Prova d esame di Calcolo delle probabilità C.L. triennale in Matematica

Transcript

1 Prova d esame di Calcolo delle probabilità C.L. triennale in Matematica 1. Quattro coppie di sposi salgono su un bus con 8 posti a sedere, disposti in 4 coppie di sedili adiacenti. Se le 8 persone salgono sul bus completamente a caso, qual è la probabilità che ogni marito sieda vicino alla propria moglie? 2. Un commerciante acquista lampadine da due fornitori, A e B, in egual misura. Scopre che il 15% delle lampadine fornite da B è difettoso, mentre solo il 3% di quelle forniti da A è difettoso. Egli ha in magazzino una confezione di lampadine, ma non ricorda da quale fornitore l ha acquistata. Apre la confezione e testa quindi 20 lampadine, di cui 2 risultano essere difettose. In base al risultato del test, qual è la probabilità che la confezione provenga dal fornitore B? 3. Andrea e Barbara fanno il gioco seguente: ad ogni estrazione del lotto, guardano i primi 2 numeri usciti sulla ruota di Venezia, e: - se entrambi i numeri estratti sono pari, vince Barbara (e il gioco si conclude); - se i numeri estratti sono uno pari ed uno dispari, vince Andrea (e il gioco si conclude); - se entrambi i numeri estratti sono dispari, si aspetta l estrazione successiva (e il gioco continua seguendo le stesse regole per le estrazioni successive...). Sia A l evento il gioco si conclude con la vittoria di Andrea. (a) Consideriamo una singola estrazione, diciamo l n-ma. Calcolare la probabilità dell evento A n = all n-ma estrazione escono un numero pari ed un numero dispari. Dedurne le probabilità di B n = all n-ma estrazione escono due numeri pari, C n = all n-ma estrazione escono due numeri dispari. (b) Sia X la v.a. che indica la durata del gioco. Scrivere la densità di probabilità di X. Qual è la probabilità che il gioco non finisca mai? (c) Calcolare la probabilità che il gioco si concluda all n-ma estrazione con la vittoria di Andrea. (d) Calcolare p(a) (utilizzando il punto precedente). 4. Siano X, Y v.a. aventi densità congiunta data da 6 f(x, y) = (1 + x + y) 4 x 0, y 0 0 altrove. (a) Le v.a. X ed Y sono equidistribuite? Rispondere senza fare conti. (b) Calcolare le densità marginali delle v.a. X ed Y. (c) Le v.a. X ed Y sono indipendenti? (d) Calcolare E[X]. (e) Scrivere la densità della v.a. Z = 2X. 5. Il numero di passeggeri che giornalmente percorrono una certa tratta ferroviaria è una v.a. di media 3000 e varianza 10 6, ma di distribuzione incognita. Calcolare approssimativamente la probabilità che in 30 giorni il numero totale di passeggeri che percorrono quella tratta sia almeno

2 Prova d esame di Calcolo delle probabilità C.L. triennale in Matematica 1. Un uomo va ad ordinare una nuova automobile. Per il modello da lui richiesto, vi sono le seguenti possibilità di scelta: 9 colori, aria condizionata o meno, sedili in pelle o meno, vetri oscurati o meno, 4 o 6 o 8 airbag, lettore cd o meno. Supponiamo che l uomo faccia ogni scelta completamente a caso. Siano: A= l uomo ordina un auto con sedili in pelle, vetri oscurati e senza lettore cd, B= l uomo ordina un auto nera con sedili in pelle ed 8 airbag Calcolare la probabilità degli eventi A, B ed A B. 2. Si considerino le v.a. X ed Y. Supponiamo che Y assuma i valori 0 e 1 con probabilità rispettivamente 3/4 e 1/4. Supponiamo inoltre che: (a) Calcolare la densità della v.a. X. p(x = 0 Y = 0) = 1/2, p(x = 1 Y = 0) = 1/2, p(x = 0 Y = 1) = 1/3, p(x = 1 Y = 1) = 2/3. (b) Calcolare la densità congiunta delle v.a. X ed Y. 3. Nel gioco della morra a due dita, due giocatori mostrano 1 o 2 dita e simultaneamente cercano di indovinare quante dita l avversario mostrerà, dicendolo a voce alta. Se uno solo dei due giocatori indovina il numero di dita, vince tanti euro quanti la somma del numero di dita mostrate dai due giocatori. Se entrambi i giocatori indovinano, oppure nessuno dei due indovina, allora nessuno vince nulla. Si consideri uno dei due giocatori, e sia X la sua vincita (in euro) in una singola mano del gioco. Supponiamo che i giocatori giochino indipendentemente l uno dall altro, e che ognuno dei due giocatori giochi in maniera del tutto casuale, senza una strategia. (a) Calcolare la densità di probabilità della v.a. X. (b) Calcolare la vincita media del giocatore in una mano del gioco. 4. Un urna contiene 10 monete: 8 sono eque, mentre le altre 2 danno testa con probabilità 2/3 e croce con probabilità 1/3. (a) Si sceglie a caso una moneta e la si lancia 100 volte. Sia A k l evento si ottiene k volte testa nei 100 lanci. Quanto grande deve essere k affinchè la probabilità che la moneta sia equa sapendo che A k si è verificato sia 50%? (b) Sia k 0 il valore di k determinato al punto precedente. Calcolare la probabilità che una moneta truccata lanciata 100 volte dia un numero di teste inferiore a k Un programma deve eseguire 30 simulazioni, ciascuna delle quali consiste di due fasi successive ed indipendenti, la cui durata (in secondi) si modellizza con due v.a. esponenziali X ed Y di parametri rispettivamente 1/2 ed 1. (a) Calcolare la probabilità che il programma richieda per l esecuzione più di 100 secondi. (b) Se invece ogni simulazione avesse una durata esponenziale di parametro 1/3, quale sarebbe la risposta alla domanda precedente? (c) Se ogni simulazione avesse una durata esponenziale di parametro 1/3, il tempo di esecuzione del programma che v.a. sarebbe? Scriverne la densità ; scriverne la funzione di distribuzione, indicando come calcolarla (ma senza eseguire il calcolo!) 1

3 Prova d esame di Calcolo delle probabilità C.L. triennale in Matematica 1. Si lanciano contemporaneamente 4 dadi equi. Calcolare la probabilità di ottenere: (a) 4 numeri diversi; (b) 3 numeri uguali tra loro ed uno diverso; (c) 2 coppie di numeri uguali tra loro (ma non quattro numeri uguali!!); (d) 2 numeri uguali tra loro, il terzo diverso, il quarto ancora diverso dai precedenti. 2. Due amici si trovano entrambi in coda ad uno sportello, assieme ad altre n 2 persone. (a) Qual è la probabilità che essi siano separati esattamente da k persone, 0 k n 2? (b) Quante persone mi aspetto che ci siano tra i 2 amici? 3. Il numero di volte in cui una persona prende l influenza in un anno è una variabile aleatoria X di Poisson di parametro λ = 5. Viene commercializzata una medicina, la casa farmaceutica sostiene che tale medicina riduca il parametro della variabile X a µ = 3 per il 75% della popolazione; per l altro 25% della popolazione, la medicina non ha effetti apprezzabili. Un individuo prova la medicina per un anno, e durante tale anno prende l influenza due volte. Calcolare la probabilità che la medicina sia per lui efficace. 4. Si lancino tre monete eque identiche. Si rilancino poi le sole monete che al primo lancio hanno dato testa. Sia X la v.a. che conta il numero di teste ottenute al secondo lancio. (a) Scrivere la densità e la funzione di distribuzione della.v.a. X. (b) Calcolare media e varianza di X. kx α 1 x (0; 1] 5. Sia α > 0 e f(x) = 0 altrove, (a) Determinare k in modo tale che f sia una densità. (b) Sia X una v.a. con densità f. Scrivere la funzione di distribuzione della v.a. X. (c) Calcolare E[X]. (d) Sia Y = log X. Che tipo di v.a. è Y? 6. Una società intende effettuare un sondaggio per decidere quale tra i due partiti politici A e B abbia la maggioranza. A tale scopo sceglie un campione di 900 votanti a cui chiede di quale orientamento siano; tutti gli intervistati rispondono a favore dell uno o dell altro partito. Supponiamo che la percentuale dei simpatizzanti del partito A su tutta la popolazione votante sia del 52%. (a) Qual è la probabilità che anche nel campione selezionato il partito A sia maggioritario? (b) Quanto deve essere grande il campione per far sì che sia almeno del 99% la probabilità che nel campione il partito A sia maggioritario? 1

4 Prova d esame di Calcolo delle probabilità C.L. triennale in Matematica 1. Qual è la probabilità che lanciando due dadi equi si verifichi l evento E = i due dadi mostrano lo stesso numero oppure la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi è 8? 2. Ci sono 6 carte, con i seguenti numeri stampati sulle facce: 1 2, 2 3, 2 3, 3 4, 3 4, 3 4. Due giocatori siedono uno di fronte all altro. Le carte vengono mescolate in un sacchetto, quindi se ne estrae una a caso e la si pone in mezzo ai due giocatori, in modo tale che ognuno dei giocatori veda una sola faccia della carta estratta. Vince chi vede il numero più piccolo. Supponiamo che la carta estratta sia la 2 3. Quale probabilità di vittoria ritengono di avere rispettivamente i due giocatori, in base alla carta che vedono? 3. Un dado rosso ed un dado blu vengono lanciati ripetutamente e separatamente. Si considerino le v.a. X = numero di lanci necessario per ottenere 5 con il dado rosso, ed Y = numero di lanci necessari per ottenere 1 oppure 3 con il dado blu. (a) Scrivere la densità delle v.a. X ed Y e calcolarne il valore atteso. (b) Sia Z = max{x, Y }. Scrivere la funzione di distribuzione di Z. Dedurne la densità di Z. (c) Calcolare il valore atteso di Z. α 1 + x 4. Siano α > 0 e f(x) = 2 x 0 0 x < 0. (a) Determinare α in modo tale che f sia una densità di probabilità. (b) Sia X una v.a. con densità f. Scrivere la funzione di distribuzione della v.a. X. (c) Calcolare E[X]. (d) Sia Y = X 2. Scrivere la funzione di distribuzione di Y e tracciarne un grafico approssimativo. 5. Paolo lancia ripetutamente un dado equo, e vince 1 euro ogni volta che esce il numero 6. (a) Qual è la probabilità che in 1200 lanci egli vinca dai 190 ai 215 euro? (b) Supponiamo che ogni giocata gli costi 10 centesimi di euro. Quante giocate deve fare per essere sicuro al 95% di non concludere il gioco in passivo? 1

5 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini si nascondono ed un adulto li va a cercare. Ogni bambino sceglie completamente a caso la stanza in cui nascondersi. Calcolare la probabilità che: (a) ci siano due bambini nascosti in bagno; (b) ci siano due bambini nascosti in ogni stanza; (c) ci siano due bambini nascosti in una stanza, cinque in un altra, uno in un altra stanza ancora e nessuno nella stanza rimanente. 2. Un paese ha n + 1 abitanti. Uno di essi racconta un pettegolezzo ad una seconda persona, la quale a sua volta lo racconta ad una terza persona, eccetera. Supponiamo che ognuno scelga completamente a caso la persona a cui confidare il pettegolezzo (tra le n a cui può raccontarlo). (a) Qual è la probabilità che il pettegolezzo venga raccontato k volte senza tornare alla prima persona da cui è partito? (b) Qual è la probabilità che il pettegolezzo venga raccontato k volte senza tornare a nessuna delle persone che già lo hanno ricevuto? (c) 1 Supponiamo ora che ogni persona racconti il pettegolezzo ad N 2 compaesani scelti a caso. Come cambiano le risposte alle due domande precedenti? 3. In un liceo vi sono due sezioni (A e B), un esaminatore esterno interroga le classi quinte in preparazione dell esame di maturità. Entrambe le quinte sono composte di 30 studenti, ma: una classe ha 15 studenti bravi, 10 studenti medi e 5 studenti scarsi, mentre l altra ne ha 5 bravi, 10 medi, 15 scarsi. L esaminatore conosce questi dati, ma non sa quale delle due sia la classe dei bravi e quale la classe degli scarsi. L esaminatore interroga un ragazzo a caso in VA, ed individua uno studente medio. Interroga poi un ragazzo a caso in VB, ed individua uno studente scarso. Qual è la probabilità che la VA sia la classe dei bravi? 4. Si lanciano contemporaneamente due dadi. Consideriamo le v.a. X = punteggio del primo dado, ed Y = massimo tra i punteggi dei due dadi. (a) 2 Calcolare la distribuzione congiunta di X ed Y. (b) Qual è la probabilità che il massimo tra i due punteggi ottenuti sia inferiore a 5? (c) Trovare media e varianza sia di X che di Y. 5. Si lancia ripetutamente un dado fino a che non esce il numero 5. Al primo lancio non esce il 5. Qual è la probabilità che servano più di tre lanci? 6. Un urna contiene n palline nere. Si toglie una pallina nera, ed al suo posto se ne inserisce un altra che è: nera con probabilità p (0; 1), oppure bianca con probabilità 1 p. Si toglie quindi un altra pallina nera, ed al suo posto si inserisce pallina nera con probabilità p, pallina bianca con probabilità 1 p, e così via. Quante estrazioni sono necessarie in media perché l urna non contenga più alcuna pallina nera? 1 Opzionale: +3 punti 2 Opzionale: +2 punti. Si osservi che lo svolgimento del punto (a) facilita lo svolgimento dei punti successivi. D altra parte, (b) e (c) possono anche essere svolti senza aver prima fatto (a). 1

6 Seconda prova parziale di Calcolo delle probabilità I 1. I mancini costituiscono l 1% degli studenti dell Università di Ferrara. Calcolare approssimativamente la probabilità di trovare almeno 4 mancini in un campione casuale di 200 studenti dell Università di Ferrara. 2. Il tempo necessario per riparare una automobile è una v.a. esponenziale di media 2 ore. Calcolare: (a) la probabilità che per la riparazione siano necessarie più di 2 ore; (b) la probabilità che la durata della riparazione superi le 10 ore, sapendo che essa supera le 9 ore. 3. Un benzinaio riceve rifornimenti di gasolio una volta alla settimana. La sua vendita settimanale (espressa in migliaia di litri) è una v.a. con densità { k(1 x) 4 x (0; 1) f(x) = 0 altrimenti. (a) Determinare la costante k. (b) Quanti litri di gasolio alla settimana vende in media il benzinaio? (c) Qual è la probabilità che la vendita di gasolio del benzinaio, in una certa settimana, sia più del doppio di quanto egli si aspetti? (d) Il serbatoio che il benzinaio possiede ha capacità c. Quanto deve valere c affinchè la probabilità che il gasolio sia esaurito in una settimana sia 0.01? 4. Si lancia una moneta volte, e si ottengono 5200 teste. Il modello moneta equa è da rigettare? 5. In una fabbrica a ciclo continuo, un macchinario non può funzionare se si guasta un suo certo componente; in caso di guasto, il componente viene immediatamente sostituito. Il tempo medio di vita di un componente di tale tipo è di 100 ore, con deviazione standard di 30 ore. Quanti componenti deve avere immagazzinato la fabbrica affinchè il sistema sia sempre funzionante per le prossime 2000 ore con probabilità almeno del 95%? 6. 3 Il numero di uova depositate da un certo insetto è una v.a. di Poisson di parametro λ. La probabilità che un uovo, una volta depositato, si sviluppi e dia origine ad un nuovo insetto è p; supponiamo che i destini delle singole uova siano tra loro indipendenti. Dimostrare che la v.a. N= numero di nuovi insetti nati ha la distribuzione di Poisson di parametro λp. 3 Si calcoli p(n = k), k = 0, 1, 2,. Nel calcolo intervengono sia la distribuzione binomiale che la distribuzione di Poisson... 2

7 Al bordo di una strada ci sono N parcheggi in fila. Una macchina è parcheggiata in uno degli N posti che non è nè nel primo, nè l ultimo. Al suo ritorno, il proprietario dell auto vede che esattamente n degli N posti sono ancora occupati. Qual è la probabilitá che i due posti adiacenti alla sua macchina siano entrambi liberi? 2. Da un mazzo di carte da briscola si prendono le 10 carte di coppe, e le si mescolano accuratamente. Da esse si estraggono due carte, con reimbussolamento. Poi si estraggono altre due carte, ma stavolta senza reimbussolamento. Qual è la probabilitá che esattamente tre tra tutte le carte estratte siano figure? 3. Una prova d esame scritta consiste di tre domande. La probabilitá che lo studente sappia rispondere alla prima è 0.9, alla seconda è 0.5, alla terza 0.3. Il fatto di saper rispondere ad una domanda è indipendente dal saper rispondere alle altre. Calcolare la probabilitá che: (a) lo studente risponda correttamente ad una sola domanda; (b) lo studente risponda correttamente ad almeno una domanda; (c) lo studente abbia risposto correttamente alla domanda piú facile, sapendo che ha risposto correttamente ad una sola domanda. 4. Una coppia di sposi vuole avere figli di sesso diverso, e decide di continuare ad averne fino a che non raggiunge lo scopo. Ad ogni nascita, sia p la probabilitá di avere una femmina, q = 1 p la probabilitá di avere un maschio. Sia X la v.a. che conta il numero di figli di quella coppia. (a) Calcolare la densità di X. (b) 4 Nel caso particolare in cui maschi e femmine siano equiprobabili, calcolare E[X] e V [X]. 5. Una stazione è servita da due soli autobus. L autobus A passa alla stazione ogni 15 minuti a partire dalle 7 del mattino. L autobus B passa alla stazione ogni 15 minuti a partire dalle 7:05 del mattino. Un passeggero arriva alla stazione in un istante che è uniformemente distribuito tra le 7 e le 8 del mattino, e sale sul primo autobus che arriva. Qual è la probabilità che egli salga su un autobus della linea A? 6. Un ragazzo possiede due monete indistinguibili, una equa ed una truccata, la quale dà testa nel 55% dei casi. Per capire quale delle due è quella truccata, egli ne sceglie una a caso ed effettua quindi il seguente test: lancia la moneta 1000 volte, e conta il numero di teste uscite. Se la moneta dà testa non più di 525 volte, egli conclude che si tratta della moneta equa, altrimenti egli conclude che si tratta di quella truccata. (a) Supponiamo che la moneta che il ragazzo sta testando sia effettivamente equa. Qual è la probabilità che egli prenda la decisione sbagliata? (b) E se invece egli ha effettivamente testato la moneta truccata, qual è la probabilità che egli prenda la decisione sbagliata? 4 Si applichino le formule: ka k 1 1 = (1 a) 2 e k=1 k 2 a k 1 = k=1 1 + a, entrambe valide per gli a (0, 1). (1 a) 3 3

8 Qual è la probabilitá che i compleanni di 6 persone cadano tutti in 2 mesi, cosicché nei rimanenti 10 mesi dell anno non ci sia nessun compleanno? 2. Un urna contiene due palline bianche e due palline nere. Si estrae a caso una pallina, e la si sostituisce con una pallina bianca. Si estrae a caso un altra pallina, e la si sostituisce con una pallina bianca. Si estrae una terza volta. Qual è la probabilitá di ottenere una pallina bianca alla terza estrazione? 3. Si girano, una alla volta, le carte di un mazzo da 52 carte da poker ben mescolate. Calcolare il numero atteso di carte che devono essere girate per ottenere (a) 2 assi; (b) 5 picche; (c) tutte le 13 carte di cuori. 4. I daltonici costituiscono l 1% di una certa popolazione. Si estrae dalla popolazione un campione casuale di individui (con reimbussolamento). (a) Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 individui non vi sia alcun daltonico? (b) Qual è la probabilità che in un campione casuale di 200 individui vi siano almeno due daltonici? (c) Quanto grande deve essere un campione casuale di n individui affinchè sia non inferiore a 95% la probabilità di trovare almeno un daltonico nel campione? 5. Sia X una v.a. uniformemente distribuita su (0, 5). Qual è la probabilità che l equazione abbia radici reali? 4t 2 + 4Xt + X + 2 = 0 6. Il tempo di vita di un certo tipo di lampadina una v.a. esponenziale di media 5 ore. (a) Una lampadina di questo tipo ha già funzionato per 6 ore; qual è la probabilità che essa funzioni per almeno 8 ore? (b) Si possiedono 100 lampadine del tipo sopra descritto. Le lampadine vengono utilizzate una alla volta, sostituendo immediatamente ogni lampadina che si fulmina con una nuova. Qual è la probabilità che dopo 525 ore le lampadine non siano tutte esaurite? 4

9 Alice, Barbara, Carlo, Diego ed Elisa si dispongono in fila in modo completamente casuale. Qual è la probabilità che: (a) ci sia esattamente una persona tra Alice e Barbara? (b) ci siano esattamente due persone tra Alice e Barbara? (c) ci siano tre persone tra Alice e Barbara? 2. Si lanciano contemporaneamente cinque dadi. (a) Se tutti mostrano facce diverse, qual è la probabilitá che esattamente uno dei dadi mostri il 4? (b) Sapendo che è uscito almeno un 4, qual è la probabilitá che siano usciti almeno due 4? 3. Un minatore è intrappolato in una miniera dove ci sono 3 cunicoli. Il cunicolo di sinistra conduce ad un tunnel che lo riporta al punto di partenza dopo 2 giorni di lavoro. Il cunicolo centrale lo conduce ad un tunnel che lo riporta al punto di partenza dopo 4 giorni di lavoro. Il cunicolo di destra lo conduce alla libertá dopo un giorno di lavoro. Il minatore puó scegliere in ogni momento uno dei tre cunicoli. Sceglierá quello di sinistra (il piú largo) con probabilitá 0.5, quello centrale con probabilitá 0.3, quello di destra (il piú angusto) con probabilitá 0.2. Quanti giorni impiegherá in media il minatore per uscire dalla miniera? 4. Un gioco per bambini consiste di una piccola tastiera con i tasti numerati da 1 a 10. Ogni tasto emette un suono divertente. Un bambino spinge completamente a caso i tasti, uno alla volta. Quante volte deve spingere i tasti affinchè la probabilitá di spingere il tasto 7 sia almeno 0.9? a + bx 2 x [0, 1] 5. Una v.a. X ha la densità f(x) =, e la sua media vale E[X] = 3/5. 0 altrimenti (a) Determinare a, b. (b) Calcolare la funzione di distribuzione di X. (c) Calcolare la varianza di X. (d) Utilizzare la disuguaglianza di Chebyscev per stimare la probabilità che X si discosti di almeno 0.5 dalla sua media. Confrontare il valore così ottenuto con il vero valore della probabilità richiesta. 6. Le precipitazioni annuali (in cm) di una certa regione sono distribuite normalmente con media µ = 40 e deviazione standard σ = 4. Si suppone che le precipitazioni in un dato anno siano indipendenti da quelle degli anni precedenti. Calcolare la probabilità che, iniziando da quest anno, per i prossimi 10 anni non si superino mai i 50cm l anno di precipitazioni. 5

10 In una partita a poker, un giocatore riceve all inizio del gioco 5 carte prese da un mazzo di 52 accuratamente mescolato. Qual è la probabilità che egli riceva: (a) almeno due assi? (b) cinque carte dello stesso seme? (c) un poker servito? 2. Un ladro si nasconde con probabilitá 0.8 nella zona nord della cittá, con probabilitá 0.2 nella zona sud. Ogni pattuglia è in grado di stanarlo con probabilitá 0.2, ammesso che si trovi effettivamente nella zona in cui la pattuglia opera. Ogni pattuglia opera indipendentemente dalle altre. Il questore dispone di 6 pattuglie, e decide di inviarle tutte quante nella zona nord della cittá. (a) Qual è la probabilità che il ladro non venga catturato? (b) 5 Il questore ha operato bene, o poteva scegliere una strategia migliore? 3. Un urna contiene n palline bianche ed m palline nere. (a) Si estraggono contemporaneamente due palline. Qual è la probabilità che che abbiano lo stesso colore? (b) Si estrae una pallina, la si reinserisce, si estrae quindi una seconda pallina. Qual è la probabilità che che le due palline estratte abbiano lo stesso colore? (c) Dimostrare che per ogni n, m N, la probabilità calcolata in (b) è maggiore di quella calcolata in (a). 4. Si lanciano prima una moneta equa, e poi un dado. Se esce testa si ricevono tanti euro quanti sono i punti del dado. Se esce croce si vincono 2 euro per ogni punto del dado. Calcolare media e varianza della vincita. 5. Si gioca a tiro al bersaglio, la freccetta colpisce un punto P la cui distanza dal centro è uniformemente distribuita tra 0 e 10 cm. Si ricevono: 10 punti se si colpisce entro 1 cm dal centro, 5 punti se si colpisce tra 1 (escluso) e 3 cm dal centro, 3 punti se si colpisce tra 3 (escluso) e 5 cm dal centro. Qual è il numero atteso di punti ricevuti? 6. Quanto grande devo prendere k affinchè sia circa 50% la probabilità di ottenere, lanciando 1000 volte una moneta equa, un numero di teste compreso tra 440 e k? 5 Suggerimento: calcolare la probabilità che il ladro non venga catturato se il questore manda i pattuglie a nord (e 6 i pattuglie a sud); provare quindi che tale probabilità è minima per i = 6 e concludere. 6

11 Ad ogni compito in classe l insegnante di matematica assegna ai ragazzi 5 esercizi da svolgere. Alla vigilia di un compito, uno studente trova nella borsetta dell insegnante un foglio contenente 10 esercizi, ed egli sa per certo che tra quei 10 vi sono i cinque esercizi del compito del giorno seguente. Egli prova a svolgerli tutti a casa, ma ne riesce a risolvere solo 7. Qual è la probabilità che il giorno seguente lo studente: (a) sappia risolvere tutti e cinque gli esercizi del compito? (b) sappia risolvere almeno 4 degli esercizi del compito? 2. Una scatola contiene 10 monete, delle quali 8 sono eque mentre 2 sono truccate. Le monete truccate danno testa con probabilità 2/3 e croce con probabilità 1/3. Si sceglie a caso una delle 10 monete e la si lancia per tre volte. (a) Qual è la probabilità che esca tre volte testa? (b) Esce tre volte testa. È più probabile che la moneta in uso sia equa o truccata? (c) Esce tre volte testa. Qual è la probabilità che un quarto lancio dia ancora testa? 3. Una compagnia di assicurazioni ha clienti. Ogni anno fa pagare a ciascun cliente 100 euro, ed ogni cliente riceve un milione di euro con probabilità La compagnia possiede un milione di euro di capitale. Qual è la probabilità che fallisca in un certo anno? 4. Un laghetto contiene 100 pesci, 30 dei quali sono trote. Ognuno dei 100 pesci ha la stessa probabilitá di abboccare all amo. Si pescano 20 pesci. Calcolare media e varianza del numero di trote tra i 20 pesci pescati. 5. Un componente elettronico è formato da tre elementi posti in serie; il tempo di vita (in migliaia di ore) di ciascuno di essi è una v.a. esponenziale di parametro rispettivamente λ 1 = 0.3, λ 2 = 0.1, λ 3 = 0.2. I tempi di vita dei tre elementi sono tra loro indipendenti. Calcolare la distribuzione di probabilitá della v.a. T che rappresenta il tempo di vita del componente elettronico. Quanto vale il tempo medio di vita del componente? 6. Il tempo impiegato da un professore per raggiungere la scuola ogni giorno è normalmente distribuito con media 15 minuti e deviazione standard 3 minuti. Il professore ha la prima lezione alle A che ora deve partire da casa per essere sicuro al 95% di arrivare in tempo a scuola? 7

12 Uno spacciatore mescola pillole di droga (illegali) con pillole di vitamina (innocue) nella speranza di evitare l arresto da parte della Finanza che sta per ispezionarlo. Egli mette 400 pillole in una scatola, e solo il 5% di esse sono illegali. All atto dell ispezione, la finanza preleva 5 pillole dalla scatola e le analizza in laboratorio. Qual è la probabilità che lo spacciatore venga arrestato? 2. Una scatola contiene lampadine di 3 tipi diversi: il 20% delle lampadine è di tipo A, il 30% di tipo B, il 50% di tipo C. La probabilitá che una lampadina di tipo A, B, C duri piú di 1000 ore vale rispettivamente 0.7, 0.4, 0.3. (a) Qual è la probabilitá che una lampadina scelta a caso duri piú di 1000 ore? (b) Una lampadina scelta a caso dura piú di 1000 ore. lampadina di tipo A, B, C rispettivamente? Qual è la probabilitá che si tratti di una 3. Un ubriaco esce da un bar ed ogni 10 secondi barcolla di un metro in avanti con probabilità 3/4, di un metro all indietro con probabilità 1/4. (a) Dove si trova dopo un minuto, e con quale probabilità? (b) Qual è la sua posizione più probabile dopo 2 minuti? 6 4. Si mescola accuratamente un usuale mazzo di 40 carte da briscola, e se ne prendono n a caso. Calcolare la distribuzione di probabilitá della v.a. che conta il numero di assi presenti tra le n carte estratte. Calcolare quindi media e varianza del numero di assi presenti tra le n carte estratte. 5. L altezza degli uomini adulti italiani segue approssimativamente una distribuzione normale di media 175 cm e varianza 81. (a) Calcolare la percentuale di uomini adulti taliani di statura superiore ad 1metro e 90. (b) Alla visita di leva vengono scartate le reclute di altezza inferiore a 153 cm. Calcolare la percentuale di reclute scartate alla visita di leva. 6. Si vuole stimare la frazione f di femmine in una certa popolazione; a tale scopo si estrae un campione casuale di n individui dalla popolazione. Quanto deve essere grande il campione per essere sicuri almeno al 99% di stimare f con errore inferiore a 0.005? 6 Suggerimento: considerare la v.a. X 12 = numero di passi avanti su 12 passi fatti, studiare la crescenza/decrescenza di p(x 12 = k), k = 0,, 12, trovare k corrispondente alla massima probabilità e dedurre la posizione dell ubriaco. 8

13 In una scuola insegnano 1000 docenti. Tra essi vengono sorteggiati, otto volte l anno, i componenti di una certa commissione di vigilanza sul comportamento degli studenti. La commissione è composta di 50 docenti. Le elezioni sono indipendenti tra loro. Dopo 5 anni di elezioni, due professori si lamentano con il preside perchè non sono mai stati eletti: essi sospettano di essere stati deliberatamente esclusi perchè troppo severi. Le loro lamentele sono fondate? 2. Un urna contiene 10 dadi, 6 dei quali sono equi. I rimanenti 4 dadi sono truccati in modo tale che il 6 esca con probabilità 1/2, l 1 esca con probabilità 1/2, e gli altri numeri escano con probabilità zero. Si estraggono due dadi a caso dall urna, e si lanciano entrambi i dadi estratti. (a) Qual è la probabilità che che la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi sia 12? (b) Si considerino le variabili aleatorie X i = esito del lancio dell i-mo dado, i = 1, 2. X 1, X 2 sono indipendenti? È vero che 3. Un esperimento consiste nel lanciare ripetutamente una moneta equa. Calcolare la probabilità che due teste consecutive escano prima di 3 croci consecutive In un garage ci sono 40 macchine e 70 camion. La probabilità che in un anno una macchina debba essere riparata è 0.6, la probabilità che in un anno un camion debba essere riparato è 0.3. Calcolare media e varianza delle v.a. X, Y, Z, dove X = numero di macchine riparate in un anno, Y = numero di camion riparati in un anno, Z = numero di veicoli riparati in un anno. 5. Lo spessore di una lamina di alluminio prodotta da una certa fabbrica è normalmente distribuito con µ = 0.9 cm e σ = cm. Una lamina viene considerata difettosa se il suo spessore supera i limiti di 0.9 ± (a) Qual è la percentuale di lamine difettose? (b) Calcolare il massimo valore di σ tale che non vi sia più dell 1% di lamine difettose, supponendo che lo spessore sia normalmente distribuito con parametri µ = 0.9 e σ. 6. Ad uno sportello della posta ci sono 121 anziani in coda per riscuotere la pensione. Una pensione media ammonta a 2500 euro al mese, con scarto quadratico medio di 1500 euro. La cassa dello sportello in questione dispone di euro. Con quale probabilità lo sportello sarà in grado di pagare la pensione a tutti gli anziani in coda? 7 Suggerimento: condizionare sull esito del primo lancio; per calcolare le probabilità condizionate così ottenute, condizionare sull esito del secondo lancio e quindi, se necessario, anche sull esito del terzo lancio; se ne ricava un sistema... 9