Seconda prova (Tema assegnato alla maturità per geometri e periti edili, 2004)

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1 Seconda prova (Tema assegnato alla maturità per geometri e periti edili, 00) IL TM d un Geometra viene affidato l'incarico di frazionare un terreno CD, i cui vertici si susseguono in senso orario, in vista di due diversi futuri interventi di natura altimetrica. Da un precedente rilievo, della cui attendibilità il Tecnico è certo, viene a conoscenza della superficie reale del terreno, ce è di.87,6 mq, e di alcuni elementi, misurati con un teodolite elettronico centesimale, raccolti nel seguente libretto: Stazione unti collimati C.O. (gon) C.V. (gon) Distanze (m) ltezza prisma (m) H 1,5 C C 0, ,915-11,8-58,867 9,576-1,60 R 89,657 90,69-1,60 S 8,011 95,160-1,60 0, ,8-11,6-179,9-0, ,9 - D 105, D 0, , ove i punti,r,s sono elementi visibili dal vertice e di coordinate note rispetto ad un sistema di riferimento locale (il punto si trova alla destra di un osservatore ce da guarda il vertice R): Xp 501,07 m; Yp 98,198 m; Zp 109,116 m; XR 5,769 m; YR 90,5 m; ZR 108,100 m; XS 587,96 m; YS 97,768 m; ZS 106,886 m. Il Tecnico incaricato, ritenendo sufficienti i dati a disposizione per la risoluzione del frazionamento, rimandando ad una fase successiva la scelta di un idoneo scema di rilievo per l'atto di aggiornamento catastale, effettua una livellazione geometrica dal mezzo composta lungo la linea ciusa CD, ottenendo i seguenti dislivelli: Il Candidato determini: 1. Le misure dei lati incogniti del terreno (C, CD, D).. Relativamente al vertice, le coordinate compensate (rispetto al sistema di riferimento locale assegnato) e la quota compensata.. Le coordinate planimetrice e le quote compensate dei vertici della poligonale ciusa CD. tal fine si utilizzi la seguente tolleranza prefissata: Tolleranza altimetrica in metri: T 0,00, con perimetro della poligonale espresso in metri.. Frazioni il terreno in tre parti proporzionali ai numeri,, 5 con dividenti uscenti dal vertice, in maniera tale ce l'area minore contenga il vertice e la maggiore il vertice. 5. Rediga infine il relativo piano quotato, con l'esplicazione grafica del frazionamento, in scala opportuna. Il candidato a facoltà, inoltre, di elencare o descrivere quali elaborati tecnici sarebbero da predisporre per l'atto di aggiornamento catastale, scegliendo un opportuno scema di rilievo. TMO SSGNTO R L SCUZION DLL ROV: 5 ore (escluse le parti facoltative) * Il tema è quello assegnato dal Ministero, senza modifice; eventuali imprecisioni sono commentate nelle proposte per lo svolgimento.

2 ROOST R LO SVOLGIMNTO 1. Disegno della planimetria Dalla conoscenza delle coordinate dei tre punti, R e S e dalla lettura del libretto delle misure si può disegnare la planimetria del rilievo, adottando la soluzione grafica per individuare la posizione del punto, determinabile con lo scema di Snellius-otenot (intersezione inversa). Si determinano anzitutto gli angoli ce le direzioni uscenti da verso i tre punti di coordinate note formano tra loro: β R ˆ 89,657 58,867 0, 796 gon β RS ˆ 8,011 89,657 58, 51gon Verificato quindi ce il punto deve necessariamente stare sotto gli allineamento R RS, data la sequenza degli angoli di direzione ce aumenta andando verso destra da ad R, si riportano gli angoli soprariportati dalla parte opposta di tali allineamenti, si manda le perpendicolari rispettivamente dai vertici e S ce, congiunte con gli assi dei segmenti R e RS, permette di determinare i centri delle due circonferenze la cui intersezione è il punto. Sfruttando quindi le letture dalla stazione si possono determinare la direzione del vertice C, di cui è incognita la distanza, e la posizione di. Dalle collimazioni in si deduce quindi la posizione di. La posizione dei vertici C e D deve essere rimandata, dato ce la loro posizione dovrà risultare imponendo ce l area dell appezzamento CD risulti pari a.87,6 m. Tale situazione a comportato non poce difficoltà di esecuzione dei candidati, dato ce tale imposizione non può essere eseguita graficamente, e quella analitica è abbastanza laboriosa. Riteniamo inoltre non molto probabile ce possa capitare nella pratica un problema simile, dato ce il tecnico rilevatore avrebbe potuto determinare con semplicità le distanze ricieste, verificando così il dato dell area in suo possesso. Si passa pertanto alla soluzione analitica del problema, rimandando il completamento della planimetria dopo aver determinato analiticamente i lati riciesti dal primo quesito. Fig. 1: scema risolutivo del problema

3 . Determinazione dei lati incogniti er imporre la condizione ce l area dell appezzamento sia pari a quella assegnata conviene prima depurare l area del triangolo, facilmente determinabile: 1 ( ) sen α 11.97,1 m ( CD) ( ) 0.15,1 m T Si osservi ce i calcoli sono stati effettuati utilizzando lo stesso numero di cifre significative del dato assegnato, ance se, ai fini pratici, nel caso in esame potevano essere omessi i decimali. er determinare la precisione dell area si dovrebbe usare la formula di trasmissione degli errori di Gauss, comunque una determinazione approssimativa delle cifre da usare può essere data dal conteggio delle cifre significative: nel caso in esame le distanze sono con 6 cifre significative, cui corrisponde un decimale per l area. Inoltre, si è preferito l uso delle indicazioni del sistema di misura S.I. (m e non mq, m e non m.), come previsto dal DR 1/08/198, n. 80. rolungando ora i lati C e D fino ad intersecarli nel punto F, si ottiene il triangolo F del quale può essere determinata l area, con i seguenti passaggi cosα 6, m β 1 ˆ senα arcsen, 6960 gon (può essere usato il teorema dei seni in quanto, essendo α ottuso, sicuramente β 1 dovrà essere acuto) β β - β 1 75,55 gon ; ε 1 00 (α + β 1 ),980 gon ε ε ε 1 71,1 gon ; F 00 (ε + β ) 5, gon ( F) 1 sen β sen ε sen F 8.50,97 m Decurtando da tale area quella del quadrilatero CD resta quella del triangolo DCF, del quale sono noti i tre angoli; quindi applicando la formula inversa dell area può determinarsi la lungezza del lato CF: ( CDF) ( F) ( CD) 8.0,86 m (CDF) sen CDF CF 1,65 m sen FCD sen FC Con il teorema dei seni possono calcolarsi ora gli altri lati dei triangoli CDF e F: CD 1,098 m ; DF 177,8 m F 17,81 m ; F 6,186 m Siamo così ora in grado di determinare i lati incogniti per differenza: C F - CF 19,016 m ; D F - DF 18,858 m. Determinazione delle coordinate e della quota compensata di

4 Le coordinate del punto possono essere ottenute applicando lo scema risolutivo di Snellius-otenot. Nel caso in esame la determinazione delle coordinate planimetrice di è isodeterminata, non è quindi possibile effettuare alcuna compensazione, come riciesto dal tema. roponiamo due metodi alternativi per la risoluzione di questo problema (nel testo indiceremo con gli azimut e con parentesi tonda le direzioni osservate). a) primo metodo R S R R arctan ,778 gon ; RS arctan 91,667 gon y y y y R ( ) + ( y y ),70 m ; RS ( ) + ( y ) 55,695 m R y R R S R S R RS R -RS,0111 gon R senβ λ arctan RS senβ 50,06 gon ϕ + Ψ 00 (RS + β + β ),06 gon S R ϕ Ψ ϕ + Ψ arctan tan tan (50 - λ) 0,0506 gon ϕ,06-0,0506,700 gon Ψ,06 + 0,0506,71 gon R R + ϕ 158,878 gon ; sen ( ϕ + β) sen β + sen 59,9 m y + cos 6,6 m 6,609 m b) secondo metodo Questo metodo, a differenza del precedente, permette il controllo di tutti gli elementi misurati, in quanto tutti gli elementi calcolati sono geometricamente rappresentati e possono pertanto essere verificati. Si considera una circonferenza passante per, R e, ce può essere quella utilizzata per la soluzione grafica, ma potrebbe ance essere una circonferenza provvisoria. Detto K il punto di intersezione di tale circonferenza con l allineamento S, si osservi ce nel triangolo RS gli angoli in K e in sono pari rispettivamente a β e β, essendo angoli alla circonferenza ce insistono sul medesimo arco. pplicando il teorema dei seni a tale triangolo si ottiene: R K sen ( β + β ) 69,0 m sen β K + K sen K 58,718 m K R + β 17,819 gon ; K y + K cosk,668 m Dalla conoscenza delle coordinate di K possiamo ora ricavare l azimut KS, ce coincide con l azimut S: S K KS S arctan 7,995 gon ; y y ϕ ( β + β ) ,876 gon S - R 158, ,778 S K,698 gon

5 R sen ( ϕ + β) 6,609 m sen β y + sen + cos 59,9 m 6,6 m er quanto riguarda la quota del punto, dato ce sono possibili tre determinazioni della quota si procede alla compensazione empirica, effettuando la media ponderata delle tre misurazioni, utilizzando come peso l inverso del quadrato delle distanze. nzitutto calcoliamo le distanze tra il punto di stazione e i punti R e : ( ) + ( y y ),86 m ; S ( ) + ( y ) 70,155 m R y R R S S Nel calcolare i dislivelli misurati tralasciamo il contributo di sfericità e rifrazione, date le piccole distanze. Non è ciaro però il motivo per cui l altezza del prisma sia presente solo in corrispondenza delle misure angolari, prive di quella di distanza. Se un ipotetico canneggiatore a posizionato il prisma nei punti, R ed S, ad una distanza così breve, percé non è stata presa la distanza, ce avrebbe permesso di evitare lo scema risolutivo di Snellius-otenot? ncora meno ciara è la circostanza ce in corrispondenza dei punti in cui è stata determinata la distanza non compare l altezza del prisma. Si segnala inoltre ce l altezza strumentale è stata erroneamente indicata con H anzicé H. R S R S + d cot ϕ + d cot ϕ + d cot ϕ R S 7,51 m 6,99 m 5,86 m La quota del punto può così essere determinata in tre modi distinti: Q 1 Z - 101,60 m Q Z R - R 101,601 m Q Z S - S 101,600 m Viste le distanze molto simili e ridotte e considerati i valori praticamente uguali dei dislivelli, la media ponderata precedentemente indicata non porterebbe a sensibili aumenti della precisione della determinazione della quota. Si effettua quindi la media aritmetica dei tre valori determinati: Q 101,60 m. Determinazione delle coordinate e delle quote compensate dei vertici della poligonale nce qui non è possibile determinare le coordinate compensate dei vertici della poligonale poicé gli elementi misurati sono strettamente sufficienti alla loro determinazione, come effettivamente non era riciesto dal tema. Del pentagono DC sono noti infatti soli tre elementi metrici (area, lati e ) e quattro angoli. Si procede quindi al calcolo delle coordinate planimetrice, calcolando dapprima gli azimut: [( ) ( ) ] 19,9156 gon [( ) ( ) ] 00 11,9 gon D + D 00 + [( D) ( ) ] 00 6,5517 gon C ( ) ( C) 99,981 [ ] gon C Si possono ora determinare le coordinate dei vertici della poligonale:

6 D D C C y y y y + sen + cos + sen + cos + D sen + D cos + C sen + C cos D D C C 96,9 m 1,155 m 69,501 m 10,906 m 78,906 m 1,708 m 7,959 m 6,67 m er il calcolo delle quote compensate, calcoliamo dapprima l errore di ciusura altimetrico, ε + C + CD + D + -0,05 m ce è inferiore alla tolleranza altimetrica prefissata : t 0,00 l 0,110 m Trattandosi di livellazione geometrica, ripartiamo l errore di ciusura altimetrico tra i vari dislivelli in parti proporzionali alle distanze tra i vari vertici, mediante il calcolo dell errore unitario. u ε 1, C + CD + D + -6 m/m Si possono ottenere ora i dislivelli e le quote compensate:, c + u 1,79 m ; Q Q, c 99,86 m C,c C + u C - 0,9 m ; QC Q + C,c 100,680 m CD,c CD + u CD - 0,871 m ; QD QC + CD,c 99,809 m D,c D + u D 0,579 m ; Q QD + D,c 100,88 m er verifica, ricalcoliamo la quota di :,c + u 0,51 m ; Q Q +,c 99,86 m 5. Frazionamento dell appezzamento di terreno Conoscendo i coefficienti di proporzionalità delle parti in cui sarà suddiviso il fondo, possiamo subito calcolare le loro aree. T (G) 8.57,5 m + + 5

7 T (GDH) ,18 m T 5 (CH) ,1 m La prima dividente G si determina subito dalla formula dell area del triangolo G, verificando analiticamente dopo ce si tratta effettivamente di un triangolo, cioè ce la dividente cade sul lato D: G 9,619 m < D sen D er il calcolo della seconda dividente, conviene calcolare dapprima l area del triangolo C, e quindi considerare il triangolo CH: 1 (C) C sen C 1.976, m (CH) 5 (C) 8.167,9 m C + C - C cos C 7,088 m C senc C arcsen,9056 gon (CH) CH 67,08 m < CD C sen CH 6. Commento Il tema assegnato, secondo la nostra opinione, era troppo lungo da svolgere considerando le normali capacità degli allievi geometri, va ance considerato ce gran parte degli elementi riciesti erano attinenti al programma di quarta. Forse questo tema, almeno nella sua impostazione, si sarebbe prestato ad un esame di abilitazione all insegnamento, dove si devono sondare le abilità di calcolo e di riscontro grafico dei risultati in un tempo predefinito e le conoscenze estese al programma dell intero triennio. Si sono riscontrate inoltre alcune imprecisioni sul testo, ce anno in certi casi contribuito a creare un certo disorientamento negli allievi: - riciesta di coordinate compensate del punto, ce non è possibile compensare dato ce si tratta di un problema a soluzione isodeterminata; - altezza del prisma fornita per punti, solitamente inaccessibili, dei quali non è stata determinata la distanza, mentre non è fornita per i punti di cui si è determinata la distanza; - indicazione della tolleranza altimetrica non ciara (somma dei perimetri?); - non è specificato se le distanze indicate sono orizzontali o reali.