Convezione termica. Moto dei fluidi viscosi. Viscosità

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1 Convezione ermica Coeiciene di convezione o scambio ermico conveivo resuone una dierenza di emeraura ra la suericie solida ed il luido in conao con essa. Se la convezione è uniorme, con emeraure uniormi, ossiamo deinire la resisenza ermica di convezione R in analogia con i enomeni di resisenza elerica: q R dove q è il lusso ermico conveivo, è la emeraura alla suericie della aree e la emeraura del luido. È reeribile esrimere ale relazione rieria all unià di area, oiché il rocesso ermico diende dall esensione della suericie di conao: q q A RA R Possiamo indicare la conduanza ermica er unià di area con α che raresena il R coeiciene di convezione ermica. Esrimiamo così la densià di lusso ermico conveivo come q α( ) e il lusso ermico come q αa( ) Il coeiciene di convezione ermica è unzione di: caraerisiche del camo dinamico; rorieà isiche del luido; geomeria del sisema sede del enomeno. Moo dei luidi viscosi Viscosià I luidi reali in movimeno sono soggei alle orze di io viscoso, olre a quelle di ressione, gravià e inerzia. Tali orze si maniesano come resisenza inerna ai cambiameni di orma della massa luide e raggono origine da azioni inermolecolari quando aricelle luida sono in movimeno relaivo le une riseo alle alre. inensià delle orze di ario viscoso diende sia dal moo relaivo delle aricelle sia da una rorieà isica caraerisica, dea viscosià dinamica. Per deinire la viscosià dinamica rendiamo in esame la conigurazione di moo di igura: il luido è conenuo ra due suerici iane arallele molo esese, ose a disanza h l una dall alra; la suericie ineriore è issa, menre quella sueriore si muove ad una velocià w riseo alla rima. Suoniamo inolre la ressione cosane in ogni uno. aolo marinis - convezione ermica

2 Il luido aderisce alle suerici assumendone le velocià, e in aricolari condizioni (che deiniremo moo laminare) ossiamo avere ra i due iani un moo ordinao di srai aralleli che scorrono gli uni sugli alri con disribuzione lineare delle velocià: w w( y) y h Per manenere il moo sazionario è necessario alicare alla suericie sueriore una orza F cosane e direa secondo il senso del moo, oiché essa sarà equilibraa dalle orze di ario viscoso che assumono caraere di sorzi angenziali τ cosani. Il rinciio di Newon dell ario viscoso aerma che d w τ µ d y dove µ è dea viscosià dinamica o coeiciene di viscosià. Nel moo dei luidi roviamo, accano alla viscosià dinamica, la viscosià cinemaica ν deinia come: µ ν ρ dove ρ è la densià del luido. elussi laminare e urboleno Nel moo dei luidi viscosi sono ossibili due regimi caraerisici di delusso: il regime laminare e il regime urboleno. Nel regime di delusso laminare le aricelle di un luido ercorrono raieorie ordinae che coincidono con le linee di correne se il moo è sazionario; diendono dal emo e dalla osizione se il moo è vario. Gli srai luidi conengono aricelle che scorrono ordinaamene le une accano alle alre con velocià relaive non nulle. Nel regime di delusso urboleno le aricelle seguono invece raieorie esremamene comlicae: i moi sono caoici e casuali, cosicché le grandezze isiche locali variano nel emo e nello sazio senza leggi recise e deerminabili. aa l enorme comlessià delle conigurazioni dinamiche, i valori locali isananei si esrimono come disribuzione saisica aorno a valori medi emorali iù ermini diendeni in modo casuale dal emo (le comoneni luuani): ad esemio er la velocià secondo gli assi coordinai abbiamo w i wi + w i er i, y, z dove w i sono le comoneni luuani e w i sono i valori medi che si calcolano come τ w i wi d τ τ τ τ dove l inervallo τ τ deve essere breve. o sudio dei enomeni urboleni si a in deiniiva con rierimeno a valori medi emorali delle grandezze di ineresse: i cami di velocià, ressione, emeraura, sono quindi alreane disribuzioni saziali dei riseivi valori medi. Possiamo are un uleriore disinzione: il moo risula urboleno sazionario o vario se i valori medi diendono o meno dal emo. aolo marinis - convezione ermica

3 Srao limie Come deo, i luidi viscosi hanno la endenza ad aderire alle arei che delimiano la correne, riducendo a zero le velocià relaive in corrisondenza del conorno. endiamo come esemio la conigurazione dinamica in rossimià di una iasra iana con emeraura suericiale lambia da una correne luida che scorre arallela alla iasra sessa con velocià w e emeraura s. Consideriamo darima il camo di moo del luido. o srao di sessore δ vicino alla suericie è sede di ori gradieni di velocià e quindi di ori sorzi angenziali: la disribuzione di velocià ino alla disanza δ va dallo al 99% di w. Chiameremo ale zona srao limie dinamico. Considerando oi il camo ermico della zona di luido adiacene alla aree solida, roviamo lo srao limie ermico delimiao dalla disanza δ dove la disribuzione della emeraura è la seguene: ( δ ), 99 Convezione Forzaa Come già deo, il coeiciene di convezione ermica è unzione di svariai arameri. Considerando il roblema dello srao limie in modo dimensionale, abbiamo α (, ρ, c, µ,, w) dove è la dimensione caraerisica del roblema. Considerando invece il roblema come adimensionale, ossiamo scrivere α secondo re soli arameri: i numeri di Nussel, Reynolds, andl. Per quano riguarda il regime laminare, inolre, il numero di Nussel è unzione dei numeri di Reynolds e andl. Numero di Nussel Abbiamo deo che la velocià sulla aree della iasra è nulla: er y, allora, il lusso ermico sarà uramene conduivo ra la aree ed il luido: q q c α ( ) Per il osulao di Fourier ossiamo inolre dire che: d q y d y Unendo quindi le due esressioni, abbiamo: d α ( ) y d y α d( ) y d y aolo marinis - convezione ermica

4 dove nella seconda esressione abbiamo ouo aggiungere nel dierenziale oiché la derivaa di una cosane è nulla. y einendo oi la lunghezza caraerisica del coro y, siccome è una grandezza cosane, ossiamo scrivere: d α d y y y d y d einiamo così il numero di Nussel come: α d Nu y d y N.B.: menre nel numero di Bio raresenava la conducibilià ermica del solido, nel numero di Nussel raresena la conducibilià ermica del luido. Numero di Reynolds Il numero di Reynolds è il raoro ra le orze inerziali e le orze viscose del luido: ρw Re µ dove w è la velocià caraerisica del camo di moo del luido. Elevai valori di Re denoano quindi la resenza di ali raori ra orze di inerzia e orze viscose nella correne: il moo laminare ad ali valori di Re divena insabile e ende ad assumere caraerisiche urbolene. Per ogni io di conigurazione geomerica esise un valore criico di Re, diendene solo dalla scela di e w, al di soo del quale il moo si resena semre laminare. Numero di andl Il numero di andl è il raoro ra la viscosià cinemaica e la diusivià ermica del luido, deinia come: a c ρ Scriveremo quindi il numero di andl come: ν µ c a Per varie considerazioni, ossiamo dire che: δ δ Perano anche il numero di andl inluisce sulla sabilià del moo laminare: er elevae viscosià o diusivià risulano elevai anche gli sessori di srao limie dinamico e ermico riseivamene. Ciò ora la erurbazione a roagarsi a grandi disanze dalla iasra e quindi al regime di moo urboleno. Convezione orzaa laminare eserna su una iasra iana Consideriamo una lasra iana di lunghezza aolo marinis - convezione ermica

5 con emeraura suericiale lambia da una correne luida in moo laminare che corre arallelamene alla iasra sessa con velocià indisurbaa w emeraura indisurbaa s iciamo inolre la disanza dal bordo di aacco. Ainché il moo si manenga sabilmene laminare è necessario che il numero di Reynolds w w locale Re e il numero di Reynolds globale Re siano minori di 5. ν ν Nell ioesi aggiuniva che >, valgono le considerazioni segueni: lo sessore dello srao limie dinamico relaivo alla disanza vale δ 5 Re lo sessore dello srao limie ermico relaivo alla disanza vale δ 5 Re il coeiciene di ario locale alla disanza vale τ,6 C ρw Re menre quello medio su ua la iasra vale,8 C C d Re il numero di Nussel locale alla disanza vale Nu α,re menre quello medio su ua la iasra vale α Nu Nu d,66 Re Possiamo così rovare il valore di α locale:,66 Re Nu α e l esressione del valore medio del coeiciene di convezione: α,66 Re Convezione orzaa urbolena eserna su una iasra iana Consideriamo una lasra iana di lunghezza con emeraura suericiale lambia da una correne luida in moo laminare che corre arallelamene alla iasra sessa con velocià indisurbaa w aolo marinis - convezione ermica 5

6 emeraura indisurbaa s iciamo inolre la disanza dal bordo di aacco. w Il moo è urboleno se il numero di Reynolds locale Re e il numero di Reynolds ν w globale Re sono maggiori di 5. Nell ioesi aggiuniva che,6<<6 valgono le ν considerazioni segueni: lo sessore dello srao limie dinamico relaivo alla disanza vale δ,76 Re 5 lo sessore dello srao limie ermico relaivo alla disanza e ressoché uguale a quello dello sesso re dello srao limie dinamico, in quano il numero di andl urboleno è rossimo ad il coeiciene di ario locale alla disanza vale 5 τ,59 C ρw Re menre quello medio su ua la iasra vale,7 7 C C d Re Re 5 il numero di Nussel locale alla disanza vale Nu α,96re 5 menre quello medio su ua la iasra vale α Nu Nu d,6 Re Possiamo così rovare il valore di α locale:,96 Re α e l esressione del valore medio del coeiciene di convezione: α,96 Re 5 Convezione orzaa eserna er i condoi Esaminiamo il caso di un ubo cilindrico con emeraura suericiale soooso al delusso rasversale di una correne di luido con velocià w e emeraura indisurbae. Il numero di Nussel varia con la osizione del uno sulla circonerenza, ma nella raica basa conoscere il valore medio Nu sull inera suericie. Nel caso iù generale ossiamo usare la correlazione α n Nu C Re dove le cosani C ed n diendono dal numero di Reynolds. aolo marinis - convezione ermica 6

7 ocedura di calcolo er la convezione orzaa eserna a rocedura di calcolo seguene uò essere alicaa alla soluzione di ui i roblemi di convezione orzaa.. Sima delle rorieà ermoisiche Basa valuare la emeraura media di ilm + m con e cosani lungo il delusso, er calcolare di conseguenza le rorieà ermoisiche ρ,µ,c, con m.. Calcolo dei numeri di Reynolds e andl. Scela delle correlazioni Si oera la scela ra le correlazioni disonibili er la geomeria ed il regime di moo del rolema. Occorre are mola aenzione alla discriminane del moo, laminare o urboleno, deerminaa in base al numero di Reynolds.. Calcolo del lusso In base alle correlazioni si valua il numero di Nussel e il coeiciene di ario o di resisenza. Successivamene si calcolano, in rierimeno alla dimensione desideraa, i coeicieni di convezione locale e medio da inserire nelle esressioni: q α ( ) ( ) q α A Convezione orzaa inerna nei condoi a dierenza ondamenale ra convezione inerna ed eserna si ha nel diverso comorameno degli srai limie: all inerno di un condoo, inai, gli srai limie dinamico e ermico raggiungono il cenro del condoo ad una disanza inia direamene roorzionale al numero di Reynolds. a quel uno in oi i cami dinamico e ermico si dicono sviluai, e siamo semre in resenza di moo urboleno. Un alra dierenza con la convezione eserna è daa dai disurbi er la velocià e la emeraura del luido, er le quali bisogna considerare valori medi oorunamene deinii. a velocià media del luido nel condoo uò essere calcolaa con la ormula: m& w wd A An ρa An n Il numero di Reynolds viene così ad essere: ρw w Re µ ν dove è il diamero del ubo. Si uò veriicare serimenalmene che la ransizione da moo laminare a moo urboleno comincia con valori di Re sueriori a ed è comlea er valori sueriori a. a disanza dall imbocco del ubo dove lo srao limie dinamico occa il cenro del ubo è daa dalle esressioni: aolo marinis - convezione ermica 7

8 e,5re er il moo laminare; e er il moo urboleno. Per quano riguarda il camo ermico, dobbiamo rendere in considerazione darima la emeraura media di lusso (o emeraura di mescolameno adiabaico): w d A wan A n Il lusso ermico locale er convezione all inerno di ubi e condoi dal luido alla aree sarà calcolao come: q α ( ) ma dovremo ener cono della variazione di emeraura media nell inera lunghezza del ubo. Possiamo anche considerare la emeraura adimensionale : a disanza dall imbocco del ubo dove lo srao limie ermico occa il cenro del ubo è daa dalle esressioni: e,5re er il moo laminare; e er il moo urboleno. Per numeri di andl diversi da zero, in resenza di camo ermoluidodinamico comleamene sviluao, abbiamo: Nu,66 Nella siuazione in cui il condoo non sia circolare è ossibile usare ue le correlazioni recedeni considerando il diamero idraulico, raoro ra il quadrulo dell area della sezione ed il erimero: A R P ocedura di calcolo er la convezione orzaa inerna a rocedura di calcolo seguene uò essere alicaa alla soluzione di ui i roblemi di convezione orzaa inerna.. Sima delle rorieà ermoisiche Basa valuare la emeraura media ra enraa ed uscia del condoo: e + u m er calcolare di conseguenza le rorieà ermoisiche ρ,c, con m. Per il calcolo della viscosià dinamica µ s si valua con la emeraura della aree.. Calcolo dei numeri di Reynolds e andl. Scela delle correlazioni Si oera la scela ra le correlazioni disonibili er la lunghezza del condoo. Occorre are mola aenzione alla discriminane del moo, laminare o urboleno, deerminaa in base al numero di Reynolds.. Calcolo del lusso aolo marinis - convezione ermica 8

9 In base alle correlazioni si valua il numero di Nussel e il coeiciene di ario o di resisenza. Successivamene si calcolano i coeicieni di convezione locale e medio da inserire nelle esressioni: q α ( ) q α A ml αa ( e ) ( u ) ( ) e ln ( ) Convezione Naurale u a convezione naurale è il rocesso di scambio ermico ra una suericie solida ed un luido nel quale il camo di moo è deerminao dal camo ermico. Il movimeno del luido è causao dalle dierenze di densià ra masse di luido a emeraura diversa che si rovano alla sessa quoa idrosaica. Ciò dà origine a sine di galleggiameno che roducono un moo laminare o urboleno a seconda della geomeria e della dierenza di emeraura ra la suericie ed il luido. Forza di galleggiameno Ricaviamo le equazioni er una iasra iana vericale isoerma. Suoniamo che la lasra abbia una emeraura suericiale maggiore di quella del luido, e che quindi gli srai di luido vicini alla suericie si riscaldino: er la maggior are delle sosanze, ciò rovoca una diminuzione della densià e quindi un moo ascensionale, con la ormazione degli srai limie dinamico e ermico descrii in igura. Per lo srao limie dinamico, la sola dierenza con la convezione orzaa riguarda le orze di massa associae alla gravià, che agiscono nella direzione del moo con comonene negaiva. a orza di galleggiameno che a muovere il luido è daa dalla risulane ra le orze di ressione dovue al riscaldameno e le orze di gravià; er l unià di volume sarà: F ρ g ρg ( ρ ρ)g Analizzando oi la dierenza di ressione ra il uno ed il uno : ρ g osserviamo che il gradiene di ressione d d ρ g è cosane e che quindi le variazioni di densià con la ressione sono rascurabili. Per l analisi del enomeno ossiamo deinire il aramero coeiciene di esansione volumerico: ρ β ρ T ρ ρ ρ aolo marinis - convezione ermica 9

10 er la misura delle variazioni di densià con la emeraura. Nel caso del luido considerao un gas ideale, il coeiciene di esansione volumerico divena l inverso della emeraura. Possiamo così esrimere la orza di galleggiameno come unzione della densià del luido: F βρ ( ρ ρ )g Numeri di Grasho e di Rayleigh Considerando il roblema dello srao limie in modo dimensionale, abbiamo α (, ρ s, c, µ,, F ) dove è la dimensione caraerisica del roblema. Considerando invece il roblema come adimensionale, ossiamo scrivere α secondo re soli arameri: i numeri di Nussel, Grasho, andl. Inolre il numero di Nussel è unzione dei numeri di Grasho e di andl. einiamo il numero di Grasho come il quadrao del numero di Reynolds rierio alla velocià equivalene di galleggiameno w gβ ( ) e si esrime come: eq ( ) gβ Gr ν Possiamo inolre deinire il numero di Rayleigh come il rodoo ra i numeri di Grasho e di andl: Ra Gr Esso è usao come discriminane er deinire se il moo sia laminare (er Ra< 8 ) o urboleno(er Ra> 8 ). Poiché, come deo, il numero di Nussel è unzione dei numeri di Grasho e di andl, sarà allora anche unzione del numero di Rayleigh: Nu n C Ra Convezione naurale er iasra iana vericale Come già ricordao, il valore criico di inizio del moo urboleno è issao er Ra 8. I valori medi del numero di Nussel er una iasra ala H sono: Nu,5Ra Nu,Ra er il moo laminare; er il moo urboleno. a rocedura di calcolo è la sessa già adoaa er la convezione orzaa:. Sima delle rorieà ermoisiche Basa valuare la emeraura media di ilm + m con e s cosani, er calcolare di conseguenza le rorieà ermoisiche ρ,µ,c, con m.. Calcolo dei numeri di Grasho, andl e Rayleigh.. Scela delle correlazioni aolo marinis - convezione ermica

11 Si oera la scela ra le correlazioni disonibili in base alla geomeria ed al regime di moo.. Calcolo del lusso In base alle correlazioni si valua il numero di Nussel e il coeiciene di ario o di resisenza. Successivamene si calcolano i coeicieni di convezione locale e medio da inserire nell esressione: q α A ( ) Convezione naurale er iasra iana orizzonale In quesa conigurazione geomerica assumiamo come dimensione caraerisica il raoro ra suericie e erimero: A P Nel caso di iasra iana calda rivola verso l alo o redda rivola verso il basso ossiamo usare le correlazioni: Nu,5Ra Nu,Ra er il moo laminare; er il moo urboleno. Con iasra iana calda rivola verso il basso e redda rivola verso l alo non si hanno movimeni di luido. Convezione naurale eserna er cilindro orizzonale a convezione naurale che si insaura su un cilindro orizzonale di diamero molo minore della lunghezza assiale è schemaizzaa in igura. Possiamo usare le correlazioni: Nu,5Ra Nu,Ra er il moo laminare; er il moo urboleno. aolo marinis - convezione ermica