Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 9

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1 Riarda Rossi Lezione 9

2 Caratterizzazione della onvergenza debole in L p (Ω) Siano 1 < p < e {f n}, f L p (Ω): allora f n f in L p (Ω)

3 Teorema di ompattezza debole in L p (Ω) Teorema Siano 1 < p < e {f n}, f L p (Ω). Supponiamo he M > 0 n N : f n L p (Ω) M Allora {f n} ammette una sottosuessione {f nk } debolmente onvergente a una f in L p (Ω)

4 Convergenza debole vs. onvergenza forte in L p (Ω) Convergenza forte in L p (Ω) onvergenza debole in L p (Ω), ma non vale il vieversa! Condizione neessaria per la onvergenza forte in L p (Ω) è la onvergenza q.o. (lungo una sottosuessione):

5 Il teorema di rappresentazione del duale di L 1 (Ω) Siano Ω R N misurabile. Allora tale he Inoltre ϕ L 1 (Ω) L 1 (Ω) ϕ, f L 1 (Ω) = Ω! u L (Ω) f (x)u(x) dx ϕ L 1 (Ω) = u L (Ω). f L 1 (Ω).

6 Come è fatto il duale di L (Ω)? Chiaramente, L (Ω) = L 1 (Ω) Domanda: possiamo onludere he L (Ω) = L 1 (Ω)? No, l isomorfismo anonio T : L 1 (Ω) L 1 (Ω) NON è suriettivo, ioè esistono degli elementi di L 1 (Ω) = L (Ω) he non provengono da funzioni in L 1 (Ω).

7 Shema degli spazi duali

8 La onvergenza debole in L 1 (Ω) Convergenza debole in L 1 (Ω) Compattezza debole in L 1 (Ω)

9 La onvergenza debole in L (Ω)?? Non onosiamo il duale di L (Ω) Però onosiamo il preduale di L (Ω)...

10 Introduzione La topologia debole si definise solo negli spazi duali. Sia V uno spazio di Banah e V il suo spazio duale: su V sono definite la topologia forte e la topologia debole σ(v, V ).

11 Costruzione della topologia debole Riordiamo he l isomorfismo anonio J : V V identifia V on un sottospazio di V : J : V V v V J(v) V : V J(v), v V := V v, v V Posso onsiderare la famiglia F di seminorme su V assoiate agli elementi J(v), al variare di v V, ioè F = { v : v V } v v = V J(v), v V = V v, v V Chiamiamo topologia debole su V la topologia indotta dalla famiglia di seminorme F. La denotiamo on il simbolo σ(v, V ).

12 Confronto fra la topologia forte, la topologia debole, e la topologia debole

13 Convergenza rispetto alla topologia debole

14 Proprietà di separabilità Definizione Uno spazio di Banah V si die separabile se D V numerabile & denso in V. Esempi

15 Risultato di ompattezza debole Teorema Sia V uno spazio di Banah separabile. Allora ogni {v n} n N V limitata ammette una sottosuessione {v n k } k onvergente a un v V nella topologia debole.

16 La topologia debole in L (Ω) = L 1 (Ω) È la topologia indotta dalla famiglia di seminorme su L (Ω) on u f := F := { f Ω f (x)u(x) dx : f L 1 (Ω)} u L (Ω). Una suessione {u n} L (Ω) onverge debole a u L (Ω) se e solo se

17 Risultato di ompattezza debole in L (Ω) = L 1 (Ω) Riordiamo he L 1 (Ω) è separabile. Teorema Sia {u n} n L (Ω) una suessione limitata. Allora {u n} n ammette una sottosuessione {u nk } k onvergente a u nella topologia debole di L (Ω), ioè