APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA LINEARE

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1 APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA LINEARE Le equazioni di primo grado Le disequazioni di primo grado I sistemi di primo grado ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 Le equazioni di primo grado Le uguaglianze Le equazioni Equazioni di primo grado numeriche intere Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioni impossibili Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado I vincoli Domande Esercizi e problemi Le disequazioni di primo grado 19.1 Le disuguaglianze Gli intervalli Intervalli Limitati Intervalli illimitati Le disequazioni Disequazioni di primo grado numeriche intere Disequazioni determinate, disequazioni indeterminate e disequazioni impossibili Problemi risolubili tramite disequazioni di primo grado Domande Esercizi e problemi I sistemi di primo grado Le equazioni con due incognite I sistemi di primo grado Sistemi in forma normale Risoluzione di un sistema: il metodo della sostituzione Sistemi determinati, indeterminati e impossibili

3 3.6 Il metodo del confronto Problemi risolubili tramite sistemi di primo grado Domande Esercizi e problemi

4 Capitolo 1 Le equazioni di primo grado 1.1 Le uguaglianze Consideriamo le due seguenti scritture: 3 = 3 = 5 in prima battuta potremmo dire (e non sbaglieremmo nel farlo) che la prima è un ovvia verità, mentre la seconda è un ovvia falsità. Preferiamo però chiamare la prima un uguaglianza vera e la seconda un uguaglianza falsa. Diamo quindi la seguente: Definizione di uguaglianza, di uguaglianza vera, di uguaglianza falsa. Due espressioni numeriche separate dal simbolo di uguale, formano un uguaglianza. Se le due espressioni portano allo stesso risultato l uguaglianza si dice vera, altrimenti si dice che è falsa. Sono pertanto uguaglianze le seguenti: 1. 6 = = (0 7) ( 1) = = Prima di verificare se sono uguaglianze vere o false diamo la seguente: Definizione di primo termine e secondo termine di un uguaglianza. In una uguaglianza l espressione che sta a sinistra dell uguale si dice primo termine dell uguaglianza, l espressione che sta a destra dell uguale si dice secondo termine dell uguaglianza. Passiamo quindi a verificare le uguaglianze: 1. è ovviamente falsa 3

5 Alessandro Bocconi 4. Primo termine: = 15 + = 13 Secondo termine: (0 7) ( 1) = 13 ( 1) = 13 Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l uguaglianza è vera. 3. Primo termine: 5 5 = 5 Secondo termine: 8 = 4 Pertanto il primo e il secondo termine non danno lo stesso risultato e quindi l uguaglianza è falsa. 4. Primo termine: 3 Secondo termine: = + 1 = 3 Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l uguaglianza è vera. Risulta fondamentale la seguente: Proprietà invariantiva delle uguaglianze. Prima proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di un uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente è vera è anch essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch essa falsa. Seconda proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero, entrambi i termini di un uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente è vera è anch essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch essa falsa. Esempi Abbiamo visto in precedenza che l uguaglianza = (0 7) ( 1) è vera. Applichiamo la prima proprietà invariantiva addizionando ad entrambi i termini il numero +4, l uguaglianza diventa: = (0 7) ( 1) + 4 verifichiamo se è vera: primo termine: = = 9; secondo termine: (0 7) ( 1) + 4 = 13 ( 1) + 4 = = 9. Quindi anche la nuova uguaglianza è vera. Abbiamo visto in precedenza che l uguaglianza 5 5 = 8 è falsa. Applichiamo la seconda proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini per il numero +, l uguaglianza diventa: (5 5) = ( 8) la parentesi al secondo termine è necessaria perché tutto il secondo termine deve essere moltiplicato per. Verifichiamo se è falsa: primo termine: (5 5) = 50; secondo termine: ( 8) = 6 = 5. Quindi anche la nuova uguaglianza è falsa. Osservazione importante. Il lettore si sarà accorto che nel secondo principio è specificato che la quantità deve essere diversa da zero. Questo dipende da due motivi: il primo è che non ha senso una divisione per zero e dato che la proprietà dice moltiplicando o dividendo, questa specifica risulta necessaria. Il secondo motivo risiede nel fatto che altrimenti la proprietà sarebbe sbagliata: infatti si consideri la seguente uguaglianza falsa: = 3

6 Alessandro Bocconi 5 moltiplicando entrambi i termini per zero si ottiene: primo termine: 0 = 0; secondo termine: 3 0 = 0 e quindi la nuova uguaglianza è vera in contraddizione con quello che dice la proprietà invariantiva. Tale problema non sussiste nella prima proprietà in quanto addizionando o sottraendo zero non cambierebbe niente e otterremmo un uguaglianza identica alla precedente e quindi se è vera rimane vera e se è falsa rimane falsa. 1. Le equazioni Se in un uguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una equazione. Abbiamo quindi la seguente: Definizione di equazione. Un equazione è una uguaglianza contenente una o più lettere. In questo capitolo considereremo equazioni contenenti una sola lettera. In una equazione lo scopo è quello di trovare quel valore (o quei valori) che sostituiti alla lettera trasformano l equazione in una uguaglianza vera. Dal momento che all inizio questo valore (o questi valori) non sono noti e quindi sono incogniti, la lettera presente in una equazione si chiama incognita e, convenzionalmente, si usa la lettera x (che infatti, anche nel linguaggio comune, ha assunto il significato di qualche cosa di non conosciuto o misterioso). Coerentemente a quanto detto possiamo dare la seguente: Definizione di soluzione di una equazione. La soluzione di un equazione è l insieme costituito da quei valori che sostituiti all incognita trasformano l equazione in un uguaglianza vera. Per meglio chiarire quanto detto, consideriamo i seguenti: Esempi Risolvere l equazione x + 3 = 5 Con un pò di intuizione capiamo che quel valore da sostituire alla x affinchè l equazione diventi un uguaglianza vera è ; infatti: primo termine: + 3 = 5 secondo termine: 5 Quindi sostituendo ad x l equazione diventa una uguaglianza vera e quindi è la soluzione dell equazione. Come notazione useremo quella degli insiemi (vedi capitolo 4 di Appunti di Matematica parte prima) scrivendo: S = x R x = } Questa notazione si legge x appartenente ai numeri reali, tale che x uguale a che significa che l insieme S, fra tutti i possibili reali, contiene il valore (per un approfondimento sui numeri reali vedi il paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima).

7 Alessandro Bocconi 6 Questo esempio prendeva in considerazione un equazione molto facile e siamo arrivati alla soluzione tramite una semplice intuizione. Se l equazione è più complessa non è sufficiente ricorrere al proprio intuito ma abbiamo bisogno di strumenti adatti, come si vede dal seguente esempio: Risolvere l equazione: 3x(7 x) + 5(14 53x) = 3x + 14(x 7) x 8 Come detto in precedenza, capiamo che al momento non siamo in grado di risolvere una simile equazione. Gli strumenti di cui abbiamo bisogno sono i principi di equivalenza delle equazioni, che sono una diretta conseguenza delle proprietà invariantive delle uguaglianze. Prima di enunciarli abbiamo bisogno della seguente: Definizione di equazioni equivalenti. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Principi di equivalenza delle equazioni. Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di una equazione si ottiene un equazione equivalente. Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero, entrambi i termini di una equazione si ottiene un equazione equivalente.. La strategia per risolvere un equazione è quella di trasformarla, tramite i principi di equivalenza, in altre equazioni equivalenti all originale ma di più facile risoluzione: una volta risolta l equazione più semplice avremo risolto anche l equazione assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni. 1.3 Equazioni di primo grado numeriche intere Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere equazioni di primo grado (quindi l incognita ha esponente sottinteso 1), numeriche (non abbiamo altre lettere oltre l incognita) e intere (l incognita non compare mai al denominatore). Sottolineiamo comunque che i principi di equivalenza valgono per qualunque equazione e non solo per questo tipo di equazioni. Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di un equazione. Vediamo adesso come trasformare un equazione in una più semplice usando i principi di equivalenza. Per raggiungere questo obiettivo analizziamo le: Conseguenze dei principi di equivalenza. 1. Spostando un monomio dal primo termine di un equazione al secondo o viceversa, cambiandogli il segno, si ottiene un equazione equivalente (conseguenza del primo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3x 5 = x

8 Alessandro Bocconi 7 e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenza quello che otterremo è un equazione equivalente alla precedente: 3x 5+5 = x+5 3x = x + 5 e quindi si osserva che il monomio 5 è stato spostato al secondo termine col segno cambiato (infatti è diventato +5).. Se l equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un equazione equivalente a coefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3 x 6 5 = 1 10 x + Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che il secondo termine ad un unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo: 0x = 3x A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine dell equazione per il m.c.m. cioè 30: 30 0x = 30 3x x 36 = 3x + 60 Abbiamo quindi trasformato l equazione iniziale con le frazioni, in una equazione equivalente senza denominatori. 3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nell equazione si ottiene un equazione equivalente (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3x + 4 = 6 Usiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine dell equazione per 1: A questo punto possiamo dare il seguente: Metodo per la risoluzione delle equazioni. ( 1) ( 3x + 4) = ( 1) ( 6) 3x 4 = +6 Si eliminano le parentesi dall equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secondo termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcolo algebrico. Si eliminano i denominatori: se l equazione contiene delle frazioni si trasforma in una equivalente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principi delle equazioni. Si trasportano i monomi contenenti l incognita nel primo termine dell equazione e i monomi che non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenza dei principi delle equazioni. Se il coefficiente dell incognita è negativo si cambia il segno a tutti i monomi dell equazione agendo come detto nella terza conseguenza dei principi delle equazioni.

9 Alessandro Bocconi 8 Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato l equazione originale in una equivalente del tipo: ax = b dove a è un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numero qualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle equazioni dividendo entrambi i termini per il numero a ottenendo: ax = b a a x = b a e quindi l insieme delle soluzioni è S = x R x = b a }. A questo punto possiamo risolvere la nostra prima equazione. Esempio Risolvere l equazione: 3(x + 5 ) 7 10 = 7 x 3 x = b a Al primo termine compare una parentesi, eliminiamola effettuando il prodotto: 3x = 7 x 3 Dal momento che ci sono delle frazioni si portano entrambi i termini a denominatore comune, determinando il m.c.m. fra tutti i denominatori che è 10: 30x = 35x Eliminiamo i denominatori moltiplicando entrambi i termini per 10: 10 30x = 10 35x (D ora in poi non scriveremo più il fattore a moltiplicare (in questo caso 10), ma elimineremo direttamente i denominatori). L equazione è diventata 30x = 35x 15 30x + 5 = 35x 15 A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e quelli che non la contengono al secondo: 30x 35x = x = 0 Dal momento che il coefficiente di x è negativo possiamo cambiare il segno a tutti i monomi dell equazione: 5x = 0 Il coefficiente di x è 5. Dividiamo quindi entrambi i termini per 5: 5 5 x = x = 4 1 x = 4 Quindi la soluzione è S = x R x = 4}. Verifica della soluzione. Se volessimo essere sicuri dell esattezza della nostra soluzione lo strumento da usare è quello della verifica: per capire come effettuare la verifica ricordiamo che la soluzione di un equazione è quel valore che sostituito all incognita trasforma l equazione in un uguaglianza vera (paragrafo 1.).

10 Alessandro Bocconi 9 Dal momento che il valore che abbiamo trovato è 4, sostituiamo 4 alla x sia nel primo che nel secondo termine e verifichiamo che l eguaglianza ottenuta è un uguaglianza vera: primo termine: 3(4 + 5 ) = 3( 5 ) 7 10 = = = 13 7 secondo termine: = 14 3 = 8 3 = 5 10 = 155 = 5 10 quindi l uguaglianza è vera e conferma che la soluzione trovata è quella esatta. Osservazione. Fra equazioni equivalenti non ci deve mai essere il simbolo =. Quindi ogni passaggio nella risoluzione di un equazione deve essere fatto a rigo nuovo. Se, per esigenze di spazio, due passaggi sono scritti nello stesso rigo devono essere separati da una freccia orientata verso destra, come già abbiamo usato in qualche esempio. Esempi Risolvere l equazione 1x 3(x + 5) 4 = 3x ( x) Eliminiamo le parentesi: 1x 6x 15 4 = 3x x 6x 19 = 11x A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e quelli che non la contengono al secondo: 6x + 11x = x = 17 Il coefficiente di x è 17. Dividiamo quindi entrambi i termini per 17: x = x = 1 Quindi la soluzione è S = x R x = 1}. Per la verifica sostituiamo allora 1 alla x nell equazione iniziale. Primo termine: 1 1 3( 1 + 5) 4 = 1 3( + 5) 4 = = = 13 Secondo termine: ( 1) = ( ) = = 3 10 = 13 quindi l uguaglianza è vera e conferma che la soluzione trovata è quella esatta. Risolvere l equazione 1 3 x 3 = x 5 6 Portiamo entrambi i termini allo stesso denominatore; essendo il m.c.m. fra i denominatori 6 risulta: x 4 6 = 6x 5 6 Eliminiamo il comune denominatore: x 4 6 = 6x 5 6 x 4 = 6x 5 x + 6x = x = 1 Il coefficiente di x è 8. Dividiamo quindi entrambi i termini per 8:

11 Alessandro Bocconi x = 1 8 x = 1 8 Quindi la soluzione è S = x R x = 1 8 }. Risolvere l equazione 4x + 3 = 5( x ) Eliminiamo le parentesi 4x + 3 = 10x + 3 4x + 10x = x = 0 Il coefficiente di x è 6. Dividiamo quindi entrambi i termini per 6: 6 6 x = 0 6 x = 0 Quindi la soluzione è S = x R x = 0}. Osservazione. Il fatto che stiamo trattando equazioni di primo grado non esclude la possibilità che ci siano dei monomi in cui l incognita compare con grado maggiore di 1. L importante è che tali monomi, durante la risoluzione dell equazione, si annullino fra loro e che si arrivi sempre alla forma ax = b Chiariamo quanto detto col seguente: Esempio Risolvere l equazione: (x + 1) + 5x = x(x + 4) + 19 Eliminiamo le parentesi: x + x x = x + 4x + 19 x + 7x + 1 = x + 4x + 19 osserviamo che ci sono due monomi con l incognita di grado. Spostiamo i monomi con la x al primo termine e quelli senza al secondo termine (ovviamente cambiando il segno): x +7x x 4x = i monomi di grado si sono annullati a vicenda pertanto possiamo finire di risolvere l equazione: 3x = x = x = 6 e quindi la soluzione è S = x R x = 6}. 1.4 Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioni impossibili Le equazioni affrontate nel paragrafo precedente hanno tutte un unica soluzione, di conseguenza il loro insieme delle soluzioni è costituito da un unico valore. Diamo allora la seguente: Definizione di equazione determinata. Un equazione di primo grado si dice determinata se il suo insieme delle soluzioni è costituito da un unico valore.

12 Alessandro Bocconi 11 Potremmo pensare che tutte le equazioni di primo grado siano determinate ma in questo paragrafo vedremo che ci sono equazioni che non hanno nessuna soluzione e equazioni che ne hanno infinite. Per meglio comprendere quanto detto diamo le seguenti: Definizione di equazione impossibile. Un equazione è impossibile quando non esiste nessun valore che, sostituito all incognita, trasforma l equazione in una uguaglianza vera. In questo caso l insieme delle soluzioni è l insieme vuoto e si indica con S =. Definizione di equazione indeterminata. Un equazione è indeterminata quando qualunque valore sostituito all incognita, trasforma l equazione in una uguaglianza vera. In questo caso l insieme delle soluzioni è l insieme di tutti i possibili valori che può assumere x e si indica con S = x R}; oppure con S = x (il simbolo della A rovesciata significa qualunque ). Per capire se un equazione è indeterminata o impossibile vale la seguente regola: Regola per determinare se un equazione è indeterminata o impossibile. Se risolvendo un equazione scompaiono i monomi contenenti l incognita (perché si sono annullati fra loro), l equazione, ormai priva di lettere, si trasforma in una uguaglianza: se tale uguaglianza è vera l equazione è indeterminata se tale uguaglianza è falsa l equazione è impossibile. Verifichiamo quanto detto con i seguenti: Esempi Risolvere l equazione x 1 = (5 + x) x 1 = 10 + x x x = = Osserviamo che l incognita è scomparsa e l equazione si è trasformata in una uguaglianza. Dal momento che tale uguaglianza è falsa l equazione è impossibile e la soluzione è l insieme vuoto S = (potremmo quindi provare a sostituire nell equazione di partenza qualunque valore a x, ma non otterremmo mai un uguaglianza vera). Risolvere l equazione + 4x 10 = 4(x ) + 4x 10 = 4x 8 4x 8 = 4x 8 4x 4x = = 0 Osserviamo che l incognita è scomparsa e l equazione si è trasformata in una uguaglianza. Dal momento che tale uguaglianza è vera l equazione è indeterminata e l insieme soluzione è S = x R}. Verifichiamo tale affermazione sostituendo alla x qualche valore scelto a caso e osservando che l uguaglianza che ne deriva è sempre vera: Sostituiamo a x il valore 1: primo termine: = = 4 secondo termine: 4(1 ) = 4 ( 1) = 4 Quindi l uguaglianza è vera. Sostituiamo a x il valore : primo termine: + 4 ( ) 10 = 8 10 = 16

13 Alessandro Bocconi 1 secondo termine: 4( ) = 4 ( 4) = 16 Quindi l uguaglianza è vera. Sostituiamo a x il valore 1 : primo termine: = + 10 = 6 secondo termine: 4( 1 Quindi l uguaglianza è vera. Sostituiamo a x il valore 0: ) = 4 ( 1 4 ) = 4 ( 3 1 ) = 6 primo termine: = 10 = 8 secondo termine: 4(0 ) = 4 ( ) = 8 Quindi l uguaglianza è vera. Abbiamo quindi visto che sostituendo qualunque valore alla x otteniamo un uguaglianza vera, pertanto ogni valore è soluzione dell equazione. Osservazione importante. Bisogna sempre ricordarsi che un equazione è indeterminata o impossibile soltanto se, durante la sua risoluzione, scompare l incognita. Un errore ricorrente è quello di considerare indeterminata o impossibile un equazione in cui l incognita rimane mentre si annulla il secondo termine. Una tale equazione è perfettamente determinata ed ha come soluzione S = x R x = 0} che non è affatto l insieme vuoto ma l insieme costituito dal valore 0. Convinciamoci con il seguente: Esempio Risolvere l equazione 4(x 5) = x 0 4x 0 = x 0 4x x = x = 0 x = 0 x = 0 Quindi l insieme soluzione è S = x R x = 0}. 1.5 Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado Una frequente applicazione delle equazioni di primo grado è nella risoluzione di problemi. La difficoltà consiste nel costruire il cosiddetto modello matematico (vedi il paragrafo sui modelli matematici al termine della parte sul calcolo letterale) cioè trovare l equazione che rappresenti il problema che vogliamo risolvere. Chiariamo quanto detto col seguente: Esempio Per arrvare a comprare il biglietto del concerto di Vasco Rossi che costa 40 euro, Maria chiede 14 euro ai genitori. Quanti soldi ha Maria? Proviamo a risolvere questo problema tramite un equazione. Innanzitutto viene richiesto quanti soldi ha Maria, quindi la nostra incognita x è la quantità di soldi, espressa in euro, che ha Maria. Sappiamo che se Maria avesse 14 euro in più, quelli che chiede ai genitori, avrebbe i 40 euro per poter acqistare il biglietto. L equazione risulta quindi: x + 14 = 40

14 Alessandro Bocconi 13 PISTOIA 30km x. PRATO. 1 4 x FIRENZE Figura 1.1: Rappresentazione grafica del problema che risolviamo con le usuali tecniche di risoluzione delle equazioni: Quindi Maria ha 6 euro. x + 14 = 40 x = x = 6 Si potrebbe obiettare che ci sono altri metodi più veloci per risolvere questo problema e l obiezione sarebbe giusta. Quando però ci troviamo di fronte a problemi più complessi l uso delle equazioni può risultare estremamente utile. Consideriamo altri esempi: Esempi L autostrada Firenze Pistoia è lunga 30 km. Lungo il percorso c è Prato. La distanza da Firenze a Prato è un quarto della distanza fra Prato e Pistoia. Quanti chilometri ci sono fra Prato e Pistoia? Analizziamo i dati del problema: viene richiesta la distanza fra Prato e Pistoia e quindi la indichiamo con x. Inoltre la distanza fra Firenze e Prato è un quarto di quella fra Prato e Pistoia e quindi è x. Sappiamo poi che fra Firenze e Pistoia ci sono 30 Km. La figura 1.1 illustra il problema: 1 4 L equazione da impostare risulta quindi: risolviamola: 1 x + 4x x + x = 30 = Quindi fra Prato e Pistoia ci sono 4 km. 1 4 x + x = 30 5x = x = x = 4 In una classe di 18 bambini la maestra vuole fare gruppi di cui il più grande sia composto dal triplo dei bambini del più piccolo. Quanti bambini ci sono nel gruppo più piccolo? Indichiamo con x il numero dei bambini nel gruppo più piccolo. Dal momento che nel gruppo più grande ci devono essere il triplo dei bambini del gruppo più piccolo, i bambini nel gruppo grande sono 3x. In tutto i bambini sono 18 quindi l equazione risolutiva è: Risolviamola: 3x + x = 18 3x + x = 18 4x = x = x = 9 Quindi nel gruppo più piccolo ci devono essere 9 bambini. Ovviamente la soluzione non è accettabile (a meno di tagliare un bambino in ) e quindi il problema non ha soluzione.

15 Alessandro Bocconi I vincoli L ultimo esempio evidenzia il fatto che non tutte le soluzioni di un problema sono accettabili; per questo risulta necessario, una volta definito cosa indichiamo con la x, stabilire delle regole a cui deve sottostare la soluzione per essere accettata. Tali regole sono chiamate vincoli. I vincoli che affronteremo sono di tipi: Il vincolo che la soluzione deve essere intera. Il vincolo che definisce un range entro il quale deve stare la soluzione. Prendiamo ad esempio il primo problema dell autostrada: in esso, a differenza del problema dei bambini, non vi è alcun vincolo che la soluzione debba essere intera, infatti la distanza chilomerica poteva benissimo essere una frazione in quanto i chilometri sono frazionabili. Per quanto riguarda il vincolo di range osserviamo che se Prato sta fra Firenze e Pistoia la distanza Prato-Pistoia deve essere minore di quella Firenze-Pistoia e quindi la soluzione deve essere minore di 30. Inoltre visto che non ha senso una distanza negativa la soluzione deve essere maggiore di 0. Quindi il vincolo è che la x deve soddisfare: x < 30 e x > 0 Il risultato che abbiamo trovato, 4, soddisfa il vincolo e quindi la soluzione è accettabile. Le fasi di risoluzione di un problema sono quindi: 1. Individuazione dell incognita (cioè quale grandezza chiamare con la x).. Individuazione dei vincoli a cui deve sottostare l incognita. 3. Creazione dell equazione risolutiva. 4. Risoluzione di tale equazione 5. Verifica se la soluzione è accettabile. Esempi In un palazzo di 10 piani Marcello abita 3 piani sopra Elena. Una volta Marcello le disse: se sommiamo il numero del tuo piano con il numero del mio piano otteniamo 15. A che piano abita Elena? A che piano abita Marcello? 1. Indichiamo con x il piano dove abita Elena, quindi il piano di Marcello, che sta 3 piani sopra è x Vincoli: x deve essere intero (non ci sono i mezzi piani ) deve risultare che x deve essere minore di 8 (infatti se x fosse 8 oppure 9 oppure 10, Marcello, che sta 3 piani sopra, starebbe all 11 o al 1 o al 13 piano. Assurdo in un palazzo di 10 piani) e maggiore o uguale a zero. Quindi: x < 8 e x 0 3. Sommando il piano di Marcello con quelo di Elena si ottiene 15 quindi l equazione risolutiva è: x + x + 3 = 15

16 Alessandro Bocconi Risolviamola: x + x + 3 = 15 x = 1 x = x = 6 5. La soluzione 6 soddisfa il vincolo di essere intera e di essere compresa fra 0 e 7. Quindi Elena sta al sesto piano e Marcello al nono. In un composto di 10 grammi di Nichel e Zinco, Il Nichel è presente in quantità doppia rispetto allo Zinco. Quanti grammi di Zinco ci sono in questo composto? E quanti grammi di Nichel? 1. Indichiamo con x i grammi di Zinco. Essendo i grammi di Nichel doppi questi ultimi risultano x.. Vincoli: x non deve essere necessariamente intero (i grammi sono frazionabili) deve risultare che x deve essere minore di 10 e maggiore di zero. Quindi: x < 10 e x > 0 3. Sommando i grammi di Zinco con quelli di Nichel si ottiene tutto il composto cioè 10 grammi. Quindi l equazione risolutiva è: x + x = Risolviamola: x + x = 10 3x = x = x = La soluzione 34 è compresa fra 0 e 10 e quindi accettabile. Quindi il composto contiene 34 grammi di Zinco. Per sapere i grammi di Nichel si può agire in modi ugualmente facili: dal momento che i grammi di Nichel sono il doppio di quelli di Zinco si può moltiplicare 34 per. dal momento che in tutto i grammi sono 10, e 34 sono di Zinco, per ricavare i grammi di Nichel si sottrae dai grammi totali (10) i grammi di Zinco (34). In entrambi i casi si ottiene che i grammi di Nichel sono Domande Paragrafo Come è definita un uguaglianza?. Come si chiama l espressione che sta a sinistra dell uguale in una uguaglianza? E l espressione che sta a destra?

17 Alessandro Bocconi Cosa dicono le proprietà invariantive delle uguaglianze? 4. Mostra con un esempio che è necessario che nela seconda proprietà sia specificato che la quantità sia diversa da zero. Paragrafo Cos è un equazione? 6. Cos è la soluzione di un equazione? 7. Quando due equazioni sono equivalenti? 8. Scrivi i due principi di equivalenza delle equazioni Paragrafo Mostra con un esempio che spostare un monomio dal primo termine al secondo termine di un equazione cambiandogli il segno è una conseguenza del primo principio di equivalenza. 10. Mostra con un esempio che eliminare i denominatori di un equazione è una conseguenza del secondo principio di equivalenza. 11. Mostra con un esempio che cambiare il segno a tutti i monomi di un equazione è una conseguenza del secondo principio di equivalenza. 1. Come si effettua la verifica di un equazione? Paragrafo Quando un equazione si dice determinata? 14. Quando un equazione si dice impossibile? 15. Quando un equazione si dice indeterminata? 16. Come capire se un equazione è indeterminata o impossibile? 17. Un equazione in cui, alla fine, la x rimane e il secondo termine è zero è impossibile? È indeterminata? Paragrafo Cos è un vincolo? 19. Quali sono i tipi di vincoli che consideriamo? 0. Quali sono le 5 fasi per risolvere un problema? 1.7 Esercizi e problemi Paragrafo Determina se sono vere o false le seguenti uguaglianze: 3 1 = ; 3 1 = : 4; 5 = Verifica le seguenti uguaglianze:. 0 : 4 8 : 10 : 5 : 1 = (4 + 5) : (0 + 7) + (1 + 3 ) (10 3) (13 5 ) : (0 + 3 ) = ( + 8 5) + 5 (7 1 4) (3 + 3 ) 4 7

18 Alessandro Bocconi ( ) : : (5+5)+ (7 3 ) 3 = 36 : 6 : (1+5) (8 7) ( )+3 Paragrafi 1.3 e 1.4 Risolvi le seguenti equazioni effettuando al termine la verifica 5. (x + ) 3(3 x) = 10 [S = x R x = 3}] 6. 4x 4(x + ) = x 5(x + 3) [S = x R x = 1}] x = (x + 5) [S = x R x = 0}] 8. 6x+3 = 7x x [S = x R}] x+5 1x = 3x+ 3 [S = x R x = 1 3 }] 10. (x + 1) 10x = 4x(x + 3) + 10 [S = x R x = 1 }] Risolvi le seguenti equazioni 11. 6[x + 10(6x + 1) 41] + 4x = 6(1 + x) 10 [S = x R x = 1 }] 1. 4x+1 4 6x+ 3 = 5 1x 1 [S = ] 13. x x+ 6 = 4(x 1) [S = x R x = 1}] 14. x(3x ) (x + 1)(x 1) = 5x(x 1) [S = x R x = 1}] 15. (x + 7) 3x + 4[1 + (x 1)] = 10(x + 1) 5x [S = x R}] x = 7 0 3x [S = x R x = 3}] 17. 8x ( x 5) + x = x + 3 [S = x R x = 3 }] x + 1 = x x [S = x R}] x = 4000(1 + x) [S = x R x = 1}] x = 1 + x(x+3) 6 [S = x R x = }] 1. 1 = 1 x 3 [S = x R x = 1 4 }]. x x + (x 4) = 3(x + x) [S = x R}] 3. (x + ) x = 4 + 3( x) [S = x R x = 6 5 }] 4. (x + )(x 3) (1 3x) = (x 1)(x + 1) + 3 [S = x R x = }] 5. x + [ 3(x 1) + x] = 4(x + 1) + 1 [S = x R x = 0}] 6. [ x 1 + x+1 4 ] = x+1 x + 1 [S = x R x = 1 }] 7. 3x+8 6 7x+4 3 = 0 [S = x R x = 0}] 8. 5(1 + x) + (x 3) = 1 + x + (1 x) [S = x R x = 7}] (4 x ) + x (x 1) x = 9 x 1 [S = ] ( x+1 x x = x ( x+1 + x 1 3 ) [S = x R}] [ (1 x) 5(1 x)] = x + 5(x 3) [S = ] 3. 3(x 5) = (4x 1) 5x(x + 10) (x 37) [S = x R}] x x 60 = 3x (3x 1) [S = x R x = }]

19 Alessandro Bocconi (x 1) (x + 1) = 4x + 1 3(x + ) [S = x R x = 1}] 35. 5(x + 3) + 10(3x + 1) = 3(6 3x) [S = x R x = 1 7 }] Paragrafo 1.5 Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli e verificando se la soluzione è accettabile 36. Un rettangolo ha area 40 cm e un lato di 8 cm. Determina l altro lato. 37. Un bottiglione da 10 litri riempie esattamente due contenitori in cui il primo contiene un quarto del secondo. Determina la capienza del primo e del secondo contenitore, ed eventuali vincoli. 38. Mario e Roberta ricevono 100 euro per un lavoro svolto. Fra loro c è l accordo che Roberta deve avere 80 euro più di Mario. Quanto riceve Mario, e quanto Roberta? 39. Un gioco a premi mette in palio 0 libri per i primi arrivati: al primo devono spettare il doppio dei libri che al secondo. Quanti libri vince il primo arrivato? E quanti il secondo? 40. Determina il numero che, sommato a 0, ha come risultato i 5 4 del numero stesso. 41. In un rettangolo un lato è maggiore dell altro di 3cm. Determina l area sapendo che il perimetro è 6 cm. 4. Inizialmene ad una festa ci sono un certo numero di persone. Poi arrivano altri 5 invitati e in tutto ci sono i 3 4 delle persone iniziali. Quante sono le persone inizialmente alla festa? 43. Al sabato il biglietto del cinema costa 3 euro in più del biglietto del mercoledì e di conseguenza andare 10 volte al cinema di sabato costa quanto andarci ben 16 volte il mercoledì. Quanto costa andare al cinema di mercoledì? 44. Un segmento ABviene diviso in due segmenti AC e CB e AC è i 3 misura 1 cm determina quanto misura il segmento AB di BC. Sapendo che BC 45. In una gita scolastica la quota è 10 euro per coprire le spese di viaggio; vitto e alloggio e entrata ai musei. Le spese di vitto e alloggio sono i 3 di quelle di viaggio, mentre quelle per entrare nei musei sono la metà di quelle di viaggio. Quanto sono le spese di viaggio? 46. Un astuccio contiene penne nere, rosse e blu. Le penne rosse sono la metà del totale delle penne, mentre le penne nere sono 10 in più di quelle blu. Sapende che le penne in totale sono 18 determina quante sono le penne rosse, quante le nere e quante le blu. 47. La somma di numeri consecutivi è 7. Quali sono questi numeri? 48. La somma di numeri pari consecutivi è 34. Quali sono questi numeri? 49. Maria compra al mercato frutta, verdura e carne e spende in tutto 60 euro. Per la carne ha speso i 3 del totale e per la frutta ha speso il triplo che per la verdura. Quanto ha speso di verdura? 50. Una pianta cresce di notte il triplo che di giorno. Nel mese di Aprile è cresciuta di 40 cm. Quanto cresce ogni notte?

20 Capitolo Le disequazioni di primo grado Lo studio delle disequazioni di primo grado ha molti punti di contatto con lo studio delle equazioni di primo grado: per questo l esposizione dell argomento avverrà sullo stile del precedente capitolo e molti esempi saranno ripresi dal capitolo delle equazioni..1 Le disuguaglianze Prima di procedere, ricordiamo il significato dei seguenti simboli: simbolo significato > maggiore maggiore o uguale < minore minore o uguale Questi simboli vengono chiamati simboli di disuguaglianza. Diamo la seguente: Definizione di disuguaglianza, disuguaglianza vera e disuguaglianza falsa. Due espressioni numeriche separate da un simbolo di disuguaglianza formano una disuguaglianza. Se il risultato delle espressioni concorda con il simbolo di disuguaglianza, la disuguaglianza si dice vera, altrimenti è falsa. Chiariamo con degli esempi: < < (0 7) ( 1) > Passiamo quindi a verificare le disuguaglianze: 1. è ovviamente vera in quanto il primo termine è minore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza 19

21 Alessandro Bocconi 0. Primo termine: = = 14 Secondo termine: (0 7) ( 1) = 13 ( 1) = 13 Pertanto il primo termine è minore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza e quindi la disuguaglianza è vera. 3. Primo termine: 5 5 = 5 Secondo termine: 1 Pertanto il primo termine è maggiore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza e quindi la disuguaglianza è vera. 4. Primo termine: +5 Secondo termine: +5 Pertanto il primo termine è uguale al secondo in contraddizione col simbolo di disuguaglianza e quindi la disuguaglianza è falsa. 5. Primo termine: +5 Secondo termine: +5 Anche in questo caso il primo termine è uguale al secondo ma non è in contraddizione col simbolo di disuguaglianza in quanto il simbolo prevede il maggiore o l uguale e quindi la disuguaglianza è vera. Osservazione. Gli ultimi esempi evidenziano la differenza fra il simbolo > e il simbolo (e analogamente la differenza fra il simbolo < e il simbolo ): se una disuguaglianza ha il simbolo >, tale disuguaglianza è vera se e soltanto se il primo termine è maggiore del secondo se una disuguaglianza ha il simbolo è vera sia se il primo termine è maggiore del secondo, sia se il primo termine è uguale al secondo. È corretto quindi affermare che: se una disuguaglianza col simbolo > è vera, sarà vera anche la disuguaglianza che si ottiene sostituendo al > il ; al contrario, cioè sostituire il simbolo al > in una disuguaglianza vera, non necessariamente porta ad una disuguaglianza vera, come evidenziato dagli ultimi esempi: infatti 5 5 è vera sostituendo > al, si ottiene 5 > 5 che invece è falsa Prima di continuare la trattazione precisiamo che con l espressione cambiare il senso della disuguaglianza si intende: se la disuguaglianza ha il simbolo >, si sostituisce col simbolo <;

22 Alessandro Bocconi 1 se la disuguaglianza ha il simbolo <, si sostituisce col simbolo >; se la disuguaglianza ha il simbolo, si sostituisce col simbolo ; se la disuguaglianza ha il simbolo, si sostituisce col simbolo ; Anche per le disuguaglianze, come per le uguaglianze, risultano fondamentali le proprietà invariantive: Proprietà invariantiva delle disuguaglianze. Prima proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente è vera è anch essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch essa falsa. Seconda proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità maggiore di zero, entrambi i termini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente è vera è anch essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch essa falsa. Terza proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità minore di zero entrambi i termini di una disuguaglianza, e cambiando il senso della disuguaglianza, si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente è vera è anch essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch essa falsa. Osserviamo che la proprietà sull addizione/sottrazione ricalca quella delle uguaglianze, mentre abbiamo proprietà sulla moltiplicazione/divisione: infatti nelle disuguaglianze bisogna dividere il caso in cui la quantità a moltiplicare o dividere sia positiva oppure negativa. Per questo motivo le proprietà invariantive delle disuguaglianze sono 3 rispetto alle delle uguaglianze. Esempi 10 < 14 è una disuguaglianza vera. Applichiamo la prima proprietà invariantiva addizionando ad entrambi i termini il numero +, la disuguaglianza diventa: che è anch essa vera. 10+ < < 14 5 > 1 è falsa. Applichiamo la seconda proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini per il numero positivo +3, la disuguaglianza diventa: che è anch essa falsa. 5 3 > > 63 5 < è vera. Applichiamo la terza proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini per il numero negativo 4 e cambiando il senso della disuguaglianza, la disuguaglianza diventa: che è anch essa vera. 5 (-4) > (-4) 0 > 8

23 Alessandro Bocconi 3 5. Gli intervalli Figura.1: Già nel precedente capitolo abbiamo parlato dell insieme dei numeri reali R e abbiamo rimandato, per un approfondimento, al paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima. In tale paragrafo è evidenziato come i numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta (corrispondenza biunivoca significa che ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto sulla retta e, ad ogni punto sulla retta corrisponde uno e un solo numero reale). Possiamo quindi rappresentare l insieme dei reali con una retta orientata (dove la freccia indica il verso in cui i numeri crescono) che chiameremo nello stesso modo in cui chiamiamo i numeri reali: la retta R. Un intervallo (che ancora non abbiamo definito) può essere limitato o illimitato...1 Intervalli Limitati Consideriamo adesso sulla retta R i punti 3 e 5. Il segmento che comincia nel punto 3 e finisce nel punto 5 si dice intervallo limitato di estremo inferiore (o sinistro) 3 e estremo superiore (o destro) 5 (figura.1). Possiamo quindi dare la seguente: Definizione di intervallo limitato. Un intervallo limitato è un segmento di lunghezza finita appartenente alla retta R. Per indicare un intervallo limitato si usano i suoi estremi. È necessario però specificare se gli estremi dell intervallo (o anche uno solo dei ) appartiene o meno all intervallo stesso. Convenzionalmente si usa una parentesi quadra se l estremo appartiene all intervallo, e una parentesi tonda se l estremo non ci appartiene. Con tale convenzione, tornando all esempio precedente, risulta che se scriviamo: [3; 5] intendiamo che entrambi gli estremi appartengono all intervallo. (3; 5) intendiamo che entrambi gli estremi non appartengono all intervallo. (3; 5] intendiamo che l estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 non appartiene all intervallo mentre l estremo superiore (destro) in questo caso (5) ci appartiene. [3; 5) intendiamo che l estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 appartiene all intervallo mentre l estremo superiore (destro) in questo caso (5) non ci appartiene.

24 Alessandro Bocconi 3 Generalizzando il concetto ad un intervallo limitato di estremo inferiore (destro) a e estremo superiore (sinistro) b diamo le seguenti: Definizione di intervallo limitato chiuso. Un intervallo limitato si dice chiuso se entrambi gli estremi appartengono all intervallo (si indica con [a; b]). Definizione di intervallo limitato aperto. Un intervallo limitato si dice aperto se entrambi gli estremi non appartengono all intervallo (si indica con (a; b)). Definizione di intervallo limitato aperto a sinistra. Un intervallo limitato si dice aperto a sinistra se l estremo superiore appartiene all intervallo mentre l estremo inferiore non ci appartiene (si indica con (a; b]). Definizione di intervallo limitato aperto a destra. Un intervallo limitato si dice aperto a destra se l estremo inferiore appartiene all intervallo mentre l estremo superiore non ci appartiene (si indica con [a; b)). In figura. sono evidenziati questi 4 casi tenendo presente che, nelle rappresentazioni grafiche, se un estremo appartiene ad un intervallo si evidenzia con un pallino pieno, altrimenti con uno vuoto.

25 Alessandro Bocconi 4 Esempio 1 a b Esempio Intervallo chiuso a b Intervallo aperto Esempio 3 a Intervallo aperto a sinistra b Esempio 4 a b Intervallo aperto a destra Figura.: Un altra rappresentazione degli intervalli, molto usata quando parliamo di soluzioni di disequazioni, è la rappresentazione insiemistica che sfrutta i simboli di disuguaglianza: x R a x b} rappresenta l intervallo chiuso [a; b]. x R a < x < b} rappresenta l intervallo aperto (a; b). x R a < x b} rappresenta l intervallo aperto a sinistra (a; b]. x R a x < b} rappresenta l intervallo aperto a destra [a; b) Per capirla torniamo all esempio dell intervallo di estremi 3 e 5. Un punto (tralasciamo per il momento gli estremi) per appartenere a tale intervallo deve essere maggiore di 3 e allo stesso tempo minore di 5. Infatti se prendiamo 6 è maggiore di 3 ma non appartiene all intervallo perché maggiore anche di 5, mentre 1 è minore di 5 ma non appartiene all intervallo perché minore anche di 3. Detto questo prendiamo ad esempio x R a < x < b} e cerchiamo di capirne il significato. Questa rappresentazione va letta così: fra tutti gli x appartenenti alla retta R, l intervallo è costituito da quei valori x che sono sia maggiori di a sia minori di b. L espressione a < x < b non deve stupire, perchè la prima disuguaglianza (a < x) significa, se letta da destra a sinistra, che x deve essere maggiore di a, mentre la seconda (x < b) significa che x deve essere minore di b. Mettere le disuguaglianze nella stessa espressione significa che devono essere entrambe vere. In questo caso gli estremi non sono compresi perchè x deve essere maggiore di a (e quindi non può essere uguale). Lo stesso per l altro estremo. Se vogliamo comprendere anche gli estremi dobbiamo mettere il simbolo al posto di < che comprende il caso che x può anche essere uguale ad a e/o a b.

26 Alessandro Bocconi 5 Esempio 1 a Intervallo chiuso illimitato superiormente; si indica [a;+oo) Esempio a Intervallo aperto illimitato superiormente; si indica (a;+oo) Esempio 3 a Intervallo chiuso illimitato inferiormente; si indica (-oo;a] Esempio 4 a Intervallo aperto illimitato inferiormente; si indica (-oo;a).. Intervalli illimitati Figura.3: Definizione di intervallo illimitato. Un intervallo illimitato è una semiretta (quindi di lunghezza infinita) appartenente alla retta R. Un esempio di intervallo illimitato è un intervallo che ha 3 come estremo inferiore (sinistro) e non ha estremo superiore perché appunto è illimitato. In questo caso si dice che l intervallo è illimitato superiormente e si indica con [3; + ) (si legge più infinito ) se 3 appartiene all intervallo; mentre si indica con (3; + ) se 3 non appartiene all intervallo. Analogamente un intervallo illimitato potrebbe avere solo l estremo superiore (destro) e supponiamo che sia anche in questo caso 3. In questo caso si dice che l intervallo è illimitato inferiormente e si indica con ( ; 3] se 3 appartiene all intervallo, mentre si indica con (+ ; 3) se 3 non appartiene all intervallo. Osservazione importante. Un insieme illimitato ha quindi soli casi: o è chiuso se l unico estremo finito appartiene all intervallo, o è aperto se l unico estremo finito non appartiene all intervallo. Accanto al simbolo + o non ci deve mai essere la parentesi quadra perchè + non è un valore come gli altri e non può appartenere all intervallo. La figura.3 rappresenta graficamente i possibili intervalli illimitati, usando a come unico estremo finito. La notazione insiemistica risulta più semplice che per gli intervalli limitati. Infatti se consideriamo l intervallo [a; + ) è costituito dagli x che sono maggiori o uguali di a (non avendo l intervallo estremo superiore x non deve essere minore di niente). Quindi risulta che: [a; + ) = x R x a}

27 Alessandro Bocconi 6 Conseguentemente gli altri intervalli si rappresentano: (a; + ) = x R x > a} (+ ; a] = x R x a} (+ ; a) = x R x < a} Osservazione. Anche tutta la retta R può essere considerata un intervallo (ovviamente illimitato), così come l insieme vuoto può essere considerato un intervallo di lunghezza zero. Dal momento che spesso abbiamo bisogno di distinguere fra questi intervalli e tutti gli altri visti precedentemente diamo la seguente: Definizione di intervalli propri e impropri. La retta R e l insieme vuoto sono considerati intervalli impropri. Tutti gli altri sono intervalli propri..3 Le disequazioni Se in una disuguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una disequazione. Abbiamo quindi la seguente: Definizione di disequazione. lettere. Una disequazione è una disuguaglianza contenente una o più In questo capitolo considereremo disequazioni contenenti una sola lettera. In una disequazione lo scopo è quello di trovare l insieme dei valori (e si tratta quasi sempre di un intervallo) che sostituiti alla lettera trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Come per le equazioni, la lettera presente in una disequazione si chiama incognita e, convenzionalmente, si usa la lettera x. Possiamo quindi dare la seguente: Definizione di soluzione di una disequazione. La soluzione di una disequazione è l insieme costituito da quei valori che sostituiti all incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Per risolvere una disequazione abbiamo bisogno di 3 principi di equivalenza delle disequazioni, che sono una diretta conseguenza delle proprietà invariantive delle disuguaglianze. Prima di enunciarli abbiamo bisogno della seguente: Definizione di disequazioni equivalenti. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

28 Alessandro Bocconi 7 Principi di equivalenza delle disequazioni. Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente. Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità maggiore di zero, entrambi i termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente. Terzo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità minore di zero entrambi i termini di una disequazione, e cambiando il senso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente. Anche nel caso delle disequazioni quindi, la strategia di risoluzione è quella di trasformare la disequazione, tramite i principi di equivalenza, in altre disequazioni equivalenti all originale ma più semplici: una volta risolta la disequazione più semplice avremo risolto anche la disequazione assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni..4 Disequazioni di primo grado numeriche intere Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere disequazioni di primo grado, numeriche e intere. Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di una disequazione. Adesso vediamo come trasformare una disequazione in una più semplice usando i principi di equivalenza: Conseguenze dei principi di equivalenza. 1. Spostando un monomio dal primo termine di una disequazione al secondo o viceversa, cambiandogli il segno, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del primo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3x 5 < x e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenza quello che otterremo è un equazione equivalente alla precedente: 3x 5+5 < x+5 3x < x + 5 e quindi si osserva che il monomio 5 è stato spostato al secondo termine col segno cambiato (infatti è diventato +5).. Se l equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un equazione equivalente a coefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3 x x + Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che il secondo termine ad un unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo: 0x x

29 Alessandro Bocconi 8 A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine dell equazione per il m.c.m. positivo, cioè 30: 30 0x x x 36 3x + 60 Abbiamo quindi trasformato la disequazione iniziale con le frazioni, in una equazione equivalente senza denominatori. 3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nella disequazione, e cambiando il senso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del terzo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3x + 4 < 6 Usiamo il terzo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine per 1 e cambiando il senso della disequazione: A questo punto possiamo dare il seguente: Metodo per la risoluzione delle disequazioni. ( 1) ( 3x + 4) > ( 1) ( 6) 3x 4 > +6 Si eliminano le parentesi dall equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secondo termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcolo algebrico. Si eliminano i denominatori: se la disequazione contiene delle frazioni si trasforma in una equivalente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principi delle disequazioni. Si trasportano i monomi contenenti l incognita nel primo termine della disequazione e i monomi che non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenza dei principi delle disequazioni. Se il coefficiente dell incognita è negativo si cambia il segno a tutti i monomi della disequazione e si cambia il senso della disequazione, agendo come detto nella terza conseguenza dei principi delle disequazioni. Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato la disequazione originale in una equivalente del tipo: ax > b oppure ax b oppure ax < b oppure ax b dove a è un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numero qualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle disequazioni dividendo entrambi i termini per il numero a ottenendo (facciamo l esempio col simbolo di disuguaglianza >, ma ovviamente sarebbe lo stesso se avessimo un altro simbolo di disuguaglianza): ax > b a a x > b a x > b a e quindi l insieme delle soluzioni è l intervallo: S = x R x > b a }.

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