INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Modellazione su base fisica

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Modellazione su base fisica Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it

2 Modelli e modellistica Motivazioni er utilizzo di modelli raresentazione comatta della conoscenza istruzione iù facile e meno costoso che lavorare sul sistema reale a volte il sistema non esiste ancora modellazione er il rogetto modellazione er il controllo Avvertenze il modello descrive solamente alcuni asetti del sistema il modello diviene semre iù comlesso e esante aumentando il livello di dettaglio: modellare solo il necessario esiste semre un range di validità del modello: attenzione al suo utilizzo al di fuori di tale range

3 Modelli e modellistica Nella costruzione di un modello sono semre resenti arossimazioni semlificazioni fisiche arossimazioni sulla struttura di modello arossimazioni nella identificazione del modello corrisondenza con i arametri fisici normalmente si utilizza una famiglia di modelli con diversi gradi di arossimazione La modellazione er definizione è un attività multidiscilinare che core una grande varietà di asetti

4 Modelli e modellistica Sistemi meccanici Sistemi elettrici Fluidi ed idraulica fluidi comrimibili e non Sistemi termici conduzione di calore scambiatori di calore boiler Motori Pome Sistemi di otenza Veicoli biciclette autovettore navi aerolani Processi chimici reattori colonne di distillazione Sistemi economici Ecosistemi

5 Gestione della comlessità Da cosa deriva la comlessità Fattori diendenti dal sistema domini fisici differenti - diversità comortamenti comlessi dimensioni fisiche numero di comonenti interazione stretta tra sistemi Fattori diendenti dallo sviluo del rogetto rogetto arallelo dei vari comonenti/sottosistemi sottosistemi eterogenei tra di loro resenza di comonenti temo continue, temo discrete e ad eventi La modellazione è essenziale

6 Gestione della diversità Astrazione Forme standard di modello Parametri adimensionali e variabili normalizzate Utilizzo di librerie Utilizzo di tool software Lavoro in team

7 Modellazione e simulazione La modellazione si è sviluata in arallelo alla simulazione; questo ha avuto un grande imatto sullo sviluo dei tool di modellazione Tecniche di simulazione analogica: costruzione di sistemi elettrici o meccanici di simulazione digitale: utilizzo di metodi di simulazione arossimati con soluzione numerica delle equazioni differenziali Ambienti di simulazione odierni simulatori analogici virtuali facili da utilizzare granularità e strutturazione interfaccia grafica e utilizzo di schemi a blocchi integrazione con ambienti di controllo ed identificazione esemi: Simulink, VisSim,...

8 Schemi a blocchi L utilizzo di schemi a blocchi raresenta una forma di astrazione che è anche un esemio di incasulamento dell informazione Raresenta una maniera elegante er strutturare un sistema E in relazione diretta con le funzioni di trasferimento Presenta comunque delle limitazioni molto lavoro di rearazione er assare dal modello fisico allo schema a blocchi modello orientato con ingressi ed uscite Esistono altri aradigmi, non ancota sufficientemente maturi equazioni algenrico-differenziali Modelica

9 Limitazioni degli schemi a blocchi Gli stati ossono scomarire un condensatore si descrive con una variabile di stato due condensatori connessi in arallelo? è ossibile ottenere il modello del arallelo tramite comosizione dei modelli elementari dei due condensatori? Il modello diende dal contesto modellazione di una resistenza: diende da cosa viene definito come ingresso V R I? I V / R la stessa equazione aare in molte forme facile commettere errori difficile da cambiare difficile costruire delle librerie di comonenti

10 Metodologia di modellazione Dividere un sistema in sottosistemi Equazioni di bilancio di massa, momenti ed energia Costruire e/o utilizzare librerie di comonenti (orientati) Attività caire il lant raresentarlo derivare il modello matematico analisi delle rorietà stazionarie linearizzazione delle dinamiche non lineari arossimazione e semlificazione validazione definire comonente di libreria

11 Attività di modellazione Caire il lant meccanismi e funzionamento ordini di grandezza standard limitazioni Raresentare il lant schizzi schemi a blocchi diagrammi di flusso Modelli matematici scoo assunzioni e iotesi scrittura delle equazioni normalizzazione delle variabili range di validità

12 Attività di modellazione Modelli matematici definizione di ingressi, stati ed uscite arametri e arametri adimensionali valori numerici di rogetto e/o identificazione arametrica Analisi dei modelli rorietà stazionarie nonlinearità simulazione linearizzazione Tii di modello relazioni statiche equazioni differenziali ordinari equazioni differenziali alle derivate arziali macchine a stati, reti di Petri, Statecharts e SFC ibridi

13 Attività di modellazione Analisi del modello linearizzato equazioni normalizzaizone e arametri adimensionali relazione con i arametri fisici range di validità funzione di trasferimento risosta frequenziale costanti di temo e guadagni oli e zeri instabili, ritardi

14 Modellazione su base fisica Uno dei metodi iù semlici er ottenere un modello di un sistema dinamico è ricavare le relazioni che esistono tra ingressi ed uscite a artire dalle leggi fondamentali della fisica Nell ambito del controllo e della diagnosi si è in genere interessati a modelli semlici. Utilizzo di modelli a arametri concentrati L utilizzo delle leggi fondamentali è utile anche quando non si è in grado di redire il valore numerico dei arametri, er definire almeno la struttura del modello E facile ricavare modelli comlessi come interconnessione di modelli elementari I vari ambiti alicativi ortano a modelli elementari con la stessa struttura matematica Equazioni differenziali del rimo o secondo ordine

15 Modelli di sistemi elementari I comonenti elementari ossono essere classificati in base al loro comortamento risetto all energia dissiatori accumulatori (di due tii) convertitori

16 Circuiti elettrici Legge di Ohm generalizzata: serve er definire i modelli dei comonenti elementari resistenze caacità induttanze Leggi di Kirchoff: servono er connettere i sistemi elemetari somma di correnti in un nodo somma di tensioni su una maglia Sistema di riferimento di solito fissato dalla massa comune; attenzione alla comosizione di sistemi con masse searate

17 Modelli di sistemi elementari Sistemi elettrici elementari resistore induttore condensatore trasformatore Comonenti attivi: inseriscono energia nel sistema amlificatore transistore

18 Dissiatori di energia Conduttore elettrico secifiche: caacità e induttanza nulle modello er: studiare la relazione tensione/corrente i I R un modello matematico i ( v v ) arametro: resistenza v v ( v v ) Ri otenza dissiata P P P d d d vi v R Ri

19 Accumulatori di energia - tio Condensatore ideale secifiche: non c'è resistenza, non c'è induttanza modello er: studiare la relazione tensione/corrente i un modello matematico energia accumulata E a C v v v d i C ( v v ) C ( v v ) i caacità elettrica

20 Accumulatori di energia - tio Induttore ideale secifiche: non c'è resistenza, non c'è caacità modello er: studiare la relazione tensione/corrente i i v v un modello matematico ( v v ) energia accumulata E a Li i L L di ( v v ) induttanza

21 Sistemi comlessi - equazione del nodo Esemio di circuito elettrico i(t) i L i R i C v(t) i i L + i R + i C equazione integro-differenziale i (t) v(t) + v(t) + L R dv(t) C equazione differenziale del ordine di L v + R dv + d v C

22 Sistemi comlessi - equazione della maglia Esemio di circuito elettrico v(t) i(t) v v C + v R + v L equazione integro-differenziale v i RiR L C + + di equazione differenziale dv di d i i + R + L del ordine C

23 Costruzione di modelli meccanici La rocedura er la costruzione di modelli meccanici risulta la seguente definizione del sistema di riferimento inerziale scomosizione del sistema in comonenti (elementi rigidi) definizione delle forze/coie agenti su ciascun elemento, con eslicitazione delle forze interne secondo il rinciio di azione/reazione scrittura delle equazioni elementari er ciascun elemento eliminazione delle forze interne Nel caso di strutture comlesse con vincoli, la rocedura recedente uò risultare laboriosa; esistono metodi iù efficaci basati su considerazioni energetiche e coordinate generalizzate

24 Costruzione di modelli meccanici I modelli elementari hanno un modello costituito da una equazione statica o da una equazione differenziale del rimo ordine La combinazione di modelli elementari orta in genere ad una equazione differenziale di ordine iù elevato tra ingresso ed uscita (modello I/O) Nello studio del comortamento del sistema, le condizioni iniziali giocano un ruolo fondamentale L evoluzione del sistema è univocamente determinata una volta definite la funzione di ingresso e le condizioni iniziali

25 Sistemi meccanici Seconda legge di Newton: serve er definire i modelli dei comonenti elementari moti traslatori f m a v f x f m m moti rotativi T J α Terza legge di Newton (rinciio di azione e reazione): serve er connettere i sistemi elemetari ω Non trascurare la rima legge: serve er scegliere il sistema di riferimento risetto al quale le equazioni diventano semlici J T ϑ J T

26 Moti rotativi e rototraslazioni Nei moti rotativi valgono esattamente le stesse considerazioni dei moti traslazionali, con le sostituzioni osizione lineare <> osizione angolare velocità lineare <> velocità angolare accellerazione lineare <> accellerazione angolare forza <> coia massa <> momento di inerzia J ϑ J ω J α C Nelle rototraslazioni, nella comosizione dei moti dei vari comonenti si usa la relazione tra forza e coia e tra variabili angolari e variabili lineari C r f v r ω

27 Dissiatori di energia Ammortizzatore secifiche: massa nulla, cori rigidi modello er: studiare la relazione velocità/forza f un modello matematico arametro: attrito viscoso f v v βv f β y otenza dissiata Pd Pd P d fv β v f β

28 Accumulatori di energia - tio Massa ideale secifiche: non c'è attrito, non c'è elasticità modello er: studiare il moto f y m v un modello matematico energia accumulata Ea mv f f ma dv m a dv v v m dy f massa concentrata

29 Accumulatori di energia - tio Inerzia ideale secifiche: non c'è attrito, non c'è elasticità modello er: studiare il moto c ϑ J un modello matematico energia accumulata c c Jα dω J α ω dω c J ω dϑ Ea Jω momento di inerzia

30 Accumulatori di energia - tio Molla ideale secifiche: non c'è massa, non c'è attrito modello er: studiare la relazione velocità/forza f f v y v y un modello matematico f k( y y ) f k ( v v ) energia accumulata Ea f ( v v ) k df rigidità

31 Esressione della forza Forza elastica molle lineari f e k x molle non lineari Forza di attrito statico e dinamico f 3 e k x + knl x f as cas Fn knl 0 fad cad Fn cad < viscoso lineare f v b x viscoso non lineare fv k x b v M fv ( ) x, x, x 3, f M x f k x b x cas c s M g M g

32 Comonenti cinematici Riduttore meccanico secifiche: non c'è attrito, modello er: studiare la relazione rotazione/rotazione ω c ω un modello matematico bilancio di otenze c ω cω c c c c k r ω ω k r ω ω raorto di riduzione

33 Comonenti cinematici Riduttore meccanico secifiche: non c'è attrito, modello er: studiare la relazione rotazione/rotazione c ω c ω ω J eq ω J ω J eq J ω ω J k r J c J un modello matematico dω J + Jeq dω J J eq d ( J + Jeq ) ω

34 La lagrangiana Si introducono le coordinate generalizzate q i momenti generalizzati Si calcolano l enervia otenziale V(q) l energia cinetica T(,q) Si definisce la lagrangiana d L q Le equazioni del moto sono date da L L q F (, q) T (, q) V ( q)

35 Pendolo su carrello x θ l m m car F ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ sen cos cos sen l y l x x l y l x x + + Energia otenziale Energia cinetica ( ) θ cos g l m V ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ cos cos x l m M x J x l m x m m l m y x m x m T car car

36 Equazioni del moto L J θ + m θ L M x + m x l x cos l θ cos ( θ ) ( θ ) L m θ L 0 x g l sen ( θ ) m l x θ sen( θ ) Equazioni di Lagrange d L q L q F danno J θ + m m l θ cos l x cos ( θ ) m g l sen( θ ) ( θ ) m l θ sen( θ ) + M x F 0

37 Esemio - Caire il lant Le equazioni hanno senso? Qual è l interretazione dei singoli termini? Cosa caita se il carrello è molto esante? Qunado si uò trascurare l interazione tra endolo e carrello? Qual è una normalizzazione adeguata? Quanti arametri indiendenti sono resenti?

38 Esemio - normalizzazione Le equazioni del moto si ossono scrivere come θ + x + m J m M l x cos l θ cos ( θ ) sen( θ ) ( θ ) θ sen( θ ) Si ottengono quattro arametri ancora non adimensionali Normalizzazione della dimensione lineare xn x / l x n x / l Normalizzazione della scala temorale τ ω o t m m J M m g l l g l J t 0 F M

39 Esemio - normalizzazione Le equazioni normalizzate divengono ( ) ( ) θ + xn cos θ sen θ 0 m m F xn + ( ) θ cos θ θ sen ( θ ) u M M M ω o dove u è l accellerazione normalizzata Il sistema normalizzato resenta un unico arametro adimensionale β m M θ + x x n n cos + β θ cos ( θ ) sen( θ ) 0 ( θ ) β θ sen( θ ) u

40 Esemio - linearizzazione Linearizzazione intorno ai unti di equilibrio Determinazione dei unti di equilibrio θ θ 0 x x 0 Equazioni linearizzate θ + xn cos x + β θ cos n Si noti il cambiamento di segno a seconda dell equilibrio considerato θ e ( θe ) θ cos( θe ) ( θ ) u e 0, π 0

41 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Modellazione su base fisica - fine Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it