Capitolo 3 La cata di Smith La cata di Smith (C.d.S.) non solo isulta un valido aiuto gafico pe la deteminazione delle gandezze elettiche della linea ma e sopattutto un metodo pe visualizzae l andamento di tali gandezze lungo la linea e i fenomeni loo legati. Cio ha fatto si che anche con l avvento dei modeni calcolatoi essa non abbia peso di significato e anzi costituisca una delle appesentazioni gafiche piu usate nei pogammi di CAD (Compute Aided Design) a micoonde. 3. Costuzione della cata di Smith Si considei una linea unifome, piva di pedite, con impedenza caatteistica Z 0 = R 0 R +, chiusa su un geneico caico passivo Z u = R u + jx u (Re {Z u } = R u 0). Si definisce impedenza nomalizzata il appoto adimensionale ta l impedenza Z(z) lungo la linea e l impedenza caatteistica R 0 della linea: Z n (z) = Z(z) R 0. (3.) Il coefficiente di iflessione di tensione Γ(z) puo essee espesso in funzione dell impedenza nomalizzata come Γ(z) = Z n(z) Z n (z) + (3.2) e consideato una funzione complessa della vaiabile complessa Z n. La elazione (3.2) tasfoma quindi il dominio semplicemente connesso del semipiano Re {Z n } 0, del piano della vaiabile Z n, nel dominio semplicemente connesso Γ(z) del piano della vaiabile Γ (Fig. 3.). Ideata da P. Smith del Bell Telephone Laboatoies nel 939. 55
56 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI Im(Z ) n (z) Z (z) n Z (z)+ n Im( ) Re(Z n) Re( ) 0 Z (z) n (z) (z) Figua 3.: Tasfomazione confome dal piano complesso Z n al piano Γ. La tasfomazione definisce una tasfomazione confome 2 di Z n in Γ ed e invetibile; infatti: Z n = + Γ(z) Γ(z). (3.3) Ponendo Γ(z) = γ +jγ e Z n = +j l espessione (3.3) puo essee iscitta nella foma: + j = + γ + jγ γ jγ ) ( + γ + jγ )( γ + jγ = ( γ ) 2 + γ 2 = γ2 γ 2 + j2γ ( γ ) 2 + γ 2. (3.4) Eguagliando le pati eali dell eq. (3.4) e veificata la seguente elazione: o equivalentemente: = γ2 γ 2, (3.5) ( γ ) 2 + γ 2 ( γ ) 2 + γ 2 = γ 2 γ 2, (3.6) 2 Siano ω, ω 2 due cuve nel piano complesso (,) che si intesecano nel punto P( 0, 0 ) e Ω, Ω 2 le cuve tasfomate nel piano complesso (γ,γ ) che si intesecano nel punto Q(γ 0,γ 0 ). Se l angolo fomato dall intesezione di ω ed ω 2 e uguale in ampiezza e veso a quello fomato dall intesezione delle cuve Ω e Ω 2 si dice che la tasfomazione e una tasfomazione confome.
3.. COSTRUZIONE DELLA CARTA DI SMITH 57 0 0.5 3 0 0.5 3 Figua 3.2: Tasfomazione nel piano complesso del coefficiente di iflessione della pate eale dell impedenza nomalizzata. + γ 2 2 γ + γ 2 = γ 2 γ 2, (3.7) γ 2 ( + ) + γ 2 ( + ) 2 γ =, (3.8) γ 2 + γ 2 2 + γ = +. (3.9) Sommando ad entambi i membi la quantita (/[+]) 2, l ultima espessione isulta: ( γ ) 2 ( + γ 2 ) 2 =, (3.0) + + che, nel piano (γ,γ ), appesenta l equazione di una famiglia di ciconfeenze con cento nel punto (/[ + ], 0) e aggio /[ + ]. Cio compota che ogni etta paallela all asse immaginaio del piano complesso (,), coispondente ad uno specifico valoe della pate eale dell impedenza nomalizzata, e tasfomata nel piano complesso (γ,γ ) in una ciconfeenza passante pe il punto (,0) con cento appatenente all asse eale (Fig. 3.2). Se invece si eguagliano le pati immaginaie dell eq (3.4) dova essee veificata la elazione: = 2γ, (3.) ( γ ) 2 + γ 2
58 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI 2 0.5 0.5 0 0.5 0.5 2 Figua 3.3: Tasfomazione nel piano complesso del coefficiente di iflessione della pate immaginaia dell impedenza nomalizzata. o equivalentemente: ( γ ) 2 + γ 2 = 2 γ, (3.2) + γ 2 2 γ + γ 2 = 2 γ, (3.3) γ 2 + γ 2 2 γ 2 γ + = 0. (3.4) Sommando ad entambi i membi la quantita (/ 2 ) l ultima espessione isulta: ( ) 2 ( γ + γ ) 2 = (3.5) 2 che, nel piano (γ,γ ), appesenta l equazione di una famiglia di ciconfeenze con cento nel punto (, /) e aggio /. Pecio ogni etta paallela all asse eale del piano complesso (,), coispondente ad uno specifico valoe della pate immaginaia dell impedenza nomalizzata, e tasfomato nel piano complesso (γ,γ ) in una ciconfeenza, passante pe il punto (,0), con cento appatenente ad una etta passante pe il punto (,0) e paallela all asse immaginaio (Fig. 3.3). La condizione di caico passivo impone inolte che il modulo del coefficiente di iflessione isulti minoe o al piu uguale all unita, pe cui le ciconfeenze a =cost saanno limitate dalla ciconfeenza di aggio unitaio centata nell oigine. Combinando insieme le due
-85 0.37 0.3 3.. COSTRUZIONE DELLA CARTA DI SMITH 59 0. 0.0 0.0 80 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.49 0.48 0.49 0.48 0.47 70-70 0.47 > 60 > LU N G H.D O N D A V ERSO IL G EN ERA TO RE -60 90 < LU N G H.D O N D A V ERSO IL CA RICO < 0.46 0.04 0.04-90 85 0.46 0. 0.05 0.45 50 0.2-50 80-80 0.45 0.05 0.2 75 0.3-75 0.06 0.3-40 40 0.06 0.44 70 0.4-70 0.07 0.4-30 0.07 0.43 30 65 0.5-65 0.42 0.08 0.08 0.42 0.5 20-20 0.6 0.6 60-60 0.09 0.09 0.4 0 0.7 0.7-0 0. 0.4 PA RTE IN DUTTIVA D ELLA REA TTA N ZA (+jx/zo),o CAPACITIVA DELLA SUSCETTANZA (+jb/yo) 0.44 PARTE RESISTIVA (R/Zo), O CONDUTTIVA (G/Yo) PA RTE CA PA CITIV A D ELLA REA TTA N ZA (-jx/zo),o INDUTTIVA DELLA SUSCETTANZA (-jb/yo) 0.43 55-55 0.8 0.8 0. 0.39 00 50 0.9 0.9.0.0.0 90 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.4 0.6.2.2.4.6.8 2.0 3.0 4.0 5.0 0 20 50 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8.2 0.8 80.0.0.0.0.4.4-70 70.6.6.8.8-60 60 2.0 2.0-50 50 3.0 3.0 40-40 4.0 4.0 5.0 30 5.0-30 0 0 20 20 50 50 20-20 -00-50 0.2 0.38 45-90 -45 0.3 0.37 0.4 0.36-40 40 0.5 0.35-35 35 0.6 0.6 0.34-30 30 0.7 0.7 0.33 0.33 25-25 0.8 0.32 0.32 0.8 0.9 0.3 20-20 0.3 0.9 0.2 0.3 5-5 0.3 0.2 0.29 0-0 0.2 0.2 FA SE D EL CO EFFICIEN TE D ITRA SM ISSIO N E IN G RA D I 0.29 0.28 0.22 FA SE D EL CO EFFICIEN TE DIRIFLESSIO N E IN GRADI 0.22 0.27 0.23 0.28 0.24 0.26 0.23 0.25 0.25 0.26 0.24 0.27 0.4 0.4 0. 0.39 0. 0.38 0.2-80 0.36 0.4 0.35 0.5 0.34 Figua 3.4: La cata di Smith. famiglie di ciconfeenze si ottiene la cata di Smith (C.d.S.) che fonisce una coispondenza biunivoca ta i valoi dell impedenza nomalizzata e i valoi del coefficiente di iflessione di tensione (Fig. 3.4). Pe come e stata costuita la C.d.S. e evidente che l asse γ coisponde al cechio = 0, pe cui tutti i punti appatenenti a tale asse appesentano un caico puamente esistivo. Nel semispazio supeioe giacciono tutte le ciconfeenze con > 0 e in tale semispazio sono localizzati tutti i caichi che pesentano una pate induttiva. Nel semispazio infeioe giacciono invece tutte le ciconfeenze con < 0, caatteistiche di caichi che pesentano una pate capacitiva. Pe quanto iguada le ciconfeenze a =cost si puo notae che tutti i caichi che pesentano una pate esistiva maggioe dell impedenza caatteistica della linea R 0 sono localizzati all inteno del cechio = che isulta passante pe l oigine del piano complesso del coefficiente di iflessione. Il
60 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI 0 induttivo 0 0 c.c. 0 adattato c.a. capacitivo Figua 3.5: Punti caatteistici sulla cata di Smith. A B R 0 R 0 Z u A' j /4 B' Figua 3.6: Geometia del poblema elativa all esecizio 3.. cechio = 0, centato nell oigine, appesenta invece il luogo dei punti dei caichi puamente eattivi. Sulla C.d.S. si possono anche individuae i punti caatteistici di un coto cicuito ( = 0, = 0), di un cicuito apeto ( = 0, = ) e di un caico adattato ( =, = 0), in cui cioe la linea isulta chiusa sulla popia impedenza caatteistica, cosi come mostato in Fig. 3.5. Esecizio 3. Pe la linea descitta in Fig. 3.6, si valuti sia il coefficiente di iflessione di tensione sul caico che il valoe dell impedenza alla sezione AA facendo uso della C.d.S.. (R 0 = 50 Ω, Z u = 50 j00 Ω). Come pimo passo saa necessaio deteminae l impedenza nomalizzata
3.. COSTRUZIONE DELLA CARTA DI SMITH 6 0 0 0.22 O 3 P A Q ) AA' O 0.6 P A = 2 (a) (b) Figua 3.7: Cata di Smith elativa all esecizio 3.. della linea in coispondenza del caico Z n (0) = Z u R 0 = 50 j00 50 = 3 j2, pe poi individuae sulla C.d.S. il punto P, intesezione delle due ciconfeenze a = 3 e a = 2 (Fig. 3.7a). Tale punto P appesenta anche il coefficiente di iflessione di tensione nel piano complesso (γ,γ ) e quindi il segmento OP appesenta il modulo del coefficiente di iflessione di tensione. Tuttavia, al fine di valoizzae tale modulo, la lunghezza del segmento OP dova essee appotata a quella del segmento OA che appesenta il coefficiente di iflessione di tensione unitaio. In paticolae, pe i dati del poblema si ottiene OP Γ(0) = OA 0.63, ag {Γ(0)} = θ 0.π. Nel pimo capitolo si e dimostato che qualoa ci si muove lungo la linea di una distanza l nella diezione del geneatoe il vettoe appesentante il coefficiente di iflessione uota, in senso oaio, di un angolo θ = 2βl. Nel poblema in analisi, la sezione AA e posta ad una distanza l = 0.25 λ dal caico quindi spostasi dal caico alla sezione AA equivale a uotae il vettoe OP di un angolo θ AA = 2βl = 2 2π λ 0.25 λ = π.
62 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI Ruotando tale vettoe in senso oaio di un angolo θ AA si individua un punto Q simmetico al punto P ispetto all oigine O appesentativo del coefficiente di iflessione alla sezione AA (Fig. 3.7b). Tale punto Q isulta l intesezione della ciconfeenza a esistenza nomalizzata costante = 0.22 con quella a eattanza nomalizzata costante = 0.6. Ne deiva che nella sezione AA l impedenza nomalizzata della linea isulta Z n (l) = 0.22 + j0.6 Ω e quindi, denomalizzando, l impedenza della linea a tale sezione e Z(l) = Z n (l)r 0 = + j8 Ω. Dall esecizio pecedente appae evidente che spostasi lungo una linea supposta piva di pedite pe un tatto l in diezione del geneatoe equivale a uotae il fasoe del coefficiente di iflessione in senso oaio di un angolo 2βl = 4πl/λ. In senso antioaio qualoa ci si sposti veso il caico. Al fine di facilitae la otazione la C.d.S. pesenta quindi una scala calibata in temini di lunghezza d onda intono al peimeto cicolae esteno. Poiche spostasi lungo la linea di un tatto l = 0.5 λ equivale a compiee un gio completo della C.d.S., compotamento che espime la peiodicita del coefficiente di iflessione e dell impedenza nomalizzata lungo la linea, la scala cope solo l intevallo (0, 0.5) λ. Sulla cata di Smith e possibile leggee anche il appoto d onda stazionaia (ROS); infatti si ea gia dimostato come Z(z) ma = R 0 (ROS) da cui ne deiva che (ROS) = Z(z) ma R 0 = ma, (3.6) cioe che il valoe del appoto d onda stazionaio coincide con il massimo valoe della esistenza nomalizzata della linea che si inconta muovendosi su di essa. Oa, nel caso di linea senza pedite, muovesi lungo la linea equivale a uotae su una ciconfeenza centata nell oigine avente aggio pai al modulo del coefficiente di iflessione. Il valoe del (ROS) pota essee quindi calcolato leggendo il valoe della piu piccola ciconfeenza a esistenza costante intesecante la ciconfeenza a modulo del coefficiente di iflessione costante. La ciconfeenza cecata isulta tangente a quest ultima e quindi facilmente individuabile sulla C.d.S.. Si noti come nella figua 3.8 il punto M di tangenza appatenga all asse eale del piano complesso del coefficiente
3.. COSTRUZIONE DELLA CARTA DI SMITH 63 min N O (z) M ma Figua 3.8: Massimo e minimo di tensione sulla cata di Smith. di iflessione e coisponda ad un massimo di tensione (minimo di coente). In posizione simmetica ad esso ispetto all oigine e inolte individuabile il punto N che appesenta un minimo di tensione (massimo di coente) e coisponde al minimo modulo dell impedenza nomalizzata lungo la linea: min = R 0 Z(z) min = (ROS). (3.7) Esecizio 3.2 Si valuti il modulo del coefficiente di iflessione ed il appoto d onda stazionaia pe una linea piva di pedite di impedenza caatteistica R 0 = 50 Ω chiusa su un caico avente impedenza Z u =00 + j75 Ω. Si calcoli in pimo luogo l impedenza nomalizzata del caico Z n (0) = Z u = 2 + j.5. R 0 Cio pemette di individuae il punto P sulla C.d.S., intesezione dei cechi a = 2 e =.5 (Fig. 3.9). La misua del segmento OP appotata a quella del segmento OA fonia il valoe del modulo del coefficiente di iflessione: Γ(0) = OP OA 0.53. Pe valutae il ROS saa sufficiente muovesi sulla ciconfeenza a modulo del coefficiente di iflessione costante fino ad intesecae l asse eale positivo (γ > 0), individuando cosi il punto M, pe poi leggee il valoe del cechio a esistenza nomalizzata costante passante pe il punto M ( = 3.3). Il valoe del appoto d onda stazionaia coincidea con il valoe di tale esistenza nomalizzata, quindi: ROS = 3.3.
64 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI γ =.5 P =3.3 ma O M A γ =0 =2 Figua 3.9: Cata di Smith elativa all esecizio 3.2. Esecizio 3.3 Si considei una linea piva di pedite di impedenza caatteistica R 0 = 50 Ω chiusa su un caico passivo avente impedenza Z u incognita. Tamite una seie di misue si peviene alla conoscenza che ROS = 2 ed il pimo minimo di tensione e localizzato ad una distanza l = λ/0 dal caico. Si detemini il valoe del caico Z u incognito. La conoscenza del ROS pemette di individuae sulla C.d.S. il punto M, intesezione ta il cechio a = 2 e l asse eale γ, e quindi disegnae il cechio a modulo del coefficiente di iflessione costante come quel cechio con cento nell oigine O passante pe il punto M (Fig. 3.0). Il punto N sulla C.d.S. caatteistico della sezione in cui e misuato il minimo di tensione dova quindi appatenee a tale ciconfeenza e isultae anche simmetico del punto M ispetto all oigine. Tale punto N individuea altesi l impedenza nomalizzata che la linea pesenta ad una sezione posta a l = λ/0 dal caico. Pe valutae l impedenza Z u del caico saa quindi necessaio spostasi da tale sezione sul caico, cioe uotae, a patie dal punto N, in senso antioaio sulla ciconfeenza a modulo del coefficiente costante pe 2βl = 2 2π λ λ = 2π/5 ad. 0 Si viene cosi ad individuae un punto P nel quale si intesecano le ciconfeenze = 0.68 e = 0.48. L impedenza del caico isultea quindi pai a: Z u = Z n (0) R 0 = (0.68 j0.48) 50 34 j24 Ω
3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 65 γ /0 =0.68 N O M =-0.48 P A =0 =2 ma γ Figua 3.0: Cata di Smith elativa all esecizio 3.3. 3.2 Cata di Smith letta in temini di ammettenza Spesso nelle applicazioni patiche si deve studiae una linea di tasmissione cui e posta in paallelo una alta linea di tasmissione o una impedenza concentata. In tal caso e sicuamente piu conveniente lavoae in temini di ammettenza in quanto l ammettenza equivalente dovuta al paallelo di due ammettenze e data dalla semplice somma algebica dei valoi di tali ammettenze. Analogamente all impedenza nomalizzata si puo oa definie una ammettenza nomalizzata Y n (z) = Z n (z) = R 0 Z(z) = g + jb (3.8) che puo essee espessa in funzione del coefficiente di iflessione di tensione tamite la elazione: Y n (z) = Z n (z) = Γ(z) + Γ(z). (3.9) Intoducendo il coefficiente di iflessione di coente Γ I (z) = γ g + jγ b, legato a quello di tensione dalla elazione Γ I (z) = Γ(z), l espessione (3.9) puo essee scitta nella foma Y n (z) = + Γ I(z) Γ I (z), (3.20) foma che isulta uguale a quella della elazione (3.3) a meno di scambiae ta loo i simboli Z n Y n e Γ Γ I. Quindi, analogamente a quanto fatto
66 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI b Im{ I } g cost g Re{ I } b cost Figua 3.: Cata di Smith letta in temini di ammettenza pe l impedenza nomalizzata ed il coefficiente di iflessione di tensione, e possibile costuie una cata di Smith che lega l ammettenza nomalizzata al coefficiente di iflessione di coente (Fig. 3.). In paticolae si otteanno le stesse famiglie di ciconfeenze: queste, invece di essee associate alla esistenza nomalizzata e alla eattanza nomalizzata, appesentano, ispettivamente, la conduttanza nomalizzata g e la suscettanza nomalizzata b. Nello stesso tempo gli assi di ifeimento appesentano la pate eale ed immaginaia del coefficiente di iflessione di coente Γ I (z) = γ g + jγ b. Esecizio 3.4 Su una linea di tasmissione piva di pedite avente impedenza caatteistica R 0 = 50 Ω si misua, a distanza l = 0.2 λ dal caico, un coefficiente di iflessione di tensione pai a 0.5. Si detemini l ammettenza del caico su cui e chiusa la linea (Fig. 3.2). Il coefficiente di iflessione di coente alla sezione BB, distante 0.2 λ dal caico, isulta Γ I (l) = Γ(l) = 0.5 = 0.5 ep(jπ). E quindi possibile individuae sulla C.d.S. letta in temini di ammettenza un punto B, appesentativo del coefficiente di iflessione Γ I (l) ed appatenente all asse eale, in cui si intesecano le ciconfeenze g = 0.34 e b = 0 (Fig. 3.2). Spostandosi lungo la linea dalla sezione BB al caico, il punto B uotea sulla C.d.S. in senso antioaio fino a aggiungee il punto A. Tale punto individuea le ciconfeenze g =.7 e b =.3 appesentative dell ammettenza nomalizzata del caico. Ne segue che, denomalizzando ispetto all ammettenza caatteistica della linea G 0 = /R 0, l impedenza del
3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 67 b B A g 0.34 g.7 R 0 Z u B O A g B' j A' b.3 Figua 3.2: Geometia del poblema e cata di Smith elative all esecizio 3.4. caico isulta: Y u = (g + jb)g 0 = g + jb R 0 =.7 j.3 50 = 0.034 j0.026 Ω. Saa oa nosto obiettivo calcolae in modo gafico il valoe dell ammettenza nomalizzata Y n a patie dalla conoscenza dell impedenza nomalizzata Z n. A tal fine si supponga di ave individuato sulla C.d.S, letta in temini di impedenza, un punto P caatteistico dell impedenza nomalizzata Z n. Tale punto P individua un paticolae valoe del coefficiente di iflessione di tensione Γ(P ) a cui il coispondente coefficiente di iflessione di coente e legato dalla elazione Γ I (P) = Γ(P) = Γ(P) ep(jπ). (3.2) Quindi se si volesse appesentae tale punto P nel piano complesso del coefficiente di iflessione di coente questo isulteebbe uotato di un angolo π ispetto a quello individuato nel piano complesso del coefficiente di iflessione di tensione. Cio coisponde ad individuae un punto P simmetico del punto P ispetto all oigine del piano dei fasoi. Quindi ad un punto P, appesentativo di una impedenza Z n sulla C.d.S. letta in temini di impedenza, coisponde, sulla C.d.S. letta in temini di ammettenza, un punto P, simmetico al punto P ispetto al cento della cata, appesentativo dell ammettenza nomalizzata Y n = /Z n.
68 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI 0 Cata di Smith letta in temini di impedenza g 0 b Cata di Smith letta in temini di ammettenza g c.c. 0 b 0 adattato c.a. c.a. adattato c.c. g Figua 3.3: Posizione dei punti caatteistici nella cata di Smith letta in temini di impedenza (a sinista) e in temini di ammettenza (a desta). Si noti come sulla C.d.S. letta in temini di ammettenza il punto caatteistico di un coto cicuito isulti oa coincidente con il punto (,0) del piano del coefficiente di iflessione di coente, mente il punto caatteistico di un cicuito apeto e localizzato nel punto (,0). Tali punti isultano cioe simmetici ispetto all oigine degli analoghi punti gia individuati sulla C.d.S. letta in temini di impedenza (Fig. 3.3). Nello stesso modo l asse γ g > 0 individua il luogo dei punti in cui si misua un minimo di tensione (massimo di coente) lungo la linea, mente l asse γ g < 0 il luogo dei punti in cui si ha un massimo di tensione (minimo di coente). Si valuti l impedenza del caico nel caso dell esecizio pece- Esecizio 3.5 dente. Pe valutae l impedenza del caico e necessaio individuae sulla C.d.S. il punto P simmetico ispetto all oigine O del punto A gia localizzato nell esecizio pecedente. Se si legge la C.d.S. in temini di impedenza il punto P e appesentativo dell impedenza nomalizzata del caico, pe cui pe ottenee il valoe dell impedenza del caico e sufficiente individuae le due ciconfeenze = 0.37 e = 0.29 che si intesecano nel punto P e quindi denomalizzae ispetto all impedenza caatteistica R 0 della linea: Z u = ( + j)r 0 = (0.37 + j0.29)50 = 8.5 + j4.5 Ω.
3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 69 A B C R 0 jb Z u A' j2 B ' j C' Figua 3.4: Geometia del poblema elativa all esecizio 3.6. Esecizio 3.6 Nel cicuito schematizzato in Fig. 3.4, in cui la linea di tasmissione e costituita da un cavo coassiale pivo di pedite, non e pesente alcuna onda iflessa a sinista della sezione AA pe una fequenza di lavoo pai a f = 00 MHz. Spostandosi dalla sezione AA veso il caico si misua un minimo di tensione alla sezione BB. In tali ipotesi si detemini sia il valoe della costante dielettica elativa ε del cavo che il valoe del caico incognito. (l = 55 cm, l 2 = 6.2 cm, B = 0.0 Ω, R 0 = 00 Ω). Poiche a sinista della sezione AA non e pesente alcuna onda iflessa, a tale sezione il cicuito pesenta una ammettenza equivalente uguale all ammettenza caatteistica della linea, cioe Y AA = G 0 = /R 0. L ammettenza Y AA e data dal paallelo ta la suscettanza B e l ammettenza equivalente Y s, elativa allo spezzone di linea di lunghezza l chiuso sul caico Z u. Consideando le elative ammettenze nomalizzate dova quindi isultae Y AA n = Y AA G 0 = = jb n + Y sn, dove B n = B/G 0 = 0.0 00 = e Y sn = Y s /G 0. Dalla pecedente elazione segue che Y sn = jb n = + j, pe cui il tatto di linea di lunghezza l, chiuso sul caico Z u incognito, e appesentato sulla C.d.S letta in temini di ammettenza dal punto A intesezione delle cuve g =, b = (Fig. 3.5a). Spostasi lungo la linea dalla sezione AA alla sezione BB, in cui si inconta un minimo di tensione, equivale a pecoee in senso antioaio la ciconfeenza a modulo del
70 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI b # b b= A g= g=2.5 O B g O B C # g b=-0.4 0.487 - (a) (b) Figua 3.5: Cata di Smith elativa all esecizio 3.6. coefficiente di iflessione costante passante pe il punto A fino ad intesecae l asse eale positivo γ g > 0 del coefficiente di iflessione di coente; i punti di tale asse infatti sono appesentativi dei minimi di tensione lungo la linea. Si individua cosi sulla C.d.S. il punto B. Nello spostasi dal punto A al punto B si pecoe la C.d.S. pe una distanza l 2 = 0.42 λ da cui λ = l 2 0.42 = 0.62 0.42 0.393 m. Supponendo che nel cavo coassiale si popaghi un modo T EM e che il mateiale che sepaa i conduttoi sia un mateiale dielettico, la velocita di fase isulta v f = c/ ε, pe cui ε = c2 v 2 f [ ] = c2 λ 2 f 300 0 6 2 58.3. 2 0.393 00 0 6 Pe deteminae l impedenza del caico Z u e sufficiente uotae sulla C.d.S. in senso antioaio di ([l l 2 ]/λ)λ = ([0.55 0.62]/0.393)λ 0.987 λ, a patie dal punto B. Cio equivale a pecoee un gio completo della C.d.S. (pai a 0.5 λ) piu un tatto pai a 0.487 λ ed individuae il punto C in cui si intesecano le ciconfeenze g = 2.5, b = 0.4 (Fig. 3.5b). Poiche peo siamo inteessati a calcolae l impedenza del caico e conveniente individuae il punto C simmetico del punto C ispetto all oigine e leggee la C.d.S. in temini di impedenza (Fig. 3.6). Nel punto C si intesecano le ciconfeenze a = 0.39 e = 0.06 pe cui: Z u = ( + j)r 0 = (0.39 + j0.06) 00 = 39 + j6 Ω.
3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 7 0.39 0.06 C' O C Figua 3.6: Cata di Smith elativa all esecizio 3.6.
72 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH A.FRENI