ESERCIZIARIO del corso di TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 Universià degli Sudi di Udine Faolà di Ingegneria Diparimeno di Energeia e Mahine ESERCIZIARIO del orso di TRASMISSIONE DEL CALORE A ura di Seano Savino Anno aademio 005/006

2 INDICE Eserizi relaivi ai diversi apioli del libro di eso: Capiolo 3, (Conduzione in regime sazionario) pag 3 Capiolo 4, (Conduzione in regime ransiorio) pag 3 Capioli 6 e 7, (Convezione orzaa eserna ed inerna) pag 8 Capiolo 8, (Convezione naurale) pag 4 Capiolo 0, (Sambiaori di alore) pag 9 Capiolo, (Irraggiameno) pag 39 Queso eseriziario è da inendersi ome maeriale omplemenare al libro di eso FONDAMENTI DI TRASMISSIONE DEL CALORE di G. Comini e G. Corella, Servizi Graii Edioriali, Padova. Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina

3 ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 3 Conduzione in regime sazionario Compio del 6 marzo 004 Una paree edilizia monosrao di spessore emperaura i (oeiiene di onvezione Δ x e onduivià ermia λ separa un loale a α i ), dall eserno a emperaura e (oeiiene di onvezione α e ). Traando lo sambio ermio ome monodimensionale sazionario, si alolino. la resisenza speiia oale R o ;. il lusso ermio speiio ; 3. la emperaura della paree inerna. Δ x m; λ 0, W/(m K); α i 8 W/(m K); α e 3 W/(m K); i 0 C; e -5 C.. R o Δx + + α λ α i e 8 + 0, 0, + 3 m K 0,768 W. U R o 0,768 W,30 m K i e W " 3,5 R 0,768 m o R / 8 0,768 i i i e 0 Ro 3. ( ) 5 5,9 C Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 3

4 Compio del 8 gennaio 00 Si onsideri il proesso di rasmissione del alore araverso un vero amera, osiuio da due lasre dello spessore s 4 millimeri e da un inerapedine d aria dello spessore b 6 mm. La onduivià ermia del vero vale λ v 0,8 W/(m K) e, per l inerapedine, si può assumere una resisenza ermia speiia R b pari ad 0,67 vole la resisenza onduiva di uno srao d aria di uguale spessore ( λ a 0,05 W/(m K)). I oeiieni di onvezione lao inerno e lao eserno assumono i valori Si rihiedono: α i ed α e, menre le orrispondeni emperaure dei luidi sono pari a i e e.. uno shema graio del iruio ermio euivalene he evidenzi le resisenze ermihe speiihe e l andameno ualiaivo delle emperaure;. i valori della resisenza ermia speiia oale R o e del oeiiene globale di sambio ermio U; 3. il valore del lusso ermio speiio ; 4. il valore della emperaura s della superiie del vero rivola verso l ambiene a emperaura i. i 0 C; e - 5 C; α i 8W/mK; α e 3W/mK;.. R o U s b + + 0,67 α λ λ R o i v W,95 m K a s + + λ α v e m K 0,34 W W 3. " U ( i e ) 73,7 " α m 4. ( ) 9,K i s s i i s i ( ) 0,8 C Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 4

5 Compio del 3 luglio 00 Un elemeno risaldane elerio a sezione irolare avene raggio r deve ornire un lusso ermio per unià di lunghezza ad una massa d aua alla emperaura ipoizzaa osane nel empo.. Nell ipoesi he il oeiiene di sambio ermio onveivo sia pari ad α, si aloli la emperaura ( C) raggiuna dalla superiie dell elemeno risaldane;. nell ipoesi he il oeiiene di sambio ermio onveivo sia anora pari ad α, si aloli la nuova emperaura ( C) raggiuna dalla superiie dell elemeno risaldane dopo he su di esso si è deposiao uno srao di alare avene onduivià ermia λ 0, W/(m K) e spessore s mm; 3. nelle ondizioni del puno ), si aloli la emperaura ( C) sulla superiie eserna dello srao di alare. r m; 3000 W/m; 70 C; α 500 W/(m K) 3000 π rα π rα π 0, ( ) 47,7 K 7,7 C. 6 K r + s + ln π α πλ r ( r + s) 3 C 3. Noi,, e le resisenze ermihe, la emperaura può essere alolaa on diverse proedure. Ad esempio: R α π ( r + s) α 0,8 + R + R r s α λ + ln π r + s α πλ r ( ) 0,8 6 45,5 K 5,5 C Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 5

6 Compio del 6 seembre 005 Un avo elerio di raggio r è perorso da una orrene di inensià ale da generare un lusso ermio per unià di lunghezza pari a. Il avo è isolao on uno spessore s di maeriale avene onduivià ermia λ e disperde alore per onvezione naurale, on oeiiene α, verso l'aria eserna a emperaura. Con rierimeno ai dai riporai in ale, nell ordine indiao si hiedono:. la resisenza onduiva dell'isolane R λ e la resisenza onveiva eserna R e per unià di lunghezza, espresse in m K/W;. la emperaura all'ineraia ra avo ed isolane; 3. la emperaura all'ineraia ra isolane ed aria eserna. r mm; 5 W/m; s mm; λ 0, W/(m K); α 0 W/( m K); 30 C. r + s. R λ ln, m K/W π λ r R e π ( r + s ) α 3,98 m K/W. R + R λ e 55,4 C 3. 49,9 C R e Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 6

7 Compio del 5 luglio 003 Un ilo elerio di diamero D, rivesio on uno spessore s di maeriale isolane avene onduivià ermia λ, dissipa un lusso ermio per unià di lunghezza. Nell'ipoesi he l'aria eserna si rovi alla emperaura e he il oeiiene di sambio ermio per onvezione sia α, si deerminino:. la resisenza ermia oale per unià di lunghezza R o espressa in (K m)/w;. la emperaura, supposa uniorme, a ui si rova il ilo. D mm; s,5 mm; λ 0, W/(m K); 0 W/m; 0 C; α 0 W/(m K).. re Ro ln + 8,6 (K m)/w πλ r π r α i e dove r i D/ m e r e r i + s m. + Ro 0,6 C R o Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 7

8 Compio del giugno 000 Un ubo in aiaio, avene onduivià ermia λ 54 W/(m K), ha un diamero eserno d 5 m ed uno spessore s 0,7 m, ed è isolao on uno srao di maeriale avene onduivià ermia λ 0,073 W/(m K) e spessore s 5,3 m. All inerno del ubo sorre vapore surrisaldao alla emperaura T i 500 K ed il oeiiene di sambio ermio per onvezione è α i 35 W/(m K). La emperaura dell aria eserna è T e 300 K, ed il oeiiene di sambio ermio per onvezione è α e 8 W/(m K). Si aloli il lusso ermio disperso all eserno se il ubo ha lunghezza L 0 m. d i d s 3,6 m; r i 0,068 m d e d + s 5,6 m; r e 0,8 m Il lusso ermio è: T i T R o e La resisenza oale è: R o Ri + Rλ + Rλ + Re r re + ln + ln + αi π ri L πlλ ri πlλ r αe π re L r re + ln + ln + 0,0694 K/W π L α i ri λ ri λ r α e re Quindi: T i T e 880 W R o Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 8

9 Compio del 6 seembre 003 Un alea piana meallia di onduibilià ermia λ e sezione reangolare, è spessa δ, larga b e presena una lunghezza assiale L. La emperaura alla base è 0, menre la dissipazione di alore ha luogo on un luido alla emperaura ed è araerizzaa da un oeiiene di onvezione α. Con rierimeno alla disribuzione di emperaura assiale adimensionale osh [ ml ( x / L )] osh( ml ) si valuino:. il paramero adimensionale ml ;. la emperaura nel puno più reddo dell alea. L Suessivamene, on rierimeno all espressione dell eiienza dell alea ε anh ml si valui 3. il lusso ermio raserio al luido dall alea. ( ml ) δ mm; b 8 mm; L 5 mm; λ 5 W/(m K); α W/(m K); 0 50 C; 0 C.. L L + δ 6 mm 0,06 m; A bδ 6 mm m ; P b + 4δ 0 mm 0,0 m αp m 3,6 m - λa ml 0,8. Per x L, L 0 ( 0) ( ml ) osh osh L 89,4 C 0, ( ml ) anh ε 0,83; max α PL( 0 ),43 W ml ε,8 W max Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 9

10 Compio del 5 giugno 004 Una piasra on alee piane avene superiie libera da alee A a na p deve dissipare un lusso ermio speiio medio A p + A a A p e superiie delle alee Nell ipoesi he la emperaura della base delle alee oinida on la emperaura p della superiie libera, he l eiienza delle alee sia pari ad anh ε a ml ( ml ) e he il oeiiene di onvezione on il luido eserno a emperaura sia pari ad α si alolino. l eiienza media ε della superiie di sambio;. la dierenza di emperaura ( p ) espressa in [K]; 3. la dierenza di emperaura ( L ) ra l esremià delle alee ed il luido, espressa in [K]. n A / 5; ml,0; 000 W/m ; α 0 W/(m K). a A p ε a Aa + A p ε a Aa + A p A p ε n + 0, ε a 0, 83 A + A A + A A n a p. α ε ( A + A )( ) αε ( ) a p p a da ui si riava ( ) 4, 8 p αε p p ,8 p K 3. ( x) p osh ml osh osh ( L ) ( ml ) ( ml ) osh( ml ) x L p 80,9 K Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 0

11 Compio del 0 seembre 005 Si onsideri la siuazione illusraa in igura, dove uno srao di maeriale omogeneo, ompreso ra i due piani x 0 (adiabaio) ed x L, è araerizzao da una onduivià ermia λ e da una generazione inerna di alore &. Esso è rivesio da un alro srao di spessore s e onduivià ermia λ r he è rareddao, on oeiiene di onvezione α, da un luido a emperaura. Proedendo in seuenza: 0 L s r x. si rai l'andameno ualiaivo delle emperaure nella geomeria onsideraa;. si aloli la resisenza ermia speiia oale R [m K/W] (somma delle resisenze dello srao di rivesimeno e della resisenza onveiva) 3. si aloli la emperaura ad x L+s; 4. si aloli la emperaura ad x L; 5. si aloli la emperaura 0 ad x 0. L m; λ,5 W/(m K); & W/m 3 ; s m; λ r 0,3 W/(m K); α 0 W/(m K); 30 C. s. R + 0,33 m K/W λ α r & L α 90 C 3. ( ) 4. 0 C s / λ r 5. 0 L & + 4 C λ Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina

12 Compio del aprile 003 Una lasra piana di spessore L, soggea a generazione inerna di alore in regime sazionario, è isolaa sulla aia sinisra ed è rareddaa per onvezione da un luido he ne lambise la aia desra. Nell'ipoesi he si onosano: la onduivià ermia della lasra λ ; la emperaura del luido ; il oeiiene di onvezione sulla aia desra α ; la emperaura della aia isolaa 0 ; si valuino:. il valore del lusso ermio sviluppao per unià di volume & (W/m 3 );. la emperaura sulla aia desra L ( C). L 0,05 m; λ W/(m K); 0 C; α 8 W/(m K); C. Espressione generale: L & & + + L x α λ ( ). Per x 0 dall'espressione generale: 0 L & L & & 3855 W/m 3 α λ L L + α λ. Per x L dall'espressione generale: L & L C α Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina

13 ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 4 Conduzione in regime ransiorio Compio del 0 giugno 000 Una piasra d aiaio di spessore L 0,08 m, inizialmene alla emperaura uniorme i 440 C, è risaldaa in un orno ino a he il enro raggiunge la emperaura 5 C. La emperaura del orno è pari a 800 C ed il oeiiene di onvezione vale α 85 W/(m K). Assumendo, per l aiaio, λ 30 W/(m K), ρ 7800 kg/m 3, 0,48 kj/(kg K), deerminare:. il numero di Bio rierio al semispessore L;. il numero di Fourier, rierio ad L, al uale la emperaura del enro raggiunge il valore desiderao; 3. il empo, in seondi, neessario per raggiungere al enro la emperaura desideraa. αl 85 0,04. Bi 0, 5 λ , i Dal diagramma ornio, Fo,6 3. Fo L ϑ a Fo L ρ,6 0, λ 30 3 s Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 3

14 Compio del 8 giugno 00 Una sera solida di raggio r e 0,06 m, inizialmene alla emperaura uniorme i 90 C, viene posa in una orrene luida alla emperaura 0 C osane. Il maeriale osiuene la sera ha onduivià ermia λ 0,8 W/(m K), densià ρ 00 kg/m 3 e alore speiio 900 J/(kg K). Uilizzando il diagramma ornio, si deerminino:. il empo ϑ (s) neessario perhé la emperaura al enro della sera raggiunga il valore 0 48 C, nell ipoesi he il oeiiene di onvezione sia pari ad α 0 W/(m K); 3. il valore del oeiiene di onvezione α he onsenirebbe di dimezzare il empo di raggiungimeno della sessa emperaura 0 al enro della sera. λ. a 8, m /s ρ α r e 0 Bi 0,75 ' 0,4 Dal diagramma ornio, Fo 0,58 λ Fo ϑ a r e 584 s i ϑ Fo. ϑ Fo 0,9 Bi,80 Bi λ W α 37,3 m K r e Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 4

15 Compio del 0 marzo 00 Una sera solida avene raggio r e 0,05 m, onduivià ermia λ 0,5 W/(mK), diusivià ermia a 0-7 m /s, inizialmene alla emperaura 75 C, viene immessa in una orrene luida alla emperaura 5 C. Dopo un empo ϑ 0 4 s la emperaura del enro si pora a 50 C.. Si aloli il numero di Fourier;. uilizzando il diagramma ornio si alolino il numero di Bio ed il oeiiene di onvezione α espresso in [W/(m K)]... aϑ Fo 0,4 r e ' 0,5 i Dal diagramma: Fo, Bi λ α Bi 0 W/(m K) r e Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 5

16 Compio del 7 luglio 005 Un erro da siro, è shemaizzabile ome un orpo di massa m, densià ρ, superiie esposa A, alore speiio, e onduivià ermia λ. Nell'ipoesi di emperaura iniziale i, emperaura ambiene e oeiiene di sambio ermio onveivo pari ad α si alolino:. la lunghezza araerisia L V/A del erro da siro;. si veriihi he il numero di Bio Bi è ineriore a 0, e uindi he il erro da siro, è shemaizzabile ome un sisema ad una resisenza ed una apaià; 3. la osane di empo ϑ 0 R e C del erro da siro; 4. il empo impiegao dal erro da siro per rareddarsi sino alla emperaura senza inerveno della resisenza saldane in doazione. Inine si rai: 5. l'andameno ualiaivo della emperaura adimensionale in unzione del empo adimensionale ϑ /ϑ0 rappresenando anhe la angene nell'origine della urva sessa. m kg; ρ 7800 kg/ m 3 ; A 0,05 m ; 440 J/(kg K); i 0 C; 0 C; 80 C; λ 40 W/(m K); α 40 W/(m K).. V m L A ρa 3 5,3 0 m. 3. αl Bi 5,3 0 3 < 0, λ ρ V m ϑ s α A α A i 0, 6 4. α A ϑ ρ V e e ϑ ϑ 0 ϑ ln 78 s ϑ 0 Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 6

17 Compio del 0 luglio 00 Le parei di un orno aveni proprieà ermoisihe ρ 80 kg/m 3, 450 J/(kg K) e λ 0,4 W/(mK) sono di spessore almene elevao da poer essere onsiderae semininie. Nell ipoesi he la emperaura della superiie inerna del orno vari sinusoidalmene ra 400 e 500 C on un periodo di 6 ore, uilizzando la soluzione analiia per la emperaura adimensionale e le deinizioni ad essa ollegae, si alolino: [ ω( ϑ ϑ )] ' exp( γ x) sen. l ampiezza dell osillazione Δ 0 [K] sulla superiie inerna, e la emperaura media ;. la pulsazione ω [rad/s] e la osane di aenuazione γ [m - ] dell osillazione; 3. i valori massimo e minimo della emperaura ad una disanza x 0, m dalla superiie inerna; 4. il riardo ϑ r on ui l onda ermia arriva alla disanza x 0, m dalla superiie inerna. r Δ 0 50K C π π 4. ω,9 0 rad / s ϑ ω ω γ,58m a λ ρ 3. Δ x Δ exp( γ x) 5, 70K min max x x 0 Δ 434, 3 C x + Δ 465, 7 C x Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 7

18 ESERCIZI RELATIVI AI CAPITOLI 6, 7 Convezione orzaa eserna ed inerna Compio del 4 luglio 00 Una orrene d aria alla emperaura 5 C invese un ubo ilindrio a sezione irolare del diamero di 3 m e di lunghezza m, risaldao dall inerno. Manenendo la paree eserna alla emperaura s 5 C viene misurao un lusso ermio 50W. Si valuino:. Il oeiiene di onvezione α [W/(m K)];. il numero di Nussel, assumendo una onduivià ermia dell aria λ 0,06 W/(mK).. α πdl 53 W ( ) m K s αd. Nu 6, λ Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 8

19 Compio del 30 marzo 004 Un ilindro di diamero D, emperaura superiiale s, è invesio rasversalmene da una orrene d aria on veloià u, emperaura indisurbaa. Uilizzando la orrelazione si alolino: Nu 0,6Re 0,5 Pr 0,33. il numero di Nussel;. il oeiiene di onvezione α ; 3. il lusso ermio / L sambiao per unià di lunghezza assiale L del ilindro. D 5 m; s 80 C; 0 C; u m/s; proprieà dell aria ρ,8 kg/m 3 ; p,008 kj/(kg K); λ 0,073 W/(m K); μ,9 0 5 kg/(m s). 5 p μ 008,9 0. Pr 0, 705 λ 0,073 ρu Re μ D,8 0, ,9 0 Nu 0,6Re 0,5 Pr 0,33 0, ,5 0,705 0,33 43,4. λ 0,073 W α Nu 43,4 3,7 D 0,05 m K π Dα π 0 s 3. ( ),05 3, ,8W/m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 9

20 Compio del 5 seembre 00 Un ilindro avene diamero D e lunghezza L è risaldao inernamene per mezzo di una resisenza eleria he dissipa un lusso ermio. Il ilindro è rareddao da una orrene d aria he lo invese rasversalmene on veloià u e emperaura. Trasurando gli eei dei bordi ed uilizzando la orrelazione si alolino: Nu 0,683Re 0,466 Pr / 3. il numero di Reynolds e il numero di Prandl;. il oeiiene di onvezione medio α ; 3. la emperaura superiiale s, supposa uniorme, del ilindro. Dai D m; L 0 m; P 40 W; u 5 m/s; 0 C; 5 ν,7 0 m / s ; a,4 0 m / s ; λ 0,073 W/(m K). 5 u. Re D 5848 ν ν Pr 0,707 a. 0,466 / 3 Nu 0,683Re Pr 34,6 λ W α Nu 47,3 D m K απ s 54,6 C 3. DL( ) s Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 0

21 Compio del 6 aprile 005 In una ondoa di lunghezza L avene sezione reangolare di dimensioni h x b, sorre una orrene d aria a veloià media u e emperaura media m. Nell ipoesi he la emperaura s della superiie inerna della ondoa sia uniorme, e he sia valida la orrelazione si alolino: Nu 0, 07 Re 4/ 5 Pr / 3. il oeiiene di sambio ermio per onvezione α [W/(m K)];. il lusso ermio omplessivamene sambiao [W]. h 0,30 m; b 0,5 m; L 5 m; s - m 6 K; u 0,8 m/s; ν,5 0-5 m /s; a,4 0-5 m /s; λ 0,058 W/(mK). D hb hb 0, 3 05, h 4 + 0, m ( h + b) h + b 0, 3 0, 5 ud 0,8 0 Re h, D h 056 ν 5 5, 0 Pr Nu ν a, 5 0, ,7 4/ 5 / 3 4/ 5 D 0, 07 ReD Pr 0, , h h / ,8 Nu D h λ 39, 8 0, 058 W α 5,3 D 0, m K h. α (h + b)l( ) s m 38,53 W Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina

22 Compio del luglio 00 In un ondoo a sezione riangolare euilaera on lao di lunghezza L luise, on veloià u, una orrene d aria [ν, m /s; λ 0,076 W/(m K); Pr 0,706]. Nell ipoesi he, nella sezione onsideraa, la dierenza di emperaura ra superiie del ondoo e aria sia pari a ( s ) 0 K, uilizzando la orrelazione si alolino nell ordine: Nu 0,07 Re. il diamero idraulio del ondoo D h ;. il oeiiene di onvezione α [W/(m K)]; 3. il lusso ermio sambiao per unià di lunghezza assiale del ondoo [W/m]. 0,8 Pr 0,33 L m; u 4 m/s 4A. D h 0,06 m P u Dh. Re 78 ν D h Nu 3,7 α Nu λ 3,8 D h α P s 3. ( ) 9,7 W/m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina

23 Compio del 3 luglio 000 Una poraa d aria m& 0,0 kg/s sorre araverso un anale di sezione reangolare (larghezza W m, alezza H 4 m) le ui parei si rovano alla emperaura T s 600 K. Nell ipoesi he la emperaura media dell aria sia T m 400 K si alolino:. il diamero idraulio del anale D h ;. il numero di Reynolds Re Dh ; 0,8 3. il numero di Nussel on la orrelazione Nu 0,07 Re 4. il lusso ermio sambiao per unià di lunghezza (W/m). 0,33 Dh Pr ; Si uilizzino i segueni valori delle proprieà ermoisihe dell aria: μ,5 0-6 kg /(m s); λ 0,033 W/(m K); p 009 J/(kg K).. D h 4 A 4 W H 4 0,0008 0,067 m P ( W + H ) 0, u Dh ρ m& Dh ρ. ReD 9667 h μ ρ A μ p μ 3. Pr 0,686 λ 0,8 0,33 Nu D 0,07 Re Pr 90, h 4. Nu D α,8 D h h λ m W K ( T s T ) α P m W,8 0, m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 3

24 ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 8 Convezione naurale Compio del 5 diembre 005 Una lasra piana orizzonale, manenua alla emperaura s, è immersa in aua più redda alla emperaura. La lasra, di orma uadraa on lao di dimensione pari ad a, sambia alore solamene araverso la aia superiore. Si valuino:. il numero di Nussel uilizzando la orrelazione Nu 0,54 Ra /4 ;. il lusso ermio rasmesso (W). s 50 C; 0 C; a 0 m. proprieà dell'aua: gβ/ν 6, /(m 3 K); λ 0,65 W/(m K); 4,78 kj/(kg K); μ 7, 0-4 kg/(m s).. L A/p a/4 0,05 m ( ) gβ L Gr s 3,0 0 6 ν μ Pr 4,83 λ Ra Gr Pr, / 4 Nu 0, 54 Ra 33,35 3. Nu λ W α 833,74 L m K ( ) α A s 50, W Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 4

25 Compio del seembre 004 Una resisenza eleria ilindria di diamero eserno D è ompleamene immersa in aua alla emperaura supposa osane a. Calolare la lunghezza minima neessaria L perhé la emperaura superiiale r della resisenza sia ineriore a 85 C, nell ipoesi he la sua poenza saldane sia pari a 000 W. Per il alolo del oeiiene di sambio ermio per onvezione naurale si usi la orrelazione: Nu D 0,53 Ra / 4 D gβ D,0 m; a 40 C;,7 0 0 /(m 3 K); λ 0,65 W/(m K); Pr 3,3. ν ( ) 3 gβ r a D Ra Gr Pr D D Pr,5 0 6 ν / 4 D Nu D 0,53 Ra,3 α Nu D D λ 373 W/(m K) α πd ( r ) 94 W/m a L 0,5 m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 5

26 Compio del luglio 003 Un ubo luoresene on diamero D e lunghezza L è posizionao orizzonalmene in aria alla emperaura. Se la emperaura della superiie eserna del ubo è s, si alolino:. il numero di Grasho;. il oeiiene medio di sambio ermio per onvezione naurale α uilizzando la orrelazione Nu 0,53 3. il lusso ermio sambiao dal ubo (W). / 4 Ra D 4 m; L, m; s 60 C; 0 C. Proprieà dell aria a pressione amoseria: ρ p λ a μ ν β C kg/m 3 kj/(kg K) W/(m K) m /s kg/(m s) m /s /K 0,40,007 0,050,00 0-5,76 0-5, , ,93,007 0,058,4 0-5,8 0-5, , ,5,007 0,065,9 0-5,86 0-5, , ,8,008 0,073,4 0-5,9 0-5, , ,084,008 0,080,56 0-5,96 0-5, , ,05,008 0,088,7 0-5,00 0-5, , Le proprieà ermoisihe dell'aria devono essere valuae alla emperaura m 40 C. g β Δ D Gr ν 3. ν Pr 0,707; Ra Gr Pr 93699; a / 4 Nu 0,53 Ra,; Nuλ α 7,59 W/(m K) D 3. α π D L ( ) s 45,8 W Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 6

27 Compio del diembre 00 Una vasa d aua viene manenua alla emperaura mediane uno sambio ermio per onvezione naurale da ubazioni ilindrihe orizzonali del diamero eserno d e emperaura superiiale s. Uilizzando la orrelazione / 4 Nu 0,53 Ra si valui la poenza ermia somminisraa all aua per unià di lunghezza di ubazione, gβ assumendo Pr,7, λ 0,6 W/(m K) e 3,3 0 0 (m 3 K) -. ν s 00 C; 36 C; d 0,05 m g β Ra Gr Pr Δ d ν 3 Pr 7,3 0 8 / 4 Nu 0,53 Ra 86,6 α Nuλ 099,8 W/(m K) d / L α π d Δ 057 W/m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 7

28 Compio del 3 aprile 00 Il lusso ermio speiio nominale sambiao da un radiaore di un impiano di risaldameno è pari a 600 W/m uando la emperaura superiiale è s 80 C e la emperaura dell aria è 0 C. Trasurando le variazioni delle proprieà ermodinamihe dell aria on la emperaura e lo sambio ermio radiaivi, si rovi il lusso ermio speiio uando la emperaura superiiale divena s 50 C menre la emperaura dell aria resa invariaa. Si usi la orrelazione 3 Nu 0,3Ra H α α Nu Nu 3 " " α α Δ Δ Δ Δ 4 3 Δ 3 " " 38W Δ 4 Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 8

29 ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 0 Sambiaori di alore Compio del 9 aprile 00 In uno sambiaore di alore di superiie A sorre una poraa m& di luido di alore speiio, enrane alla emperaura e. In onroorrene sorre una uguale poraa ( m & m& ) dello sesso luido ( ). Conosendo il lusso ermio sambiao ed il oeiiene globale di sambio ermio U si alolino:. la emperaura di usia del luido reddo u ;. le emperaure di enraa ed usia del luido aldo e e u e si rai un diagramma on l andameno delle emperaure dei luidi nello sambiaore. A m ; m& 0, kg/s; kj/(kg K); e 0 C; 000 W; U 5 W/(m K). m ( ) 30 C u e u &. AUΔ Δ 40K osane e + Δ 70 C u u + Δ 50 C e Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 9

30 Compio del 5 diembre 003 Una poraa d aua redda m&, enrane alla emperaura e viene risaldaa da un uguale poraa d aua alda, he enra alla emperaura e ed ese alla emperaura u. Assumendo un alore speiio dell aua pari a 487 J/(kg K) ed un oeiiene globale di sambio ermio U, si alolino:. il lusso ermio sambiao;. la emperaura d usia del luido reddo. Nelle due ipoesi di sambio ermio in euiorrene e onroorrene: 3. si raino gli andameni ualiaivi delle emperaure negli sambiaori; 4. si alolino le aree di sambio neessarie. m& kg/s, e 0 C, e 70 C, u 50 C, U 000 W/m K.. m& ( ) 83,7 kw e u. m ( ) u e u & 40 C 4. ( Δ ) ml ( e e ) ( u u ) ( e e ) ln ( ).. 4,9 K e ( Δ ) u A e.. 3,37 m U ml e.. u ( Δ ) ( ) ( ).. e u u e 30 K A..,79 m U ( Δ).. Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 30

31 Compio del 6 diembre 004 Una poraa d aua m& a alla emperaura di enraa ae raredda una poraa d olio m& o dalla emperaura oe alla emperaura ou. Uilizzando i valori indiai per i alori speiii dei luidi p ed il oeiiene globale di sambio ermio U, si valuino le aree di sambio neessarie nelle ipoesi di sambiaore euiorrene e onroorrene. Si raino inolre gli andameni ualiaivi delle emperaure dei luidi in enrambe le ipoesi. m& a kg/s; ae 0 C; m& o 0.5 kg/s ; oe 90 C; ou 50 C; pa 487 J/(kg K); po 00 J/(kg K); U 500 W/(m K) m& ( ) 4000 W o po oe ou au ae + 30 C m& a pa ( Δ ) 39,9 K ml e A e 0,70 m ( Δ ) 43,3 K ml A 0,65 m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 3

32 Compio del 8 ebbraio 000 Uno sambiaore di alore a ubi onenrii in onroorrene risalda una poraa m& d'aua da 0 C a 80 C uilizzando una poraa m& di olio diaermio he si raredda da 60 C a 40 C. Il ubo inerno ha diamero D i 0 mm, ed il oeiiene globale di sambio ermio, rierio alla superiie inerna, vale U i 500 W/(m K). Il lusso ermio sambiao in ondizioni di progeo è pari a 3000 W.. Traiare gli andameni della emperaura dei luidi.. Deerminare la lunghezza dello sambiaore. Dopo un periodo d'uso, on le sesse porae m& e m& e le sesse emperaure enrani, si rova he la emperaura dell'aua all'usia è sesa a 65 C. 3. Deerminare la orrispondene emperaura di usia dell'olio diaermio ed il nuovo oeiiene globale di sambio ermio U i *.. Δ ml A U A i i π D ( Δ Δ ) i i 98,7 K Δ ln Δ Δ ml Ai 0,0608 m U i Δ ml Ai L L 0,96m πd i 3. m& ( )* e m& ( ) ( u e ) ( ) * * * 50 W Similmene, * u e ( ) e m& ( ) & * m e u e u * ( )* ( ) 45 C e u e u u u e u e * ( Δ * Δ * ) Δ ml 09,3 K e Δ * ln Δ * U * i * AΔ * ml 338,6 m W K Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 3

33 Compio del 6 diembre 000 Una poraa m&,00 kg/s di luido organio di alore speiio 600 J/kg K viene rareddaa dalla emperaura e 95 C alla emperaura u 55 C, in uno sambiaore di alore a ubi onenrii in onroorrene,mediane una poraa m& 0,60 kg/s di aua enrane alla emperaura e 0 C. Il luido organio sorre nell inerapedine ra il ubo inerno e uello eserno, menre l aua sorre nel ubo inerno, di diamero inerno D i 5 mm. Il oeiiene di onvezione lao luido organio vale α e 000 W/mK, menre uello lao aua può essere valuao on la orrelazione: Nu D 0,07 Re 0,8 D Pr/3 valida per il regime urboleno. Considerando lo sambiaore adiabaio verso l eserno e rasurando lo spessore del ubo inerno, valuare:. la emperaura di usia dell aua u ( C);. il oeiiene di onvezione lao aua α i (W/mK); 3. l area della superiie di sambio A (m). Proprieà dell aua alla emperaura di rierimeno: 480 J/kg K; μ kg/m s; λ 0,64 W/m K; ρ 990 kg/m3. m& ( ) 8000W e u u e C m& ( ) ( ) ( ) e u Δ ml 9. C e u ln μ p u u e e. Pr 3. 9, 4m& Re 50930, 0.8 D Nu 0.07 Re Pr 3 D D 48 λ πμd Nu Dλ W α i 6349 D m K 3. U + α α A U i e ( Δ ) ml W 864 m K m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 33

34 Compio del seembre 003 Un luido ondensa alla emperaura osane in un ondensaore di superiie A, uilizzando una poraa massia d aua di rareddameno e alla emperaura u. Sono rihiesi: e u m& he si risalda dalla emperaura. la rappresenazione graia ualiaiva dell andameno delle emperaure nello sambiaore;. il alolo del lusso ermio sambiao, espresso in kw; 3. il alolo del oeiiene globale di sambio ermio U, espresso in W/(m K). 4,87 kj/kg K; A,5 m ; m&,8 kg/s; e u 80 C; e 0 C; u 40 C. m& 50,7 kw. ( ) u e Δ0 ΔL 3. Δml 49,33 K Δ0 ln ΔL UAΔ ml U,44 kw/(m K) 440 W/(m K) AΔ ml Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 34

35 Compio del 30 marzo 006 Una poraa m& v di vapor d aua sauro seo alla emperaura v 00 C ondensa isobariamene in un ondensaore ino allo sao di liuido sauro, sambiando alore on una poraa d aua m& a enrane alla emperaura ae. Conosendo il alore laene di ondensazione r ed il oeiiene globale di sambio ermio U, si deerminino:. il lusso ermio sambiao, espresso in W;. la emperaura di usia dell aua au, espressa in C; 3. l area di sambio neessaria A, espressa in m e si raino: 4. gli andameni ualiaivi delle emperaure dei due luidi nello sambiaore. m& v 0,05 kg/s, m& a,0 kg/s; ae 0 C; r 56 kj/kg, pa 487 J/(kg K), U 400 W/(m K). m& r 800 W v. au ae + 46,9 C m& a pa 3. Δ ml 65,6 K A,8 m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 35

36 Compio del 6 luglio 00 In un ondensaore, shemaizzabile ome uno sambiaore di alore on rapporo ra le apaià ermihe di lusso C / C, si vuole ondensare a emperaura osane e u del vapore d aua. A al ine si dispone, ome luido reddo, di una poraa di massa m& di aua liuida on alore speiio 487 J/(kg K) enrane a emperaura e. Noi il oeiiene globale di sambio ermio U e l area della superiie di sambio A, sruando l espressione del salo di emperaura lungo uno sambiaore si alolino nell ordine:. la dierenza ra le emperaure ( - u ) (K);. la dierenza di emperaura media logarimia Δ m l ; 3. il lusso ermio sambiao (kw). Dai m& 50 kg/s; 35 C; e 5 C; U 000 W/(m K); A 00 m. M C + C C m& MUA Δ e 3,85 K Δ 0 Δ Δ0. Δ ml 6,47 K Δ ln Δ 0 3. U A Δ ml 95 kw Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 36

37 Compio del 9 giugno 004 In uno sambiaore di alore in onroorrene, araerizzao da un oeiiene globale di sambio ermio U, si ha m & p m& p. Il luido aldo enra alla emperaura e e risalda il luido reddo da e a u.. Si rai l andameno (ualiaivo) delle emperaure nello sambiaore; e suessivamene si alolino:. il lusso ermio sambiao (espresso in W); 3. la superiie di sambio ermio neessaria (espressa in m ); 4. l eiienza dello sambiaore. U 30 W/(m K); m & m& 00 W/K; e 400 C; e 0 C; u 300 C. p p. u 00 C andameni lineari on Δ 00 K osane lungo lo sambiaore. m& m& W. ( ) ( ) p e u p u e 3. A U Δ m ε max m& m& p p ( u e ) ( ) e e u e e e , Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 37

38 Compio del 7 giugno 005 In un evaporaore di un impiano rigoriero, di superiie di sambio A, si raredda una poraa m& di aua dalla emperaura e alla emperaura u. Il luido rigorigeno evapora alla emperaura osane.. Traiare l andameno ualiaivo delle emperaure dei luidi nello sambiaore;. deerminare il lusso ermio sambiao (W); 3. alolare il oeiiene di sambio ermio globale U (W/m K). Dopo un periodo di unzionameno dello sambiaore, la superiie dal lao aua è soggea a sporameno he ridue il oeiiene globale di sambio ermio dal valore U al valore U. Nelle nuove ondizioni di unzionameno, a parià di superiie A, di porae e di emperaure di enraa dei luidi: NTU 4. deerminare l eiienza dello sambiaore on la orrelazione ε e ; 5. alolare il lusso ermio sambiao (W); 6. alolare la nuova emperaura di usia dell aua u ( C). A 7 m ; m& kg/s; 487 J/(kgK); e C; u 7 C; 4 C; U 0.85 U. m ( ) & 4870 W e u 3. Δ ml Δ Δ Δ ln Δ 5, K U 73 W/(m K) AΔ ml 4. U A NTU 0,834 m& NTU ε e 0,57 5. m& ( ) max max e e ε W 6699 W 6. u e 7,48 C m& Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 38

39 ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO Irraggiameno Compio del 7 seembre 00 Una avià isolaa ermiamene ha le parei inerne alla emperaura, e sambia alore on l eserno solo per irraggiameno araverso un oro di diamero D. Si deerminino:. la lunghezza d onda λ max [μm] di massima emissione monoromaia;. il lusso ermio speiio [W/m ] emesso dal oro; 3. il lusso ermio [W] sambiao dalla avià on le parei di una sanza a emperaura a. 500 C; D 6 m; a 0 C; osane della legge di Wien: C μm K. T. T + 73,5 773,5 K C dalla legge di Wien: λ 3 3,75 μm T max D T a. 4 σt 5, , W/m 4 4 D σ A( T Ta ) σ π ( T Ta ) 56, W Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 39

40 Compio del 8 diembre 000 Si aloli il lusso ermio speiio radiaivo sambiao ra le due ae di un inerapedine he si rovano alle emperaure 5 C e 5 C, ammeendo he le emissivià siano eguali e pari ad ε 0,8. Si usi il valore σ 5, W/(m K 4 ). A 4 4 σ ( T ) T ε ( ) 8 4 T T W 34.3 m Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 40

41 Compio del 7 giugno 003 Tra due superii piane e parallele e, he si rovano alle emperaure e, è inerposo uno shermo soile alla radiazione. Nell'ipoesi he le disanze ra le superii siano piole rispeo alle dimensioni delle sesse e he ue le superii abbiano la sessa emissivià ε, si deerminino:. il lusso ermio sambiao per unià di superiie, espresso in W/m ;. la emperaura s ( C) a ui si pora lo shermo. 8 4 ε 0,03; σ 5,67 0 W/ ( m K ) ; 350 C; 50 C. T T s T.. R o En En dove: R ε A ε o ε s ε s + A F s + A s ε s + A s ε s + A he in ueso aso pariolare si sempliia in Quindi A A En E A R he si sempliia in Quindi En E A R s ns 4 4 ( T T ) o σ n σ s 4 4 ( T T ) 4 4 ( T T ) A R s A ε R s s A R o on R F s R o ε + A ε A ε 60,3 W/m s ε + A ε A σ s da ui, si riava T s. 533 K 60 C ε F s ε + A ε s s s Oppure, essendo uguali le resisenze R -s e R s- prima e dopo lo shermo: E ns 4 En + En 4 T + T T s T s 533 K 60 C 4 Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 4

42 Compio del 3 luglio 004 Una superiie irolare piana di diamero D, he si rova alla emperaura è sovrasaa da una upola semiseria dello sesso diamero D, he si rova alla emperaura. Si deerminino:. i aori di visa F ed F ;. il lusso ermio, espresso in wa [W], sambiao per radiazione ra le due superii nell ipoesi he enrambe le superii siano nere; 3. il lusso ermio, espresso in wa [W], sambiao per radiazione ra le due superii nell ipoesi he le due superii siano grigie on emissivià pari, rispeivamene ad ε ed ε. 8 4 D 0 m; 0 C; 0 C; 5,67 0 W/ ( m K ) σ ; ε 0,8; ε 0,6.. F ; F / 4 π D ( π D / 4) 0,5 D W 4. A F σ ( T T ) π 5,67 0 ( 93,5 73,5 ) 3390 σ ε + A ε A F ( T T ) A σ ( T T ) W ε + A ε A + ε A ε ε 0,6 + 0,5 0,8 0,6 Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 4

43 Compio del 5 gennaio 000 Si onsiderino due superii piane parallele indeinie, una nera ed una grigia, per le uali si abbia: T 000 K, ε, T 500 K, ε 0,8. Si rovino:. il lusso ermio speiio sambiao per radiazione muua. la radiosià J e l irradianza G per la piasra nera; 3. la radiosià J e l irradianza G per la piasra grigia. ; A Si assuma σ 5, W/(m K 4 ) ε R Aε ε 0 R R AF A Aε E n /\/\/\/\/\/\ O /\/\/\/\/\ O /\/\/\/\/\----- E n J J 4 4 σ. Essendo A A ( T ) A è T A ε + ε F ε + ε inolre, essendo ε ed F, 4 ε σ T W/m. sarà R" 0, R" e ( ) T. J 4 σt W/m E n ( J G ) J G G J 475 A W/m A A J E ε ε n J E n J + E n R3 A ε ε 3. ( ) 475 W/m W/m ( J G ) J G G J A A A Si noi he, dalla orrelazione A F J A G, essendo in ueso aso F e A A A si oiene J G. Analogamene, dalla A F J A G si oiene in ueso aso J G. Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 43

44 Compio del 6 seembre 000 Si aloli la emperaura T s raggiuna da una superiie isolaa pereamene verso l inerno he sambia alore on l eserno eslusivamene per irraggiameno solare, rievendo un irradiazione G s 870 W/m, e per onvezione verso l aria a emperaura T 97 K. Si ipoizzi he il oeiiene di assorbimeno della radiazione solare sia pari a α s (5800 K) 0,50 e he il oeiiene di sambio ermio per onvezione valga α 0 W/(m K). Si veriihi poi (alolandone l enià) he, per la superiie alla emperaura T s osì deerminaa, è ragionevole rasurare gli sambi ermii radiaivi ra la superiie e l amosera (ε a ) a T 97 K nell ipoesi he si abbia ε s (T s ) α s (T ) 0,. onv solare α s (5800 K) G s. Il lusso ermio sambiao on il sole per irraggiameno dovrà essere uguale al lusso ermio sambiao per onvezione on l aria. Perano è: " " α ( 5800 K) G α ( T T ) solare onv s s s T s ( 5800K) α s T + h G s 340,5K. Il lusso ermio sambiao per irraggiameno ra la superiie e l amosera si riava da un bilanio ra il lusso emesso dalla superiie ed il lusso emesso dall amosera ed assorbio dalla superiie. Perano è: " irr. amb ε s ( T s ) E n ( T s ) α s ( T ) ε a E n ( T ) 0, 5, , 5, W 3, m Poihé " irr amb " irr. " α. amb ( 5800K) solare s Gs 0,073 gli sambi ermii radiaivi ra superiie ed amosera sono pari al 7 % ira della radiazione solare assorbia dalla superiie. Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 44

45 Compio del 7 seembre 004 Si simi il lusso ermio per unià di lunghezza sambiao omplessivamene per onvezione naurale e irraggiameno dalla superiie eserna di una ubazione ilindria orizzonale molo lunga, avene diamero D 0, m, emissivià superiiale ε 0,7 e emperaura superiiale s 75 C. La ubazione si rova in un ambiene di grandi dimensioni, le ui parei sono alla emperaura p 5 C e in ui è presene aria alla emperaura 5 C. Per il alolo del oeiiene di sambio ermio per onvezione naurale si usi la orrelazione: Nu Si assumano le segueni proprieà per l aria: D 0,53 Ra ν,8 0-5 m /s; λ 0,08 W/(m K); Pr 0,704. Inolre σ 5, W/(m K 4 ) / 4 D Per la onvezione naurale: s + m 50 C β 0,003 /K T 73, 5 + m m ( ) 3 gβ s D Ra Gr Pr D D Pr 5, ν / 4 D Nu D 0,53 Ra 5,9 Nu α 6,04 W/(m K) D α ( ) 30 W/m D λ s π D 4 W/m onv Per l irraggiameno: ε σ ( Ts T ) ε 5,67 0 ( Ts T ) 69 W/m A π D 0 W/m irr Flusso ermio sambiao omplessivamene per unià di lunghezza: onv + 5 W/m irr Universià degli Sudi di Udine DiEM, Diparimeno di Energeia e Mahine Pagina 45