3 ρ g e nel caso di una goccia di acqua che cade in aria è di 3 ordini di grandezza inferiore al suo peso

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1 Moto in un fluido Un corpo che si uove in un fluido reale è soggetto ad una forza che prende il noe di resistenza del ezzo. Questa forza dipende soltanto dal oto relativo e non c è differenza tra il oto di un oggetto in un fluido in quiete e lo scorriento di un fluido in cui sia ierso un corpo in quiete. La resistenza del ezzo è l espressione della viscosità del fluido ed è nulla per il oto in un fluido ideale (Figura 1-a); in questo caso si ha copleta sietria delle linee di flusso 1 e la pressione a onte e a valle dell oggetto è la edesia e quindi su di esso non agisce nessuna forza (paradosso di D Alebert). Figura 1 Moto di una sfera in un fluido ideale (a) e reale (b) Se la velocità relativa è alta, si fora una scia vorticosa, coe si vede in Figura 1-b. A basse velocità è possibile invece osservare un flusso lainare. La resistenza del ezzo è proporzionale al quadrato della velocità in caso di flusso vorticoso, entre è proporzionale alla velocità per flussi lainari. Nel caso particolare di oggetti sferici vale la legge di Stokes e la resistenza del ezzo ha espressione F res = 6πηRv Consideriao un oggetto sferico che si uova in un fluido sotto l azione del proprio peso. Se si trascura la spinta di Archiede, le forze che agiscono sulla sfera sono la resistenza del ezzo e la forza peso, coe illustrato in Figura. r F res r = 6πηRv v r r r = g F p Figura Caduta di un oggetto sferico in un fluido La seconda legge della dinaica, applicata a questo problea dà: dv g 6 πηrv = dt che è un equazione differenziale a variabili separabili. Si può quindi ottenere facilente una relazione tra velocità e tepo. Se si assue che la velocità della sfera sia inizialente nulla e si pone α = g 6πηRv si ottiene; 1 Una linea di flusso, o di corrente, è una linea orientata che in ogni punto ha direzione e verso della velocità La spinta di Archiede vale F = πr 3 ρ g e nel caso di una goccia di acqua che cade in aria è di 3 ordini di grandezza inferiore al suo peso A 4 3 fluido M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 33

2 dt = dv g 6πηRv t o v( t) dv dt = t = g 6πηRv 6πηR 0 dα = α 6πηR ln g g 6πηRv g g 6πηRv Facendo un operazione di esponenziazione ad abo i ebri, si ottiene: g 6πηRv 6πηR t = exp t = exp g τ (1) dove τ = è la costante di tepo dell esponenziale che figura a secondo ebro. Risolvendo 6πηR la (1) per v si ottiene finalente: ( ) = = t t g τ τ v t 1 e vl 1 e 6πηR Quindi la sfera raggiunge la velocità liite vl con andaento esponenziale. Questo significa che a t = 5τ la sua velocità è pari al 99% della velocità liite. La velocità liite per una sfera dipende quadraticaente dal suo raggio coe: g 4 3 g ρg v L = = πr ρ = R 6πηR 3 6πηR 9 η Per gocce d acqua di raggio pari a 10 icroetri che cadono in aria si ottiene 5 ( η = 1,7 10 Pa s ) una velocità liite di 1,8 c/s, che si ra raggiunge con tepi scala dell ordine di qualche illisecondo. Quindi per gocce di queste diensioni (e così pure per le particelle di pulviscolo atosferico per le quali valgono le stesse considerazioni) il oto di caduta copete con quello dovuto alla turbolenza dell aria. Per oggetti decisaente più grandi occorre notare che il oto di caduta coporta ad un certo punto turbolenza e la dipendenza lineare della resistenza del ezzo dalla velocità cessa di essere valida. Analisi diensionale Teorea di Buckingha Nuero di Reynolds Consideriao di nuovo il caso di un tubo orizzontale all interno del quale scorra un fluido. Nel caso di flusso stazionario e lainare di un fluido incopriibile abbiao diostrato la legge di Hagen 8η Poiseuille e quindi che pl = v. Nel caso di flusso non viscoso η 0, a la velocità riane R finita. Quindi anche p L 0. In effetti, il teroea di Bernoulli ci dice proprio che per antenere un flusso con velocità v nel caso di un fluido ideale non occorre applicare alcun gradiente di pressione. I casi di fluido ideale e di flusso stazionario lainare di un fluido reale sono casi particolari: in generale non si può trascurare la viscosità e il flusso in generale non è lainare. Non è possibile trovare una relazione generale che fornisca il gradiente di pressione in funzione degli altri paraetri che caratterizzano il fenoeno, a è possibile trovare su basi fenoenologiche delle relazioni valide in casi particolari. Per questo problea i paraetri da prendere in considerazione sono: il raggio (o il diaetro D) del tubo, la densità del fluido, la viscosità e la velocità edia del flusso. In definitiva, la relazione che si deve deterinare epiricaente sarà del tipo: ( D, ρ, η ) p = f, L v Deterinare fenoenologicaente una relazione tra cinque paraetri indipendenti è tutt altro che seplice. Fortunataente, si può diostrare (teorea Pi di Buckingha) che queste cinque grandezze possono essere cobinate in due gruppi adiensionali in odo tale che D pl ρvd = Φ ρv η M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 34

3 In pratica da cinque variabili si passa a due: gli esperienti per trovare la funzione Φ dovranno far variare soltanto i due gruppi adiensionali e non le cinque grandezze di partenza separataente. Ad ρv D esepio, la quantità può essere variata di un fattore facendo raddoppiare il diaetro del η tubo oppure facendo raddoppiare la velocità edia del flusso. In entrabi i casi, si ottiene il D pl edesio valore per il gruppo adiensionale. ρv Teorea Pi di Buckingha Il teorea Pi di Buckingha 3 affera che un equazione u f ( u, u, 1 = 3 L, u k ), oogenea dal punto di vista diensionale, che contenga k variabili può essere ridotta ad una relazione Π = Φ( Π, Π, 1 3 L, Π k r ) tra k-r gruppi adiensionali indipendenti, dove r è il nuero inio di diensioni che descrivono le variabili. Con il sibolo Π i (dal quale il teorea prende il noe) si indica l i-o gruppo adiensionale che è costruito coe prodotto di r+1 variabili scelte secondo i criteri che vedreo tra poco, ciascuna di esse elevata ad una potenza opportuna, in odo tale che il prodotto sia adiensionale. La deterinazione dei gruppi adiensionali può essere scheatizzata coe segue: 1. Si elencano tutte le k variabili indipendenti da cui il problea dipende. Si tratta evidenteente del passo più difficile, che presue una buona coprensione del problea.. Si esegue l analisi diensionale delle variabili trovate al punto precedente, ciascuna di esse è espressa in terini di unità di isura fondaentali. 3. Si deterina il nuero dei gruppi adiensionali, coe differenza tra il nuero k di variabili ed il nuero r di unità di isura indipendenti, trovato al punto. 4. Si selezionano r variabili ripetibili. Infatti se si devono forare k-r gruppi a partire da k variabili, è possibile selezionare k-r variabili che copariranno ciascuna in un gruppo soltanto. Per ciascun gruppo adiensionale si oltiplicherà una di queste con le rianenti r, ognuna elevata ad una opportuna potenza in odo che il prodotto sia adiensionale. Non esiste una ricetta univoca per scegliere le variabili ripetibili. È counque necessario che tutte le r diensioni siano coprese tra le variabili ripetibili. Inoltre la variabile oggetto di studio non deve essere ripetibile, in quanto deve figurare in unico gruppo adiensionale. 5. a) Si fora l i-o gruppo adiensionale oltiplicando l i-a variabile non ripetibile per un opportuna cobinazione di quelle ripetibili. Se ad esepio ci sono 3 variabili ai bi ci ripetibili u1, u, u3 si avrà Π i = uiu1 u u3. Gli esponenti si scelgono in odo che Πi sia adiensionale. b) Si ripete il passo 5 k-r volte. 6. Si esprie il risultato coe Π = Φ( Π, Π, 1 3 L, Π k r ) Questa procedura sebra piuttosto involuta. La applichiao qui al caso del flusso di un fluido in una condotta cilindrica orizzontale. Siao interessati a trovare un espressione per il gradiente di pressione pl : 1. Le variabili sono in nuero di k = 5 e corrispondono al gradiente di pressione pl, al diaetro del tubo D, alla densità del fluido ρ, alla sua viscosità η e alla velocità edia v. Si tratta di variabili indipendenti che descrivono copletaente il problea. 3 Edgar Buckingha, fisico statunitense, Chi è intetressato, può trovare una diostrazione e riferienti bibliografici alla pagina M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 35

4 [ pl ] [ D] = [ ρ ] = [ η] = [ v ] = = MT L L 3. Le diensioni di queste grandezze sono 3: ML 1 1 ML T 1 LT r = 3 3. Il nuero di gruppi adiensionali è k-r=. 4. Il gradiente di pressione non può figurare tra le variabili ripetibili, in quanto è la variabile di studio. Conviene prendere coe ripetibili D, ρ,v visto che sono quelle diensionalente più seplici. 5. I gruppi adiensionali da deterinare sono : a) a b c = p D v ρ. Questa relazione si traduce in un equazione diensionale: Π 1 L c = 1 a b b c 3c MT L L L T M L = M L T b = a = 1 Pertanto il prio gruppo pld adiensionale è Π 1 =. vρ b) Il secondo gruppo invece contiene la viscosità del fluido ed è definito coe a b c Π = ηd v ρ. L equazione diensionale corrispondente è c = a b b c 3c η MT L L L T M L = M L T b = 1 che iplica Π =. Occorre Dv ρ a = 1 notare che la deterinazione del coeffiente non è univoca; ad esepio si può Dv ρ prendere =, che è ancora adiensionale: le differenti scelte Π η iplicano sepliceente una diversa fora funzionale tra i gruppi. p LD ~ η pld Dvρ 6. Il risultato sarà quindi del tipo = Φ oppure = Φ vρ Dvρ vρ η Dv L espressione ρ Dv η R = = (dove si è introdotta la viscosità cineatica µ = ) ricorre η µ ρ frequenteente in fluidodinaica e D in generale rappresenta una lunghezza scala nel problea esainato. Si tratta di un rapporto tra inerzia (ρ) e viscosità (η) ed è stato introdotto nel 1883 dal fisico statunitense Osborne Reynolds ed è noto proprio coe nuero di Reynolds. Il nuero di Reynolds non è l unico paraetro adiensionale in uso, ovviaente, a è il più noto perché consente di discriinare facilente tra flusso lainare e flusso turbolento. Nella Figura 3 sono rappresentati i tre differenti regii di flusso di un fluido reale: flusso lainare, di transizione e turbolento. La visualizzazione del regie di flusso è possibile inserendo opportunaente del colorante in un condotto in cui scorra il fluido da studiare. M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 36

5 Filaento di colorante Regie lainare Regie di transizione Regie turbolento Figura 3 Esperiento di Reynolds: un colorante evidenzia il tipo di flusso (lainare, di transizione, turbolento) L esperienza fu realizzata da Reynolds e perise di evidenziare che il tipo di flusso dipende dal nuero di Reynolds: per bassi valori di questo paraetro ( R < 300 ) si ha flusso lainare; per elevati valori ( R > 4000 ) invece si ha oto turbolento. Per valori interendi del nuero di Reynolds si ha un regie di flusso caratterizzato da una certa tortuosità delle linee di corrente, anche se ancano vortici veri e propri; questo regie è detto di transizione. La transizione tra flusso lainare e turbolento è ostrata nella Figura 4, che rappresenta una realizzazione dell esperienza di Reynolds. Figura 4 Regie di transizione (esperiento di Reynolds) Bassi nueri di Reynolds si ottengono tipicaente nel flusso a bassa velocità edia in condotti regolari. La velocità critica al di sopra della quale cessa la lainarità del flusso è data dalla ηrc 300 η relazione vc =. La legge di Hagen Poiseuille ci dice che basse velocità si ottengono ρd ρd nei tubi capillari, nei quali il flusso è tipicaente lainare. Quando ci si avvicina alla transizione, la 8η relazione pl = v prevista dalla legge di Hagen Poiseuille cessa di valere. In particolare, a R parità di gradiente di pressione applicato, cala la portata (legata alla velocità edia di flusso) e si ha un regie di flusso instabile. Auentando il gradiente di pressione si raggiunge un flusso turbolento stabile, per il quale si osserva pl = kv. Quindi il gradiente di pressione è R proporzionale al quadrato della velocità (e quindi della portata). La costante k (costante su un paio di ordini di grandezza di variazione per R ) è detta coefficiente di resistenza. ρ M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 37

6 Figura 5 Fluttuazioni della velocità in un flusso turbolento La principale differenza tra il flusso lainare e quello turbolento consiste nel coportaento caotico, casuale dei paraetri che caratterizzano il oto del fluido. In Figura 5 è ostrato un tracciato tipico dell andaento teporale v x ( t) della coponente assiale (i.e. lungo l asse del condotto, indicato coe asse x) della velocità isurata in un dato punto del condotto: il flusso è caratterizzato da variabilità notevole della velocità, che ostra iportanti fluttuazioni attorno ad un t + T 0 valore edio v = v ( x, y, z, t) x 1 T t 0 aggiore della scala teporale delle fluttuazioni. x dt deterinato su un periodo teporale T considerevolente Figura 6 Regione di ingresso e flusso pienaente sviluppato È iportante sottolineare che le osservazioni fatte sia per il flusso lainare che turbolento valgono per un flusso pienaente sviluppato, ossia valgono lontano dall ibocco del tubo che si sta considerando. Infatti, lo strato liite a contatto con le pareti del tubo rallenta gli strati più interni di fluido, a questo non avviene istantaneaente: esiste una regione di ingresso, ostrata in Figura 6, nella quale gli effetti delle forze di attrito viscoso si propagano fino alla regione di fluido più interna al tubo. La regione di ingresso ha un estensione l e il cui valore può essere paraetrizzato coe: M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 38

7 l e = 0,06 R flusso lainare D l 1 e 6 = 4,4 R flusso turbolento D In questa regione, anche nel caso di flusso lainare, il profilo radiale di velocità è diverso da quello parabolico che si osserva per il oto pienaente sviluppato. In particolare, nella regione centrale la velocità non dipende da r, coe per i fluidi non viscosi. Se si considera invece il caso del oto pienaente sviluppato, ci sono differenze tra flusso lainare e flusso turbolento. Nel prio caso abbiao derivato la seguente relazione: ( r) v r plr = 1 con v0 = v0 R 4η Nel caso di flusso turbolento, invece, il profilo radiale della velocità edia è dato dalla relazione epirica: ( r) 1 n v r = 1 con n variabile tra 6 e 10 in funzione del nuero di Reynolds. v0 R La differenza tra i due andaenti è rappresentata in Figura 7, dove si vede che nel caso turbolento la velocità edia tende a antenersi prossia al valore assio in una regione più apia rispetto al caso del flusso lainare; in altri terini il profilo è parabolico in quest ultio caso e più piatto in regie turbolento. Figura 7 Profili di velocità Fenoeni di turbolenza si osservano infine anche quando vi siano ostacoli (cfr Figura 1-b) o brusche variazioni nella fora del condotto all interno del quale scorre il fluido, in quanto le deforazioni delle linee di flusso indotte dall ostacolo o dal condotto vengono propagate dalla viscosità del fluido, con possibile generazione di vortici. Il tipo di flusso attorno ad un oggetto può ancora essere descritto in terini del nuero di Reynolds Dv ρ Dv R = =, dove D rappresenta la lunghezza scala dell oggetto considerato. In Figura 8 è η µ ostrato il flusso attorno ad un cilindro avente base con diaetro D, disposto con l asse ortogonale alla figura in tre regii di flusso diversi. Si ricordi che il nuero di Reynolds rappresenta il M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 39

8 rapporto tra effetti inerziali ed effetti viscosi. A bassi valori di R (Figura 8-a) prevale la viscosità : la presenza dell ostacolo influenza le linee di corrente in un apia regione 4 del capo di flusso in tutte le direzioni rispetto ad esso. Al crescere di R (Figura 8-b) la regione a onte del cilindro interessata dalla distorsione viscosa delle linee di flusso si riduce: gli effetti della presenza dell ostacolo si spostano a valle ed il flusso perde la sua sietria. Un altra conseguenza dell iportanza degli effetti inerziali è rappresentata dalla separazione dello strato fluido a contatto con l oggetto, coe illustrato in Figura 8-b, dove è indicato il punto di distacco delle linee di corrente. A nueri di Reynolds olto elevati, la regione perturbata dalla presenza dell ostacolo è situata quasi interaente a valle del edesio in una scia olto lunga, irregolare, instabile, eventualente caratterizzata da turbolenza. La regione perturbata a onte e attorno all ostacolo riguarda soltanto uno strato di consine che ha un estensione olto interiore al diaetro del cilindro. Figura 8 Flusso stazionario attorno ad un cilindro a diversi nueri di Reynods (Re). Cilindro norale al piano del foglio. ("Wake region" significa scia). 4 apia rispetto a D M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 40

9 Tensione superficiale - Capillarità Affrontiao breveente l argoento dei fenoeni di superficie, che interessano le superifici che deliitano i liquidi. I liquidi sono dotati di volue proprio in quanto le forze di coesione tra le olecole sono iportanti e le vincolano a stare ad una distanza edia r 0 l una dall altra, il cui valore dipende dal ateriale. In altri terini, ogni olecola si trova ad un inio di potenziale quando è ad una distanza dell ordine di r 0 dalle altre; quindi è soggetta ad una forza repulsiva per distanze inferiori ed attrattiva per distanze superiori. Coe illustrato in Figura 9, le olecole che si trovano lontano dalla superficie, sono attratte dalle olecole vicine in tutte le direzioni. In questo odo la forza risultante netta è nulla. Figura 9 Le olecole in prossiità della superficie sono soggette ad una forza attrattiva verso l'interno del volue occupato dal liquido Le olecole che si trovano in prossiità della superficie, invece, risentono di una forza netta diretta verso l interno del volue occupato dal liquido. La conseguenza iportante di questo fatto è che la superficie che deliita un liquido non auenta spontaneaente. Al contrario,la superficie di un liquido assue l estensione inia copatibile con le condizioni al contorno: ad esepio, nei laboratori orbitanti, in condizioni di icrogravità, i liquidi che non siano confinati in un recipiente assuono una fora sferica che rende inia la superficie di interfaccia liquido-aria. Per auentare l estensione di una superficie liquida, occorre copiere del lavoro. Questo è illustrato nella Figura 10, dove è scheatizzato un telaietto che sostiene una laina di liquido (ad esepio acqua saponata), provvisto di un lato obile. La laina tende spontaneaente a contrarsi (Figura 10-a) sotto l azione delle forze di superficie esercitate dalle superfici liquido-aria che essa fora con il gas circostante. L entità della forza con la quale il lato obile è attratto verso sinistra è proporzionale alla sua lunghezza. Si definisce tensione superficiale, la forza per unità di lunghezza esercitata dalle superfici: F l dove il fattore tiene conto del fatto che la laina ha due facce. La tensione superficiale si esprie in N -1. Se si applica una forza esterna al lato obile del telaietto (Figura 10-b) in odo da τ M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 41

10 contrastare la tensione superficiale, si vede che per spostare il proprio punto di applicazione di una quantità dx, la forza esterna deve copiere un lavoro dl = Fdx = τ ldx = τds Figura 10 Laina liquida sostenuta da un telaietto provvisto di lato AB obile: la laina tende spontaneaente a contrarsi dove con ds si è indicata la variazione coplessiva della superficie di interfaccia. Si vede quindi che per auentare una superficie di ds occorre copiere un lavoro proporzionale a ds. La costante di proporzionalità è proprio la tensione superficiale. Questo è un odo alternativo ed equivalente al prio per definire la tensione superficiale. Tabella 1 Valori di tensione superficiale In Tabella 1 sono riportati alcuni valori di tensione superficiale. Questa quantità è una caratteristica dei due ezzi posti a contatto e dipende dalla teperatura. A proposito del telaietto rappresentato in Figura 10, abbiao parlato di acqua saponata e non sepliceente di acqua; questo perché i saponi alterano la tensione superficiale dell acqua. Segnataente l abbassano in quanto fanno parte di un apia classe di sostanze, dette tensioattive. In olti processi industriali si è interessati a variare M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 4

11 le proprietà di superficie dei liquidi; ad esepio nella preparazione di inchiostri, di fitofaraci, che devono aderire alle piante quando soinistrati per irrorazione, di detergenti, etc. Consideriao ora delle superfici liquide curve. Ad esepio una bolla di sapone. Vogliao calcolare quanto deve valere la differenza di pressione pi pe tra l aria contenuta all interno della bolla e quella situata all esterno. Se partiao da una bolla di raggio R, per auentarne ulteriorente il raggio di dr dobbiao copiere un lavoro dl = ( pi pe ) SdR = 4π ( pi pe ) R dr A questo auento si oppone la tensione superficiale che copie un lavoro di segno opposto valutabile coe (si noti il fattore, dovuto al fatto che la bolla ha due facce): dlτ = τds = τd ( 4πR ) = 16πτRdR In condizioni di equilibrio si deve avere 4τ pi pe = R Figura 11 Menischi sferici Nel caso di una superficie sferica che separi un liquido da un gas (cfr. Figura 11) l eccesso di pressione che c è nella parte interna al liquido rispetto a quella esterna è τ p = R visto che c è una una sola superficie di interfaccia. Se il enisco è convesso, la pressione interna è aggiore di quella esterna, entre per enischi concavi la situazione è opposta. Queste considerazioni sono iportanti per coprendere il fenoeno della capillarità., che si verifica quando si considerano oltre alle forze di coesione del liquido, che ne deterinano la tensione superficiale, anche le forze di adesione con i solidi che lo contengono (ed eventualente con altri liquidi non iscibili posti a contatto). Figura 1 Capillarità. Nel caso (a) le forze di adesione con le pareti sono prevalenti M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 43

12 Nella Figura 1 sono illustrate le due situazioni possibili: nella pria, le forze di adesione del liquido con il solido che lo contiene sono prevalenti; quindi la superficie libera a contatto con la parete si presenta con fora concava. Si dice, in questo caso, che il liquido bagna la parete. È il caso dell acqua contenuta nel vetro. Nel secondo caso, la coesione prevale sull adesione e quindi il enisco è convesso. In questo caso il liquido non bagna la parete: è il caso del ercurio in un contenitore di vetro. Nella Figura 1 sono rappresentati dei recipienti counicanti. il recipiente di destra (in entrabe le figure) è costituito da un tubo di piccola sezione (di diaetro dell ordine del illietro o inferiore). Si nota che il liquido non raggiunge la stessa altezza nei recipienti posti in counicazione, in apparente violazione del principio dei vasi counicanti. In realtà la spiegazione è legata alla differenza di pressione gas-liquido che si riscontra in presenza di enischi sferici. Se applichiao la legge di Stevino al caso rappresentato in Figura 1-a, in cui il capillare presenta un enisco concavo di raggio R, otteniao: τ τ p0 = p0 + ρ gh = ρgh R R Figura 13 Relazione tra raggio di curvatura del enisco e raggio del capillare Se il liquido non bagna la parete, il calcolo eseguito per valutare il dislivello non cabia. Cabia soltanto il segno del dislivello, legato al segno della differenza di pressione in corrispondenza del enisco. Questo fenoeno prende il noe di capillarità. L acqua sale per capillarità nei ateriali porosi (ad esepio la terra non arata, che inaridisce perché una volta raggiunta la superficie l acqua evapora). L entità del dislivello può essere espressa in funzione di paraetri più facilente isurabili rispetto al raggio di curvatura della superficie, rappresentati in Figura 13. Il raggio di curvatura R è legato al raggio del capillare R dalla relazione R ' = Rcosα, dove α è l angolo di M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 44

13 contatto tra il liquido e la parete, forato dalla tangente alla superficie liquida nel punto di contatto e la parete stessa. Quindi il dislivello h si esprie coe: τ cosα h = ρgr' Questa espressione è nota coe legge di Jurin. Nel caso di un capillare del diaetro di un illietro contenente acqua, l innalzaento previsto dalla legge di Jurin è di circa 31 illietri, con un angolo di contatto nullo. L effetto è inversaente proporzionale al raggio del capillare. M. Masera Copleenti di Fisica A.A. 006/7 45