1. I tre cerchi in figura hanno raggio unitario e sono tra loro tangenti. Trova l area della regione colorata.

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1 1. I tre cerchi in figura hanno raggio unitario e sono tra loro tangenti. Trova l area della regione colorata.. Una pista di atletica misura, nella corsia più interna, 400 m. È formata da due tratti rettilinei da 80 m e da due tratti semicircolari da 10 m. Se la pista ha 6 corsie, ciascuna larga 1 m, quanto misura il perimetro esterno della pista? 3. Durante un allenamento di atletica, Marco corre per 4 minuti esatti partendo da fermo. Il suo allenatore annota i seguenti dati: 1 minuto: aumento uniforme della velocità, fino a 4 m/s; distanza percorsa: 10 m; minuto: velocità costante; 3 minuto: diminuzione uniforme della velocità fino a 3 m/s: distanza percorsa nel minuto: 10 m; 4 minuto: aumento uniforme della velocità fino a 8 m/s; distanza percorsa nel minuto: 330 m. a. Quale distanza totale ha percorso Marco? b. Qual è stata la sua velocità media durante la corsa? c. Completa il seguente grafico velocità tempo in base ai dati disponibili. d. Utilizzando il grafico costruito, valuta per quanto tempo la velocità di Marco è stata superiore a 3,5 m/s. Esprimi tale risultato in percentuale rispetto al tempo totale della corsa, con un approssimazione alla prima cifra decimale. e. In un'altra prova Marco, partendo da fermo, aumenta in modo uniforme la sua velocità e arriva a 6 m/s in quattro minuti. Roger parte un minuto dopo di lui e raggiunge la velocità di 7 m/s in tre minuti. Rappresenta nel seguente grafico le velocità dei due ragazzi e stabilisci, in modo approssimativo, dopo quanto tempo dalla sua partenza la velocità di Marco viene superata da quella di Roger.

2 4. Una scatola contiene biglie rosse e biglie bianche. Se si aggiunge una biglia rossa, queste rappresentano il 5% del totale delle biglie; se invece se ne toglie una rossa, queste si riducono al 0% del totale. Quante sono le biglie bianche? 5. Occorre confezionare una tenda da sole per il balcone in figura. La tenda deve essere fissata al muro a 3 m di altezza dal pavimento del balcone, che è largo 1 m. La tenda deve sporgere 0,5 m dalla ringhiera che è alta 1 m. Scrivi i calcoli che fai per trovare la lunghezza x della tenda e riporta il risultato. 6. La proiezione P del centro O di un rombo su uno dei suoi lati divide il lato stesso in due parti lunghe rispettivamente 1 cm e 8 cm. Qual è l'area del rombo? 7. Un gruppo di amici decide di giocare una schedina di 144 euro. All'ultimo momento tre di essi rifiutano di partecipare al gioco, così gli altri devono aggiungere 8 euro alla quota fissata in origine. Quanti sono gli amici? 8. Lo spazio che occorre a un'automobile per arrestarsi completamente da quando inizia l'azione sui freni è detto spazio di frenata. Supponendo che i pneumatici siano nuovi, una formula che permette di calcolare con buona approssimazione lo spazio di frenata (espresso in metri) è: v s = 50f dove v è la velocità dell'auto, espressa in chilometri all'ora e f è una costante (detta coefficiente di aderenza) che dipende dalle condizioni del suolo stradale. Rispondi alle seguenti domande, motivando in modo esauriente:

3 a. In base al modello espresso dalla precedente formula, indica come varia lo spazio di frenata al raddoppiare della velocità. b. Su una strada asfaltata asciutta, in buone condizioni, si può assumere un coefficiente di aderenza f=0,8. In queste condizioni, qual è lo spazio di frenata per un automobile che viaggia alla velocità di 100 chilometri all'ora? c. Su una strada asfaltata bagnata, il coefficiente di aderenza è la metà di quello su strada asciutta. Che relazione c'è tra lo spazio di frenata su strada bagnata e quello su strada asciutta? d. Qual è la formula che permette di determinare approssimativamente la velocità v che consente di arrestarsi in uno spazio s, su una strada asciutta il cui coefficiente di aderenza è f=0,8? e. A quale velocità lo spazio di frenata su una strada asciutta è di 0 m (supponendo sempre f=0,8)? 9. Osserva i grafici qui sotto, relativi al viaggio compiuto da un'auto. f. Qual è stata la lunghezza del viaggio? g. Qual è stata la durata del viaggio? h. Quanti litri di benzina erano contenuti nel serbatoio dell'auto all'inizio del viaggio? i. Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dai grafici determina: l'espressione analitica della funzione che esprime la distanza percorsa d in funzione del tempo; l'espressione analitica della funzione che esprime la quantità C di benzina contenuta nel serbatoio in funzione della distanza d. j. Utilizzando le espressioni analitiche delle funzioni ricavate al punto precedente, determina: quanta benzina era contenuta nel serbatoio dopo ore e 45 minuti dall'inizio del viaggio; dopo quanto tempo dall'inizio del viaggio il serbatoio conteneva 9 litri. 10. La tua scuola ha deciso di organizzare un concerto e tu sei stato incaricato di gestirne parte dell'organizzazione: stabilire il luogo da affittare, contattare i musicisti, stabilire il prezzo del biglietto.

4 Come prima scelta hai pensato al Teatro comunale, che può contenere fino a 700 spettatori e costa 1500 di affitto. Il gruppo musicale a cui hai pensato richiede un compenso di 1000 e fissi il prezzo del biglietto a 5. k. Scrivi una formula che esprima il guadagno in funzione del numero di spettatori e rappresentala in un diagramma cartesiano. l. Che significato ha il punto in cui il grafico interseca l'asse delle ascisse? m. E il punto in cui interseca l'asse delle ordinate? Sei venuto a sapere che è disponibile anche il Palazzetto dello Sport, che può contenere fino a 1000 spettatori e per cui sono richiesti 000. n. Scrivi la formula per calcolare il guadagno in questo caso e rappresentala nello stesso grafico della precedente. o. In quali casi è conveniente affittare il Palazzetto? Riassumi le tue conclusioni in una relazione da presentare al consiglio scolastico. 11. Si dice cubica la funzione associata a un'equazione cartesiana del tipo y = ax + bx + cx + d con a, b, c, d numeri reali. 3 Considera, per esempio, la funzione y = 4x + 3x 8x 6. Il suo grafico è il seguente: 3 A B C D Determina algebricamente le intersezioni A, B e C della curva con l'asse delle ascisse e l'intersezione D con l'asse delle ordinate. Sapendo che una funzione y=f(x) è positiva per i valori di x la cui ordinata è positiva, risolvi, 3 osservando il grafico, la disequazione 4x + 3x 8x 6 > Leggi il seguente testo: Quando il saggio Talete di Mileto, circa seicento anni prima della nascita di Cristo, si trovava in Egitto, gli fu chiesto da un messo del faraone, a nome del sovrano, di calcolare l'altezza della piramide di Cheope: correva infatti voce che il sapiente sapesse misurare l'altezza di elevate costruzioni attraverso la geometria, senza salirvi sopra.

5 Talete si appoggiò a un bastone: attese fino al momento in cui, verso la metà della mattina, l'ombra del suo bastone, tenuto verticale, aveva lunghezza uguale al bastone stesso. Disse allora al messo: "Va', misura subito l'ombra della piramide: essa in questo momento è lunga quanto la piramide stessa". Per essere preciso, Talete avrebbe dovuto dire di aggiungere all'ombra della piramide metà del lato della sua base, perché la piramide ha una base larga, che ruba una parte dell'ombra che avrebbe se avesse la forma di un palo diritto e sottile. (L. Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton) Schematizza con un disegno la situazione di cui si parla nel testo (bastone e piramide) Quando l'ombra del bastone è lunga quanto il bastone, che angolo formano con la terra i raggi del Sole e perché? Perché, per misurare l'altezza della piramide, bisogna aggiungere alla lunghezza dell'ombra metà della base della piramide?