la sua interpretazione geometrica, - le regole di derivazione. Ripetiamo cosa vuol dire convessità o concavità di una funzione, perché è importante in teoria economica. Prima una definizione grafica, più intuitiva, e poi quella 1

2 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ formale. In economia, una funzione continua y=f(x) si dice concava in un dato intervallo del suo dominio se, in quell intervallo, rappresentando graficamente la funzione in un sistema di assi cartesiani con x sull asse orizzontale, presi due qualsiasi valori x e x di x in quell intervallo, il grafico della funzione tra quei due punti non va mai al di sotto del segmento che congiunge i due punti del grafico (x,f(x )) e (x,f(x )); la si dice strettamente concava se il grafico tra x e x è sempre interamente al di sopra di quel segmento, eccetto ovviamente agli estremi dove grafico e segmento coincidono necessariamente. Una funzione rettilinea è concava ma non strettamente concava. Una funzione continua y=f(x) si dice invece convessa in un intervallo se per ogni x e x nell intervallo il suo grafico tra x e x non va mai al di sopra del segmento che congiunge i due corrispondenti punti del grafico, e si dice strettamente convessa se il suo grafico è sempre al di sotto del segmento (eccetto ovviamente agli estremi). Definizione formale: f(x) è concava in un intervallo se per ogni x, x in quell intervallo è (*) f(αx +(1-α)x ) αf(x )+(1-α)f(x ) per 0 α 1; è strettamente concava se la disuguaglianza è stretta eccetto in x e x (cioè per 0<α<1); la funzione invece è convessa se la disuguaglianza in (*) è, ed è strettamente convessa se questa disuguaglianza è stretta (eccetto che in x e x ).[ 1 ] y=f(x) y=f(x) x x una funzione strettamente concava una funzione strettamente convessa La distinzione tra semplice concavità e concavità stretta, o tra semplice convessità e convessità stretta, è importante: la semplice concavità o la semplice convessità non escludono tratti rettilinei del grafico della funzione, al contrario della concavità o convessità strette; e si noti che se f(x) è una retta, allora è allo stesso tempo concava e convessa, ma né strettamente concava, né strettamente convessa. Gli economisti, che talvolta sono terminologicamente un po approssimati, spesso usano il termine funzione concava o funzione convessa per intendere funzione strettamente concava, o strettamente convessa. Una piccola aggiunta sulla simbologia della derivata. La derivata di y=f(x) si indica 1 Per capire la (*), si definisca y f(x ) e y f(x ), e si noti che, al diminuire di α da 1 a 0, il valore di x=αx +(1-α)x si sposta gradualmente da x a x, e il corrispondente valore di y=f(αx +(1-α)x ) si sposta gradualmente da y a y disegnando in tal modo il grafico della funzione tra x e x ; invece il punto αf(x )+(1-α)f(x ) si sposta lungo il segmento che congiunge i punti (x,y ) e (x,y ), infatti dati due punti di coordinate (x, y ) e (x, y ) in un piano, il segmento che li congiunge è l insieme dei punti di coordinate (αx +(1-α)x, αy +(1-α)y ) per 0 α 1 (lo si controlli su un foglio a quadretti: tracciato un sistema di assi cartesiani, si scelgano due punti nel piano, si tracci il segmento che li unisce, e si verifichi che i punti che si ottengono come indicato per α=1/4, 1/2, 3/4 giacciono sul segmento). 2

3 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ in vari modi, ad es D x f(x), f '(x), df(x)/dx, dy/dx. Gli ultimi due modi, molto usati in economia, indicano la derivata come rapporto tra differenziale della f(x) (che si indica con df(x) o con dy) e differenziale della x. Ricordiamo che il differenziale di una funzione derivabile y=f(x) è per definizione df(x) f ' (x) Δx, dove f ' (x) è la derivata di f(x), e Δx è una qualsiasi variazione della x a partire dal valore della x in cui si calcola la derivata; ricordiamo che il differenziale della funzione identica f(x)=x è dx Δx perché la derivata di f(x)=x è 1; pertanto nella definizione generale del differenziale si può anche sostituire Δx con dx e si ottiene la definizione più usata, dy df(x) f ' (x) dx. Assegnato il punto x in cui si vuol calcolare il differenziale, la grandezza df(x) è definita solo una volta assegnato dx, ed è direttamente proporzionale a dx; il loro rapporto dy/dx è uguale alla derivata della f(x). Questo spiega come mai la derivata si possa indicare anche come df(x)/dx. Interpretazione geometrica: nella frazione df(x)/dx al denominatore c è una variazione della x a partire dal valore della x in cui si vuol calcolare la derivata, e al numeratore c è la variazione di y corrispondente alla assegnata variazione della x, ma calcolata non lungo la curva f(x) bensì lungo la retta tangente alla curva f(x) nel punto (x,f(x)) in cui si vuol calcolare la derivata. La derivata misura appunto il coefficiente angolare della retta tangente alla curva f(x), ovviamente se tale retta tangente esiste. Assegnato x, la grandezza di dx determina df(x), ma il rapporto df(x)/dx non cambia al variare di dx, perché è semplicemente il coefficiente angolare della retta tangente. y=f(x) f(x) dx df(x) x Possiamo trattare dx Δx e df(x) come delle variabili su cui si possono effettuare operazioni algebriche: ad es. il limite, per Δx 0, del rapporto tra variazione proporzionale Δf ( x) f ( x) di f(x) e variazione proporzionale di x che la causa, e cioè il limite di per Δx 0, Δx x df ( x) f ( x) df ( x) x viene anche scritto e lo si considera equivalente a = f '(x) x/f(x). E' dx dx f ( x) x l'elasticità (puntuale) di f(x). (Data una qualsiasi funzione y=f(x), l elasticità discreta della funzione per x che varia da x a x, posti Δx=x -x, y =f(x ), Δy=f(x )-y, è definita come 3

4 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ [Δy/y ]/[Δx/x ]; essa è il rapporto tra variazione percentuale della y e variazione percentuale della x. L elasticità puntuale, o elasticità senza aggettivi, è il limite dell elasticità discreta per Δx tendente a zero; se f(x) è derivabile, essa è data da [dy/y]/[dx/x] ovvero f (x) x/f(x) ; approssimativamente, esprime di che percentuale varia la variabile dipendente se la variabile indipendente aumenta dell 1%; ha lo stesso segno della derivata dy/dx.) Lo studente si assicuri di ricordare le regole sugli esponenti (in particolare (x a ) b =x ab, x 1/n = n x, x -a =1/x a ), e le principali regole di derivazione; in particolare ricordila derivata di f(x)=ax b è abx b-1,la derivata di f(x)=ln x (logaritmo naturale di x) è 1/x, la derivata di 1/x è - 1/x 2, e ripassi le regole di derivazione del prodotto di due funzioni e del rapporto tra due funzioni. Quindi ripassi: a) cosa è la funzione inversa x=f -1 (y) di una funzione y=f(x), e qual'è la sua derivata: in particolare si eserciti a ricavare la funzione di domanda inversa p=φ(q) dalla funzione di domanda q=f(p), ad es se q=100-2p controlli che p=50 q/2. La regola di derivazione è df - 1 (y)/dy = 1/f '(x); la si verifichi per la funzione di domanda inversa. b) cosa è una funzione composta o funzione di funzione z(x)=f(g(x)) risultante da z=f(y) e y=g(x), e che la derivata è dz/dx = f '(y) g'(x).[ 2 ] 2. Una funzione di più variabili è una regola che permette di passare dai valori di più variabili indipendenti al valore della variabile dipendente. Ad esempio l'area A di un rettangolo è data dal prodotto di base b per altezza h; A=f(b,h)=bh è una funzione di due variabili, che ci permette di determinare il valore di A per ogni assegnata coppia di valori di b e h. Geometricamente, z=f(x,y) se continua è una superficie nello spazio, che, stabilito un sistema di 3 assi cartesiani, ad ogni punto (x,y) nel piano individuato dai due assi orizzontali associa un punto z=f(x,y) sull'asse verticale, e individua dunque un punto di coordinate (x,y,f(x,y)) nello spazio (vedi Frank p. 87 per un grafico). Si possono avere anche funzioni di più di due variabili, ad es. il volume di un parallelepipedo è funzione di tre variabili: larghezza, lunghezza e altezza. Il dominio di una funzione di due variabili è una porzione del piano (x,y), o eventualmente l intero piano. Ad esempio l area A di un rettangolo vista come funzione di base x e altezza y ha come dominio il quadrante non negativo del piano (x,y) giacché base e altezza sono numeri non negativi. 3. Sia data una funzione di due variabili z=f(x,y) che indichiamo anche come z(x,y); fissiamo il valore della variabile y a un dato livello y*; allora z(x,y*) diventa funzione della sola x, dunque è una funzione di una sola variabile; possiamo dunque calcolarne la derivata 2 Si calcoli come esercizio la derivata dz/dx della funzione z=f(g(x)) dove z=f(y)=ay 2 e y=g(x)=-1/x [R. -2a/x 3 ]. Poi si calcoli la derivata di z(x)=ln (1/x), trattandola come funzione di funzione: z=ln y e y=1/x [R. -1/x]. 4

5 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ rispetto a x, che si chiama derivata parziale rispetto a x per y=y* e si indica z( x, y*) z( x, y) oppure. Esempio: sia z(x,y)=2x 2 y 3 ; fissiamo y=2; allora z=16x 2 e x x y= y* z( x, y) =32x. Si noti che il valore della derivata parziale sarebbe stato diverso se x y= 2 avessimo fissato un diverso valore di y. Possiamo anche lasciare non specificato il valore di y: trattiamo y 3 z( x, y) come una costante e troviamo = 4xy 3 ; in questa forma otteniamo, si x noti, di nuovo una funzione di due variabili, utile tutte le volte che non si sa ancora che z( x, y) valore assegnare alla y. Analogamente possiamo trovare che indica la derivata y della funzione z(x,y) rispetto a y, trattando x come una costante per cui z(x,y) diventa z( x, y) funzione della sola y; nell esempio già visto troviamo = 6x 2 y 2 che ci dice che se ad y esempio fissiamo x al valore x*=2 allora la derivata parziale di z(x,y) rispetto alla y è 24y 2. Geometricamente (si vedano i grafici su qualche testo di matematica) si intersechi la superficie z(x,y) con un piano verticale perpendicolare all'asse y e passante per il punto y*; la curva risultante dall'intersezione è la funzione z(x,y*), funzione della sola x; la derivata parziale rispetto alla x per y=y* è il coefficiente angolare della retta tangente a tale curva; essa indica, intuitivamente parlando, di quanto varia z se aumentiamo x di una (piccola) unità a partire dal punto (x,y*) e manteniamo fissa la y al valore y*. Più rigorosamente, la derivata parziale indica di quanto varia z se aumentiamo x di una unità e, mantenendo y fisso, facciamo variare z non lungo la effettiva curva z(x,y*) bensì lungo la retta tangente a quella curva in (x,y*). Le derivate parziali si trovano con le stesse regole di derivazione delle derivate di funzione di una sola variabile, trattando il valore o il simbolo dell'altra variabile (o delle altre variabili, se la funzione è funzione di più di due variabili) come una costante. Ad es. se y=f(x 1,x 2,x 3 ) = x 2 1 x 2 2 +x 3 1 x 3 3 +x 2 x 2 y 3, allora = 2x1 x x 2 1 x 3 y 3, = 2x 2 1 x 2 +x 2 y 3, = x 1 x 2 x 3 3x 3 1 x x 2 x 3. Lo studente come esercizio trovi le derivate parziali della funzione Cobb-Douglas classica y=x α 1 x 1-α 2 (con 0<α<1); questa, se è una funzione di produzione, ha rendimenti di scala costanti (lo si verifichi!) e le sue derivate parziali rappresentano i prodotti marginali; lo studente verifichi che il saggio di sostituzione tecnica MRTS (il rapporto tra le derivate α x2 parziali) è dato da. ( 1 α) x 1 4. Data una funzione continua f(x,y), se imponiamo che tale funzione debba avere valore zero, ciò (sotto assunzioni in genere soddisfatte nelle applicazioni economiche) vincola y a variare in modo univoco al variare di x, purché per ogni x vi sia un solo valore 5

6 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ di y che soddisfi f(x,y)=0. Ad esempio se f(x,y)=ax+by-c con a, b, c costanti, allora f(x,y)=0 significa che deve essere y=(c-ax)/b. Si dice allora che f(x,y)=0 rende y funzione implicita di x; la regola y=φ(x) che stabilisce come deve variare y al variare di x affinché sia sempre f(x,y)=0 è appunto la funzione implicita generata da f(x,y)=0. Nell'esempio appena fatto è stato possibile esplicitare tale funzione implicita. Ciò non è sempre possibile; ma anche quando è possibile, non è necessario se ciò a cui si è interessati è solo la derivata dy/dx=φ'(x); ciò perché se la f(x,y) ha derivate parziali, è possibile trovare la derivata di φ(x) senza bisogno di esplicitare la funzione implicita, il che spesso è molto comodo; la regola è f ( x, y) / x dy/dx =. f ( x, y) / y (Da imparare a memoria! Si faccia bene attenzione a quale derivata parziale è al numeratore e quale al denominatore, e al segno meno.) La si verifichi sulla esplicitazione della funzione implicita ottenuta nell'esempio f(x,y)=ax+by-c=0. Un legame tra x e y rappresentato da y=φ(x) si può sempre mettere in forma implicita cioè nella forma f(x,y)=0 semplicemente scrivendo y-φ(x)=0; talvolta il legame è rappresentato da uguaglianze del tipo g(x,y)=h(x,y) e anche in questo caso si può mettere nella forma implicita f(x,y)=0 scrivendo g(x,y)-h(x,y)=0. Per poter usare la regola di derivazione di funzione implicita, il legame va messo appunto nella forma f(x,y)=0. Ad esempio se deve essere soddisfatta la relazione xy=x+y 2 +2, per trovare dy/dx con la regola di derivazione di funzione implicita bisogna scrivere xy-x-y 2-2=0. Data una funzione f(x,y), il legame stabilito tra x e y dall espressione f(x,y)=0 non genera necessariamente una funzione implicita y= φ(x); per un dato valore della x, vi possono essere più valori della y che soddisfano f(x,y)=0; anche in questi casi, può tuttavia ottenersi una funzione implicita tramite vincoli addizionali. Si consideri come esempio la funzione z=x 2 +y 2 c 2, dove c è un numero positivo dato; ponendola pari a zero si ottiene x 2 +y 2 =c 2, che è l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio assegnato c. Questa equazione non determina y come funzione univoca di x perché (se si eccettua y=0) y 2 ha due radici, una positiva e una negativa; ma se si aggiunge il vincolo che y deve avere valori non negativi, allora y è funzione implicita della x; se inoltre restringiamo anche la x a valori non negativi, allora la funzione è biunivoca (e dunque invertibile), il suo grafico è la porzione di circonferenza nel solo quadrante non negativo; in tal caso la y=φ(x) implicitamente definita da x 2 +y 2 c 2 =0, x>0, y>0, potrebbe essere una curva di domanda inversa, con x quantità e y prezzo; con la regola di derivazione di funzione implicita ricaviamo che dy/dx = x/y, e dx/dy= y/x; questo ci permette di trovare (provateci!) elasticità della curva di domanda, e ricavo marginale, senza dover esplicitare la funzione y=φ(x) implicita in x 2 +y 2 c 2 =0. Data una funzione z=f(x,y), assegnato un valore z* alla z si ottiene l equazione f(x,y)=z* ovvero f(x,y) z*=0. Interpretando f(x,y) come una superficie nello spazio, i punti di tale superficie che soddisfano f(x,y)=z* hanno tutti la stessa altezza; li si ottiene 6

7 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ intersecando la superficie con un piano orizzontale di altezza z*. Se la superficie è continua, si ottiene una curva continua, detta curva di isoaltitudine o curva di livello; per ogni diverso valore z* si ottiene una diversa curva di livello. Le proiezioni di tali curve sul piano orizzontale (x, y, z=0) sono dette anche esse curve di livello, e proiettandone più di una si ottiene una mappa di curve di livello che, non appena chiarito in quale direzione si passa a curve di livello indicanti un altezza maggiore, permette di ottenere un idea dell andamento della superficie senza dover usare un grafico tridimensionale. Nelle carte geografiche, le mappe di curve di isoaltitudine delle superfici emerse, o di curve di isoprofondità dei mari, sono esempi di mappe di curve di livello. In economia, sono mappe di curve di livello i grafici con varie curve di indifferenza, o rette di bilancio, o isoquanti, o isocosti. Nel grafico a p. 87 del Frank sono curve di livello della funzione di utilità u(x,y) le curve JK e LN, le cui proiezioni sul piano orizzontale (x,y) sono curve di indifferenza. Lo studente provi a tracciare un grafico analogo per mostrare che le rette di bilancio sono anche esse proiezioni sul piano (x,y) di curve di livello di una superficie (una superficie corrispondente a quale funzione z=f(x,y)?). 5. Per una funzione di due variabili z(x,y) che traccia nello spazio una superficie continua e 'liscia' (cioè senza spigoli) e dunque dotata in ogni punto di piano tangente e derivate parziali, assegnato un punto (x,y) del dominio della funzione, e assegnate variazioni dx della x e dy della y a partire da esso, si definisce differenziale totale dz la variazione di z rispetto a z(x,y) definita da z z dz = dx + dy. x y Il differenziale totale dà la variazione di z calcolata non lungo l'effettiva superficie z(x,y) bensì lungo il piano tangente a z(x,y) nel punto (x,y). Per variazioni piccolissime di x e di y il differenziale totale dà un'ottima approssimazione alla effettiva variazione di z perché il piano tangente praticamente coincide con la superficie z(x,y); la variazione di z può allora essere considerata come la somma di due variazioni, la prima dovuta alla z variazione di x con y invariato, rappresentata da dx, e la seconda dovuta alla variazione x z di y con x invariato, rappresentata da dy. Una funzione continua di due variabili si dice y differenziabile quando in ogni punto della sua superficie esiste un piano tangente ad essa. (Attenzione: Il fatto che in un punto (x,y) la funzione f(x,y) abbia tutte le derivate parziali non garantisce che esista il piano tangente alla superficie nel suo punto (x, y, f(x,y)); questo esisterà solo se le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno di (x,y), ma non possiamo qui approfondire.) Di nuovo, dz, dx e dy possono essere manipolati algebricamente e ciò permette di arrivare in modi facilmente memorizzabili a vari risultati; ad esempio, alla regola di derivazione di funzioni implicite: se deve essere z=f(x,y)=0 allora dx e dy devono essere 7

8 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ f f legati l'uno all'altro in modo da dare dz dx + dy = 0, cioè le due variazioni di z x y f indotte da dx e da dy si devono neutralizzare, il che si può riscrivere dy/dx = x che è f y appunto la regola di derivazione di funzione implicita. Oppure supponiamo che, data una funzione di due variabili z=z(x,y), sia x sia y siano funzioni di un'altra variabile t, x=x(t), y=y(t), entrambe derivabili con derivate x'(t) e y'(t); variazioni di t fanno variare z sia attraverso l'influenza di t su x, sia attraverso l'influenza di t su y; possiamo allora considerare z funzione indiretta di t; la derivata di questa funzione indiretta si chiama derivata totale di z(x(t),y(t)) rispetto a t, e la si indica dz(x(t),y(t))/dt. Per determinare la derivata totale basta notare che dx=x'(t) dt e dy=y'(t) dt; z z sostituendo ciò in dz = dx + dy e dividendo entrambi i lati per dt si ottiene x y dz ( x( t), y( t)) z z = x' ( t) + y' ( t). dt x y z dx z dy L'espressione sul lato destro viene anche scritta +. x dt y dt In particolare se t=x e dunque è z=z(x,y(x)), la derivata totale dz(x,y(x))/dx va z z dy tenuta ben distinta dalla derivata parziale z/ x, e si ha dz(x,y(x))/dx = +. Ad x y dx esempio se z(x,y)=x 2 +2y e se y=ax 3, è z/ x=2x, dz/dx=2x+6ax In economia spesso bisogna massimizzare o minimizzare qualcosa, ad esempio massimizzare l'utilità, o minimizzare il costo. Consideriamo funzioni y=f(x) di una variabile, derivabili. E' evidente che se per un assegnato x* interno al dominio della funzione[ 3 ] è dy/dx>0, aumentando x anche y aumenta e x* non è punto di massimo; mentre se è dy/dx<0, y aumenta se x diminuisce e dunque di nuovo x* non può essere punto di massimo. Ne segue che condizione necessaria affinché x* interno sia punto di massimo è che in quel punto sia dy/dx=0. Questa condizione però non è sufficiente per ottenere un massimo; essa dice soltanto che la retta tangente in quel punto alla curva y=f(x) è orizzontale. Ma questo può verificarsi sia perché siamo nel punto più alto di un tratto in cui f(x) è concava, ad es. per x=x* nel grafico qui sotto, sia perché siamo nel punto più basso di un tratto dove f(x) è convessa, ad es. per x=x nello stesso grafico; e anche nel primo di questi due casi, che sia dy/dx=0 garantisce soltanto che per piccoli allontanamenti da quel punto f(x) diminuisce (o almeno non aumenta - questo si ha se f(x) è un segmento orizzontale in un intorno di quel punto); potrebbe però essere che, allontanandosi a 3 E cioè la funzione f(x) è definita anche per x*+ε e per x*-ε, purché ε sia sufficientemente piccolo. Se invece per quanto piccolo ε in una delle due direzioni si esce dal dominio della funzione (ad esempio se f(x) è definita solo per x non negativo, e se x*=0), allora x* si dice di frontiera o estremo. 8

9 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ sufficienza da quel punto, la funzione f(x) finisca per superare il valore che aveva in quel punto; è quel che si verifica nel grafico qui sotto se x diminuisce a sufficienza. Si dice allora che x* è un punto di massimo locale ma non di massimo globale; se invece non esiste nessun altro x tale che f(x)>f(x*) allora x* è di massimo globale. f(x*) y O x* x c f(x) Se df(x)/dx=0 allora anche d(-f(x)) /dx = 0, dunque la condizione dy/dx=0 non distingue tra punti di massimo e di minimo locali, ed è dunque condizione necessaria anche per i punti di minimo locale (e quindi anche globale) interni. Per accertare se un punto x*, dove dy/dx=0, è di massimo o di minimo locale bisogna guardare se in quel punto la funzione è concava (allora si ha un massimo) o convessa (si ha un minimo), il che ci viene detto dal segno (negativo o almeno non positivo nel caso di concavità, positivo o almeno non negativo nel caso di convessità) della derivata della derivata di f(x), la derivata seconda[ 4 ]; per distinguerle meglio, la derivata di f(x) viene anche detta derivata prima. (Esempio di derivata seconda: la derivata di f(x)=x 3 +x 2 è f '(x) = 3x 2 +2x; possiamo calcolare la derivata, che si indica con f ''(x), di questa derivata prima ed è 6x+2. In questo esempio la derivata prima si annulla in x=0, dove la derivata seconda è positiva, dunque in x=0 la funzione è convessa e pertanto ha un punto di minimo.) La condizione che la derivata prima sia zero viene detta condizione del primo ordine, ed è condizione necessaria ma non sufficiente per un massimo (o un minimo) locale. La condizione sulla derivata seconda viene detta condizione del secondo ordine: se la condizione del primo ordine è soddisfatta, allora una derivata seconda negativa è condizione sufficiente per un massimo locale, una derivata seconda positiva è condizione sufficiente per un minimo locale. La ricerca del massimo globale va effettuata individuando i punti di massimo locale, e confrontando i valori di f(x) in quei punti. La condizione df(x)/dx=0 (per f(x) concava) ci 4 Se la derivata seconda è negativa, la derivata prima diminuisce all aumentare di x e pertanto è positiva a sinistra dello x* dove vale zero ed è negativa a destra, il che vuol dire che la funzione è crescente a sinistra di x* e decrescente a destra, dunque è localmente (strettamente) concava e ha in x* un massimo locale. Lo studente ricavi da solo il ragionamento analogo che dimostra che se in x* la derivata prima è zero e la derivata seconda è positiva, la funzione ha in x* un minimo locale. Se anche la derivata seconda è zero, si calcola la derivata della derivata seconda, detta derivata terza, e eventualmente anche derivate ancora superiori. Se sono tutte zero, vuol dire che la funzione è localmente una retta orizzontale, dunque x* è localmente sia di massimo che di minimo. 9

10 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ individua i punti di massimo locale interni al dominio della funzione. Se la funzione ha dominio che non coincide con R, ad es. se x non può essere negativo, allora è possibile che il massimo globale sia 'di frontiera' cioè in un estremo del dominio e che la condizione "derivata nulla" non sia lì rispettata; nel grafico qui sopra, se deve essere x 0, il massimo globale è appunto in x=0 dove la derivata non è nulla. Condizione necessaria affinché un x* di frontiera sia massimo locale è che, se il dominio è limitato a sinistra (come ad es. nel caso f(x) definita solo per x 0, e x*=0), allora la derivata destra di f(x*) deve essere non positiva, se il dominio è limitato a destra (come ad es. nel caso f(x) definita solo per x c nel grafico aui sopra, e x*=c) la derivata sinistra di f(x*) deve essere non negativa. Basta tracciare il grafico per comprendere perché. La ricerca del massimo globale deve includere anche i valori di x di frontiera dove sia soddisfatta la condizione necessaria affinché siano massimi locali. Solo se possiamo essere sicuri che il massimo globale è interno e la funzione è derivabile, è legittimo restringere la ricerca ai punti x dove si ha che f '(x)=0. La ricerca di un minimo si può formulare come ricerca di un massimo ponendo il segno meno davanti alla funzione da minimizzare. Minimizzare f(x) è infatti equivalente a massimizzare f(x), ad esempio minimizzare x 2 è equivalente a massimizzare (x 2 ), in entrambi i casi la soluzione è x=0 (si disegnino i grafici delle due funzioni). Si tenga presente che se f(x) è concava, allora f(x) è convessa, e viceversa. Se il grafico di f(x) è un segmento di retta orizzontale in un intorno di x*, allora x* è sia punto di massimo locale, sia punto di minimo locale. Infatti affinché x* sia di massimo locale, basta che f(x*) sia non inferiore a f(x) in un intorno di x, non è necessario che sia superiore; analogamente affinché x* sia di minimo locale basta che f(x*) sia non superiore a f(x) in un intorno di x. Il dover cercare e confrontare tutti i punti di massimo locale diventa non necessario se sappiamo che f(x) è strettamente concava; allora si può dimostrare che vi è non più di un massimo locale, e se questo esiste[ 5 ] è anche massimo globale, lo si controlli facendo dei grafici; in questo caso se esiste un x nel dominio della funzione dove la condizione df(x)/dx=0 è soddisfatta[ 6 ], è di massimo globale. 7. Se bisogna massimizzare senza vincoli una funzione di due variabili y=f(x 1,x 2 ) che genera una superficie nello spazio tridimensionale, bisogna trovare il punto di massima altezza della superficie. Se questa è una superficie senza spigoli ('liscia'), dunque dotata in ogni punto di piano tangente ad essa, il punto di massima altezza dovrà essere un punto dove il piano tangente alla superficie è orizzontale (come alla sommità di una cupola), il che richiede come condizione necessaria (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali siano nulle (se una di esse fosse diversa da zero, allora vi sarebbe una variazione della 5 Attenzione: non è detto che un massimo esista. Ad esempio y=x 2, o y=ln x, non hanno massimo se il dominio è R+; possono avere un massimo solo se si restringe il dominio. 6 Un tale x non è detto che esista, ad esempio non esiste se la funzione è strettamente crescente o decrescente su tutto il dominio; in tali casi, se il dominio è limitato, il massimo si avrà a un estremo. 10

11 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ corrispondente variabile indipendente che farebbe aumentare y). Le condizioni sufficienti sono più complicate, ma è intuitivo che si avrà un massimo locale se la funzione è localmente strettamente concava cioè localmente a forma di cupola, il che richiede, come condizione necessaria, che le derivate parziali siano localmente decrescenti e cioè che le derivate parziali seconde (le derivate parziali delle derivate parziali[ 7 ]) siano negative; il punto dove il piano tangente è orizzontale è il vertice della cupola. (Si avrà un minimo locale se la funzione è localmente strettamente convessa, allora è localmente a forma di scodella, e il punto dove il piano tangente è orizzontale è il fondo della scodella.) Il massimo sarà poi globale se la funzione è ovunque strettamente concava. Ma più spesso in economia si richiede di massimizzare una funzione f(x 1,x 2 ) sotto il vincolo che x 1 e x 2 possono variare solo entro un dominio ristretto. Il risultante punto di massimo (x 1,x 2 ), se esiste, viene detto di massimo vincolato, mentre la soluzione di un problema di massimizzazione senza vincoli viene detta punto di massimo libero. Ad esempio sia C=w x x+w y y il costo di produzione da minimizzare, funzione degli impieghi di due fattori x e y aventi prezzi w x e w y ; tale minimizzazione, che si può indicare come max ( C), se fosse senza vincoli porterebbe a concludere che bisogna non produrre x1, x2 affatto (è il modo per minimizzare il costo!); in realtà il problema ha senso solo con il vincolo che gli impieghi dei fattori devono permettere di produrre una data quantità desiderata Q*, dunque, se la funzione di produzione è f(x,y): max ( C) sotto il vincolo f(x,y)=q*. x1, x2 Qui il vincolo rende y funzione implicita di x; x e y possono variare solo entro l'insieme di coppie (x,y) che soddisfa quel vincolo. Indichiamo tale funzione implicita come y=y(x), implicitamente determinata da f(x,y) Q*=0; sostituendo a y la y(x) nella funzione C(x,y) il problema diventa di minimizzazione libera della funzione di una variabile C(x, y(x)), ovvero di massimizzazione libera di C(x, y(x)), per cui (per massimi interni) condizione necessaria è che la sua derivata si annulli. La regola della derivata totale implica d( C)/dx = dc/dx = [ C/ x+( C/ y dy/dx)]; nel caso, essendo C=(w x x+w y y(x)), abbiamo che C/ x=w x, C/ y=w y, e non è necessario conoscere la forma esplicita di y(x) perché ci serve solo la sua derivata e per la regola di derivazione di funzione implicita abbiamo che f ( x dy/dx = 1, x2) / x1 = MP 1 /MP 2. La condizione che la derivata di (w x x+w y y(x)) sia f ( x1, x2) / x2 nulla ci dà pertanto [w x w 2 MP 1 /MP 2 ] = 0 che può essere riscritta w 1 /w 2 = MP 1 /MP 2. Questa è la nota condizione di tangenza tra isocosto e isoquanto. Vediamo così un primo metodo per la massimizzazione sotto vincolo: nella funzione 7 La derivata parziale di una funzione di due o più variabili è essa stessa una funzione di tutte quelle stesse variabili, e se ne possono allora calcolare le derivate parziali, che sono dette derivate parziali seconde. Ad esempio se z=x a y 1-a, è z/ x=ax a-1 y 1-a, di cui possiamo calcolare le derivate parziali ( z/ x)/ x e ( z/ x)/ y, che per brevità si usa rappresentare più sinteticamente come rispettivamente 2 z/ x 2, e 2 z/( y x); e si ha 2 z/ x 2 =a(a-1)x a-2 y 1-a, 2 z/( y x)=a(1-a)x a-1 y -a. Si veda anche oltre. 11

12 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ da massimizzare, ad es. F(x,y), si sostituisce a una delle sue variabili, ad es. alla y, la funzione, ricavata dal vincolo, che la esprime come funzione y(x) dell altra variabile, con il che il vincolo è internalizzato nella F(x,y(x)) che diventa funzione di una sola variabile e il problema diventa un problema di massimo senza vincoli. 8. Purché il massimo sia interno, le condizioni necessarie per un massimo vincolato di una funzione f(x 1,x 2 ) sotto il vincolo g(x 1,x 2 )=0 si possono ottenere anche dalle condizioni per un massimo libero della funzione Lagrangiana associata al problema di massimo vincolato, funzione composta come segue (dove λ è uno scalare da determinare, detto moltiplicatore di Lagrange): L = f(x 1,x 2 ) + λg(x 1,x 2 ). Le tre condizioni del primo ordine per un massimo di questa funzione Lagrangiana sono che siano zero le derivate parziali rispetto a x 1, a x 2 e a λ. Le prime due condizioni sono L / x 1 f/ x 1 +λ g/ x 1 = 0 L / x 2 f/ x 2 +λ g/ x 2 = 0. Spostando a destra dell'uguaglianza il secondo addendo in entrambe le condizioni, e dividendo membro a membro, si elimina λ e si ottiene f g x1 x1 (*) =. f g x x 2 2 La terza condizione, L / λ, ridà il vincolo (**) g(x 1,x 2 )=0. Si ha così un sistema di due equazioni, (*) e (**), che in genere permette di determinare le due variabili x 1 e x 2. Se il vincolo non è in forma implicita va messo in quella forma prima di essere privato della uguaglianza a zero per essere introdotto nella funzione Lagrangiana. Ad es. nella massimizzazione dell'utilità si massimizza u(x 1,x 2 ) sotto il vincolo (di bilancio) p 1 x 1 +p 2 x 2 =m. Questo va riscritto in forma implicita, ad es. (m p 1 x 1 p 2 x 2 )=0, e la funzione Lagrangiana allora è L = u(x 1,x 2 ) + λ(m p 1 x 1 p 2 x 2 ). Lo studente può verificare che la (*) in questo caso è la condizione di tangenza tra retta di bilancio e curva d'indifferenza p 1 /p 2 =MU 1 /MU 2, e la (**) è il vincolo di bilancio; questo sistema di due equazioni permetterà di determinare il paniere ottimo, purché questo sia interno. (Si veda p ) Esercizi Trovare la derivata seconda delle seguenti funzioni di una variabile: 8x 1/2 per x=16 [R. -1/32]; 12

13 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ ax b [R. a(b 2 -b)x b-2 ]; ax b /(cx d ) [R. a(b-d)x b-d-1 /c]; x a ln(x) [R. x a-1 (1 + a ln(x)]. Dimostrare che la derivata di a ln x è uguale alla derivata di ln x a. Si dimostri che y=x 2 è strettamente convessa. Trovare le derivate parziali f(x,y)/ x e f(x,y)/ y di ciascuna di queste funzioni: 2x-3y+1 [R. 2; -3] x 2 +2xy-y 2 [R. 2x+2y ; 2x-2y] per dati valori di a, b, c...: ax-by+c [R. a ; b] ax 2 +2bxy+cy 2 +2dx+2fy+g [R. 2(ax+by+d) ; 2(bx+cy+f)] log(x 2 +y 2 ) [R. 2x/(x 2 +y 2 ) ; 2y/(x 2 +y 2 )] x 2 e y [R. 2xe y ; x 2 e y ] Trovare le derivate parziali seconde, nell ordine 2 f/ x 2, 2 f/ y x, 2 f/ y 2, 2 f/ x y, della terzultima e dell ultima delle funzioni dell esercizio precedente: notate una qualche ripetizione? [R. 2a; 2b; 2c; 2b]. [R. 2e y ; 2xe y ; x 2 ey; 2xe y ]. Trovare dy/dx se y è funzione implicita della x definita da x 2 y 3 =2xy+1 [R. -(2xy 3-2y)/(3x 2 y 2-2x)]. Si tracci il grafico della funzione implicita y(x) definita da -(x-a) 2 =(y-b), con a,b>0, e dimostrare tramite studio della derivata prima che y(x) raggiunge il massimo globale per x=a. Trovare dy/dx dove y è funzione implicita della x definita da x 2 y 3 =2xy. Ricordando che il grafico di x 2 +y 2 =c 2 è una circonferenza nel piano (x,y) con centro all incrocio degli assi e raggio c, provare che x 2 +y 2 +z 2 =c 2, per z>0, è una superficie nel semispazio (x,y,z) al di sopra del piano (x,y), con la forma di una semisfera di raggio c. (Suggerimento: provare che lungo ogni diametro della circonferenza nel piano (x,y) generata da x 2 +y 2 =c 2, indicando con t la distanza dal centro degli assi lungo tale diametro, è t 2 +z 2 =c 2 per cui la curva formata dalla superficie sopra tale diametro è una semicirconferenza.). Trovare (vedi nota 7) le quattro derivata parziali seconde di f(x,y)=x a y 1-a e mostrare che 2 z/( y x) = 2 z/( x y). Trovare le derivate parziali di f(x,y)=ax b y c e di g(x,y)=ln(a) + b ln(x) + c ln(y). Interpretando f e g come funzioni di utilità, dimostrare che danno luogo allo stesso saggio marginale di sostituzione, per cui rappresentano le stesse preferenze. 13

14 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ PARTE PRIMA : Integrazioni alla teoria del consumatore. Quest anno ho preferito adottare il vivace testo di microeconomia del Frank piuttosto che quello del Varian. Ma il programma di Microeconomia include certe nozioni spiegate dal Varian ma non dal Frank, che sono indispensabili per insegnamenti successivi, in particolare Economia dell Organizzazione, Economia Industriale, Economia Pubblica; ho dovuto dunque preparare degli appunti che le spieghino. Essi presuppongono che si sia già letto il Frank sulla teoria del consumatore. MASSIMIZZAZIONE DELL' UTILITA' Vediamo di comprendere bene come si trova la scelta ottima del consumatore. Siano x e y le quantità di due beni (perfettamente divisibili) da cui dipende l utilità di un consumatore. Sia U(x,y) la funzione di utilità, monotòna e differenziabile; assumiamo che le curve di indifferenza siano strettamente convesse; e sia p x x+p y y=m il vincolo di bilancio, dove m è il dato reddito. Il bene x è misurato sull'asse orizzontale (ascissa). Indicherò U/ x, l'utilità marginale del bene x, col simbolo MU x, e analogamente U/ y col simbolo MU y. Per sottolineare che queste utilità marginali sono funzioni di x e di y si può scrivere MU x (x,y), MU y (x,y). Una definizione approssimata ma utile di utilità marginale di un bene: essa indica quanta utilità si perderebbe se si dovesse rinunciare a una (piccola) unità del bene, o quanta se ne guadagnerebbe se si ottenesse una unità in più del bene, invariate restando le quantità degli altri beni. L utilità marginale di un bene il più delle volte (ma non sempre) dipende anche dalla quantità degli altri beni. Ad esempio se la funzione di utilità è u(x,y)=x 1/2 y 1/2, l utilità marginale del bene x quando x=4 è x=2 se y=1, è 2 x=4 se y=4. Invece con la funzione di utilità u(x,y)=x 1/2 +y 1/2 le utilità marginali sono indipendenti dalla quantità dell altro bene. Fatta l ipotesi di preferenze monotòne (il più è meglio), l'utilità è massimizzata quando il consumatore sceglie, tra tutti i panieri che può permettersi, il paniere (o un paniere - potrebbe essercene più di uno) sulla curva di indifferenza più lontana possibile dall'origine lungo un qualche raggio dall origine (ad es., lungo una retta uscente a 45 dall'origine). Per individuare questo paniere ottimo cominciamo col notare che per l'ipotesi di monotonicità, il paniere ottimo è certamente sulla retta di bilancio: infatti se il paniere prescelto è all'interno della retta di bilancio, per comprarlo basta meno del reddito disponibile (dimostratelo!), dunque è possibile comprare un paniere strettamente maggiore, che dà un'utilità più elevata, dunque il primo paniere non può essere ottimo. Possiamo dunque, nella ricerca del paniere ottimo, restringerci ai punti sulla retta di bilancio; lo troveremo muovendoci lungo la retta di bilancio nella direzione che fa aumentare l'utilità. Per trovare questa direzione, graficamente basta avere retta di bilancio e mappa delle curve d indifferenza e guardare in quale direzione ci si sposta a toccare curve d indifferenza più lontane dall origine. Algebricamente, supponiamo di misurare il reddito in unità molto piccole e di trasferire una unità di reddito dall'acquisto di y all'acquisto di x. La quantità acquistata di x aumenta di Δx=1/p x, perché 1/p x è la quantità di x acquistabile con 1 unità di 14

15 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ moneta o reddito, ad es. se lo zucchero costa 8 euro al kg., con 1 euro si può acquistare 1/8 di kg. di zucchero. Per lo stesso motivo la quantità acquistata di y varia di Δy=-1/p y (Δy è un numero negativo). Per piccole variazioni di x, la variazione dell'utilità causata da Δx è, con sufficiente approssimazione, ΔU=Δx MU x, pertanto una unità in più di reddito spesa sul bene x fa aumentare l'utilità di (1/p x ) MU x =MU x /p x. Questa quantità viene detta utilità marginale del reddito speso sul bene x. La quantità acquistata di y diminuisce di 1/p y, e questo fa variare (diminuire) l'utilità approssimativamente di -MU y /p y. Il rapporto MU y /p y viene detto utilità marginale del reddito speso sul bene y. La variazione complessiva di utilità è MU x /p x MU y /p y : l'utilità aumenta se MU x /p x >MU y /p y, diminuisce nel caso opposto. Il consumatore aumenta la sua utilità se, a partire da un dato punto sulla retta di bilancio, sposta una unità di reddito a favore del bene con maggiore utilità marginale del reddito speso su di esso. (Esercizio: qual è questo bene se la curva di indifferenza passante per quel punto è più ripida della retta di bilancio? si utilizzi per rispondere il fatto che MU x /p x >MU y /p y è la stessa cosa di MU x /MU y >p x /p y.) Se le utilità marginali del reddito sono disuguali, conviene spostare ulteriori unità di reddito a favore del bene con maggiore utilità marginale del reddito speso su di esso, finché non si verifica una di due possibilità: a) la differenza tra le due utilità marginali del reddito speso sui due beni diminuisce fino a scomparire. Se ciò si verifica, vuol dire che le curve d'indifferenza sono strettamente convesse (lo studente controlli tramite grafici che non si verificherebbe se le curve d'indifferenza fossero concave o rettilinee). A quel punto gli conviene fermarsi perché ha trovato il punto di tangenza tra retta di bilancio e curva di indifferenza in quanto MU x /p x =MU y /p y è la stessa cosa che MU x /MU y =p x /p y, e se prosegue, per via della stretta convessità delle curve d'indifferenza il segno della disuguaglianza si invertirà. Ha trovato il paniere ottimo. Il paniere ottimo viene detto interno (cioè, interno all'insieme di panieri tra cui sa che deve trovarsi quello ottimo cioè quelli sulla retta di bilancio), che vuol dire che sia x che y sono positivi. A quel punto si ha MU x /p x =MU y /p y, e il valore delle due frazioni uguali viene detto semplicemente utilità marginale del reddito: indica l'aumento di utilità ottenibile con una (piccola) unità di reddito in più. b) per quanto egli sposti la spesa a favore del bene con maggiore utilità marginale del reddito speso su di esso, quest'ultima resta superiore all'utilità marginale del reddito speso sull'altro bene, e il consumatore finisce per allocare tutto il reddito a un solo bene. In tal caso si ha una soluzione d'angolo, in cui x=0 oppure y=0. La si disegni! Lo studente deve saper esporre quanto sopra, e deve saper calcolare il paniere ottimo in esempi numerici in cui l'ottimo sia interno; deve inoltre saper riconoscere, nel caso di perfetti sostituti, se la soluzione sarà d'angolo o indeterminata. Vediamo come si fa nei casi di ottimo interno. Poiché il paniere consiste di due beni, bisogna trovare due quantità, x ottimale e y ottimale. Le si trova risolvendo (per sostituzione o in altro modo) il sistema di due equazioni composto dalla condizione MU x (x,y)/mu y (x,y)=p x /p y (in cui le utilità marginali come funzioni di x e di y sono ottenute derivando la funzione di utilità) e dall'equazione della retta di bilancio p x x+p y y=m. I dati 15

16 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ sono la funzione di utilità, i prezzi e il reddito. Esempio. Sia U(x,y)=x 1/2 +y 1/2, p x =4, p y =1, m=40. (Si ricordi che x 1/2 = x.) Con le regole di derivazione parziale troviamo MU x = u/ x=1/(2x 1/2 ), MU y =1/(2y 1/2 ), dunque la prima equazione è (y/x) 1/2 =4 il che vuol dire che y/x=16, dunque y=16x. La seconda equazione è 4x+y=40. Sostituendo y con 16x in questa seconda equazione, si trova 4x+16x=40 che dà x=2, dunque y=32. Il paniere ottimo è (x,y)=(2, 32). Altro esempio. Sia U(x,y)=x α y β (Cobb-Douglas) con α=1/3, β=2/3, p x =2, p y =4, m=60. Con le regole di derivazione parziale si trova che il saggio marginale di sostituzione della funzione di α y utilità Cobb-Douglas è molto semplice, MU x /MU y = (dimostratelo come esercizio! all'esame β x orale vi potrà essere chiesto di dimostrarlo). Questo nel nostro esempio si semplifica a y/(2x), mentre p x /p y =1/2, dunque la prima equazione è y=x (controllatelo). Sostituendo nell'equazione di bilancio si ha 2x+4x=60 per cui il paniere ottimo è (x,y)=(10, 10). Quanto sopra si applicava a funzioni di utilità con curve di indifferenza strettamente convesse. Nel caso di perfetti sostituti le curve di indifferenza sono rettilinee e può accadere che la retta di bilancio coincida con una di esse, nel qual caso la scelta del consumatore è indeterminata, egli è indifferente tra tutti i panieri sulla retta di bilancio; se tale coincidenza non si verifica, il consumatore compra solo uno dei due beni; riflettendo sul grafico (lo si disegni!) lo studente impari a capire quale bene verrà comprato, se conosce pendenza della curva d'indifferenza e pendenza della retta di bilancio. Se in valore assoluto è maggiore la pendenza della curva d'indifferenza, quale bene viene comprato? Inoltre lo studente deve saper rispondere a questa domanda: perché l'uguaglianza MU x /p x =MU y /p y, o equivalentemente MU x /MU y =p x /p y, NON individua il paniere ottimo se le curve d'indifferenza sono strettamente concave? Tracci il grafico e noti che il punto dove si verifica quell uguaglianza è il punto della retta di bilancio dove l'utilità è minima invece che massima (vi passa la curva d'indifferenza più vicina all'origine, invece che più lontana, tra quelle che hanno almeno un punto in comune con la retta di bilancio). Dunque per utilizzare quell uguaglianza al fine di trovare il paniere ottimo, bisogna essere sicuri che le curve d'indifferenza sono strettamente convesse, e cioè che la funzione x 2 (x 1 ) che descrive una curva d'indifferenza, definita implicitamente dalla condizione "u(x 1,x 2 ) = un valore assegnato", ha derivata non solo negativa ma anche crescente (cioè decrescente in valore assoluto: la curva di indifferenza deve essere via via meno ripida all'aumentare di x). Esercizio: si consideri la funzione di utilità u(x,y)=x α y β, con α, β >0 e α+β=1. Si dimostri che le curve di indifferenza sono decrescenti e strettamente convesse. Suggerimento: si ricordi che la pendenza della curva di indifferenza è il saggio marginale di sostituzione; bisogna dimostrare che è negativo e che in valore assoluto diminuisce se x aumenta. Ora possiamo comprendere la risposta alla domanda: perché generalmente le curve d'indifferenza sono disegnate strettamente convesse? La risposta sta nel fatto che, se non lo 16

17 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ sono, allora tranne casi estremamente improbabili il consumatore domanda uno solo dei due beni (dimostratelo!). Per cui, se si vuole studiare come cambiano le scelte del consumatore al cambiare dei prezzi nel caso in cui il consumatore domanda entrambi i beni, bisogna necessariamente supporre curve d'indifferenza strettamente convesse. Dunque non è per gusti bizzarri degli economisti, c'è un motivo molto ragionevole che spiega come mai le curve di indifferenza sono quasi sempre disegnate convesse. FUNZIONI DI DOMANDA In alcuni casi semplici si riesce a ricavare dalla funzione di utilità U(x,y) una funzione esplicita di domanda x(p x,p y,m) che indica la quantità del bene x domandata dal consumatore una volta dati i prezzi e il suo reddito. Studiamo tre casi. 1 caso. Supponiamo che i due beni x e y siano perfetti complementi, cioè il consumatore li consuma sempre nella proporzione fissa di α unità di y per ogni unità di x[ 8 ]. Allora egli spende p x +αp y per ogni unità di x che consuma perché assieme a ogni unità di x compra anche α unità di y. Ad es. se caffè e zucchero sono perfetti complementi nella proporzione di due cucchiaini di zucchero per ogni tazza di caffè, e se il costo di una tazza di caffè è 0,50 euro mentre quello di un cucchiaino di zucchero è 0,10 euro, il consumatore spende, tra caffè e zucchero, 0,70 euro per ogni tazza di caffè che consuma. Dunque per sapere quante tazze di caffè domanda (supponendo che caffè e zucchero siano i suoi soli consumi) basta dividere il suo reddito m per 0,70. In generale, con x e y perfetti complementi nella proporzione "α unità di y per ogni unità di x", la funzione di domanda di x è x(p x,p y,m) = m/(p x +αp y ). (Sapreste ricavarvi voi, ragionando, la funzione di domanda di y?) 2 caso. Supponiamo che i due beni siano perfetti sostituti; allora il consumatore in genere comprerà solo uno dei due beni, e una volta accertato quale (confrontando pendenza delle curve d indifferenza e della retta di bilancio), basta dividere m per il prezzo di quel bene per sapere quanto ne viene domandato. Esercizio: Supponiamo che x e y siano perfetti sostituti nella proporzione α unità di y sono perfetti sostituti di una unità di x. Il prezzo del bene y è p y =1. 8 Allora le curve di indifferenza sono a forma di L, con gli spigoli sulla retta y=αx. La funzione di utilità corrispondente a queste preferenze è u(x,y )=min[ax, by ] dove a/b=α; dividendo per b si ottiene u(x,y )=min[αx, y ] che misura l utilità come pari allo y corrispondente allo spigolo della curva di indifferenza su cui il consumatore si trova, e che è il minore tra y e y=αx (dunque con questa rappresentazione entrambe le quantità in min[αx, y ] sono quantità del bene y); dividendo per a si ottiene u(x,y )=min[x, y /α] che misura l utilità come pari allo x corrispondente allo spigolo della curva di indifferenza su cui il consumatore si trova, e che è il minore tra x e x=y /α (dunque con questa rappresentazione entrambe le quantità in min[x, y /α] sono quantità del bene x). Infatti se y >αx, la quantità di y in eccesso di αx è superflua, il consumatore è sul ramo verticale della curva di indifferenza con spigolo nel punto (x, y=αx ); se invece x >y /α, cioè se y <αx, la quantità di x in eccesso di y /α è superflua, il consumatore è sul ramo orizzontale della curva di indifferenza con spigolo nel punto (x=y /α, y ). Si controlli quanto qui affermato con dei grafici corrispondenti al caso α=1, e al caso a=2, b=1. 17

18 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ ) Indicare per quale p x le domande del consumatore sono indeterminate (la retta di bilancio coincide con una curva di indifferenza). 2) Indicare se per p x minore di quello che risponde alla precedente domanda il consumatore domanda solo bene x o solo bene y. 3 caso. Funzione di utilità Cobb-Douglas classica: U(x,y)=x α y 1-α con 0<α<1. La funzione di utilità Cobb-Douglas generalizzata U(x,y)=x a y b con a>0, b>0, è sempre riducibile a una Cobb-Douglas classica, elevandola alla potenza 1/(a+b) per cui diventa a b a b a+ b x y + i cui esponenti hanno somma 1. Le due funzioni di utilità rappresentano le stesse preferenze, come ogni volta che una funzione di utilità è una trasformazione monotona crescente di un'altra funzione di utilità. Precisiamo quest'ultima osservazione (vedi anche Frank pp ). Quand'è che una funzione di utilità u(x,y) rappresenta correttamente le preferenze di un consumatore? quando tutte le volte che un paniere (x,y) è preferito dal consumatore a un paniere (x',y') si ha che u(x,y)>u(x',y') e tutte le volte che un consumatore è indifferente tra due panieri (x,y) e (x',y') si ha che u(x,y)=u(x',y'), e viceversa. Supponiamo che questo sia il caso per u(x,y). Consideriamo una funzione di una variabile F(z), che cresce se z cresce, cioè strettamente monotona crescente, ad es. F(z)=2z, F(z)=z+10, F(z)=z 3, F(z)=log(z) (purché z>0). Poniamo z=u(x,y); ebbene, la funzione V(x,y) F(u(x,y)) rappresenta anch'essa correttamente le preferenze del consumatore, perché essendo F(z) sempre crescente, se u(x,y)>u(x',y') allora anche F(u(x,y))>F(u(x',y')), e se u(x,y)=u(x',y') allora anche F(u(x,y))=F(u(x',y')) per cui le curve di indifferenza sono le stesse. Dunque una trasformazione[ 9 ] monotona crescente di una funzione di utilità rappresenta le stesse preferenze. (Per avere conferma che le curve d'indifferenza sono le stesse si dimostri, con la derivazione di funzione di funzione, che dati x e y il saggio marginale di sostituzione ricavato da u(x,y) è lo stesso di quello ricavato da F(u(x,y)).) Applichiamo quanto appena spiegato alle due Cobb-Douglas. La funzione F(z)=z 1/(a+b) per z>0 e a+b>0 è monotona crescente, dunque la Cobb-Douglas classica ottenuta elevando la Cobb-Douglas generalizzata a 1/(a+b) rappresenta le stesse preferenze della seconda. Queste preferenze sono dette preferenze Cobb-Douglas. Vi è anche un altro modo di rappresentare preferenze Cobb-Douglas. Usando la trasformazione monotona crescente F(z)=log(z) otteniamo che F(u(x,y))=log(u(x,y)) rappresenta le stesse preferenze di u(x,y). Ora, applicando le proprietà dei logaritmi (il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi; log(x a ) =a log(x) ), si ha log(x a y b ) = a log(x) + b log(y). Pertanto le preferenze Cobb-Douglas sono anche rappresentabili nella forma logaritmica u(x,y) = a log(x) + b log(y), spesso usata in applicazioni econometriche[ 10 ]. 9 Una funzione di funzione si può anche chiamare una trasformazione della seconda funzione. 10 Il fatto che si possano rappresentare date preferenze con diverse funzioni di utilità, tutte trasformazioni monotone le une delle altre, indica che l'utilità marginale di un bene è arbitraria, dipende da 18

19 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ Veniamo infine alle funzioni di domanda quando le preferenze sono Cobb-Douglas. Se U(x,y)=x α y 1-α la forma classica a cui ci si può sempre riportare allora α y MU x /MU y =, 1 α x (lo si dimostri!), pertanto dalla condizione di ottimo MU x /MU y =p x /p y si ha yp y =(1-α)xp x /α, e sostituendo nell'equazione di bilancio xp x +yp y =m si ha (1+(1 α)/α)xp x =m da cui si ricava la spesa xp x sul bene x: xp x =αm, che indica che con preferenze Cobb-Douglas la spesa sul bene x è indipendente da p x ed è una frazione del reddito pari all'esponente di x nella Cobb-Douglas classica; analogamente si ottiene yp y =(1 α)m. Da ciò, passando il prezzo dall altro lato dell uguale, si derivano le funzioni di domanda Cobb-Douglas, da imparare a memoria: x=αm/p x, y=(1 α)m/p y. Nel secondo esempio a p. 16 era U(x,y)=x α y β (Cobb-Douglas) con α=1/3, β=2/3, p x =2, p y =4, m=60. Si verifichi che le quantità domandate trovate in quell esempio sono le stesse a cui si arriva con le funzioni di domanda appena indicate. SURPLUS DEI CONSUMATORI E UTILITA' QUASILINEARE Dobbiamo presentare la funzione di utilità quasilineare, molto importante in insegnamenti successivi, che il testo del Frank non spiega. Essa formalizza la nozione di utilità marginale del reddito costante (vedi oltre), e rende il surplus dei consumatori (vedi Frank p. 142) una misura esatta del guadagno di utilità che essi ottengono dall'esistenza di un mercato. Si dice quasilineare una funzione di utilità della forma u(x,y)=v(x)+ay dove a è un numero positivo (per cui l utilità marginale del bene y è costante) e l utilità marginale di x è positiva e decrescente, cioè la funzione V(x) è una funzione crescente con derivata V'(x) positiva e decrescente al crescere di x; ad esempio V(x)=x 1/2, V(x)=ln(x). Per la possibilità di trasformazioni monotone della funzione di utilità, dividendo tale funzione per a si ottiene una funzione quasilineare che rappresenta le stesse preferenze e dove l utilità marginale di y è uguale a 1, e questa è più comoda per i calcoli. Nel seguito dunque faremo uso di funzioni quasilineari del tipo u(x,y) = v(x) + y. L uso più comune di funzioni di utilità quasilineari, che è anche l uso che ne faremo noi, è quello in cui x rappresenta la quantità di un bene, e y rappresenta il reddito residuo, quale funzione di utilità scegliamo per rappresentare le preferenze, e non è detto che diminuisca all'aumentare del bene. Ad esempio con preferenze Cobb-Douglas l'utilità marginale di un bene è decrescente nella Cobb-Douglas classica, ma non lo è necessariamente nella Cobb-Douglas generalizzata: in quest ultima, u(x,y)=x a y b, è ammissibile che un esponente o anche entrambi siano maggiori di 1; se ad es. è a>1, allora MU x è funzione crescente di x, non vale il principio dell utilità marginale decrescente. 19

20 F. Petri - complementi di microeconomia 2009 riveduti 16/05/ cioè quello che resta del reddito di partenza m dopo che il consumatore ha comprato x unità del bene. Indichiamo il prezzo del bene semplicemente con p. Per definizione y=m px, dunque si può anche scrivere u(x,y)=u(x,m-px). Il reddito residuo contribuisce all utilità in quanto permette di comprare altri beni, ma come il consumatore scelga gli altri beni non viene analizzato; certamente più reddito residuo deve significare più utilità perché si possono comprare ulteriori unità degli altri beni; la funzione di utilità quasilineare però fa una assunzione particolare su come aumenta l utilità se il reddito residuo aumenta: l utilità marginale del reddito residuo, u/ y, è costante (e pari a 1)[ 11 ]. Questa ipotesi rende molto facile determinare le scelte del consumatore. Il vincolo di bilancio del consumatore è px+y=m, che è un altro modo di scrivere la definizione di y; in esso il bene 'reddito residuo' ha prezzo 1, come deve essere, giacché è misurato in moneta, e il prezzo della moneta in termini di se stessa è 1. Dunque la pendenza della retta di bilancio (con x in ascissa e y in ordinata) è semplicemente p. Il saggio marginale di sostituzione cioè MU x /MU y si riduce a MU x perché l utilità marginale del reddito residuo è 1; pertanto la condizione di uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e rapporto tra i prezzi (tangenza tra curva di indifferenza e retta di bilancio) si riduce all uguaglianza: MU x =p ovvero v (x) = p. Questo rende facile ricavare la domanda di x: basta risolvere v (x)=p. (Bisogna però assicurarsi che il reddito m basti a comprare x* soluzione di questa equazione. Infatti m non compare nell equazione v (x)=p, la cui soluzione è dunque indipendente da m; dunque la domanda del bene x da parte del consumatore è indipendente da m, non cambia se m è maggiore, e non cambia se m è minore... ma se m viene diminuito troppo si arriverà a un punto al quale m non basta più a comprare x*, e allora, come vedremo meglio tra poco, il consumatore domanderà x=m/p, cioè dedicherà tutto m a comprare il bene x, ma x<x*.) E anche in genere possible determinare la funzione di domanda x(p), basta che sia esplicitabile la funzione definita implicitamente da v'(x) p x =0. Esempio: sia u(x,y)=2x 1/2 +y. La condizione v'(x)=p dà 1/ x=p cioè x*=(1/p) 2 ; ad esempio se p=1/4 si ha x*=16 purché sia m px*=4. Mostriamo ora una proprietà importante: con questo tipo di funzione di utilità l'effetto reddito sulla domanda di x è zero. Abbiamo visto che la pendenza delle curve di indifferenza MU x /MU y è pari a v'(x) e dunque non dipende da y, dipende solo da x: non cambia se y cambia ma x no. Dunque in un grafico con x in ascissa e y in ordinata, in corrispondenza di un dato x tutte le curve di indifferenza hanno la stessa pendenza, pertanto sono tutte traslazioni parallele verticali l'una dell'altra, vedi Fig. 1bis. Il reddito m è indicato 11 L'utilità quasilineare formalizza l'assunzione semplificatrice che l'utilità marginale del reddito (l'utilità in più dovuta all'ultima unità di reddito) è costante, assunzione fatta dal grande economista Alfred Marshall e che è abbastanza legittima per lo studio della domanda di un bene che assorbe una frazione molto piccola del reddito complessivo, ad es. matite, cioccolatini, aceto. (Si riveda la definizione di utilità marginale del reddito a p. 16.) 20

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