Introduzione alla Fisica. Ripasso di matematica Grandezze fisiche Vettori

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1 Introduzione ll Fisic Ripsso di mtemtic Grndezze fisiche Vettori

2 L fisic come scienz sperimentle Studio di un fenomeno OSSERVAZIONI SPERIMENTALI MISURA DI GRANDEZZE FISICHE IPOTESI VERIFICA LEGGI FISICHE Relzioni mtemtiche tr grndezze fisiche In fisic si us un linguggio mtemtico!!!

3 Alger dei numeri reltivi Numeri reltivi: numeri preceduti dl segno + o dl segno segno 5, modulo o vlore ssoluto (si indic con ) Due numeri reltivi sono concordi se hnno lo stesso segno es: ( ; 7,5 ; 600); discordi se hnno segno contrrio es: (+7,6 ;,); opposti se hnno stesso modulo e segno contrrio es: (, ; +,) reciproci (inversi) se hnno lo stesso segno e modulo inverso es: ( /5 ; 5/) Chimimo espressione lgeric un espressione mtemtic che contiene numeri reltivi numeric: letterle: 5

4 ... dove le lettere rppresentno In un espressione mtemtic un generico numero intero (0; ; ; ;...) intero reltivo (.. ; -; 0; ;...) rele (-/; 6,; 7; e,7...) In un legge fisic un grndezz fisic vlore numerico + unità di misur m (,7 kg; 8 mg; l;...) t ( 8,7 ms; h;,7 giorni;...) Stess lger!!

5 Elementi di mtemtic utilizzti in questo corso Frzioni Proprietà delle potenze Potenze di dieci e notzione scientific Mnipolzione, semplificzione di espressioni lgeriche Soluzione di equzioni di primo grdo Proporzioni Conversioni tr unità di misur Percentuli Funzioni e loro rppresentzione grfic Angoli, elementi di trigonometri Elementi di geometri Logritmi ed esponenzili

6 Somm lgeric Nell lger dei numeri reltivi, un espressione contenente ddizioni e sottrzioni numeriche e letterli z+ 5 8y viene sempre considert come un somm lgeric, ovvero intes come somm di numeri reltivi: + + ( z) + ( + 5) + ( 8y) + ( ) Not: per lo scioglimento delle prentesi in un espressione si elimin l prentesi se precedut dl segno + + ( x y+ z) x y+ z si elimin l prentesi cmindo segno tutti i fttori l suo interno se precedut dl segno - ( x y+ z) x+ y z

7 Le operzioni Addizione (somm) ( ) + ( 6) 8 ( ) + ( + 9) Addendi concordi:somm dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenz dei moduli segno dell ddendo di modulo mggiore Sottrzione (differenz) ( ) ( 9) ( ) + ( + 9) + 5 Si ottiene sommndo l primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottrendo) Moltipliczione (prodotto) ( )( )( 7) 8 Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pri di segni negtivo -> numero dispri di segni Divisione (quoziente o rpporto) ( ) : ( + 7) ( ) + 7 Si ottiene moltiplicndo il dividendo per il reciproco del divisore

8 Esempi: : : 6 7 [ ]. R [ ]. 5 R

9 Elementi di mtemtic: Frzioni Un frzione è un rpporto tr due numeri e Frzioni equivlenti numertore Dividendo o moltiplicndo numertore e denomintore per un fttore comune, l frzione non cmi. x x Es: Riduzione i minimi termini 6 6 denomintore sono frzioni equivlenti Esprimere un frzione in un form equivlente con vlori minimi del numertore e denomintore (divisione per tutti i fttori comuni)

10 Frzioni Somm/differenz di frzioni: d c d d c + + d c d d c Es: ( minimo comune multiplo di 6 e ) Moltipliczione di due frzioni d c d c Es: Es: c d d c Divisione di due frzioni: Inverso di un frzione: Es: /

11 Frzioni / e mggiore di 5/6? Equivlentemente, /-5/6 > 0? Confronto tr frzioni Per confrontre due frzioni e opportuno esprimerle in form equivlente con denomintore comune Il minimo comune denomintore tr e 6 e < < 0 < 5 6 Not : 5 > 6

12 Elevmento Potenz L Proprietà delle potenze: ( volte) se, esponente un potenz di esponente pri e`sempre positiv; un potenz di esponente dispri e` negtiv se l se e negtiv. n + m (nessun prticolre proprietà) + ( ) + ( ) dipende! n m n+m ( ) ( ) 5 ( n ) m n*m ( ) ( ) ( ) 6 n / m n-m / ( )/( ) n n ( ) n ( ) M ttenzione: / ( )/( ) / - - / ( )/( ) 0 - Perchè l regol continu vlere, occorre definire -n / n 0 potenz esponente negtivo potenz esponente nullo

13 Esempi: ( )( ) + ( + ) ( ) 8 5 ( ) R. 8 [ R. 8] [ R. 6] [ R.6] [ R. 9] [ R. 6]

14 Rdice di un numero E` l operzione invers dell elevmento potenz: n è quel numero l cui potenz n-esim è ugule d : ( n ) n n n L ( n volte) rdicndo, n indice l rdice di indice pri di un numero negtivo non esiste l rdice di indice dispri di un numero esiste ed è unic 8 ; 7 esistono sempre due rdici di indice pri di un numero positivo 5 ±5 Not: un potenz con esponente frzionrio è ugule d un rdicle che h per indice il denomintore dell frzione m n n/m Inftti n/m n/m n/m (m volte) mn/m n Esempio: 6 6/ (**)*(**) (**) **

15 Esempi: 6 [ R. ] ( ) ( ) R. ± [ R. ssurdo] [ R. 00]

16 Proprietà dei rdicli: si verificno fcilmente utilizzndo potenze con esponenti frzionri! n n ; 0 0 ; np mp n m d cui si h n n n n n cl n cl (prodotto di rdicli dello stesso indice) n n n : : (quoziente di rdicli dello stesso indice) ( ) k n n k (potenz di un rdicle) m n m n (rdice di un rdicle) n n n se >0 n n se n è pri e <0

17 Monomi e Polinomi Monomio: un qulunque espressione lgeric che si present sotto form di prodotto di fttori numerici e letterli Coefficiente Grdo nell letter Prte letterle identici se hnno stesso coefficiente e stess prte letterle ; ; 0,6 ; K 6 simili se hnno l stess prte letterle e diverso coefficiente 8 c ; 5 7 c ; 5, Polinomio: è un somm lgeric di più monomi non simili c ; L ; mn+ n ; + 9 inomio trinomio

18 Le operzioni lgeriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenz, e ricordndo che solo monomi simili possono essere sommti lgericmente Esempi: + 5 ( ) ( 6 ) 5 8 : c 9 c ( ) c [ R ]. [ ] R. 8 R. [ R c]. [ ] 6 R. 9 c

19 Il prodotto di due polinomi si ottiene come somm lgeric dei prodotti di ciscun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Esempi: ( )( + ) ( x+ y)( x 5y) [ ] R. 6 [ ] R. x 7xy 0y I clcoli possono essere semplificti utilizzndi i prodotti notevoli: ( ( + ± )( ) ) ± + ( ± ) ± + ± tringolo di Trtgli

20 Il quoziente di un polinomio per un monomio è ugule ll somm lgeric dei quozienti di ciscun termine del polinomio per il monomio divisore. Esempi: ( 8 ):( ) [ R. ] 9 5 : [ ] R. 9

21 Il quoziente di due polinomi non è in generle risoluile. Tuttvi, è spesso possiile semplificre un frzione lgeric rccogliendo ed eliminndo i fttori moltiplictivi comuni tutti i termini del numertore e del denomintore (scomposizione in fttori) x x x y x y x Esempi: + x x R. R. 5 6 R y con resto oppure y x y x R

22 Le frzioni di frzioni si risolvono fcilmente ricordndo le proprietà viste finor Esempi:

23 Potenze di dieci /0 0, 0 - /0 0,0 0 - /0 0, , (si legge dieci ll quint ) è ugule moltiplicto per 0 5 * (si legge dieci ll meno 5 ) è ugule diviso per 0 5 / è ugule.0 spostndo l virgol destr di 5 posti è ugule.0 spostndo l virgol sinistr di 5 posti

24 Potenze di dieci Considerimo un numero, d es., Questo numero lo posso scrivere in vrie forme equivlenti:,, 0, 0, 0 0, 00 Posso spostre l virgol di un posizione verso sinistr moltiplicndo il numero risultnte per 0 Virgol spostt di due posizioni verso sinistr, 00 0, 00 0, 0, 0, 0 0 Fttore moltiplictivo: 0 Virgol spostt di posizioni sinistr numero risultnte moltiplicto per 0 (, 0), 0, 0, 0, 0 Virgol spostt di un posizione verso destr numero risultnte moltiplicto per 0 Fttore moltiplictivo: 0, Virgol spostt di posizioni destr E possiile esprimere qulsisi numero come il prodotto di un fttore per un potenz di dieci. Il fttore numerico è ottenuto spostndo l virgol del numero inizile di un numero di posizioni pri l vlore ssoluto dell esponente, verso sinistr se l esponente è positivo, verso destr se negtivo.

25 Potenze di dieci e notzione scientific Notzione scientific (form esponenzile) Si us nei clcoli scientifici per esprimere numeri molto grndi e molto piccoli prte numeric numero compreso tr e 9, , 0-7 prodotto si usno nche i simoli e potenz di 0 l esponente rppresent il numero di posti decimli di cui occorre spostre l virgol Esempi: l 5000 m,5 0 5 m l 0,0008 m,8 0 - m

26 Potenze di dieci e notzione scientific Conversione di un numero d notzione ordinri notzione scientific Esempi: 7 7,0,7 00,7 0 0,5,5/0, ,5 0 6 (virgol spostt di 6 posizioni verso sinistr) 0,00 /.000 /0 0 - (virgol spostt di posizioni verso destr) In conclusione: 0,0000,/00.000, 0-5 (virgol spostt di 5 posizioni verso destr) Per convertire un numero in notzione scientific si spost l virgol decimle fino d ottenere un fttore numerico compreso tr e 0 che moltiplic un potenz di dieci con esponente pri l numero di posizioni di cui si è spostt l virgol. L esponente è positivo se l virgol decimle è spostt verso sinistr (numero grnde), negtivo se è spostt verso destr (numero piccolo).

27 Potenze di dieci e notzione scientific Conversione di un numero d notzione scientific notzione ordinri Il prodotto di un numero per un potenz 0 n con esponente positivo si ottiene dl numero inizile spostndone l virgol di n posizioni verso destr Esempi: 0,0 0 0,5 0, , Il prodotto di un numero per un potenz 0 -n con esponente negtivo, si ottiene invece spostndo l virgol del numero inizile di n posizioni verso sinistr. Esempi: 0 - /0 /0 0,,5 0 -,5/00 0,05,5 0-0,0005

28 Esempi: convertire d notzione numeric scientific notzione numeric ordinri (o vicevers) 0, ,6 0, 0 7 Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operzioni complicte, con risultti estti 0,0000 0,000 0, , 0, o con risultti pprossimti (cioè non lontni dl risultto vero). R [ ] - R., 0 [ ] 5 R. 9,7 0 [ R. 8600] [ R. 0,000000] [ ] -9 R. 6 0 [ R.,5] [ R. 0,] [ ] 8. 5,6 0

29 Equzioni Equzione relzione di uguglinz tr due memri verifict per prticolri vlori di un vriile incognit x + 0 x -/ Sommndo (sottrendo) un stess quntità entrmi i memri Moltiplicndo (dividendo) per un stess quntità entrmi i memri il risultto non cmi Es : + x 7 + x 7 x x 5 Es : x 7 x 7 x 7 7 x 8

30 Esempio: f e d c x + + c f e d c c x c f e d x f e d c x + + c f e d x + c f e d x + L vriile incognit compre elevt ll prim potenz: x x Equzioni di o grdo

31 Esempi: risolvere le equzioni rispetto lle vriili evidenzite ( x + 5) 5+ x ( ) + x x+ c [ R. x ] [ R. x ] R. + c (5 x) x ( x+ ) [ R. impossiile] ( x) x ( x+ ) [ R. sempre verificto]

32 : c:d d c Proporzioni Prodotto dei medi prodotto degli estremi Null di mgico: sono solo normli equzioni! / c/d c/d c d/ d/c d c/ Es : Conversione tr unità di misur (Lire euro): N lire : X euro 96,7 lire : euro X euro 96,7 lire N lire euro Es : Se un corridore percorre velocità costnte 9, m in s, qunto impieg percorrere 00 m? s 00 m 00 m : X s 9, m : s X s 9, m s 00 m X 0, s 9, m Es : Se un corridore percorre un distnz velocità 5 m/s in s. Qunto tempo impieg percorrere l medesim distnz se l velocità 0 m/s? Per usre un proporzione le due grndezze devono essere tr loro DIRETTAMENTE PROPORZIONALI

33 Esempio: risolvere usndo le proporzioni Medinte perfusione intrvenos vengono somministrte 50 gocce l min di soluzione fisiologic (0 gocce mlitro). Dopo 0 min, qunti mlitri di soluzione sono stti somministrti? Soluzione: Si impostno le seguenti proporzioni ) 50 gocce : min x : 0 min d cui x 500 gocce ) 0 gocce : ml 500 gocce : x d cui x 75 ml [ R. 75 ml]

34 Equzioni nell Fisic Relzione di uguglinz tr due memri tutto ciò che è o memro (numeri + unità di misur) deve essere ugule tutto ciò che è o memro Es. Are di un rettngolo: A (50 cm)*( m) 50 cm*m (d evitre!) 50 cm * 00 cm 5000 cm 5000 cm NO! 0.5 m * m 0.5 m 0.5 m NO! A 50 cm, m Equivlenze tr unità di misur

35 Equivlenze tr unità di misur Occorre conoscere il fttore di conversione tr le diverse unità di misur Es. Velocità km/h m/s m/s km/h km/h 000 m / 600 s m/s 0,00 km / (/600) h 0,8 m/s,6 km/h n km/h n 0,8 m/s n m/s n,6 km/h Velocità di un tlet dei 00 m: di un utomoile: dell luce: 0 m/s 0.6 km/h 6 km/h 0 km/h 0 0,8 m/s,6 m/s km/s 0 8 m/s 0 8,6 km/h, km/h Ovvimente il fttore di conversione inverso è l inverso del fttore di conversione! Es. 0,8 /,6

36 Multipli e Sottomultipli Multipli e sottomultipli di un unità di misur possono essere espressi usndo prefissi: Prefisso Simolo Fttore di Prefisso Simolo Fttore di moltipliczione moltipliczione pet P 0 5 deci d 0 - ter T 0 centi c 0 - gig G 0 9 milli m 0 - meg M 0 6 micro µ 0-6 kilo k 0 nno n 0-9 etto h 0 pico p 0 - dec d 0 femto f 0-5 Es: km 0 m Mm 0 6 m Gm 0 9 m dm 0 - m cm 0 - m mm 0 - m µm 0-6 m nm 0-9 m pm 0 - m ( mm /000 m /0 m 0 - m)

37 Esempi: convertire le seguenti grndezze nelle unità di misur indicte in/min in cm/s in,5 cm min 60 s cm 0,5 s 6,7 litri in m (ricordre che litro dm ) 6,7 l 6,7 dm 6,7 (0 m) 6,7 0 m kg/m in mg/cm h 7 0 in min kg 0 g 0 (0 mg) m mg cm ( ) 6 0 cm 0 cm h 7 ' 0 '' 60 min + 7 min min 67,5 min

38 Percentule % / n % n/ n 0.0 n L percentule e sempre reltiv ll grndezz cui si riferisce! % di 50 / ,0 50,5 0% di , % di 0,00 0,0 0, , % di (rddoppire prendere il 00 %) Per mille : / % Prte per milione : ppm / % 0.00 L percentule può nche essere pplict grndezze fisiche Esempio: 0% di 000 grmmi ( ) grmmi 00 grmmi

39 L percentule è un metodo comodo per esprimere vrizioni (umenti o diminuzioni) rispetto un grndezz not Aumentre un quntità Q del 5%: Q Q + 5%Q Q + 0,05 Q Q ( + 0,05),05 Q Diminuire un quntità Q del 5%: Q Q - 5%Q Q - 0,05 Q Q ( - 0,05) 0,95 Q Aumentre del 00% rddoppire Diminuire del 50% dimezzre Le percentuli sono utilizzte comunemente per esprimere le concentrzioni: Soluzione di un sostnz in cqu l 5% in volume: in peso: d es. in litro di soluzione, 950 cm d cqu e 50 cm di soluto d es. in kg di soluzione, 950 g d cqu e 50 g di soluto

40 Attenzione!! Aumentre e successivmente diminuire un grndezz dell medesim percentule NON riport l vlore di prtenz. Es. Aumentre e successivmente diminuire del 0% un grndezz Q Q, Q, 0,8 Q 0,96 Q Se due grndezze sono direttmente proporzionli, un umento o diminuzione percentule dell prim equivle l medesimo umento o diminuzione percentule dell second. Es. Se ument il prezzo in euro del 0%, nche il prezzo in lire ument del 0% Se due grndezze sono inversmente proporzionli, un umento o diminuzione percentule dell prim NON equivle ll diminuzione o umento dell second dell medesim percentule. Es. Se l velocità di un uto rddoppi (+00%) il tempo impiegto percorrere un distnz dimezz (-50%)

41 l S r l cerchio cπr qudrto prllelepipedo sfer Aπr r Sπr V(/)πr cuo Pl Al S6l Vl V S l Superfici e volumi Il perimetro di un figur si misur sempre in m, cm, L re dell superficie di un corpo si misur sempre in m, cm, Il volume (o cpcità) di un corpo si misur sempre in m, cm, S l l cilindro V S l πr l m ( m) (0 cm) 0 cm 0000 cm m ( m) (0 cm) 0 6 cm cm cm ( cm) (0 - m) 0 - m m cm ( cm) (0 - m) 0-6 m m litro dm ( dm) (0 - m) 0 - m (0 cm) 0 cm ml cm

42 Tringolo rettngolo Teorem di Pitgor c + c c Esempio: Csi prticolri c 0 o 60 o c c

43 Angolo pino α α R ngolo giro 60 π rd ngolo pitto 80 πrd ngolo retto 90 π/ rd s Unità di misur grdi, minuti, secondi 60' ' 60" es: 7' 8" α (rd) lunghezz rco s R Per convertire tr grdi e rdinti si può utilizzre l semplice proporzione x rd : y grdi π : 80 Esempio: convertire 60 o in rdinti Sull clcoltrice: RAD DEG GRAD

44 Funzioni e loro rppresentzione grfic Funzione relzione univoc tr due grndezze vriili vriile dipendente yf(x) vriile indipendente Definire l funzione yf(x) signific stilire come vri l vriile dipendente y l vrire dell vriile indipendente x. L funzione che leg le due grndezze X ed Y può essere rppresentt grficmente ttrverso un curv in un pino crtesino Esempi: yx yx vriile dipendente Y 0 ordinte Assi Crtesini scisse vriile indipendente X

45 Attenzione: Un relzione di dipendenz e un funzione se per ogni vlore dell vriile indipendente x esiste uno e un solo vlore dell vriile dipendente y Esempio: person dt di nscit SI NO person trg uto NO SI y y?? x n y n SI x n y n NO SI x NO x Un funzione e invertiile se ogni vlore dell vriile dipendente y corrisponde uno e un solo vlore dell vriile indipendente x.

46 Relzioni tr grndezze fisiche: proporzionlità linere dirett L relzione tr due grndezze fisiche può essere rppresentt in modo grfico nel pino crtesino (x,y): Es.: Proporzionlità dirett s v t L t [ L] [ t] s (km) ordinte s direttmente proporzionle t rett t s 5 h h h 5 km 0 km 5 km v5 km h 0 5 O scisse t (h)

47 Proporzionlità invers Proporzionlità invers Es.: pv nrt p (P) p inversmente proporzionle V V con nrt costnte p p cost V Iperole equilter m m P P cost m / P O V (m )

48 Proporzionlità qudrtic dirett Proporzionlità qudrtic Es.: s t s (m) s qudrticmente proporzionle t prol t s s L [ L] t s 0.5 m m t [ ] m/s / O t (s)

49 Esempi di funzioni in Fisic o grdo y rddoppi l rddoppire di x y si dimezz proporz.dirett s v t λ c T F m V R I proporz.invers vs/t λ c/f s v s s v v/ t t Rett t t t Iperole t

50 Esempi di funzioni in Fisic y qudruplic l rddoppire di x y si riduce ¼ proporz.dir. qudr. proporz.inv. qudr. s ½ t F g G m m /r E k ½ mv F e K q q /r s s F F s t t Prol t ¼F r r r Proporz.inv.qudr

51 Trigonometri di se C y A sen θ cos θ tg θ - sen θ θ O cos θ - R B x θ 0 o 0 o π/6 5 o π/ 60 o π/ 90 o π/ 80 o π 70 o π/ cos θ / / 0-0 Per definizione: sen θ / - sen θ, cos θ dl teorem di Pitgor: sen θ+cos θ 0 / / / 0 - tg θ 0 / 0 Le funzioni trigonometriche sono funzioni del solo ngolo θ: se sceglimo R OB OC OC cos θ sin θ tn θ OA OA OB

52 C Trigonometri di se: il tringolo rettngolo Le principli ppliczioni dell trigonometri sono: descrizione dei fenomeni di tipo periodico (es. oscillzioni ed onde) proiezioni prllele e perpendicolri rispetto d un direzione scelt riprendimo il notro tringolo rettngolo: si h AC +AB CB (sen θ+cos θ)cb AC AB AC CB sen θ AB CB cos θ CB sen θ tg θ AC AB tg θ CB cos θ A θ B direzione ritrri AB è l proiezione di CB nell direzione prllel d AB AC è l proiezione di CB nell direzione perpendicolre d AB

53 seno e coseno y + y + ο π/ π π/ π 5π/ π rdinti ο Le funzioni trigonometriche π/ π π/ π 5π/ π rdinti α y sen α y cos α α

54 Le funzioni trigonometriche y + y sen α ο α -π -π/ -π -π/ π/ π π/ π rd Relzioni trigonometriche cos sin ( α) ( α) cosα sinα π π sin α sin + α y cos α π sin + α cosα

55 Funzioni dipendenti dl tempo Vst clsse di fenomeni dell Fisic (e dell vit quotidin) Le leggi fisiche in cui il tempo ppre come vriile indipendente sono dette Leggi Orrie Tempo (t) vriile indipendente Alcuni esempi: Moti: Oscillzioni: Decdimenti: ss(t), vv(t), (t) s(t) A cos(ωt) n(t) n 0 e -λt

56 ~ oppure ~ > (<) >> (<<) ( ) x x - x Simologi Mtemtic ugule pprossimtivmente ugule circ ugule, dell ordine di grndezz di diverso d mggiore (minore) di molto mggiore (minore) di mggiore (minore) o ugule direttmente proporzionle modulo (o vlore ssoluto) di x vrizione (umento) di x (x dopo -x prim ) diminuzione (o differenz) di x (x prim -x dopo )