Matematica Finanziaria

Transcript

1 Matematica Finanziaria Andrea Consiglio Palermo 2003 c Andrea Consiglio Tutti i diritti sono riservati. Questo testo è distribuito gratuitamente. Nessun uso commerciale è permesso.

2 Spiegamelo e lo dimenticherò. Mostramelo e lo ricorderò. Coinvolgimi e lo imparerò. (Proverbio cinese) i

3 Indice 1 Misure del Rendimento Operazioni finanziarie Operazioni finanziarie a pronti Operazioni finanziarie a termine Interesse Semplice Basi finanziarie Sconto Semplice Valore Attuale e Futuro Il modello lineare d interesse Il modello lineare di sconto Il modello esponenziale Tassi equivalenti Intensità istantanea d interesse Flussi e portafogli finanziari Valore di un flusso finanziario Valore di un portafoglio finanziario Rendite ed Ammortamenti Piani d ammortamento Criteri di scelta finanziaria Il valore attuale netto Il tasso interno di rendimento Titoli a cedola fissa Il rendimento a scadenza Titoli indicizzati Titoli a cedola nulla indicizzati Titoli a tasso variabile Mutui indicizzati Prezzi e struttura dei tassi Ipotesi caratteristiche del mercato Teoremi fondamentali ii

4 2.3 Grandezze caratteristiche del mercato La struttura per scadenza dei tassi di interesse Misure della dispersione La Duration Semielasticità e Convexity Metodi per la misurazione della struttura dei tassi Metodi grafici Metodo bootstrap Strategie di speculazione sulla struttura a termine Strategie di hedging Definizione di hedging Long e short position Dedication Hedging utilizzando la duration Immunizzazione Finanziaria Futures Definizione di future Caratteristiche di un future Il meccanismo del mark to market Prezzi future e forward Hedging con future sui tassi a breve Hedging con future sui tassi a lungo Fattore di conversione Cheapest to delivery Swaps Definizione di Swap Gli swap per la gestione del rischio di tasso Swaps e credit arbitrage Valutazione degli swap Il bootstrap della curva dei tassi swap Formulario 167 Glossario 174 iii

5 Elenco delle figure 1.1 Rappresentazione grafica di un operazione finanziaria spot Rappresentazione grafica di un operazione finanziaria forward MOT Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo di godimento della la cedola Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) MOT Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) MOT Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di un investitore che acquista il BOT ISIN IT FRA e tassi a breve. (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) Condizioni contrattuali conto corrente Rappresentazione grafica di flusso finanziario Valore temporale di un f.f. in t k Valore attuale netto di un f.f. in funzione del tasso i Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody s 9 agosto 2002) Rappresentazione grafica del flusso finanziario che caratterizza un BTP ed, in generale, un titolo a reddito fisso. In questo caso c è la cedola espressa in unità di valore facciale; V è il valore facciale Rappresentazione grafica di un operazione finanziaria spot per un titolo a cedola nulla indicizzato Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di un FZCB Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitaria indicizzata Rappresentazione grafica dello schema di pagamento di un CCT. 67 iv

6 1.21 Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importi opposti si cancellano e rimane soltanto l importo in t Rappresentazione grafica dello schema di ammortamento di un mutuo a tasso variabile Variazioni del prezzo in funzione dello YTM La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali dei pagamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massa alla scadenza (alto). All aumentare della cedola (medio e basso) la duration si riduce in quanto il baricentro si sposta verso sinistra Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato indica il tasso che prezza il CBB alla pari Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tasso ed approssimazione tramite modified duration La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delle duration La struttura degli YTM in funzione delle duration e curva interpolante Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramite il metodo bootstrap Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la sua evoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posizione corta (sotto). Il prezzo iniziale, V (t), è pari a 100; il payoff è dato dalla differenza V (T) V (t) Variazioni assolute del valore delle posizioni in V 1, V 2 e V Specifiche di un contratto future sull EURIBOR a tre mesi Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni denominato in euro Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni denominato in euro Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data 25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001 (destra). (Fonte: Il Sole24ORE.) Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull EU- RIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T,T +τ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi v

7 6.6 Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull EU- RIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T,T +τ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi Flusso di cassa dell operazione di investimento nel deposito EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiunto il guadagno ottenuto dalla compravendita di future Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future sul Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02) Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS con un intermediario finanziario Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS fra due istituzioni con diverso rating creditizio Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una posizione long in un CBB ed in una posizione corta in un FRN Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/ vi

8 Elenco delle tabelle 1.1 Tasso equivalente all aumentare della frequenza di capitalizzazione Generico piano d ammortamento Piano d ammortamento con rata semestrale costante Piano d ammortamento con preammortamento a pagamenti zero Piano d ammortamento con preammortamento in cui sono versate le quote interessi Prezzi e scadenze BOT del 04/10/ Prezzi osservati il 26/11/ Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/ Prezzi future sull EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE del 01/06/ Prezzi future sull EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE del 03/07/ Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/01/2002. (Fonte: Il Sole24Ore) Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/05/2002. (Fonte: Il Sole24Ore) Flussi originati da un contratto swap plain vanilla fixed/float Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di credito differenti Tassi di parità swap per diverse scadenze. Il tasso Mid è la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore 05/10/2001) Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/ vii

9 Informazioni sul Corso Il corso di di Matematica Finanziaria permetterà agli studenti di acquisire le conoscenze basilari per operare nel mercato monetario, finanziario e dei derivati sui titoli a reddito fisso. Lezioni: Lunedì, Martedì e Mercoledì, , Aula 4. Ricevimento Mercoledì, , Ex Istituto di Matematica. Non è richiesto alcun libro di testo. Si consiglia comunque di approfondire gli argomenti trattati con i seguenti testi: M. Caliri. Matematica Finanziaria Nuova edizione. Giappichelli Editore, Torino, P.C. Cartledge. Financial Arithmetic. Euromoney Publication, London, E. Castagnoli e L. Peccati. La Matematica in Azienda: Strumenti e Modelli, volume I Calcolo finanziario con applicazioni. EGEA, Milano, F. Moriconi. Matematica Finanziaria. Il Mulino, Bologna, Il Sole 24 ORE, editor. Come si Legge il Sole 24 ORE per Capire l Economia del Il Sole 24 ORE S.p.A., Milano, Quinta edition, M. De Felice e F. Moriconi. La Teoria dell Immunizzazione Finanziaria Il Mulino, Bologna, J.C. Hull. Futures and Options Markets. Prentice Hall International, London, viii

10 Capitolo 1 Misure del Rendimento 1.1 Operazioni finanziarie Si definisce operazione finanziaria (o.f.) lo scambio di importi monetari in istanti differenti di tempo. Tale scambio si effettua a fronte del pagamento di un interesse. In ambito finanziario si distinguono o.f. a pronti o spot ed o.f. a termine o forward Operazioni finanziarie a pronti Una o.f. è detta a pronti o spot se la stipula del contratto coincide con l istante in cui avviene la transazione. Se si indica con t l istante di stipula del contratto e con s la scadenza dello stesso (t < s), in t uno dei contraenti riceverà V (t) unità di capitale e restituirà V (s) unità di capitale alla scadenza s. Se si riportano gli istanti temporali sull asse dei tempi, l o.f. spot è rappresentata in Figura 1.1. V (t) V (s) t s Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un operazione finanziaria spot. È evidente che la stessa operazione spot può essere vista in maniera speculare

11 1.1 Operazioni finanziarie 2 da parte del contraente che ha versato V (t) unità di capitale in t e riceverà V (s) alla scadenza s del contratto. Nel primo caso, l o.f. spot è un operazione di finanziamento e gli interessi pagati rappresentano un costo; nel secondo caso, l o.f. è un operazione di investimento e gli interessi incassati rappresentano la remunerazione del capitale investito. Un esempio di o.f. spot è l acquisto di un BOT. Alla stipula del contratto (l acquisto del BOT), l investitore versa un ammontare pari a V (t); alla scadenza, l investitore sarà rimborsato di un ammontare pari a V (s) (p. es.: t = 0 ed s = 90 giorni). In questo caso lo Stato italiano è il contraente che riceverà V (t) unità di capitale in t (finanziamento del debito pubblico) ed avrà un esborso pari a V (s) a scadenza. Se si indica con M(t,s) il valore in s di una unità di capitale disponibile in t, per ottenere V (s) unità di capitale alla scadenza del contratto, dovrà essere: V (s) = M(t,s)V (t) (1.1) La (1.1) definisce l equivalenza temporale che esiste fra capitali disponibili in istanti diversi di tempo. Tramite la (1.1) è anche possibile determinare il valore in t di una somma di denaro disponibile in s. Infatti, con semplici passaggi algebrici si ottiene che, 1 V (t) = V (s) = B(t,s)V (s). (1.2) M(t,s) Il fattore B(t,s) = 1/M(t,s) rappresenta il valore in t di una unità di capitale disponibile in s. I fattori M(t, s) e B(t, s) hanno un significato strettamente economico. Il fattore M(t,s) può essere visto come il prezzo che un investitore è disposto ad accettare in s per rinunciare a consumare una unità di capitale in t. In maniera analoga, B(t, s) rappresenta il prezzo che un investitore è disposto a pagare in t per entrare in possesso di una unità di capitale in s. Dato il prezzo M(t,s), la (1.1) determina il valore monetario in s, V (s), equivalente ad un quantità di capitale, V (t), disponibile in t. In maniera analoga, dato il prezzo B(t,s), la (1.2) determina il valore monetario in t, V (t), equivalente ad una quantità di capitale, V (s), disponibile in s. I fattori M(t,s) e B(t,s), oltre ad assumere il significato di prezzo per unità di capitale, rappresentano i fattori di scambio fra due capitali esigibili in istanti di tempo diversi. In altri termini, applicando il fattore M(t, s) ad un capitale V (t), disponibile in t, è possibile determinarne il suo valore in s. Analogamente, applicando al capitale V (s), esigibile nell istante futuro s, il fattore B(t,s) è possibile determinarne il valore t.

12 1.1 Operazioni finanziarie 3 In questi casi i termini M(t,s) e B(t,s) permettono, rispettivamente, di spostare in avanti (posticipare) capitali disponibili in t, o di spostare indietro (attualizzare) capitali disponibili in s. Nella letteratura finanziaria M(t,s) è anche noto come fattore montante per unità di capitale, mentre B(t,s) è noto come fattore di sconto per unità di capitale. Da un punto di vista matematico, M(t,s) e B(t,s) sono funzioni di due variabili reali. Inoltre, B(t,s) è una funzione reciproca di M(t,s). Questa proprietà è importante in quanto permette di concentrare il nostro studio sulle caratteristiche di una delle due funzioni. Un soggetto razionale è disposto a rinunciare ad una somma di denaro oggi se e solo se riceverà in cambio un ammontare maggiore nel futuro. Per questo motivo deve essere V (s) > V (t). Dalla relazione (1.1) discende che, e di conseguenza, M(t,s) > 1 (1.3) B(t,s) < 1. (1.4) Come si vedrà in seguito, nella pratica, le funzioni M(t,s) e B(t,s) dipendono soltanto dalla differenza s t, ossia, dall intervallo di tempo che intercorre fra l istante di stipula e la scadenza del contratto Operazioni finanziarie a termine Una o.f. è detta a termine o forward se lo scambio di importi monetari avviene in un istante successivo a quello di stipula. Se si indica con t l istante di stipula del contratto, con s la scadenza dello stesso e con T l istante in cui avviene la transazione (t T < s), in T uno dei contraenti riceverà V (T) unità di capitale, ed in s restituirà V (s) unità di capitale. Se si riportano gli istanti temporali sull asse dei tempi, l o.f. forward è rappresentata in Figura 1.2. V (T) V (s) t T s Figura 1.2: Rappresentazione grafica di un operazione finanziaria forward.

13 1.2 Interesse Semplice 4 Si osservi che in t non avviene alcun movimento di capitali. La transazione è effettuata in T e la restituzione del capitale in s. Una volta trascorso il periodo T t l o.f. a termine ha le stesse caratteristiche di una o.f. a pronti. Si possono estendere le considerazioni fatte per le o.f. spot alle o.f. forward. In particolare, se si indica con M(t,T,s) il valore in s, pattuito in t, di una unità di capitale disponibile in T, per ottenere V (s) unità di capitale alla scadenza del contratto, deve essere, V (s) = M(t,T,s)V (T). (1.5) In maniera analoga, ponendo B(t,T,s) = 1/M(t,T,s), si ottiene che, Essendo V (s) > V (T), si deduce che 1.2 Interesse Semplice V (T) = B(t,T,s)V (s). (1.6) M(t,T,s) > 1 (1.7) B(t, T, s) < 1. (1.8) In termini finanziari l interesse o rendimento (yield) di una attività (asset) è dato da un reddito periodico o dalla variazione del prezzo del titolo o entrambi. Per esempio, se si acquista oggi un BOT che è quotato a e lo si rivende fra una settimana a 97.22, il rendimento o interesse è dato dalla variazione del prezzo. Nel caso dei BTP l interesse è composto dalla cedola pagata semestralmente e dalla variazione in conto capitale. L interesse semplice rappresenta il reddito prodotto da un investimento (o il costo sopportato da un debitore nel caso di passività o liability) per ogni periodo dell o.f. in essere. Il tasso a cui si effettuano tali o.f. è detto tasso di interesse. In una o.f. spot, il capitale finale, V (s), è costituito dal capitale iniziale, V (t), più gli interessi maturati nell intervallo di tempo s t (si ricorda che affinché l operazione di scambio abbia significato finanziario deve essere V (s) > V (t)). Se si indicano con I(t,s) gli interessi maturati nell intervallo s t, sarà, V (s) = V (t) + I(t,s) da cui, I(t,s) = V (s) V (t). (1.9) Si definisce tasso d interesse la remunerazione per ogni unità di capitale, in simboli, i(t,s) = I(t,s) V (t) V (s) V (t) =. (1.10) V (t)

14 1.2 Interesse Semplice 5 Sostituendo nella (1.10) la (1.1), si ottiene che, i(t,s) = V (t) [M(t,s) 1] V (t) = M(t,s) 1. (1.11) Si osservi che intervalli di tempo di ampiezza diversa possono contemplare diversi tassi d interesse. Con semplici passaggi algebrici si ha che, I(t,s) = V (t)i(t,s). (1.12) Esempio 1.1: Un conto corrente paga l 1.37% annuale sulle giacenze. Il 05/07/2001 sono stati versati 100,000 e. A quanto ammonta l interesse maturato al 15/09/2001? Si osservi che il tasso d interesse è espresso su base annuale, cioè per un o.f. di durata pari ad un anno. Il quesito richiede l interesse maturato nel periodo 05/07/ /09/2001, quindi t=05/07/2001 ed s=15/09/2001. In questo esempio si ipotizzerà (potrebbe essere stabilito contrattualmente) che la remunerazione per unità di capitale sia una frazione del tasso annuale. In generale potrebbe essere necessario stabilire un tasso d interesse per l intervallo [t, s], che non dipende dal tasso annuale. Si osservi che l interesse corrisposto dipende soltanto dall intervallo di tempo che intercorre fra gli istanti t ed s. Se si ipotizza una valuta a decorrere dal giorno successivo al deposito, utilizzando come calendario quello commerciale, composto da 360 giorni e mesi di 30 giorni, il numero di giorni su cui deve essere corrisposto l interesse è pari a τ = s t = 69 (contro i 72 del calendario solare). Nel nostro esempio, V (t) = C =100,000e, il rendimento annuale (cioè il rendimento per una giacenza di un anno) è pari a La frazione di anno è data da, I(0, 1) = C i(0, 1) = = 1,370e. (1.13) e gli interessi maturati da, I(0, 69) = C i(0, 1) τ n τ n = = = 0.192, (1.14) = e (1.15)

15 1.2 Interesse Semplice 6 Figura 1.3: MOT Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) La relazione che è stata utilizzata per determinare I(0, 69) non è diversa da quella per I(0, 1), o, in generale, dalla (1.12). Infatti, nell ipotesi contrattuale che gli interessi per intervalli di tempo inferiori ad un anno siano una frazione del tasso annuale, si è implicitamente posto, i(t,s) = i s t n. (1.16) Esempio 1.2: Il BTP con codice ISINIT (si veda Fig. 1.3) paga una cedola annua pari ad i = 8.50% del valore facciale. La cedola è pagata in due rate semestrali il 01/01 ed il 01/07, quindi l interesse percepito in ogni data è i(0, 0.5) = 8.50/2 = 4.25% 1. Se il titolo è acquistato il 01/08/2001, con valuta il 03/08/2001, il compratore dovrà corrispondere al venditore la quota interesse maturata dal 01/07 (data godimento ultima cedola) al 03/08. Il titolo IT è quotato al MOT ad un corso secco (clean price) pari a P cs = , a quanto ammonta l esborso totale del compratore? Si ipotizzi che la quantità di valore facciale acquistata sia C = 100,000 e. Per i titoli di stato italiano ed, in generale, per tutti gli eurobond, i giorni sono calcolati sulla base del calendario solare. Dal 01/07 al 03/08 intercorrono 33 1 Anche in questo caso è stabilito contrattualmente che i(0,0.5) = i(0,1) 1 2, ovvero che il tasso semestrale sia la metà di quello annuale.

16 1.2 Interesse Semplice 7 giorni. Il semestre in esame (01/07 01/01) è composto da 184 giorni. Gli interessi maturati (anche detti, rateo o accrued) sono dati da, I(0, 33) = C i(0, 0.5) τ n = = e, (1.17) dove τ/n = 33/184. Il rateo è riportato sui quotidiani finanziari o fornito dai provider (Bloomberg, DataStream, etc.) in percentuale del valore facciale. In questo caso sarebbe, R(f) = i(0, 0.5) τ n = = %, (1.18) dove f = τ/n è la frazione di temporale di effettivo godimento della cedola. Dalla (1.18) si evince che il rateo è funzione lineare della frazione temporale f = τ/n. Il valore del rateo raggiunge il suo valore massimo ogni sei mesi (stacco cedola). In ogni periodo intermedio il compenso ricevuto è dato dall ordinata nell istante di acquisto (o vendita) del BTP (si veda Figura 1.4). R(f) R 0 f 1 Figura 1.4: Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo di godimento della la cedola. Il prezzo del titolo comprensivo del rateo, o prezzo tel quel (dirty price), è dato da, P tq = P cs + R(f) = = (1.19) Si osservi che il prezzo di un titolo è anch esso espresso in percentuale del valore facciale, quindi , deve essere inteso come il % di C. Il costo sostenuto dall acquirente è pari a, C P tq = = 110,232.3 e (1.20)

17 1.2 Interesse Semplice Basi finanziarie Nei mercati finanziari le convenzioni temporali per il calcolo degli interessi, anche dette basis o basi, possono assumere diverse forme, e sono rappresentate sinteticamente da: Act Act ; E ; ; Act 360 ; etc. Al numeratore è indicata la modalità di conteggio dei giorni fra i due eventi finanziari (Act sta per Actual, E30 sta per Europeo30), al denominatore la modalità di conteggio dei giorni di un anno o dell intervallo su cui insiste l operazione finanziaria. Per esempio, [E30/360] indica la base per i depositi europei (si veda Esempio 1.1), mentre, [Act/Act] è la convenzione utilizzata per il calcolo degli interessi nei mercati obbligazionari (si veda Esempio 1.2). L ammontare effettivo di interessi può differire a secondo della base adottata. Di solito i tassi quotati sono tassi nominali. Ciò implica che due tassi nominali identici possono produrre interessi effettivi diversi tali da neutralizzare il guadagno previsto, o addirittura causare perdite. Per questo motivo, prima di effettuare speculazioni finanziarie, è bene determinare il tasso effettivo dell operazione pianificata. Il concetto di tassi equivalenti, nominali ed effettivi è molto importante e sarà approfondito nei capitoli successivi. Esempio 1.3: Sul mercato monetario americano sono offerte le seguenti possibilità di investimento a breve periodo: Un deposito che paga il 5% annuo [Act/365]. Un T Bond che paga il 5% annuo [Act/360]. Qual è l investimento che offre un rendimento effettivo maggiore? Si noti che entrambe le o.f. hanno lo stesso numero di giorni in quanto il numeratore della base è identico. Si consideri un investimento pari a 10,000,000 $ per due mesi (gennaio e febbraio). In entrambi i casi il numero di giorni è pari a 59. I rendimenti effettivi sono dati da: = 80, $ = 81, $ Sebbene i due tassi siano nominalmente identici, il T Bond ha un rendimento effettivo maggiore.

18 1.2 Interesse Semplice 9 Figura 1.5: Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) Esempio 1.4: Il tasso LIBOR per o.f. in euro con scadenza una settimana è quotato a %, base [Act/360]. Si ipotizzi che sul mercato sia possibile reperire denaro per scadenze non superiori ad una settimana ad un tasso pari al 4.58%, base [Act/365]. Qual è il tasso più conveniente? Per effettuare un confronto è necessario esprimere i tassi in esame nella stessa base. Si supponga di trasformare il tasso LIBOR nella base [Act/365]. Il nostro obiettivo è determinare quel tasso con base [Act/365] che produce un ammontare di interessi identico a quello che si otterrebbe con il tasso LIBOR con base [Act/360], ovvero, da cui si ricava, i Act 365 = Act 360 i = = Il tasso LIBOR al % nella base [Act/360] è equivalente ad un tasso del % nella base [Act/365]. L operazione di finanziamento al 4.58% è sicuramente più conveniente (circa 2.5 basis point meno costosa) in quanto 4.58% < %. Utilizzando la stessa logica, per passare da un tasso

19 1.3 Sconto Semplice 10 con base [Act/365] ad uno con base [Act/360] basta moltiplicare per 360/365, quindi, = Di solito i giornali finanziari quotano i tassi nelle due basi più comuni. Per esempio i tassi LIBOR ed EURIBOR (si veda Fig. 1.5) sono quotati con base 360 e 365 (si assume Act). 1.3 Sconto Semplice Un creditore può richiedere che l interesse pattuito sia corrisposto alla stipula del contratto. In tal caso il creditore dedurrà gli interessi dall ammontare di capitale stabilito nell operazione di finanziamento. Un tipico esempio sono le cambiali commerciali che possono essere scontate ad un tasso prefissato presso gli istituti bancari. I T Bill (debito del Tesoro Americano) pagano in anticipo gli interessi. Le cambiali finanziarie (commercial papers) sono strumenti che permettono alle imprese di finanziare il debito a breve periodo pagando un interesse anticipato. Il tasso a cui si effettua un operazione di sconto è detto tasso di sconto. Come visto nel paragrafo 1.2, il pagamento degli interessi alla scadenza del contratto implica che, V (s) = V (t) + I(t,s) = = V (t) + V (t)i(t,s), (1.21) e, come si può notare, l interesse è calcolato sul capitale iniziale. Nel caso di o.f. di sconto (spot o forward), gli interessi sono calcolati sul capitale finale ed il valore iniziale, V (t), si ottiene detraendo dal capitale finale l ammontare di interessi ottenuto, quindi, V (t) = V (s) D(t,s) = = V (s) V (s)d(t,s). (1.22) Con semplici passaggi algebrici si verifica facilmente che, d(t,s) = V (s) V (t). (1.23) V (s) Si osservi che, sia nelle operazioni di sconto che in quelle d interesse semplice, la remunerazione del capitale, in termini assoluti, è identica. Infatti, I(t,s) = V (s) V (t) = D(t,s).

20 1.3 Sconto Semplice 11 La differenza fondamentale è nelle remunerazioni per unità di capitale, ovvero nel tasso di sconto e nel tasso d interesse. Come si vedrà in seguito, tassi di sconto e d interesse identici determinano interessi (in senso di remunerazioni assolute) differenti, quindi per confrontare tassi di sconto e d interesse è necessario effettuare un appropriata conversione. Come nelle o.f. di interesse semplice, nelle o.f. di sconto valgono le equivalenze finanziarie (1.1) e (1.2). Sostituendo la (1.1) nella (1.23), si ha che, V (s) V (t) d(t,s) = = V (s) V (t) [M(t,s) 1] = = V (t)m(t,s) = 1 B(t,s). Si osservi che i fattori M(t,s) e B(t,s) svolgono la stessa funzione vista per l interesse semplice: il primo è un fattore montante, mentre il secondo è un fattore di sconto. Purtroppo la terminologia può creare confusione e si tende a confondere il tasso di sconto con il fattore di sconto. La distinzione che bisogna cogliere è che un fattore di sconto serve a spostare indietro un capitale esigibile alla scadenza dell o.f. e questo è possibile utilizzando sia un tasso d interesse che un tasso di sconto. Esempio 1.5: Una cambiale di 5,000 e con scadenza il 12/05/2001 è presentata all incasso presso un istituto bancario il 22/02/2001. Il tasso di sconto praticato è pari al 13.8%. A quanto ammonta l introito del creditore? La base utilizzata è E30/360 che corrisponde all anno commerciale. Con riferimento alla base adottata, il numero di giorni che intercorre fra le due date è pari a 80, quindi la frazione di anno su cui vanno computati gli interessi è τ/n = 80/360 = Gli interessi che saranno dedotti dal valore facciale sono pari a, D(0, 80) = C d τ n = = e, quindi, il creditore incasserà una somma pari a = 4,846.82e. Anche in questo caso si è ipotizzato che per frazioni di anno il tasso di sconto è dato da d(t,s) = d τ n. (1.24) Come accennato in precedenza, le cambiali finanziarie (c.f.) sono strumenti che permettono alle imprese di reperire liquidità a breve periodo ricorrendo direttamente al mercato.

21 1.3 Sconto Semplice 12 Esempio 1.6: Una società di import export deve procurarsi liquidità a breve periodo per finanziare l acquisto di merce. Fra tre settimane potrà ripagare il debito contratto grazie ad un introito di 1,000,000 e dovuto alla vendita di alcuni prodotti. Il prestito ha una durata di tre settimane a decorrere da oggi. Il tesoriere della ditta si rivolge ad una banca per emettere una c.f. Il tasso di riferimento su base annuale per tali prodotti è d = 4.5% annuo. L operazione ha un nominale di 1,000,000e, quindi l impresa pagherà a scadenza 1,000,000e al portatore del titolo. Il valore scontato è dato da: 21 D(0, 21) = = 2,625e V (0) = V (s) D(0, 21) = = 997,375e La somma di 997,375 e servirà a finanziare la liquidità necessaria. Fra tre settimane l impresa pagherà il valore facciale della c.f. pari a 1,000,000 e. Il costo per l impresa è pari a D(0, 21) = 2,625e. Il portatore della c.f. vorrebbe potersi disfare del titolo acquistato senza aspettare la fine delle tre settimane. Il mercato secondario permette di soddisfare tale necessità e se il mercato è liquido il portatore potrà vendere il titolo senza pagare costi aggiuntivi. Esempio 1.7: Il portatore della c.f. decide di vendere il titolo al mercato secondario dopo 10 giorni. Il costo per l acquisto del titolo (la c.f.) è stato di 997,375e. Se si ipotizza che il tasso di sconto sia rimasto invariato, il valore del titolo può essere calcolato come nell Esempio 1.6 considerando però i giorni che rimangono prima della scadenza, 11 D(0, 11) = = 1,375e V (0) = = 998,625e. Quindi, chiunque sia interessato ad acquistare la c.f. dovrà pagare al venditore 998,625e. La differenza 998,625e - 997,375e = 1,250e rappresenta il reddito per colui che ha detenuto il titolo per 10 giorni. Questo reddito è analogo al rateo calcolato per le cedole dei BTP. La differenza principale è che nei BTP il tasso è sicuramente costante (il tasso delle cedole è fissato all emissione), mentre in questo caso l ipotesi che il tasso di sconto sia costante raramente corrisponde alla realtà (anche per soli 10 giorni!!!). Se il