Indice Area di Progetto Galois si diverte col cubo di Rubik

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1 GALOIS SI DIVERTE COL CUBO DI RUBIK

2 Indice Area di Progetto Galois si diverte col cubo di Rubik PREREQUISITI. Definizione di insieme.. pagina. Operazioni con gli insiemi pagina. Funzione biunivoca e funzione univoca, suriettiva e iniettiva. pagina I GRUPPI: DA COSA SCATURISCONO?. Cenni storici.. pagina. Galois. Chi è? Biografia breve pagina 5 STRUTTURE ALGEBRICHE E GRUPPI. Strutture algebriche pagina 6. Definizione e caratteristiche di un gruppo.. pagina 7 ESEMPI DI GRUPPI. Un po d esempi pagine 8-9. Gruppo ciclico... pagina 0. Gruppo delle classi resto modulo n pagina. Gruppo delle matrici quadrate di ordine n.. pagina PERMUTAZIONI 5. Un particolare gruppo: le permutazioni.. pagine - 5. Una particolare permutazione: l Identità. pagina 5 5. Permutazione Simmetrica... pagina 6 5. L ordine di una permutazione pagina Scomposizione in trasposizioni... pagina Un sottogruppo nelle permutazioni pagina Permutazioni classi pari e dispari pagina 0 GIOCHI APPLICATI ALLA TEORIA DEI GRUPPI 6. Il gioco del 5 pagine - 6. Il cubo di Rubik... pagina RINGRAZIAMENTI FINALI pagina

3 .0 - Prerequisiti. - DEFINIZIONE DI INSIEME Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di gran parte delle esposizioni della matematica moderna: i principali testi introduttivi a buona parte delle aree della matematica iniziano con nozioni di teoria degli insiemi. con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell'insieme. Ciò che caratterizza il concetto di insieme è: un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati); un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un multi insieme) gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade ai componenti di un vettore o di un insieme totalmente ordinato) gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi. In molte esposizioni il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo. "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari, "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, concetto a sua volta introdotto con metafore come quella dell'elenco di identificatori di oggetti o di scatola contenente oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione fa talora riferimento al convincimento che l'idea di insieme nasca spontaneamente nella nostra mente ed ivi ne sia sepolta.

4 . OPERAZIONI CON GLI INSIEMI La somma sui numeri naturali N è un operazione binaria su N. Infatti ad ogni coppia di numeri naturali (es. 5 e 8) associa un altro numero naturale (es. = 5+8) che è il risultato della somma. Definizione Un operazione binaria su un insieme A è un applicazione da A * A in A. Ovvero un applicazione che ad ogni coppia di elementi a,b Î A associa uno ed un solo elemento di A.

5 . - FUNZIONE BIUNIVOCA E FUNZIONE UNIVOCA, SURIETTIVA E INIETTIVA E possibile ora introdurre nuovi concetti sulla base di quanto appena esposto. Una corrispondenza tra insiemi A e B si dice univoca se associa a ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, ma non viceversa. Si dice Biunivoca se associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B e viceversa. Quindi una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione binaria tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno ed un solo elemento di X. Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni: una funzione Una funzione è biunivoca se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva: Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio; formalmente: o equivalentemente: è iniettiva se è iniettiva se Una funzione si dice suriettiva quando l'immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un elemento x del dominio. Formalmente, una funzione è suriettiva se.

6 .0 - I GRUPPI: DA COSA SCATURISCONO?. - CENNI STORICI LA TEORIA DEI GRUPPI HA TRE RADICI STORICHE: LA TEORIA DELLE EQUAZIONI ALGEBRICHE, LA TEORIA DEI NUMERI E LA GEOMETRIA. EULERO, GAUSS, LAGRANGE, ABEL E GALOIS SONO STATI I PRIMI AD INDAGARE NELL'AREA DELLE TEORIA DEI GRUPPI. GALOIS HA IL MERITO DI ESSERE STATI IL PRIMO MATEMATICO A STABILIRE UN COLLEGAMENTO FRA TEORIA DEI GRUPPI E TEORIA DEI CAMPI CON QUELLA CHE ORA VIENE CHIAMATA TEORIA DI GALOIS. LA MODERNA DEFINIZIONE DI GRUPPO È STATA DATA DA WALTHER VON DYCK NEL 88. NELLA SECONDA METÀ DEL XX SECOLO SI È AVUTO LO SVILUPPO SISTEMATICO DELLA TEORIA DEI GRUPPI FINITI CHE HA CONSENTITO DI OTTENERE UNA CLASSIFICAZIONE DEI GRUPPI FINITI SEMPLICI QUASI COMPLETA NEL 98. FIGURE CHIAVE DI QUESTA IMPRESA CHE HA COINVOLTO MOLTE DECINE DI RICERCATORI SONO DANIEL GORENSTEIN, JOHN GRIGGS THOMPSON E MICHAEL ASCHBACHER. A QUESTO E A SIMILI SVILUPPI HANNO DATO UN NOTEVOLE CONTRIBUTO LE INDAGINI SPERIMENTALI EFFETTUATE CON COMPUTER DI ELEVATA POTENZA E SISTEMI SOFTWARE MOLTO ARTICOLATI (CAS) SUI GRUPPI FINITI E SULLE ALTRE STRUTTURE ALGEBRICHE E COMBINATORIE COLLEGATE CON TALI GRUPPI. Ad ogni modo il concetto di gruppo nacque sostanzialmente dagli studi sulle equazioni polinomiali, iniziati da Évariste Galois negli anni 80. In seguito a contributi provenienti da altri settori della matematica come la teoria dei numeri e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e definita stabilmente attorno al 870. La moderna teoria dei gruppi si occupa dello studio astratto dei gruppi. I matematici hanno sviluppato varie nozioni per spezzare i gruppi in parti più piccole e più facili da studiare, come i sottogruppi ed i quozienti. Oltre alle loro proprietà astratte, i teorici dei gruppi si occupano anche dei differenti modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente, da un punto di vista sia teorico, sia computazionale. Una teoria particolarmente ricca è stata sviluppata per i gruppi finiti, culminata con la classificazione dei gruppi semplici finiti, completata nel 98.

7 . - GALOIS. CHI È? BIOGRAFIA BREVE Ragazzo prodigio, poco più che adolescente riuscì a determinare un metodo generale per scoprire se una equazione è risolvibile o meno con operazioni quali somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione di potenza ed estrazione di radice, risolvendo così un problema della matematica vecchio di millenni. Il suo lavoro ha posto le basi per la teoria che porta il suo nome, la Teoria di Galois appunto, un'importante branca dell'algebra astratta. È stato anche il primo ad utilizzare il termine gruppo in matematica per definire un insieme di possibili permutazioni di elementi, ed ha definito i gruppi che portano il suo nome: i gruppi di Galois. Galois era un fervente repubblicano, ed è famoso un suo brindisi al Re con in mano un coltello. Questo brindisi lo portò in prigione e solo grazie a degli amici che testimoniarono a suo favore riuscì ad essere scarcerato. Morì per una ferita allo stomaco riportata in un duello, a soli vent'anni di età. Ritratto di Evariste Galois

8 .0 - STRUTTURE ALGEBRICHE E GRUPPI. Strutture algebriche Una struttura algebrica è costituita da un insieme e da un operazione, detta legge di composizione interna. Quest operazione composta con un qualsiasi elemento dell insieme della struttura algebrica deve identificare sempre un elemento dello stesso insieme.

9 . - DEFINIZIONE E CARATTERISTICHE DI UN GRUPPO Possiamo ora passare alla definizione di gruppo: esso è costituito insieme con un operazione binaria sui suoi elementi che soddisfa le seguenti quattro condizioni :. L operazione * è chiusa. Cioè se. L operazione * è associativa. Cioè se. Esiste un elemento neutro. Cioè a, b A a b A e A a, b, c A a tale che. Esiste l inverso rispetto a * di ogni elemento a a' a' a e Un gruppo si dice abeliano (o commutativo) se per ogni a, b A si ha c bc a e ea a a A. Cioè a b a A a A a b ba. a' A tale che

10 .0 Esempi di gruppi. Un po d esempi Esempio n.. Sia A l insieme costituito dai numeri e - e come operazione consideriamo il prodotto. E facile verificare che si tratta di un gruppo, cioè che soddisfa i punti,, e della definizione. Questo è un gruppo finito con elementi.. L insieme delle simmetrie di un triangolo equilatero con la composizione forma un gruppo. Gli elementi sono 6: l identità, la rotazione di 0, la rotazione di 0 e le riflessioni attorno alle tre altezze. Esempio n. Prendiamo un quadrato e consideriamo l insieme costituito dalle sue rotazioni di 90, 80 e 70, la simmetria delle diagonali e la rotazione banale che lascia il quadrato così com è. Come operazione prendiamo la composizione di rotazioni ovvero facciamo una rotazione seguita da un altra rotazione. Questo è un gruppo finito.

11 Esempio n. Anche le simmetrie di un poliedro formano un gruppo finito. Di particolare importanza sono i gruppi di simmetria dei solidi platonici. Le simmetrie di un tetraedro sono : oltre all'identità, ci sono rotazioni intorno ad un asse, 6 riflessioni rispetto ad un piano e altre 6 operazioni ottenute componendo rotazioni e riflessioni.

12 . Gruppo ciclico Un gruppo G è ciclico se esiste un elemento g del gruppo (detto generatore) tale cheg è l'insieme delle potenze di g ad esponente intero, in simboli. Ad esempio, se G = { e, g, g, g, g, g 5 } allora G è ciclico. In altre parole, G coincide con il sottogruppo <g> generato da g. Si usa quindi scrivere G = <g>. Esempi di un gruppo ciclico: CLASSI DI RESTO L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale. Poiché Zn è un sottogruppo normale di Z di indice n, il gruppo quoziente Z/Zn è un gruppo commutativo finito con n elementi, che possiamo scrivere { 0,,,..., n- }. La somma fra due elementi a e b è il resto della divisione di a + b per n. Poiché ogni elemento si scrive come n = (sommato n volte), il numero è generatore del gruppo. Quindi Z/Zn è un gruppo ciclico.

13 . Gruppo delle classi resto modulo n E l insieme di quei numeri interi che danno lo stesso resto se divisi per uno stesso intero. {..., -7, -5, -,,, 5, 7,...} formano una classe di resto [] perchè divisi per danno lo stesso resto. L argomento è intrigante: utilizzare classi di resto anziché numeri nelle operazioni. Le applicazioni pratiche sono di grande interesse: basti pensare che attualmente (e almeno fin quando i computer quantistici non saranno realtà), l esistenza delle transazioni commerciali e bancarie via Internet è resa possibile grazie alle cifrature basate sull algebra delle classi di resto. Dato l insieme N diremo che a è congruo a b modulo n (e scriveremo a b mod n) se accade che dividendo sia a sia b per il numero n, si ottiene lo stesso resto. Perciò se, ad esempio, consideriamo un sottoinsieme proprio di A in N, costituito dai numeri naturali {0; ; ; ; 9; 0; }, diremo che sono congrui fra loro modulo 7, rispettivamente i gruppi di numeri: 0; 7; ; ; 8; 5 ; 8; 5; ; 9; 6 ; 9; 6; ; 0; 7 ; 0; 7; ; ; 8 ; ; 8; 5; ; 9 5; ; 9; 6; ; 0 6; ; 0; 7; ; In base a questa relazione è possibile suddividere l insieme dei numeri naturali in classi di equivalenza, dove nella stessa classe metteremo tutti quei numeri che, divisi per un numero prefissato n (nell esempio precedente 7) danno lo stesso resto (nell esempio 0,,,,5,6). È evidente che ciascuna delle classi di equivalenza può essere rappresentata da ognuno dei suoi elementi, ma solitamente si prende come rappresentante il più piccolo fra loro e cioè proprio il resto. Questo il motivo per cui tali classi di equivalenza si chiamano classi di resti modulo n. A tal proposito in matematica è consuetudine parlare di aritmetica dell orologio quando si parla si classi di resti mod e, per analogia, di aritmetica delle stagioni quando si parla di classi di resti mod e di aritmetica della settimana quando si parla di classi di resto modulo 7.

14 . Gruppo delle matrici quadrate di ordine n In algebra una matrice quadrata è una matrice con un numero uguale di righe e colonne, detto ordine della matrice. Viene altrimenti detta "matrice ". Un esempio del suo utilizzo lo abbiamo trovato nel metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi di equazioni. L'operazione di somma tra matrici è chiusa. Infatti la somma di due matrici è ancora una matrice. Rispetto all'operazione di somma tra matrici l' elemento neutro : la matrice nulla,una matrici i cui elementi sono tutti nulli, nel caso dell addizione, quindi, uguali a 0. L'operazione di somma tra matrici è associativa. Rispetto all'operazione di somma tra matrici l' elemento inverso : matrice inversa. Inversa di una matrice quadrata è un'altra matrice quadrata, indicata con, tale che e dove è la matrice identità.

15 5.0 LE PERMUTAZIONI 5. - UN PARTICOLARE GRUPPO: LE PERMUTAZIONI Un modo semplice di pensare ad una permutazione di n oggetti è quello di immaginare un insieme di scatole numerate da a n e un insieme di palline, anch esse numerate da a n, dove ciascuna scatola contiene una sola pallina. Una permutazione consiste nel togliere tutte le palline dalle scatole e successivamente riporle (nelle stesse o in differenti scatole) in modo tale che alla fine in ogni scatola ci sia esattamente una pallina. Esempio Consideriamo l insieme costituito da palline numerate, sia quindi A,,,. Una permutazione potrebbe essere quella che sposta la pallina nella scatola la pallina nella scatola la pallina nella scatola la pallina nella scatola Ciò che abbiamo appena enunciato possiamo rappresentarlo secondo una notazione molto più diretta oltre che semplice. Disporremo dunque su di una riga i numeri da a (le palline) e sull altra riga i numeri delle rispettive scatole in cui le palline si vengono a trovare dopo la permutazione.

16 A questo punto potrebbe sorgere spontanea la domanda: quante permutazioni possono essere eseguite sugli elementi di un dato insieme?. Per dare una risposta a tale quesito, possiamo avvalerci dell utilizzo del fattoriale. Di seguito la definizione di tale elemento incognito: In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. Nel nostro caso dunque, con n =, le possibili combinazioni tra questi quattro elementi risultano essere! Ovvero cioè combinazioni possibili con oggetti. Tenendo sempre presente l esempio preso in considerazione, vediamo come è possibile rappresentare le permutazioni in un modo ancora migliore: con la notazione in cicli. La prima pallina, quella numero, è andata a finire nella scatola numero, la pallina numero nella scatola e la pallina numero nella scatola (siamo tornati al punto di partenza). Possiamo riassumere tutto ciò nella seguente scrittura che prende il nome di ciclo:. Interpretiamo la notazione ciclica: l insieme dei numeri tra parentesi forma un ciclo in cui ciascuna pallina si muove nella scatola di quello che segue, fino ad arrivare all ultimo che si muove nella scatola del primo della lista. I cicli possono avere lunghezze variabili da un minimo di (nel caso in cui la pallina non viene spostata) fino ad un massimo di n che il numero totale di palline. In conclusione la permutazione d esempio si può scrivere in notazione ciclica nel seguente modo: Questi cicli si dicono disgiunti, infatti ogni numero appare in un solo ciclo. Di solito i cicli di lunghezza vengono omessi visto che in tal caso quella pallina viene lasciata fissa. Teorema Ogni permutazione si può esprimere in modo unico come prodotto di cicli disgiunti Dimostrazione Se analizziamo con cura la descrizione del processo che porta alla decomposizione in cicli disgiunti, ci accorgiamo che lo possiamo modificare solo ricorrendo a scelte diverse degli elementi di partenza; ad esempio, potremmo partire da invece che da e, una volta chiuso un ciclo, potremmo scegliere a caso un elemento escluso. Nel nostro caso otterremo cioè ciclo di quello precedentemente trovato. che in pratica rappresenta lo stesso Come convenzione facciamo iniziare ciascun ciclo con il più piccolo tra i numeri presenti in esso.

17 5. Una Particolare Permutazione: Identità Osservazione Esiste una particolare permutazione, quella che non sposta nulla. Questa viene chiamata permutazione identica o identità e viene rappresentata dall unico ciclo. Consideriamo ora due permutazioni P e Q sull insieme,,, A, cosa succede se applichiamo prima P e successivamente Q? Siano P e Q le due permutazioni, scriviamo PQ Abbiamo trovato un altra permutazione! Infatti la P porta in e la Q porta in quindi possiamo dire che PQ porta in e così via Pertanto possiamo dire che la composizione di due permutazioni è ancora una permutazione.

18 5. Permutazione Simmetrica Dato un insieme A con n elementi indichiamo con elementi di A; su questo insieme S n S n l insieme di tutte le permutazioni sugli consideriamo l operazione di composizione tra permutazioni così come vista nell esempio precedente. Quello che otteniamo è un gruppo con Infatti come visto in precedenza l operazione di composizione è chiusa. Si verifica inoltre che tale operazione è associativa. n! elementi. L elemento neutro è chiaramente la permutazione identica (quella che non sposta nulla). E facile infine dimostrare che è sempre possibile trovare l inversa di una permutazione. Infatti possiamo ottenere l'inversa di una permutazione scambiando la prima con la seconda riga della permutazione stessa e poi riordinando gli elementi della prima riga. Esempio (troviamo l inversa di una permutazione) In S sia, scambiando le righe otteniamo abbiamo. Verificare che poi riordinando Osservazione Il gruppo simmetrico S n (con n ) non è commutativo. Consideriamo infatti in S le seguenti permutazioni e, si ha che mentre quindi.

19 5. - L ordine di una permutazione Analizziamo ora cosa s intende per ordine di una permutazione. Partiamo dal considerare la Q seguente permutazione. Applicandola tre volte consecutivamente, otterremo l identità, ovvero tutti gli oggetti torneranno nella loro posizione iniziale. Ovvero Q Inoltre Q Q 6 Q 9 Q Q 5 Volendo generalizzare questo concetto, consideriamo una permutazione come di seguito P 6 5. Essa è evidentemente un -ciclo, ove il primo è composto da due oggetti, il secondo da tre oggetti. Se teniamo conto solo del primo ciclo, applicando la permutazione per due volte, otterremo l identità. Analogamente, se consideriamo solo il secondo ciclo, e applichiamo la permutazione tre volte, saremo in presenza dell identità. In generale comunque, se p è la lunghezza del primo ciclo (nel nostro caso ) e q la lunghezza del secondo ciclo(nell esempio ), avremo che il mcm sarà il numero di volte che le permutazioni dovranno essere applicate per raggiungere l identità. E il mcm è detto ordine della permutazione. Per concludere, nel nostro esempio, mcm(,)=6 (ordine 6). Applicando dunque 6 volte la permutazione saremo in presenza dell identità.

20 5.5 - Scomposizione in trasposizioni Sappiamo che una permutazione è rappresentabile attraverso varie metodologie, una di queste è quella in forma ciclica. Prendiamo la permutazione. Essa può essere riscritta come prodotto di -cicli, cioè come prodotto di trasposizioni, come nel seguente modo: bene notare che potevamo anche scrivere, ma sottolineiamo il fatto che è pur sempre scritta come prodotto di trasposizioni, dove per trasposizione s intende un -ciclo, ovvero un ciclo contenente due oggetti. Un teorema ci dice inoltre che la parità di una permutazione dipende dal numero di trasposizioni necessarie per la decomposizione del ciclo. Possiamo quindi enunciare la seguente: Definizione Una permutazione si dice pari se si può rappresentare come prodotto di un numero pari di trasposizioni. Altrimenti si dice dispari.. E

21 5.6 - Un sottogruppo nelle permutazioni Soffermiamoci sull insieme di tutte le permutazioni Sn. Esso potrà essere suddiviso in due insiemi più piccoli disgiunti: l insieme delle permutazioni pari e l insieme delle permutazioni dispari. Se cerchiamo di trovare nell insieme delle permutazioni pari le caratteristiche del gruppo, noteremo che tutte sono verificate. Infatti: Chiusura dell operazione: la composizione di due permutazioni pari è ancora una permutazione pari; Identità: è una permutazione pari, in quanto è rappresentata da zero (n. pari) trasposizioni; L inversa è una permutazione ancora pari; L associatività è la stessa del gruppo Sn. Definizione Se di (G ; *) esiste un sottoinsieme ( H ; * ) che con la stessa legge di composizione verifica le operazioni di gruppo, esso è detto sottogruppo. Il sottogruppo appena visto (permutazioni pari) si chiama gruppo alterno di grado n e si indica con A n. Altrettanto non può essere detto circa la composizione di due permutazioni dispari. Infatti la composizione di una permutazione dispari con una permutazione dispari, non restituisce una permutazione dispari. Di conseguenza, non risulta essere verificata una delle caratteristiche necessarie affinché un gruppo sia definito tale.

22 5.7 Permutazioni: classe pari e dispari Per definire la classe di una permutazione si lavora principalmente sugli oggetti della stessa. Prendiamo ad esempio la seguente permutazione (in notazione ciclica): ( 7)( )(5 6) Abbiamo che nel primo ciclo ci sono tre oggetti, nel secondo ciclo abbiamo due oggetti, e nel terzo ed ultimo ciclo due oggetti. A questo punto dobbiamo considerare il numero di oggetti di ciascun ciclo, quindi rispettivamente,, sottraendo a ciascuno di essi l unità, in modo da giungere alla somma di ++=. Il risultato ottenuto,, risulta essere un numero positivo e di conseguenza la classe della permutazione considerata è pari. Da sottolineare che, delle 7! Permutazioni possibili, la metà sarà di classe pari, mentre la restante parte sarà di classe dispari.

23 6.0 GIOCHI APPLICATI ALLA TEORIA DEI GRUPPI 5. IL GIOCO DEL 5 Il gioco del quindici è un rompicapo classico inventato da Samuel Loyd nel 878. Il gioco consiste di una tabellina di forma quadrata divisa in quattro righe e quattro colonne (quindi 6 posizioni), su cui sono posizionate 5 tessere quadrate, numerate progressivamente a partire da. Le tessere possono scorrere in orizzontale o verticale, ma il loro spostamento è ovviamente limitato dall'esistenza di un singolo spazio vuoto. Lo scopo del gioco è riordinare le tessere dopo averle "mescolate" in modo casuale (la posizione da raggiungere è illustrata in bassa). Loyd descrisse per la prima volta il suo fifteen puzzle ("rompicapo del quindici") nel volume Sam Loyd's Cyclopaedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums, pubblicato nel 9 dal figlio. Il gioco ebbe sin da subito grande successo, contribuendo alla fama del suo inventore, già rinomato enigmista e autore di altri giochi di successo. Loyd mise in palio la cifra di mille dollari come premio per chi fosse riuscito a risolvere una versione del gioco partendo da una posizione identica a quella finale, ma con i numeri e 5 scambiati (così come si vede dall immagine qui sotto). Un premio che nessuno mai avrebbe potuto reclamare poiché, come l'autore sapeva benissimo, la soluzione del gioco partendo da una tale configurazione è matematicamente impossibile.

24 Una generalizzazione naturale del gioco del quindici è un puzzle di su una griglia. Per determinare se a partire da una data configurazione C se ne possa raggiungere un'altra C occorre calcolare le permutazioni dei numeri sulle caselle (nell'ordine di lettura): il numero di inversioni (coppie non ordinate), deve essere pari. GIOCO RISOLVIBILE PARITA = PARI GIOCO IRRISOLVIBILE PARITA = DISPARI

25 5. - IL CUBO DI RUBIK Si tratta di un cubo dove ciascuna faccia ha un colore diverso ed è suddivisa in 9 quadratini. È possibile ruotare ciascuna faccia con il risultato che dopo un po di rotazioni le varie faccette colorate si disperdono sulle varie facce del cubo. Lo scopo del gioco è quello di ripristinare l ordine iniziale. Basta fare poche mosse per trovarsi in una situazione apparentemente irrisolvibile! Per fortuna esistono diverse tecniche per risolverlo. È interessante anche osservare che sotto questo gioco ci sia una matematica alquanto complicata che ha una nascita relativamente recente. Come si fa per calcolare tutte le possibili combinazioni che il cubo può assumere? Per calcolare le possibili combinazioni si potrebbe pensare di calcolare il fattoriale del totale delle faccette che sono 5. Esso è un numero enorme di 7 cifre: 5!= Però questa stima non tiene conto dei vincoli che il cubo di rubik ha legate ai 6 cubetti centrali che rimangono fissi dopo qualunque rotazione, ai cubetti di spigolo (che hanno faccette) e agli 8 di angolo (aventi faccette). Si giunge quindi a scoprire che il numero esatto di possibili configurazioni del cubo magico è : (quarantatre miliardi di miliardi). Però come abbiamo già visto per il gioco del quindici anche qui troviamo delle configurazioni imposibili da risolvere. Se si smonta il cubo e lo si rimonta a caso non è assolutamente certo che si ricade in una delle posizioni possibili. Infatti esistono mondi paralleli di configurazioni che non comunicano tra loro, cioè se ci ritrova in uno di questi mondi non è più possibile raggiungere tramite rotazioni una configurazione di un altro mondo. Quindi poiché la configurazione che vogliamo raggiungere è unica (quella con tutte le facce del cubo dello stesso colore) la potremo raggiungere solo se ci troviamo in una configurazione che appartiene al suo mondo. Osservazione Il gruppo di Rubik R è un sottogruppo di S 5. Infatti le rotazioni delle facce del cubo non sono altro che particolari permutazioni del gruppo simmetrico su 5 elementi (quadratini colorati).

26 Area di progetto IIIA Informatica A.S Studenti: Catalano Biagio Dargenio Ruggiero Paciolla Andrea Si ringraziano i docenti: NICOLA CIRULLI che è stato il creatore di quest area di progetto e che ci ha seguiti nell ambito della matematica; ANTONIO CRISTALLO che ha curato i nostri lavori; FILOMENA DI CAGNO che ha curato la sezione permutazioni. Si ringrazia: Nicola Montrone che ha creato il gioco del 5 in VB 6.0 e il video del cubo di Rubik in movimento.