I numeri decimali. Ricorda: ogni frazione rappresenta il quoziente fra numeratore e denominatore.

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1 IL NUMERO I numeri decimali Unità Frazioni decimali Si dice frazione decimale una frazione il cui denominatore è una potenza di. ; ; 00 ; 000. Ricorda: ogni frazione rappresenta il quoziente fra numeratore e denominatore. frazione decimale decimal fraction fraction décimale fracción decimal A ogni frazione decimale corrisponde un numero decimale con un numero finito di cifre decimali, detto numero decimale limitato. Frazione generatrice di un numero decimale limitato Si dice frazione generatrice la frazione che dà origine a un numero decimale. = : = 0, ; = 5 7 : 00 = 5, 7; Puoi sempre passare da un numero decimale limitato alla corrispondente frazione generatrice nel seguente modo: al numeratore scrivi il numero senza la virgola 5 5, ; = : =, ; = : =,. numero decimale limitato finite decimal representation nombre décimal limité número decimal limitado frazione generatrice producer fraction fraction génératrice fracción generatriz al denominatore scrivi seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero 5 5,.

2 IL NUMERO Frazioni riducibili a frazioni decimali Le frazioni non decimali sono dette frazioni ordinarie. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini può essere trasformata in una frazione decimale quando la scomposizione in fattori primi del suo denominatore contiene soltanto i fattori e 5, oppure uno solo di essi. Per esempio, considera la frazione : = ; scomponendo il denominatore in fattori primi hai: frazioni ordinarie vulgar fractions fractions normales fracciónes ordinarias = la frazione può essere trasformata in frazione decimale; infatti 0 è multiplo di secondo 5. Applica la proprietà invariantiva: 5 75 ; la frazione decimale 75 è equivalente a = La frazione decimale può essere scritta sotto forma di numero decimale: numero decimale limitato = 75 0 = 75 : 0 = 0, 75 che si ottiene dalla trasformazione della frazione. Numeri decimali periodici Considera la frazione : : =, La divisione potrebbe continuare all infinito; la cifra che si ripete si dice periodo e si indica con un trattino sopra. Questo tipo di numero decimale è detto numero decimale periodico. periodo period période período numero decimale periodico recurring (or repeating) decimal nombre décimal périodique número decimal periódico

3 I numeri decimali a) Un numero decimale periodico semplice è formato da una parte intera e da un periodo che inizia subito dopo la virgola; si ottiene dalla trasformazione di una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene né né 5 come fattori primi. parte intera, = : =,. b) Un numero decimale periodico misto è formato da una parte intera e da un periodo preceduto da un antiperiodo; si ottiene dalla trasformazione di una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori primi, oltre al e al 5, altri numeri. 0,. trattino che indica il periodo periodo trattino che indica il periodo numero decimale periodico semplice simple recurring (or repeating) decimal nombre décimal périodique simple número decimal periódico puro parte intera whole part part entière parte entera parte intera antiperiodo periodo 5 = 0,. trasformazione transformation transformation transformación numero decimale periodico misto mixed recurring (or repeating) decimal nombre décimal périodique mixte número decimal periódico mixto antiperiodo pre-period antipériode anteperíodo

4 IL NUMERO Frazione generatrice di un numero decimale periodico a) Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice: al numeratore inserisci la differenza fra il numero scritto senza virgola (con il periodo considerato una sola volta) e la parte intera del numero 5 5, = ; al denominatore inserisci un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo 5, 5 = = 9 9. b) Frazione generatrice di un numero decimale periodico misto: al numeratore inserisci la differenza fra il numero scritto senza virgola (con il periodo considerato una sola volta) e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo (parte intera e antiperiodo), = ; al denominatore inserisci un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo, 5 = = Espressioni con i numeri decimali Per calcolare il valore di un espressione con i numeri decimali limitati e i numeri decimali periodici, devi trasformare i numeri decimali in frazioni e poi eseguire i calcoli indicati. 05, : ( 0, +, ) 0, = 5 0 = : + = = : = 5 = : = : = 5 = =.

5 IL NUMERO La radice quadrata Unità La radice di un numero La radice ennesima di un numero è quel numero che elevato alla potenza ennesima dà come risultato il numero dato. indice del radicale radicale radice root racine raíz 5 = 5 radice quinta segno di radice radicando Quando l indice del radicale è, la radice si dice radice quadrata e l indice non viene scritto, ma sottinteso. radice quadrata square root racine carrée raíz cuadrada 9 = 9 = si legge: la radice quadrata di 9 è uguale a. Quando l indice del radicale è, la radice si dice radice cubica. 5 = 5 radice cubica cube root racine cubique raíz cúbica si legge: la radice cubica di 5 è 5. Calcolo della radice quadrata dei quadrati perfetti Un quadrato perfetto è un numero naturale la cui radice quadrata è un altro numero naturale. Tra i primi 0 numeri naturali i quadrati perfetti sono:,, 9,, 5,, 9,,, 0. quadrato perfetto perfect square carré parfait cuadrado perfecto Se un numero termina con,, 5,, 9 o con un numero pari di zeri può essere un quadrato perfetto: : quadrato perfetto di ; non è un quadrato perfetto. 5

6 IL NUMERO Se un numero termina con,, 7, o con un numero dispari di zeri certamente non è un quadrato perfetto. 7,, non sono quadrati perfetti. Per calcolare la radice quadrata di un quadrato perfetto puoi utilizzare le tavole numeriche in due modi. Per esempio, se devi calcolare 7 : metodo tavole numeriche numerical tables tables numériques tablas numéricas n n n n n ,9 9, ,9 9, ,9 9, , ,079 9, ,057 9, ,055 9, cerca la riga del numero 7; scegli la colonna n ; individua il numero che si trova all incrocio fra la riga del numero 7 e la colonna n. riga row ligne línea Quindi: 7 =. metodo n n n n ,0990, ,9, ,95, ,5, ,77,7 n colonna column colonne columna cerca il numero 7 nella colonna n ; determina il numero che elevato al quadrato dà come risultato 7, cioè individua nella colonna n il numero che si trova sulla riga di 7. Quindi: 7 =.

7 La radice quadrata Attenzione: se il radicando è maggiore di 000, puoi usare solo il metodo. Radici quadrate approssimate Per calcolare la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto ed è inferiore a 000, puoi utilizzare le tavole numeriche. devi utilizzare il metodo illustrato nel pa- Per esempio, per calcolare ragrafo precedente: 79 n n n n n ,7 9, , 9, , 9,50 Dato che 79 non è un quadrato perfetto, ottieni una radice approssimata. Approssimazione per eccesso e per difetto: 79 =,. per difetto per eccesso approssimazione 9 a meno di unità,, a meno di un decimo,,5 a meno di un centesimo,, a meno di un millesimo quadrata radice quadrata approssimata approximate square root racine carrée approchée raíz cuadrada aproximada La radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto è un numero irrazionale, cioè un numero decimale illimitato non periodico. illimitato infinite illimitée ilimitado 7

8 IL NUMERO Radice quadrata di un prodotto e di un quoziente a) La radice quadrata del prodotto di due o più numeri, che siano quadrati perfetti, è uguale al prodotto delle radici quadrate dei numeri stessi. 5 = 00 = 0; oppure 5 = 5 = 5 = 0. b) La radice quadrata del quoziente di due numeri, che siano quadrati perfetti, è uguale al quoziente delle radici quadrate dei numeri stessi. 0 : 5 = = ; oppure 0 : 5 = 0 : 5 = : 5 =. Radice quadrata di un espressione aritmetica Per determinare la radice quadrata di un espressione aritmetica, devi eseguire i calcoli indicati sotto il segno di radice, poi devi calcolare la radice quadrata = 5 = = = + + = = + + = + = = = =.

9 Rapporti e proporzioni IL NUMERO Unità Rapporto fra due numeri Si dice rapporto fra due numeri a e b il quoziente della divisione di a per b e si scrive a : b, oppure a. b a è il primo termine del rapporto e si dice antecedente; b è il secondo termine del rapporto e si dice conseguente. rapporto ratio rayon razón Il rapporto tra e è 5. Si scrive: : = 5 oppure = 5. Rapporto fra due grandezze Ricorda: si chiama grandezza tutto ciò che è misurabile. a) Rapporto fra due grandezze omogenee Due grandezze si dicono omogenee quando sono dello stesso tipo (per esempio lunghezza con lunghezza, peso con peso ). antecedente antecedent antécédent antecedente Il rapporto tra due grandezze omogenee è il rapporto tra le loro misure, determinate utilizzando la stessa unità di misura. A B CD = cm. C D Il rapporto fra AB e CD è. AB Si scrive: AB : CD = : = oppure. CD = = AB = cm; conseguente consequent conséquent consecuente grandezze omogenee homogeneous quantities grandeurs homogènes cantidades homogéneas unità di misura unit of measurement unité de mesure unidad de medida 9

10 IL NUMERO b) Rapporto fra due grandezze non omogenee Il rapporto tra due grandezze non omogenee è una nuova grandezza; l unità di misura della nuova grandezza è data dal rapporto tra le unità di misura delle grandezze di partenza. Considera l esempio: spazio percorso = 00 km; tempo impiegato = h; spazio percorso tempo impiegato = 00 km h = = 0 km/h velocità media (unità di misura km/h). Proporzioni Un uguaglianza di due rapporti è detta proporzione: : = :, grandezze non omogenee heterogeneous quantities grandeurs non homogènes cantidades heterogéneas proporzione proportion proportion proporción si legge: sta a come sta a. a : b = c : d antecedenti a : b = c : d medi a : b = c : d conseguenti a : b = c : d estremi antecedenti antecedents antécédents antecedentes Se i due termini medi sono uguali, la proporzione si dice continua e il termine medio si dice medio proporzionale: : = :. conseguenti consequents conséquents consecuentes Proprietà delle proporzioni a) Proprietà fondamentale Data una proporzione: a : b = c : d si ha che: a d = b c. 9 : = 5 : 5; 9 x 5 = x 5 = 5. medi intermediates moyens medios proporzione continua continuous proportion proportion continue proporción continua medio proporzionale proportional mean moyen proportionnel medio proporcional estremi extremes extrêmes extremos 0

11 Rapporti e proporzioni b) Proprietà del permutare Data una proporzione: a : b = c : d si ottengono altre proporzioni: d : b = c : a; a : c = b : d; d : c = b : a. : 7 = : ; : 7 = : ; : = 7 : ; : = 7 :. c) Proprietà dell invertire Data una proporzione: a : b = c : d si ottiene ancora una proporzione: b : a = d : c. : = : 5; : = 5 :. d) Proprietà del comporre Data una proporzione: a : b = c : d si ha che: (a + b) : a = (c + d) : c e (a + b) : b = (c + d) : d. : = : ; ( + ) : = ( + ) : ( + ) : = ( + ) :. e) Proprietà dello scomporre Data una proporzione: a : b = c : d si ha che: (a b) : a = (c d) : c e (a b) : b = (c d) : d. : = 0 : ; ( ) : = (0 ) : 0 ( ) : = (0 ) :. Calcolo del termine incognito di una proporzione Nelle proporzioni di cui si conoscono solo tre termini, il termine mancante è detto termine incognito e generalmente viene indicato con la lettera x. Per determinare il termine incognito devi applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni. x : b = c : d a : x = c : d a : b = x : d a : b = c : x x x x x b c = d a d = c a d = b b c = a x : 0 = : : x = : : = x : 5 : = 5 : x Attenzione: da questo momento l operazione di moltiplicazione viene indicata con il simbolo. 0 x = = 5; x = = 9; x = = ; 5 x = =. 5 proprietà del permutare permutability propriété de la permutation propiedad de permutar proprietà dell invertire invertibility propriété de l inversion propiedad de invertir proprietà del comporre compoundability propriété de la composition propiedad de componer proprietà dello scomporre distributivity propriété de la décomposition propiedad de descomponer incognito unknown inconnu incógnito simbolo symbol symbole símbolo

12 Unità IL NUMERO La proporzionalità diretta e inversa Costanti, variabili, funzioni Le grandezze che mantengono sempre lo stesso valore si dicono costanti. Le grandezze che possono assumere valori diversi si dicono variabili. Quando due grandezze x e y sono legate tra loro in modo tale che a ogni valore di x corrisponde uno e un solo valore di y, si dice che y è funzione di x. Si scrive: y = f(x) e si legge: y uguale a effe di x. Grandezze proporzionali a) Grandezze direttamente proporzionali Due grandezze sono direttamente proporzionali quando al raddoppiare, triplicare, quadruplicare dell una, anche l altra raddoppia, triplica, quadruplica Per esempio, il numero di pennarelli acquistati e la spesa relativa: pennarello,50; pennarelli,50 x = ; pennarelli,50 x =,50. b) Grandezze inversamente proporzionali Due grandezze sono inversamente proporzionali quando al raddoppiare, triplicare, quadruplicare dell una, l altra diventa la metà, la terza parte, la quarta parte Per esempio, le misure della base e dell altezza di rettangoli equivalenti (con la stessa area): area = base = altezza = ; area = base = altezza = ; area = base = altezza =. grandezze inversamente proporzionali inversely proportional values grandeurs inversement proportionnelles magnitudes inversamente proporcionales costanti constants constants constantes variabili variables variables variables y è funzione di x y is a function of x y est la fonction de x y es función de x grandezze direttamente proporzionali proportional values grandeurs directement proportionnelles magnitudes directamente proporcionales

13 La proporzionalità diretta e inversa grandezze direttamente proporzionali grandezze inversamente proporzionali legge generale y = kx y = x y = k y = x x costante (coefficiente di proporzionalità) indicata con k k è il coefficiente di proporzionalità diretta, cioè il rapporto costante tra y e x: y k = = y x x k è il coefficiente di proporzionalità inversa, cioè il prodotto costante tra y e x: k = x y = x y rappresentazione grafica semiretta uscente dall origine O dei semiassi x 0 y 0 y iperbole equilatera x y y iperbole equilatera equilateral hyperbola hyperbole équilatère hipérbole equilátera O x O x