ossia: (i) dobbiamo dare significato all addizione di infiniti termini del tipo c n

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1 Serie numeriche 2. Introduzione alle serie In matematica, il termine serie indica l addizione di un infinità numerabile di termini (non nel senso del risultato, che, quando esiste, chiameremo somma della serie, ma nel senso dell operazione stessa). Poiché l addizione di oggetti qualsiasi (siano essi numeri, funzioni, matrici o altro) è sempre definita come operazione binaria (cioè con due addendi), che si estende ad un numero finito di addendi grazie alla proprietà associativa, l addizione di infiniti termini è chiaramente un operazione nuova, che va definita in modo rigoroso. Tuttavia, si tratta di un concetto la cui necessità nasce nell arontare problemi anche molto semplici o antichi e che è già insito in contesti anche molto familiari. Vediamo alcuni esempi. Esempio 2. (rappresentazioni decimali illimitate) Ricordiamo la notazione posizionale con cui si è abituati a scrivere i numeri reali: cosa significa 8.25? Significa che il numero che si sta considerando è dato dalla somma di 8 unità, 2 decimi dell unità e 5 centesimi dell unità, ossia 8.25 = = (2.3) La notazione posizionale consiste appunto nel sottintendere le potenze della base 0 e giustapporre semplicemente la sequenza di cifre (numeriinterida0a9)chenecostituisconoicoecienti. Ci sono però numeri reali la cui rappresentazione decimale non è limitata (cioè non è costituita da un numero finito di cifre) e precisamente: i numeri razionali con denominatore contenente fattori diversi da 2 e 5 (i quali hanno rappresentazioni illimitate periodiche); i numeri irrazionali (che hanno rappresentazioni illimitate non periodiche). Se vogliamo estendere il significato di rappresentazione decimale ricordato in (2.3) anche a numeri del tipo... =. oppure (senza periodicità), dobbiamo intendere che. = e = , ossia: (i) dobbiamo dare significato all addizione di infiniti termini del tipo c n 0 n con n 0 e c n cifra; (ii) deve risultare che tali addizioni infinite abbiano per risultato un numero finito (che, nella fattispecie, sarà rappresentato dalla scrittura nel secondo caso, mentre nel primo caso dovrà coincidere con la frazione generatrice di., cioè 0/9). Riprenderemo questo esempio man mano che svilupperemo la teoria delle serie. Esempio 2.2 (Achille e la tartaruga) Un famoso paradosso di Zenone di Elea (filosofo greco, a.c) contro il movimento analizza questa situazione: Achille (piè veloce) è sfidato nella corsa da una

2 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 2 lenta tartaruga, alla quale concede il vantaggio iniziale di una lunghezza L 0. Dopo un primo intervallo di tempo T 0, Achille si troverà nella posizione L 0 da cui la tartaruga è partita, ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso una lunghezza L e quindi si troverà ancora in vantaggio, nella posizione L 0 L. Tale posizione sarà raggiunta da Achille solo dopo un ulteriore intervallo di tempo T, ma la tartaruga sarà nel frattempo ancora avanzata... e così via, all infinito. In definitiva, Achille non raggiungerà mai la tartaruga, perché dovrà sempre raggiungere prima la posizione che la tartaruga occupava ad un istante precedente e nel frattempo quella sarà ulteriormente avanzata. Zenone usò questo argomento (insieme ad altri) per sostenere l illusorietà del movimento, ma si tratta in eetti di un paradosso che mette in discussione la bontà dei modelli matematici come rappresentazioni del mondo fisico: il paradosso, infatti, può essere superato da un punto di vista fisico osservando che il vantaggio della tartaruga si assottiglia indefinitamente e ad un certo istante sarà necessariamente colmato dalla dimensione stessa di Achille, che, in quanto oggetto fisico, non è un punto geometrico senza estensione; questo però non risolve il problema dal punto di vista matematico, in quanto parrebbe implicare che gli oggetti fisici non sono rappresentabili da modelli puntiformi senza rischiare di incorrere in contraddizioni. Per vedere che in eetti non è così, analizziamo meglio la situazione. Achille impiega un tempo T 0 per raggiungere la posizione da cui la tartaruga è partita, poi impiega un tempo T per trovarsi nella posizione che la tartaruga ha raggiunto nell intervallo di tempo T 0,poiimpiegauntempoT 2 per trovarsi nella posizione che la tartaruga ha raggiunto durante l ulteriore intervallo di tempo T, e così via; allora Achille raggiungerebbe la tartaruga solo dopo aver compiuto infinite volte questo processo di raggiungimento della posizione precedentemente occupata dalla tartaruga e, per far ciò, impiegherebbe un tempo T = T 0 T T 2..., il che, dice Zenone, significa mai. Dunque il paradosso nasce dal fatto di pensare che l addizione degli infiniti termini T 0,T,T 2,... dia luogo ad una somma non finita. Quando avremo dato un significato matematico preciso all addizione di infiniti addendi vedremo che questo non è necessariamente vero (quindi il paradosso cade) e vedremo anche come la somma T = T 0 T T 2... possa essere calcolata. Esempio 2.3 (area di trapezoidi illimitati di funzioni non negative) Consideriamo il trapezoide illimitato A = (x, y) R 2 : x, 0 y x 2 e suddividiamolo nei sottoinsiemi A n = (x, y) R 2 : n x n, 0 y x 2, n, comeinfigura. Poiché è ben noto che l area (ad esempio secondo Peano-Jordan) è una grandezza finitamente additiva (cioè se un insieme è unione di un numero finito di sottoinsiemi misurabili con intersezioni a due a due di area nulla, allora tale insieme è misurabile e la sua area è la somma delle aree dei sottoinsiemi), è naturale cercare di estendere tale proprietà in modo da recuperare l area di A come somma infinita delle Nel frattempo, è un semplice esercizio di cinematica calcolare T mediante le leggi orarie di Achille e della tartaruga, supponendo che si muovano di moto uniforme: si ottiene T = L 0 / (v A v T ), dove v A e v T sono, rispettivamente, le velocità (costanti) di Achille e della tartaruga.

3 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 3 aree dei sottoinsiemi A n in cui A è stato suddiviso, cioè area A = area A area A 2 area A A tale scopo, si deve ovviamente dare un senso all addizione di un infinità numerabile di addendi e, inoltre, il risultato di tale addizione deve risultare coerente con la già nota definizione di area di A che utilizza gli integrali impropri, ossia area A = x 2 dx = b lim b x 2 dx = lim b = lim =. b x b b 2.2 Definizione di serie numerica Per serie numerica si intende l addizione degli infiniti termini a n di una successione numerica (a n ) n0 2, ossia una scrittura formale del tipo a 0 a a 2 a 3... oppure a n. (2.4) Gli addendi a 0,a,a 2,... sono detti termini della serie ed a n èdettotermine generale della serie. Per attribuire un risultato a tale addizione, costruiamo un altra successione (S N ) N0 eseguendo le seguenti somme finite: S 0 := 0 a n = a 0 S := S 2 := 2 a n = a 0 a a n = a 0 a a 2 S N := N a n = a 0 a... a N a N La successione (S N ) èdettasuccessione delle ridotte (o somme parziali) della serie (2.4) ed S N è detta ridotta (o somma parziale) N-esima della serie (2.4). Se la successione (S N ) è regolare, cioè se le somme parziali S N tendono ad un qualche valore S (finito o infinito), si assume per definizione che tale valore sia il risultato dell addizione degli infiniti addendi a n. In tal caso, si dice che S èlasomma della serie (2.4) e si scrive a n = S. In particolare, si dice che la serie converge ad S se S R, diverge positivamente se S =, diverge negativamente se S =. 2 Cioccuperemosolodelcasoincuiiterminia n sono numeri reali, ma la teoria si può formulare anche in campo complesso, con minime modifiche.

4 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 4 Si noti che, in questo modo, i simboli (2.4) vengono volutamente utilizzati per indicare sia una serie che la sua somma, quando esiste (cioè quando (S N ) è regolare). Se invece la successione (S N ) è irregolare, cioè non ammette limite, allora non si attribuisce alcun risultato all addizione degli infiniti termini a n esidicechelaserie(2.4)èindeterminata (o irregolare o oscillante). Dunque, in sintesi, si ha a n N = lim a n, se tale limite esiste (finito o infinito) N indeterminata, altrimenti. Osservazione 2.4 Non è essenziale che i termini di una serie siano indicizzati a partire da 0 e la sostanza del discorso non cambia se si vogliono sommare i termini di una successione (a n ) nn0 con n 0 generico: si avrà la serie a n, la cui ridotta N-esima è S N = N a n = a n0 a n0 a n a n0 N. n=n 0 n=n 0 Nelle prossime due sezioni, presentiamo due esempi notevoli di serie, che possono essere studiate studiando direttamente la successione delle loro ridotte. Osserviamo però fin da subito che tale situazione rappresenta più l eccezione che la regola, in quanto è molto raro riuscire a scrivere la generica somma parziale S N = a 0 a... a N in forma chiusa (cioè tramite un espressione analitica esplicita). Per questo motivo: lo studio di una serie si riduce quasi sempre al solo studio del suo carattere, cioè del suo essere convergente, divergente oppure indeterminata (vedremo con quali tecniche); la determinazione della somma di una serie, se esiste, è possibile solo in pochi casi, quali quello delle serie telescopiche (v. Sezione 2.4) o quelli in cui la serie possa essere ricondotta a serie note, come ad esempio la serie geometrica (v. Sezione 2.3) o altre serie notevoli che vedremo più avanti. 2.3 La serie geometrica x n Consideriamo la serie x n =x x 2 x 3... con x R fissato. Si tratta della serie che ha per termini i termini della successione geometrica (x n ) n0 e che pertanto viene detta serie geometrica di ragione x e termine iniziale. LaridottaN-esima della serie è Per studiarne il limite, distinguiamo due casi. S N =x x 2... x N x N. x = Risulta S N =... con N addendi e quindi S N = N. Allora = lim S N = lim (N )=, N N

5 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 5 ossia la serie x n con ragione x =diverge positivamente. x = Per trovare un espressione chiusa di S N =x... x N x N, ricorriamo all artificio di moltiplicare ambo i membri di tale uguaglianza per x (che è = 0). Risulta ( x) S N =(x) x x 2... x N x N =x x 2... x N x N x x x 2... x N x N =x x 2... x N x N x x 2 x 3... x N x N = x N e quindi (dividendo per x = 0)siottieneS N = lim N xn xn x.poiché = se x> =0 se x < non esiste se x (si veda la Sezione.6 e si tenga presente che x N dierisce da x N solo per la soppressione del primo termine), si conclude allora lim S x N N = lim N N x = = se x> x = se x < x non esiste se x (per l ultimo caso, si osservi che se lim S N esistesse, allora x N = ( x) S N implicherebbe N lim N xn = ( x) lim S N,cheinvecenonesiste). N In definitiva, risulta x n = se x < x = se x indeterminata se x. Esempio 2.5 (ripresa dell Esempio 2.) Riprendiamo l Esempio 2. e verifichiamo che la serie converge ed ha per somma la frazione generatrice del numero., cioè 0 9. Tale serie è la serie geometrica di ragione 0 e termine iniziale e pertanto converge (perché 0 = 0 < ) e la sua somma è data da n = 0 0 = 9 0 = 0 9.

6 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie La serie di Mengoli e le serie telescopiche Consideriamo la serie n= n (n ) = , detta serie di Mengoli. Per studiare il limite della sua ridotta N-esima S N, possiamo ricorrere alla scomposizione del termine generale a n = n(n) in fratti semplici ( n(n) = A n A2 n con A,A 2 costanti reali): si ottiene a n = n (n ) = n per ogni n. n Allora risulta S N = = N n (n ) = N n n n= n= N N N = N N e quindi lim S N = lim N N N =. Dunque la serie di Mengoli converge ed ha per somma, cioè n= n (n ) =. Esempio 2.6 (ripresa dell Esempio 2.3) Riprendiamo l Esempio 2.3 e verifichiamo che la serie area A area A 2 area A 3... = converge all area di A. L area di ciascun A n èdatada n area A n = n x 2 dx = n = x n n n e quindi la serie (2.5) è esattamente la serie di Mengoli. Dunque si ottiene area A n = n =, n n= n= area A n (2.5) in accordo con il valore area A = calcolato tramite integrale improprio. Il risultato ottenuto in questo esempio è un fatto generale, in quanto si può dimostrare facilmente che l area di trapezoidi di funzioni continue non negative (nel senso della teoria dell integrazione unidimensionale) gode della seguente proprietà di additività numerabile: se f : I R è una funzione continua e non negativa su un intervallo I e tale intervallo viene ripartito in una qualsiasi infinità numerabile di sottointervalli I,I 2,... adiacenti, allora l area sottesa da f su I coincide con la somma della serie delle aree sottese da f sugli intervalli I n. n=

7 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 7 La serie di Mengoli è l esempio più semplice di serie telescopica, ossiadiserie a n il cui termine n=n 0 generale a n sia la dierenza di due termini consecutivi di un altra successione b n, cioè sia del tipo a n = b n b n oppure a n = b n b n. In tal caso, il fenomeno di cancellazione di termini a due a due che si verificaperlaseriedimengolisi ripete analogamente anche nello scrivere esplicitamente la ridotta S N = N a n della serie a n,in n=n 0 n=n 0 modo tale che S N risulta esprimibile in forma chiusa e quindi studiabile direttamente. Esempio 2.7 Il termine generale della serie n= n n n2 n si lascia riscrivere come n n n2 n = n n n n n n = n n epertantolaridottan-esima della serie è data da S N = N n= n n = =. 2 N N N N N Dunque n= n n n2 n = lim S N = lim =. N N N Più in generale, un analogo fenomeno di cancellazione ha luogo anche se a n èladierenza di due termini di un altra successione b n che siano sfasati di un qualche numero k> di indici, invece che consecutivi. Esempio 2.8 Scomponendo in fratti semplici il termine generale della serie epertantolaridottan-esima della serie è (n 2) n = 2 n 2 2 n N S N = (n 2) n = N 2 n 2 n n=3 n=3 = N 4 N 2 = 2 N N. N 3 N 4 6 n=3... N 2 N (n 2) n,siottiene

8 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 8 Dunque risulta n=3 (n 2) n = lim S N = N 2 lim N 2 N = 3 N Operazioni lineari sulle serie In questa sezione ci occupiamo di studiare serie che siano ottenute operando linearmente sui termini di serie date. A tale scopo, chiamiamo: i) serie multiplo della serie ii) serie somma delle serie a n secondo lo scalare la serie a n e b n la serie a n = a 0 a a 2... (a n b n )=(a 0 b 0 )(a b ).... Si è supposto che l indice di serie parta da 0 solo per semplicità: continua infatti a valere l Osservazione 2.4, con la precisazione che la serie somma può essere costruita solo a partire da due serie che abbiano lo stesso indice iniziale n 0. Sussiste il seguente risultato. Proposizione 2.9 i) = 0,leserie a n e somme soddisfano a n hanno lo stesso carattere; inoltre, se non sono indeterminate, le loro a n = a n (con l usuale regola dei segni nei casi di divergenza: ad esempio, se a n = e < 0 allora a n = ). In altri termini: gli scalari non nulli possono passare indierentemente dentro e fuori dal segno di serie. ii) Se a n e b n convergono, o divergono allo stesso infinito, o una diverge e l altra converge, allora (a n b n ) non è indeterminata e la sua somma soddisfa (a n b n )= a n b n (con le usuali convenzioni dell algebra dei limiti: ad esempio, se a n = e b n = S R allora (a n b n )= S =). Se una tra a n e b n è indeterminata e l altra converge, allora (a n b n ) è indeterminata.

9 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 9 Dimostrazione I risultati seguono subito dalle definizioni sulle serie e dagli usuali teoremi sui limiti, osservando che: i) se S N ed A N sono le ridotte di a n e a n rispettivamente, allora ii) se S N, A N e B N sono le ridotte di S N = a 0 a... a N = (a 0 a... a N )=A N ; (a n b n ), a n e b n rispettivamente, allora S N =(a 0 b 0 )... (a N b N )=(a 0... a N )(b 0... b N )=A N B N. Esempio 2.0 Consideriamo la serie 2 3n 3 n2 2 3n 3 n2 9 n = 23n 9 n 3n2 9 n = 9 n.poiché n 3n n = n n 3 e 8 9 n e 3 n sono i termini generali di due serie geometriche convergenti, risulta 2 3n 3 n2 9 n = n n 8 9 = 9 3 n n = = Esempio 2. (frazione generatrice) Tramite la Proposizione 2.9 sul multiplo di una serie, conti simili a quelli svolti nell Esempio 2.5 consentono di risalire facilmente alla frazione generatrice di un qualsiasi numero razionale, a partire dalla sua rappresentazione decimale periodica. Ad esempio.23 = = 05 = n = = 0n n = = Esempio 2.2 (perché il periodo 9 non esiste?) Nel definire in modo biunivoco la rappresentazione decimale dei numeri razionali, è noto che il periodo 9 va escluso dalla classe dei periodi ammissibili. Per spiegare questo fatto, supponiamo che un numero x abbia una rappresentazione decimale con periodo 9, ad esempio x =.29, e recuperiamo x come somma della serie corrispondente a tale rappresentazione: otteniamo x = = n = = 3 0 =.3. Dunque x coincide con il numero rappresentato dall allineamento decimale limitato ottenuto cancellando il periodo ed aumentando di un unità la cifra precedente. Allo stesso risultato si sarebbe giunti partendo

10 M.Guida, S.Rolando, 204 Serie 20 da un qualsiasi allineamento con periodo 9, ossia risulta in generale che c 0.c c n c n = c 0.c c n (c n ) (dove c,..., c n sono cifre e c n = 9). Allora il periodo 9 va escluso dalle rappresentazioni decimali ammissibili perché si vuole che ogni numero ammetta una ed una sola rappresentazione decimale, mentre una qualsiasi rappresentazione decimale con periodo 9 individuerebbe un numero che ammette anche una rappresentazione decimale diversa. Esempio 2.3 (ripresa dell Esempio 2.2) Riprendiamo l Esempio 2.2 per provare che Achille raggiunge la tartaruga in un tempo finito T = T 0 T T 2... A tale scopo, non è restrittivo supporre che entrambi Achille e la tartaruga si muovano di moto uniforme (il paradosso non dipende dalla legge oraria dei due moti), con velocità costanti che indichiamo rispettivamente con e v t. Esprimiamo allora tutti i tempi T 0,T,T 2,... in termini delle altre quantità note, cioè, v t ed il vantaggio iniziale L 0 concesso alla tartaruga. Dopo l intervallo di tempo T 0, Achille ha percorso lo spazio L 0, quindi L 0 = T 0,cioè T 0 = L 0, e la tartaruga ha percorso lo spazio L, quindi L = v t T 0. Dopo l ulteriore intervallo di tempo T, anche Achille ha percorso lo spazio L,quindiL = T e dunque T = L = v tt 0 = v t L 0. Annotiamo che, nello stesso intervallo di tempo, la tartaruga ha percorso l ulteriore spazio L 2 equindi L 2 = v t T. Nel successivo intervallo T 2, anche Achille percorre lo spazio L 2 e quindi risulta L 2 = T 2, da cui T 2 = L 2 = v 2 tt vt L 0 =. Proseguendo nello stesso modo, si ottiene che n 0 risulta T n = vt n L 0. Allora n vt L 0 T = T 0 T T 2... = = L n 0 vt, v a v a dove, essendo v t < (l aspetto paradossale dell argomentazione si basa proprio su questo), risulta 0 < /v t < e pertanto la serie converge (serie geometrica di ragione con modulo < ). In definitiva, Achille raggiunge la tartaruga nel tempo finito T = L 0 vt n = L 0 vt = L 0 v t.