Un modello di regressione fuzzy per la valutazione della soddisfazione

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1 Statistica & Alicazioni Vol. 3, n. 1, 25 Un modello di regressione fuzzy er la valutazione della soddisfazione Rosaria Romano Francesco Palumbo Summary: Customer Satisfaction Analysis is mostly based on the study of the deviations between customer exectations and customer ercetions on the quality of the roduct/service. According to this definition, the aer considers the CS in its own nature of interval value and rooses to aly fuzzy regression models for the CS estimation. The main assumtion of the model is that the CS deends essentially on the erceived and exected satisfaction levels. The model caabilities are tested on a real dataset demonstrating how the fuzzy aroach is romising in the CS analysis. Keywords: customer satisfaction, codifica fuzzy, regressione fuzzy. 1. Introduzione Aziende e organizzazioni economiche, in generale, sono semre iù consaevoli che la "conoscenza" della roria clientela è una esigenza rimaria er soravvivere in un mercato semre iù concorrenziale. Il giudizio del cliente sulla qualità del rodotto/servizio garantisce all azienda un indicazione di quelle che sono le esigenze del mercato. Inoltre, il cliente soddisfatto è sicuramente iù roenso al riacquisto e diventa anche romotore dei rodotti aziendali; laddove, un cliente insoddisfatto tenderebbe, invece, a danneggiare l immagine dell azienda. La Customer satisfaction (CS), la cui traduzione nella lingua italiana (sebbene oco utilizzata) è soddisfazione del cliente, è una grandezza la cui definizione e misurazione è materia di studio amia e controversa. Ancora iù comlessa è la misurazione della CS er i servizi, in quanto, trattandosi di beni intangibili, risulta difficile definire secifiche di roduzione in base alle quali Diartimento di Matematica e Statistica Università degli Studi di Naoli Federico II via Cintia, 8126 NAPOLI ( rosaroma@unina.it). Diartimento di Istituzioni Economiche e Finanziarie Università di Macerata via Crescimbeni, 2, 621 MACERATA ( francesco.alumbo@unimc.it).

2 R. Romano, F. Palumbo valutare il livello di qualità effettivo. Altre caratteristiche (eterogeneità, contestualità, interattività) contribuiscono a rendere iù comlessa la valutazione della qualità dei servizi risetto a quella dei rodotti (Lewis e Booms, 1983). In tale contesto risulta difficile giungere ad una definizione univoca della CS. Si riscontrano, iuttosto, vari arocci fra i quali è ossibile identificare due articolari orientamenti: l'uno mira a una definizione della misura in senso assoluto; l'altro, invece, si fonda sul convincimento che la soddisfazione si determina risetto alle asettative dei clienti. L'altro asetto rilevante riguarda l'effettiva ossibilità di misurare (in senso assoluto o in senso relativo) il grado di soddisfazione dei clienti. Trova semre maggiori consensi la teoria in base alla quale la soddisfazione è una grandezza che non uò essere direttamente misurata (Fornell, 1992) se non come risultante di altre variabili manifeste. L'imossibilità di misurare direttamente una grandezza non è certamente una rerogativa delle scienze economiche e sociali. In fisica, er esemio, la velocità è un quantità che, ur avendo una sua recisa ed univoca definizione, non uò essere direttamente misurata. La velocità viene determinata attraverso il raorto sazio/temo. Per la valutazione della soddisfazione in termini assoluti, iuttosto che della sua diretta misurazione, sono stati roosti in letteratura numerosi modelli statistici dove la soddisfazione è la dimensione latente (Tenenhaus et al. 25). Secondo tali modelli, definiti modelli causali, la misurazione della CS richiede un analisi arofondita delle relazioni strutturali tra variabili latenti, relative alla soddisfazione del cliente, e variabili manifeste, che esrimono il livello di soddisfazione del cliente su secifici attributi del servizio, esresso mediante scale di unteggi. La stima del modello uò seguire vari arocci tra cui l aroccio PLS (Partial Least Squares, Wold 1982), che stima le variabili latenti attraverso un sistema ricorsivo basato sul metodo dei Minimi Quadrati, e l aroccio LISREL (LInear Structural RELationshi, Jöreskog 197), basato sul metodo di Massima Verosimiglianza. I due arocci seguono secifici obiettivi: il PLS è orientato alla redizione delle variabili manifeste e latenti, il LISREL alla stima dei arametri. Il PLS è, ertanto, iù indicato er misurare la CS, essendo il LISREL essenzialmente incentrato a confermare la teoria del rocesso decisionale del consumatore. Altri studiosi hanno concentrato la roria attenzione sulla definizione di soddisfazione come una misura relativa. In questa ottica sono stati roosti modelli di analisi che valutano la soddisfazione attraverso gli scostamenti fra il livello di qualità erceito e quello atteso (Zeithaml et al., 1991). Il sistema ServQual, ad esemio, è uno strumento di indagine rigido e schematico comosto di due sezioni, asettative e ercezioni, che fornisce una misura relativa della CS. Ogni sezione è comosta di una serie di roosizioni relative a ciascuna delle 5 dimensioni della qualità del servizio (asetti tangibili, affidabilità, caacità di risosta, caacità di rassicurazione,

3 Un modello di regressione fuzzy er la valutazione della soddisfazione ematia). Gli scostamenti tra queste due grandezze forniscono una misura della soddisfazione del cliente e, quindi, della qualità del rodotto/servizio. I modelli causali e l'aroccio ServQual resentano indubbiamente notevoli caacità di analisi che ne giustificano l amia diffusione. La struttura rigida del ServQual, se da un lato non soddisfa le diverse esigenze di analisi dall altro ne garantisce la comarabilità. I modelli causali, invece, seure iù flessibili, forniscono una misurazione della CS esclusivamente in termini assoluti. In un'ottica assolutamente innovativa, basandosi su una articolare codifica, Lauro et al. (21), rima, Amato e Palumbo (24) e Grassia et al. (24), in un secondo momento, roongono di codificare i valori connessi alla ercezione ed alle asettative in un'unica struttura numerica: i dati ad intervallo. Si tenga resente che i dati ad intervallo sono anche una articolare tiologia di dati fuzzy. Obiettivo del resente lavoro è quello di valutare la ossibilità di adattare modelli di regressione er dati fuzzy, già roosti in letteratura, alla codifica di Amato e Palumbo. L iotesi su cui si fonda la roosta è che la qualità erceita e la qualità attesa del servizio sono fattori latenti resonsabili della determinazione del grado di soddisfazione del consumatore. In virtù di ciò, il modello roosto ha come variabile diendente la "soddisfazione", codificata come un dato ad intervallo, e come variabili eslicative i cosiddetti driver della soddisfazione. Nella roosta, tali driver sono ottenuti a artire da grui di variabili manifeste attraverso combinazioni di tio lineare, come normalmente si fa er i modelli causali. Il lavoro si articola in base allo schema seguente: nel aragrafo successivo vengono esosti i concetti di base della teoria fuzzy; nel terzo aragrafo è descritto un modello di regressione er dati fuzzy e, infine, un alicazione del modello è resentata e discussa nel quarto aragrafo. 2. Notazioni e definizioni La scelta di voler codificare le variabili manifeste e/o latenti sotto forma di deviazioni fra attese e ercezioni rende necessaria l'introduzione dei concetti e del formalismo essenziale della teoria fuzzy. Definiamo un intervallo come un insieme chiuso e comatto che indicheremo con la notazione [x]; dove [x] si riferisce ad una coia ordinata di valori [ x] [ x, x], con x x. Si osservi che un dato a intervallo uò essere raresentato anche in termini di centro c = ( x + x) / 2 e raggio r = ( x x) / 2. Definito X={x i } (i=1,,n) un universo del discorso, ovvero l'insieme di tutti i ossibili elementi relativi ad un concetto, un insieme fuzzy A in un universo del discorso X={x i }, con A X, è definito dalla coia {μa(x i ), x i }, x i X, dove μ A : X [,1] è la funzione di aartenenza (o funzione di ossibilità) di A e μ A (x i ) = h è definito grado di aartenenza di x i in A.

4 R. Romano, F. Palumbo Quindi h = vuol dire che x i A, h = 1 vuol dire che x i A, mentre < h < 1 indica che x i aartiene arzialmente o in modo fuzzy ad A (Zadeh, 1965). Un numero fuzzy, in articolare, è definito come un insieme fuzzy A con le seguenti rorietà: a) μ A (x i ) = 1, er almeno un x i ; b) μ A [λx 1 + (1-λ)x 2 ] μ A (x 1 ) μ A (x 2 ), er x 1 e x 2 e λ [,1]. I numeri fuzzy maggiormente utilizzati, er la semlicità della codifica, sono i numeri fuzzy simmetrici. Un numero fuzzy simmetrico è generalmente definito con la notazione A = (m,α ) L dove m ed α sono, risettivamente, il centro e lo sread del numero fuzzy A con funzione di aartenenza L(x). La seguente funzione di ossibilità definisce alcuni dei iù diffusi numeri fuzzy simmetrici: L ( x m, α ) q x m ; =1 (1) α Al variare di q la funzione di aartenenza si modifica: er q = 1 si ottiene la funzione triangolare, er q = 2 la funzione arabolica. Si osservi che, se consideriamo q =, essendo x m /α< 1 er m α x m + α, la quantità in (1) è semre uguale ad 1; questa considerazione ci consente di connotare i dati ad intervallo come una articolare tiologia di numero fuzzy. Partendo dalla roosta di Lauro et al. (21), nel resente lavoro, la soddisfazione verrà codificata come un dato ad intervallo, i cui estremi sono funzioni delle attese e delle ercezioni. Nella roosta originaria l estremo inferiore è definito dalla soddisfazione attesa (A), mentre l estremo sueriore dalla soddisfazione erceita (P). Il segmento che unisce i due estremi è definito intervallo di soddisfazione. Il cliente è: soddisfatto se le ercezioni sono maggiori delle attese (P A) > ; insoddisfatto in caso contrario (P A) < e indifferente se ercezioni e attese coincidono P = A. Se le ercezioni sono inferiori alle attese, er garantire il risetto della condizione x x, Lauro et al. (21) roongono di moltilicare gli estremi dell intervallo er 1. Tale trasformazione si è rilevata molto utile nell'aroccio eslorativo di Grassia et al. (24) ermettendo di discriminare facilmente su iani fattoriali i soggetti (revalentemente) soddisfatti, risetto agli insoddisfatti. Nell'ottica dei modelli causali, la codifica di Lauro et al. (21), come messo in evidenza in Amato e Palumbo (24), imlica che il cambiamento di segno altera il livello assoluto di soddisfazione solo degli utenti insoddisfatti, introducendo così una variabilità non effettivamente resente nei dati. Amato e Palumbo (24) considerano la soddisfazione erceita come centro dell intervallo, mentre il raggio è funzione dell intervallo di soddisfazione e del massimo scostamento osservabile. In articolare, il raggio è dato da: r = A P /max[l u A; A L l ] (2)

5 Un modello di regressione fuzzy er la valutazione della soddisfazione dove A è l'attesa, P la ercezione ed L l e L u sono risettivamente il limite inferiore e sueriore della scala di referenze. Così facendo si erde il segno dello scostamento, che erò uò essere recuerato in fase di raresentazione dei risultati attraverso un oortuna ricostruzione degli intervalli. Il resente contributo artendo dalla codifica di Amato e Palumbo (24), in cui gli autori utilizzano numeri fuzzy rettangolari (q = ), roone di codificare la CS come numero fuzzy triangolare simmetrico, ovvero, assumendo (q = 1). 3. Il modello di regressione fuzzy er la valutazione della soddisfazione In questo aragrafo viene introdotto un modello er valutare la CS codificata come numero fuzzy. Diversi modelli er dati fuzzy sono stati roosti in letteratura. In questo lavoro si è scelto di utilizzare il modello di Tanaka e Watada (1987) le cui caratteristiche bene si adattano alle esigenze di un analisi di CS (numero di osservazioni limitato e inferiore al numero di variabili, multicollinearità). Il modello, infatti, non si basa su iotesi restrittive di alcun tio se non quella della linearità della relazione tra le variabili. In articolare, si considera il modello in cui la variabile di risosta Y i ={y i, e i } (i=1,,n) è un numero fuzzy triangolare simmetrico con centro e raggio risettivamente ari a y i ed e i. Il modello è definito dalla seguente funzione lineare fuzzy: Y ~ = X B ~ (3) dove la generica riga della matrice X i = [X i,, X i,, X i ] (i = 1,,n) è un vettore di variabili indiendenti untuali e B ~ = [ B ~ o,, B ~,, B ~ ] T è un vettore ~ di coefficienti, con B ={c, a } numero fuzzy triangolare simmetrico. Le stime derivano dalla risoluzione di un roblema di rogrammazione lineare in cui la funzione obiettivo è minimizzare l incertezza delle stime, che equivale a ~ minimizzare l amiezza dei coefficienti B, con il vincolo che il fuzzy set delle stime includa il fuzzy set dei dati osservati, scelto un livello h: con vincoli: minimizzare = = a c X c X i i, c n = i= 1 + (1 h) (1 h) R, X i a X i = = a a X X i i y + (1 h) e, i = 1,..., n i y (1 h) e, i = 1,..., n i = 1, h 1, i = 1,..., n; = 1,...,. i i (4)

6 R. Romano, F. Palumbo Il coefficiente h è una misura del grado di ossibilità delle stime ed assume un ruolo assimilabile a quello del livello di confidenza nell inferenza classica: all aumentare del livello di ossibilità aumenta l amiezza dell'intervallo dei coefficienti così come all aumentare del livello di confidenza aumenta l amiezza dell'intervallo delle stime. 4. Il caso studio I dati elaborati si riferiscono ad un indagine effettuata er conto di una società di servizi er le Pubbliche Amministrazioni. Per valutare la soddisfazione, agli utenti è stato somministrato un questionario attraverso il quale sono stati rilevati i giudizi su 17 attributi del servizio erogato, esressi contestualmente su scala [1, 1]. L indagine ha interessato un camione di 5 unità. Per vincoli di riservatezza non tutti i termini dell indagine ossono essere resi ubblici. La codifica del ga come valore a intervallo, ha ermesso di ridurre la comlessità del modello di CS; ciò è ossibile, in quanto la comlessità dell'informazione viene tradotta nella codifica stessa. Il rimo asso dell analisi ha riguardato l identificazione delle variabili qualità attesa e qualità erceita, quali fattori latenti delle risettive variabili manifeste. Un Analisi in Comonenti Princiali, risettivamente sui due blocchi di variabili manifeste, ha messo in luce la natura unidimensionale dei blocchi stessi, ertanto, si sceglie la rima Comonente Princiale come unica variabile di sintesi dei risettivi blocchi. La varianza siegata dalla rima comonente rinciale er ciascun blocco di variabili è risettivamente 85,2% e 5,6%. La fase successiva dell analisi ha riguardato la costruzione della variabile di risosta ad intervallo, la soddisfazione globale, in base alla esressione (2). Sulla base dei giudizi esressi in merito alla soddisfazione risetto all ideale e alla soddisfazione risetto alle attese è stata costruita la variabile ad intervallo ga di soddisfazione. Il modello stimato, al livello di ossibilità h =,5 è il seguente: Y = {,59; 2,47}+{,23;,1} X 1 + {,6;,5} X 2 (5) Le variabili X 1 e X 2 sono, risettivamente, la comonente rinciale qualità attesa e la comonente rinciale qualità erceita; i relativi coefficienti sono esressi utilizzando la consueta notazione in cui il rimo e il secondo valore sono, risettivamente, i centri e i raggi degli intervalli. Dall'analisi dei valori relativi ai centri dei coefficienti emerge che vi è una maggiore diendenza del ga di soddisfazione risetto alla comonente qualità erceita iuttosto che non risetto alle attese. La vaghezza del sistema, riflessa dall amiezza dei raggi è, invece, maggiormente dovuta alla comonente qualità attesa, a sottolineare l incertezza dell'utente nell esrimere un giudizio su un attributo aleatorio del servizio. Tale risultato è assolutamente coerente con

7 Un modello di regressione fuzzy er la valutazione della soddisfazione l'imostazione del modello. Infatti, è iù lausibile ritenere che la soddisfazione sia maggiormente influenzata dalla ercezione iuttosto che dall'attesa. È altresì ragionevole ritenere che l'imrecisione dei coefficienti sia determinata dalle asettative degli utenti. I risultati del modello sono visualizzati nei seguenti grafici in cui sono riortati i ga di soddisfazione osservati e gli intervalli di regressione ga qualità attesa Figura 1. Intervalli di regressione risetto alla variabile indiendente qualità attesa ga qualità erceita Figura 2. Intervalli di regressione risetto alla variabile indiendente qualità erceita È utile ricordare che la codifica adottata non consente di tenere conto del segno dell intervallo di soddisfazione. Tuttavia ricorrendo ai dati originari è ossibile recuerare tale informazione. Nei grafici si è utilizzato un diverso simbolo er indicare l'attesa e la ercezione ; in tal modo l'orientamento dell'intervallo ermette di valutarne il segno. Infine, le rette continue si riferiscono alle stime al livello di ossibilità h =,5 e le linee tratteggiate al livello h =.

8 R. Romano, F. Palumbo 5. Conclusioni I risultati resentati mettono in evidenza le otenzialità dell'aroccio. In articolare, la chiarezza della raresentazione grafica consente di erceire immediatamente sia l'intensità della relazione fra i driver della soddisfazione e la soddisfazione, (guardando all'inclinazione del fascio di rette di regressione), sia, il grado di soddisfazione/insoddisfazione in termini relativi (guardando alle amiezze e al verso degli intervalli). La letteratura secialistica er l'analisi statistica di dati fuzzy offre numerosi e iù articolati modelli risetto al modello di Tanaka e Watada (1987) qui resentato. Si ritiene, ertanto, che nelle ricerche future, l'interesse debba essere rivolto alla verifica dell'alicabilità di nuovi modelli. Inoltre, in un'ottica di modelli causali, tale aroccio uò essere arte integrante di modelli con una struttura di relazioni iù comlessa. Riferimenti Bibliografici Amato S., Palumbo F. (24). Multidimensional Ga Analysis. Statistica Alicata, 16(3), Fornell C. (1992). A National Customer Satisfaction Barometer: The Swedish Exerience. Journal of Marketing, 56, Grassia G., Lauro N.C., Scei G. (24). L'analisi dei dati ad intervallo nell'ambito della qualità. Data Mining e Analisi Simbolica. Franco Angeli. Jöreskog K.G. (197). A general method for analysis of covariance structure. Biometrika 57, Lauro N.C., Esosito Vinzi V., Scei G. (21). Visualizzazione e sintesi della Customer Satisfaction in termini di Analisi dei dati Simbolici. Atti del Convegno Intermedio SIS: Processi e metodi statistici di valutazione, Roma. Lewis R.C., Booms B.H. (1983). The Marketing Asects of Quality, in Emerging Persectives on Service Marketing, a cura di Berry L. et al., Tanaka H., Watada J. (1987). Possibilistic linear systems and their alication to the linear regression model. Fuzzy Sets and Systems, 27, Tenenhaus M., Esosito Vinzi V., Chatelin Y., Lauro N.C. (25). PLS ath modelling. Comutational Statistics & Data Analysis, 48, Wold H. (1982). Partial Least Squares, in Kotz & Johnson (eds.), Encycloaedia of Statistical Sciences, John Wiley & Sons, New York, Zadeh L. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8, Zeithaml V., Parasuraman A., Berry L. (1991). Servire Qualità. McGraw-Hill.