Localizzazione di un terremoto

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1 Localizzazione di un terremoto Epicentro e meccanismo focale del terremoto del 21 giugno 213, magnitudo 5.2 avvenuto in Lunigiana 1 (h>ps://ingvterremoa.wordpress.com/tag/evento- sismico- lunigiana/)

2 Un esempio semplice viene fornito dal metodo dei cerchi che si basa sui daa proveniena da 3 stazioni. Questo metodo fornisce le coordinate epicentrali. 2

3 La differenza dei tempi di arrivo delle onde S e delle onde P è funzione della distanza ipocentrale d i e dipende dalle cara>erisache del mezzo di propagazione. 3

4 Assumiamo un mezzo omogeneo e isotropo. Il tempo di arrivo di un onda P alla stazione i- esima è dato da: ( t ) A P = t + t P t P = d i α in cui t P è il tempo origine dell evento, t P è il tempo di percorso dell onda P dall ipocentro alla stazione, definito da: in cui d i è la distanza ipocentrale e α è la velocità delle onde P Analogamente per le onde S: t A ( ) S = t + t S t S = d i β 4

5 Si avrà: Da cui: ( t A ) S ( t A ) P = t + d i β t d i α " 1 = d ì β 1 % $ ' # α & d i = Δt i $ α β ' & ) % α β ( Misurando le differenze Δt i ad almeno 3 stazioni, è possibile calcolare le distanze ipocentrali d i, assumendo note le velocità α e β. L epicentro si dovrà trovare all intersezione delle 3 circonferenze di raggio d i (i = 1,, 3) 5

6 LimiA: Modello omogeneo 3 sole stazioni sismiche è distribuzione spaziale delle stazioni Profondità dell evento? Tempo origine dell evento? 6

7 Disposizione Areale delle stazioni 7

8 distanza ipocentrale (d i ) o distanza epicentrale (D i )? Il problema della profondità focale (h): h i = d i 2 D i 2 8

9 Localizzazione ipocentrale Il problema consiste nel determinare le coordinate spaziali ed il tempo di accadimento (tempo origine) del terremoto. ( x H, y H, z H,t ) H Questo significa cercare la soluzione a un problema inverso. 9

10 PROBLEMA DIRETTO Fissato un ipocentro, calcolare il tempo di percorso ipocentro - stazione di una fase sismica, per un paracolare modello di velocità PARAMETRI MODELLO DATI SIMULATI PROBLEMA INVERSO Ricavare i parametri ipocentrali dai daa, cosatuia dai tempi di arrivo alle stazioni, sulla base di un modello di velocità DATI. MODELLO PARAMETRI 1

11 Supponiamo che n stazioni sismiche poste alle coordinate x i : x i ( x i, y i, z ) i (i = 1, n) Abbiano registrato il terremoto. DATI tempi di arrivo delle fasi sismiche (P e S) alle stazioni t i oss (i = 1,, n) n = n. di stazioni 11

12 Il tempo di primo arrivo alla stazione i- esima dipende dal tempo origine del terremoto (t H ) e dal tempo di percorso ipocentro- stazione (T i ) : t i oss = t H +T i ( x H, y H, z H, x i, v( x, y, z) ) (1) Il tempo di percorso ipocentro- stazione dipende, oltre che dalle coordinate dell ipocentro e della stazione, dal modello di velocità del mezzo. 12

13 INCOGNITE (parametri) cordinate ipocentrali ( x, y, z,t ) H H H H Per risolvere il problema inverso, di determinare i parametri (coordinate ipocentrali) a parare dai daa (tempi di arrivo alle stazioni), procediamo a>raverso i seguena puna:. scelta del modello iniziale 1. definizione della soluzione di prova (parametri iniziali) 2. ricerca delle perturbazioni ai parametri e linearizzazione del sistema di equazioni 3. imposizione della condizione ai minimi quadraa e calcolo delle perturbazioni ai parametri correzione dei parametri di prova e ritorno al punto 1

14 . MODELLO Consideriamo un esempio di localizzazione ipocentrale, ipoazzando un mezzo di propagazione omogeneo, con velocità di propagazione v. In tal caso il raggio sarà una linea re>a 14

15 In tal caso la (1) diviene: t i = t H + ( x i x H ) 2 + y i y H v ( ) 2 + ( z i z H ) 2 (i = 1,, n) (2) Il sistema di equazioni (2) è un sistema non lineare di n equazioni in 4 incognite. Perché possa essere risolto, deve essere: Nel caso in cui: n 4 n > 4 Il sistema sarà sovradeterminato e viene risolto mediante un metodo staasaco, essendo le equazioni sogge>e ad errori. 15

16 t i = t + ( x i x H ) 2 + y i y H v ( ) 2 + ( z i z H ) 2 (i = 1,, n) (2) Definiamo il ve>ore m contenente le incognite del problema : m ( x H, y H, z H,t ) H (4) 16

17 Per determinare il ve>ore m bisogna: linearizzare il problema migliorare iteraavamente la sama di m 1. Fissiamo una soluzione iniziale di prova: m ( x H, y H, z H,t ) H a>raverso cui è possibile calcolare i tempi di arrivo alle stazioni t calc, sulla base del modello di velocità noto a priori: t i calc = t i = t H + ( x i x ) 2 H + ( y i y ) 2 H + ( z i z ) 2 H v (5) 17

18 A meno di non essere paracolarmente fortunaa, i tempi di arrivo così calcolaa t calc non coincideranno con quelli osservaa t oss : 2. Δd i = t i oss t i calc Si procede quindi alla ricerca di perturbazioni ai parametri che definiscono il modello iniziale, in modo da o>enere daa predeg (t calc ) il più possibile prossimi ai daa osservaa (t oss ): (6) m j +δm j = m j 1 (j = 1,, 4) m j 1 = parametri ipocentrali alla prima iterazione m j = parametri ipocentrali iniziali δm j = perturbazioni Il subscri>o, 1, corrisponde al numero di iterazione nella 18 procedura.

19 Come si calcolano queste perturbazioni ai parametri del modello? Riscriviamo il sistema di equazioni (5) : t i calc = t i = t H + ( x i x ) 2 H + ( y i y ) 2 H + ( z i z ) 2 H v (i = 1, n) (7) Le equazioni dei tempi di arrivo possono essere linearizzate possono essere linearizzate mediante espansione in serie di Taylor al primo ordine della funzione Δd i calcolata per il modello iniziale m. 19

20 Ricorda: La serie di Taylor di una funzione f calcolata in un punto x è espressa dalla somma di una serie di termini: f ( x + h) = f ( x ) + f (1) ( x ) 1! In cui h definisce un intorno del punto x. h + f (2) ( x ) 2! h Nel nostro caso la funzione in quesaone è il tempo di arrivo (t i ) calcolato nel punto (x H, y H,z H, t H ). Si tra>a di una funzione a 4 variabili. Per ciascuna di esse h rappresenta la perturbazione alla 2 coordinata ipocentrale iniziale.

21 L espansione in serie di Taylor al primo ordine delle funzioni t i, consente anche di linearizzare le equazioni. t i ( x H, y H, z H,t ) H = t H + ( x i x ) 2 H + ( y i y ) 2 H + ( z i z ) 2 H v (7) t i t i + 4 j=1 t i m j Δm j (8) La differenza tra tempi osservaa e tempi predeg (5) così diviene: Δd i = t i oss t i calc 4 j=1 t i Δm j m j (9) 21

22 Che forma hanno queste derivate? G i1 = t i x = 1 v G i2 = t i y = 1 v G i3 = t i z = 1 v x i x H ( x i x H ) 2 + ( y i y H ) 2 + ( z i z H ) 2 y i y H ( x i x H ) 2 + ( y i y H ) 2 + ( z i z H ) 2 z i z H ( x i x H ) 2 + ( y i y H ) 2 + ( z i z H ) 2 G i4 = t i t =1 avendo posto: G ij = t i m j (i = 1,, n; j = 1,, 4) (9) 22

23 Pertanto il sistema di equazioni (9) potrà scriversi nella forma: Δd i = t i oss t i calc G i1 Δm 1 + G i2 Δm 2 + G i3 Δm 3 + G i3 Δm 3 che in forma matriciale diviene: Δd = GΔm (1) La (1) è una equazione matriciale che rappresenta un sistema di n equazioni lineari, dove n è il numero di daa: " $ $ $ $ $ $ # Δd 1 Δd 2.. Δd n % " ' $ ' $ ' $ ' = $ ' $ ' $ & # G 11 G 12 G 13 G 14 G 21 G 22 G 23 G G n1 G n2 G n3 G n4 %" ' $ ' $ ' $ ' $ ' $ ' $ &# Δm 1 Δm 2.. Δm n % ' ' ' ' ' ' & (11) 23

24 In generale il numero di daa osservaa (tempi di arrivo alle stazioni) è maggiore del numero dei parametri da samare, pari a 4, il che rende il sistema di equazioni sovradeterminato. 3. Per risolvere il sistema di equazioni: Δd = GΔm (1) o, equivalentemente: Δd i = G i1 Δm 1 + G i2 Δm 2 + G i3 Δm 3 + G i4 Δm 4 (i=1,, n) si cerca la soluzione ai minimi quadraa. 24

25 A tale scopo definiamo la funzione scarto (e): e i = ( G i1 Δm 1 + G i2 Δm 2 + G i3 Δm 3 + G i4 Δm ) 4 Δd i (i=1,, n) (11) Questa funzione rappresenta la differenza tra il Δd osservato e quello calcolato mediante approssimazione di Taylor. Definiamo ancora lo scarto quadraaco: ( ) = e i 2 E = e T e n i=1 (12) 25

26 n E = 2 e i = i=1 n i=1 ( G i1 Δm 1 + G i2 Δm 2 + G i3 Δm 3 + G i4 Δm 4 Δd ) 2 i La condizione ai minimi quadraa è che: n E = e 2 = min i i=1 (13) n i=1 ( G i1 Δm 1 + G i2 Δm 2 + G i3 Δm 3 + G i3 Δm 3 Δd ) 2 i = min (14) 26

27 La condizione è soddisfa>a per: n E = 2 e i = min i=1 (13) E Δm 1 = E Δm 2 = E Δm 3 = E Δm 4 = (14) Abbiamo così o>enuto un sistema di 4 equazioni in qua>ro incognite. Le funzioni contengono gli elemena della matrice G e le differenze Δd i 27

28 Si dimostra che la soluzione del problema inverso lineare ai minimi quadran è data da: Δm = ( G T G) 1 G T Δd (15) 28

29 4. Una volta che il ve>ore Δm (perturbazioni ai parametri iniziali) viene calcolato, possiamo correggere i parametri iniziali: x 1 = x H + Δm 1 y 1 = y H + Δm 2 z 1 = z H + Δm 3 t 1 = t H + Δm 4 I nuovi parametri (x H1, y H1, z H1, t H1 ) vengono usaa per ripetere il processo. Il processo iteraavo viene ripetuto finchè Δd diviene sufficientemente piccolo. 29

30 Ricapitolando il metodo per trovare la soluzione del problema inverso della sama dei parametri ipocentrali: Definizione del modello di velocità Definizione delle equazioni che legano i parametri ai daa: t i oss = t H +T i Linearizzazione delle equazioni ( x H, y H, z H, x i, v( x, y, z) ) (i = 1, n) Soluzione ai minimi quadraa del sistema di n eq. in 4 incognite: Δm = ( G T G) 1 G T Δd Δd = GΔm 3

31 La matrice di risoluzione Viene introdo>a per avere una sama della bontà della soluzione ai minimi quadraa. Il problema inverso è espresso nella forma generale da: La soluzione ai minimi quadraa è data da: Definiamo la matrice: d = Am m est =! " A T A # 1 $ A T d oss!a T 1 " A# $ A T = A a Inversa generalizzata di A. 31

32 In che modo la sama dei parametri m est predice i daa? d pre = daa predeg d obs = daa osservaa d pre = Am est m est =! " A T A # 1 $ A T d oss = AA -a d oss = Nd obs N =! " AA -a # $ matrice di risoluzione Nel caso in cui N = I è d pre = d obs I = matrice idenatà 32