STIME DI SCHAUDER PER IL

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1 CAPITOLO 5 STIME DI SCHAUDE PE IL POBLEMA DI DIICHLET 5.1 OIENTAMENTO D ora in poi indicheremo con A l operatore differenziale del secondo ordine Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(x c(xu(x, con Ω aperto di N, a ij, b i, c C 0,α (Ω per α (0, 1 e a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ, x Ω, ξ N x Ω con ν 0 > 0. Indichiamo con k 0 = max i,j { a ij α, b i α, c α }. Il motivo per cui escludiamo il caso α = 1 si può spiegare intuitivamente se si tiene conto che la norma di C 1 (Ω è sostanzialmente la norma uniforme per le derivate prime. I punti cruciali nella risoluzione del problema di Dirichlet { Au = f in Ω (5.1 u = 0 su Ω sono rappresentati dai seguenti teoremi. Teorema (Stime di Schauder Sia Ω aperto limitato di classe C,α. Supponiamo c 0. Allora esiste una costante C = C(ν 0, k 0, Ω > 0 tale che per ogni u C,α (Ω con u Ω = 0 risulta u,α C Au α. (5.

2 70 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Teorema 5.1. (Problema di Dirichlet per il Sia Ω aperto limitato di classe C,α. Allora per ogni f C 0,α (Ω esiste (unica u C,α (Ω tale che { u = f in Ω u = 0 su Ω iguardo al Teorema 5.1.1, osserviamo che senza restrizioni sul segno di c si può provare una stima del tipo u,α C ( Au α u. Insieme questi risultati permettono di risolvere il problema di Dirichlet per un operatore qualunque. Ciò è possibile grazie al metodo di continuità provato di seguito. Teorema (Metodo di continuità Siano X, Y spazi di Banach, L 0 ed L 1 operatori lineari e continui da X in Y. Consideriamo gli operatori lineari L t = (1 tl 0 tl 1, t [0, 1], e supponiamo che esista una costante C > 0 tale che L t x Y C x X, x X, t [0, 1]. (5.3 Se L 0 è suriettivo allora anche L 1 è suriettivo (e quindi bigettivo per la stima (5.3. DIM. Osserviamo che la stima (5.3 implica che ogni L t è iniettivo. Sia E = {t [0, 1] : L t è bigettivo}. Per ipotesi 0 E, per cui E. Se t 0 E allora L t0 è bigettivo, e per (5.3, L 1 t 0 ( 1 C. Inoltre L t = L t0 I (t t0 L 1 t 0 (L 1 L 0. Segue allora che L t è invertibile se e solo se I (t t 0 L 1 t 0 (L 1 L 0 è invertibile. Ciò è assicurato se (t t 0 L 1 C t 0 (L 1 L 0 < 1 e per questo è sufficiente che t t 0 < L 1 L 0. C Posto δ = ( L 1 L 0 e preso t 0 = 0 E, per quanto provato si ha che [0, δ] E. ipartendo da δ e ripetendo lo stesso ragionamento si ottiene che [δ, δ] E, e così via. Dopo un numero finito di passi si avrà che [0, 1] E, quindi la tesi. Il teorema che segue sintetizza i risultati precedenti e risponde completamente al problema della risolubilità di (5.1. Teorema Sia Ω limitato di classe C,α. Supponiamo c 0. Allora per ogni f C 0,α (Ω esiste un unica u C,α (Ω tale che { Au = f in Ω u = 0 su Ω

3 5. Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 71 DIM. Consideriamo gli spazi di Banach X = {u C,α (Ω : u Ω = 0}, Y = C 0,α (Ω (X con la norma indotta da C,α (Ω e gli operatori L 0 = : X Y L 1 = A : X Y L t = (1 t ta I Teoremi 5.1. e implicano rispettivamente che L 0 è invertibile e che vale la stima u X C(ν t, k t, Ω L t u Y. Siccome a t ij = (1 tδ ij ta ij, b t i = tb i e c t = tc, per ogni t [0, 1] risulta e a t ij α (1 t tk 0 max{1, k 0 } b t i α tk 0 k 0 c t i α tk 0 k 0 a t ij(xξ i ξ j (1 t ξ ν 0 t ξ min{1, ν 0 } ξ. Pertanto le costanti C(ν t, k t, Ω della stima si possono prendere indipendenti da t. E lecito ora applicare il metodo di continuità per concludere la dimostrazione. Il nostro obiettivo è dunque dimostrare i Teoremi e Al fine di semplificare la notazione, se B denota una palla di raggio, scriveremo u al posto di u x0,, dove x 0 è il centro della palla, che risulta fissato, e u x0, è definito in ( STIME DI SCHAUDE PE EQUAZIONI A COEFFICIENTI COSTANTI Consideriamo l operatore a coefficienti costanti A =, a ij M 0 e ν 0 > 0 costante di ellitticità. a ij D ij con a ij Teorema 5..1 (Disuguaglianza di Caccioppoli Sia B una palla aperta di N. Supponiamo che u H 1 (B risolva l equazione a ij D ij u = 0

4 7 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet in B. Allora esiste una costante c = c(ν 0, M 0 > 0 tale che per ogni r < si ha u c B r ( r u (5.4 B DIM. Osserviamo innanzitutto che l esistenza di una soluzione H 1 (B dell equazione considerata non è un ipotesi restrittiva poichè è garantita dal teorema di Lax-Milgram. Infatti, essendo i coefficienti costanti, l operatore può essere scritto in forma di divergenza. Inoltre il Corollario..14 assicura che tale soluzione è C all interno di B, per cui l equazione in particolare è soddisfatta puntualmente. Per ogni φ H 1 0 (B si ha che B a ij D i ud j φ = 0. (5.5 Fissato r <, prendiamo η C0 (B tale che 0 η 1, η 1 in B r e η L r, per qualche L > 0. Scegliendo φ = η u H0 1 (B in (5.5 e tenendo conto dell ellitticità dell operatore, otteniamo Pertanto 0 = B B a ij D i ud j (η u = a ij η u D i ud j η ν 0 η B u ν 0 η B u B B B η a ij D i ud j u a ij η u D i ud j η. a ij η u D i ud j η c(m 0 η u u η B ( c(m 0 η u B ( L c(m 0 η u r B 1 ( 1 u η B 1 ( 1 u B e quindi ( 1 ( 1 ν 0 η u L c(m0 u. B r B

5 5. Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 73 Siccome η 1 in B r si ha infine ( B r u 1 ( 1 ( = η u η u B r B c(m ( 1 0 L u. ν 0 r B 1 Vediamo ora come è possibile iterare la disuguaglianza di Caccioppoli. Nelle ipotesi del teorema precedente siccome u è di classe C all interno di B, l uguaglianza N a ijd ij u = 0 vale puntualmente in B. Derivando l equazione otteniamo che a ij D ij (D k u = 0 in B per ogni k {1,,, N}. Applicando ora (5.4 prima a D k u e poi a u con una scelta opportuna dei raggi, abbiamo B r D k u c ( r B r D k u c ( r 4 B u. Poichè la disuguaglianza precedente vale per ogni derivata parziale prima di u possiamo scrivere B r D u c ( r 4 B u. Se deriviamo l equazione h volte e dividiamo l intervallo (r, in h parti uguali di lunghezza r h, applicando h volte la disuguaglianza di Caccioppoli otteniamo D h u c h h u B r B. Quindi vale che ( r u H h (B r c(ν 0, M 0, r,, h u L (B. Se h > N, per le immersioni di Sobolev risulta che Hk (B r L (B r, pertanto u L (B r = sup x B r u(x c(ν 0, M 0, r, u L (B. (5.6

6 74 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Osservazione 5.. Se Ω < e u L (Ω, allora u λ u u Ω, λ, (5.7 Ω Ω dove u Ω è la media integrale di u in Ω. In particolare per λ = 0 si ha Ω u Ω u u Ω. Infatti, basta scrivere u λ = u λ u λ Ω = f(λ Ω e notare che la funzione f ammette minimo in λ = u Ω. Ω L osservazione appena fatta e la disuguaglianza di Caccioppoli consentono di dimostrare il seguente lemma. Lemma 5..3 Supponiamo che u H 1 (B sia soluzione di N a ijd ij u = 0 in B. Allora esistono costanti c = c (ν 0, M 0 > 0 e c 3 = c 3 (ν 0, M 0 > 0 tali che per ogni r < si ha ( r N (i u c u ; B r B ( r N (ii u u r c 3 u λ per ogni λ (in particolare B r B per λ = u r. DIM. (i Fissiamo dapprima = 1. Se r 1 risulta u ω N r N sup u c(ν 0, M 0 r N u, B r B 1 B 1 avendo usato la stima (5.6 con r = 1 ed = 1. Se 1 > r 1 allora 1 r e quindi risulta u N r N u. B r B 1 Nel caso = 1 basta allora prendere c = max{c(ν 0, M 0, N }. Passiamo ora al caso generale. A meno di traslazioni possiamo supporre che il centro della palla sia x 0 = 0. Sia v(x = u(x, per x < 1. Vale allora che a ij D ij v(x = Ω a ij D ij u(x = 0, x < 1, cioè v soddisfa l equazione in B 1. Applicando il caso provato alla funzione v otteniamo ( r N v c(ν 0, M 0 v. B r B 1

7 5. Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 75 icambiando variabile otteniamo la disuguaglianza (i. (ii Dimostriamo dapprima il caso particolare λ = 0. Sia r. Allora applicando nell ordine la disuguaglianza di Poincarè, il punto (i a u con raggi r e, e la disuguaglianza di Caccioppoli si ha ( r N u u r c r u cr c N u B r B r B = C(ν 0, M 0 rn N u B C(ν 0, M 0 rn 1 N ( u B ( r N = c(ν 0, M 0 u. B Se r, allora tenendo conto dell Osservazione 5.. risulta N N B r u u r N ( r B r u N ( r B u. Così (ii vale quando λ = 0 con c 3 = max{c(ν 0, M 0, N }. Per ottenere la tesi nel caso generale basta applicare quanto appena provato alla funzione u λ. Passiamo ora a provare stime interne nel caso non omogeneo Au = a ij D ij u = f in B. Se f L (B allora il metodo variazionale assicura intanto di poter trovare un unica funzione w H0 1 (B H (B tale che N a ijd ij w = f. Infatti, la forma quadratica associata a(u, v = B a ij D i ud j v u, v H0 1 (B è chiaramente continua. Inoltre è coerciva poichè per l ellitticità dell operatore e per la disuguaglianza di Poincarè risulta a(u, u = B a ij D i ud j u ν 0 u B ν 0 c u H 1 (B.

8 76 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Pertanto, applicando il teorema di Lax Milgram possiamo affermare che esiste un unica funzione w H 1 0 (B soluzione debole dell equazione a ij D ij w = f e che vale la stima w H 1 (B 1 ν 0 c f L (B. Il Teorema..7 che w H (B e che w H (B c(ν 0, M 0, ( f L (B w H 1 (B c(ν 0, M 0, f L (B. In particolare, dalla definizione di H (B, segue che D w L (B c(ν 0, M 0, f L (B (5.8 In realtà la costante c che compare nella disuguaglianza (5.8 non dipende da. Infatti, posto v(x = u(x per x < 1, si ha che v H 1 0 (B 1 H (B 1 e soddisfa l equazione a ij D ij v(x = a ij D ij u(x = f(x =: g(x. Usando la stima (5.8 otteniamo D v L (B 1 c(ν 0, M 0, 1 g L (B 1, ossia 4 D u(x dx c(ν 0, M 0, 1 4 f (xdx. B 1 B 1 Semplificando 4 e facendo il cambio di variabile y = x giungiamo alla conclusione. Teorema 5..4 Sia u H (B e f = N a ijd ij u = f. Allora esistono due costanti c 4 = c 4 (ν 0, M 0 > 0 e c 5 = c 5 (ν 0, M 0 > 0 tali che per ogni r < risulta ( ( r N (i D u c 4 D u f ; B r B B ( ( r N (ii D u (D u r c 5 D u (D u B r B f f. B

9 5. Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 77 DIM. Proviamo (ii. La dimostrazione di (i è simile. Introduciamo la funzione z(x = u(x 1 N x ix j (D ij u. Allora D ij z = D ij u (D ij u, e quindi a ij D ij z = a ij D ij u a ij (D ij u = f f. Sia w H 1 0 (B H (B la soluzione variazionale di N a ijd ij w = f f. Per (5.8 sappiamo che D w L (B c(ν 0, M 0 f f L (B. (5.9 Allora v := z w H (B e N a ijd ij v = 0, cioè v soddisfa l equazione omogenea. Derivando quest ultima abbiamo N a ijd ij (D v = 0, essendo D v una qualunque derivata seconda di v. Possiamo così applicare a D v la stima (ii del Lemma 5..3 e ottenere ( r N D v (D v r c(ν 0, M 0 D v (D v. (5.10 B r B Poichè D z (D z r = D u (D u r possiamo scrivere D u (D u r = D z (D z r (5.11 B r B r D v (D v r D w (D w r B r B r avendo anche tenuto conto che z = v w e che vale la disuguaglianza (a b a b. Applicando poi le stime (5.10 e (5.9 e l Osservazione 5.. abbiamo ( ( r N D u (D u r c(ν 0, M 0 D v (D v B r B D w B r ( ( r N c(ν 0, M 0 D z (D z B ( r N D w (D w B f f B ( ( r N c(ν 0, M 0 D u (D u B f f. B

10 78 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet 5.3 STIME PE OPEATOI A COEFFICIENTI VAIABILI Prima di provare le stime di Schauder in N vediamo come le stime del Teorema 5..4 si generalizzano al caso di coefficienti variabili. Sia data l equazione Au = a ij D ij u = f dove f L (Ω e i coefficienti a ij sono funzioni uniformemente continue in Ω. Denotiamo con M 0 := max i,j { a ij } ω(δ := max i,j {ω(a ij, δ}, δ > 0 essendo ω(a ij, δ il modulo di continuità di a ij. Data la regolarità dei coefficienti, l operatore non può essere scritto in forma di divergenza e pertanto la nozione di soluzione debole usata finora non è più applicabile. Considereremo perciò soluzioni in senso più forte e precisamente funzioni u Hloc (Ω per le quali l equazione N a ijd ij u = f è soddisfatta q.o. Fissiamo B (x 0 Ω e consideriamo A 0 = N a ij(x 0 D ij. Allora A 0 u = a ij (xd ij u = f (a ij (x 0 a ij (xd ij u (a ij (x 0 a ij (xd ij u =: F. Applicando la stima (ii del Teorema 5..4 all operatore A 0 si ha D u (D u r c(ν 0, M 0 B r (x 0 ( ( r N D u (D u B (x 0 F F. B (x 0 Tenendo conto dell Osservazione 5.. e di come è definita F abbiamo poi F F F f f f B (x 0 B (x 0 ω ( B (x 0 D u. B (x 0

11 5.4 Stime di Schauder in N. isolubilità 79 isulta così provato che D u (D u r (5.1 B r(x 0 ( ( r N c(ν 0, M 0 ω ( D u B (x 0 B (x 0 D u (D u f f B (x STIME DI SCHAUDE IN N. ISOLUBILITÀ Sia A l operatore differenziale del secondo ordine Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(x c(xu(x, x N con a ij, b i, c C 0,α ( N, per α (0, 1 e a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ, x, ξ N dove ν 0 > 0. Indichiamo con k 0 = max i,j { a ij α, b i α, c α }. Teorema (Stime di Schauder in N Esiste c = c(ν 0, k 0, α > 0 tale che per ogni u C,α ( N risulta u,α c(ν 0, k 0, α([au] α u. (5.13 DIM. Supponiamo dapprima b i c 0. Posto Au = f, applichiamo la stima (5.1 ad una palla arbitraria B (x 0 tenendo conto che ω( [a ij ] α α per qualche i, j, e otteniamo così B r(x 0 D u (D u r c(ν 0, k 0 B (x 0 c(ν 0, k 0 ( ( r N D u (D u B (x 0 f f α D u B (x 0 ( r N [D u] α αn [f] α αn D u αn, r <. (5.14

12 80 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Dalla disuguaglianza precedente con = pr, p > 1 si ottiene D u (D u r c(ν 0, k 0 r Nα( p α [D u] α p Nα [f] α B r (x 0 e quindi 1 r Nα B r(x 0 D u p Nα D u (D u r c(ν 0, k 0 ( p α [D u] α p Nα [f] α D u p Nα. Prendendo ora l estremo superiore su tutti gli r > 0 e x 0 N e usando il Teorema otteniamo [D u] α c(ν 0, k 0, α ( p α [D u] α p Nα [f] α D u p Nα. Scegliendo p grande abbastanza affinchè c(ν 0, k 0, αp α = 1 abbiamo infine [D u] α c(ν 0, k 0, α ( [f] α D u. Veniamo al caso generale in cui b i, c i non sono necessariamente nulli. Applicando l ultima stima ottenuta all operatore A 0 u = N a ijd ij u si ha [D u] α c(ν 0, k 0, α ( [A 0 u] α D u ( = c(ν 0, k 0, α [Au b i D i u cu] α D u c(ν 0, k 0, α ( [Au] α u 1,α D u. icordando la stima interpolativa ε,α c ε (vedi Corollario 4..5, otteniamo u,α = u u D u [D u] α c(ν 0, k 0, α ([Au] α u,0 c(ν 0, k 0, α ([Au] α ε u,α c ε u. Per avere la tesi, basta ora scegliere ε > 0 tale che c(ν 0, k 0, αε = 1, così che risulta u,α c(ν 0, k 0, α([au] α u. Al fine di applicare il metodo di continuità, come anticipato, è necessario eliminare il termine u dalla stima (5.13. Ciò è possibile a patto di richiedere una restrizione sul segno del coefficiente di ordine zero. In tal caso, infatti, vale il principio del massimo

13 5.4 Stime di Schauder in N. isolubilità 81 Corollario 5.4. Siano c 0 e λ > 0. Allora esiste c = c(ν 0, k 0, α, λ > 0 tale che per ogni u C,α ( N si ha u,α c(ν 0, k 0, α, λ (λ Au α. (5.15 DIM. Applicando la stima (5.13 e le stime interpolative del Corollario 4..5 risulta u,α c(ν 0, k 0, α ( Au α u c(ν 0, k 0, α ( (λ Au α λ u α u c(ν 0, k 0, α ( (λ Au α λε u,α λc ε u u per ogni u C,α ( N e ε > 0. Scegliamo ε tale che λ ε c(ν 0, k 0, α = 1, raccogliamo a primo membro e per la Proposizione otteniamo u,α c(ν 0, k 0, λ, α ( (λ Au α u ( c(ν 0, k 0, λ, α (λ Au α 1 λ (λ Au c(ν 0, k 0, λ, α (λ Au α. Per applicare il metodo di continuità occorre ora provare la suriettività di un operatore modello. Nel teorema seguente si vede che tale operatore è dato da λ. Osserviamo che la scelta di non è utile poichè l equazione u = f con f C b ( N non ammette soluzioni limitate in N. Basti pensare per esempio al caso unidimensionale u = 1. Teorema Per ogni f C 0,α ( N esiste un unica u C,α ( N tale che (λ u = f, λ > 0. DIM. L unicità segue dal Corollario Proviamo l esistenza. Supponiamo dapprima f C 0 ( N. Applicando la trasformata di Fourier all equazione otteniamo λû(ξ ξ û = ˆf S( N dove S( N ˆf è la classe di Schwartz. Ne segue che û = λ ξ S( N. Quindi esiste u = (û S( N tale che (λ u = f. Sia ora f C 0,α ( N con suppf B (0. Fissiamo φ C0 ( N tale che φ 0, φ = 1, supp φ B N 1 (0. Posto f ε = φ ε f, risulta che f ε C0 ( N e f ε f uniformemente in N. Inoltre è facile verificare che [f ε ] α [f] α, f ε f. Per ogni ε sia u ε S( N soluzione di (λ u ε = f ε. Applicando il Corollario 5.4. vale u ε,α c(α, λ f ε α c(α, λ f α.

14 8 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Prendendo ε = 1 n, si ha u n,α c(α, λ f α. (5.16 Applicando il Teorema di Ascoli-Arzelà (vedi Esercizio si trovano una sottosuccessione (u nk (u n ed una funzione u C ( N tali che u nk converge a u uniformemente sui compatti fino alle derivate seconde. Passando al limite per k nella stima (5.16 si vede che u,α c(α, λ f α per cui di fatto u C,α ( N. A questo punto, passando puntualmente al limite per k nell equazione (λ u nk (x = f nk (x otteniamo che (λ u(x = f(x per ogni x N, cioè u è soluzione. Sia f C 0,α ( N. Fissiamo φ C 0 ( N tale che 0 φ 1, φ 1 in B 1 (0 e suppφ B (0. Poniamo f n (x = f(xφ ( x n = f(xφn (x. Allora f n (x f(x, suppf n B n (0 f n f x N [f n ] α f [φ n ] α [f] α φ n C f α poichè [φ n ] α n α [φ] α [φ] α. Per ogni n, sia u n C,α ( N tale che (λ u n = f n. Per le stime di Schauder risulta u n,α c(α, λ f n α c(α, λ f α. A questo punto, la conclusione segue applicando lo stesso argomento di compattezza di prima. Arriviamo finalmente al teorema di esistenza per un operatore arbitrario. Teorema (Esistenza Supponiamo c 0, λ > 0. Allora per ogni f C 0,α ( N esiste un unica u C,α ( N tale che λu Au = f. DIM. Con la notazione del Teorema 5.1.3, poniamo L 0 = λ, L 1 = λ A L t = (1 t(λ t(λ A = λ [(1 t ta]. Applicando il Corollario 5.4. per l operatore A t = (1 t ta si ha u,α c L t u α, u C,α ( N con c indipendente da t (cf Teorema I Teoremi e implicano la tesi.

15 5.4 Stime di Schauder in N. isolubilità 83 Definiamo u = (λ A 1 f = (λ, Af per λ > 0 e f C 0,α ( N. Allora (λ A 1 : C 0,α ( N C,α ( N C 0,α ( N. La stima del Corollario 5.4. implica che (λ A 1 f,α c(ν 0, k 0, α, λ f α da cui segue (λ A 1 C 0,α C,α c(ν 0, k 0, α, λ. Nella proposizione che segue rendiamo esplicita la dipendenza da λ. Proposizione Supponiamo che c 0 e λ > 0. Allora per ogni f C 0,α ( N risulta (i (λ A 1 f f λ ; (ii (λ A 1 f,α c(ν 0, k 0, αλ α f α (λ 1. DIM. (i è stato già provato nella Proposizione Per provare (ii, usiamo le stime di Schauder del Corollario 5.4. con λ = 1 e otteniamo u,α c(ν 0, k 0, α u Au α c(ν 0, k 0, α ( λ 0 u Au α λ 0 u α con λ 1. Siccome u α c(α u α α,α u α ( u,α c(ν 0, k 0, α λu Au α λ u α α,α ε u c(ν 0, k 0, α (Teorema 4..3 risulta α 1 ε ( λu Au α λ u,α ε α α λ u ε α (5.17. Scegliendo ε = η α α λ α α, l ultimo membro della disuguaglianza precedente diventa c(ν 0, k 0, α ( λu Au α η u,α u c(ηλ 1 α. Prendiamo η in modo che η c(ν 0, k 0, α = 1 e raccogliendo tutto a primo membro otteniamo u,α c(ν 0, k 0, α ( λu Au α λ α u c(ν 0, k 0, α ( λu Au α λ α λu Au c(ν 0, k 0, αλ α λu Au α, avendo applicato anche la Proposizione

16 84 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Corollario Sia r α. Allora per ogni f C 0,α ( N risulta (λ A 1 f r c(ν 0, k 0, αλ r 1 f α, λ 1. In particolare (λ A 1 f α c(ν 0, k 0, αλ α 1 f α (r = α (λ A 1 f 1α c(ν 0, k 0, αλ α 1 f α (r = 1 α DIM. Poichè C r ( N J r (C α b( N, C,α ( N dal Teorema 4..3, si ha che (λ A 1 f r c ( (λ A 1 f r α α (λ A 1 f 1 r α e applicando la proposizione precedente possiamo ancora maggiorare con ( c f α λ α r α λ α r α = c f α λ r STIME DI SCHAUDE IN N Stabiliamo la notazione che useremo nel corso di tutta questa sezione. N = {x = (x, x N N 1 = N : x N > 0} T = {x N : x N = 0} = N N 1 C 0,α 0 ( N = {u C 0,α ( N : u(x, 0 = 0, x N 1 } C,α 0 ( N = {u C,α ( N : u C 0,α 0 ( N } (x 0 = {x B (x 0 : x N > 0} x 0 N 1, > 0. Infine, ricordiamo che avevamo indicato con HT 1 (B la chiusura nella norma H 1 delle funzioni u C ( nulle in in intorno di T (cioè nulle solo vicino al bordo piatto di (Definizione..18. Anche nel caso del semispazio, seguiremo il seguente programma: - provare stime di Schauder in C,α 0 ( N (prescrivendo quindi dei valori al bordo; - provare l esistenza della soluzione del problema di Dirichlet per l operatore λ ; - dedurre mediante il metodo di continuità l esistenza della soluzione del problema di Dirichlet per un operatore qualunque.

17 5.5 Stime di Schauder in N 85 Come al solito, l operatore che prendiamo in considerazione è il seguente Au = a ij D ij u b i D i u cu con a ij, b i, c C 0,α ( N, ν 0 > 0 costante di ellitticità. Supponiamo che tutti i coefficienti abbiano norma limitata da una certa costante k 0 > 0. Il nostro obiettivo è il seguente teorema. Teorema (Stime di Schauder in N Esiste una costante C > 0 che dipende da ν 0 e k 0 tale che per ogni u C,α 0 ( N risulta u,α C ([Au] α u. (5.18 Prima di dimostrare il teorema appena enunciato, vediamo quando nella stima (5.18 si può eliminare il termine u per avere le stime che servono per far funzionare il metodo di continuità. Anche in questo caso occorre un principio del massimo. Corollario 5.5. Se c 0 e λ > 0 allora esiste una costante C = C(ν 0, k 0, λ > 0 tale che per ogni u C,α 0 ( N vale u,α C (λ Au α. DIM. Per il Teorema 5.5.1, se u C,α 0 ( N, si ha u,α c(ν 0, k 0 ([Au] α u c(ν 0, k 0 ( λu Au α λ u α u. Usiamo ora la stima interpolativa λ u α ε u,α c ε u con ε tale che εc(ν 0, k 0 = 1, e otteniamo u,α c(ν 0, k 0, λ ( λu Au α u. Da qui concludiamo grazie al Teorema Affrontiamo il secondo punto del nostro programma. Teorema Sia λ > 0. Per ogni f C 0,α ( N esiste un unica u C,α 0 ( N tale che λu u = f. DIM. L unicità discende come sempre dal principio del massimo Supponiamo f C0 ( N. Siccome in particolare f L ( N possiamo ricondurci alla teoria L del secondo capitolo. La forma quadratica associata all operatore λ è a(u, v = λ uv u v. N N

18 86 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet isulta a(u, u = λ u u, N N sicchè a è coerciva su H0 1 ( N. Per il Teorema di Lax-Milgram esiste un unica u H0 1 ( N tale che λu u = f. Data la regolarità di f, u Cb (N (vedi Corollario..14, e quindi in particolare u C,α 0 ( N. Prendiamo ora f C 0,α ( N con suppf. Estendiamo f ad una funzione pari in N, definendo f(x, x N = { f(x, x N se x N 0 f(x, x N se x N < 0 Si verifica facilmente che f C 0,α ( N f C 0,α ( N. egolarizziamo f, prendendo come funzioni approssimanti f ε = f φ ε, dove (φ ε è una successione di mollificatori. Allora f ε f uniformemente in N e f ε C 0,α ( N f C 0,α ( N f C 0,α ( N. Per ogni ε > 0, sia u ε C,α 0 ( N la soluzione del problema { λuε u ε = f ε in N u ε = 0 su N 1 (5.19 costruita al passo precedente. Il Corollario 5.5. implica u ε,α c(λ f ε α c(λ f α. (5.0 Discretizzando ε e usando il Teorema di Ascoli-Arzelà si trovano una successione (u n ed una funzione u tale che u n u uniformemente sui compatti di N insieme alle derivate prime e seconde. Passando al limite prima nella disuguaglianza (5.0 e poi nel problema (5.19 si ha rispettivamente che u,α c(λ f α, per cui u C,α ( N, e { λu u = f in N u = 0 su N 1 Infine, se f C 0,α ( N, consideriamo la successione f n (x = f(xφ ( x n, dove φ C 0 ( N, suppφ B (0, φ 1 su B 1 (0, 0 φ 1. Osservando che f n α c f α, c indipendente da n, risolviamo il problema di Dirichlet relativo ad ogni f n. Dalla successione delle soluzioni, con lo stesso argomento di compattezza visto prima, estraiamo una sottosuccessione che converge alla soluzione del problema relativo a f in N. Parallelamente al caso di N deduciamo a questo punto la risolubilità del problema di Dirichlet per un operatore qualunque e le stime sul risolvente. Le dimostrazioni sono le stesse.

19 5.5 Stime di Schauder in N 87 Teorema Supponiamo c 0 e λ > 0. Allora per ogni f C 0,α ( N esiste un unica u C,α 0 ( N tale che λu Au = f. Proposizione Nelle stesse ipotesi del teorema precedente valgono le seguenti stime (i (λ A 1 f 1 λ f 1 λ f α (ii (λ A 1 f,α c(ν 0, k 0 λ α f α, λ 1 (iii (λ A 1 f r c(ν 0, k 0 λ r 1 f α λ 1, 0 r α, per ogni f C 0,α ( N. imangono da provare le stime di Schauder. Per questo, ripercorriamo con le dovute modifiche le tappe del caso N andando a considerare dapprima un operatore puro del secondo ordine a coefficienti costanti, poi variabili fino a prendere un operatore completo. Osservazione Se Ω è un aperto di classe C 1 e u W 1,p (Ω C(Ω, 1 p <, sono equivalenti (i u = 0 su Ω; (ii u W 1,p 0 (Ω. (cioè per funzioni continue l appartenenza a W 1,p 0 (Ω si traduce nell annullamento in senso classico su Ω. Consideriamo l operatore con le ipotesi Au = a ij D ij u a ij, a ij M 0, ν 0 > 0. Supponiamo che u HT 1 (B sia soluzione debole dell equazione Au = 0, cioè a ij D i ud j φ = 0, φ H0 1 (. Allora per il Corollario..5 u C (B r per ogni r <, e quindi, per l Osservazione 5.5.6, u(x, 0 = 0. Anche per le derivate tangenziali (i = 1,...N 1 risulta D i u(x, 0 = 0, x N 1.

20 88 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Inoltre, per ogni multiindice α vale a ij D ij (D α u = 0. ispetto al caso N in N abbiamo una complicazione poichè, derivando, l equazione continua ad essere soddisfatta mentre la condizione al bordo viene preservata solo dalle derivate tangenziali. Per superare questa difficoltà, come già visto per la regolarità L, otterremo per le derivate tangenziali le stime necessarie e per quella normale useremo l equazione. Teorema (Disuguaglianza di Caccioppoli Sia u HT 1 (B soluzione debole dell equazione N a ijd ij u = 0. Allora esiste una costante c = c(ν 0, M 0 tale che per ogni r < B r u c ( r u. (5.1 DIM. Sia η C 0 (B tale che 0 η 1, η 1 su B r e η L r. Per ipotesi N B i,j a ijd i ud j φ = 0 per ogni φ H0 1 (. Scegliendo φ = η u H0 1 ( (perchè u H1 T (B, otteniamo 0 = a ij D i u(η D j u ηud j η da cui η N a ij D i ud j u = (a ij η D i u(d j η u. Per l uniforme ellitticità dell operatore e per la disuguaglianza di Cauchy- Schwartz risulta poi e quindi ν 0 η u c(m 0 ( u η 1 ( ( 1 ( 1 ν 0 η u c(m 0L u B r da cui segue la tesi ricordando che η 1 su B r. η u 1

21 5.5 Stime di Schauder in N 89 Nel caso di N per iterare la disuguaglianza di Caccioppoli bastava applicare l analoga di (5.1 alle derivate superiori di u. Qui, come già detto, le derivate superiori in generale soddisfano la stessa equazione soddisfatta da u ma non la condizione al bordo. Lemma Sia u HT 1 (B soluzione di Au = 0. Allora esiste una costante c = c(ν 0, M 0, k tale che per ogni r < D k u c ( r k u. (5. B r DIM. Procediamo per induzione su k. Il caso k = 1 è la disuguaglianza di Caccioppoli provata nel teorema precedente. Supponiamo la tesi vera per k e proviamo che vale per k1. Fissiamo i {1,,, N 1} e consideriamo la derivata tangenziale D i u. Allora A(D i u = 0 e D i u H 1 T ( <. Applichiamo l ipotesi induttiva a D i u e la disuguaglianza di Caccioppoli a u e otteniamo D k D i u c(ν 0, M 0, k B r ( r k D i u c(ν 0, M 0, k u ( r (k1 r con 1 k N, 1 i N 1. L unica derivata che rimane da stimare è D k1 N (derivata di ordine k 1 unicamente rispetto all ultima variabile. Deriviamo k 1 volte rispetto x N l equazione Au = 0 e abbiamo D k1 N u = 1 a NN (i,j (N,N a ij D ij (D k 1 N u, da cui concludiamo, dato che tutte le derivate che compaiono a secondo membro sono state già stimate. Osservazione Nella notazione del Lemma 5.5.8, se k > N, grazie alle immersioni di Sobolev si ha D u L (B r c(r D u H k (B r C(ν 0, M 0, k, r, u L ( (5.3 per ogni r <. Il seguente lemma è simile alla disuguaglianza di Poincarè. Lemma Sia u HT 1 (B. Allora u D N u.

22 90 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet DIM. Per densità, basta dimostrare la tesi per u C 1 ( tale che u(x, 0 = 0. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scrivere u(x, x N u(x, 0 = xn e per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz u(x, x N x N xn 0 0 D N u(x, sds, x D N u(x, s ds D N u(x, s ds. 0 Integrando tra 0 e x rispetto a x N si ha x x u(x, x N dx N D N u(x, s ds. 0 Integrando quindi su x otteniamo x x dx u(x, x N dx N 0 x cioè, per il Teorema di Fubini u che è proprio la tesi. 0 x dx D N u(x, s ds 0 D N u L importanza dei teoremi che stiamo provando non riguarda la regolarità delle soluzioni, perchè per equazioni a coefficienti costanti abbiamo a disposizione la teoria variazionale, che risponde completamente al problema. Ci occorrono invece stime esplicite che estenderemo poi alle equazioni a coefficienti non costanti, per le quali l approccio variazionale non è possibile sotto le ipotesi assunte. Teorema Sia u H ( H1 T (B soluzione di N a ijd ij u = 0. Allora esiste una costante c = c(ν 0, M 0 > 0 tale che per ogni r < B r ( r N D u (D u r c D u λ (5.4 per ogni matrice λ = (λ ij, dove (D u indica la matrice Hessiana di u.

23 5.5 Stime di Schauder in N 91 DIM. Prendiamo = 1, r 1. Consideriamo dapprima derivate tangenziali, quindi sia j {1,,, N 1}. Definiamo v = D j u x N λ jn H 1 T (. Vale che D i v = D ij u se i < N Pertanto Av = 0 e inoltre D N v = D jn u λ jn D hi v = D hi (D j u. D i v (D i v r = D ij u (D ij u r. Applicando a v nell ordine la disuguaglianza di Poincarè, la stima (5.3 e il Lemma otteniamo v ( v r c r D v c r N sup D v B r B r B r c(ν 0, M 0 r N v B 1 c(ν 0, M 0 r N B 1 D N v. iscrivendo tale disuguaglianza in termini di u abbiamo D ij u (D ij u r c(ν 0, M 0 r N D jn u λ jn B r c(ν 0, M 0 r N B 1 B 1 D u λ (5.5 per j < N, 1 i N. imane ancora una volta da stimare D NN u. Dall equazione N a ijd ij u = 0 ricaviamo e quindi D NN u = 1 a NN (D NN u r = 1 a NN D NN u (D NN u r = 1 a NN (i,j (N,N (i,j (N,N (i,j (N,N a ij D ij u, a ij (D ij u r a ij (D ij u (D ij u r.

24 9 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Usando (5.5, otteniamo D u (D u r c(ν 0, M 0 r N B r B 1 D u λ così la tesi è completamente provata se r 1 e = 1. Se r 1 ed = 1 risulta D u (D u r D u λ N r N B r B r D u λ. Per avere la tesi nel caso generale ricorriamo come sempre a un cambiamento di variabili: poniamo v(x = u(x per x 1, applichiamo la disuguaglianza appena dimostrata alla funzione v con r = r e infine cambiamo di nuovo variabile. Osservazione Consideriamo il problema a ij D ij u = f in u = 0 su con f L (. Sappiamo che il metodo variazionale fornisce un unica soluzione u H ( H1 0 ( per la quale vale la stima u H ( c(ν 0, M 0, ( f L (B u H 1(B c(ν 0, M 0, f L (. In particolare D u L ( c(ν 0, M 0, f L (. (5.6 Con la stessa dimostrazione del caso dell intera palla (vedi (5.8, si prova che nella (5.6 la costante c non dipende da. Passiamo a considerare il problema non omogeneo. Teorema Sia u H ( H1 T (B soluzione dell equazione a ij D ij u = f, con f L (. Allora esiste una costante c = c(ν 0, M 0 > 0 tale che per ogni r < ( ( r N D u (D u r c D u (D u f f. B r (5.7

25 5.5 Stime di Schauder in N 93 DIM. Introduciamo la funzione ausiliaria z(x = u(x x N a NN f H ( HT 1 (B. isulta D ij z = D ij u (i, j (N, N, D NN z = D NN u f a NN e quindi D ij z (D ij z r = D ij u (D ij u r e a ij D ij z = = (i,j (N,N a ij D ij u a NN D NN u a NN a ij D ij u f = f f. f a NN Scriviamo z = vw dove w H ( H1 0 ( è la soluzione variazionale dell equazione N a ijd ij w = f f e v = z w H ( H1 T (B per differenza risolve l equazione omogenea. Sappiamo, per l Osservazione 5.5.1, che D w L ( c(ν 0, M 0 f f L ( e per il Teorema che B r ( r N D v (D v r c(ν 0, M 0 D v (D v. Inoltre e B r D w (D w r D w D w B r c(ν 0, M 0 f f D v (D v D z (D z D w (D w = D u (D u D w (D w.

26 94 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet In conclusione D u (D u r = B r = B r B r B r D z (D z r D v (D v r D w (D w r D v (D v r D w (D w r ( ( r N c(ν 0, M 0 D u (D u f f. B r Passiamo a considerare adesso il caso dei coefficienti variabili. Supponiamo che i coefficienti a ij del nostro operatore siano funzioni uniformemente continue e poniamo ω(δ = max i,j ω(a ij, δ, M 0 = max i,j a ij. Sia u H ( H1 T (B tale che Au = a ij D ij u = f. Consideriamo la semipalla centrata nel punto x 0 N 1. Possiamo allora scrivere a ij (x 0 D ij u = f (a ij (x 0 a ij (x D ij u := F e applicando la disuguaglianza (5.7 otteniamo ( ( r N D u (D u r c(ν 0, M 0 D u (D u B r F F. Siccome F F F f f f (a ij (x 0 a ij (x D ij u f f ω ( D u

27 5.5 Stime di Schauder in N 95 otteniamo in definitiva ( ( r N D u (D u r c(ν 0, M 0 D u (D u B r f f ω ( D u.(5.8 Abbiamo a questo punto tutti gli strumenti per dimostrare il Teorema Prendiamo dunque un operatore completo A = a ij D ij b i D i c con coefficienti α-hölderiani in N (0 < α < 1. Siano ν 0 la costante di ellitticità e k 0 tale che a ij α, b i α, c α k 0. DIMOSTAZIONE DEL TEOEMA Supponiamo dapprima b i c 0. Sia u C,α 0 ( N. Il nostro obiettivo è provare una stima del tipo D u (D u r c r Nα ([Au] α u Ω(x 0,r (usando la caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane dove Ω(x 0, r = B r (x 0 N. Sia r <, sicchè Ω(x 0, r Ω(x 0,. Esaminiamo separatamente vari casi. Primo caso: x 0 N 1. In queste ipotesi Ω(x 0, r = B r (x 0 e possiamo applicare la stima (5.8. Allora ( ( r N D u (D u r c(ν 0, k 0 [D u] α Nα [f] α Nα B r D u Nα, dove f = a ij D ij u. Secondo caso: B (x 0 N.

28 96 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Questa volta Ω(x 0, r = B r e per la stima (5.1 risulta ( ( r N D u (D u r c(ν 0, k 0 D u (D u B r B f f ω ( D u B B ( ( r N c(ν 0, k 0 [D u] α Nα [f] α Nα D u Nα. (5.9 Terzo caso: B (x 0 N e x N 0 < r (x 0 = (x 0, x N 0. Consideriamo B r (x 0, la semipalla di raggio r centrata in (x 0, 0. Siccome questa contiene Ω(x 0, r risulta D u (D u Ω(x0,r D u (D u B (x 0,r Ω(x 0,r Ω(x 0,r B (x 0,r D u (D u B (x 0,r e a questo punto siamo nella stessa situazione del primo caso: possiamo riscrivere la stessa stima con al posto di e r al posto di r. Quarto caso: B (x 0 N e r < x N 0 <. Consideriamo la palla B = B (x 0 centrata nel punto x 0 e di raggio = x N 0. Utilizzando i casi già discussi, usiamo la stima (5.1 tra B r (x 0 e B, quindi la stima del passo 3 tra B e B (x 0, infine la stima (5.8 tra B (x 0 e B (x 0 per ottenere In definitiva, abbiamo provato che per ogni r < ( ( r N D u (D u Ω(x0,r c(ν 0, k 0 [D u] Ω(x 0,r α Nα [f] α Nα D u Nα Ponendo = pr con p > 1, otteniamo 1 r Nα D u (D u Ω(x0,r c(ν 0, k 0 ( p α [D u] α Ω(x 0,r Prendendo il sup su r > 0 e x 0 N otteniamo [f] αp Nα D u p Nα [D u] α c(ν 0, k 0, α ( p α [D u] α [f] αp Nα D u p Nα per ogni p > 1. Scegliamo ora p sufficientemente grande affinchè c(ν 0, k 0, α p α = 1. Ciò implica che [D u] α c(ν 0, k 0, α ( [f] α D u.

29 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 97 Passiamo ora al caso generale in cui sono presenti i coefficienti b i e c. Ponendo A 0 u = N a ijd ij u e tenendo conto della prima parte risulta da cui [D u] α c(ν 0, k 0, α ( [A 0 u] α D u c(ν 0, k 0, α ( [Au] α u 1,α D u u,α c(ν 0, k 0, α ([Au] α u. Usiamo la stima interpolativa u ε u,α c ε u (Teorema 4..3, scegliamo ε tale che εc(ν 0, k 0, α = 1 e raccogliamo infine tutto a primo membro per avere la stima dell enunciato. 5.6 STIME DI SCHAUDE IN UN APETO LIMITATO EGOLAE Consideriamo un aperto limitato Ω con bordo C,α (0 < α < 1 e come sempre l operatore uniformemente ellittico A = a ij D ij b i D i c (5.30 avente i coefficienti α-hölderiani in Ω. Supponiamo Definiamo a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0. C,α 0 (Ω = { u C,α (Ω u = 0 su Ω }. Vogliamo estendere i coefficienti dell operatore A in tutto N in modo che le estensioni risultino di classe C 0,α ( N e il nuovo operatore sia ancora uniformemente ellittico. Se Ω = B, allora possiamo definire estensioni radiali ponendo { aij (x ( se x ã ij (x = x a ij x se x >. Analogamente per b i e c. Si verifica facilmente che le norme hölderiane al più raddoppiano e che la costante di ellitticità ν 0 rimane invariata. Se Ω =, mediante una riflessione possiamo ricondurci in B e da qui di nuovo con un estensione radiale costruiamo dei coefficienti definiti in tutto N. Anche in tal caso è facile verificare che le norme hölderiane e la costante ν 0 si modificano al più per fattori moltiplicativi.

30 98 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Pertanto se u C,α (B e suppu B r con r <, allora di fatto u C,α ( N e applicando le stime di Schauder in tutto N possiamo scrivere u,α,b = u,α, N ( Ãu c(ν 0, k 0, α α, N u, N (5.31 = c(ν 0, k 0, α ( Au α,b u,b dove à è l operatore avente per coefficienti ã ij, b i, c. E facile così dedurre stime di Schauder in una palla a partire da quelle in N, ma per una classe di funzioni molto più piccola di C,α 0 (B, dato che le funzioni considerate si annullano al bordo insieme alle derivate prime e seconde, proprietà questa che in generale non è verificata da una qualunque funzione di C,α 0 (B. Analogamente se u C,α ( è tale che u = 0 su B N 1 e suppu B r con r < allora u C,α 0 ( N e possiamo usare le stime di Schauder nel semispazio con l operatore à per avere ( u,α,b c(ν 0, k 0, α Au α,b u,b. (5.3 Queste stime, che non sono ancora sufficienti per i nostri scopi, ci permetteranno di far funzionare il metodo delle carte locali. Consideriamo Ω e Λ aperti limitati di N. Sia H : Λ Ω una trasformazione bigettiva di classe C,α con inversa J : Ω Λ di classe C,α tale che H( Λ = Ω. Data u C,α (Ω definiamo v(y = u(h(y, y Λ. Allora v C,α (Λ e se u si annulla su Ω v si annulla su Λ. Dunque è ben definita la seguente applicazione M : C,α 0 (Ω C,α 0 (Λ, u Mu = v (5.33 con (M u(y = u(h(y. Si può facilmente verificare che M è lineare, limitata e invertibile con inversa data da Consideriamo l operatore Au(x = M 1 : C,α 0 (Λ C,α 0 (Ω (M 1 v(x = v(jx a ij (xd ij u(x b i (xd i u(x c(xu(x

31 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 99 definito in Ω. Se u(x = v(jx, si ottiene facendo un calcolo esplicito e ponendo y = Jx dove Au(x = Ãv(y = N h,k=1 α hk (yd yh y k v(y β k D yk v(y γ(yv(y k=1 α hk (y = N a ij(h(yd xj J h (H(yD xi J k (H(y, β k (y = N a ij(h(yd xix j J k (H(y N b i(h(yj k (H(y, γ(y = c(h(y. Le ipotesi relative al cambio di variabile assicurano che α hk, β k, γ C 0,α (Γ. (5.34 Inoltre k 0 c 1 (J k 0 ν 0 c (J ν 0 dove c 1 (J e c (J dipendono solo dal cambio di variabile fissato (e quindi dall aperto e non dall operatore A. Osserviamo infine che nella notazione introdotta si ha Au(x = Ãv(Jx cioè Au = M 1 ÃMu. Teorema (Stime di Schauder in Ω Sia Ω un aperto limitato di classe C,α. Allora esiste una costante c = c(ν 0, k 0, Ω > 0 tale che per ogni u C,α 0 (Ω si ha u,α c(ν 0, k 0, Ω ( Au α u. (5.35 DIM. Per ogni x Ω esiste una carta locale (U x, H x con H x : B 1 U x di classe C,α, H 1 x = J x : U x B 1 di classe C,α, H x (B 1 = U x Ω. Poniamo V x = H x (B 1. Per ogni x Ω esiste B x (x Ω. Per compattezza si ha Ω n 1 B i (x i n j=1 V xj. Posto n = n 1 n, prendiamo (η i,,,n partizione dell unità relativa al ricoprimento ottenuto. Allora u = n η i u e quindi u,α n η i u,α.

32 100 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Se i n 1 allora η i u C,α (B xi (x i e supp(η i u B xi (x i. Applicando (5.31 otteniamo η i u,α,ω = η i u,α,b x (x i ( i c(ν 0, k 0, α A(η i u α,b x (x i i η i u,b x (x i i c(ν 0, k 0, α ( A(η i u α,ω u,ω c(ν 0, k 0, α, Ω ( Au α u. (5.36 Sia adesso n 1 1 i n. Operiamo il seguente cambio di variabile v i (y := (η i u(h i (y = M i (η i u(y e osserviamo che v i C,α T (B 1 e supp(η iu V i = H i (B 1. Pertanto possiamo applicare (5.3 a v i e avere ( v i,α,b c(ν 0, k 0, H i Ãv i 1 α,b v i 1 c(ν 0, k 0, H i ( A(η i u α,uxi η i u da cui segue Sommando su i = 1,, n c(ν 0, k 0, H i ( A(η i u α,ω u η i u,α,ω c(ν 0, k 0, Ω ( Au α u. u,α,ω c(ν 0, k 0, Ω ( Au α u. Concludiamo la dimostrazione applicando la disuguaglianza interpolativa u ε u,α c ε u e scegliendo ε tale che εc(ν 0, k 0, Ω = 1. Osservazione 5.6. icordiamo che il nostro obiettivo è risolvere il problema { Au = f in Ω u = 0 su Ω Se c 0, allora il principio del massimo in un aperto limitato assicura l unicità della soluzione nella classe C (Ω C(Ω. Come sempre, la parte più laboriosa è quella relativa all esistenza. Corollario Nelle ipotesi del Teorema e se c 0 risulta per ogni u C,α 0 (Ω. u,α c(ν 0, k 0, Ω Au α, DIM. Basta usare il Teorema e la Proposizione

33 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 101 Possiamo ora dimostrare il teorema di esistenza per la soluzione del problema di Dirichlet per un operatore generale in un aperto limitato regolare. Teorema (Esistenza Sia Ω un aperto limitato con bordo di classe C,α. Allora per ogni f C 0,α (Ω esiste un unica u C,α 0 (Ω tale che Au = f. DIM. Per ogni x Ω esiste una carta locale (U x, H x con H x : B 1 U x di classe C,α, H 1 x = J x : U x B 1 di classe C,α, H x (B 1 = U x Ω. Poniamo V x = H x (B 1. Per ogni x Ω sia B x (x Ω. Per compattezza possiamo estrarre un sottoricoprimento finito per Ω Ω n 1 B i (x i n j=1 V xj. (5.37 Poniamo n = n 1 n e prendiamo (ηi,,,n partizione dell unità relativa a tale ricoprimento. n Sia f C 0,α (Ω. Allora possiamo scrivere f = ηi f. Fissiamo λ > 0. Se i N 1 allora η i f C 0,α ( N, supp(η i f B xi (x i. Estendiamo radialmente l operatore A dalla palla B xi (x i a tutto N e indichiamo con (λ il risolvente dell operatore così ottenuto. Osserviamo che (λ : C 0,α ( N C,α ( N. Poniamo e notiamo che Inoltre i (λf := η i (λ(η i f i (λ : C 0,α (Ω C,α (Ω e supp i (λf B i (x i. (λ A i (λf = (λ Aη i (λ(η i f = η i (λ A(λ(η i f [λ A, η i I](λ(η i f = η i f S i (λf dove [, ] indica il commutatore e per definizione S i (λf = [λ A, η i I](λ(η i f. Cerchiamo di stimare quest ultimo operatore. E immediato verificare che [λ A, η i I] = [A, η i I]. Inoltre [A, η i I]g = A(η i g η i (Ag = B i g

34 10 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet dove B i è un operatore differenziale al più del primo ordine i cui coefficienti dipendono da quelli di A e dalla funzione η i. Ne segue che [A, η i I]g α c(k 0, η i g 1,α e quindi, prendendo g = (λ(η i f e applicando il Corollario otteniamo S i (λf α c(k 0, η i (λ(η i f 1,α se λ 1. Sia ora n 1 1 i n. Poniamo c(k 0, η i λ α 1 ηi f α (5.38 c(k 0, η i λ α 1 f α v(y = (η i f(h i (y = M i (η i f(y dove M i è definito in (5.33. Allora v C 0,α (B 1 e suppv B 1. Indichiamo con à l operatore ottenuto effettuando il cambiamento di variabili dato da M i, cioè à = M iam 1 i. isulta ( i (λf := M 1 i M i (η i (λ à 1 M i (η i f C,α 0 ( N Inoltre (λ A i (λf = M 1 i = M 1 i M 1 i supp i (λf V xi. (λ ÃM im 1 i M i (η i (λ à 1 (M i (η i f (M i (η i M i (η i f ( [λ Ã, M i(η i ](λ à 1 (M i (η i f = ηi f S i (λf (5.39 ( dove ora S i (λ = M 1 i [λ Ã, M i(η i ](λ à 1 (M i (η i f. Come prima, se λ 1 applicando la Proposizione risulta A questo punto poniamo Osserviamo che S i (λf α c(ν 0, k 0, H i λ α 1 f α. (5.40 V (λ = (λ AV (λf = n i (λ : C 0,α (Ω C,α 0 (Ω. n ηi f n S i (λf = f n S i (λf

35 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 103 e quindi (λ AV (λ : C 0,α (Ω C 0,α (Ω e (λ AV (λ = I Ora, grazie a (5.38 e a (5.40 possiamo scegliere λ 0 tale che n S i (λ. n S i (λ 0 α 1 n. Ciò assicura che l operatore I S i (λ 0 è invertibile in C 0,α ( N con inverso W (λ 0 tale che W (λ 0. Inoltre siccome (λ 0 AV (λ 0 W (λ 0 = I su C 0,α (Ω e λ 0 A è iniettivo, risulta (λ 0 A 1 = V (λ 0 W (λ 0. Se 0 λ λ 0, le stime di Schauder per l operatore A λ forniscono una costante c = c(ν 0, k 0, λ 0, Ω > 0 tale che per ogni u C,α 0 (Ω si ha u,α c(ν 0, k 0, λ 0, Ω (λ Au α. (5.41 La stima (5.41 permette di applicare il metodo di continuità agli operatori L 0 = λ 0 A, L 1 = A e questo conclude la dimostrazione. Osservazione In N e in N abbiamo dimostrato per il risolvente di A la seguente stima (λ A 1 f r c(ν 0, k 0 λ r 1 f α, con λ 1 e 0 r α. La stessa continua a valere in un aperto Ω regolare. Infatti, nella notazione del teorema precedente, risulta (λ A 1 = (λ, A = V (λw (λ, con V (λ = n i(λ, dove i (λ è sostanzialmente il risolvente nello spazio o nel semispazio per il quale sappiamo che vale i (λg r c(ν 0, k 0, Ωλ r 1 g α e W (λ. Pertanto se f C 0,α (Ω, si ha (λ A 1 f r = V (λw (λf r c(ν 0, k 0, Ωλ r 1 W (λf r c(ν 0, k 0, Ωλ r 1 f α. 5.7 POBLEMA DI DIICHLET NON OMOGENEO In questa sezione supponiamo che c 0 e consideriamo il problema { Au = f in Ω u = g su Ω (5.4

36 104 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Se g C,α (Ω, ponendo v = u g si vede che { Av = Au Ag = f Ag in Ω v = 0 su Ω per cui risolvendo questo problema (e lo sappiamo fare si trova la soluzione di (5.4 semplicemente prendendo u = v g. Inoltre, abbiamo la stima v,α c f Ag α c ( f α Ag α c ( f α g,α. Tuttavia l ipotesi g C,α (Ω è abbastanza innaturale, nel senso che la regolarità richiesta è eccessiva. Per esempio nel caso particolare del Laplaciano { u = 0 in Ω u = g su Ω è sufficiente che g C( Ω. Vediamo allora come procedere nel caso generale. Per risolvere il problema (5.4 cerchiamo la soluzione nella forma u = v w, dove v e w devono soddisfare rispettivamente { Av = f in Ω v = 0 su Ω e { Aw = 0 in Ω w = g su Ω Il primo dei due problemi è quello che sappiamo già risolvere. Ci concentriamo dunque sul secondo. ichiamiamo per questo il Lemma Lemma Se u C (Ω C(Ω soddisfa Au 0 in Ω e u 0 su Ω, allora u 0 in Ω. Introduciamo l operatore di Green G : C,α (Ω C(Ω g G(g dove u = G(g è l unica soluzione classica del problema { Au = 0 in Ω u = g su Ω (5.43 G è ben posto per quanto osservato prima ed è lineare per l unicità della soluzione del problema (5.43. La seguente proposizione elenca altre proprietà di G. Proposizione 5.7. Siano g, g 1 e g C,α (Ω. Allora risulta (1 g 0 G(g 0;

37 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 105 ( g 1 g G(g 1 G(g ; (3 G(g g k, dove k = G(1. DIM. La dimostrazione del punto (1 segue dal lemma richiamato poco sopra osservando che, posto u = G(g, risulta Au = 0 e u = g 0 al bordo. ( segue dalla linearità di G e da (1. Per (3 si ha infine g 1 g(x g 1 g G(1 G(g g G(1 G(g g k Per il nostro obiettivo è utile il seguente teorema, che dimostreremo in seguito. Teorema (Stime di Schauder interne Sia 0 < α < 1. Consideriamo l operatore A = a ij D ij b i D i c definito in Ω aperto qualunque di N e tale che a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0 (non facciamo restrizioni sul segno di c. Allora per ogni Ω 0 Ω esiste una costante c = c(ν 0, k 0, α, dist(ω 0, Ω > 0 tale che per ogni u C,α (Ω risulta u,α,ω0 c(ν 0, k 0, α, Ω 0, Ω ( Au α,ω u,ω. (5.44 Proposizione Sia Ω di classe C,α e supponiamo c 0. Allora per ogni g C( Ω esiste un unica u C,α loc (Ω C(Ω tale che { Au = 0 in Ω u = g su Ω DIM. L unicità della soluzione segue dal principio del massimo Dimostriamo l esistenza. Siano g C( Ω e g C(Ω estensione di g. Consideriamo una successione (g n C,α (Ω tale che g n g uniformemente in Ω. Per ogni n, u n = G(g n C,α (Ω risolve { Aun = 0 in Ω u n = g n su Ω e si ha u n u m,ω = G(g n G(g m,ω k g n g m, Ω.

38 106 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Ne segue che u n converge a una funzione u C(Ω uniformemente in Ω e siccome u n Ω = g n risulta u Ω = g. Fissiamo Ω 0 Ω. Dal Teorema sappiamo che u n u m,α,ω0 c(ν 0, k 0, α, Ω 0, Ω ( Au n Au m α,ω u n u m,ω = c(ν 0, k 0, α, Ω 0, Ω u n u m,ω. Pertanto (u n è di Cauchy in C,α (Ω 0. Da ciò segue che u n u in C,α (Ω 0 e quindi u C,α (Ω 0. Data l arbitrarietà di Ω 0 risulta dunque u C,α loc (Ω. Infine passando al limite nell equazione Au n = 0 si ha che Au = 0. Passiamo ora a formulare un risultato di risolubilità per il problema (5.4. Teorema Sia Ω di classe C,α e supponiamo c 0. Per ogni g C( Ω e per ogni f C 0,α (Ω esiste un unica u C,α loc (Ω C(Ω tale che { Au = f in Ω u = g su Ω Le tecniche già impiegate permettono di provare alcuni risultati di regolarità locale. Corollario (i Se Ω è di classe C,α e u C (Ω C 0 (Ω è tale che Au C 0,α (Ω allora u C,α (Ω. (ii Sia Ω aperto qualsiasi: se u C (Ω e Au C 0,α loc (Ω allora u C,α loc (Ω. DIM. (i Poniamo f = Au C 0,α (Ω. Consideriamo il problema { Av = f in Ω v = 0 su Ω Sia v C,α 0 (Ω l unica soluzione. Per differenza u v C (Ω C 0 (Ω e A(u v = 0. Per unicità quindi u = v. (ii Consideriamo B Ω ed f = Au C 0,α (B. Il problema { Av = f in B v = u su B ammette un unica soluzione v C,α loc (B C(B, per il Teorema Pertanto la differenza u v appartiene a C,α (B C(B e risolve { A(u v = 0 in B (u v = 0 su B. Ne segue che u = v in B e quindi u C,α loc (B.

39 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 107 iprendiamo il Teorema di regolarità interna e diamo adesso la dimostrazione. Il passo fondamentale è nel seguente lemma. Lemma Sia 0 < α < 1. Consideriamo l operatore definito in B e tale che A = a ij D ij b i D i c a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0. Allora esiste una costante positiva C = C(ν 0, k 0, α, tale che per ogni u C,α (B risulta u C,α (B := u,α, C(ν 0, k 0, α, ( Au α, u,. (5.45 DIM. Sia u C,α (B. Definiamo la successione n = n j=0 j. Allora 0 =, = e n1 n = (n1. Sia η n C 0 ( N tale che 0 η n 1, η n 1 su B n := B n, suppη n B n1 e D k η n L k k(n1, per k = 1,, 3 e L > 0 indipendente da n. Applicando le stime di Schauder in N alla funzione η n u otteniamo η n u,α, N C(ν 0, k 0, α ( [A(η n u] α, N η n u, N. (5.46 Il commutatore [A, η n I]u = A(η n u η n Au è un operatore differenziale del primo ordine i cui coefficienti dipendono da quelli di A, dalla funzione η n e dalle sue derivate fino al secondo ordine. isulta pertanto [A, η n I]u α,n1 C(k 0 u 1,α,n1 η n,α. Applicando il teorema di Lagrange si ha poi η n,α η n n. Allora [A, η n I]u α,n1 C(k 0, 8 n u 1,α,n1. Analogamente [η n Au] α,n1 η n,n1 [Au] α,n1 [η n ] α,n1 Au,n1 [Au] α,n1 n C(k 0, u,n1. Quindi da (5.46 otteniamo η n u,α, N C(ν 0, k 0, α, ([Au] α,n1 8 n u,n1. (5.47

40 108 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Siccome C ( N J α (C,α ( N, C b ( N, si ha u,n1 η n1 u, N C(N η n1 u α η,α, N n1 u α α. Posto ϑ = α, si ha allora per ogni ε > 0 ( η n1 u, N C(N ε 1 ϑ ηn1 u,α, N ε 1 1 ϑ ηn1 u. La stima (5.47 allora fornisce ( η n u,α, N C(ν 0, k 0, α, Au α, 8 n ε 1 ϑ ηn1 u,α, N 8 n ε 1 1 ϑ u,. Scegliamo ε = ε(n > 0 t.c. C8 n ε 1 ϑ questa scelta C8 n ε 1 1 ϑ = C1 8 n 1 ϑ ξ ϑ ϑ 1 = ξ con ξ > 0 indipendente da n. Con e quindi η n u,α, N C Au α, ξ η n1 u,α, N C 1 8 n 1 ϑ ξ ϑ ϑ 1 u,. Prendendo ξ < 1 in modo tale che ϑ ξ < 1, moltiplicando l ultima stima per ξ n e sommando su n si vede che tutte le serie convergono e che ξ n η n u,α, N n=0 con C = C 1 ξ ϑ ϑ 1. Pertanto C 1 ξ Au α, C 1 ξ ϑ ξ n η n u,α, N n=1 u, u,α, η 0 u,α, N C 1 ξ Au C α, u 1 ξ 8 1,. 1 ϑ DIMOSTAZIONE DEL TEOEMA Siano u C,α (Ω e Ω 0 Ω. Poniamo d = dist(ω 0, Ω e sia < d. Con questa scelta, se x 0 Ω 0 allora B (x 0 Ω e applicando il lemma precedente abbiamo u,α,b (x 0 C(ν 0, k 0, α, ( Au α,b (x 0 u,b (x 0 C(ν 0, k 0, α, ( Au α,ω u,ω. Facendo variare x 0 Ω 0 con un numero finito di palle si ottiene la tesi.

41 5.8 Stime di Schauder di ordine superiore STIME DI SCHAUDE DI ODINE SUPEIOE Nelle sezioni precedenti abbiamo assunto che i coefficienti dell operatore A e il dato f fossero di classe C 0,α e abbiamo provato esistenza e unicità della soluzione dell equazione λu Au = f con condizioni di Dirichlet nella classe C,α. In questa sezione studiamo regolarità superiore della soluzione in presenza di maggiore regolarità dei coefficienti di A e di f. Come al solito A = a ij D ij b i D i c e sia ν 0 > 0 la costante di ellitticità uniforme. Il punto cruciale è costituito dalla seguente stima interna. Teorema Siano k N 0 e > 0 e assumiamo che a ij, b i, c C k,α (B con a ij k,α;b, b i k,α;b, c k,α;b k 0. Sia u C,α (B tale che Au = f C k,α (B. Allora u C k,α (B ed esiste C = C(ν 0, k 0, k, α, > 0 tale che u k,α;b C ( Au k,α;b u ;B. DIM. Per k = 0 il risultato segue dal Teorema Proviamolo per k = 1. Se r {1,..., N} e 0 < h < /4, introduciamo il quoziente differenziale di u nella direzione di e r definito da Siccome δ h,r u(x = u(x he r u(x. h a δ h,r (φu(x = φ(x he r δ h,r u(x δ h,r φ(xu(x, b δ h,r Du = Dδ h,r u, con Du generica derivata di u, se Au = f si verifica facilmente che v = δ h,r u soddisfa l equazione Av(x = δ h,r f(x (δ h,r a ij (xd ij u(x he r (δ h,r b i (xd i u(x he r (δ h,r c(xu(x he r = g(x. Siccome per ipotesi D r f C 0,α (B, dalla rappresentazione (δ h,r f(x = 1 h 1 0 d ds f(x hse rds = 1 0 (D r f(x hse r ds