Sistemi bidimensionali

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1 Sistemi bidimensionali Sistemi lineari Sistemi non lineari Cicli limite Tori

2 Sistemi lineari

3 I sistemi monodimensionali hanno traiettorie che si muovono monotonicamente o rimangono costanti I sistemi di ordine più elevato presentano un comportamento dinamico più complesso I più semplici sono i sistemi lineari bidimensionali: a + b c + d ẋ A a b A c d Il sistema è lineare: A A 3 A3 3 c + c Il punto è un punto fisso per qualunque scelta di A 3

4 Esempi Circuito LC/RLC Sistema massa-molla Reattore CSTR non isotermo reazione a b 4

5 Esempio ẋ a A A - < a < + a Equazioni disaccoppiate caso semplice e e at t decresce esponenzialmente per qualunque valore di a decresce esponenzialmente per a < Gli assi e giocano un ruolo particolare: una traiettoria che parte su uno di essi vi rimane per sempre e mostra semplice decadimento/crescita esponenziale 5

6 a < - a - decade più rapidamente di le traiettorie si avvicinano all origine tangenti alla direzione più lenta at e è un nodo stabile e t è un nodo simmetrico o stella 3 -< a < decade più rapidamente di le traiettorie si avvicinano all origine tangenti alla direzione più lenta è un nodo stabile 6

7 4 a t linea di punti fissi lungo l asse Le traiettorie si avvicinano all origine lungo linee verticali 5 a > diventa instabile e le traiettorie si muovono verso l infinito, a meno che la traiettoria non parta sull asse è un punto sella L asse èla varietà stabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che t per t L asse èla varietà instabile del punto sella, ovvero il set di condizioni 7 iniziali tali che t per t -

8 nodo stabile linea di punti fissi stabili nodo simmetrico o stella instabile sella 8

9 Definizioni legate alla stabilità è un punto fisso attrattore se tutte le traiettorie che partono vicino a finiscono in per t t Se attrae tutte le traiettorie, è detto globalmente attrattore è un punto fisso stabile secondo Lapunov se tutte le traiettorie che partono vicino a rimangono vicine a per t Un punto fisso stabile ma non attrattore è detto neutralmente stabile Un punto fisso stabile attrattore è detto stabile o asintoticamente stabile Un punto fisso non stabile e non attrattore è detto instabile 9

10 Stabilità di sistemi lineari t Limitato per ogni Illimitato per qualche sistema STABILE sistema INSTABILE Sistema stabile t per ogni t per qualche ASINTOTICAMENTE STABILE SEMPLICEMENTE STABILE

11 Autovalori ed autovettori Cerchiamo particolari traiettorie rettilinee della forma λt t e v Moto esponenziale lungo la linea individuata dal vettore v Sostituendo in ẋ A, λe λt λt v e Av λv Av La traiettoria esiste se v è un autovettore di A con autovalore λ La soluzione λt t e v è detta autosoluzione

12 A non è un autovettore A è un autovettore con λ< In generale, l azione della matrice A su produce una rotazione per cui e A non sono allineati Se è un autovettore l azione di A si traduce in un allungamento/accorciamento del vettore ed eventualmente in un cambio di verso

13 Richiamo Gli autovalori di una matrice A sono dati dall equazione caratteristica det A λi a b Per una matrice A c d l equazione caratteristica diventa a λ b det λ τλ + c d λ con τ traccia A a + d; det A ad bc Allora λ, τ ± τ 4 Il sistema è asintoticamente stabile se Reλ i < per ogni i 3

14 Un sottospazio A Χ, Χ Sottospazi invarianti Χ R n è invariante sotto A se ovvero, i trasformati di stanno in Χ Teorema Il sottospazio descritto da un autovettore è un sottospazio invariante Dim Infatti Aλ Allora la traiettoria che parte da uno stato che è un autovettore rimane nel sottospazio descritto dall autovettore λ < λ > è un autovettore associato a λ 4

15 Nodo: Autovalori reali e concordi in segno Sella: Autovalori reali e discordi in segno Centro: Autovalori immaginari puri: Fuoco: Autovalori complessi coniugati 5

16 Ritratto delle fasi AUTOVALORI DISTINTI λ λ v e v linearmente indipendenti La soluzione generale avrà la forma c v + c v, t c e λ t v + c e λ t v E una soluzione generale perché è una combinazione lineare di auto soluzioni e quindi è una soluzione soddisfa le condizioni iniziali quindi per il teorema di esistenza ed unicità è la sola soluzione 6

17 Per disegnare le traiettorie nello spazio delle fasi è però sufficiente conoscere gli autovalori λ ; λ 3; v più ripida v v v v v v v 4 λ λ 3 autosoluzione con crescita esponenziale autosoluzione con decadimento esponenziale L origine è un punto sella La linea individuata da v èla varietà instabile, quella individuata 7 da v èla varietà stabile

18 Cosa accade se λ < λ < λ Direzione veloce λ Direzione lenta Entrambe le autosoluzioni decadono esponenzialmente Il punto fisso è un nodo stabile Le traiettorie convergono verso il punto fisso tipicamente lungo la direzione dell autovettore col più piccolo λ λ Invertendo le frecce otteniamo il ritratto delle fasi per un nodo 8 instabile

19 9 Cosa accade se Il punto fisso è un centro o una spirale fuoco C λ,λ oscillatore armonico smorzato oscillatore armonico, 4 ; 4 4 τ ω ; τ α jω α λ, ± < ± τ τ τ λ { } ] cos [ Re t sen c c t c c e j e jc c e e jc c e jc c e c c e t i r i r t i r t j i r t t j i r t j i r t t ω ω α ω α ω α ω α λ λ r i i r v v v v v v v v v v Punto fisso circondato da una famiglia di orbite chiuse

20 e e αt αt cos ωt sen ωt Oscillazioni modulate da un esponenziale α smorzateseα < Oscillazioni crescenti seα > spirale/fuoco stabile Puntofisso spirale/fuocoinstabile α Oscillazioni di ampiezza fissa Punto fisso: centro Soluzioni periodiche di periodo π/ω

21 AUTOVALORI COINCIDENTI λ λ λ Esistono autovettori indipendenti: Consideriamo un vettore arbitrario g t c v + c v ; a A A c v + c v c λ v + c λv g g λg Ovvero g ogni vettore è un autovettore con autovalore λ Poiché la moltiplicazione per A moltiplica qualunque vettore per λ, Α deve essere del tipo λ A λ λ λ ẋ A λ t e λt o a linee rette Ogni punto è un punto fisso attraverso l'origine nodo stella

22 Esiste un solo autovettore Il punto fisso è un nodo degenerato Per t diventano parallele all'unica autodirezione tutte le traiettorie λ A b λ autodirezione nodo degenerato: nodo proveniente dalla deformazione di un nodo ordinario con autovettori autodirezioni indipendenti in cui tutte la traiettorie sono parallele alla direzione lenta come t veloce lenta

23 Classificazione dei punti fissi τ Nodi instabili τ 4 λ, τ ± τ 4 Punti sella Punti fissi non isolati Spirali instabili centri Spirali stabili Nodi stabili Stelle, nodi degenerati < autovalori reali con segni opposti punto sella un autovalore nullo intera linea di punti fissi o intero piano se A > reali con lo stesso segno nodi autovalori complessi coniugati spirali o centri τ < R λ < punto fisso stabile, τ > R λ, > punto fisso instabile 3 τ R λ punto fisso centro neutralmente stabile, τ 4 > τ 4 <

24 Sistemi non lineari 4

25 Il piano delle fasi La forma generale è f f,, ẋ f f f f è un punto nel piano delle fasi e il vettore velocità in quel punto Durante l evoluzione del sistema la soluzione rappresenta la traiettoria nel piano delle fasi t Ogni punto può essere un punto iniziale Le traiettorie riempiono l intero piano delle fasi Tipicamente non è possibile trovare a soluzione analitica ci occuperemo di comportamento qualitativo delle soluzioni 5

26 Caratteristiche principali Trovare il ritratto delle fasi direttamente dalle proprietà di f I punti fissi come A, B, C; f Le orbite chiuse come D Le traiettorie vicino ai punti fissi ed alle orbite chiuse La stabilità D e l instabilità A, B, C dei punti fissi e delle orbite chiuse 6

27 Molteplicità degli equilibri Infinità numerabile Infinità non numerabile NON in un sistema lineare 7

28 Esistenza, unicità e conseguenze topologiche Teorema Dato il sistema fi parziali, connesso D j ẋ i,j,, n, sono continue in un insieme aperto R n f,, allora per se f D esiste una soluzione t in un intervallo temporale -τ, τ e tale soluzione è unica, è continua e le sue derivate f continuamente differenziabile una ed una sola soluzione Corollario Traiettorie diverse non si intersecano mai soluzioni che partono dallo stesso punto viola l unicità 8

29 Conseguenze negli spazi bidimensionali Ogni traiettoria che parte dentro un orbita chiusa vi è intrappolata per sempre Se all interno vi sono punti fissi può convergere verso di loro Se non vi sono punti fissi deve convergere verso l orbita vedremo Teorema di Bendion-Poincaré 9

30 Stabilità degli equilibri Un equilibrio è stabile LOCALMENTE se per ogni ε> esiste δ> tale che - < δ t- < ε, t ε δ Una piccola perturbazione non porta il sistema lontano dall equilibrio Un equilibrio è asintoticamente stabile se è stabile e se t t, Una piccola perturbazione viene asintoticamente riassorbita 3

31 Un equilibrio è instabile se non è stabile Dato un equilibrio asintoticamente stabile, l insieme B : t { } è detto bacino di attrazione di Un equilibrio asintoticamente stabile è detto globalmente stabile se n B R con l eccezione al più di un insieme di misura nulla 3

32 NB Nei sistemi non lineari, la stabilità è una proprietà dell equilibrio, equilibrio, non del sistema: lo stesso sistema può possedere equilibri stabili e instabili 3

33 33 Punti fissi e Punti fissi e linearizzazione linearizzazione Obiettivo: approssimare l evoluzione del sistema vicino ad un punto fisso col corrispondente sistema lineare,, g f & & ; un punto fisso; è,,, g f Dato il disturbo che allontana dal punto fisso vediamo se cresce o si smorza,,,,,,,,,, uv v O u f v f u uv v O u f v f u f v u f u & & - v -, u

34 34 fisso punto nel matrice Jacobiana quadratici termini,,,,,,,,,,, g g f f J v u g g f f v u uv v O u g v g u v uv v O u f v f u u & & & & analogo di f

35 35 linearizzato sistema quadratici termini Trascurando i, J v u g g f f v u & & Il sistema Il sistema linearizzato linearizzato rispecchia qualitativamente il rispecchia qualitativamente il comportamento del sistema non lineare vicino a comportamento del sistema non lineare vicino a,,??

36 Se il punto fisso per il sistema linearizzato è una sella, un nodo o una spirale, allora il punto fisso è realmente una sella, un nodo o una spirale per il sistema non lineare Se il punto fisso per il sistema linearizzato è un centro, un nodo degenere, una stella o punto fisso non isolato i piccoli termini trascurati possono alterarne il comportamento E il sistema linearizzato predice un centro mentre si tratta di una spirale 36

37 Im Im Im Im Im autovalori Re Re Re Re Re J f?? 37

38 Im Im Im Im Im autovalori di J Re Re Re Re Re J f?? 38

39 39 Esempio fissi Punti 3 3, -,, ± + + ; ; ± +,, 3 J J J nodo stabile punti sella I punti fissi del sistema non lineare sono stati predetti correttamente poiché si tratta di nodo stabile e sella

40 Anche stelle e nodi degeneri possono essere alterati dalla non linearità, ma la loro stabilità non cambia Se siamo interessati alla stabilità e non alla geometria della traiettoria, possiamo classificare i punti fissi in Casi robusti Repulsori sorgenti Reλ, > Attrattori pozzi Reλ, < Selle λ < λ > Casi marginali Centri Reλ, Punti fissi di ordine λ superiore e non isolati 4

41 Punti fissi iperbolici R λ, La stabilità non è influenzata dai termini non lineari Teorema di Hartman-Grobman Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è topologicamente equivalente al ritratto delle fasi della linerizzazione In particolare la stabilità del punto fisso è individuata dalla linearizzazione Topologicamente equivalente esiste un omeomorfismo che mappa un ritratto nell altro, tale che traiettorie sono mappate in traiettorie ed il verso del tempo è preservato deformazione continua con inversa continua 4

42 Stabilità strutturale Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è strutturalmente stabile Strutturalmente stabile la sua topologia non è cambiata da una perturbazione arbitrariamente piccola del campo vettoriale Il ritratto delle fasi di un punto sella è strutturalmente stabile, ma quello di un centro no: una piccola perturbazione trasforma un centro in una spirale 4

43 Il modello di competizione Lotka Volterra Conigli e pecore competono per l erba che è disponibile in quantità limitata Si trascurano predatori, effetti stagionali, ed altre fonti di cibo Ogni specie, in assenza dell altra, cresce secondo la sua capacità di carico crescita logistica I conigli hanno un tasso di crescita più alto Conigli e pecore entrano in conflitto quando si incontrano I conflitti riducono il tasso di crescita per ogni specie, con effetti più drammatici per i conigli 43

44 44 3 Il modello t popolazione dei conigli t popolazione delle pecore, Classificazione dei punti fissi,,,,3,,, 3 3 : fissi Punti ; -

45 45 ;, ; ; λ λ J P J ; > nodo instabile asse v λ Nel nodo, la traiettoria è tangente all autodirezione più lenta

46 > P, J ; λ ; λ ; nodo stabile λ - v v, 3 6 > P 3, J 3 ; λ 3; λ ; nodo stabile λ - v 6v 3, > P, J 4 ; λ + ; λ ; nodo sella 46

47 pecore varietà stabile conigli Una specie generalmente porta l altra all estinzione Traiettorie che partono sotto la varietà stabile portano all estinzione delle pecore, mentre quelle che partono sopra portano all estinzione dei conigli Principio di competizione esclusiva 47

48 pecore, limite del bacino Dato un punto fisso, il suo bacino di attrazione è l insieme delle condizioni iniziali, tali che t, per t inf Bacino di attrazione per 3, 3, conigli La varietà stabile separa i bacini dei nodi la varietà stabile è detta limite del bacino le traiettorie che comprendono la varietà stabile sono dette separatrici I bacini ed i loro limiti dividono lo spazio di stato in regioni 48 con un diverso comportamento a lungo termine

49 Cicli limite Un ciclo limite è una traiettoria chiusa isolata Isolata le traiettorie vicine non sono chiuse; esse spiralano verso il ciclo limite o lontano da esso Ciclo limite stabile o attrattore tutte le traiettorie vicine tendono verso il ciclo limite Ciò significa che se il sistema è leggermente disturbato dall oscillazione standard, torna poi nel ciclo limite Altrimenti ciclo limite instabile o semi-stabile I cicli limite stabili modellano sistemi con oscillazioni autosostenute, oscillanti anche in assenza di sollecitazione periodica esterna E, battito cardiaco, ritmi quotidiani di temaperatura corporea o livelli ormonali, pericolose vibrazioni autosostenute nei ponti o nelle ali degli 49 aerei,etc

50 Ciclo limite stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite semi stabile 5

51 Un ciclo limite è un fenomeno non lineare Un sistema lineare può avere orbite chiuse ma non isolate Se è una soluzione periodica, lo è anche ct ct t è circondata da una famiglia di orbite chiuse Quindi l ampiezza dell oscillazione lineare dipende interamente dalle condizioni iniziali; ogni leggero disturbo persisterà per sempre Invece in un ciclo limite le oscillazioni sono determinate dalla struttura del sistema stesso 5

52 Esempio: il più semplice ciclo limite r r r Crescita logistica r ϑ r Trattiamo r r r come un campo vettorialesullalinea r punto fissoinstabile r punto fisso stabile In coordinatecartesiane t rt cosϑt t rtsenϑt Nelpiano delle nicamentea r velocitàangolarecostante,le traiettorie spiralanoasintoticamente verso il ciclolimite a r fasi tutte le traiettorie eccetto Poichéil moto nella direzioneϑ è una rotazionecon r tendonomonoto 5 r

53 Oscillatore di Van der Pol d dt b - d dt - Circuiti delle prime radio Un semplice oscillatore armonico ma con un termine di smorzamento non lineare Il termine non lineare agisce come uno smorzamento per > Decadimento for grandi, ; uno smorzamento negativo per < Crescita for grandi, ; Un resistore passivo dissipa energia per qualunque livello di corrente; un semiconduttore opera come se stesse pompando energia nel circuito a basse correnti, e assorbendo energia per altre correnti Lo scambio tra iniezione ed assorbimento di energia si traduce in un oscillazione periodica di tensioni e correnti 53

54 t Il ciclo limite non è un cerchio 54

55 Teorema di Bendion condizione di non esistenza Dato f f se la divergenza + non cambia segno in un insieme chiuso e limitato Ω R o al più si annulla su delle linee un campo vettoriale non ci sono cicli in Ω ẋ f, in R Teorema di Poincaré condizione di esistenza Dato un campo vettoriale ẋ se in una regione anulare A traiettorie entrano escono in A A contiene almeno un ciclo f, in R R non ci sono equilibri e le 55

56 Il Teorema di Bendion-Poincaré è uno dei risultati centrali della dinamica non lineare Afferma che le possibilità dinamiche nel piano delle fasi sono molto limitate Se una traiettoria è confinata in una regione chiusa, limitata che non contiene punti fissi, allora la traiettoria deve tendere ad un orbita chiusa Ciò è conseguenza delle bidimensionalità del piano In sistemi di ordine maggiore di il teorema non è più valido e le traiettorie possono vivere per sempre in una regione limitata senza tendere ad un punto fisso o ad un orbita chiusa In alcuni casi le traiettorie sono attratte da un complesso oggetto geometrico detto strano attrattore, un set frattale nel quale il moto è aperiodico e sensibile alle condizioni iniziali Tale sensibilità rende il moto impredicibile a lungo termine; è il CAOS Il Teorema di Bendion-Poincaré esclude che il caos possa verificarsi in sistemi di ordine 56

57 Metodi per escludere orbite chiuse Teoria dell indice Sistemi gradiente Funzioni di Lapunov Criterio di Dulac Metodi per stabilire l esistenza l di orbite chiuse Teorema di Bendison-Poincaré 57

58 Sistemi conservativi Una particella di massa m si muove lungo l asse soggetta ad una forza non lineare F nessun attrito o dipendenza dal tempo m & F equazione del moto Sotto queste assunzioni l energia si conserva: Definiamo l energia potenziale V tale che dv F d Moltiplicando per & m && + m &&& + dv d dv d & d dt m& + V L energia totale E E m& + V è costante nel tempo 58

59 L energia è spesso chiamata una quantità conservata, una costante del moto o un integrale primo I sistemi per i quali esiste una quantità conservata sono detti sistemi conservativi In generale, dato un sistema, & f una quantità conservata E è una funzione continua a valori reali costante lungo le traiettorie de/dt E, non costante in ogni insieme aperto 59

60 Un sistema conservativo non può avere punti fissi attrattori se fosse un punto fisso attrattore, tutti i punti nel suo bacino di attrazione dovrebbero essere alla stessa energia E perché l energia è costante lungo le traiettorie e tutte le traiettorie nel bacino vanno verso Quindi Ecostante nel bacino Ma questo contraddice la definizione di sistema conservativo che richiede E non costante in tutti gli insiemi aperti Generalmente i punti fissi sono selle e centri Teorema Sia un punto fisso isolato per un sistema conservativo continuamente differenziabile Se è un minimo locale di E, tutte le traiettorie sufficientemente vicine a sono curve 6 chiuse

61 Il pendolo In assenza di smorzamento e forzante esterna, il moto è governato dalla dϑ dt + g L Postoτ ωt && ϑ + senϑ & ϑ ν v& senϑ senϑ e ω Punti fissi : ϑ, ν g/l kπ, θ L m g A,, centro lineare 6

62 In realtà l origine è un centro non lineare Infatti: Il sistema è reversibile Il sistema è conservativo Moltiplicando per ϑ e integrando & ϑ && ϑ + senϑ & ϑ La funzione energia E ha ϑ,ν ν cosϑ cosϑ un minimo locale in, poichè costante; E ν + ϑ - per piccoli ϑ,ν 6

63 A ; π, Autovettori : v λ ;, v λ,, λ punto sella ν θ Per riempire il piano del fasi è sufficiente introdurre i contorni E/ ν -cosθ per diversi valori di E 63

64 ν θ Interpretazione fisica Centro: equilibrio neutralmente stabile col pendolo a riposo dritto E lo stato di minima energia, E- Orbite intorno ai centri: piccole oscillazioni intorno all equilibrio librazioni; le orbite aumentano al crescere di E Selle: il pendolo capovolto a riposo Traiettorie eterocline: il pendolo rallenta per fermarsi precisamente nella posizione capovolta Traiettorie oltre le eterocline: il pendolo ruota 64 ripetutamente facendo giri completi, E>

65 Smorzamento In presenza di smorzamento il moto è governato dalla && ϑ + b & ϑ + senϑ, smorzamento b > I centri diventano spirali stabili e le selle restano selle ν θ 65

66 66 Quasi periodicità Il toro è un importante spazio delle fasi bidimensionale E lo spazio naturale per descrivere i sistemi della forma,, ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ f f & & con f e f periodiche in θ e θ ϑ ϑ ω ϑ ϑ ϑ ω ϑ + + sen K sen K θ e θ sono le fasi ω e ω sono le frequenze naturali K, K sono le costanti di accoppiamento

67 Esempio: corridori amici K, > che corrono in cerchio θ,τ θ, Τ ϑ ϑ ω + K sen ω + K sen ϑ ϑ ϑ ϑ θ e θ sono le posizioni ω e ω sono le velocità preferite punti che corrono intorno al cerchio con velocità ϑ e ϑ punto sul toro con coordinate θ e θ θ θ, Τ θ, Τ θ Il loro prodotto 67

68 Un modo equivalente di costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti π θ π θ Esempio : corridori che non si conoscono K θ,τ θ, Τ ϑ ϑ ω ω oscillatori disaccoppiati 68

69 ω /ω p/q razionale ω /ω irrazionale p q ω ω pπ ω qπ ω pt qt Il corridore completerà p giri quando il corridore ne completerà q Dopo TpT qt i corridori saranno nella stesse condizioni L attrattore è un ciclo Il flusso è detto quasiperiodico La traiettoria non si chiude mai su se stessa coprendo più densamente la superficie del toro La traiettoria è densa nel toro passa arbitrariamente vicino ad ogni punto del toro p3, q 69

70 p3, q p5, q 7

71 Una traiettoria periodica di un sistema può essere governata da più di una frequenza Se due di queste frequenze sono in rapporto IRRAZIONALE cioè sono incommensurabili, la traiettoria non sarà più chiusa, e il ciclo limite diventa un TORO limite Due traiettorie che partono da punti vicini sul toro rimangono vicine indefinitamente, cioè non convergono né divergono l una dall altra Si parla di N-toro se sono presenti N frequenze incommensurabili Una successione temporale che corrisponde a questo tipo di attrattore viene detta successione quasiperiodica: un campionamento discreto di una somma di N funzioni periodiche non necessariamente sinusoidali con frequenze incommensurabili Una successione di questo tipo non possiede una vera periodicità, ma il suo spettro di potenza è composto soltanto da linee verticali 7

72 7 Esempio: corridori amici K aggancio in fase θ, Τ θ,τ ϕ ω ω ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ω ϑ ϑ ϑ ω ϑ sen k k sen k sen k corridori distanza tra i ϕ ϑ ϑ ω ϑ ϑ ω ω ω ω ϕ ϕ ϕ + < + fase fissa tendono a correre con differenza di corridori I Se equilibrio? ammette k k k k sen Ciclo su toro La soluzione è periodica

73 ω ϑ ϑ ω + k senϕ k ω k + + kω k pulsazione di compromesso ω ω ω Sono oscillatori accoppiati 73

74 Equazioni non autonome Compare t a destra Esempio: sistema massa-molla forzato md /dt -k + A sin ωt per semplicità m k dv/dt - + A sin ωt d/dt v Posto ωt f d/dt v dv/dt - + A sin f df/dt ω Posso sempre eliminare t aggiungendo una variabile f è periodica periodo π Il moto è un toro 74

75 Esempio: sistema di Van der Pol forzato d dτ d b + a cos dτ Acosωt Ωt a Ω ω A I ω ω C L LC La soluzione può sincronizzarsi con qualche multiplo del periodo dell ingresso ciclo su toro Oppure nessun periodo emerge e si ha un moto quasi periodico le traiettorie riempiono densamente il toro 75

76 Mappe di Poincarè Consideriamo un sistema n-dimensionale & f S superficie n- dimensionale trasversa al flusso k k ma intersezione La mappa di Poincarè è un mappaggio da S a S stessa ottenuto seguendo le traiettorie da un intersezione con S alla successiva k + P k 76

77 Se è un punto fisso di P, P, la traiettoria del sistema originale è un orbita chiusa Si può studiare la stabilità dell orbita studiando la mappa nell intorno del punto fisso Problemi di orbite chiuse problemi su punti fissi Dato il sistema & f con un orbita chiusa, come posso dire se l orbita e stabile? Si analizza il corrispondente punto fisso della mappa di Poincarè Sia v una perturbazione tale che + v sia in S + v P + v P + DP v +O v Trascurando i termini di ordine superiore v DP v L orbita chiusa è linearmente stabile solo se λ j < j,,n- λ j moltiplicatori caratteristici o di Floquet 77